Volumen de Sólidos de Revolución

60 CAPÍTULO 4 Volumen de Sólidos de Revolución

6 Volumen de sólidos de revolución Cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta l, se genera un cuerpo geométrico denominado sólido de revolución. La recta l se denomina eje de giro. En este capítulo se estudiará como determinar el volumen de estos sólidos si los ejes de giro son paralelos a los ejes coordenados. 4..- Cálculo del Volumen de Sólidos de Revolución mediante el Método del Disco Este método permite determinar el volumen de sólidos de revolución como la suma del volumen de cilindros circulares rectos de corta altura (discos). Recuerde que el volumen de un cilindro se calcula por la fórmula: V r h, donde r es el radio del cilindro h su altura. Sea la región R acotada por la gráfica de una función f continua no negativa, el eje, las rectas verticales a b como se muestra en la figura 4.a, si dicha región gira alrededor del eje, se genera un sólido compacto como el que se muestra en la figura 4.b. =f() f(w)= f(w)= a w b a w i b Figura 4.a Representación grafica de la región R Figura 4.b Representación gráfica del Sólido que se forma cuando R gira alrededor del eje Sea un plano perpendicular al eje, que corta al sólido de la figura 4.b, la intersección es una sección transversal circular. Si este plano pasa por el punto en el eje con abscisa w, entonces el radio del círculo formado se denomina radio de i giro f w i, el área del círculo es f w i. Se puede deducir la integral definida que permite calcular el volumen de sólidos de revolución, usando sumas de Riemann, de manera análoga al procedimiento utilizado para calcular áreas en el capítulo. su longitud es

6 Sea f continua no negativa en ab,. Sea f w n i i una suma de Riemann, i, i i de una donde w i es un número arbitrario en el i-ésimo subintervalo partición P de ab,. Ésta es una suma de áreas de rectángulos como los que se muestran en la figura 4.a. Al girar el i-ésimo rectángulo alrededor del eje se genera un cilindro rectangular recto de poca altura (disco), cuo radio de la base es i f w su altura es. El volumen de este disco es f w i i i. la suma de todos los volúmenes de los discos formados, es igual al volumen del sólido que se muestra en la figura 4.b. está dado por: n i f wi i =f() f(w i )...... a w i b a w i b Figura 4.a Representación grafica de una suma de Riemann para la región R Figura 4.b Representación grafica de una suma de Riemann para la región R cuando ésta gira alrededor del eje f. A medida que P 0, n, entonces la suma de los volúmenes de los cilindros se acerca al volumen del sólido formado cuando la función gira alrededor del eje de revolución representado en la figura.b. Por tanto, el volumen de un sólido de revolución se define como sigue: Esta es una suma de Riemann para Sea f continua en el intervalo cerrado a, b, sea R la región acotada por la gráfica de f, el eje, las rectas a b. El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor del eje está dado por: n n i b V lim f wi i f d a

6 A continuación se resuelve un ejercicio donde el sólido formado gira alrededor del eje formando un sólido compacto. Ejemplo 4.. Determinar el volumen del solido de revolución que se forma cuando la región R, ln ; ; e; 0 gira alrededor del eje. Solución La región los puntos de intersección fueron determinados en el capítulo se representan en la figura 4.a. f()=ln() Sombreado e ln P e, (t)=, (t)=t (t)=e, (t)=t f()=0 e P P e,0,0 Figura 4.a Representación gráfica de la región R Figura 4.b Representación gráfica del sólido que se genera cuando la región R gira alrededor del eje El sólido formado se representa en la figura 4.b su volumen se determina sumando los volúmenes de los cilindros con radio de giro ln base d, desde hasta e, mediante la solución de la integral: e V ln d Aplicando la técnica de integración por partes: Evaluando: ln ln e V V e,57

64 Para determinar el volumen del sólido de revolución que se genera cuando una región gira alrededor de una recta paralela al eje pero distinta de él, la deducción teórica de la integral es la misma con la diferencia de que para obtener el radio de giro () se debe tomar en cuenta la distancia de esta recta al eje, es decir, f w k, donde k es el eje de giro, como se observa en las figuras 4.4a 4.4b). i =f() = k a w i b a w i b Figura 4.4a Representación grafica de una región R Figura 4.4b Representación gráfica del Sólido que se forma cuando R gira alrededor del eje =k La definición del volumen vendrá dada por: Sea f continua en el intervalo cerrado a, b, sea R la región acotada por la gráfica de f, las rectas a, b k. El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor del eje k es: Donde es la distancia entre radio de giro. b V a d f el eje de revolución a,b, denominada En el siguiente ejemplo se calcula el volumen de un sólido que gira alrededor de una recta paralela al eje pero distinta de él, sin embargo, el sólido formado sigue siendo un sólido compacto.

65 Ejemplo 4.. Determinar el volumen del solido de revolución que se forma cuando la región R,, ; ; ; gira alrededor a la recta Solución La región los puntos de intersección se representan en la figura 4.5a.. 5 P, 4 P 4, P P,, Figura 4.5a Representación grafica de la región R Figura 4.5b Representación gráfica del Sólido que se forma cuando R gira alrededor de la recta = El volumen del disco representado en la figura 4.5b se obtiene mediante la epresión: Donde el radio de giro es: Entonces: dv d f k dv d El volumen del sólido de la figura 4.5b se determina mediante la solución de la integral: V d Integrando evaluando: V,769

66 En esta sección se considera una región acotada por las rectas verticales a b f g por las graficas de las dos funciones continuas f g con a, b, como se muestra en la figura 4.6a. Si esta región gira alrededor de la recta k, genera el sólido que se muestra en la figura 4.6b. (Observe que el sólido tiene un hueco o agujero central). El volumen V de este sólido hueco, puede calcularse restando el volumen del sólido formado por la región limitada por g (volumen interno) al volumen del solido formado por la región limitada por f (volumen eterno). Desarrollando la definición de volumen de sólidos utilizada anteriormente para el sólido de la figura 4.6b se obtiene: Esto es: b a b V f k d g k d b a a V f k g k d Esta última integral tiene su interpretación como límite de una suma de Riemann. Como se ilustra en la figura 4.6a. el elemento de área comprendido entre la gráfica f w g w, genera al girar un de g la gráfica de f tiene una altura igual a sólido con forma de arandela, como se observa en la figura 4.6b. Recuerde que el volumen de una arandela se calcula por la formula: V R r H Donde, R es el radio eterno de la arandela, r es el radio interno H es el espesor de la arandela. i i =f() =g() f(w i ) - k = k a w i b a w i b Figura 4.6a Representación grafica de la región R Figura 4.6b Representación gráfica del sólido hueco que se forma cuando R gira alrededor del eje =k

67 En el sólido de la figura 4.6b., R f w k, volumen de la arandela es Vi i se determina por la fórmula: r g w k H i. Entonces el Vi f wi k g wi k i Sumando los volúmenes de todas las arandelas se obtiene: n n i V f w k g w k i i i i i i Tomando límite cuando n, se llega a la siguiente epresión: n n i V lim f wi k g wi k i En conclusión, podemos definir el volumen de este sólido hueco como sigue: Sean f g funciones continuas en el intervalo cerrado b a,, tal que f g a,b sea R la región acotada por la gráfica de f, g las rectas a, b. El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor de la recta k está dado por: b a f g V d Donde: f es el radio de giro de la función f (eterno) g es el radio de giro de la función g (interno) Seguidamente, se resuelven dos ejemplos de cálculo de volumen de sólidos de revolución huecos. En el primero, las funciones que delimitan la región están por encima del eje de giro en todo el intervalo a, b, por lo cual, el radio de giro es: f f k El segundo, además de ser más complejo, presenta el caso contrario, en el que el eje de giro está por encima de las funciones que delimitan la región en todo el intervalo a, b, por lo tanto, el radio de giro viene dado por: f k f

68 Ejemplo 4.. Determine el volumen del sólido formado cuando la región comprendida entre la curva la recta gira alrededor de la recta =- Solución La región los puntos de intersección fueron determinados en el capítulo se representan en la figura 4.7a. interno eterno - - P -,- - P, Figura4.7a Representación grafica de la región comprendida entre la curva =+- la recta =- Figura 4.7b Representación gráfica del Sólido que se forma cuando la región gira alrededor de la recta =- La arandela formada se representa en la figura 4.7b su volumen se determina mediante la epresión: dv eterno interno d Esto es: dv d Luego, el volumen del sólido de revolución viene dado por la resolución de la siguiente integral: V d

69 V d 4 4 8 0 4 8 5 5 5 V 08 67,858 5 Ejemplo 4.4. Determinar el volumen del solido de revolución que se forma cuando la región R,, 5; ; ; gira alrededor a la recta =5. Solución La región los puntos de intersección fueron determinados en el capítulo se representan en la figura 4.8a. P 4 P 5 4 5 P P P Figura 4.8a Representación grafica de una región R Figura 4.8b Representación gráfica del Sólido que se forma cuando R gira alrededor de la recta =5 Los puntos de intersección determinados son: ; ; 0,0;, 697.6;5 7;5 P P P P P 4 5

70 El sólido formado se representa en la figura 4.8b su volumen se determina mediante la solución de cuatro integrales: V es el volumen del sólido generado entre P5 7 5 V d P, donde: 5 V 6,95 V es el volumen del sólido generado entre P4 0,0 5 P, donde: 5 V d.6 V 75,95 V es el volumen del sólido generado entre P P, donde: 5 5 V d V 57,978 V4 es el volumen del sólido generado entre P P, donde: 4 5 5 V4 d 0.0 V4 9,85 V V V V V4 V 79,69

7 Para calcular el volumen de sólidos que se generan al hacer girar regiones del plano alrededor de rectas paralelas al eje, se debe integrar respecto a. Considere una región acotada por la gráfica g, donde g es una función continua no negativa para cd,, las rectas horizontales c d, por el eje. Si esta región gira alrededor de, genera un sólido cuo volumen V se puede calcular intercambiando en la definición anterior. Así, sea P una partición del intervalo cd, determinada por los elementos c 0,,,... n. Sea w i cualquier número en el i-ésimo subintervalo, se forman rectángulos de longitud (radio de giro) gw i altura i i i que se ilustran en la figura 4.9a. El sólido generado al girar estos rectángulos alrededor del eje se representa en la figura 4.9b. d w i.. g(w i ) =g() c Figura 4.9a Representación grafica de una suma de Riemann para la región R Figura 4.9b Representación grafica de una suma de Riemann para la región R cuando ésta gira alrededor del eje El volumen del disco formado por el i-ésimo rectángulo es Mediante el límite de sumas se obtiene la siguiente definición: Sea g una función continua en el intervalo cerrado c,d, sea R la región acotada por la gráfica de g, el eje, las rectas c d. El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor del eje está dado por: n n i b V lim g wi i g d a g wi i. La suma de todos los volúmenes de los discos formados, es igual al volumen del sólido que se muestra en la figura 4.9b. está dado por: n i g wi i

7 En el ejemplo siguiente se determina el volumen de un sólido compacto formado cuando una región gira alrededor del eje. Ejemplo 4.5. Determinar el volumen del solido de revolución que se forma cuando la región R,, ; 9; 0 gira alrededor a la recta 0 Solución La región se representa en la figura 4.0a.. 9 P 4 0,9 P,9 9 9 8 7 6 5 4 P 0, P, Figura 4.0a Representación grafica de la región R Figura 4.0b Representación gráfica del Sólido que se forma cuando R gira alrededor de eje El sólido formado se representa en la figura 4.0, su radio de giro es: Su volumen se determina mediante la solución de la integral: 9 9 V d d V 9 8 V 40

7 Para determinar el volumen del sólido de revolución que se genera cuando una recta gira alrededor de una recta l paralela al eje, la deducción teórica de la integral es la misma con la diferencia de que para obtener el radio de giro se debe tomar en cuenta la distancia de esta recta l al eje. De manera análoga a lo realizado en la sección anterior e intercambiando la variable por, la definición del volumen vendrá dada por: Sea g continua en el intervalo cerrado c,d, sea R la región acotada por la gráfica de g, las rectas c, d k. El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor del eje k es: Donde giro. es la distancia entre d g el eje de giro c,d V c d, denominada radio de En el próimo ejemplo, se determina el volumen de un sólido compacto formado cuando una región gira alrededor de un eje paralelo al eje. Ejemplo 4.6. Determinar el volumen del solido de revolución que se forma cuando la región R,, ln ; ; e; 0 gira alrededor de la recta e. Solución La región se representa en la figura 4.a. e e e Figura 4.a Representación gráfica de la región R Figura 4.b Representación gráfica del sólido que se genera cuando la región R gira alrededor de la recta =e

74 El sólido formado se representa en la figura 4.d su radio de giro viene dado por la siguiente epresión: e e Entonces, su volumen se determina mediante la solución de la integral: V e e d e e e d 0 0 V e e,90 Se considerará ahora una región acotada por las rectas verticales por las graficas de las dos funciones continuas f g con f g c d, si esta región gira alrededor de la recta k se genera un sólido hueco, cuo volumen V, puede calcularse restando el volumen del sólido formado por la región limitada por g (volumen interno) al volumen del solido formado por la región limitada por f c, d (volumen eterno). Mediante la definición de volumen de sólidos de revolución utilizada anteriormente se obtiene: Esto es: c d d V f k d g k d c d c V f k g k d La interpretación de esta integral como una suma de Riemann, se obtiene de manera análoga a lo realizado en la sección anterior para sólidos huecos, entonces, podemos definir el volumen de este sólido hueco como sigue: Sean f g funciones continuas en el intervalo cerrado c,d, tal que f g c,d sea R la región acotada por la gráfica de f, g las rectas c, d. El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor de la recta k está dado por: b a V f g d Donde: f es el radio de giro de la función f (eterno) g es el radio de giro de la función g (interno)

75 En los próimos dos ejemplos, se determina el volumen de sólidos huecos. En el primero, el eje de giro se encuentra a la derecha de la función, en el segundo, el eje de giro se encuentra a la izquierda de la región. Ejemplo 4.7. Determine el volumen del sólido formado cuando la región comprendida entre la curva la recta gira alrededor de la recta = Solución Despejando de la parábola ; Los puntos de intersección la región se representan en la figura 4.a P -,- - - - P, Figura 4.a Representación gráfica de la región R Figura 4.b Representación gráfica del Sólido que se forma cuando la región gira alrededor de la recta = El sólido formado se representa en la figura 4.b su volumen se determina mediante la solución de tres integrales: V es el volumen del sólido generado entre P el vértice de la parábola (se invita al lector a calcularlo), donde: Entonces: V d V 6

76 V es el volumen del sólido generado entre P el vértice de la parábola, donde: Luego: V d V 68 V es el volumen del sólido generado entre P El volumen V se calcula mediante la solución de la integral: V d P, donde: V 9 Observe que la segunda integral representa el volumen del sólido eterno, las siguientes la de los sólidos internos. Por lo tanto, El volumen del sólido se calcula de la siguiente manera: V V V V Evaluando; V 7 4..- Aplicación Práctica A continuación, se resuelve otro tipo de ejercicio, donde es necesario determinar la altura del nivel del líquido contenido en un depósito, si este no ocupa todo el volumen del recipiente. Ejemplo 4.8. Sea la región R,, ; 0; 6. Determinar: a) El volumen del depósito que se obtiene cuando la región gira alrededor del eje. (considere las medidas del depósito en metros). b) La altura del nivel del líquido si este ocupa el 0% del volumen del depósito.

77 Solución El gráfico de la región del sólido formado cuando esta gira alrededor del eje se representan en las figuras 4.0a. 4.0b: P 0,6 P,4 X P 0,0 Figura 4.0a Representación gráfica de la región R Figura 4.0b Representación grafica del sólido formado cuando la región R gira alrededor del eje Los puntos de intersección se determinan mediante la solución de las siguientes ecuaciones: P es la intersección entre 6, igualando las ecuaciones: 6 6 0 5 Sustituendo; Luego; 4 P,4

78 P es la intersección entre 0 6, sustituendo: Luego; P es la intersección entre 0 6 P 0,6, sustituendo: 0 Luego; P 0,0 Entonces, el volumen del sólido de revolución formado, vendrá dado por la suma de los volúmenes V V, donde: V es el volumen del sólido generado entre P Por lo que; 0 4 V d P, donde: 0 V 8 V es el volumen del sólido generado entre P Por lo que; m 6 V 6 d 4 P, donde: 6 0 V 8 m Si el líquido ocupa el 0% del volumen del depósito, entonces este volumen se calcula de la siguiente manera: 6 V0% m m 5 0, 6 Como 8, la altura del líquido residual estará ubicada en la sección 5 parabólica del depósito, entonces; h 0% V0% d 0

79 6 5 h0% 0 d 6 5 h0% 0 h0% m,46m 5

80 Ejercicios Propuestos En los siguientes ejercicios, plantear la integral que permita calcular el volumen del sólido de revolución formado, cuando la región dada gira alrededor de la recta indicada. R, gira alrededor de:,, ; 5 6; 6 ) a) 0 b) c) 7 d) R,, ; 4; 5; 0 ) a) 0 b) c) 5 d) 5 R,, ; 0; ; ) a) b) 4 c) 5 d) 0 4) R 4,, 4; 4 0; 5 0 a) 4 b) c) d) R 5,, ; 5) a) b) c) 4 d) R 6,, 4 ; 4 4; 4 5 5 6) a) 5 b) c) 4 d) 7) R 7,, ; 9 a) b) 6 c) 4 d) 0 R 8,, ; 4 ; 7 8) a) b) c) 7 d) 0 9) Determinar la altura del nivel del líquido cuando el depósito formado si R, ; 4 ; 0 gira alrededor de 0, está lleno hasta un 60% de su capacidad.