Análisis estadístico de datos. Análisis estadístico de datos simulados. Elección de una distribución. Análisis estadístico de datos simulados

Transcripción

1 Aálisis estadístico de datos Aálisis estadístico de datos simulados Patricia Kisbye FaMAF 29 de abril, 2008 Cada fuete de aleatoriedad debe expresarse de acuerdo a ua distribució de probabilidad. Ua mala elecció de la distribució afecta (drásticamete) los resultados de la simulació. Cómo elegir ua distribució? Cómo simular u sistema a partir de u cojuto de observacioes? Utilizado los datos directamete. Realizado el muestreo a partir de la distribució empírica de los datos. Utilizado técicas de iferecia estadística. Elecció de ua distribució teórica. Estimació de parámetros. Tests de bodad de ajuste. Simulació a partir de la distribució teórica. Aálisis estadístico de datos simulados Elecció de ua distribució Los sistemas reales tiee fuetes de aleatoriedad: Tipo de sistema Fabricació Defesa Comuicacioes Trasporte Fuete de aleatoriedad Tiempos de procesamieto Tiempos de falla Tiempos de reparació de máquias Tiempos de arribo y cargas explosivas de avioes o misiles. Errores de lazamieto. Tiempos etre llegadas de mesajes. Logitudes de mesajes. Tiempo de embarque Tiempos de llegadas a u subte... Utilizar los datos directamete: Sólo reproduce datos históricos. E geeral es ua iformació isuficiete para realizar simulacioes. Es útil para comparar dos sistemas, para hacer ua validació del modelo existete co el simulado. Distribució empírica: Reproduce datos itermedios (datos cotiuos). Es recomedable si o se puede ajustar los datos a ua distribució teórica.

2 Iferecia estadística Distribució Gamma(α, β) Iferecia estadística: Las distribucioes empíricas puede teer irregularidades si hay pocos datos, ua distribució teórica suaviza los datos. Puede obteerse iformació aú fuera del rago de los datos observados. Puede ser ecesario impoer u determiado tipo de distribució, por el tipo de modelo que se desea simular. No es ecesario almacear los datos observados i las correspodietes probabilidades acumuladas. Es fácil modificar los parámetros. f (x) = β α x α 1 exp( x/β) Γ(α) α: forma, β: escala. Rago: x > 0. Media: αβ. Variaza: αβ 2. Distribucioes de probabilidad más utilizadas Distribució Weibull (α, β) Cotiuas: Uiforme: Para catidades que varía "aleatoriamete" etre valores a y b, y que o se cooce más datos. Expoecial: Tiempos etre llegadas de "clietes" a u sistema, y que ocurre a ua tasa costate. Tiempos de falla de máquias. Gamma, Weibull: Tiempo de servicio, tiempos de reparació. Normal: Errores. Sumas grades Teorema cetral del límite. Otras: (Law & Kelto, cap. 6) f (x) = αβ α x α 1 exp( (x/β) α α: forma, β: escala. Rago: x > 0. Media: β α Γ ( 1 α).

3 Distribució Normal(µ, σ 2 ) Distribucioes de probabilidad más utilizadas f (x) = 1 2πσ exp( (x µ) 2 /(2σ 2 )) µ: posició, σ: escala. Rago: R. Media: µ. Variaza: σ 2. Discretas: Beroulli. Uiforme discreta. Geométrica: úmero de observacioes hasta detectar el primer error. Biomial egativa: úmero de observacioes hasta detectar el -ésimo error. Poisso: Número de evetos e u itervalo de tiempo, si ocurre a tasa costate. Distribució Logormal(µ, σ 2 ) Distribució Biomial f (x) = 1 x 2πσ 2 exp( (log(x) µ) 2 /(2σ 2 )) σ: forma, µ: escala. Rago: x > 0. Media: e µ+σ2 /2. Variaza: e 2µ+σ (e σ2 1). = 5, p = 0.1 = 5, p = 0.5 = 5, p = 0.8

4 Distribució Geométrica Distribució Poisso Correspode a λ = 25. p = 0.25 p = 0.5 Distribució Poisso Distribució empírica Datos cotiuos Datos observados: X 1, X 2,..., X dispoibles. Datos agrupados e u itervalo: histograma. Si los datos está dispoibles, puede costruirse ua fució de distribució lieal a trozos: Ordeado los datos de meor a mayor: X (1), X (2),..., X () Defiiedo F (x) como: 0 x < X (1) i 1 F(x) = 1 + x X (i) ( 1)(X (i+1) X (i) ) X (i) x < X (i+1) 1 i < 1 X () x F (X (i) )=(i 1)/( 1) proporció de X j meores que X (i).

5 Si los datos está agrupados e itervalos: [a 0, a 1 ), [a 1, a 2 ),..., [a k 1, a k ) y cada itervalo [a j 1, a j ) cotiee j observacioes: k = es razoable defiir la distribució empírica como: G(a 0 )=0, G(a j )= j e iterpolado liealmete estos putos. G(a j )=proporció de X j meores que a j. Caso discreto Si los datos X 1, X 2,..., X está dispoibles se defie la fució de masa empírica: p(x) = #{i X i = x} Si los datos está agrupados, se defie la fució de masa p(x) de modo que la suma e cada itervalo sea igual a la proporció de X i s e dicho itervalo. La defiició de p(x) detro del itervalo es esecialmete arbitraria. Distribució empírica Técicas de prueba de idepedecia Para ciertos tests, es ecesario asumir idepedecia de los datos observados. Ejemplos de o idepedecia: Datos de temperaturas a lo largo de u día. Tiempos de demora e ua cola de espera. Técicas Gráficos de correlació: ρ j. Diagramas de dispersió (scatterig): (X i, X i+1 ). Tests o paramétricos.

6 Iferecia estadística 1. Elegir ua o más distribucioes apropiadas. 2. Estimació de parámetros de la distribució elegida. 3. Pruebas (tests) de bodad de ajuste. 4. Si es ecesario, corregir la distribució adoptada. Elegir ua distribució Coocer el orige de los datos. Estimar alguas medidas a partir de los datos: Media, mediaa, máximo y míimo, coeficiete de variació, desviació estádar, coeficiete de asimetría. Histograma. q-cuatiles, diagramas de caja (box-plots) Q Q plots y P P plots. Estimació de parámetros Dada ua muestra de datos observados, se llama estimador ˆθ del parámetro θ a cualquier fució de los datos observados. Propiedades de u bue estimador Isesgabilidad: se dice que el estimador es isesgado si E[ˆθ] =θ. Cosistecia: si al aumetar la muestra, el estimador se aproxima al parámetro. Eficiecia: se calcula comparado su variaza co la de otro estimador. Suficiecia: utiliza toda la iformació obteida de la muestra. Medidas útiles Fució Estimador Estima Mi, Max X (1), X () rago Media µ X() { Tedecia cetral Mediaa ˆm = X (+1)/2 1 2 (X /2 + X (/2+1) ) Tedecia cetral. Variaza σ 2 S 2 () Variabilidad c.v.= σ µ τ ˆ cv() = ˆτ = S2 () X() Asimetría ν = E[(X µ)3 ] (σ 2 ) 3/2 ˆν() = S 2 () X() Variabilidad Variabilidad P i (X i X()) 3 / [S 2 ()] 3/2 Simetría Estimador de máxima verosimilitud Supogamos que se tiee la hipótesis de ua distribució discreta para los datos observados, y se descooce u parámetro θ. Sea p θ (x) la probabilidad de masa para dicha distribució. Dado que se ha observado datos X 1, X 2,..., X, se defie la fució de máxima verosimilitud L(θ) como sigue: L(θ) =p θ (X 1 ) p θ (X 2 ) p θ (X ). El estimador de máxima verosimilitud es el valor ˆθ que maximiza L(θ): L(ˆθ) L(θ), θ valor posible. Si la distribució supuesta es cotiua, y f θ (x) es la desidad para dicha distribució, se defie: L(θ) =f θ (X 1 ) f θ (X 2 ) f θ (X ).

7 Estimador de máxima verosimilitud El estimador de máxima verosimilitud tiee, e geeral, las siguietes propiedades: 1. Es úico: L(ˆθ) > L(θ) para cualquier otro valor de θ. 2. La distribució asitótica de ˆθ tiee media θ. 3. Es ivariate: φ = h(θ), etoces ˆφ = h(ˆθ). 4. Su distribució asitótica está ormalmete distribuida. 5. Es fuertemete cosistete: lim ˆθ = θ. Ejemplo Para la distribució geométrica, θ = p (0 < p < 10) y p p (x) =p(1 p) x 1 para x = 1, 2,.... L(p) = p (1 p) P i=1 (X i 1) = ˆp = ( p 1 p ) (1 p) P i=1 X i ( 1 ) 1 Xi Estimadores de máxima verosimilitud: Ejemplo Para la distribució expoecial, θ = β (β > 0) y f β (x) = 1 β e x/β para x 0. ( )( 1 L(β) = β e X 1/β 1 ( ) = β exp 1 X i β β e X 2/β i=1 ) ( ) 1 β e X/β Distribucioes cotiuas: Uiforme: â = mi{x i }, ˆb = max{x i }. Expoecial: ˆβ = X(). Gamma, Weibull: ˆα y ˆβ se resuelve uméricamete. Normal: Logormal: [ ] 1/2 1 ˆµ = X(), ˆσ = S2 (). ˆβ = 1 X i = X() = Media muestral. i=1 i=1 ˆµ = log(x i) [ i=1, ˆσ = (log(x i) ˆµ) 2 ] 1/2.

8 Estimadores de máxima verosimilitud Distribucioes discretas: Biomial (t, p): si t es coocido, ˆp = X()/t. Beroulli: Caso biomial co t = 1 e igual p. Geométrica: ˆp = 1 X(). Biomial egativa (s, p): úmero de esayos hasta el s-ésimo éxito. Si s es coocido: ˆp = Poisso: ˆλ = X(). s X().