Métodos Estadísticos de la Igeiería Tema 9: Iferecia Estadística, Estimació de Parámetros Grupo B Área de Estadística e Ivestigació Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragó Abril 200 Coteidos............................................................... 2 Iferecia y Estimació 3 Iferecia Estadística...................................................... 4 Propiedades de los Estimadores 5 Estimadores Cetrados..................................................... 6 Estimadores Cosistetes................................................... 7 Eficiecia.............................................................. 8 Suficiecia............................................................. 9 Estimació Putual 0 Estimació Putual...................................................... Método de los Mometos.................................................. 2 Ejemplos............................................................. 3 Máxima Verosimilitud.................................................... 4 Ejemplo.............................................................. 5 Estimació por Itervalos.................................................. 6
Coteidos Iferecia y Estimació. Propiedades de los Bueos Estimadores. Métodos de Estimació Putual: Mometos, Máxima Verosimilitud, (Momets ad Maximum Likelihood). Estimació por Itervalos. Iiciamos e este puto el estudio estadístico de Poblacioes, mediate la elecció de ua Muestra, de la que iferiremos características de toda la Població. The mathematical study of the likelihood ad probability of evets occurrig based o kow iformatio ad iferred by takig a limited umber of samples. Licesio J. Rodríguez-Aragó Tema 9, M.E.I. 2 / 6 Iferecia y Estimació 3 / 6 Iferecia Estadística Sea ua Variable Aleatoria o Carácter observable X, co Fucioes de Probabilidad o Desidad f segú sea Discreta o Cotíua, y Fució de Distribució F. Estas fucioes depede e geeral de uo o más parámetros: λ,,p,µ,σ,,m, etc. La Iferecia Estadística cosiste e obteer iformació sobre estos parámetros a partir de los valores X,X 2,...,X obteidos de observar la Variable Aleatoria X e ua muestra de tamaño. Ua Muestra Aleatoria Simple (m.a.s.), Sample, es la formada por X,X 2,...,X, Variables Aleatorias Idepedietes e Idéticamete Distribuidas. Se llama Estadístico a cualquier fució de las observacioes muestrales T = T(X,X 2,...,X ). La distribució de la Variable Aleatoria T depederá, e geeral, de los parámetros de la població. U ejemplo de Estadístico es la media muestral x. Los Estimadores, Estimators, so Estadísticos, y por lo tato Variables Aleatorias, utilizados para estimar parámetros de las poblacioes. Por ejemplo estimar la media µ de ua distribució ormal a través de la media muestral x. Los Estimadores que proporcioa u úico valor para el parámetro se deomia Estimadores Putuales, mietras que los que proporcioa u itervalo de valores se deomia Estimadores por Itervalos. Licesio J. Rodríguez-Aragó Tema 9, M.E.I. 4 / 6 2
Propiedades de los Estimadores 5 / 6 Estimadores Cetrados Sea ˆθ u Estadístico que usaremos para estimar el parámetro poblacioal θ. Se dice que ˆθ es u estimador Cetrado o Isesgado, Ubiased, de θ si se verifica que E(ˆθ) = θ. Por el cotrario se dice que el estimador es Sesgado, Biased, si E(ˆθ) = θ + b(θ), deomiádose Sesgo del Estimador a la catidad b(θ), Bias. Ejemplo: E(S 2 ) = ( ) σ 2, mietras que E(S 2 c) = σ 2. Licesio J. Rodríguez-Aragó Tema 9, M.E.I. 6 / 6 Estimadores Cosistetes U Estadístico ˆθ utilizado para estimar θ es Cosistete, Cosistet, si para tediedo a ifiito (tamaño muestral), se verifica que ˆθ θ e probabilidad, para lo que es suficiete: Que sea asitóticamete cetrado, E(ˆθ) θ. Que la variaza tieda a cero, Var(ˆθ) 0. Sirva como ejemplo: E(S 2 ) = σ2 σ 2, cuado Var(S 2 ) = 2( ) 2 σ 4 0, cuado Por lo que la Variaza Muestral es u Estimador Cosistete de la Variaza Poblacioal σ 2, tambié lo es la Cuasivariaza Muestral. Licesio J. Rodríguez-Aragó Tema 9, M.E.I. 7 / 6 3
Eficiecia Si para estimar el mismo parámetro θ dispoemos de varios estimadores ˆθ y ˆθ 2, diremos que ˆθ 2 es más Eficiete, Efficiet, que ˆθ, si la variaza del primero es meor que la variaza del segudo: Var(ˆθ 2 ) < Var(ˆθ ). La Eficiecia Relativa de ˆθ 2 respecto de ˆθ, se defie como el cociete etre ambas Variazas: Para estimar σ 2, podemos usar S 2 o S 2 c : eff(θ 2 θ ) = Var(ˆθ ) Var(ˆθ 2 ) Var(S 2 ) = 2( ) 2 σ 4, Var(S 2 c) = 2 ( ) σ4 eff(s 2 S 2 c) = 2 /( ) 2 Licesio J. Rodríguez-Aragó Tema 9, M.E.I. 8 / 6 Suficiecia U Estimador ˆθ del parámetro θ es Suficiete, Sufficiecy, si cotiee tata iformació como la coteida e la propia muestra, de forma que igú otro estimador pueda proporcioar iformació adicioal sobre el parámetro descoocido de la població. Se dice que u Estadístico T(X,X 2,...,X ) es Suficiete para θ si la distribució de X,X 2,...,X dado T es idepediete del valor del parámetro θ. Licesio J. Rodríguez-Aragó Tema 9, M.E.I. 9 / 6 4
Estimació Putual 0 / 6 Estimació Putual La Estimació Putual es el método más elemetal, basado e asigar los valores obteidos de la muestra (estadísticos) a toda la població (parámetros). Esta teoría fue desarrollada por R. A. Fisher (890-962). Los métodos de Estimació Putual busca u estimados, e base a los datos muestrales, que proporcioe u úico valor del valor del parámetro. Estimar u parámetro θ o es más que dar ua fució de las observacioes que o depeda del parámetro descoocido, ˆθ = ˆθ(X,X 2,...,X ). Cada valor de la muestra asiga u valor al parámetro θ. La fució se deomia Estimador y cada valor proporcioado Estimacioes del parámetro. Licesio J. Rodríguez-Aragó Tema 9, M.E.I. / 6 Método de los Mometos Este método fue propuesto por Pearso (857-936) y cosiste e igualar u determiado úmero de mometos teóricos de la distribució de la població co los correspodietes mometos muestrales, para obteer ua o varias ecuacioes que, resueltas, permita estimar los parámetros descoocidos de la distribució poblacioal, Geeralized Method of Momets. Sea X,X 2,...,X ua m.a.s. de ua distribució co fució de desidad f(x;θ,θ 2 ). Como teemos 2 parámetros, tomemos los dos primeros mometos respecto al orige, X i = xf(x;θ,θ 2 )dx, Xi 2 = x 2 f(x;θ,θ 2 )dx Licesio J. Rodríguez-Aragó Tema 9, M.E.I. 2 / 6 5
Ejemplos Població Biomial, X B(m, p), siedo E(X) = mp. ˆp = m X = m Xi. Població de Poisso, X P(λ), siedo E(X) = λ. ˆλ = X = Xi. Població Normal, X N(µ,σ), siedo E(X) = µ y Var(X) = σ 2. ˆµ = X = Xi. ˆσ 2 = S 2 = X 2 X 2, ó ˆσ 2 = S 2 c = (X2 X 2 ) Licesio J. Rodríguez-Aragó Tema 9, M.E.I. 3 / 6 Máxima Verosimilitud El método de Máxima Verosimilitud, Maximum Likelihood, tiee la propiedad de seleccioar como estimació, el valor del parámetro que maximiza el valor de la probabilidad de la muestra aleatoria observada. El método cosiste e ecotrar el valor del parámetro que maximiza el valor de la fució de verosimilitud. Para ua muestra aleatoria simple X,X 2,...,X de ua distribució co fució de probabilidad o de desidad f(x;θ), la fució L, se deomia Fució de Verosimilitud de la Muestra: L(θ;X,X 2,...,X ) = f(x i ;θ) El Estimador Máximo Verosímil, ˆθ, debe satisfacer la ecuació, L(ˆθ;X,X 2,...,X ) = max θ Θ L(θ;X,X 2,...,X ), siedo θ Θ el Espacio Paramétrico, cojuto de posibles valores de θ. El Método de Máxima Verosimilitud tiee la propiedad de proporcioar estimadores que so fucioes de estadísticos suficietes, si y sólo si el Estimador de Máxima Verosimilitud es úico. Debido a la aturaleza de la fució L, suele ser más fácil maximizar log(l). Licesio J. Rodríguez-Aragó Tema 9, M.E.I. 4 / 6 6
Ejemplo Supogamos que X,X 2,...,X costituye ua m.a.s. de ua distribució ormal, N(µ,σ), de la que se descooce su media y variaza. Obtedremos mediate el Método de Máxima Verosimilitud estimadores de la media y la variaza. La fució de desidad de ua distribució N(µ,σ), es f(x;µ,σ) = } { σ 2π exp (x µ)2 2σ 2, y por lo tato la Fució de Máxima Verosimilitud de la m.a.s. dada será, L(µ,σ;X,X 2,...,X ) = Tomado logaritmos y operado, tedremos, f(x i ;µ,σ) = { = (σ 2π) exp (X i µ) 2 } 2σ 2 log(l(µ,σ)) = 2 log(σ2 ) 2 log(2π) (X i µ) 2 Deseamos obteer los estimadores ˆµ y ˆσ 2 que maximice log(l): 2σ 2 log(l(µ,σ)) µ = 0, log(l(µ,σ)) σ 2 = 0. Operado, se obtiee: ˆµ = X, y ˆσ 2 = (X i X) 2. Co lo que los Estimadores Máximo Verosímiles so la media y la variaza muestrales. Licesio J. Rodríguez-Aragó Tema 9, M.E.I. 5 / 6 Estimació por Itervalos El estimador más eficiete, es improbable que estime co exactitud el valor del parámetro de la població. Ua estimació por itervalos, de u parámetro θ, es u itervalo de la forma ˆθ I < θ < ˆθ S tal que se verifique, P(ˆθ I < θ < ˆθ S ) = γ co γ suficietemete próximo a. Los valores ˆθ I y ˆθ S se deomia Límites de Cofiaza. Mietras que γ es el Coeficiete de Cofiaza. Licesio J. Rodríguez-Aragó Tema 9, M.E.I. 6 / 6 7