APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO

FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición límite lterl de un función en un punto...4 3.. Propiedd:...5 4. Límite infinito en un punto:...7 5. Tiposde límites...7 5.. Límites infinitos en un punto:...7 5... Límites finitos en el infinito:...8 5.3. Límites infinitos en el infinito:...9 6. Asíntots Oblicus...9 7. OPERACIONES CON LÍMITES...9 7.. Límite de l sum...9 7.. Límite del producto... 7.3. Límite del cociente... 7.4. Límite eponencil... 8. Operciones con epresiones infinits... 9. INDETERMINACIONES.... Cálculo de límites..... INDETERMINACIÓN..... INDETERMINACIÓN....3. INDETERMINACIÓN /....4. INDETERMINACIÓN /....5. INDETERMINACIONES...3.6. LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS...3. Función continu en un punto y en un intervlo...3.. Continuidd en un punto...3.. Continuidd en un intervlo bierto...4.3. Continuidd en un intervlo cerrdo...4.4. TEOREMA:...4.5. TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO...4.6. TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN...5. Operciones con funciones continus...5.. TEOREMA:...5 3. Discontinuiddes...6 3.. TIPOS DE DISCONTINUIDADES...6 4. EJEMPLOS...8

FUNCIONES.Límites y continuidd. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES El concepto de límite en Mtemátics tiene el sentido de lugr hci el que se dirige un función cundo el vlor de l vrible independiente tiende hci un determindo punto o en el ± Vemos un ejemplo: Consideremos l función dd por l gráfic de l figur y fijémonos en el punto situdo en el eje de bsciss: Qué ocurre cundo nos cercmos l punto moviéndonos sobre el eje? Tomemos lgunos vlores como,,. Vemos en l figur que en este cso ls imágenes de dichos puntos sobre l curv, f( ), f( ), f( ) se cercn su vez un vlor situdo en el eje y, el vlor y 3. Si nos cercmos por l otr prte, es decir, con vlores como 9, 99, 999 en este cso ls imágenes f( 9), f( 99), f( 999) se cercn tmbién l mismo vlor, y 3. Concluimos que el límite de l función f() cundo nos cercmos es 3, lo cuál epresmos con Intuitivmente: El límite de un función en un punto es el vlor en el eje OY l que se cerc l función, f(), cundo l se cerc, en el eje OX dicho punto. Sin embrgo l epresión mtemátic riguros de límite es lgo más complej: 3

FUNCIONES.Límites y continuidd. Definición límite de un función en un punto Dd un función f() y un punto, se dice que el límite de f() cundo se cerc es L, y se epres como: > f ( ) L Si Prtodo vlor >, eiste δ > tl que siempre que < δ, entonces f() L < "El límite de f de cundo tiende es igul L si y sólo si pr todo número rel ε myor que cero eiste un número rel δ myor que cero tl que si l distnci entre y es menor que δ, entonces l distnci entre l imgen de y L es menor que ε uniddes" Lo que viene epresr est formulción mtemátic es que si está suficientemente cerc de, entonces su imgen f() tmbién está muy próim L. En l práctic en muchs ocsiones es necesrio clculr los llmdos límites lterles, que como recordremos se definen de l siguiente form: Definición: 3. Definición límite lterl de un función en un punto Se define el límite lterl por l derech de de l función f(), y se epres como: >. f ( ) l límite l que se cerc f() cundo se cerc y tom vlores myores que De igul modo, el límite lterl por l izquierd de de l función f() se epres como: > f ( ) y se define como el límite l que se cerc f() cundo se cerc y tom vlores menores que. Ejemplo 4

FUNCIONES.Límites y continuidd si f ( ) si > > > f ( ) 4 f ( ) 3 No eiste f ( ) > 3.. Propiedd: Pr que un función f() teng límite en es necesrio y suficiente que eistn mbos límites lterles y coincidn, es decir: > f ( ) f ( ) f ( ) > > Ejemplo: 3.- Aplicndo l definición de límite, probr que: > 3 si ε > > tl que si < f()- <ε 3 Si 3 4 < ε < ε < ε < ε Luego bst tomr Solución: 3 δ ε pr que si < < ε (3 ) 4 Significque pr todo ε > eiste δ > tl que si < - < δ entonces (3 )-4 < ε 5

FUNCIONES.Límites y continuidd Puesto que l elección de δ depende de ε, es necesrio estblecer un relción entre los vlores bsolutos. (3 )- 4 y - 3-3 3-3 3 - De tl mner, pr cd ε > ddo, se puede tomr δ ε /3. Esto es porque < - < δ entonces 3 - <ε > - < ε /3 δ ε/3 Implic que 3 - < 3 (ε/3 ) 3.-Demostrr que 3 Análisis preinr. Se un número positivo culquier ddo. Se debe hllr un tl que: Si, entonces () Pr ello, considere inicilmente l desiguldd de l derech de (). (fctorizndo) (simplificndo, puesto que - ) () Comprndo l desiguldd del ldo izquierdo de () con l desiguldd (), se puede ε escoger (culquier vlor menor funcion). Prueb forml. Ddoε >,eisteδ ε >, tl que, 6

FUNCIONES.Límites y continuidd 4. Límite infinito en un punto: (A prtir de hor usremos l notción mtemátic pr hcer más cort l definición). 5. Tiposde límites 5.. Límites infinitos en un punto: En l situción del dibujo, se dice que el límite cundo se cerc por l derech de es, pues medid que l se cerc, l función se hce cd vez myor: > f ( ) Se dice que hy un síntot verticl de l función, es síntot es l rect 7

FUNCIONES.Límites y continuidd (de igul form se puede definir cundo nos cercmos por l izquierd. Intent hcer el dibujo) De igul modo se define el límite cundo nos cercmos (por l derech o por l izquierd).(dibuj el que flt) Puede ocurrir que uno de los límites lterles se finito y otro infinito, o culquier combinción entre ellos, por ejemplo:en l figur se cumple que: > > f ( ) f ( ) y 5... Límites finitos en el infinito: Se dice que un función tiene límite b cundo tiende cundo l función se cerc b cundo l se hce cd vez myor, es decir: > f ( ) b Gráficmente: En este cso el límite es 4 8

FUNCIONES.Límites y continuidd cundo tiende. Se dice que yb es un síntot horizontl de l función 5.3. Límites infinitos en el infinito: Aprece este cso cundo si tiende l función se hce cd vez myor o menor (lo mismo si tiende ). Un ejemplo gráfico de este tipo de límites serí: En este cso: > f ( ) (Intent dibujr otros csos diferentes). > f ( ) pr todo A > eiste B > / pr todo <B f() > A. 6. Asíntots Oblicus Un rect y m n es un síntot oblicu de l función f() cundo eisten y son finitos los límites: > f ( ) m y f ( ) m n > Ls síntots horizontles son un cso prticulr de ls oblicus pr el cso en que m 7. OPERACIONES CON LÍMITES 7.. Límite de l sum El límite de un sum es igul l sum de los límites de cd término, siempre que estos límites sen finitos. f ( ) b,y g( ) c > f ( g( ) b c > > 9

FUNCIONES.Límites y continuidd Si f ( ) b y g ( ) > > f ( g( ) > Si f ( ) b y g ( ) > > > f ( g( ) Si f ( ) y g ( ) > > f ( g( ) > Cundo f ( ) y > > g ( ) el f ( ) g( ) no puede determinrse, > se dice que es INDETERMINADO de l form. 7.. Límite del producto f ( ) b y g( ) c > f ( ) g( ) bc > > f ( ) b(b ), g ( ) > > > f ( ) g( ) Si b y > g ( ) > INDETERMINACIóN de l form f ( ) g( ) no puede determinrse. Se dice que es un 7.3. Límite del cociente f ( ) b, g( ) c (c distinto de ) > > f ( ) > g( ) b c Si f ( ) y g( ) > > INDETERMINADO de l form /. Si > f ( ) > g ( ) INDETERMINADO de l form inf/inf. > > f ( ) no puede determinrse. Se dice que es g ( ) f ( ) no puede determinrse. Se dice que es g ( ) 7.4. Límite eponencil Cso : f ( ) b, g( ) c (c ) > > > g( ) f ( ) b c Cso : f ( ) b, g( ) > > g( ) f ( ) > Cso 3: f ( ) b,(b>) g ( g( ) ) f ( ) > > > Cso 4: f ( ) b,(b>) g ( g( ) ) f ( ) > > >

FUNCIONES.Límites y continuidd Si -> f() y -> g(), -> f() g() no puede determinrse. Se dice que es INDETERMINADO de l form Si -> f() inf y -> g(), -> f() g() no puede determinrse. Se dice que es INDETERMINADO de l form inf. Si -> f() y -> g() inf, -> f() g() no puede determinrse. Se dice que es INDETERMINADO de l form inf. 8. Operciones con epresiones infinits ( ) l ( ) ( ) ( ) l ( ) ( ) ( ) l ± l ± si ± ± ± l 9. INDETERMINACIONES Ls indeterminciones serán pues ( ) ( ± l) ± ( ) ( ) ( ) ( ± l) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l > ( ) ( ) ( l) ( l) < l < l l ( ) ( ) l l ( ) ( ). Cálculo de límites... INDETERMINACIÓN En l myorí de los csos bst con efectur ls operciones indicds. Ejemplo.-

FUNCIONES.Límites y continuidd En otros csos, sobre todo en quellos en que precen rdicles, bst con multiplicr y dividir por l epresión rdicl conjugd. Ejemplo.-.. INDETERMINACIÓN En l myorí de los csos bst con efectur ls operciones indicds. Ejemplo.-.3. INDETERMINACIÓN / Cundo solo precen funciones rcionles, bst con descomponer fctorilmente el numerdor y el denomindor. Ejemplo.- 3 ) ( ) ( ) )( ( ) )( ( 3 En quellos csos en que precen funciones irrcionles (rdicles), bst con multiplicr y dividir por l epresión rdicl conjugd. Ejemplo.- ) ( ) (.4. INDETERMINACIÓN / En l myorí de los csos bst con dividir el numerdor y denomindor por l myor potenci de del denomindor. Ejemplos.-

FUNCIONES.Límites y continuidd.5. INDETERMINACIONES Pr determinr estos límites tendremos en cuent que: de donde result que: pudiendo precer otrs indeterminciones, que resolveremos por los métodos nteriores o por métodos que prenderemos en tems posteriores. En el cso de l indeterminción podemos plicr con myor fcilidd l siguiente iguldd: Aplicr l iguldd nterior l resolución del siguiente límite:.6. LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. En lgunos csos podemos utilizr un límite muy conocido, que es: Aplic lo nterior pr resolver los siguientes límites: (Us l fórmul del sen(/)) En los csos nteriores puede ocurrir que plicndo lo dicho nteriormente no podmos resolver l indeterminción. Estos csos, l igul que en el prtdo E), se resolverán en los tems siguientes plicndo l Regl de L'Hôpitl.(º BACHILLERATO). Función continu en un punto y en un intervlo... Continuidd en un punto Diremos que l función y f() es continu en si: Eiste f(), es decir, f() está definid en. 3

FUNCIONES.Límites y continuidd Eiste el f ( ). Ambos vlores coinciden, es decir f ( ). Si tenemos en cuent l definición de límite, podemos obtener l siguiente definición equivlente:.. Continuidd en un intervlo bierto Diremos que y f() es continu en el (,b) si es continu en cd uno de los puntos del intervlo bierto (,b). Diremos que y f() es continu por l derech en si f ( ) f ( ). Diremos que y f() es continu por l izquierd en si f ( ) f ( )..3. Continuidd en un intervlo cerrdo Diremos que y f() es continu en el [,b] si: y f() es continu en el intervlo bierto (,b). y f() es continu por l derech en. y f() es continu por l izquierd en b..4. TEOREMA: Si y f() es continu en eiste el f ( ).(L demostrción es inmedit) Sin embrgo, el teorem recíproco no es cierto en generl. Como ejemplo comprobrlo pr:.5. TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO Se yf() un función continu en siendo f() distinto de eiste un entorno de en el que los vlores de f() tienen el mismo signo que f(). Demostrción: Supongmos que f()> (si fuese negtivo, se rzonrí de modo similr). f () Tomemos. ε Por l continuidd de yf() en se tiene que: 4

FUNCIONES.Límites y continuidd Es decir: Por lo tnto: f()>. (Como se querí demostrr).6. TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN Si y f() es continu en y f() está cotd en un cierto entorno de. Demostrción: Tomemos ε >. Por l continuidd de y f() en se tiene que: de modo que ( f ( ), f ( ) ) es un intervlo cotdo, por lo tnto yf() está cotd en el entorno (, ) de.. Operciones con funciones continus. Sen f() y g() dos funciones continus en, se tiene entonces que: f ( ) ± g( ) es continu en. f ( ) g( ) es continu en. f ( ) g( ) es continu en si g() es continu en suponiendo que f()> (pr que teng sentido l potenci)... TEOREMA: Si f() es continu en y g() es continu en yf() ( gof )( ) es continu en. Demostrción: De lo dicho nteriormente result que: EJEMPLO :L función f ( ) es continu en el punto 3? 5

FUNCIONES.Límites y continuidd Vemos si se cumplen ls tres condiciones nteriores:. f 3 ( ) 5 3 3 3. f ( 3) 3 5 3 3. f ( ) f ( 3) 3 Por tnto, f() es continu en el punto 3. Dd l función f ( ), estudir l continuidd de dich función en. Vemos si se cumplen ls condiciones necesris: ( ) ( ) ( ) f ( ) no eiste, pues se nul el denomindor. El ite y f() no son igules porque f() no eiste y, en consecuenci, no se pueden comprr. Por tnto, l no estr definid l función en el punto no podemos hblr de l continuidd en dicho punto. 3. Discontinuiddes. Se dice que un función y f() es discontinu en si no es continu en dicho vlor de, es decir, no cumple lgun de ls tres condiciones de continuidd. 3.. TIPOS DE DISCONTINUIDADES A) Evitble: Cundo eiste el f ( ) pero no coincide con el vlor de f() por un de ests dos rzones, son distintos los vlores o no eiste f(). f () L O B) De slto: Cundo eiste el límite por l derech y por l izquierd (siendo mbos finitos) pero no coinciden. 6

FUNCIONES.Límites y continuidd C) Asintótic: Cundo lguno de los límites lterles (o mbos) no es finito. Puede ser sintótic por l derech, por l izquierd o por mbos ldos. D) Esencil: Cundo no eiste lguno de los límites lterles (o mbos). Puede serlo por l derech, por l izquierd o por mbos ldos. Si y f() tiene un discontinuidd evitble en, llmremos verddero vlor de l función en l f ( ). Dicho vlor es el que convierte l función en continu. Si y f() tiene un discontinuidd de slto en, llmremos slto de l función en l vlor. 7

FUNCIONES.Límites y continuidd 4. EJEMPLOS Indeterminción inf/inf: Indeterminción inf - inf: Indeterminción /: 8

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