Manual de teoría: Funciones Matemática Bachillerato

Manual de teoría: Funciones Matemática Bachillerato Realizado por José Pablo Flores Zúñiga Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 1

Contenido: ) Funciones.1 Conceptos Básicos de Funciones. Función Lineal.3 Rectas.4 Función Cuadrática.5 Función Eponencial.6 Función Logarítmica Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página

.1 Conceptos básicos: Funciones Función: Dados dos conjuntos no vacíos, A B, se llama función de A en B, a la correspondencia que asocia a todo elemento del conjunto A con un único elemento del conjunto B. Preimagen: Si f, f : A B es una función, los elementos del conjunto A se llaman preimágenes. Imagen: Si f, f : A B es una función, los elementos del conjunto B a quienes se les ha hecho corresponder al menos algún elemento del conjunto A se les llaman imágenes. Si es el correspondiente de por f se epresa como: = f () Dominio: Si f, f : A B es una función. Al conjunto A se llama dominio o conjunto de partida de la función. Codominio: Si f, f : A B es una función. El conjunto B se llama codominio o conjunto de llegada de la función. Ámbito o Rango: Si f, f : A B es una función. Se llama rango o ámbito de f al conjunto de imágenes de la función. Criterio: Si f, f : A B es una función la correspondencia obedece a alguna le general para cada uno de los elementos del dominio, se epresa por = f () Y se llama criterio de asociación de la función. Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 3

Gráfico: Si f, f : A B es una función, el conjunto de pares ordenados (, ) en donde A B, se llama gráfico de la función. Gráfica: Si f, f : A B es una función, A B son subconjuntos de los números reales, la representación de los elementos del gráfico en un sistema coordenado cartesiano XY, se le llama gráfica de la función. Variables dependientes variables independientes: Si f, f : A B es una función con = f (). recibe el nombre de variable independiente. recibe el nombre de variable dependiente. Estas variables se localizan en la gráfica de la función. Ejemplo: Sea f, f : IR IR tal que f ( ) = + 3 El dominio es IR El codominio es IR Imagen de : se sustitue en la : f ( ) = + 3 = 5 Preimagen de -1: se iguala a la función: = + 3 = 4 Criterio: = + 3 Rango: IR Ejemplo Gráfico -4-1 0 3-1 3 6 - Gráfica: Observe a la derecha: - Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 4

Dominio Máimo de una función Real Se analizarán cuatro casos: Caso 1: Funciones Fraccionarias: En este caso el denominador nunca podrá ser cero. Analizamos que valores hacen que el denominador se haga cero o sea donde se indefine la función. Ejemplos: 6 a) f ( ) = Entonces el denominador lo igualamos a cero: = 0 El dominio máimo es: = b) 1 g ( ) = 1 + 1 = 0 + 1 Puesto que = { } 1 IR S no ha indefiniciones: el dominio máimo es: IR Caso : Funciones Radicales en el numerador: Analizaremos raíces de índice par, las de índice impar el dominio es IR. Recuerde que el subradical debe ser positivo o cero. Ejemplos: a) f ( ) = + 3 Entonces el subradical debe ser positivo o cero + 3 0 3 3,+ El dominio máimo es: [ [ Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 5

b) g( ) = 5 5 0 5 5 El dominio máimo es: 5, Caso 3: Funciones Radicales en el denominador: Recuerde que si el denominador es cero se indefine la función. Se trabaja como el método anterior pero el subradical debe ser maor que cero, o sea sólo positivo. Ejemplos: a) f ( ) = 5 + 3 > 0 5 > 3 3 > 5 4 + 5 5 + 3 El dominio máimo es: b) g( ) = 1 1 > 0 > < 1 3,+ 5 El dominio máimo es: ],1[ Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 6

Caso 4: Radicales en el numerador fraccionarias Se analizan los dos casos por aparte Ejemplos: + a) f ( ) = + 5 Analizamos el radical + 0 [,+ [ Analizamos el denominador: + 5 = 0 Quedando una ecuación cuadrática 1 = 5 = 3 Ahora analizamos: 5 [, + [? Como no pertenece se descarta 3 [, + [? En este caso si pertenece como 3 indefine al denominador. El dominio máimo es: [, + [ { 3} Observe que queda el intervalo del radical que no indefine menos las indefiniciones del denominador. b) g ( ) = 5+ 6 5 + 6 = 0 0 1 = 3 [ 0, + [ = Como [ 0, + [ 3 [ 0, + [ 0, +,3 El dominio máimo es: [ [ { } Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 7

Función crecientee decreciente Si < además f ( ) < f ( ) es creciente Si > además f ( ) > f ( ) es decreciente Además eisten funciones que tienen intervalos donde crecen o decrecen, además también puede mantenerse constante, en otras palabras no crece ni decrece. Se analiza en el dominio, si es gráfica, en las. Ejemplos: a) Decrece: ], [ tante en: ],5[ Se mantiene const Crece: ] 5,+ [ 3,+ Ámbito: [ [ b) f ( ) = es creciente: - - Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 8

c) f ( ) = Decrece: ],0[ Crece: ] 0,+ [ - Función Sobreectiva: Es aquella función en la cual el ámbito coincide con el codominio. Función Inectiva: Es aquella función tal que cada segmento del codominio que es imagen de al menos un elemento del dominio, la es de una única preimagen. Función Biectiva: Es aquella función que es inectiva sobreectiva a la vez. De estos últimos tres conceptos lo más importante es que una función biectiva tiene inversa, en las funciones estudiadas por bachillerato, las funciones biectivas son las lineales, eponencial logarítmica recuerde que tienen su función inversa. La función cuadrática no es biectiva. Función Inversa: Si f, f : A B es una función biectiva. Entonces eiste una función inversa denotada por f tal que: f, f : B A Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 9

Observemos el siguiente gráfico: f ( ) = + 3-4 -1 0 3-1 3 6 f ( ) -1 3 6-4 -1 0 3 Note que los puntos en la inversa se alternaron con respecto a la función. Ahora veamos la gráfica: - - La que esta más arriba es f () la de abajo f ( ) note la simetría de ambas funciones. Siempre = va a ser el eje se simetría de una función su inversa. Ahora observamos la gráfica de = log 3 f ) 3 ( = su inversa Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página

- Observa la simetría de ambas funciones el eje de simetría = Determinación de la función inversa: Si se tiene el criterio de una función. Se despeja de ella la variable en términos de. Ejemplos: a) = + 3 Entonces despejamos : = + 3 3 = 3 = Ahora cambiamos por La función inversa es: - = 3 Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 11

b) = 5 = 5 5 = 5 = Entonces la inversa es: = 5 c) = más adelante en este capítulo sabrá que es una función eponencial la inversa es la logarítmica La inversa es: = log d) = ln La inversa es: = e e) si = + 6 calcule f (0) Lo que piden es la imagen en la inversa de 0. Entonces si 0 es preimagen, en la función inversa 0 es imagen. Note que igualamos a 0 la función: 0 = + 6 6 = 3 = f (0) = 3 f) si = 3 Cuánto es la preimagen de 5 en la inversa. Entonces sustituimos el 5 en la función: = 3 5 = 14 En la función inversa: la preimagen de 5 es 14 Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 1

Ejercicios: Determine el dominio máimo de: 1) f ( ) = + 7 + 6 ) f ( ) = 8 5 3) 4) f ( ) = f ( ) = + 6 + 1 6 11 89 43 Determine el criterio de la función inversa: 1 1) = + 46 5 ) = 3) log 1 Determine los intervalos de crecimiento decrecimiento de: = + 6 - - Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 13

. Función Lineal La función lineal estándar viene dada de la forma: Donde m se llama pendiente b intersección Análisis de la función lineal Es una función biectiva por lo tanto tiene inversa Si m > 0 es estrictamente creciente Si m = 0es constante Si m < 0 es estrictamente decreciente. Si m = 1 b = 0 o sea: f ( ) = se llama función identidad Interseca al eje en (0, b) b Interseca al eje en, 0 m Dominio: IR Rango: IR Si se tienen dos puntos:, ( ) ( ) 1 1, Entonces la pendiente es: m = 1 la intersección viene dada por: b = m Ejemplo: Si se tienen: (,1) (,3) entonces: 3 m = = = 3 3 b = 3 = 3 = 1 3 El criterio de la función es: = + 1 3 Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 14

1) Analicemos la función: f ( ) = 11 5 Como m = 11 > 0 Es estrictamente creciente Interseca al eje en ( 0, b ) = ( 0, 5) b 5 Interseca al eje en,0 =,0 m 11 Dominio: IR Rango: IR Gráfica: Ver a la derecha: ) Analicemos: h( ) = h ( ) = + 0 m = < 0 Es estrictamente decreciente Interseca al eje en ( 0,0) Interseca al eje en ( 0,0) Dominio: IR Rango: IR Gráfica: Ver a la derecha: - - - 3) Analicemos: g ( ) = 3 m = 0 Es constante Interseca al eje en ( 0,3) No interseca al eje Dominio: IR Rango: IR Gráfica: Ver a la derecha: - - Ejercicios: Analice las funciones realice un gráfico gráfica de: a) f ( ) = + 6 b) d ( ) = 4 + 3 c) j ( ) = 3 Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 15

.3 Rectas: En una gráfica pueden venir varias funciones lineales recuerden que son rectas, por lo tanto vienen dadas por la forma de = m + b. En caso de que vengan de la forma: a + b + c = d, ha que transformarlas a la forma estándar de = m + b despejando. Rectas paralelas: Son funciones lineales que tienen la misma pendiente. Ejemplo: l1 : = 3 + 5 l : = 3 tienen la misma pendiente por lo que las rectas son paralelasl 1 l Rectas perpendiculares: Son funciones lineales que las pendientes son recíprocas de signos contrarios. Quiere decir que si multiplica las pendientes da menos uno. Ejemplo: l1 : = 3 + 5 l : = Las pendientes son 3 recíprocas opuestas, quiere decir que: 3 = Entonces l1 l Rectas oblicuas: Son funciones lineales que no son paralelas ni perpendiculares. Rectas concurrentes: Son dos rectas que se intersecan en un punto. Entonces son rectas concurrentes las perpendiculares o oblicuas. 3 Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 16

Ejemplos a) l = 3 + 5 l : = 3 1rectas paralelas 1 : - - b) l1 : = 3 + 5 l : = rectas perpendiculares 3 - - c) l = 3 + 5 l : = 1 rectas oblicuas 1 : - - Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 17

Ejercicios resueltos: a) Si los puntos: ( 3,) (,1) pertenecen a una recta l 1 es paralela a una recta lque tiene el punto: ( 5, ) Determine los criterios de la rectas. Podemos comenzar con encontrar el criterio de la recta l 1 1 m = = 3 5 7 El criterio de l 1 es = 7 5 + 5 b = 1 = 1+ = 5 5 5 Puesto que les paralela a l 1 entonces las pendientes son la misma: m = 5 Entonces calculamos la intersección con el punto dado: b = 5 = = 5 El criterio de la recta les = 5 b) Si se tienen que los puntos: (,3) (1,1) pertenecen a una recta l 1 es perpendicular a una recta l que 3,5 Calcular los criterios de las rectas: tiene el punto: ( ) Comencemos por encontrar el criterio de l 1 1 3 m = = = El criterio de l 1 es: = + 1 b = 3 = 3 = Puesto que las rectas son perpendiculares, las pendientes son opuestas recíprocas. Podemos calcular la pendiente de la otra recta l Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 18

m = m = 1 La pendiente de la recta l es 1 Ahora calculamos la intersección: b = 5 3 = 5 3 = El criterio de l es = + - c) si el criterio de la recta l 1 es = + 6 el criterio de la recta l es: = + 3Calcular el punto de intersección de ambas rectas: - Como es el punto de intersección es donde la preimagen e imagen son comunes en las rectas. En donde se igualan: Si = + 6 además = + 3 para encontrar el punto igualamos: + 6 = + 3 + = 3 6 3 = 3 = Y calculamos el valor de la imagen de -1 en cualquiera de las dos funciones: f ( ) = + 3 = 4 = 4 El punto de intersección es: ( 1,4 ) recuerde (, ) - - Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 19

Ejercicios: a) Determine el punto de intersección de las siguientes rectas: 1) = + 5 = 1 + 4 ) = 3 4 = 3) 1 5 = = + 4 3 4 3 4) + 3 = + 4 = 7 b) Calcule los criterios de las rectas si las rectas son paralelas,3,6 l l 1 4, 8 1) ( ) ( ) ( ) 5,3 4,6 l l 1, 7 ) ( ) ( ) ( ) 0,5, 3 l l 1 0, 1 3) ( ) ( ) ( ) c) Calcule los criterios de las rectas si las rectas son perpendiculares,3,6 l l 1 4, 8 1) ( ) ( ) ( ) 0,3,0 l l 1 1, 8 ) ( ) ( ) ( ) 4,, 5 l l 1, 6 3) ( ) ( ) ( ) Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 0

.4 Función Cuadrática La función cuadrática es de la forma general: f ( ) = a + b + c Análisis de la función Si a > 0es cóncava hacia arriba Si a < 0es cóncava hacia abajo 0,c Interseca al eje en ( ) Interseca al eje si 0 en b ±,0 Entonces puede a tener una o dos intersecciones con el eje. Tiene dominio: IR sia > 0es : Ámbito:, + 4a b Vértice:, a 4a sia < 0es :, 4a si a > 0es punto mínimo si a < 0 es un punto máimo b Eje simetría: = a b sia > 0crece:, + a Crece: b sia < 0crece :, a Decrece: b sia > 0decrece :, a b sia < 0decrece :, + a Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 1

Ejemplos: a) Analicemos la parábola: f ( ) = + 6 Puesto que a =1 > 0es cóncava hacia arriba = 1 4(1)( 6) = 5 5 Vértice:, es punto mínimo 4 Interseca al eje en ( 0, 6) Intersecciones con eje : + 6 = 0 1 = 3 = Dominio: IR 5 Rango:, + 4 Eje de simetría en Crece en: Decrece en: Interseca al eje en ( 3,0) 1,+ =, (,0) - - Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página

+ b) analizar la función: f ( ) = 1 Como a = < 0es cóncava hacia abajo = 0 4( )(1) = 4 Vértice: ( 0,1) es un punto máimo Interseca al eje en ( 0,1) Interseca al eje en: (,0 ) ( 1,0) Dominio: IR Rango: ],1] Eje de simetría: = 0 o sea el eje Crece: ],0[ 0,+ Decrece: ] [ -4 4 Ejercicios: Analice las siguientes funciones, construa un gráfico su gráfica: 1) f ( ) = + 4 + 6 - ) f ( ) = 3) f ( ) = + 6 4) f ( ) = Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 3

.5 Función Eponencial La función eponencial posee la forma: f ( ) = a Recuerde que es biectiva por lo tanto tiene función inversa que es la logarítmica. Análisis de la función: Dominio: IR + Codominio: IR Si a > 1es estrictamente creciente a 0,1 es estrictamente decreciente Si ] [ Interseca el eje en ( 0,1) No interseca al eje Tiene asíntota al eje Ejemplos: a) Analizar la función: f ( ) = 3 Debemos llevarla a la forma estándar: f = 1 ( ) 3 = 3 Dominio: IR + Codominio: IR ] 0, 1[ 1 a = 3 Es estrictamente decreciente Interseca al eje en ( 0,1) Tiene asíntota al eje -4 4 b) Analizar la función: h( ) = π Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 4

Dominio: IR + Codominio: IR a = π >1 Es estrictamente creciente Interseca al eje en ( 0,1) Tiene asíntota al eje + c) Si f f : ], 0] IR, para f ) = e ( Cuál es el rango? Para este tipo de ejercicios, sugiero hacerse una gráfica sabiendo si es creciente o decreciente, en este caso es creciente. No importa si no corresponde a la gráfica correcta, solo si es creciente o decreciente. Nos puede servir la gráfica del ejercicio anterior porque es creciente.,0 0,1 Observe que para dominio ] ] el rango va de: ] ] + d) Si f f : ] 0, + ] IR, para f ( ) = e Cuál es el rango? Como en el ejercicio anterior, observe que si el dominio es:,+ 1,+ ] 0 ] El rango es: [ [ Ejercicios: Analice las funciones, realice un gráfico gráfica. 1) f ( ) = e ) f ( ) = ( ln ) Note que ln es un número no una función. Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 5

.6 Función Logarítmica La función logarítmica tiene la forma: f ( ) = loga Recuerde que es una función biectiva por lo tanto tiene inversa a la función eponencial. Análisis de la función: + Dominio: IR Codominio: IR Si a > 1es estrictamente creciente a 0,1 es estrictamente decreciente Si ] [ Interseca el eje en ( 1,0) No interseca al eje Tiene asíntota al eje Ejemplos: a) Analizar la función: + Dominio: IR Codominio: IR 4 a = 5 > 1 Es estrictamente creciente Interseca el eje en ( 1,0) Tiene asíntota al eje f ( ) = log5-4 Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 6

b) Analizar la función: j( ) = ln Debemos llevarla a la forma estándar: j( ) = ln = log 1 e + Dominio: IR Codominio: IR 1 a =e ] 0,1[ Es estrictamente decreciente Interseca el eje en ( 1,0) Tiene asíntota al eje 4-4 + c) Si f, f : IR IR + para f ( ) = ln Cuál es el dominio? Observando la gráfica en el ejercicio anterior, observe que si el rango es: + IR el dominio es: ] 0,1[ + d) d) Si f, f : IR IR para f ( ) = ln Cuál es el dominio? Observando la gráfica en el ejercicio anterior, observe que si el rango es: 1,+ IR el dominio es: ] [ Ejercicios: Analizar las funciones, realizar un gráfico una gráfica 1) f ( ) = log ) f ( ) = log 5 6 Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 7