Teorema del Muestreo

Teorema del Muestreo Dr. Luis Javier Morales Medoza Procesamieto Digital de Señales Departameto de Maestría DICIS - UG Ídice 1.1. Itroducció 1.2. Coversió aalógico-digital y digital-aalógico 1.3. Proceso de muestreo 1.4. Teorema del muestreo 1.. Alteració de la tasa de muestreo 1.6. Tarea Dr. Luis Javier Morales Medoza 2 1

Itroducció 1.1. Itroducció Las técicas de señales digitales proporcioa u método alterativo para procesar ua señal aalógica de iterés práctico tales como la voz, señales biológicas, sísmicas, del soar y de los distitos tipos de comuicacioes so. Para realizar esto, es ecesario ates que ada de ua iterfaz etre la señal aalógica y el procesador digital y viceversa. Estas iterfaces so el covertidor Aalógico-Digital (ADC) y el covertidor Digital-Aalógico (DAC) como se muestra e la Figura 1.1. Señal Aalógica ADC Procesador Digital DAC Señal Aalógica Figura 1.1: Diagrama a bloques de u sistema digital Dr. Luis Javier Morales Medoza 3 Itroducció El procesador digital de señales puede ser u gra ordeador digital programable (p. e. ua PC) o u pequeño microprocesador embebido (p. e. u DSP, FPGA, PIC) para realizar las operacioes deseadas sobre la señal de etrada. Figura 1.2: DSP de la compañía Altera y uo de la Familia TMS320 de Texas Istrumets Dr. Luis Javier Morales Medoza 4 2

Coversió AD y DA 1.2. Coversió Aalógico-Digital y Digital-Aalógico Para procesar señales aalógicas por medios digitales es ecesario covertirlas a formato digital, esto es, trasformarlas e ua secuecia de úmeros de precisió fiita. Este procedimieto se deomia coversió aalógico-digital (ADC). Coceptualmete, se puede ver que la ADC posee u proceso de tres pasos los cuales so: 1. Muestreo. Esta es la coversió de ua señal e tiempo cotiuo a ua señal e tiempo discreto obteida tomado muestras de la señal e tiempo cotiuo e istates de tiempo discreto. Así x a (t) es la etrada al muestreador, la salida es x a (T) x(), dode T se deomia el itervalo de muestreo. Dr. Luis Javier Morales Medoza Coversió AD y DA 2. Cuatificació. Esta es la coversió de ua señal e tiempo discreto co valores cotiuos a ua señal e tiempo discreto co valores discretos (señal digital). El valor de cada muestra de la señal se represeta mediate u valor seleccioado de u cojuto fiito de valores posibles. La diferecia etre la muestra si cuatificar x() y la salida cuatificada x q () se deomia error de cuatificació. 3. Codificació. E el proceso de codificació, cada valor discreto x q () se represeta mediate ua secuecia biaria de b bits. x a (t) x() x q () 1001 Muestreador Cuatificador Codificador Figura 1.3: Diagrama a Bloques de u ADC Dr. Luis Javier Morales Medoza 6 3

Coversió AD y DA ADC tipo flash (e paralelo). Cosiste e ua serie de comparadores arreglados e paralelo que compara a la señal co ua referecia para cada ivel. El resultado de las comparacioes igresa a u circuito lógico que cueta los comparadores activados. Figura 1.4: ADC Flash Dr. Luis Javier Morales Medoza 7 Coversió AD y DA ADC de simple rampa. Este tipo de covertidor utiliza u itegrador co u codesador que se carga a pediete costate hasta alcazar la tesió a covertir, istate e el que cesa la itegració. El tiempo requerido es proporcioal a la tesió de etrada, y puede medirse co u cotador digital. Figura 1.: ADC Simple Rampa Dr. Luis Javier Morales Medoza 8 4

Coversió AD y DA ADC de doble rampa. Este esquema permite idepedizarse de la precisió de la frecuecia del reloj, la resistecia y el codesador. La coversió se hace e dos etapas, la primera se realiza la itegració de la tesió de etrada durate u tiempo fijo, y e la seguda se produce la descarga co pediete fija, durate u tiempo que depede de la catidad de carga acumulada. Figura 1.6: ADC doble rampa Dr. Luis Javier Morales Medoza 9 Coversió AD y DA DAC de escalera. Esta cofiguració permite u rago amplio de valores de las resistecias. E la actualidad, este tipo de circuito es superado por las redes de escalera del tipo R-2R Figura 1.7: DAC de escalera Dr. Luis Javier Morales Medoza 10

Coversió AD y DA DAC de escalera R-2R. La propiedad de esta cofiguració es que cualquiera que sea el úmero de seccioes e la red, la resistecia vista por el operacioal es R. Figura 1.8: DAC escalera R-2R Dr. Luis Javier Morales Medoza 11 Coversió AD y DA Existe otros circuitos covertidores aalógico-digital y digital-aalógico que posee circuitería mucho más compleja para mejorar que las vistas atrás. Por ejemplo, los ADC usa DAC detro de su propia circuiteria. Alguos ejemplos so: de aproximacioes sucesivas, balace cotiuo y de rampa discreta Figura 1.9: aproximacioes sucesivas Dr. Luis Javier Morales Medoza 12 6

Coversió AD y DA Alguos parámetros de iterés para los DAC so: La resolució, exactitud, el error de escala, error de offset, mootoía, Tiempo de establecimieto, slew-rate, sobrepico y glith, derivadas co la temperatura y co el evejecimieto etre otros parámetros. Para los ADC so: Rechazo al ruido, resolució, error de cuatizació, error de histéresis, error de offset, error de cero, y error de escala. Dr. Luis Javier Morales Medoza 13 Muestreo de Señales.3. Muestreo de señales aalógicas Existe muchas maeras de muestrear ua señal, la más comú es el muestreo periódico o uiforme. Este proceso se describe mediate la relació x ( ) x ( T ) = a < < + (1.1) dode x() es la señal e tiempo discreto obteida tomado muestras de la señal aalógica x a (t) cada T segudos. Este proceso se ilustra e la Figura 1.10. El itervalo de tiempo T etre dos muestras sucesivas se deomia periodo de muestreo o itervalo de muestreo, y su reciproco (1/T = F s ) se llama velocidad de muestreo (muestras por segudo) o frecuecia de muestreo (Hertz). Dr. Luis Javier Morales Medoza 14 7

Muestreo de Señales x a (t) x() = x a (t) x a (t) F s = 1/T Muestreador x() x a (t) x() = x a (t) t 1 2 3 4 6 7 8 9 T 2T T 9T t = T Figura 1.10: Muestreo periódico de ua señal aalógica Dr. Luis Javier Morales Medoza 1 Muestreo de Señales El muestreo periódico establece ua relació etre las variables t de tiempo cotiuo y de tiempo discreto. De hecho, estas variables se relacioa liealmete a través del periodo de muestreo T o equivaletemete, a través de la velocidad de muestreo como t T = T = (1.2) Como cosecuecia de (1.2), existe ua relació etre la variable frecuecia F de las señales aalógicas y la variables frecuecia f de las e tiempo discreto. Para establecer dicha relació si se cosidera ua señal aalógica de la forma ( t) = A ( π Ft +θ ) x a 2 cos (1.3) Dr. Luis Javier Morales Medoza 16 8

Muestreo de Señales que, cuado se muestrea periódicamete a ua velocidad de F s = 1 /T muestras por segudo, da lugar a ( T ) x( ) = Acos( π FT +θ ) x a 2 x 2πF ( ) = Acos + θ F s Si ua señal e tiempo discreto es expresada como ( ) = A ( π f +θ ) x 2 (1.4) cos (1.) etoces, al comparar la relació (1.4) co la (1.), se observa que las variables de frecuecia F y f está liealmete relacioadas como Dr. Luis Javier Morales Medoza 17 Muestreo de Señales F f = (1.6) F s Si ω = 2πf y Ω = 2πF, etoces, la (1.6) queda como ω = ΩT (1.7) La relació dada e (1.6) justifica el ombre de frecuecia ormalizada o relativa, que se usa a veces para describir a la variable f. Como se ve e (1.6), se puede usar a f para determiar a la frecuecia F solo si la frecuecia de muestreo F s es coocida. El rago de la variable de frecuecia F ó Ω para seoides e tiempo cotiuo es < Ω < + < F < + (1.8) Dr. Luis Javier Morales Medoza 18 9

Muestreo de Señales Si embargo, la situació es diferete para seoides e tiempo discreto, las cuales establece que ½ < F < ½ π < ω < π (1.9) Sustituyedo (1.6) y (1.7) e (1.9) se ecuetra que la frecuecia de la seoide e tiempo cotiuo cuado se muestreo a ua velocidad F s = 1/T debe ecotrarse e el rago o equivaletemete 1 Fs = 2T 2 Fs F 2 1 = 2T (1.10) π = πfs Ω πfs T π = T (1.11) Dr. Luis Javier Morales Medoza 19 Muestreo de Señales Ejemplo 1. cosidere la siguiete señal aalógica x a ( t) = 3cos( 100πt ) a) Si la señal se muestrea a ua velocidad de F s = 200Hz cuál es la señal e tiempo discreto obteida tras el muestreo?. b) Si la velocidad de muestreo cambia a F s = 7Hz. Sol. Aplicado la (1.4) se tiee a) b) x x 100π 200 ( ) = 3cos = 100π 7 ( ) = 3cos = π 3cos 2 4π 3cos 3 Dr. Luis Javier Morales Medoza 20 10

Muestreo de Señales Figura 1.11: Muestreo de la señal x a (t) Dr. Luis Javier Morales Medoza 21 Teorema del Muestreo.4. Teorema de Muestreo Dada ua señal aalógica cualesquiera, cómo se debe elegir el periodo de muestreo T? ó cual es velocidad de muestres F s? Para cotestar esta preguta es ecesario cierta iformació sobre la característica de la señal que va a ser muestreada. E particular, se debe teer cierta iformació geeral sobre el coteido de frecuecia de la señal. Geeralmete, dicha iformació se ecuetra dispoible, por ejemplo se sabe que la frecuecia mayor e señales de voz roda los 3KHz o e las señales de televisió tiee compoetes de frecuecia importate hasta los MHz. La iformació coteida e dichas señales se ecuetra e la amplitud, frecuecia y fase de las distitas compoetes de frecuecia, pero ates de obteer dichas señales o se cooce sus características co detalle. Dr. Luis Javier Morales Medoza 22 11

Teorema del Muestreo De hecho, el propósito del procesado de señal es ormalmete la extracció de dichas características. Si embargo, si se cooce la máxima frecuecia de ua determiada clase de señal, se puede especificar la velocidad de muestreo ecesaria para covertir las señales aalógicas e señales digitales. Si se supoe que cualquier señal aalógica se puede represetar como ua suma de seoides de diferetes amplitudes, frecuecias y fases, es decir x a N () t = A cos( 2 Ft + θ ) i= 1 i π (1.12) dode N idica el úmero de compoetes de frecuecia. Todas las señales, como las de voz ó video se presta a dicha represetació e cualquier itervalo de tiempo pequeño. i i Dr. Luis Javier Morales Medoza 23 Teorema del Muestreo Normalmete, las amplitudes, fases y frecuecias varía letamete de u itervalo de tiempo al siguiete. Si se supoe que la frecuecia de ua determiada señal o excede ua frecuecia máxima coocida F max. Por ejemplo, si F max = 3KHz, para señales de voz y F max = MHz para señales de video, se puede ver que la máxima frecuecia puede variar ligeramete, y para asegurar que F max o sobrepase determiado valor, la señal aalógica es pasada a través de u filtro que ateúe fuertemete las compoetes de frecuecia por ecima de F max. E la práctica, este filtrado se realiza ates del muestreo. Se sabe que la frecuecia más alta de ua señal aalógica que puede recostruirse si ambigüedad cuado la señal se muestrea a ua velocidad de F s = 1/T es F s /2. Cualquier frecuecia por ecima de F s /2 o por debajo de F s /2 produce muestras que so idéticas a las correspodietes a las frecuecias detro del itervalo F s /2 F F s /2. Dr. Luis Javier Morales Medoza 24 12

Teorema del Muestreo Para evitar las ambigüedades, que resulta del aliasig, se debe seleccioar ua velocidad de muestreo lo suficietemete alta, esto es, se debe escoger a F s /2 mayor que a F max. Por lo tato para evitar el problema de aliasig, se seleccioa a F s como F s > 2F max (1.13) Teorema: Si la frecuecia más alta coteida e ua señal aalógica x a (t) es F max = B y la señal se muestrea a ua velocidad F s > 2F max, etoces x a (t) se puede recuperar totalmete de sus muestras mediate la siguiete fució de iterpolació: g () t ( 2πBt) si = 2πBt (1.14) Dr. Luis Javier Morales Medoza 2 Teorema del Muestreo Así, x a (t) se puede expresar como a () t = = x a g t Fs Fs x (1.1) dode x a (/F s ) = x a (T) = x(). Cuado el muestreo de x a (t) se realiza a la tasa míima de muestreo F s =2B, la formula de recostrucció (1.1) se trasforma e x a () t = si 2π xa = 2 2πB B B( t 2B) ( t ) 2B (1.16) La tasa de muestreo dada por FN = 2B = 2Fmax, se deomia tasa de Nyquist. La Figura 1.12 ilustra el proceso de u DAC ideal que usa esta fució de iterpolació. Dr. Luis Javier Morales Medoza 26 13

Teorema del Muestreo g () t si 2π = 2πB B( t 2B) ( t ) 2B Figura 1.12: Coversió aalógico a digital ideal Dr. Luis Javier Morales Medoza 27 Teorema del Muestreo Como puede observarse tato e la (1.1) como e la (1.16), la recostrucció de x a (t) a partir de la secuecia x() es u proceso complicado que supoe la suma poderada de la fució de iterpolació g(t) y sus versioes correspodietemete desplazadas e el tiempo g(t - T) co < <, dode los coeficietes de poderació so las muestras de x(). Dada la complejidad y el ifiito úmero de muestras que se requiere e (1.1) y (1.16), éstas formulas de recostrucció, so puramete de iterés teórico. Ejemplo 2. Cosidere la siguiete señal aalógica x a () t = 3cos0πt + 10si 300πt cos100πt Cual es la tasa de Nyquist para esta señal? Dr. Luis Javier Morales Medoza 28 14

Teorema del Muestreo Sol. Las frecuecias presetes e la señal so: F = 1 2Hz F = 10Hz F 0Hz 2 3 = Por lo tato, la frecuecia máxima coteida e la señal es 10Hz, y de acuerdo a (1.13) la tasa de Nyquist es F N = 2F max F N = 300Hz Dr. Luis Javier Morales Medoza 29 Teorema del Muestreo Ejemplo 3. Cosidere la siguiete señal aalógica x a ( t) = 3 cos 2000πt + si 6000πt + 10cos12000πt a) Cual es la tasa de Nyquist para esta señal? b) supoga ahora que se muestrea esta señal a ua velocidad de F s = 000 muestras por segudo Cuál es la señal e tiempo discreto que se obtiee tras el muestreo? Sol. F = 1 1KHz F = 3KHz F3 = 6KHz 2 Por lo tato F N = 12KHz Dr. Luis Javier Morales Medoza 30 1

Teorema del Muestreo b) Dado que se ha elegido a F s = KHz, la máxima frecuecia que puede ser represetada si ambigüedad mediate las muestras es usado la (1.2) se obtiee F s KHz 2 = 2. 3 ( t) = 3cos 2π ( 1 ) ( ) 2 ( + si 2π + 10cos π ) 1 = 3 cos 2π ( 1 ) ( 2 ) ( 1 + si 2π 1 + 10cos 2π + ) 1 = 3cos 2π ( 1 ) ( 2 ) 2 ( + si 2π + 10cos π ) 1 2 = 13cos 2π ( ) si 2π ( ) x a 6 Dr. Luis Javier Morales Medoza 31 Tarea 1. Ivestigue e forma detallada cada uo de los covertidores aalógicodigital que se presetaro e esta lectura, cubriedo el aálisis del circuito, aplicacioes, vetajas y desvetajas que preseta cada uo, etre otros datos de iterés. 2. Realice la programació de u DAC y ADC e Matlab aplicado los métodos de coversió descritos e esta lectura. 3. Ivestigue cual es el estado del arte de los covertidores aalógicosdigitales y digitales-aalógicos e cuestió de diseño electróico, e programació de alguos sistemas embebidos (PIC, FPGA, DSP), velocidad, etc. Dr. Luis Javier Morales Medoza 32 16

Tarea 4. Se tiee las siguietes señales aalógicas x a x a x a () t = 3 cos 600πt + 2cos1800πt () t = Re{ exp( j200πt )} + 7 Im{ exp( j400πt )} () t = 3Re{ exp( j200πt )} Im{ exp( j100πt )} Ecuetre: a) La frecuecia máxima b) La tasa de Nyquist c) Si la frecuecia de muestreo cambia a F s = 00 muestras por segudo Cuál es la señal e tiempo discreto que se obtiee tras el muestreo? Dr. Luis Javier Morales Medoza 33 17