Unidad Introducción a las derivadas. PÁGINA 7 SOLUCIONES. Los límites quedan: f ( + h) f() ( + h) + 5 7 h+ h h( + h) a) lím lím lím lím h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h ( + + + + ) ( + h+ ) ( + ) ( + + + + ) g( + h) g( ) ( + h) + + b) lím lím lím h 0 h h 0 h h 0 h h h lím h 0 h h +. Las ecuaciones de cada una de las rectan quedan: La primera ecuación es: y + ( ) + 5y+ 0 5 La recta perpendicular tendrá pendiente 5. Su ecuación es: y + 5( ) 5 y 0. La ecuación pedida es: y 6 4. 0
4. En cada uno de los intervalos queda: f () f (0) 6 f (4) f () 6 0 4 a) tvm[0,] tvm[,4] f () f (0) 8 f (4) f () 4 8 0 4 b) tvm[0,] tvm[,4] f () f (0) 8 f (4) f () 64 8 0 4 c) tvm[0,] 4 tvm[,4] 8 f d) t [0,] vm 4 ( ) f4(0) 9 f4(4) f4() 8 9 4 tvm[,4] 6 0 4
PÁGINA 89 SOLUCIONES. El problema se representa del siguiente modo: En el gráfico está muy clara la situación del problema y la solución del mismo. Efectivamente, hay un punto por el que pasa a la misma hora, y es el punto (*) en el que se encuentran los dos trayectos: de ida y de vuelta.. La figura queda: Cuando Luis está a la mitad del camino, comienza a andar, luego la otra mitad va a velocidad más lenta. En cambio, Ana, al correr la mitad del tiempo, corre más de la mitad del camino, por lo que menos de la mitad lo hace andando, así que llega antes Ana.
. El primer cirujano se pone el guante (A) dentro del otro (B), es decir, se pone (A) y encima se pone al (B). El segundo cirujano se pone el guante (B) por la cara que no ha tocado al herido. El tercer cirujano se pone el guante (A) dándole la vuelta y encima de éste (B), operando al herido por el lado del guante (B) con que ya han operado los otros dos cirujanos.
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SOLUCIONES. La tabla queda del siguiente modo: t vm f ( ) f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) ( ) 5 f6 4 [,0] 4 4 9 [,] 0 5 [ 0, ] 4 4 [, ] 7 6 [ aa+, ] a + a + a+ a. En cada apartado queda: a) Llamando a la altura del líquido obtenemos: La ecuación es: V π con 0 b) Queda: π 0,5π π,5 π,5π π tvm[0,5;] π tvm[,5;] π tvm[;,5] π 0,5 0,5 0,5 c) Queda: [ ; ] bπ aπ tvm a b π b a 5
. En cada uno de los casos queda del siguiente modo: t t vm vm f(4) f() 4 5 g(4) g() [, 4] tvm[, 4] 5 4 4 8 8 h(4) h() 9 6 6 t(4) t() 0 5 [, 4] tvm[, 4] 4 4 5 4. Queda: V m e(5) e() 4,9 5 4,9 tvm[, 5] 4, m/s 5 5 ( + ) () 4,9 ( + ) + 4,9 4,9 (4 + ) e h e h h h vi tvi[] lím lím lím h 0 h h 0 h h 0 h h(9,6 + 4,9 h) lím 9,6 m/s h 0 h 0 0 e(5 + h) e(5) 4,9 (5 + h) + 4,9 5 vi tvi[5] lím lím h 0 h h 0 h h(49+ 4,9 h) lím 49 m/s h 0 h lím h 0 4,9 (0 h+ h ) h 0 0 5. Queda: () e(0) + 8 e Vm[0,] tvm[0,] 7 km/s 0 e(5) e() 5 8 Vm[,5] tvm[,5] 9 km/s 5 e(8) e() 56 Vm[,8] tvm[,8] 5 km/s 8 7 e() e(8) 58 56 Vm[8,] tvm[8,] 68 km/s 8 4 Al alejarse de la Tierra aumenta la velocidad del cohete. 6
6. Las derivadas quedan: f ( + h) f () ( + h) + 5 4h+ h a) f' () lím lím lím 4 h 0 h h 0 h h 0 h g( + h) g() + h + h b) D[ g()] lím lím lím h 0 h 0 h 0 h h h + h ( ) 4 4 h( + h) h() + h + c) h' () lím lím lím h 0 h h 0 h h 0 h + h h(h+ ) lím lím h 0 0 h h h h h h 8 h ( + + 6+ 4) ( + + 6+ 4) ( h + h+ 6 4)( h + h+ 6+ 4) h( h + h+ 6+ 4) k(0 + h) k(0) 6 6 d) Dk [ (0)] lím lím 0 h 0 h h 0 h l + h l h h e) l' () lím lím lím ( ) () ( + h) 6 6 h 0 0 0 h h h h (h + 8h+ 7) 7 9 ( )( ) ( ) t(6 + h) t(6) 6+ h + h + h+ f) Dt [ ( 6)] lím lím lím h 0 h h 0 h h 0 h + h+ h lím h 0 h ( + h + ) 7. La derivada queda: f'() 6 La pendiente de la recta tangente en P(, ) es: f' ( ) 9 La ecuación de la recta tangente es: y + 9( + ) 9 y+ 7 0 La pendiente de la recta normal es: y su ecuación es: 9 y+ ( + ) + 9y+ 9 0 9 7
8. La solución queda: Los puntos de corte: y + 0 y 0 P(,0) Q(5,0) La derivada queda: y' 4 La pendiente de la recta tangente en P es: y' () 4 8 La ecuación de la recta tangente queda: y 0 8( ) 8+ y 8 0 La pendiente de la recta normal en P es: 8 La ecuación de la recta normal queda: y 0 ( ) 8y 0 8 De igual forma queda en el punto Q. La ecuación de la recta tangente queda: y 0 8( 5) 8+ y 40 0 La ecuación de la recta normal queda: y 0 ( 5) 8y 5 0 8 8
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SOLUCIONES 9. La bisectriz del primer cuadrante es la recta de pendiente m. Luego hay que hallar el punto en el cual: f'() el punto es, P 0. Realizamos los cálculos a partir de siguiente gráfico: [ ] Df() valor de la pendiente de la tangente y a la curva y f( ) en el punto de [ ] [ ] abscisa Df(). Df(6) valor de la pendiente de la tangente y a la curva y f( ) en el punto de [ ] abscisa 6 Df(6) 0.. Queda: Calculamos la pendiente mediante la derivada y' m. 6 8 El ángulo queda: tg 7º 5' 0'' 8. Queda el siguiente sistema: f () a+ b a f' () a b }. Queda: a) f' ( ) 0 b) f' ( ) f' f' c) ( ) d) 4( ) e) f' 5( ) f) f' 6( ) 0
4. Queda en cada uno de los casos: f ( + h) f () ( + h) + 5 ( + 5) h a) f'() lím lím lím h 0 h h 0 h h 0 h [ ] g( + h) g() ( + h) ( ) 4h + 8h h b) g'() lím lím lím 8 h 0 h h 0 h h 0 h c) [ ] h( + h) h() ( + h) ( + h) + 5 ( h'() lím lím h 0 h h 0 h + 5) 4 d) k( + h) k() ( + h) + + k'() lím lím h 0 h h 0 h 4h + 8h 8 lím h 0 h + h + + + + + ( ) ( ) 4 5. Queda: f' ( ) tiene por ecuación : f' ( ) Quedaría f( ) Gráfica C
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SOLUCIONES 6. Quedan: a) D 6 6 5 7 5 6 5 b) D D 7 7 5 5 6 4 4 c) D 8 D 8 4 + d) D 4 6 ( + ) ( + )( + ) e) D 8 4 4 f) 5 0 D 4 5 + 4+ 5 ( ) 4 5 5 5 0 g) D + D ( + ) ( + ) ( + ) 5 6 5 5 h) D 4 i) D 4 + 5 4 + 5 ( ) 7. Las derivadas quedan: a) D4 4 ln 4 b) D ln c) D e e e 4 e d) D D 6 6 ln 6 e e ( ) e ( e + ) e) D f) D e + 6 4
8. Las derivadas quedan: a) D ln ( 7) + + 7 e b) D ln ( e ) + e + 5 60 c) D ln ( 4 ) D 5 ln ( 4 ) 5 4 4 ( ) ( ) 6 + ( + ) d) D ln D ln + + e) D log + + ln f) D ln D ln ( ) ln ( + ) + + g) D ln ( ln ) ln ln ( ) ( ) 4 h) D ln 4 D ln + ln 4 + 4 4 + i) D ln D ln ( ) ln ( ) + + 9. Las derivadas quedan: [ ] a) D sen 4 4 cos 4 [ ] b) D 4 sen 4 cos ( ) c) D sen cos 4 4 4 4
4 4 4 d) D sen cos e) D sen 4 cos 4 4 ( ) 4 4 f) D sen D sen 4 sen cos g) D arc sen 4 h) D sen 4cos 5 4 ( ) D 4 i) sen cos 4 4 sen ( ) j) D cos + sen ( + ) k) D cos ( + ) 9 cos ( + ) sen ( + ) 4 + l) D arc tg (+ ) + + + + 4 8 6 4 m) D tg ( + ) + ( ) cos n) D tg ( ) cos + + + ñ) D tg ( ) tg ( ) cos ( ) [ ] o) D arc cos (ln ) ln ln p) D tg ( ) cos q) D tg cos tg 5
0. Las derivadas quedan: 4 a) Df() [ ] Df [ () ] b) Dg() [ ] Dg [ (0)] + 4+ lnln c) Dh() [ ] sen cos Dh [ ( π )] 0 d) D[ j() ] D [ j( ) ] 9 ( + ). El estudio en cada caso queda: 4 f( ) + + a+ 5 D[ f( )] 8 + 9 + a D[ f()] 9 a a a + + a + a g ( ) Dg [ ( )] Dg [ ()] 0 a + + 4 ( ) 6
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SOLUCIONES. Las derivadas quedan: a) D ( ) + + + + + + b) D ( ) 5 5 5 ln5 ( ) c) D ln (ln ) + sen cos cos d) D ln sen + sen sen cos e) D ln + ln ln + + ln + ln + + ln + D + f) sen cos ln sen g) D 4 ln ( ln) + cos sen ( cos ) sen (+ cos ) h) D cos + cos cos ( cos ) cos 9 i) D ln + 9 + 9 ( + 9) j) D a e a a e + a ln a e e a a a a a a a a e + lna k) D ln ( ) D ln + ln ( ) ( ) 8
+ + l) D arc tg + + + + + ( ) tg m) D tg (tg ) cos cos e 0 4 e 5 4 n) D ln ( e 5 ) cos cos ñ) D (sen ) cos (sen ) cos (sen ) ln(sen ) [ ] o) D ln tg sen cos D + 7 7 p) ( ) 7( ) ( )ln( ) + 4 ( ) 4 ( + ) 8 q) D ( ) ( ) 4 D 4 ( ) ( ) 4 4 r) 4 4 4 4 D arc tg (+ ) ( + ) s) arc tg arc tg 0 ln 0 8 8 8 7 t) D 0 ln ( ) ln ( ) + 0 ( ) + 6 ( ) 0 ln + u) D arc sen ( ) 9
[ ] v) D ln (ln cos ) sen cos ln (cos ) w) D sen cos 4 sen cos cos cos sen 4 sen 4 4 4 4 4 4 ) D + ln + + ( + ) + ( + ) ln ln(8+ ) y) D 4 + ln 4 + + 4+ 4+ + + + + z) D ln + + + + + +. Queda: La velocidad viene dada por la epresión: La velocidad instantánea en t 4es v(4) 4km h La velocidad se anula es: Al cabo de 6 horas se anula. vt () e'() t t + 8t 0 t 8t t 0 y t 6 +. 4. Queda: ( ) n! 0! f f ( ) ( ) n ( n) (0) ( ) ( ) n+ 5. La derivada queda: Df [ ( )] > 0 y el intervalo resultante es: (,0) ( 4, + ) 6. Queda: f ( ) ( ) e f ( ) e ( n) n (00) 00 7. El punto buscado es el punto en el que la pendiente de la recta tangente valga. f '( ) 6+ 7 El punto es P(,). 8. La pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada en el punto dado. Derivamos la función en implícitas: 4 8 yy' 0 y' m 5 y y 4 5 5 y 5 Por tanto, la ecuación de la recta queda: ( ) 9. El punto es P(8,6). La pendiente de la recta es: 8 y' 0 y' 4 y'(8) 8 4 m 4 Por tanto, la ecuación de la recta es: y 6 4( 8) y 4 6 0
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SOLUCIONES 0. La tangente paralela a la bisectriz del segundo cuadrante tendrá pendiente. Por tanto:. La solución queda: y' El punto pedido es :, 4 La ecuación de la elipse es: Los puntos indicados son: R y +. 00 6 ( 5, ) Q( 5, ) ( 5, ) S( 5, ) P Hallamos la pendiente de todas las rectas tangentes a la elipse, que viene dada por la siguiente epresión: 6 y ' 00y En cada uno de estos puntos la recta tangente queda: En P y 5 5 En En Q R y + ( 5) 5 y ( + 5) 5 En S y+ 5 + 5 ( ) ( ). El punto es P(, ) ó Q(, 0). Hallemos la pendiente de todas las rectas tangentes a esta circunferencia: + + yy' + 6+ 8 y' 0 y' y + 4 La recta tangente en P: ( ) La recta tangente en Q: 0 ( ) y y + 8 y+ y
. Mediante la derivada: f ( ) a para todo valor de pendiente a 4. La epresión queda: 800 00t f () t > 0 ( t 8t+ 8) Resolviendo la inecuación obtenemos la cantidad de agua recogida para durante los primeros meses del año. La velocidad fue nula para f () t 0, es decir, para t 4. t [ 0, 4), es decir, 5. Por pasar por el punto (,4) obtenemos: 4 + a+ b. Por tener en ese punto una tangente de pendiente ( 6) obtenemos: 4 + a 6. Resolviendo el sistema obtenemos: a 0 b. 6. Los puntos de corte con los ejes son: P(,0); Q(0,6); R(0, ). Hallemos la pendiente de todas las rectas tangentes a esta parábola: La recta tangente en P: ( ) La recta tangente en Q: La recta tangente en R: y 0 y y 6 y 6 y+ y y y 7. La solución queda: Los puntos comunes son: P(,) Q(, ). Rectas tangentes en P, tienen por pendientes m m ; por tanto, el ángulo que forman es de 0º. Rectas tangentes en Q, tienen por pendientes m m ; por tanto, el ángulo que forman es de 0º. 8. Queda: f n+ ( n) ( ) ( n )! ( ) n ( )
9. La demostración queda: a Sea la función y e sen b, derivamos e introducimos en la epresión a demostrar. a a a a a y a e senb b e cos b y '' a e senb ab e cosb b e senb Introducimos las derivadas en la epresión a demostrar : a + + '' y y a e a a a senb + b e sen b ( a + b ) e sen b ( a + b ) y 40. La solución queda: Por pasar por el punto P(,7) verifica: 7 a+ b+ c. Por pasar por el punto O(0,0) verifica: 0 c. Por ser tangente a la recta y y (0) b. Resolviendo el sistema: a+ b+ c 7 a 8 c 0 b b c 0 4