Consolida lo aprndido utilizando tus comptncias Practica Figuras smjants 1 T 'V'V Cuáls d stas figuras son smjants? Cuál s la razón d smjanza? 8 TT'V Una maquta stá hcha a scala 1:250. Calcula: a) Las dimnsions d una torr cilíndrica qu n la maquta mid 6 cm d altura y 4 cm d diámtro. b) La suprfici d un jardín qu n la maquta ocupa 40 cm 2. ) El volumn d una piscina qu n la maquta contin 20 cm 3 d agua. Smjanza d triángulos 2 T 'V'V a) Son smjants los triángulos intrior y xtrior? b) Cuántas unidads mdirán los cattos d un triángulo smjant al mnor cuya razón d smjanza sa 2,5? 3 T 'V'V U na fotografía d 9 cm d ancha y 6 cm d alta tin alrddor un marco d 2,5 cm d ancho. Son smjants los rctángulos intrior y xtrior dl marco? Rspond razonadamnt. 4 T 'V'V Un joyro quir rproducir un broch como l d la figura a scala 1,5. a) Haz un dibujo d la figura ampliada. b) Calcula su suprfici. \ 1 \ 1 \ 5 T 'V'V En un mapa cuya scala s 1:1 500 000, la distancia ntr dos ciudads s 2,5 cm. a) Cuál s la distancia ral ntr llas? b) Cuál srá la distancia n s mapa ntr dos ciudads A y cuya distancia ral s 360 km? 9 T 'V'V En la figura, l sgmnto DE s parallo a A. Jusitifica qu los triángulos AC y CDE son smjants y calcula DE y EC. 1 O T 'V'V Por qué son smjants los triángulos AC y AED? 11 Halla l prímtro dl trapcio ECD. T \1\l En un triángulo rctángulo, la rlación ntr los cattos s 3/4. Halla l prímtro d otro triángulo smjant n l qu l catto mnor mid 54 cm. 12 T 'V'V La razón d smjanza ntr dos triángulos s 2/5. Si l ára dl mayor s 150 cm 2, cuál s l ára dl mnor? 13 T 'V'V Obsrva sta figura, n la qu l sgmnto A s parallo a CD. A 6 T 'V'V En l plano d un piso cuya scala s 1:200, l salón ocupa una suprfici d 7 cm 2. Cuál s la suprfici ral dl salón? 7 T 'V'V Un rombo cuyas diagonals midn 275 cm y 150 cm, qué ára ocupará n un plano d scala 1:25? a) Di por qué son smjants los triángulos OA y ODC. b) Calcula x y.
14 TT\7 Si D s parallo a AE, A y AC = 15 cm, CE = 11 cm y C= 6,4 cm: a) Calcula CD. b) Podmos sabr cuánto val AE sin mdirlo dirctamnt? robl mas '"' MHH* /\. /\. /\. /\. /\. ) Si A = 3r y C = 80, calcula E, y D. 15 TT\7 Los lados mayors d dos triángulos smjants midn 8 cm y 13,6 cm, rspctivamnt. Si l ára dl primro s 26 cm 2, cuál s l ára dl sgundo? 16 TT'i7 Calcula l prímtro dl triángulo cuya bas coincid con la bas mayor d st trapcio rctángulo y qu s obtin al prolongar los lados no parallos hasta qu o s cortn. 15 cm cm 20cm Tormas dl catto y d la altura En cada uno d los siguints triángulos rctángulos s ha trazado la altura H sobr la hipotnusa. Halla, n cada caso, los sgmntos x y. 17 TT'i7 2,1m~ A H 18 TT'i7 A x H - - -4,8m- 19 TT'i7 ~ A X H 9m E 20 TT\7 Dibuja, n cada caso, un triángulo rctángulo y traza su altura sobr la hipotnusa. a) Calcula la proycción dl catto mnor sobr la hipotnusa si sta mid 50 cm y l catto mayor, 40cm. b) La hipotnusa mid 25 cm, y la proycción dl catto mnor sobr la hipotnusa, 9 cm. Halla l catto mayor. ) La altura rlativa a la hipotnusa mid 6 cm, y la proycción dl catto mnor sobr la hipotnusa, 4,5 cm. Halla la hipotnusa. Aplica lo aprndido 21 TT\7 En qué punto comprndido ntr A y db dar la bola blanca, para qu al rbotar alcanc a la bola ngra? ~!20cm 9 30cm\ A--70cm- 22 TT\7 Cuál s la profundidad d un pozo, si su anchura s 1,2 m y aljándot 0,8 m dl bord, dsd una altura d 1, 7 m, vs qu la visual un l bord dl pozo con la lína dl fondo? 23 TT'i7 Entr dos publos A y hay una colina. Para mdir la distancia A, fijamos un punto P dsd l qu s vn los dos publos y tomamos las mdidas AP= 15km, PM=7,2km y MN= 12km. (MN s paralla a A). Halla la distancia A.
24 TTV 31 TTV Qurmos construir un ortodro d volumn 36015 cm 3 qu sa smjant a otro d dimnsions 25 X 15 X 35 cm. Cuánto mdirán sus aristas? 32 TTV D un cono d radio 5 cm hmos cortado otro cono d radio 2 cm y altura 3 cm. Calcula l volumn dl cono grand. 3cm 2cm 1,5 m Para mdir la altura d la casa, Álvaro, d 165 cm d altura, s situó a 1,5 m d la vrja y tomó las mdidas indicadas. Cuánto mid la casa? 25 TTV Halla l prímtro dl triángulo AC dl qu conocmos AH = 9 cm, H = 12 cm. 33 TTV En un cono d 1 O cm d radio hmos inscrito un cilindro d radio 4 cm y altura 14,4 cm. Halla la altura dl cono. 12 cm A 9cm H 26 TTV U no d los cattos d un triángulo rctángulo mid 12m y su proycción sobr la hipotnusa mid 7,2 m. Calcula l ára y l prímtro dl triángulo. 27 TTV El prímtro d un triángulo isóscls s 64 m, y l lado dsigual mid 14 m. Calcula l ára d un triángulo smjant cuyo prímtro s d 96 m. 28 TTV Dos triángulos AC y PQR son smjants. Los lados dl primro midn 24 m, 28 m y 34 m. Calcula la mdida d los lados dl sgundo triángulo sabindo qu su prímtro s 129m. 29 TTV Las áras d dos triángulos isóscls smjants son 48m 2 y 108m 2. Si l lado dsigual dl primr triángulo s 12 m, cuál s l prímtro dl sgundo? 30 TTV Los lados d un triángulo AC midn: AC = A = 36 cm, C = 42 cm Dsd un punto M d A s traza una paralla a AC, qu corta al lado C n un punto N. Cuánto dbn mdir los lados dl triángulo MN para qu su ára sa 1/9 d la dl triángulo AC? Rsulv problmas 34 TTV Calcula l volumn d un tronco d pirámid cuadrangular rgular d 15 cm d altura n l qu los lados d las bass midn 8 cm y 14 cm. 35 TTV Ejrcicio rsulto Tnmos un cono inscrito n una sfra d radio 11 cm. Cuál srá l radio d la bas dl cono si su altura s 14 cm? El triángulo AC s rctángulo n. El radio dl cono, R, s la altura sobr la hipotnusa AC. Llamamos x a la proycción d C sobr la hipotnusa AC, qu s l diámtro d la sfra. AC = 2 11 = 22 cm x = 22-14 = 8 cm Por l torma d la altura, n l triángulo rctángulo AC s vrifica: R 2 = 14 8 = 112 --7 R"" 10,58 cm t1!~~tlffmt'!''"'''hlf1!!1!*''\iit'!'l't'+!4.. tf"t
Eircicios roblmas '4 ',j.t,,,,, it* ~ =... ~... -~ ~ "',..,,.,"''"''''"''" '''"""'' -~ ~ = o ~.....,..,...,.,... ~... ~~-- ~ 4 36,,Y' En una sfra d 15 cm d radio hmos inscrito un cono d altura 12 cm. Calcula su ára latral. 37 TT\7 En una sfra d 24 cm d diámtro s inscrib un cono cuya gnratriz mid 1 O cm. Calcula l volumn dl cono. 41 TT\7 En l rctángulo d la figura, EF s parallo a AC, y G s l punto mdio d C. Si DF = 5 cm, cuál s l ára y l prímtro dl pntágono FECGA? D E C '';~~ A 30cm 42 TT\7 Una carrtra d 100 m d longitud, atravisa una parcla d 80 m d ancho. 38 TT\7 Sobr una sfra d 20 cm d radio s ncaja un cono d 30 cm d altura. Halla l ára dl casqut sférico qu dtrmina l cono. (Mira l jrcicio rsulto d la página 131). 1 80m 1 L L.L L J La carrtra ocupa 20 m d cada uno d los lados parallos d la parcla. Cuál s l ancho d la carrtra? 43 TT\7 En stas dos circunfrncias concéntricas, l radio d la mayor s l tripl d la mnor. AF 1!:. l =---- 39 TT\7 En l triángulo AC~ctángulo n A, conocmos AH= 18 cm y HE = 32 cm. a) Calcula CH, AC y A. b) Aplica l torma dl catto n l triángulo rctángulo AH para obtnr AP. Calcula PH. ) Halla l ára y l prímtro dl trapcio APHC. 40 TT\7 En un trapcio rctángulo, la diagonal mnor s prpndicular al lado oblicuo, la altura mid 12 cm y la difrncia ntr las bass s d 9 cm. Calcula l prímtro y l ára dl trapcio. Hmos trazado l diámtro AC y la curda C, qu s tangnt a la circunfrncia intrior. Si A = 1 O cm, cuánto midn los radios d cada circunfrncia? 44 TT\7 Qurmos calcular la distancia qu hay dsd un punto A d la playa a una pidra P qu s v a lo ljos. ~ Para llo, trazamos una rcta r qu pas por A y una paralla a lla, s. S r Dsd A obsrvamos P n una lína qu corta n a S. Dsd otro punto d ~A r, hacmos lo mismo y obtnmos D. Mdimos: A = 7,5 m, AC =59 m, D = 57,5 m. Cuál s la distancia d A a P?
45 TT\7 Dsd un punto P trazamos tangnts a dos circunfrncias tangnts xtriors. Si OP = 12 cm y o~ = 5 cm, cuánto mid l radio d la circunfrncia mnor? 46 TTT En l triángulo rctángulo A hmos trazado la altura sobr la hipotnusa H. A6 C H Halla l ára dl triángulo n l qu conocmos A = 15 cm y H= 16 cm. Problmas "+" 47 TTT Una sfra apoyada n l sulo proycta una sombra qu llga hasta 1 O m dl punto dond la sfra toca l sulo. En s momnto, un post vrtical d 1 m d alto produc una sombra d 1 m. Calcula l radio d la sfra. ~ p Rflxiona sobr la toría 50 T \7\7 Un triángulo rctángulo, pud sr smjant a un triángulo isóscls? Y a un triángulo quilátro? 51 TT\7 Dibuja un triángulo y, dsd cada vértic, traza una rcta paralla al lado opusto. Así obtndrás un nuvo triángulo más grand. a) J ustiflca por qué s smjant al inicial. b) Cuál s la razón ntr las áras? 52 TT\7 J ustiflca n cuáls d los siguints casos podmos asgurar qu los triángulos A y A ' 'C' son smjants: A /\ A, a) A'' = 'C'' = b) A - A A -A' A'C' - A''' - ) A ::. = ' d)a =A' = ' A'' ''' ' 53 T \7\7 Hmos aplicado una homotcia al cuadrilátro AD para obtnr l cuadrilátro A ' ''D '. lm ---10m lm 48 TT\7 U na d las diagonals d un rombo mid 24 cm y l radio dl círculo inscrito n dicho rombo s 8 cm. Calcula l prímtro y l ára dl rombo. 49 TTT En l cuadrado d la figura, mdio dl lado A, y F, l A punto mdio d C. Si l lado dl cuadrado mid E 2 cm, cuál s l ára dl cuadrilátro EPF? E s l punto ==,. D 1C a) Cuál s l cntro y cuál s la razón? A b) J ustiflca qu AD y A ' ''D' son smjants. 54 TT\7 Halla l cntro y la razón d homotcia qu transforma l rctángulo AD n A ' ''D '. D r: Ir [A [b" A' C' '
Y ~ara trminar... T Aplica lo qu sabs La capa d Gullivr En Los viajs d Gullivr, d Jonathan Swift, s dscrib l país d Liliput como un mundo n miniatura hcho a scala dl nustro. Aunqu no lo diga l libro, parc sr qu la difrncia d tamaño cró algunos curiosos problmas, como l qu s dscrib a continuación: En cirta ocasión, l ry d los liliputinss rgaló una capa a Gullivr, y cuando l sastr ral l prsntó la factura, s llvó un susto trribl. Él s había hcho la siguint cunta: -Si mi capa costó un doblón d oro, la d Gullivr, qu tin doc vcs mi statura, costará 12 doblons. -No, majstad -rpuso l sastr-, la capa sal por 144 doblons. - Y por qué? -prguntó l ry. Puds xplicar por qué la capa d Gullivr costó 144 doblons d oro? En otra ocasión, l ry invitó a cnar a Gullivr y s l prsntó un nuvo problma: Cuántas racions d liliputins había qu srvir a Gullivr para qu qudara saciado? (Rcurda qu la statura d Gullivr ra doc vcs la dl ry). T Pinsa y rlaciona La diagonal dl pntágono rgular Los dos triángulos son smjants (justifícalo). Calcula l valor d la diagonal (d) dl pntágono: d 1 = d-1 Encuntras alguna rlación ntr l valor, d, númro singular? y algún
T Infórmat T Tarjtas con oro Las tarjtas d banda magnética, utilizadas como clavs d idntificación, por jmplo, n los cajros automáticos, son rctángulos áuros. Si mids sus dimnsions, comprobarás qu la rlación ntr sus lados s l númro d oro. 3._ = <l> = 15_+ 1 = 1,618... b Y s qu con otras dimnsions nos parcría una tarjta poco armónica, dsproporcionada. Compruba qu colocando dos tarjtas como indica la figura, la diagonal d una s prolonga pasando por uno d los vértics d la otra. x - 1 Y aprovcha sa propidad para dmostrar qu, fctivamnt, x = <1>. X -=--- x - l Autoval uación Manjas la smjanza d figuras para obtnr mdidas d una a partir d la otra? 1 Qurmos hacr una maquta d un jardín rctangular a scala 1:400. Su prímtro s d 850 m, y su ára, d 37 500 m 2. Cuáls srán stas mdidas n la maquta? Conocs las condicions qu s dbn comprobar para asgurar qu dos triángulos son smjants? 2 Un cntro comrcial P stá situado ntr dos vías parallas r y s. S quir unir, mdiant carrtras, con las poblacions A,, C y D. Con los datos d la figura, calcula x y. 6,75 km D ' r 6'~,, :-'P ''-.), ~.- ;'... ~ ',, X,,''... A ~ km Conocs y aplicas los tormas dl catto y d la altura? 3 Un barco qu navga hacia purto s sitúa n un punto tal qu su posición forma un ángulo rcto con WWW 9. Solucions d la autovaluación. los faros F 1 y F 2. Dsd s punto, la lína qu lo un al purto P s prpndicular a la costa. Sabmos qu PF1 = 13 km~ y qu PF 2 = 26 km. F 13 km : 26 km F 1 p 2 Calcula la distancia dl barco al purto y a cada uno d los faros. Utilizas con soltura la smjanza para rsolvr problmas? 4 T nmas un vaso con forma d tronco d cono n l qu los diámtros d las bass midn 10 cm y 6 cm y su altura s d 12 cm. Si lo llnamos, cab más d mdio litro d agua, o mnos? 5 Las diagonals d un rombo midn AC = 32 cm y D = 24 cm. Por un punto P d la diagonal mnor, tal qu PD = 9 cm, s traza una paralla a la diagonal AC, qu corta n M y N a los lados AD y CD. Calcula l ára y l prímtro dl pntágono MACN