ntonio Gonzá ález Fernánde ez

Cpcidd d y circuitos it equivlentes Antonio González Fernández Dpto. de Físic Aplicd III Universidd de Sevill Sinopsis de l presentción ntonio Gonzá ález Fernánde ez 8, A Cundo se tiene un conjunto de conductores distintos voltjes, se produce un cmpo entre ellos Los conductores se crgn, dependiendo de ls tensiones de todos ellos Ls crgs pueden relcionrse mtemáticmente con los voltjes Ests relciones se describen medinte los conceptos de cpcidd de un conductor y de un condensdor Combinndo condensdores y fuentes, puede modelrse un sistem rel medinte un circuito equivlente. A prtir del nálisis del circuito pueden resolverse diversos problems reles de prienci muy diferente

Contenidos El problem del potencil Coeficientes de cpcidd Condensdores d Circuitos equivlentes Ejemplos de utilizción ez ález Fernánde 8, Antonio Gonzá Problem del potencil: descripción generl ntonio Gonzá ález Fernánde ez 8, A 4 V 1 ρ V 3 Cundo se tiene un sistem de N conductores, y crg entre ellos, interes determinr el cmpo eléctrico que se produce. Este sistem genérico puede representr situciones físics muy diferentes. P.ej.: Un circuito it eléctrico Un vión volndo entre tierr y un nube de torment.

Problem del potencil: descripción mtemátic ntonio Gonzá ález Fernánde ez 8, A El problem se define completmente plicndo que: Entre ellos se cumple l ec. de Poisson ρ φ= ε Cd conductor es equipotencil, lo que d ls condiciones de contorno (c.c. k ( r S φ= V En el infinito el potencil se nul k 4 V 1 ρ φ r ( V 3 Crcterístics de l solución del problem del potencil 8, Antonio Gonzá ález Fernánde ez L solución no puede hllrse por simple superposición del cmpo de cd conductor como si el resto no estuvier. Un vez resuelto un problem, l ñdir un nuevo conductor, hy que empezr de nuevo Esto no signific que el cmpo no se l sum del producido por cd un de ls crgs, sino que l introducir nuevos elementos, ls crgs se redistribuyen ib en ls superficies i conductors, invlidndo ls soluciones y conocids

Efecto de l introducción de un conductor dicionl descrgdo ez ález Fernánde ntonio Gonzá 8, A Sólo dos conductores Añdiendo d un tercer conductor descrgdo Solución del problem del potencil como combinción de funciones L solución puede escribirse como un combinción linell φ=φ + V φ donde: k k k 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez φ = ρ φ ( r τ k = ( r τ ε ( r φ = SS k ( r S ( r S j k φ = 1 φ =, k k k j Es el potencil que hbrí Es el potencil que hbrí si no si estuvier l crg de hubier crg de volumen, el volumen pero todos los conductor k estuvier potencil conductores estuviern unidd d y el resto tierr tierr

Cálculo de l crg lmcend en un conductor A menudo sólo se dese conocer l crg de cd conductor Se hll plicndo l ley de Guss un superficie que envuelv cd uno 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez i Si =ε E d S S En est expresión, el cmpo eléctrico E es sum del que produce cd conductor, más el debido ρ i Cálculo de l crg prtir de l combinción de funciones 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez Sustituyendo l solución del potencil qued donde = + C Vd + V V d C d ( ( ( =ε E d S S id i i k i φ + φ S i = εi φ i ik Sk + ε φ S i k k S k ik i i Si k k kk i : es l crg inducid por l crg de volumen i = ε φ S i ds C ik es l crg que hbrí en el conductor i, cundo el k está potencil unidd y el resto tierr C Si i ik = ε φk dsi S i

Definición de los coeficientes de cpcidd S Si i Ls cntiddes C = ε φ ds ik k i se conocen como coeficientes de cpcidd Permiten expresr ls crgs en los conductores como un combinción linel de los potenciles. Se miden en frdios En form mtricil qued 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez = + V C 1 1 C11 C1 C1N V1 C1 C C N V = + N N CN1 CN CNN VN Aplicción de los coeficientes de cpcidd l cso de un solo conductor L crg vle Sólo válid pr un solo conductor = C V 1 11 1 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez Si V >, el cmpo v hci fuer y > Por tnto, C > C se conoce como cpcidd del conductor Un solo conductor, Se mide en frdios, unque su tensión V, sin crg de vlor es siempre muy pequeño volumen (ρ= No debe confundirse con l cpcidd de un condensdor

Cálculo de l cpcidd de un esfer conductor: plntemiento Se un esfer metálic potencil V. No hy más crg ni más conductores en el sistem 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez Debe resolverse l ecución de Lplce φ= ( r > R φ = V ( r = R φ ( r Por l simetrí del sistem, podemos suponer que φ φ = = φ=φ θ ϕ siendo r l distnci l centro de l esfer ( r Cálculo de l cpcidd de un esfer conductor: solución L ecución de Lplce se reduce 1 d dφ r = r dr dr con solución B φ= A + r VR r ( r R φ = > 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez El cmpo eléctrico vle L cpcidd de l esfer VR es igul E= φ= u r ( r > R r C = 4πε R y l crg Pr el cso de l Tierr (R T = 637km vle = ε E d S = 4 πε RV S C =.71mF

Coeficientes de cpcidd en un sistem de dos conductores En usenci de crg de volumen qued = C V + C V 1 11 1 1 = C V + C V 1 1 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez Si hy más de un conductor = NO Si hy más de un implic V = conductor V = NO Ej. Supongmos implic = 1 = Ej. Supongmos V 1 = 1 V1 = CV = C V C11 1 1 Coeficientes de cpcidd en un sistem de dos conductores: propieddes 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez Si V 1 =V > y V =, el cmpo v del 1 l En ese cso =ε E d S > 1 S 1 1 Por tnto, los coeficientes digonles C 11 y C son siempre positivos En el mismo cso =ε E d S < S Los coeficientes no digonles, C 1 y C 1 son negtivos Además se cumple que C 1 =C 1

Conductores en influenci totl: definición y propieddes ntonio Gonzá ález Fernánde ez 8, A Cundo tods ls línes del conductor 1 vn prr l, se cul se el voltje, se dice que el 1 está en influenci totl con el Ocurre cundo el 1 está dentro del y no hy nd más en el hueco En este cso, el conductor Si V 1 = V, V =, se cumple que ctú como un Jul de = 1 Frdy: Por tnto C 11 = C 1 No se cumple que C = C 1 (el no está en influenci totl con el 1 El interior no percibe el exterior El exterior no percibe el interior Coeficientes de cpcidd pr dos esfers concéntrics: plntemiento 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez Dos esfers: un mciz de rdio y un fin cortez de rdio b (b> Entre ells y fuer se cumple l ecución de Lplce, con ls c.c. φ ( r = = V1 φ ( r = b = V φ( r Si V 1 = V, V = En el exterior, el potencil es nulo. En el interior es de l form B φ int = A + r Imponiendo ls c.c. B B V = A+ = A+ b bv V B = A =

Coeficientes de cpcidd pr dos esfers concéntrics: 1ª column El potencil vle El cmpo eléctrico es bv 1 1 bv < r < b b r b φ= ( u r < r < b E = φ= r r > b r > b 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez L superficie S 1 solo contiene l crg de l esfer interior 4πε b =ε E d S = V 1 S 1 L primer column de l mtriz vle: C 11 1 L superficie exterior contiene l crg de ls dos esfers 1+ =ε E d S = S1 4 πε b = = V 1 4πε b 4πε b = C = Coeficientes de cpcidd pr dos esfers concéntrics: plntemiento ntonio Gonzá ález Fernánde ez 8, A Si V 1= y V =V, hy cmpo en el espcio intermedio y en el exterior. En ls dos regiones se cumple l ec. de Lplce, con ls cc c.c. φ ( r = = φ ( r = b = V φ ( r En el espcio intermedio l solución es nálog l nterior, cmbindo por b bv 1 1 φ = b r E = bv u r ( r En el exterior es el de un esfer potencil V Vb r Vb r φ= E= u r

Coeficientes de cpcidd pr dos esfers concéntrics: ª column L crg de l esfer interior es Por ello 4πε b =ε E d S = V 1 S 1 C 4πε b = 1 = C1 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez L superficie exterior contiene ls dos esfers + =ε E d S = 4πε bv 1 S 1 4πε b = 4πε bv 1 = V C 4πε b = Coeficientes de cpcidd pr dos esfers concéntrics: resumen ntonio Gonzá ález Fernánde ez 8, A Result l mtriz 4πε b C = b b Es simétric Los elementos digonles son positivos Los elementos no digonles son negtivos Al hber influenci totl C 11 = C 1 En un cso generl ls crgs en cd conductor serán 4πεb 1 = ( V1 V 4 πε b = bv V ( 1 Si lo que se conoce son ls crgs pueden clculrse los potenciles despejndo 1 V V + = + = 1 1 1 4πε b 4πεb

Propieddes de los sistems de N conductores 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez L mtriz C es En un problem generl, en usenci de crg de volumen tenemos l relción mtricil = C V 1 C11 C1 C1N V1 C1 C C N V = N CN1 CN CNN VN Simétric, C ik =C ki Los elementos de l digonl principl p son siempre positivos, C ii> Los elementos no digonles son negtivos o nulos, C ik, i k. Ejemplo: sistem de 4 conductores genérico 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez Clculndo l mtriz proximd por el método de elementos finitos (con un error inferior l 1% 9.86 9.9.. 9.88 15.945 1.565 1.75 C = C. 1.549 3.669 1.316. 1.759 1.336 4.67 El conductor 1 está en influenci totl con el. C 11 = CC 1 C es un cntidd que depende de l escl y de ε No puede hber línes que vyn del 1 l 3 o l 4. Por tnto C 31 =,, C 41=. Análogmente, C 13 =, C 14 =, y que no hy línes del 3 l 1, o del 4 l 1.

Definición de condensdor Ls crgs de ls superficies son de l mism mgnitud y signo opuesto = 1 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez Dos superficies están en influenci totl (l 1 con l y l con l 1 cundo tods ls línes de cmpo que slen de un vn prr l otr L crg en cd un es proporcionl l diferenci de potencil entre ells ( = C V V + C VV 1 11 1 1 11 1 Se dice entonces que ls dos superficies formn un condensdor Cpcidd de un condensdor: definición y propieddes 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez Se define l cpcidd de un condensdor d como 1 C = V V 1 Sólo es plicble dos superficies en influenci totl Es indiferente qué superficie llmmos 1 y cuál. 1 C = = = V V V V V V 1 1 1 En el denomindor prece l diferencii de potencil, V 1 V (pr un condensdor NO es cierto que = CV Se mide en frdios Es siempre positiv No hy que confundirl con l cpcidd de un conductor El elemento de circuito socido l cpcidd C se represent por

Cpcidd de un condensdor esférico Pr dos superficies esférics concéntrics 4 πε b C = C11 = = C1 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez ( = C V V 1 1 En el cso de l Tierr y Est cpcidd no nos l ionosfer dice nd de lo que = R T = 64km ocurre en el exterior del b = R T +h = 65km conductor, sólo inform de ls 4 πε RT ( RT + h C = 5 mf h superficies enfrentds. Cpcidd de un condensdor coxil: plntemiento 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez Un condensdor coxil está formdo por dos cilindros circulres concéntricos, de longitud h, mucho myor que sus rdios, y b. Pr hllr l cpcidd se siguen los psos: Se plnte l ecución de Lplce suponiendo un plc potencil V y l otr tierr Se resuelve est ecución Se clcul el cmpo eléctrico como E = φφ Se hll l crg en l plc tensión V, prtir del cmpo eléctrico El cociente entre l crg y l d.d.p. es l cpcidd

Cpcidd de un condensdor coxil: solución del problem del potencil 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez Hy que resolver l ec. de Lplce φ= con ls condiciones i ( V ( b φ ρ= = φ ρ= = Si l longitud es mucho myor que el rdio pueden desprecirse los efectos de borde (curvtur de ls línes de cmpo en los extremos y suponer E= Eu ρ En ese cso φ=φ( ρ L ecución de Lplce se reduce 1 d d φ ρ = ρ dρ dρ Cpcidd de un condensdor coxil: cálculo de l cpcidd 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez L solución es de l El potencil es form φ= + ρ A Bln ( ( ρ b ( b V ln / φ= ln / Imponiendo ls c.c. El cmpo eléctrico entre los cilindros = + ln ( = A + Bln( b V A B V E= φ= ρ ln / ( b Hllndo el flujo trvés de un superficie concéntric con el cilindro interior πε hv =ε E d S = S1 ln / 1 y l cpcidd es u ρ ( b πεh C = ln / ( b

Cpcidd de un condensdor plno ntonio Gonzá ález Fernánde ez 8, A Lo formn dos plcs conductors de sección S y seprds un distnci. Entre ells se cumple l ec. de Lplce con ls c.c. ( z V ( z φ = = φ = = Desprecindo los efectos de borde (suponiendo cmpo perpendiculr p ls plcs Result el potencil V 1 z φ= Clculndo l crg sobre l plc tensión V εsv 1 =ε E d S 1 = d φ S 1 E = E u bi d z φ=φ( z = ε se obtiene l cpcidd C = S dz V Circuitos equivlentes: modeln los sistems reles 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez En un sistem de conductores diferentes porciones de l superficie de cd uno se encuentrn en influenci i totl con ls de otros conductores Podemos modelr el sistem como un conjunto de condensdores correspondientes ests porciones conectds por línes de cmpo Pr ello, hy que seguir un serie de psos.

Construcción de circuitos equivlentes: nodos del circuito Anlizremos el sistem de cutro conductores de l figur ez ález Fernánde ntonio Gonzá 8, A En primer lugr, cd conductor se represent por un nodo Construcción de circuitos equivlentes: condensdores entre nodos del circuito 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez L cpcidd C ik viene dd por el coeficiente C ik cmbido de signo C ik = C L cpcidd C ik es siempre positiv o nul ik A continución se coloc un condensdor d C ik conectndo cd pr de nodos, i y k Cundo dos conductores i y k están pntlldos por un tercero, l cpcidd es nul. En ese cso, puede suprimirse el condensdor correspondiente en el esquem (C 13 y C 14 en este cso

Construcción de circuitos equivlentes: condensdores entre los nodos y tierr 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez Hy que ñdir un condensdor d C ii entre cd nodo y tierr Estos condensdores representn ls línes de cmpo que vn de cd El vlor de l utocpcidd conductor l infinito C ii es l sum de un fil de Cundo un conductor está l mtriz de los C ik pntlldo y no puede C hber línes entre él y el ii = C ik k infinito, i C ii = y puede Est cntidd es siempre suprimirse el condensdor positiv ii o nul correspondiente (C 11 en este ejemplo Relción entre ls cpciddes y los coeficientes de cpcidd 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez Es importnte no confundir los coeficientes i de cpcidd, C ik, del sistem de conductores, con ls cpciddes y utocpciddes, C ik, del circuito equivlente L crg usndo los C ik es 1 = C11V1+ C1V + C13V3 + ik Se relcionn por C = C C = C ik ik ii ik k L relción invers es ell mism C = C C = C ik ik ii ik k Los coeficientes C ii son siempre positivos Los coeficientes C ik (i k son negtivos o nulos L id d son positivs o nuls y usndo los C ik Ls utocpciddes C ii ( ( = C V + C V V + C V V + 1 11 1 1 1 13 1 3 Ls cpciddes C ik (i k son positivs o nuls

Construcción de circuitos equivlentes: fuentes de tensión Además de los condensdores hy que ñdir fuentes de tensión pr indicr quellos conductores cuyo voltje esté fijdo ez ález Fernánde 8, Antonio Gonzá Construcción de circuitos equivlentes: fuentes de crg ntonio Gonzá ález Fernánde ez 8, A En ocsiones los conductores no se encuentrn conectdos un generdor, sino que están isldos. L crg de un conductor isldo permnece constnte (no puede ir ningún sitio Pr representr l crg de un conductor definimos un "generdor de crg" conectdo l nodo correspondiente En el cso de crg nul, puede omitirse ( 3 = en el ejemplo

Construcción de circuitos equivlentes: resumen de todos los psos ntonio Gonzá ález Fernánde ez 8, A Resumiendo, los psos son los siguientes: Un nodo por cd conductor Un condensdor por cd pr de conductores, de cpcidd C ik. No, si C ik es nul. Un condensdor C ii entre cd conductor y tierr. No, si C ii = Un fuente de tensión conectd cd nodo tensión constnte Un "fuente de crg" conectd cd nodo crg constnte te (no, si está descrgdo Construcción de circuitos equivlentes: plicción l cso de un esfer 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez En el cso de un sol esfer conductor potencil V, el circuito equivlente se reduce : Un nodo, que represent l esfer Un condensdor situdo entre l esfer y tierr (el infinito, de cpcidd C = C = C = 4πε R 11 11 Un fuente de tensión V.

Construcción de circuitos equivlentes: plicción un cso de dos esfers Dos esfers concéntrics de rdios y b (<b, l interior tensión V 1 y l exterior crgd con, son equivlentes : ntonio Gonzá ález Fernánde ez 8, A Dos nodos Un condensdor entre ls dos esfers 4πεb C1 = C1 = Un condensdor entre el nodo y tierr 4πε b 4πεb C = C + C1 = = 4πεb Un fuente de tensión V 1 Un fuente de crg. Si =, quedn dos condensdores en serie Construcción de circuitos equivlentes: plicción un sistem de 4 conductores ntonio Gonzá ález Fernánde 8, A A prtir de l mtriz de coeficientes de cpcidd 9.9 9.93.. 9.93 15.96 1.568 1.758 C = C. 1.563 3.7 1.33. 1.759 1.337 4.69 ezobtenemos ls cpciddes y utocpciddes C11 C1 = 9.9C C13 C14 C = 3.54C C = 1.55C C = 1.75C C =.8C C = 1.33C C = 98.98 C 3 4 33 34 44

Circuitos equivlentes en un problem concreto (3.7: plntemiento ntonio Gonzá ález Fernánde ez 8, A Tenemos un conductor esférico, de rdio R, con dos huecos de rdio R/. En cd hueco hy un esfer de rdio R/4. Un está V, l otr tierr. L esfer exterior está isld ild y descrgd, d cuánto vlen ls crgs y potenciles de cd conductor? El circuito equivlente contiene tres condensdores y un fuente de tensión V Circuitos equivlentes en un problem concreto (3.7: solución L relción entre crgs y potenciles qued 1 = C πε 11V1( + V 1C 1V ( V 1 V + C13( V1 V3 = Cπε V R + ( C4V 1 ( VV 1 V 1 3 + C 3 ( V V 3 3 = C πε 33V3 ( + V3C V 13 ( V 3 V1 + C 3 ( V 3 V Sustituyendo los dtos 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez Ls cpciddes vlen 4 πε ( R/ ( R/4 1 = 3 = = πε ( R / ( R /4 C C R L utocpcidd es l de un esfer C = 4πε R ( R( V V ( V = πε V V 1 = πε 4 = πε 3 Despejndo V 3 πε RV πε RV V = 1 = 3 = 4

Resumen de l presentción 8, A ntonio Gonzá ález Fernánde ez Cundo se tiene un conjunto de conductores distintos voltjes, se produce un cmpo entre ellos Los conductores se crgn, dependiendo de ls tensiones de todos ellos Ls crgs pueden relcionrse mtemáticmente con los voltjes Ests relciones se describen medinte los conceptos de cpcidd de un conductor y de un condensdor Combinndo condensdores y fuentes, puede modelrse un sistem rel medinte un circuito equivlente. A prtir del nálisis del circuito pueden resolverse diversos problems reles de prienci muy diferente e Sevill, Diciembre de 8