REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES a. Dominio de definición: D = Dom f() = { R eiste f()} b. Puntos de corte con los ejes: Con el eje OX (abscisas): f() = 0 : (,0). Ninguno, uno o más puntos. Con el eje OY (ordenadas): f(0) = y, (0,y). Ninguno o un punto. c. Asíntotas Asíntotas verticales: La recta = a es asíntota vertical si algún ite lateral lo es. f ( ), o a Asíntotas horizontales: La recta y = b es asíntota horizontal si f ( ) b R o bien f ( ) b R. Asíntotas oblicuas: La recta y = m + n es una asíntota oblicua, cuando: m f ( ) R y n f( ) m R d. Crecimiento, decrecimiento. Etremos relativos Si para todo I D f () > 0 f es creciente en I. Si para todo I D f () < 0 f es decreciente en I. Si f ( 0 ) = 0, o bien f no es derivable en 0 D, y f () cambia de signo a izquierda y derecha de 0, en 0 hay un etremo relativo.
Representación gráfica de funciones. f () 4 a) Dominio: R, es continua y derivable en R b) Puntos de corte con los ejes i) = 0 y = 0, (0, 0) 4 ii) y = 0 0 0 0 (0, 0),0,, 0 c) Asíntotas: No tiene por ser una función polinómica. d) Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos: 0 y 4 0 Signo f + + f es: Creciente Decreciente 0 Creciente Decreciente Má. Mín. Má. Mínimo relativo en el punto (0,0), y máimos relativos en los puntos,,, 4 4
. f () 6 9 a) Dominio: R, es continua y derivable en R b) Puntos de corte con los ejes i) = 0 y = 0, (0,0) ii) y = 0 6 9 0 6 9 0 0 (0, 0), 0 c) Asíntotas: No tiene por ser una función polinómica. d) Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos: y 9 0 4 0 Signo f + + f es: Creciente Decreciente Creciente Má. Mín. La función tiene un mínimo relativo en el punto: (, 4), y un máimo relativo en el punto (, 0)
. f () a) Dominio: R {0} b) Puntos de corte con los ejes: no tiene. c) Asíntotas i) Asíntotas verticales: = 0 ii) Asíntotas Horizontales: iii) Asíntotas oblicuas: y =. No tiene d) Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos: y 0 0 Signo f + + f es: crece decrece 0 decrece crece Máimo mínimo Tiene un máimo en el punto: (, ) y un mínimo en (, ) g) Gráfica:
f () 4. ( ) a) Dominio: R {} b) Puntos de corte con los ejes: (0, 0). c) Asíntotas i) Asíntotas verticales: = ii) Asíntotas Horizontales:. No tiene ( ) iii) Asíntotas oblicuas: m= > y = d) Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos: 0 y 0 ( ) 0. Dom f () R {} ( ) Signo f + + + f es: crece decrece crece 0 crece Máimo No def. Tiene un máimo en el punto: (, 7/4) h) Gráfica:
5. f () 4 a) Dominio: R {} b) Puntos de corte con los ejes: (0, 0). c) Simetrías: f ( ) f () impar, simétrica respecto del origen ( ) 4 4 i) Asíntotas verticales: 4 4 4 4 ii) Asíntotas Horizontales: 0 y = 0 4 iii) Asíntotas oblicuas: No tiene e) Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos: 4 y 0 4 0 4 4 R. No tiene 4 Signo f f es: Decrece Decrece Decrece f) Concavidad, conveidad, puntos de infleión: 4 y 0 ( ) 0 4 0 0 R Signo f + + f es: Convea Cóncava 0 Convea Cóncava Punto de infleión Tiene un punto de infleión en el punto (0, 0) i) Gráfica:
6. f () a) Dominio: R {0} 4 b) Puntos de corte con los ejes: i) = 0 no definida (0 Dom f) 4 ii) y = 0 4 0 (, 0), (, 0) ( ) 4 c) Simetrías: f ( ) f () f no tiene. ( ) 4 0 i) Asíntotas verticales: 0 4 0 4 ii) Asíntotas Horizontales: no tiene iii) Asíntotas oblicuas: y = e) Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos: 8 y 0 8 0 8 8. Signo f + + f es: Crece 0 Decrece Crece No definida Mínimo Tiene un mínimo en el punto: (, 0) f) Concavidad, conveidad, puntos de infleión: 4 y 0 4, no tiene puntos de infleión. Signo f + + f es: Cóncava 0 Cóncava j) Gráfica:
7. f () a) Dominio: R {0} b) Puntos de corte con los ejes: i) = 0 no definida (0 Dom f) ii) y = 0 0 0,, 0 c) Simetrías: f ( ) f () f no tiene. i) Asíntotas verticales: 0 0 0 ii) Asíntotas Horizontales: no tiene f () iii) Asíntotas oblicuas: m no tiene e) Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos: y 0 0. Signo f + f es: Decrece 0 Decrece Crece No definida Mínimo Tiene un mínimo en el punto: (, ) f) Concavidad, conveidad, puntos de infleión: 4 4 y 0 4 0 Signo f + + f es: Cóncava Convea 0 Cóncava Pto. Infleión No definida Punto de infleión en (, 0)
8. f () a) Dominio: R b) Puntos de corte con los ejes: (0,0) c) Simetrías: f ( ) ( ) f () f es impar y por lo tanto es simétrica ( ) respecto al origen de coordenadas. i) Asíntotas verticales: = y = ii) Asíntotas Horizontales: No tiene iii) Asíntotas oblicuas: y = e) Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos: 4 0 y 0 0 Signo f + + f es: Crece decrece decrece 0 decrece decrece crece Máimo no def. No def. mínimo Tiene un máimo en el punto:, y un mínimo en f) Concavidad, conveidad, puntos de infleión: 6 0 y 0 ( 6) 0 R, Signo f + + f es: Convea Cóncava 0 Convea Cóncava Pto. Infle. Tiene un punto de infleión en el punto: (0, 0) g) Gráfica:
9. f () a) Dominio:,, b) Puntos de corte con los ejes:,0,,0 c) Simetrías: f ( ) f () i) Asíntotas verticales: No tiene ii) Asíntotas horizontales: No tiene iii) Asíntotas oblicuas: y = m + n, es simétrica respecto del eje OY. m, n 0 y m, n 0 y e) Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos: y 0 0 Dom f.,, Dom f =, f es decreciente En el intervalo f () 0 f es creciente En el intervalo, f () 0 f) Concavidad, conveidad, puntos de infleión:, f () 0, Dom f =,, la derivada segunda es negativa en todo su dominio es siempre convea g) Gráfica:
0. f () a) Dominio:, b) Puntos de corte con los ejes:,0,,0 c) Simetrías: f ( ) f (), es simétrica respecto del eje OY. i) Asíntotas verticales: No tiene ii) Asíntotas horizontales: No tiene ya que el dominio de f =, iii) Asíntotas oblicuas: No tiene e) Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos: y = 0. Dom f = (, ) f es creciente En el intervalo, 0 f () 0 0 0 f es decreciente En el intervalo, f () Tiene un máimo en el punto: (0, ) f) Concavidad, conveidad, puntos de infleión: f () derivada segunda es negativa en todo su dominio es siempre convea. g) Gráfica: 0, Dom f =(, ), la
. f () e a) Dominio: R {0} b) Puntos de corte con los ejes: i) = 0 no definida (0 Dom f), no corta al eje de ordenadas (Y). ii) y = e 0 no corta al eje de abscisas (X). / c) Simetrías: f ( ) e e f () f no tiene. / e i) Asíntotas verticales: / e e no tiene 0 0 / 0 e e = 0 / ii) Asíntotas Horizontales: e e y = 0 e) Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos: e y 0. No tiene máimos ni mínimos. Signo f f es: decrece 0 decrece No definida e ( ) f) Concavidad, conveidad, puntos de infleión: y = 0, = / 4 Signo f + + f es: Convea / cóncava 0 Cóncava Pto. Infleión No definida Punto de infleión en (/, e ), e 0.55 g) Gráfica: / /
. ln y a) Dominio: ( 0, ) R. Continua en su dominio b) Puntos de corte con los ejes: 0 Dom f, luego no corta al eje OY f() = 0 ln = 0 =, (, 0) corte con el eje OX. c) Simetrías: No hay (Si Dom f, Dom f) ln i) Asíntotas verticales:, 0 0 ln ii) Asíntotas horizontales: 0, y 0 e) Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos: ln f () 0 ln 0 ln e En el intervalo 0,e, f () 0 f es creciente En el intervalo e,, f () 0 f es decreciente Para = e tiene un máimo relativo: e, e ln f) Concavidad, conveidad, puntos de infleión: f () 0 ln e En el intervalo En el intervalo 0,e, f () 0 f es convea. e,, f () 0 f es cóncava. Para e tiene un punto de infleión: Gráfica: e, e
. y ln( ) a) Dominio: > 0 Dom f = (, ) (, +) b) Puntos de corte con los ejes: = 0 Dom f no corta al eje de ordenadas. y = 0 ln( ) = 0 = e 0 = = = (, 0) (, 0) f ( ) ln (( ) ) ln ( ) c) Simetrías: f() = f() f es par y por lo tanto la f () ln ( ) gráfica es simétrica respecto del eje Y. i) Asíntotas verticales: ln ( ) ln 0. Asíntota = ln ( ii) Asíntotas Horizontales: ) ln 0. Asíntota = ln ( ) No tiene. f () ln ( ) iii) Asíntotas oblicuas: m = 0 No tiene e) Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos: y 0 = 0 Dom f Signo f + f es: decrece No definida crece no tiene máimo ni mínimo. f) Concavidad, conveidad, puntos de infleión: ( ) y 0 no tiene puntos de infleión. ( ) ( ) Signo f f es: convea No definida convea g) Gráfica:
4. f () e g) Dominio: R {0} h) Puntos de corte con los ejes: no tiene. i) Simetrías: f ( ) e f () no tiene e j) Asíntotas i) Asíntotas verticales: e 0 0 no tiene cuando 0 pues la función tiende a cero e e e (0 ) e 0 0 0 0 0 0 ii) Asíntotas Horizontales: e e. No tiene. f () iii) Asíntotas oblicuas: y = m + n ; m e e n e e y k) Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos: L Hop y e 0, como e 0 0 0 En el intervalo (,0) f () > 0 f es creciente En el intervalo ( 0,) f () < 0 f es decreciente En el intervalo (, ) f () > 0 f es creciente En = hay un mínimo relativo. Mínimo: (, e) l) Concavidad, conveidad, puntos de infleión: f () e 0 En el intervalo (,0) f () < 0 f es convea En el intervalo ( 0, ) f () > 0 f es cóncava e e
5. ( ) f () f () a) Dominio: R { 0 } b) Puntos de corte con los ejes: (0, ) c) Simetrías: no tiene i) Asíntotas verticales: = 0 si y 0 si ii) Asíntotas Horizontales: f () = f () = iii) Asíntotas oblicuas: no tiene e) Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos: ( ) si y 0 f () f (), Dom f = R {0}, es continua en su si f ( ) dominio, pero no es derivable en = :. La función derivada de f es: f ( ) si, 0 f (), f () 0 para todo Dominio de f si Signo de f + f es: 0 mínimo (,0) En los intervalos (,0) y (0,) la función decrece, pues f () < 0 En = tiene un mínimo relativo, f() = 0. El mínimo está en el punto (,0) En el intervalo (,+ ) decrece, pues f () > 0 f) Concavidad, conveidad, puntos de infleión: (se deja como ejercicio)
6. y ln a) Dominio: R + = (0,+) b) Puntos de corte con los ejes: No corta al eje de ordenadas pues para = 0 no está definida 0 Dom f. Como 0, ln ln 0 y por lo tanto no corta al eje de abscisas. c) Simetrías: no tiene i) Asíntotas verticales: ln 0 ii) Asíntotas Horizontales: ln (ln ) ( ) iii) Asíntotas oblicuas:y = m + n f () ln m n f () m ln LH 0 ln ya que 0, no tiene. No tiene asíntota oblicua ln e) Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos: y 0 0. y f () 0 máimo en, f () máimo en el punto,. En el intervalo (0, ) f ()> 0 f es creciente. En el intervalo (, ) f ()< 0 f es decreciente. f) Concavidad, conveidad, puntos de infleión: y 0, f () < 0 para todo Dom f la función es siempre convea. g) Gráfica: