Integrción en el plno complejo 4.1. Funciones complejs de vrible rel Un función complej de vrible rel es un función w : [, b] C, donde b. L prte rel y l prte imginri de w son dos funciones reles de vrible rel: w(t) = u(t) + iv(t), de modo que, todos los efectos, w puede interpretrse como un función w : [, b] R 2. Como tl, l definición lógic de derivd es w (t) = u (t) + iv (t), dmitiendo que u y v son derivbles en t. Ejemplos 4.1. (1) Si z = x + iy es constnte y w(t) = u(t) + iv(t) es derivble, clcul l derivd de z w(t). d [ ] z w(t) = d [ ] (x + iy )(u + iv) = d [ ] (x u y v) + i(y u + x v) dt dt dt = d dt (x u y v) + i d dt (y u + x v) = (x u y v ) + i(y u + x v ) = (x + iy )(u + iv ),
38 4 Integrción en el plno complejo es decir, d [ ] z w(t) = z w (t). dt (2) Si z = x + iy es constnte, clcul l derivd de e z t. o se, d dt ez t = d dt = [ ] e xt cos(y t) + ie xt sen(y t) [ x e x t cos(y t) y e x t sen(y t) = x e iz t + iy e z t, ] d dt ez t = z e z t. [ ] + i x e xt sen(y t) + y e xt cos(y t) Tl como ilustrn los ejemplos, ls regls del cálculo de funciones reles se mntienen pr funciones complejs de vrible rel (linelidd, regl del producto, regl del cociente y regl de l cden). Tmbién se mntienen l myorí de los resultdos (con lgun excepción, como el teorem del vlor medio, que no se cumple pr este tipo de funciones). De mner nálog ls derivds, ls integrles de funciones complejs de vrible rel se definen como b b b w(t) dt = u(t) dt + i v(t) dt, donde se supone que u y v son funciones integrbles en (, b). Ls integrles pueden ser impropis. Est definición se resume en ls dos identiddes Re b w(t) dt = b Ejemplo 4.2. Evlú l integrl 1 Re w(t) dt, 1 (1 + it) 2 dt = (1 + it) 2 dt. 1 Im (1 t 2 )dt + i b 1 w(t) dt = b 2t dt = 2 3 + i. Im w(t) dt. Ls propieddes de ests integrles están heredds de ls de ls integrles de funciones reles: () Linelidd: b [ ] b b αw 1 (t) + βw 2 (t) dt = α w 1 (t) dt + β w 2 (t) dt.
4.1 Funciones complejs de vrible rel 39 (b) Aditividd: (c) Acotción: b w(t) dt = b c w(t) dt + b b w(t) dt w(t) dt. c w(t) dt. Merece l pen ver l demostrción de l propiedd de cotción, y que es lgo más elbord que su equivlente rel: b b w(t) dt = ρe iφ, ρ = w(t) dt, por lo tnto Así pues, ρ = b b b b [ ] e iφ w(t) dt = Re e iφ w(t) dt = Re e iφ w(t) dt e iφ w(t) dt = b b w(t) dt. b w(t) dt w(t) dt. El teorem fundmentl del cálculo sigue siendo válido pr este tipo de integrles. Así, si U(t) es un primitiv de u(t) y V (t) es un primitiv de v(t), entonces W(t) = U(t) + iv (t) es un primitiv de w(t) = u(t) + iv(t) y que W (t) = w(t). Entonces, b w(t) dt = U(t) b + iv (t) b = W(b) W(). Por nálogo motivo, l regl del cmbio de vrible y l integrción por prtes siguen siendo válids pr ests integrles. Ejemplos 4.3. (1) Integr π/4 e it dt. Como ie it es un primitiv de e it, π/4 e it dt = ie it π/4 = ie iπ/4 + i = 1 i 1 + i = 1 + i (1 1 ) 2. 2 2 2
4 4 Integrción en el plno complejo (2) L integrl del ejemplo 4.2 se puede hcer prtir de l relción ] d (1 + it)3 [ i = (1 + it) 2. dt 3 Con ell, 1 (1 + it) 2 dt = i 4.2. Contornos (1 + it)3 3 = i 3 (2i 3) = 2 3 + i. 1 (1 + i)3 = i 3 + i 3 = i (1 + 3i 3 i 1) 3 El objetivo de est sección es definir integrles de funciones de vrible complej sobre curvs del plno complejo, sí que tenemos que empezr por definir lo que entendemos por un curv. Un curv de C es un función : [, b] C que cd t b le soci el número complejo z(t) = x(t) + iy(t), donde x, y : [, b] R son funciones continus. Decimos que l curv es un curv simple si z(t 1 ) z(t 2 ) cundo t 1 t 2. Cundo z() = z(b) se dice que es un curv cerrd, y si cumple l condición de curv simple slvo en los extremos se dice que es un curv cerrd simple. Ejemplos 4.4. (1) L líne poligonl es un curv simple. z(x) = { x + ix si x 1, x + i si 1 x 2, (2) L circunferenci de rdio R y centrd en z C, z(θ) = z +Re iθ, θ 2π, es un curv cerrd simple. (3) L mism circunferenci prmetrizd como z(θ) = z + Re iθ es un curv distint, porque está recorrid en sentido contrrio. (4) Tmbién l curv z(θ) = z + Re i2θ es el mismo conjunto de puntos pero un curv distint, porque recorre dos veces l circunferenci. En este cso se trt de un curv cerrd pero no simple. Cundo l función z(t) es derivble, se dice que es un curv regulr. L longitud de un curv regulr viene dd por l expresión L() = b z (t) dt, z (t) = x (t) 2 + y (t) 2.
4.3 Integrles de contorno 41 En un curv regulr en l que z (t) pr t b, el complejo τ(t) = z (t) z (t) represent el vector unitrio tngente l curv en z(t). Cundo z (t) es continu decimos que es un curv suve. En este cso τ(t) cmbi de mner continu con t. Finlmente, diremos que es un contorno si es un curv suve trozos (z (t) es continu trozos) en el intervlo [, b]. Del mismo modo que pr ls curvs se definen contornos cerrdos y contornos cerrdos simples. 4.3. Integrles de contorno Definición 4.1. Se Ω un dominio de C, : [, b] Ω un contorno de dicho dominio y f : Ω C un función tl que f es continu trozos en [, b]. Se define l integrl de f sobre el contorno como b f(z) = f ( z(t) ) z (t) dt. L integrl de contorno sí definid es equivlente dos integrles de líne de dos cmpos vectoriles sobre Ω, y que si f(z) = u(x, y) + iv(x, y), con lo que siendo f(z)z = (u + iv)(x + iy ) = (ux vy ) + i(vx + uy ), f(z) = P 1 dx + Q 1 dy + i P 2 dx + Q 2 dy, P 1 = u, Q 1 = v, P 2 = v, Q 2 = u. L integrl de contorno hered, por tnto, ls propieddes de ls integrles de líne de cmpos vectoriles. Así: (1) son invrintes bjo cmbios de prmetrizción que mntengn l orientción de l curv; (2) si denot l curv orientd en sentido opuesto, f(z) = f(z) ;
42 4 Integrción en el plno complejo (3) si 1 + 2 denot l conctención de dos curvs tles que el extremo finl de l primer es el extremo inicil de l segund, f(z) = f(z) + f(z). 1 + 2 1 2 Tmbién hered ls propieddes de ls integrles de funciones complejs de vrible rel: (4) si α, β C y f y g son integrbles sobre, [ ] αf(z) + βg(z) = α f(z) + β (5) y si f(z) M sobre, f(z) ML(). g(z), L últim propiedd se sigue de que b f(z) ( ) f z(t) z (t) b dt M z (t) dt = ML(). En cunto l propiedd (3), l form más generl en l que puede expresrse es f(z) = f(z) + + f(z), 1 n 1 n cundo 1,..., n son contornos tles que L( i j ) = si i j. Ejemplos 4.5. (1) Hll l integrl Como l integrl vldrá (2) Hll l integrl z en sentido positivo. Ahor luego z, siendo = {z(θ) = 2e iθ : π/2 θ π/2}. z = z(θ) = 2e iθ, z (θ) = i2e iθ, π/2 π/2 π/2 2e iθ 2ie iθ dθ = 4i dθ = 4πi. π/2 siendo l circunferenci de rdio R centrd en z = y orientd = {Re iθ : θ 2π}, 2π z = ire iθ 2π dθ = i dθ = 2πi. Reiθ
4.4 Independenci del contorno: primitivs 43 4.4. Independenci del contorno: primitivs En generl, ls integrles de contorno dependen no sólo de l función integrd sino tmbién del contorno. En lgunos csos eso no es sí, y resultn independientes del contorno de integrción. Vmos estudir en est sección cuándo ocurre esto. Teorem 4.1. Se Ω un dominio de C y f : Ω C; entonces, son equivlentes: () ddos los puntos z 1, z 2 Ω, f(z) = f(z) 1 2 pr todo pr de contornos 1, 2 Ω con origen en z 1 y extremo finl en z 2 ; (b) l integrl de contorno pr todo contorno cerrdo Ω. f(z) = Dem.: () (b) Tomndo dos puntos distintos z 1, z 2 culesquier, los dos trozos en que dividen son dos contornos 1, 2 con origen en z 1 y extremo finl z 2. El contorno cerrdo originl se reconstruye como = 1 2. Entonces, f(z) = f(z) f(z) =. 1 2 (b) () Ddos dos contornos 1, 2 como los de ls hipótesis, el contorno = 1 2 es cerrdo. Entonces f(z) f(z) = f(z) =. 1 2 Pr indicr clrmente que el contorno de un integrl de contorno es cerrdo se utiliz veces l notción f(z).
44 4 Integrción en el plno complejo Definición 4.2 (Primitiv). Se Ω un dominio de C y f : Ω C un función continu. Si existe un función holomorf F : Ω C tl que F (z) = f(z) pr todo z Ω, decimos que F es un primitiv de f en Ω. Como ocurre en R, dos primitivs, F y G, de l mism función f difieren en un constnte complej ditiv. L rzón es que (F G) =, y si un función holomorf tiene derivd nul, ls ecuciones (CR) implicn que tiene que ser constnte. Cundo un función tiene primitiv, sus integrles de contorno verificn un teorem fundmentl del cálculo: Teorem 4.2. Se f : Ω C, con Ω un dominio de C, un función continu con un primitiv F en Ω. Entonces, si Ω es un contorno entre los puntos z 1, z 2 Ω, f(z) = F(z 2 ) F(z 1 ). Dem.: L rzón de este resultdo es l identidd d dt F( z(t) ) = F ( z(t) ) z (t) = f ( z(t) ) z (t), grcis l cul, si es un curv suve, b f(z) = f ( z(t) ) z (t) dt = b d dt F( z(t) ) dt = F ( z(b) ) F ( z() ) = F(z 2 ) F(z 1 ). Pr un contorno generl, cuyos trozos se unen en los puntos z 1,...,z n, correspondientes vlores del prámetro < t 1 <... < t n < b, denotndo t = y t n+1 = b, f(z) = = n k= t k+1 t k f ( z(t) ) z (t) dt = n k= t k+1 t k d dt F( z(t) ) dt n [F ( z(t k+1) ) F ( z(t k) )] = F ( z(b) ) F ( z(b) ) k= = F(z 2 ) F(z 1 ).
4.4 Independenci del contorno: primitivs 45 Pr funciones cuy integrl no depende del contorno, sino sólo de los extremos, tiene sentido utilizr l notción z2 f(z) = f(z), z 1 siendo culquier contorno que un los puntos z 1 y z 2. Teorem 4.3. Se Ω un dominio de C y f : Ω C un función continu. Entonces, existe un primitiv de f en Ω si y sólo si f(z) = pr todo contorno cerrdo Ω. Dem.: Si F (z) = f(z) en Ω, entonces, por el teorem 4.2, f(z) = F(z 2 ) F(z 1 ), siendo z 1 y z 2 los extremos del contorno. Si es cerrdo, z 1 = z 2 y el miembro de l derech se nul. Por el teorem 4.1, si f(z) = pr todo contorno cerrdo Ω, ls integrles lo lrgo de culquier contorno no dependen del cmino, sino sólo de los extremos. Tomemos z, z Ω y definmos F(z) = z z f(ζ) dζ. Vmos probr que F (z) = f(z). Pr ello tomemos un entorno de z lo bstnte pequeño como pr que esté en Ω, y tomemos h C tl que z + h esté en ese entorno. Entonces, Como F(z + h) F(z) = z+h z f(ζ) dζ z+h z z dζ = h z f(ζ) dζ = z+h z f(ζ) dζ. (lo que puede probrse tomndo, por ejemplo, el contorno z(t) = z + th, con t 1), F(z + h) F(z) h f(z) = 1 h z+h z [ ] f(ζ) f(z) dζ.
46 4 Integrción en el plno complejo Acotndo est expresión, F(z + h) F(z) f(z) h 1 h z+h z [ ] f(ζ) f(z) dζ. Ahor bien, como f(z) es continu en Ω, ddo un ǫ > rbitrrio, podemos hcer que f(ζ) f(z) < ǫ sin más que tomr h de modo que h se lo suficientemente pequeño, con lo que F(z + h) F(z) f(z) h 1 ǫ h = ǫ, h lo que implic que y de hí que lím F(z + h) F(z) h h F (z) = lím h F(z + h) F(z) h f(z) = = f(z). Ejemplos 4.6. (1) L integrl porque e z tiene como primitiv e z en C. (2) L integrl e z = z 2 = pr todo contorno cerrdo que no pse por z =, y que un primitiv de 1/z 2 en C {} es 1/z. (3) Vmos hllr l integrl z pr culquier contorno cerrdo simple que rodee el punto z = en sentido positivo, sin psr por él. No podemos sin más decir que vle legndo que log(z ) es un primitiv de 1/(z ), y que l función log(z ) no es continu en todo C {} debido l corte que define l rm del logritmo que uno dopte. Así que hy que doptr otr estrtegi pr hllr l integrl. Pr ello vmos dividir l curv en dos trozos, como indic l figur: uno pequeño que corte l semirrect Re(z ) <, que denotremos ǫ, y el resto, que denotremos, mbos orientdos en sentido positivo. Denotemos los puntos de división z 1 y z 2, tl como se indic en l figur.
4.4 Independenci del contorno: primitivs 47 z 1 z 2 ε ε Consideremos primero. Como ést no cruz l semirrect Re(z ) <, un primitiv de 1/(z ) que nos sirve pr clculr z es F 1(z) = log(z ) tomd sobre l rm principl. Entonces, z = F 1(z 1 ) F 1 (z 2 ) = ln z 1 + i(π ǫ) ln z 2 i( π + ǫ) = ln z 1 z 2 + i2(π ǫ). Pr obtener l integrl sobre ǫ tenemos que cmbir l rm del logritmo. Entonces, F 2 (z) = log(z ), tomndo l rm [, 2π), es un primitiv de 1/(z ) con l que podemos clculr es integrl, luego ǫ z = F 2(z 2 ) F 2 (z 1 ) = ln z 2 + i(π + ǫ) ln z 1 i(π ǫ) = ln z 1 z 2 + i2ǫ. Sumndo ls dos integrles, z = z + ǫ z = ln z 1 z 2 + i2(π ǫ) ln z 1 z 2 + i2ǫ = 2πi. (4) Hllemos l integrl z, donde es el contorno cerrdo de l figur, que cort l eje rel en 3 y en 3, orientdo en sentido positivo, y l ríz está tomd sobre l rm z = re iθ/2, θ < 2π.
48 4 Integrción en el plno complejo 3 3 Un integrl sí no puede relizrse directmente debido l corte sobre el eje rel positivo, sí que, pr hcerl, dividimos l curv en dos mitdes, l que ce sobre el semiplno Im z, que denotremos +, y l que ce sobre el semiplno Im z, que denotremos. Pr hcer l integrl sobre + buscmos un rm de l ríz que teng el corte en Im z y que coincid con nuestr definición de z sobre el semiplno Im z. Dich rm corresponde l determinción π/2 θ < 3π/2. Pr es rm hy un primitiv válid en Im z : F + (z) = 2 3 r3/2 e i3θ/2, π/2 θ < 3π/2. Utilizándol, + z = F+ ( 3) F + (3) = 2 3 3 3(e i3π/2 1) = 2 3(i + 1). Pr hcer l integrl sobre buscmos un rm de l ríz que teng el corte en Im z y que coincid con nuestr definición de z sobre el semiplno Im z. Dich rm corresponde l determinción π/2 θ < 5π/2. Pr es rm hy un primitiv válid en Im z : F (z) = 2 3 r3/2 e i3θ/2, π/2 θ < 5π/2. Utilizándol, z = F (3) F ( 3) = 2 3 3 3(e i3π e i3π/2 ) = 2 3(1 i). Sumndo ls dos contribuciones, z = z + z = 4 3. +
4.5 Teorem de Cuchy-Gourst 49 4.5. Teorem de Cuchy-Gourst Y hemos visto l introducir ls integrles de contorno que l integrl de un función f(z) = u(x, y) + iv(x, y) sobre un contorno cerrdo simple orientdo en sentido positivo equivle dos integrles de líne reles: f(z) = u dx v dy + i v dx + u dy. Si u y v tienen derivds prciles continus en un dominio que conteng tnto como l región R delimitd por, podemos plicr el teorem de Green y trnsformr l expresión nterior en f(z) = (v x + u y ) dxdy + i (u x v y ) dxdy. R El resultdo interesnte es que si f(z) es holomorf, entonces, por ls ecuciones (CR), los dos integrndos se nuln y tenemos que f(z) =. Este resultdo es bstnte más generl de como lo cbmos de obtener. Pr empezr, no es necesrio pedir que u y v tengn derivds continus (eso es lgo que, como veremos, está grntizdo por el hecho de que f(z) es holomorf). Además, el resultdo se puede generlizr contornos cerrdos no simples. Eso es evidente si tles contornos constn de un número finito de lzos, y que en ese cso se descomponen en un sum de un número finito de contornos cerrdos simples; pero y no es evidente cundo el número de lzos es infinito, y sin embrgo el resultdo sigue siendo cierto en esos csos. El teorem más generl que proporcion este resultdo fue obtenido en un primer versión por Cuchy y expresdo en su form ctul por Gourst, y es conocido por ello como teorem de Cuchy-Gourst. Teorem 4.4 (Cuchy-Gourst). Se f : Ω C un función holomorf en un dominio simplemente conexo Ω C; entonces, pr cd contorno cerrdo Ω, f(z) =. Un consecuenci importnte de este teorem es el siguiente resultdo, consecuenci del teorem 4.3 combindo con el de Cuchy-Gourst: R
5 4 Integrción en el plno complejo Corolrio 4.1. Tod función f(z) holomorf en un dominio Ω C simplemente conexo tiene primitiv. El teorem de Cuchy-Gourst dmite un extensión dominios múltiplemente conexos: Teorem 4.5. Se Ω un dominio de C, y sen () Ω un contorno cerrdo simple orientdo positivmente, y (b) 1,..., n Ω un número finito de contornos cerrdos simples orientdos positivmente, situdos en el interior de y cuyos interiores tienen intersección vcí dos dos. Si f(z) es holomorf en l región cerrd formd por los n + 1 contornos y l región interior de excluids ls regiones interiores de 1,..., n, entonces n f(z) = f(z). k k=1 Dem.: L demostrción ps por introducir uns curvs poligonles, que denotremos l, l 1,...,l n, que unn el contorno k con el k+1 pr todo k = 1,...,n, y los contornos 1 y n con el, como ilustr l figur. 2 Γ 1 1 l 1 l 3 l 2 Γ 2 l 3 El resultdo son dos contornos cerrdos simples, Γ 1 y Γ 2, tles que Γ 1 + Γ 2 = n k + k=1 n l j j= n l j = j= n k. Pr cd uno de estos dos contornos se verificn ls condiciones del teorem de Cuchy-Gourst, de modo que f(z) = f(z) =, Γ 1 Γ 2 k=1
4.5 Teorem de Cuchy-Gourst 51 y, por tnto, n k=1 k f(z) = f(z) n k=1 k f(z) =. Hy un mner más compct de expresr este resultdo. Se A un región cerrd de C; su fronter, que denotremos A, es, en generl, l unión de vrios contornos cerrdos simples, orientdos de tl mner que el interior de A quede siempre l izquierd de los contornos. Entonces, si f es holomorf en A, f(z) =. A Esto incluye tmbién el cso en que A se simplemente conexo y su fronter un único contorno. En el cso prticulr en que A se un región nulr, cuy fronter const de un contorno exterior y otro interior, tenemos el siguiente resultdo: Corolrio 4.2 (Principio de deformción de cminos). Sen 1 y 2 dos contornos cerrdos simples orientdos en sentido positivo, donde 2 está en el interior de 1. Si f(z) es holomorf en l región cerrd formd por esos contornos y los puntos situdos entre ellos, entonces f(z) = f(z). 1 2 El nombre de este corolrio lude l hecho de que est situción corresponde l cso en que el contorno 1 se pued deformr continumente hst el 2 sin que en ningún momento nos slgmos de l región en que f es holomorf. Ejemplos 4.7. (1) Pr hllr l integrl z sobre un contorno cerrdo simple orientdo en sentido positivo, trzmos l circunferenci C = {z C : z = ρ}, donde ρ > es lo suficientemente pequeño como pr que l circunferenci esté completmente en el interior de. Como 1/z es holomorf entre y C, incluidos mbos contornos, z = C z.
52 4 Integrción en el plno complejo L segund integrl es fácil de prmetrizr con z(θ) = + ρe iθ, θ 2π, sí que C 2π z = iρe iθ 2π dθ = i dθ = 2πi, ρeiθ un resultdo que y obtuvimos nteriormente, pero que obtenemos de nuevo quí de un form más sencill. (2) Hll ls integrles z 2 + 1, z z 2 + 1, donde es un contorno cerrdo simple orientdo positivmente que rode los puntos ±i. Como 1 z 2 + 1 = 1 ( 1 2i z i 1 ), z + i podemos escribir l primer integrl como y l segund como z 2 + 1 = 1 2i z z 2 + 1 = 1 2 z i 1 2i z i + 1 2 4.6. Fórmul integrl de Cuchy z z 2 + 1 = 1 ( 1 2 z i + 1 ), z + i z + i = 2πi 2i 2πi 2i =, z + i = 2πi 2 + 2πi 2 = 2πi. Uno de los resultdos más importntes de l teorí de funciones de vrible complej es l fórmul integrl de Cuchy. Teorem 4.6 (Fórmul integrl de Cuchy). Se f(z) un función holomorf en un dominio Ω C que contiene el contorno cerrdo simple orientdo positivmente y su interior. Si es un punto del interior de, entonces f() = 1 2πi f(z) z. Dem.: Como f es continu en, pr cd ǫ > hbrá un entorno D(, δ) tl que si z D(, δ), entonces f(z) f() < ǫ. Tomemos hor un < ρ < δ tl que l circunferenci C = {z C : z = ρ}
4.6 Fórmul integrl de Cuchy 53 esté contenid íntegrmente en el interior de. Como f(z)/(z ) es holomorf en, C y entre mbos contornos, f(z) z = f(z) z. Por otro ldo, sbemos que luego podemos escribir Ahor bien, en C, C C z = 2πi, f(z) 2πif() = z f(z) f() z C f(z) f() z = f(z) f() ρ y l longitud de C es 2πρ, luego f(z) f() z < ǫ ρ 2πρ y, por tnto, C f(z) z < ǫ ρ, 2πif() < 2πǫ. Este resultdo es válido pr culquier ǫ >, luego el vlor bsoluto de l izquierd debe vler, lo que prueb el resultdo. Ejemplo 4.8. Este resultdo permite hcer muchs integrles de contorno de un mner muy simple. Aunque explorremos est ví con más detlle más delnte, vemos quí un simple ejemplo. Vmos clculr l integrl z (9 z 2 )(z + i). Podemos escribir est integrl como D(,2) D(,2) y, por l fórmul integrl de Cuchy, z (9 z 2 )(z + i) D(,2) f(z) ( z ( i) ), f(z) = z (9 z 2 ),. = 2πif( i) = 2πi( i) 1 = π 5.
54 4 Integrción en el plno complejo 4.7. Aplicciones de l fórmul integrl de Cuchy En est sección vmos extrer consecuencis de l fórmul integrl de Cuchy. Como veremos, de est sencill fórmul se siguen vrios de los resultdos más potentes de l teorí de vrible complej. 4.7.1. Derivds de funciones holomorfs Pr empezr, l fórmul integrl de Cuchy ofrece un representción de un función holomorf en términos de un integrl dependiente de un prámetro. Si derivmos es expresión, intercmbindo derivd con integrl sin preocuprnos de si tl cos es lícit, obtenemos l expresión f (z) = 1 2πi f(ζ) (ζ z) 2 dζ, que d como resultdo l derivd de f(z) como un integrl que involucr f(z). Pero es más, podemos seguir hciendo sucesivs derivds y encontrr l fórmul f (n) (z) = n! f(ζ) dζ. 2πi (ζ z) n+1 Desde luego, esto no grntiz que ls sucesivs derivds de f(z) existn, pero es muy sugerente el hecho de que el integrndo se, pr culquier n y culquier z en el interior de, un función integrble (y que tnto f(ζ) como 1/(ζ z) n+1 son continus sobre ). Así que vmos trtr de demostrr que, efectivmente, l derivd de orden n está dd por l expresión que cbmos de hllr. Empezremos por l primer derivd. Pr ello tenemos que demostrr que f(z + h) f(z) h f (z) tiende cundo h. Utilicemos ls fórmuls integrles pr trnsformr l expresión nterior en [ ( 1 1 1 2πi h ζ z h 1 ) ] 1 f(ζ) dζ, ζ z (ζ z) 2 siempre que < h < d, siendo d = mín ζ ζ z l distnci de z (pr que z + h esté en el interior de ). Centrémonos en el corchete del integrndo
4.7 Aplicciones de l fórmul integrl de Cuchy 55 (denotremos w = ζ z pr brevir): ( 1 1 h w h 1 ) 1 w w = w2 w(w h) h(w h) 2 h(w h)w 2 h 2 = h(w h)w = h 2 (w h)w 2. Nos encontrmos, pues, con que f(z + h) f(z) h f (z) = h 2πi f(ζ) (ζ z h)(ζ z) 2 dζ. Pr probr que el miembro derecho tiende cundo h vmos cotr su módulo. Por un ldo, pr todo ζ, con lo que ζ z 2 d 2, ζ z h ζ z h d h, 1 (ζ z h)(ζ z) 2 1 (d h )d 2. Por otro ldo, como f(ζ) es continu, sobre lcnzrá su vlor máximo M, de modo que f(ζ) M pr todo ζ. Entonces, h f(ζ) 2πi (ζ z h)(ζ z) dζ 2 h ML() 2π(d h )d, 2 h quedndo, pues, probdo que l expresión integrl reproduce, de hecho, l derivd. Vmos hor probr l fórmul pr f (n) (z) por inducción. Ddo que y hemos ddo el primer pso de inducción (probr que es válid pr n = 1), vmos probr que si l fórmul sirve pr f (n 1) (z), entonces l derivd f (n) (z) existe y está dd por l mism fórmul. Pr ello tendremos que demostrr que f (n 1) (z + h) f (n 1) (z) h que utilizndo ls fórmuls se convierte en [ ( ) (n 1)! 1 1 2πi h (ζ z h) 1 n (ζ z) n f (n) (z), ] n f(ζ) dζ, (ζ z) n+1
56 4 Integrción en el plno complejo tiende cundo h. Como ntes, el corchete se convierte en ( 1 1 h (w h) 1 ) n n w n w = wn+1 w(w h) n hn(w h) n n+1 h(w h) n w n+1 = wn+1 (w h) n (w + hn). h(w h) n w n+1 Ahor bien, (w h) n = w n nhw n 1 + donde R(w, h) es un polinomio en w y h, luego n(n 1) h 2 w n 2 + h 3 R(w, h), 2 w n+1 (w h) n (w + hn) = w n+1 w n+1 + nhw n n(n 1) h 2 w n 1 2 h 3 wr(w, h) nhw n + n 2 h 2 w n 1 n2 (n 1) h 3 w n 2 nh 4 R(w, h) 2 n(n + 1) = h 2 w n 1 + h 3 R(w, h), 2 donde R(w, h) = wr(w, h) n2 (n 1) w n 2 nhr(w, h) 2 es otro polinomio en w y h. Entonces el corchete se reescribe como w n+1 (w h) n (w + hn) h(w h) n w n+1 = n(n + 1) 2 h (w h) n w 2 + h R(w, h) (w h) n w n+1. Sobre, l función R(w, h) es continu y, por tnto, su módulo lcnz un vlor máximo D. Por otro ldo, como hemos visto ntes, Sbiendo esto, w n+1 (w h) n (w + hn) h(w h) n w n+1 w h d h, w d. n(n + 1) 2 n(n + 1) 2 h (w h) n w 2 + h R(w, h) (w h) n w n+1 h (d h ) n d + h D 2 (d h ) n d n+1,
4.7 Aplicciones de l fórmul integrl de Cuchy 57 sí que f (n 1) (z h) f (n 1) (z) f (n) (z) h ( (n + 1)! (n 1)!D + 2(d h ) n d2 (d h ) n d n+1 Podemos, en consecuenci, enuncir el siguiente teorem: ) h L() 2π h Teorem 4.7. Se f : Ω C un función holomorf en el dominio simplemente conexo Ω C; entonces, f C (Ω) y tods sus derivds son, por tnto, holomorfs en Ω. Además, si es culquier contorno cerrdo simple orientdo positivmente de Ω, l derivd n-ésim se puede obtener medinte l fórmul f (n) (z) = n! 2πi f(ζ) dζ, (ζ z) n+1 pr todo z en el interior de. (Est fórmul incluye, como cso n =, l fórmul integrl de Cuchy). Un evidente consecuenci de este teorem es que si f(z) = u(x, y)+iv(x, y), entonces u, v C (Ω). Ejemplos 4.9. (1) Un consecuenci del teorem de ls derivds es que =, (z ) n+1 pr todo n N y pr todo contorno cerrdo simple. L rzón es que el vlor de est integrl es ±2πif (n) (z)/n!, siendo f(z) = 1 (el signo depende de l orientción de ).. (2) Hll el vlor de l integrl D(,2) z 3 + 2z + 1 (z 1) 3. Denotndo f(z) = z 3 + 2z + 1, el resultdo de est integrl es z 3 + 2z + 1 = πif (1). (z 1) 3 D(,2) Como f (z) = 6z, D(,2) z 3 + 2z + 1 (z 1) 3 = 6πi.
58 4 Integrción en el plno complejo 4.7.2. Teorem de Morer Si f(z) es continu en un dominio Ω (que puede ser múltiplemente conexo) y l integrl sobre culquier contorno cerrdo de Ω se nul, entonces sbemos, por el teorem 4.3, que existe en Ω un función F(z) tl que F (z) = f(z) pr todo z Ω. L función F(z) es, por tnto, holomorf en Ω, y como f(z) es su derivd, por el teorem de ls derivds sbemos que f(z) tiene que ser tmbién holomorf. Este resultdo, que limitdo dominios simplemente conexos result ser el recíproco del teorem de Cuchy-Gourst, se debe E. Morer, y se puede formulr sí: Teorem 4.8 (Morer). Si f : Ω C es continu en el dominio Ω C y f(z) = pr todo contorno cerrdo Ω, entonces f(z) es holomorf en Ω. 4.7.3. Teorem del vlor medio de Guss Teorem 4.9. Se f(z) un función holomorf en un dominio Ω y se z Ω. Entonces f(z ) es igul l vlor medio de f(z) sobre culquier circunferenci de Ω centrd en z y orientd positivmente. Dem.: Denotemos C r l circunferenci de Ω dd por z z = r orientd positivmente. Entonces, por l fórmul integrl de Cuchy, f(z ) = 1 f(z), 2πi z z y prmetrizndo C r como z(θ) = z + re iθ, con θ 2π, l integrl se convierte en f(z ) = 1 2π f ( z + re iθ) dθ. 2π C r Evidentemente, tomndo l prte rel e imginri de l fórmul del vlor medio de Guss, llegmos l conclusión de que l mism fórmul l verificn tods ls funciones rmónics.
4.7 Aplicciones de l fórmul integrl de Cuchy 59 Ejemplo 4.1. Pr evlur l integrl 2π e cos θ cos(sen θ)dθ, rzonmos de l siguiente mner: e cos θ cos(sen θ) = e cos θ Re ( e isen θ) = Re ( e cos θ+isen θ) = Re Entonces, l integrl se puede obtener como 2π ( e eiθ). 2π 2π e cos θ cos(sen θ)dθ = Re e eiθ dθ = Re f ( e iθ) dθ, definiendo f(z) = e z. En consecuenci, según el teorem del vlor medio de Cuchy, 2π e cos θ cos(sen θ)dθ = 2π Re f() = 2π. El teorem del vlor medio de Guss se puede utilizr pr resolver de form proximd l ecución de Lplce en un recinto, y que l solución, u(x, y) (un función rmónic) se puede proximr en (x, y ) prtir de lgunos de sus vlores sobre un circunferenci con centro en (x, y ). Este es el fundmento del método de diferencis finits pr resolver l ecución de Lplce. 4.7.4. Principio del módulo máximo En est sección vmos estudir ls curioss propieddes que tiene el módulo de un función holomorf respecto su vlor máximo. Lem 4.1. Se f(z) un función holomorf en D(z, ǫ). Si f(z) f(z ) pr todo z D(z, ǫ), entonces f(z) es constnte en D(z, ǫ). Dem.: Ddo < ρ < ǫ, el teorem del vlor medio de Guss nos segur que f(z ) = 1 2π de donde obtenemos l cotción f(z ) 1 2π 2π 2π f ( z + ρe iθ) dθ, f ( z + ρe iθ) dθ. Por otro ldo, como por hipótesis f ( z + ρe iθ) f(z ) pr todo θ 2π, 2π f ( z + ρe iθ) 2π dθ f(z ) dθ = 2π f(z ),
6 4 Integrción en el plno complejo luego f(z ) 1 2π f ( z + ρe iθ) dθ. 2π Por lo tnto, f(z ) = 1 2π ( f z + ρe iθ) dθ, 2π o, lo que es lo mismo, 2π [ f(z ) f ( z + ρe iθ) ] dθ =. Como el integrndo es un función continu y no negtiv en [, 2π], pr que l integrl se nule el integrndo debe ser, y, por tnto, f(z) = f(z ) sobre l circunferenci de rdio ρ centrd en z. Este rzonmiento es válido pr todo < ρ < ǫ, luego f(z) = f(z ) pr todo z D(z, ǫ). Si el módulo de un función holomorf es constnte en un dominio, entonces l función es constnte en ese dominio. Con este lem podemos probr el siguiente resultdo: Teorem 4.1. Si un función f(z) es holomorf y no constnte en un dominio Ω C, entonces f(z) no tiene máximo en Ω. Dem.: Probremos el contrpositivo de este teorem, es decir, si f(z) es holomorf en Ω y f(z) tiene máximo en Ω, entonces f es constnte. Supongmos que f(z) lcnz un máximo en z Ω. Se z culquier otro punto de Ω. Como Ω es conexo, construymos un curv desde z z. Se d l distnci de Ω. Elijmos n puntos sobre, z 1,...,z n, de tl modo que z n = z y z k z k 1 < d, k = 1, 2,...,n. Ahor construymos los entornos D k = D(z k, d), k =, 1,...,n. Todos ellos están en Ω porque Ω es bierto y d es l distnci de Ω. Por el lem nterior, f(z) es constnte en D, luego f(z 1 ) = f(z ) y que z 1 D. Como f(z ) es máximo en Ω, tmbién lo es f(z 1 ), luego otr vez por el lem f(z) es constnte en D 1 y, por tnto, f(z 2 ) = f(z ), y que z 2 D 1. Repitiendo el rzonmiento llegmos que f(z ) = f(z ). El punto z estb elegido rbitrrimente en Ω, luego f(z) = f(z ) pr todo z Ω.
4.7 Aplicciones de l fórmul integrl de Cuchy 61 Y este teorem nos conduce l siguiente conclusión: Corolrio 4.3 (Principio del módulo máximo). Se Ω un dominio cotdo de C y f(z) un función holomorf en Ω. Supongmos que f(z) es continu en Ω; entonces f(z) lcnz su vlor máximo en Ω, y éste se encuentr en Ω. Dem.: Como Ω es un conjunto cerrdo y cotdo, f(z), que es un función continu, lcnz su vlor máximo en Ω. Como por el teorem nterior f(z) no puede ser máximo en Ω, el máximo debe estr en Ω Ω = Ω. Ejemplo 4.11. Consideremos l función f(z) = sen z en el rectángulo Re z π, Im z 1. Denotndo z = z + iy, sbemos que sen z = sen 2 x + senh 2 y; entonces, sen z es máximo cundo lo son sen 2 x en x π, y senh 2 y en y 1, independientemente. L primer es máxim en x = π/2, y l segund en y = 1, y el punto z = π + i está en l fronter del rectángulo. 2 Evidentemente, el principio del módulo máximo tiene un contrprtid pr el módulo mínimo si f(z), y que entonces el mínimo de f(z) es el máximo de l función 1/f(z). Tmbién existe un principio de módulo máximo pr funciones rmónics: Corolrio 4.4 (Principio del módulo máximo pr funciones rmónics). Se u(x, y) un función rmónic en el dominio cotdo Ω de R 2. Supongmos que u(x, y) es continu en Ω; entonces el máximo de u(x, y) se lcnz sobre Ω. Dem.: Se v(x, y) l rmónic conjugd de u(x, y). Entonces f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es holomorf en Ω y continu en Ω, y lo mismo cbe decir de F(z) = e f(z). Entonces, por el principio de módulo máximo F(z) = e u(x,y) lcnz su máximo sobre Ω. Como l exponencil es monóton creciente estrict, lo mismo ocurre con u(x, y). 4.7.5. Teorem de Liouville Cundo l función f(z) es holomorf en un región que contiene el disco cerrdo D(z, R), f (n) (z ) = n! f(z), 2πi C R (z z ) n+1
62 4 Integrción en el plno complejo siendo C R = D(z, R). Denotemos por M R el vlor máximo de f(z) sobre C R. Entonces, f (n) (z ) n!m R R n. Est desiguldd se conoce como desiguldd de Cuchy. Pr el cso prticulr n = 1 firm que f (z ) M R R, un desiguldd que nos v permitir obtener el siguiente resultdo: Teorem 4.11 (Liouville). Si f(z) es holomorf y cotd en todo C, entonces es constnte. Dem.: Al ser f holomorf en todo C, l desiguldd de Cuchy es válid pr todo R y z. Como f(z) M, pr lgún M >, en todo el plno complejo, tenemos que f (z) M R pr todo z C y todo R >. En consecuenci, f (z) = en todo C, y por tnto f es constnte. 4.7.6. Teorem fundmentl del Álgebr Uno de los resultdos más importntes de l teorí de vrible complej es que todo polinomio de grdo n tiene exctmente n ríces complejs (contd cd ríz tnts veces como se su multiplicidd). Esto se conoce como teorem fundmentl del Álgebr. El teorem es un consecuenci del teorem de Liouville. Corolrio 4.5 (Teorem fundmentl del Álgebr). Todo polinomio P(z) = + 1 z + + n z n ( n ), de grdo n 1 tiene n ríces complejs (contndo su multiplicidd). Dem.: En relidd bst probr que P(z) tiene l menos un ríz, y que si z 1 es un ríz de P(z), entonces Q 1 (z) = P(z)/(z z 1 ) es un polinomio de grdo n 1. 1 El mismo resultdo segur que Q 1 (z) tiene l menos un ríz z 2 (igul o distint), con lo que Q 2 (z) = Q 1 (z)/(z z 2 ) es un polinomio de grdo n 2, y sí sucesivmente hst llegr un polinomio de grdo. 1 Pr probrlo bst hcer un división por Ruffini y comprobr que el resto es P(z 1 ) =.
4.7 Aplicciones de l fórmul integrl de Cuchy 63 Vmos, pues, probr que P(z) tiene l menos un ríz. Procederemos por reducción l bsurdo, suponiendo que P(z) pr todo z C. Entonces 1/P(z) es holomorf en C. Vmos ver que tmbién es cotd en C. Pr ello escribmos de modo que P(z) = ( n + w)z n. Como w = z n + 1 z n 1 + + n 1 z, w z n + 1 z n 1 + + n 1, z podemos hcer que w se rbitrrimente pequeño en l región z > R sin más que tomr R suficientemente grnde. Elijmos R de tl modo que w < n /2; entonces n + w n w n > 2, con lo que 1 P(z) = 1 n + w z < 2 n n R n pr todo z > R. Así que 1/P(z) es cotd fuer del disco cerrdo D(, R). Pero en el disco cerrdo tmbién es cotd porque se trt de un función continu en un conjunto cerrdo y cotdo, sí que 1/P(z) es cotd en todo C. Por el teorem de Liouville, 1/P(z) debe ser constnte, luego P(z) = const., lo que contrdice el hecho de que ningún polinomio de grdo n 1 es constnte. En conclusión, tiene que existir lgún z 1 C tl que P(z 1 ) =. 4.7.7. Teorem de Tylor finito Teorem 4.12. Se f(z) un función holomorf en el disco D(, R); entonces, pr todo z D(, R), donde f(z) =f() + f ()(z ) + f () (z ) 2 + + f(n) () (z ) n 2! n! + R n+1 (z)(z ) n+1, R n+1 (z) = 1 2πi f(ζ) dζ, (ζ z)(ζ ) n+1 siendo D(, R) un contorno cerrdo simple que rode los puntos y z.
64 4 Integrción en el plno complejo Dem.: Pr el z ddo y culquier ζ, escribmos 1 ζ z = 1 (ζ ) (z ) = 1 ζ Como ζ y z está en el interior de, w = z ζ 1. Si w C es tl que w 1, entonces sbemos que de donde n k= 1 n 1 w = w k = 1 wn+1 1 w, k= w k + wn+1 1 w. Hciendo w = (z )/(ζ ) en est expresión, 1 1 z = ζ n k= ( ) k z + ζ 1 1 z ζ 1 1 z. ζ ( ) n+1 z, ζ con lo que multiplicndo por 1/(ζ ) llegmos l identidd 1 n ζ z = (z ) k (ζ ) + 1 ( ) n+1 z. k+1 ζ z ζ k= Multiplicndo por f(ζ)/2πi e integrndo sobre, 1 2πi f(ζ) n ζ z dζ = (z ) k 1 2πi k= + (z ) n+1 1 2πi f(ζ) dζ (ζ ) k+1 f(ζ) dζ, (ζ z)(ζ ) n+1 y plicndo l fórmul integrl de Cuchy pr f(z) y sus derivds, e identificndo R n+1 (z), obtenemos l fórmul de Tylor.