GRAMATICAS REGULARES - EXPRESIONES REGULARES

CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 29 GRAMATICAS REGULARES - EXPRESIONES REGULARES Grmátis Ls grmátis formles definen un lenguje desriiendo ómo se pueden generr ls dens del lenguje. Un grmáti forml es un udrupl G = (N, T, P, S) donde - N es un onjunto finito de símolos no terminles - T es un onjunto finito de símolos terminles N T = - P es un onjunto finito de produiones Cd produión de P tiene l form α β, α = ϕaρ y β = ϕωρ ϕ, ω, ρ (N T) * y A es S ó A N - S es el símolo distinguido o xiom S (N T) Restringiendo los formtos de produiones permitids en un grmáti, se pueden espeifir utro tipos de grmátis (tipo,, 2 y 3) y sus orrespondientes lses de lengujes. Grmátis regulres (Tipo 3) Genern los lengujes regulres (quellos reonoidos por un utómt finito). Son ls grmátis más restritivs. El ldo dereho de un produión dee ontener un símolo terminl y, omo máximo, un símolo no terminl. Ests grmátis pueden ser: - Lineles dereh, si tods ls produiones son de l form A N {S} A B ó A B N T (en el ldo dereho de ls produiones el símolo no terminl pree l dereh del símolo terminl) - Lineles izquierd, si tods ls produiones son de l form A N {S} A B ó A B N T (en el ldo dereho de ls produiones el símolo no terminl pree l izquierd del símolo terminl) En mos sos, se puede inluir l produión S, si el lenguje que se quiere generr ontiene l den ví. Por ejemplo ls siguientes grmátis G y G 2, son grmátis regulres lineles dereh y lineles izquierd respetivmente, que genern el lenguje L = { 2n / n } G = ({A, B}, {}, P, S ) G 2 = ({C, D}, {}, P 2, S 2 ) donde P es el jto. donde P 2 es el jto. S S 2 S A S 2 C A B C D A C B A D C

CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 29 Algoritmo pr otener l grmáti regulr desde el utómt finito Existe un lgoritmo que permite otener un grmáti regulr que gener un lenguje regulr ddo prtir del utómt finito que reonoe ese lenguje. Los psos seguir son los siguientes: ) Asoir l estdo iniil el símolo distinguido S. 2) Asoir d estdo del utómt (menos el estdo iniil) un símolo no terminl. Si l estdo iniil lleg lgún ro soir tmién un símolo no terminl (demás del símolo distinguido). No soir símolo no terminl quellos estdos finles de los que no slen ros. 3) Pr d trnsiión definid δ (e i, ) = e j, gregr l onjunto de produiones, l produión A B, siendo A y B los símolos no terminles soidos e i y e j respetivmente. Si e j es un estdo finl, gregr tmién l produión A. Si e j es el estdo iniil (tiene dos símolos soidos, el distinguido y un no terminl), utilizr el símolo no terminl (de est mner se evit que el símolo distinguido prez l dereh de un produión). 4) Si el estdo iniil es tmién finl gregr l produión S. Ejemplo : Derivión de l grmáti orrespondiente l lenguje del ej. 4 del punte de utómts finitos L 4 = { x / x {, } * y x ontiene l suden ó x ontiene l suden } L 4 = L(M 4Dmin ), M 4Dmin = < {p, p, p 2, p 3 }, {, }, δ, p, {p 3 }> δ está definid por el siguiente digrm de trnsiión de estdos A S p p p 3, C p 2 B Como l estdo iniil no entrn ros, se soi únimente el símolo distinguido S. L grmáti orrespondiente este lenguje es G = ({A, B, C}, {, }, P, S), siendo P el siguiente onjunto: S A y que δ (p o, ) = p y S y A están soido p y p respetivmente. S B y que δ (p o, ) = p 2 y S y B están soido p y p 2 respetivmente. A C A A B B A B C B C C C C C C

CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 29 Ejemplo 2: Derivión de l grmáti orrespondiente l lenguje del ej. 3 del punte de utómts finitos. L 3 = {x 3m / x {, } * y l ntidd de s es pr y m }, siendo L 3 = L(M 3D ) M 3D = < {e, e, e 2, e 3, e 4 }, {,, }, δ 3D, e, {e, e 4 }> δ 3D está definid por el siguiente digrm de trnsiión de estdos B e C D E e e 2 e 3 e 4 S A Como l estdo iniil entrn ros, se soi el símolo distinguido S y demás un símolo no terminl A. L grmáti orrespondiente este lenguje es G = ({A, B, C, D, E}, {,, }, P, S), siendo P el siguiente onjunto: S (el estdo iniil es tmién finl) A C S A B B S B A (se us el símolo no terminl soido l estdo iniil) S B B S C C D A A D E A D A B E C Ejemplo 3: Derivión de l grmáti orrespondiente l lenguje del ej. 7 del punte de utómts finitos. L 7 = { 2n 2k+ / n y k } {x / x {, } * y x ontiene l suden } siendo L 7 = L(M 7Dmin ), M 7Dmin = < {p, p, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6 }, {, }, δ, p, {p 3, p 6 }> δ está definid por el siguiente digrm de trnsiión de estdos S A B C D p p p 2 p 3 p 4, p 5 p 6 E F L grmáti orrespondiente este lenguje es G = ({A, B, C, D, E, F}, {, }, P, S), siendo P el siguiente onjunto: S A B C C D F F A B B D C E E F A E C D D E F F F B A C F D F E F

CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 29 Expresiones regulres Se denominn expresiones regulres sore un lfeto A, ls expresiones que se pueden onstruir prtir de ls siguientes regls: - es un expresión regulr que desrie el lenguje vío; - es un expresión regulr que desrie el lenguje {}, esto es el lenguje que ontiene únimente l den ví; - Pr d símolo A, es un expresión regulr que desrie el lenguje {}, esto es el lenguje que ontiene únimente l den ; - Si r y s son expresiones regulres que desrien los lengujes L(r) y L(s) respetivmente: i) r + s es un expresión regulr que desrie el lenguje L(r) L(s) ii) r. s es un expresión regulr que desrie el lenguje L(r). L(s) iii) r * es un expresión regulr que desrie el lenguje L(r) *. El operdor de lusur es el que tiene myor preedeni, seguido por el operdor de ontenión y por último el operdor de unión. Ls expresiones regulres desrien los lengujes regulres (quellos reonoidos por utómts finitos). Por ejemplo ls siguientes son expresiones regulres válids: - *. que desrie el lenguje L = { n / n } - ( + ) * que desrie el lenguje L = { x / x {, } * } Leyes lgeris pr expresiones regulres Dos expresiones regulres r y s son equivlentes (r s) si L(r) = L(s) Sen r, s y t expresiones regulres: ) r + + r r 2) r.. r r 3) r.. r 4) r + s s + r 5) (r + s) + t r + (s + t) 6) (r. s). t r. (s. t) 7) r. (s + t) r. s + r. t 8) (s + t). r s. r + t. r 9) r + r r ) * ) r. r * r *. r 2) r. r * + r * 3) (r *. s * ) * (r + s) * 4) (r * ) * r * Construión de utómts finitos prtir de expresiones regulres Los lengujes desriptos por expresiones regulres son los lengujes reonoidos por los utómts finitos. Existe un lgoritmo pr onvertir un expresión regulr en el utómt finito no determinístio orrespondiente. El lgoritmo onstruye prtir de l expresión regulr un utómt on trnsiiones vís, es deir un utómt que ontiene ros rotuldos on. Luego este

CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 29 utómt on trnsiiones vís se puede onvertir en un utómt finito sin trnsiiones vís que reonoe el mismo lenguje. Construión del utómt finito on trnsiiones Si r es un expresión regulr on n operdores y sin vriles omo operndos tómios, existe un utómt finito no determinístio M on trnsiiones (AFND-) que ept solmente quells dens que están en L(r). M tiene un estdo finl, no entrn ros l estdo iniil y no slen ros del estdo finl. r puede ser un expresión sin operdores (, o un símolo) o on operdores (+,., *). Si r no tiene operdores, entones: Pr r = el AFND- es e e Pr r = el AFND- es e e Pr r = ( A) el AFND- es e e Si r tiene operdores, se dn tres sos dependiendo de l form de r: ) r = r + r 2 Sen M = <E, A, δ, e, {e f }> y M 2 = <E 2, A, δ 2, e 2, {e f2 }>, los utómts orrespondientes r y r 2. Se onstruye un nuevo utómt M que une estos dos utómts M y M 2 gregndo un estdo iniil e y un estdo finl e f ; M = < E E 2 {e, e f }, A, δ, e, {e f }>. El estdo iniil de M tiene trnsiiones los estdos iniiles de M y M 2 ; los estdos finles de estos utómts tienen trnsiiones l estdo finl del utómt M. e... M e f e e f e 2... M 2 e f2 2) r = r. r 2 Sen M = <E, A, δ, e, {e f }> y M 2 = <E 2, A, δ 2, e 2, {e f2 }>, los utómts orrespondientes r y r 2. Se onstruye un nuevo utómt M, M = < E E 2, A, δ, e, {e f2 }> que tiene omo estdo iniil l estdo iniil de M y omo estdo finl l estdo finl de M 2 ; tiene demás un ro rotuldo desde el estdo finl de M l estdo iniil de M 2. e... e f e 2... e f2 M M 2

CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 29 3) r = r * Se M = <E, A, δ, e, {e f }> el utómt orrespondiente r. Se onstruye un nuevo utómt M, M = < E {e, e f }, A, δ, e, {e f }>; y se gregn ros rotuldos desde e l estdo iniil de M y l estdo finl de M, y desde el estdo finl de M l estdo iniil de M y e f. Ejemplo 4: Construir el AFND- orrespondiente l siguiente expresión regulr r =. + *. r es de l form r + r 2, donde r =. y r 2 = *. r se puede expresr omo r 3. r 4, donde e e... e f M e f r 3 = e e 2 r 4 = e 3 e 4 El utómt pr r es e e 2 e 3 e 4 r 2 se puede expresr omo r 5. r 6, donde r 5 = r 7 * siendo r 7 = e 6 e 7 El utómt pr r 5 es e 5 e 6 e 7 e 8 r 6 = El utómt pr r 2 es e 9 e e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 e El utómt orrespondiente r es

CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 29 AFND- =<{e, e, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9, e, e }, {, }, δ, e, {e }>, on δ definid por el siguiente digrm de trnsiión de estdos e e e 2 e 3 e 4 e e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 e Construión del AFND prtir del AFND- Ddo un AFND- es posile onstruir un AFND equivlente sin trnsiiones vís que reonoe el mismo lenguje. Los estdos del nuevo utómt son los estdos importntes del AFND- y el estdo iniil del AFND-. Se denominn estdos importntes quellos estdos los que lleg un ro on un símolo rel omo rótulo. El estdo iniil es el estdo iniil del AFND-. L funión de trnsiión se define teniendo en uent que existe un trnsiión del estdo importnte e i l estdo importnte e j on el símolo x, si existe lgún estdo e k tl que: - se puede llegr desde el estdo e i l estdo e k on un mino de ó ms trnsiiones ; se permite e i = e k ; - en el AFND- existe un trnsiión del estdo e k l estdo e j rotuld on el símolo x. Los estdos finles del nuevo utómt son los estdo finles del AFND- y todos los estdos e i del AFND- pr los ules existe un mino on trnsiiones, en el AFND-, lgún estdo finl del AFND-. Ejemplo 5: Construión del AFND orrespondiente l AFND- del ejemplo 4. El onjunto de estdos está formdo por e (estdo iniil) y por los estdos e 2, e 4, e 7 y e (estdos importntes). Los estdos finles son e 4 y e (existe un mino en el AFND- on trnsiiones un estdo finl del AFND-). El estdo iniil es e. Trnsiiones pr el estdo e : desde el estdo e se pueden lnzr on trnsiiones los estdos e, e, e 5, e 6, e 8 y e 9. En el AFND- existe un trnsiión de e e 2 on, un trnsiión de e 6 e 7 on y un trnsiión de e 9 e on. Entones en el nuevo utómt hy un trnsiión de e e 2 on, un trnsiión de e e 7 on y un trnsiión de e e on. Trnsiiones pr el estdo e 2 : desde el estdo e 2 se pueden lnzr on trnsiiones los estdos e 2 y e 3. En el AFND- existe un trnsiión de e 3 e 4 on. Entones en el nuevo utómt, hy un trnsiión del estdo e 2 l estdo e 4 on. Trnsiiones pr el estdo e 7 : desde el estdo e 7 se pueden lnzr on trnsiiones los estdos e 6, e 7, e 8 y e 9. En el AFND- existe un trnsiión de e 6 e 7 on y un trnsiión de e 9 e on. Entones en el nuevo utómt, hy un trnsiión del estdo e 7 l estdo e 7 on y un trnsiión del estdo e 7 l estdo e on. Trnsiiones pr el estdo e 4 : desde el estdo e 4 se pueden lnzr on trnsiiones los estdos e 4 y e. Como en el AFND- no existen trnsiiones sore símolos reles desde el estdo e, entones no se gregn trnsiiones desde el estdo e 4 en el nuevo utómt.

CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 29 Trnsiiones pr el estdo e : desde el estdo e se pueden lnzr on trnsiiones los estdos e y e. Como en el AFND- no existen trnsiiones sore símolos reles desde el estdo e, entones no se gregn trnsiiones desde el estdo e en el nuevo utómt. El utómt orrespondiente sin trnsiiones se define AFND = <{e, e 2, e 4, e 7, e }, {, }, δ, e, {e 4, e }>, on δ definid por el siguiente digrm de trnsiión de estdos e 2 e 4 e e 7 e Se puede oservr que este utómt es no determinístio. Como y se h visto, es posile onstruir prtir del mismo el utómt finito determinístio equivlente que reonoe el mismo lenguje. Ejemplo 6 Construir el AFND- orrespondiente l siguiente expresión regulr r = ( + * ). r es de l form r. r 2, donde r = + * y r 2 = r se puede expresr omo r 3 + r 4, donde r 3 = * r 4 = r 5 siendo r 5 = El utómt pr r 4 es e e 2 e 4 e 5 e 3 e 4 e 5 e 6 El utómt pr r es El utómt pr r 2 es e e 2 e e 7 e 3 e 4 e 5 e 6 e 8 e 9

CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 29 El utómt orrespondiente r es AFND- =<{e, e, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9 }, {, }, δ, e, {e 9 }>, on δ definid por el siguiente digrm de trnsiión de estdos e e 2 e e 7 e 3 e 4 e 5 e 6 e 8 e 9 Construión del AFND orrespondiente l AFND- nterior El onjunto de estdos está formdo por e (estdo iniil) y por los estdos e 2, e 5 y e 9 (estdos importntes). El únio estdo finl es e 9 El estdo iniil es e. El utómt orrespondiente sin trnsiiones se define AFND = <{e, e 2, e 5, e 9 }, {, }, δ, e, {e 9 }>, on δ definid por el siguiente digrm de trnsiión de estdos e e 2 e 9 e 5 Se puede oservr que este utómt es no determinístio. Como y se h visto, es posile onstruir prtir del mismo el utómt finito determinístio equivlente que reonoe el mismo lenguje, que podrí ser luego minimizdo. Otr posiilidd es simplifir l expresión regulr primero pr otener diretmente el AFD mínimo. r = ( + * ). ( + * ). (. +. * + ). (. ( + * ) + ). (. ( +. * + ) + ). (. (. * + ) + ). (. * + ). *.

CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 29 Construión de l expresión regulr prtir del utómt A prtir de ulquier utómt finito es posile otener un expresión regulr que desrie el lenguje reonoido por el utómt. Est onversión onsiste en ir eliminndo los estdos del utómt uno por uno, reemplzndo los rótulos sore los ros, que iniilmente son símolos, por expresiones regulres más omplids. Eliminión de estdos del utómt: Se dese eliminr el estdo u, pero se deen mntener los rótulos de ls expresiones regulres sore los ros de modo tl que los rótulos de los minos entre ulesquier pr de estdos de los estdos restntes no mien. s s 2... s n S S 2 S n R u U T 2 T m T t t 2... t m Si no existe ro de u u se puede gregr uno rotuldo. Los nodos s i, pr i =, 2,..., n, son nodos predeesores del nodo u, y los nodos t j, pr j =, 2,..., m, son nodos suesores del nodo u. Existe un ro de d s i u, rotuldo por un expresión regulr S i, y un ro de u d t j rotuldo por un expresión regulr T j. Si se elimin el nodo u, estos ros y el ro rotuldo U despreerán. Pr preservr ests dens, se dee onsiderr d pr s i y t j y gregr l rótulo del ro de s i t j, un expresión regulr que represente lo que despree. En generl se puede suponer que existe un ro rotuldo R ij de s i t j pr i =, 2,..., n y j =, 2,..., m. Si el ro de s i t j no está presente se puede gregr on rótulo. El onjunto de dens que rotuln los minos de s i u, inluyendo el ilo de u u, y luego de u t j, se puede desriir por l expresión regulr S i U * T j. Por lo tnto, después de eliminr u y todos los ros que llegn y slen de u, se dee reemplzr el rótulo R ij del ro de si t j por l expresión regulr R ij + S i U * T j Algoritmo pr onstruir l expresión regulr prtir del utómt: Los psos seguir son los siguientes: ) Repetir pr d estdo finl: Si el estdo finl es tmién iniil, eliminr todos los estdos exepto el estdo iniil. S L expresión regulr orrespondiente es S *. s

CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 29 Sino, eliminr los estdos del utómt hst que queden únimente el estdo iniil y el estdo finl en onsiderión. S s U V T t L expresión regulr que nos llev del estdo s l estdo t es S * U (T + V S * U) * S * U (T * (V S * U) * ) * 2) Relizr l unión de ls expresiones regulres otenids pr d estdo finl del utómt. Ejemplo 7: Otener l expresión regulr orrespondiente l lenguje del ejemplo p p p 3, p 2 Pso ) El únio estdo finl es p 3. Como no es iniil se deen eliminr los estdos p y p 2 pr que queden únimente p (el estdo iniil) y p 3 (el estdo finl en onsiderión). - Eliminión del estdo p : + p p 3 + + p 2 - Eliminión del estdo p 2 : p p 3 ( + )() * ( + ) + + p p 3 ( + )() * ( + ) +

CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 29 Pso 2) L expresión regulr orrespondiente es: (( + )() * ( + ) + )( + ) * Ejemplo 8: Otener l expresión regulr orrespondiente l lenguje del ejemplo 2 e e e 2 e 3 e 4 Pso ) Como el utómt tiene dos estdos finles, se lulrá un expresión regulr pr d uno de ellos. El estdo finl e es tmién iniil. Por lo tnto se deerán eliminr todos los estdos que están en el mino de e e. El únio estdo eliminr es e. - Eliminión del estdo e : + * e L expresión regulr pr el estdo e es ER = ( + * ) * El otro estdo finl es e 4. Como no es iniil se deen eliminr los estdos e, e 2 y e 3 pr que queden únimente e (el estdo iniil) y e 4 (el estdo finl en onsiderión). - Eliminión de e + * e e 2 e 3 e 4 - Eliminión de e 2 + * e e 3 e 4 - Eliminión de e 3 + * e e 4

CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 29 L expresión regulr pr el estdo e 4 es ER 2 = ( + * ) * () * Pso 2) L expresión regulr orrespondiente l utómt se otiene uniendo ls expresiones regulres resultntes pr d estdo finl. ER = ER + ER 2 = ( + * ) * + ( + * ) * () * Ejemplo 9: Otener l expresión regulr orrespondiente l lenguje L = {x / x {,, } * y x ontiene ntidd pr de s y d en x está preedid por l menos un } AFD = <{e, e, e 2, e 3 }, {,, }, δ, e, {e, e }> e e e 2 e 3 Pso ) Como el utómt tiene dos estdos finles, se lulrá un expresión regulr pr d uno de ellos. Estdo finl e Como no es iniil se deen eliminr los estdos e 2 y e 3 pr que queden únimente e (el estdo iniil) y e (el estdo finl en onsiderión). - Eliminión de e 2 e e 3 e 2 e 3 + * e e * e 3 - Eliminión de e 3 + * e * e 3 e

CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 29 e e + * (+ * ) * L expresión regulr pr el estdo e es ER = * (+(+ * (+ * ) * ) * ) * Estdo finl e El estdo finl e es tmién iniil. Por lo tnto se deerán eliminr todos los estdos que están en el mino de e e, es deir e, e 2 y e 3. Retomndo el utómt otenido en el pso nterior, sólo quedrí por eliminr el estdo e - Eliminión de e e + * (+ * ) * e e + * (+ * (+ * ) * ) e ER = (+ * (+ * (+ * ) * )) * Pso 2) L expresión regulr orrespondiente l utómt se otiene uniendo ls expresiones regulres resultntes pr d estdo finl. ER = ER + ER = * (+(+ * (+ * ) * ) * ) * + (+ * (+ * (+ * ) * )) *