INSTITUCION EDUCATIA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS. NOTA DOCENTE: HUGO HERNAN BEDOYA TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO ECHA N DURACION 1 6 EBRERO 22 /2016 3 UNIDADES INDICADORES DE DESEMPEÑO 1. Identifica y construye proposiciones simples y compuestas, para reconocer su valor de verdad en situaciones propuestas. 2. Presenta sus tareas y trabajos a tiempo en forma ordenada. 3. Participa en la clase y permite con su buen comportamiento el normal desarrollo de la misma. LOGICA Ciencia que estudia las relaciones existentes entre las proposiciones con el fin de proporcionar tres características del razonamiento lógico: que sea conciso, preciso y claro. La lógica ofrece métodos que enseñan cómo elaborar proposiciones, evaluar su valor de verdad y determinar si las conclusiones se han deducido correctamente a partir de proposiciones supuestas, llamadas premisas. PROPOSICIONES Es una oración declarativa que puede tomar el valor de verdadero o falso pero no ambos a la vez. La proposición es el elemento esencial de la lógica para la matemática. En efecto sirve para la simplificación de argumentos complicados creando un lenguaje artificial en donde se establece un conjunto de reglas claras, bien definidas, sin presentar ambigüedades ni vaguedades del lenguaje corriente. Las proposiciones se representan simbólicamente mediante el uso de letras minúsculas del alfabeto tales como p, q, r, s, t, x, y, z. las cuales reciben el nombre de letra o variables proposicionales. Ejemplos: p: La luna es un satélite natural de la tierra. q: El dos es un número primo. r: 4+3 = 7 s: 3 2 + 4 2 = 5 2 t: New York es llamada la capital del mundo 1ES DE NOTAR QUE EXISTEN ENUNCIADOS QUE NO SON PROPOSICIONES, PORQUE NO ES POSIBLE ESTABLECER SU ALOR DE ERDAD. Ejemplos: p: Qué hora es? q: Millonarios será el próximo campeón! r: Mañana lloverá t: ojalá que pase el examen de matemáticas w: x+7 = 18 CLASES DE PROPOSICIONES: Las proposiciones se pueden clasificar en proposiciones simples y compuestas. Proposiciones simples: Son aquellas oraciones que carecen de conectivos lógicos. Ejemplos: p: La lluvia es un fenómeno natural q: 5 es el inverso aditivo de -5 r: Bolivia no tiene costas marítimas 1
CONECTIOS LOGICOS Son términos que sirven para enlazar proposiciones simples, estos son: la conjunción, disyunciones, la negación el condicional, bicondicional. Conectivo símbolo Lectura Ejemplo Conjunción Ʌ Y Leidy baila y canta Disyunción inclusiva ó Juan estudia ingeniería ó Patricia estudia medicina Disyunción excluyente. ó. abián vive en Neiva.ó. Bogotá Negación No 5 no es un número par Condicional Si,, entonces, Si comprendo lo explicado en clase entonces estudiar gano el examen. Bicondicional Si solo Dos ángulos son congruentes si y solo si tienen la misma medida. Proposiciones compuestas: Son aquellas proposiciones se forman al combinar proposiciones simples con los conectivos lógicos o términos de enlaces. Ejemplos a. p: yo estudio q: Apruebo el semestre p q: si estudio entonces apruebo el semestre. b. s: un triángulo es equilátero t : un triángulo que tiene los tres lados iguales. S t: un triángulo es equilátero si y solo si tiene sus tres lados iguales. c. p: Gloria canta q: Luisa es estudiante universitaria. p Ʌ q: Gloria canta y Luisa es estudiante. TABLAS DE ERDAD PARA LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS LA CONJUCIÓN (Ʌ); DISYUNCIÓN ( ) ; LA NEGACION( ); EL CONDICIONAL O IMPLICACION ( ) Y EL BICONDICIONAL( ) LA CONJUCIÓN (Ʌ): Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición compuesta p Ʌ q se denomina conjunción. Ejemplo 1: Para determinar la tabla de verdad, para la conjunción. Analizaremos la siguiente proposición. a. p: 8 es un número par (v) q: 5 es un número primo (v) p Ʌ q: verdadero b. p: 8 no es un número par () q: 5 es un número primo (v) p Ʌ q: falso Conclusión: La conjunción es verdadera, cuando las dos proposiciones son verdaderas, en los demás casos es falsa. q pʌq p v q p q p q p 2
NEGACIÓN: Sea p, una proposición simple, se define la negación mediante la proposición compuesta no p, simbolizada por p. Su tabla de verdad se puede resumir así: Una proposición simple, se puede negar de varias maneras. P p Ejemplos: Negar las siguiente proposición: 1. p: el 7 es un número primo p: NO es cierto que el 7 sea un número primo p: el 7 es un número compuesto p: el 7 NO es un número compuesto CONSTRUCCION DE TABLAS DE ERDAD En la construcción de tablas de verdad debemos tener los siguientes hechos: p p 1. Determinar el número posibles de combinaciones. Si hay n proposiciones, el número será n 2 2. Se debe procurar respetar el orden de los valores de verdad dentro de la tabla así por ejemplo: Si hay tres proposiciones, el número de combinaciones serán 2 3 = 8; por lo tanto para primera proposición serán 4 verdaderas y 4 falsas; para la segunda proposición 2 verdaderas y 2 falsas y así sucesivamente, para la tercera: una verdadera y la otra falsa y así sucesivamente. 3. Si en la última casilla o columna (valor de verdad de la tabla) son todas verdaderas, se dice que la proposición compuesta es una tautología. Ejemplos: 1. Construir la tabla de verdad para: p q ( q p) p q p q p q p q p q ( p q) 2. Construir la tabla de verdad: r s q ( s q) r Pon atención a la solución del siguiente ejercicio A B q r s q r r Ʌ s (r Ʌ s) q sʌ q sʌ q r A B 1. Si la proposición ((p Ʌ q) v r) (p v p) es verdadera y r =, determina el valor de verdad de p y q OBSERACIONES: En la última columna de una tabla de verdad pueden suceder 3 casos: 1. Si todos los valores son ERDADEROS, se dice que la proposición es TAUTOLOGÍA. 2. Si todos los valores son ALSOS, se dice que la proposición es una CONTRADICCION. 3. Si aparecen valores de verdaderos y falsos, se dice que la proposición es una INDETERMINACION. LEYES DEL ALGEBRA DE PROPORCIONES NOMBRE CONJUNCION(Ʌ) DISYUNCION() IDEMPOTENCIA pʌp = p P v p = p ASOCIATIA (pʌq)ʌr = pʌ(qʌr) (p v q) v r = p v ( q v r) CONMUTATIA pʌq = qʌp P v q = q v p 3
DISTRIBUTIA pʌ(qvr) = (pʌq)v(pʌr) P v (q Ʌ r) = (p v q)ʌ(p v r) IDENTIDAD pʌv = p pʌf = f P v = P P v = COMPLEMENTO p Ʌ-p = -(-p)=p p v -p = v -v = ò - = DE MORGAN -(pʌq) = -pv-q -(pvq) = -pʌ-q ARGUMENTOS LOGICOS Un argumento lógico es un razonamiento que parte de una serie de enunciados llamados premisas se puede llegar a un resultado llamado CONCLUSION. Se dice que el argumento es válido si se asumen de todas las premisas son verdaderas por lo tanto la conclusión también es verdadera. Si un razonamiento no es válido se dice que es un sofisma o falencia. EJEMPLOS: erificar la validez de los siguientes argumentos. 1. Demuestre la validez del siguiente argumento P 1 : p q. P 2 : q r q: p r. Demostración P 1 : p q P 2 : q r P 3 : q r (ley de la implicación). q: p r (ley del silogismo). 2. Demostrar que (p q) Ʌ (p q) q Demostración ( q p) Ʌ (q p) ley conmutativa q (pʌ p) ley distributiva q O ley de complemento q ley de identidad INERENCIAS LOGICAS Para la definición de inferencias lógicas es necesario tener la capacidad y precisión de dos conceptos básicos: razonamiento y demostración. En primer lugar, razonamiento es el proceso que se realiza para obtener una demostración. En consecuencia la demostración es el encadenamiento lógico de proposiciones de tal forma se obtenga una conclusión. En este orden de ideas, las inferencias lógicas son las conclusiones obtenidas después de realizar un razonamiento. Este razonamiento se considera válido si cumple los siguientes requisitos: 1. Las premisas iniciales deben ser verdaderas 2. durante el proceso de deducción las premisas deben cumplir las leyes de la lógica. Ahora bien, las inferencias lógicas tienen una representación visual de la siguiente manera. P q Premisa conclusión Entre las inferencias lógicas más utilizadas en las matemáticas están: EL MÉTODO INDUCTIO: Es un procedimiento de razonamiento e investigación, en el que, comenzando por los datos, se acaba llegando a formalizar una teoría; es decir se parte de lo particular a lo general. La secuencia metodológica propuesta por los inductivistas se ajusta al llamado METODO CIENTIICO, partir en toda investigación con: 1. Observación y registro de los hechos 2. Análisis de lo observado. 3. Establecimiento de definiciones claras de cada concepto obtenido. 4. Clasificación de la información obtenida. 4
5. ormulación de los enunciados universales inferidos del proceso de investigación que se ha realizado. RAZONAMIENTO DEDUCTIO: Es inferir a partir de un principio general. Por tanto, el razonamiento deductivo es una prueba de la habilidad para razonar a partir de un principio general hasta sus implicaciones en una situación específica. Este tipo de pregunta da la medida de la habilidad para leer y razonar. Por ejemplo cuando analizamos los inventarios o rendiciones de cuentas. LA DEMOSTRACION La Lógica de la Demostración es una de las pocas ramas de las Matemáticas que han trascendido a través del desarrollo de la humanidad y tiene como objetivo: CONIERE A LOS CONOCIMIENTOS MATEMATICOS, LA CATEGORIA DE ERDADES ABSOLUTAS EN SU PARTICULAR CONTEXTO. Esto significa que todo conocimiento matemático que se desarrolla y por consecuencia se enuncia como nuevo a medida que la ciencia avanza, forzosamente debe caber en el paquete cognoscitivo que en su momento es aceptado como tal y debe avenirse a las reglas del juego que en su momento están establecidas. METODO DIRECTO Parte del consecuente o Hipótesis y empleando definiciones, propiedades y/o conocimientos previamente demostrados, forma una cadena de inferencias para llegar a una tesis o conclusión: Es el Método de Demostración por excelencia de la Matemática. Se dice que es un método constructivista, ya que el conocimiento se construye mediante la demostración. El razonamiento es una Tautología. Es decir, su Tabla de erdad siempre es erdadera independientemente de los valores que adopten las proposiciones. Ejemplos: Utilizando el Método Directo de demostración, demuestre las siguientes proposiciones: a. p: La suma de dos números pares es un número par. b. q: La suma de dos números impares es un número par. EL CONTRAEJEMPLO Consiste en presentar un ejemplo que niegue la aseveración que se enuncia. Estrictamente hablando este Método no es un Método para demostrar que ALGO es verdadero, sino para evidenciar que ese ALGO es falso mediante el fácil recurso de dar un ejemplo que invalida el conocimiento, de ahí su nombre de Contraejemplo. EJEMPLOS: p 1 : Todas las aves vuelan vuela p2: Ningún mamífero P 3 : Todos los relojes son de manecillas Nota: Es de notar que aparte de los dos métodos de demostración analizados, encontramos el método Indirecto (reducción al absurdo) y la inducción matemática entre otros. 1. Sean p,q, y r,y las proposiciones siguientes: ACTIIDAD p: está lloviendo'' q: el sol está brillando'' r: hay nubes en el cielo''. Traduzca los siguientes enunciados a notación lógica, utilizando p, q, r y conectivos lógicos. a. Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo. b. Si no está lloviendo, entonces el Sol no está brillando y hay nubes en el cielo. 5
c. El Sol está brillando si y sólo si no está lloviendo. d. Si no hay nubes en el cielo, entonces el Sol está brillando. 2. p, q, y r como en el ejercicio anterior. Traduzca las siguientes proposiciones a oraciones en español. a. (pʌq) r c. (p r) q b. (q v r) d. (p (q v r)) 3. Obtén la tabla de verdad de las siguientes expresiones proposicionales, además decir cuáles de ellas son tautologías, contradicciones o indeterminaciones. a. (p Ʌ q) v p v q e. p p b. (p Ʌ q) v q f. p Ʌ ( p q) q c. (p Ʌ q ) v ( p Ʌ q) g. p ( p q) d. (p Ʌq Ʌ r) v ( p Ʌ q r) v ( p Ʌ q Ʌ r) h. [(p q) Ʌ(q r)] (p r) 4. Si la proposición (pvq) (r Ʌp) es falsa y q es ; hallar el valor de p y r 5. Si la proposición (pvq) ((-q Ʌ r) s) es falsa y p es ; hallar el valor de verdad de q ; r y s 6. Usando los datos proporcionados. a. (p Ʌ q) = v y ( q Ʌ r) = encuentra el valor lógico para: ( r p) ( r q) b. (p q) = y ( r Ʌ p)= encuentra el valor lógico para: ( pʌ r) y p r c. (p q) es falsa encuentra el valor lógico para: ( p v q) q y ( p Ʌ q) p d. p =,q = y r = ; encuentra el valor lógico para: ( p Ʌ q) r ( p v q) r ( p Ʌ r) ( q Ʌ p) 7. Aplicando el Método Directo demostrar la veracidad de las siguientes proposiciones: a. p: El producto de dos números pares es un número par. b. q: El producto de dos números impares es impar. 8. Aplicando el Método de contraejemplo demostrar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a. p: Todo cuerpo que se deje a la libre acción de la gravedad tiende a caer. b. q: todos los números primos son impares c. r: la suma de dos números siempre da un resultado mayor que alguno de los números considerados. d. Todas las estudiantes de 6 tienen transporte escolar. e. Todos los balones solo tienen aire en su interior. 9. Juan, Pedro y José tienen cada uno dos oficios, entre ellos hay Chofer, Tabernero, Músico, Pintor, Barbero y Jardinero; a que se dedica cada uno sabiendo que: a. El Chofer se burló del Músico porque tiene el pelo largo. b. El Músico y el Jardinero suelen ir a pescar con Juan. c. El pintor le compro al Tabernero una botella de ron. d. El Chofer cortejaba a la hermana del Pintor. e. Pedro le debía $ 5000 al Jardinero. f. José le gano a Pedro y al Pintor en el juego de billar. Una de las profesiones que practica Juan, es?: "Genio es aquel que, en todo instante, sabe plasmar en hechos sus pensamientos" Teófilo Gautier 6