CAPÍTULO 8 Alicaciones de la derivada 8.3 Concavidad conveidad Observemos que f 00./ > 0 en un intervalo ) f 0./ es creciente en dicho intervalo, or lo tanto, al recorrer la gráfica de la función f de izquierda a derecha, debe resentar forma de taza. Ya que la inclinación de la tangente crece en sentido directo diremos que la función es cóncava. En este caso la gráfica está encima de sus tangentes debajo de sus secantes. Taza Observemos que f 00./ < 0 en un intervalo ) f 0./ es decreciente en dicho intervalo; entonces al recorrer la gráfica de la función f de izquierda a derecha, debe resentar forma de gorra. Ya que la inclinación de la tangente decrece en sentido directo diremos que la función es convea. En este caso la gráfica está debajo de sus tangentes encima de sus secantes. canek.azc.uam.m: / / 008
Cálculo Diferencial e Integral I Gorra Concretando: La función curva) D f./ es cóncava en el intervalo I si f 00./ > 0 ara cada I. La función curva) D f./ es convea en el intervalo I si f 00./ < 0 ara cada I. De aquí surge el criterio de la segunda derivada ara máimos mínimos locales:. Si f 0. 0 / D 0 si f 00. 0 / > 0, en 0 ha un mínimo local.. Si f 0. 0 / D 0 si f 00. 0 / < 0, en 0 ha un máimo local. Se llama unto de infleión de f a un unto donde la segunda derivada de la función es cero en el unto cambia de signo, esto es, la segunda derivada asa de ser ositiva antes del unto a ser negativa desués del unto, o viceversa, siendo continua la funció en dicho unto. En ellos la función asa de ser cóncava a convea, o viceversa. Ejemlo 8.3. Para la función f./ D 3 H Calculamos f 0./ D 3, entonces. f 00./ D 6 > 0 si > 0 luego f es cóncava en el intervalo.0; C/.. f 00./ D 6 < 0 si < 0 luego f es convea en el intervalo. ; 0/. 3. f 00./ D 6 D 0 si D 0 luego f tiene un unto de infleión en D 0. f./ D 3 Punto de infleión f 00./ > 0 Convea f 00./ < 0 f 00./ D 6
3 8.3 Concavidad conveidad 3 Otra nomenclatura usual es la siguiente: Si f es una función cóncava, entonces f es cóncava hacia arriba, f 00./ > 0). Si f es una función convea, entonces f es cóncava hacia abajo, f 00./ < 0). Podemos decir que la curva función) D f./ en 0 tiene un unto de infleión si en 0 ha un cambio de concavidad si ha continuidad. Ejemlo 8.3. Determine los intervalos de concavidad los untos de infleión de la función g./ D 4 del ejemlo??). C 4 H g./ D 4 C 4 ) g 0./ D 4.4 /. C 4/ ) ) g 00./ D 4. C 4/. /.4 /. C 4/./ Œ. C 4/ D 4. /. C 4/.4/. C 4/.4 /. C 4/ 4 D D 4. /. C 4/Œ. C 4/ C.4 /. C 4/. C 4/ 3 D 4. /Œ C 4 C 8. C 4/ 3 D D 8. C /. C 4/ 3 D 8. /. C 4/ 3 ) ) g 00./ D 8. /. C 4/ 3 : Ahora bien, debido a que 8 > 0 a que. C 4/ 3 > 0 ara cada R, g 00./ > 0, 8. /. C 4/ 3 > 0,. / > 0 g 00./ < 0, 8. /. C 4/ 3 < 0,. / < 0 : Pero. / D 0,. C /. / D 0. Esto se cumle si. D 0 o bien. C D 0 ) D o bien 3. D 0 ) D. Con los números D, D 0 & 3 D generamos los intervalos: ; ) ) ; ; 0 ; 0; ) ; D ) :
4 4 Cálculo Diferencial e Integral I Como g 00./ es continua en R, en cada uno de esos intervalos tomaremos una fija valor de rueba) ara determinar el signo de g 00./. Para valor de rueba g 00./ es entonces g es cóncava < < D 4 hacia abajo o convea < < 0 D C hacia arriba 0 < < D hacia abajo o convea < < C D 4 C hacia arriba Por lo tanto, la curva función) D f./ es cóncava hacia arriba en los intervalos: ; ) ; ) 0 C ; la función curva) D f./ es cóncava hacia abajo o convea en los intervalos: 0; ) ; ; ) la curva función) D f./ tiene untos de infleión en D D 3 3:464, D 0 en 3 D D 3. Concretamente, en: P Œ ; f. / D P Œ ; f. / D P 3; ) 3. 3:464; P Œ ; f. / D P Œ0; f.0// D P.0; 0/ en P 3 Œ 3 ; f. 3 / D P 3 Œ ; f. / D P 3 ) 3 3;.3:464; 0:866/ : 0:866/ I g./ D Convea 4 C 4 3 3 a 3 Conv e 3 Nuevamente todos los resultados son congruentes con el hecho de que g./ es imar.
8.3 Concavidad conveidad Ejemlo 8.3.3 Determinar los intervalos de concavidad untos de infleión de la función f./ D 3 3 del ejemlo??). H Entonces f./ D 3 3 ) f 0./ D 4 ) f 00./ D 60 3 30 D 30. / : f 00./ > 0,. / > 0 & f 00./ < 0,. / < 0 : Ahora bien. / D 0. Esto ocurre cuando:. D 0.. D 0 ) D ) D. Con los números D, D 0 con 3 D generamos los intervalos ; ) ) ) ; ; 0 ; 0; ) ; C : Como f 00./ es continua en R en cada uno de esos intervalos, tomamos un fijo valor de rueba) ara determinar el signo de f 00. Para valor de rueba f 00./ es entonces f es cóncava hacia < D abajo o convea < < 0 D C arriba 0 < < D abajo o convea < D C arriba Por lo tanto La función f./ D 3 3 es cóncava hacia arriba en los intervalos: ) ; 0 ) ; C. La curva f./ D 3 0; ). 3 es cóncava hacia abajo o convea en los intervalos: ; )
6 6 Cálculo Diferencial e Integral I La función f tiene untos de infleión en: [ ] P ; f. / ) D P ; :374 I P Œ0; f.0/ D P.0; 0/ en [ P 3 ; f. ] ) / D P 3 ; :374 : C o nvea f./ D 3 3 Convea Nuevamente vemos que todo es consistente con el hecho de ser f./ imar. Ejemlo 8.3.4 Sea la función f./ D. C / ; diga en qué intervalos es cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo determine los untos de infleión. H Calculemos la segunda derivada de f f 0. C /. C /./ D D C D. C / 4. C / 3. C / ) 3 ) f 00./ D. C /3 3. C /. /. C / 6 D 3 C 3. C / 4 D 4. C / 4 : El signo de esta segunda derivada nos lo da el numerador ositivo: f 00./ > 0, 4 > 0, > 4, > 4 D : 4, ues el denominador es siemre Entonces, la función f./ es cóncava hacia arriba en el intervalo.; C/. Y cóncava hacia abajo en los intervalos. ; /. ; /, ues 6 D f. Para D raíz de f 00 ) se tiene un unto de infleión, a que ahí la gráfica de f cambia el sentido de la concavidad. El unto de infleión es Œ; f./ D ; ). 9
7 8.3 Concavidad conveidad 7 Convea Punto de infleión: ; «9 Ejemlo 8.3. Para la función f./ D. 4/ 3, determine:. Los intervalos de crecimiento los de decrecimiento. Los etremos relativos.. Los intervalos de concavidad hacia arriba los de concavidad hacia abajo. Los untos de infleión. 3. La gráfica. H Calculemos:. f 0./ D 3. 4/ D 6. C /. / : Los untos críticos están en D, 0 en. f 0./ > 0 si > 0 & 6D ; luego, f./ es creciente en.0; /, en.; C/ también en Œ0; C/. f 0./ < 0 si < 0 & 6D ; luego, f./ es decreciente en. ; /, en. ; 0/ también en. ; 0/. Entonces el único etremo relativo es.0; creciente; or lo tanto es un mínimo. 64/, donde la función asa de ser decreciente a ser. Calculemos la derivada de f 0./ D 6. 4/ : f 00./ D 6. 4/ C 6. 4/ D 6. 4/. 4 C 4 / D D 6. 4/. 4/ D 6. C /. /. C /. / :
8 8 Cálculo Diferencial e Integral I La segunda derivada es 0 en en 0:89, su signo está dado en la tabla siguiente: < < < < Signo de Intervalo C C f 00./ f./ es cóncava hacia < ) < < ) < C C arriba abajo. </ < < < <.< / C C C arriba <) < < C C C abajo < ) < < C C C C C arriba Vemos entonces que en Vemos también que en. ; /, en ; Los untos. ; 0/ & ; Tenemos además que f.0/ D 64 & f. :8/ D 6:6. ) ) en ; la función es cóncava hacia abajo. ) ; en.; C/ lo es hacia arriba. ) 6 3. 0:89; 3:77/ son de infleión. 3. La gráfica de la función f es D f./ Punto crítico Es un unto de infleión No es máimo local No es mínimo local Convea C 3 64 ó n c ava Convea Todo concuerda con que f es ar;.0; absoluto. 64/ resulta ser mínimo absoluto f no tiene máimo
9 8.3 Concavidad conveidad 9 Ejercicios 8.3. Soluciones en la ágina Determinar los intervalos de concavidad conveidad, así como los untos de infleión de las siguientes funciones.. g./ D 4 3.. f./ D. / 3. 3. h./ D 4 6 C 9. 4../ D 6 3 4.. f./ D C. 6. g./ D 4. 7. h./ D C 8. 8../ D =3 =3. 9. f./ D 4 3. 0. g./ D 4.
0 0 Cálculo Diferencial e Integral I Ejercicios 8.3. Soluciones en la ágina Utilizando el criterio de la segunda derivada, determinar los máimos /o mínimos locales de las anteriores funciones.. g./ D 4 3.. f./ D. / 3. 3. h./ D 4 6 C 9. 4../ D 6 3 4.. f./ D C. 6. g./ D 4. 7. h./ D C 8. 8../ D 3 3. 9. f./ D 4 3. 0. g./ D 4.
8.3 Concavidad conveidad Ejercicios 8.3. Concavidad conveidad, ágina 9. g es convea en todo su dominio.. f es cóncava en.; C/; f es convea en. ; /; f tiene en D un unto de infleión. 3. h es cóncava en. ; /.; C/; h es convea en. ; /; h tiene untos de infleión en D D. 4. es cóncava en. ; :/ en.:; C/; es convea en. :; :/; en tiene untos de infleión en D : en D :. ). f es cóncava en ; 3 en 0; ) 3 ; 3; ) 3; ) f es convea en 0 en C ; f tiene untos de infleión en D 3, D 0 en D 3. 6. g es cóncava en. ; / en.; C/; g es convea en. ; /; no tiene untos de infleión. 7. h es cóncava en. ; / en.0; C/; h es convea en. ; 0/; h tiene un unto de infleión en D. ) 8. es convea en ; ; ) es cóncava en ; 0 en.0; C/; tiene un cambio de concavidad en D ; tiene un sólo unto de infleión. 9. f es cóncava en. ; 0/ en.; C/; f es convea en.0; /; f tiene untos de infleión en D 0 en D. 0. g es cóncava en todo su dominio; no tiene untos de infleión. Ejercicios 8.3. Concavidad conveidad, ágina 0. g tiene en D 0 un máimo local.. Un unto crítico en D ; no es un máimo local ni un mínimo local. 3. Puntos críticos en D 0 en D 3. En el rimero ha un máimo local estricto en los otros dos mínimos absolutos. 4. Tres untos críticos: en D 0 en D. En el rimero ha un máimo local estricto en los otros mínimos absolutos.. Dos untos críticos: en D. En ha máimo absoluto en mínimo absoluto. 6. D 0 es máimo local estricto. 7. h tiene un unto crítico en D 3 4; es un mínimo local. 8. tiene dos untos críticos en: D mínimo local); D 0 máimo local). 9. tiene dos untos críticos en: D 0 ni mínimo local ni máimo local); D 3 mínimo local). 0. g tiene un unto crítico en: D 0 mínimo local).