Es una sucesión de lados que van de un vértice x a un vértice w (los lados son distintos).

Transcripción

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2 CAMINOS Y CIRCUITOS En un grfo se puede reorrer l informión de diferentes mners pr llegr de un punto otro. Todo reorrido es un mino y l longitud del mino o del iruito es el número de vérties que se ton menos 1. Los vérties no se repiten. Cmino de longitud n Cmino simple de longitud n Ciruito (Cilo) Ciruito simple de longitud n Cmino simple de longitud n Es un suesión de ldos que vn de un vértie x un vértie w (los ldos son distintos). Es de l form v0, v1, v2,.., vn donde vo=v y vn= w y v0, v1, v2,, vn son distintos entre si. Es un mino del vértie w l vértie w, esto es, un mino que regres l mismo vértie de donde slió. Es quel mino del vértie w l vértie w que solmente tiene un ilo en l rut que sigue y distintos entre si. Es un suesión de rists que vn de un vértie x un vértie w, en donde ls rists que omponen diho mino son distintos e igules n, Esto signifi que no se puede psr dos vees por un mism rist.

3 h g Ejemplo: Ddo el grfo e Reorrido Cmino Cmino simple de longitud n {,,,e,d,f} L = 5 {,h,,,} {,e,e,d,,} {d,e,g,e,e,d} {e,e} {h,,,,,h} X X X d Ciruito f Ciruito simple de longitud n {,d,e,} L=3 L = 3 {,,,d,e,} {,h,} {,,,d,f} L = 4 X

4 CAMINO DE EULER Es quel mino que reorre todos los vérties psndo por todos los ros solmente un vez d h Cminos de Euler: {,,e,d,,f,g,d,h,h,i,g} e {g,i,h,h,d,g,f,,d,e,,} f g i Un mino de Euler siempre inii y termin en un vértie de grdo impr. Si un grfo tiene ms de dos vérties de grdo impr no puede tener minos de Euler.

5 GRAFO CONEXO O CONECTADO Es quél en el que pr ulquier pr de vérties w, x distintos entre sí, existe un tryeto pr ir de w x. d f d e e Grfo onexo Grfo no onexo

6 CIRCUITO DE EULER Es quel ilo que reorre todos los vérties psndo por todos los ldos solmente un vez. Un grfo tiene un mino Eulerino pero no un iruito Euler si y solo si tiene extmente 2 vérties de grdo impr. Un multigrfo onexo tiene un iruito Eulerino si y solo si d vértie tiene grdo pr. Algoritmo de Fleury pr un iruito de Euler 1. Verifir que es onexo on todos los vérties de grdo pr 2. Seleionr un vértie ritrrio 3. Seleionr un rist prtir del vértie tul que no se puente ( es deir que no desonete el grfo), menos que no hy otr lterntiv. Arist puente es quell que si se elimin, el grfo y no es onexo. 4. Desonetr los vérties que están unidos por l rist seleiond 5. Si todos los vérties y están desonetdos, y se tiene el iruito de Euler. De otr form ontinur on el pso 3

7 Ejemplo de Ciruito de Euler - Grfo onexo, - Vérties on grdo pr Iniimos el reorrido en el nodo y podemos seleionr l rist (,) o (,) y que no son puentes, onsideremos (,) Ciruito (,) d e f Desonetmos l rist d e f Ahor podemos tomr (,), (,d) o (,e), seleionmos (,) d e f Ciruito (,,) d e f Desonetmos l rist d e f

8 Del vértie tul se puede seleionr (,e) o (,f) y no (,) y que se desonetrí el grfo, sí seleionmos (,e) Eliminndo l rist se tiene Ciruito (,,,e) d e f Seleionmos (e,d) d e f Ciruito (,,,e,d) d e f Ahor solo quedn ldos puente por lo que hrá que seleionrlos d e f d e f d e f Ciruito de Euler (,,,e,d,,e,f,,)

9 EJERCICIO Determin si es posile otener un mino de Euler y un iruito de Euler d e

10 Reorrido Euler Ciudd de Köniserg, en XVIII: Pregunt: serí posile dr un pseo psndo por d uno de los siete puentes, sin repetir ninguno, omenzndo y ndo en el mismo punto?

11 Ejeriio Representión propuest por Leonrd Euler en 1736: Existe un iruito que pse por tods ls rists un sol vez?

12 Ejeriio Los grfos tienen un ilo eulerino?

13 CIRCUITO HAMILTONIANO Se trt de un prolem similr l del iruito de Euler, on l difereni que en lugr de psr por todos los ldos del grfo solmente un vez, en el iruito de Hmilton se ps por d vértie solmente un vez. d g f h i e j d g f h i e j Ciruito de Hmilton {,,h,g,e,j,i,f,d,,}

14 CIRCUITO HAMILTONIANO Y CAMINO HAMILTONIANO Si G=(V,E) es un grfo o multigrfo on V >= 3, deimos que G tiene un ilo hmiltonino si existe un ilo en G que onteng d vértie de V. Un mino hmiltonino es un mino simple (y no un ilo) de G que ontiene todos los vérties. Ddo un grfo on un ilo hmiltonino, l eliminión de ulquier rist en el ilo produe un mino hmiltonino. Sin emrgo, es posile que un grfo teng un mino hmiltonino sin que teng un ilo hmiltonino.

15 EJERCICIO Determin si el grfo tiene un mino y un iruito hmiltonino. d e Cmino hmiltonino:,,,f,e,d,g,h,i Ciruito hmiltonino:,,f,i,h,g,d,e,f > no tiene

16 ISOMORFISMO Se die que dos grfos G 1 y G 2 son isomorfos undo teniendo prieni diferente son igules, porque oiniden en: El número de rists El número de vérties El onjunto de grdos Ser o no onexos El número de iruitos de longitud n Tener o no iruito de Euler Definiión: Dos grfos G=(V,A), G =(V,A ) son isomorfos si existe un funión iyetiv f:v V tl que {,} A <-> {f(),f()} A

17 EJEMPLO: DETERMINAR SI LOS GRAFOS G 1 Y G 2 SON ISOMORFOS f()=2 d Isomorfos f 3 e d f()=4 f()=5 f(e)=1 f(f)=3 f e 5 4 f(d)=6

18 TABLA COMPARATIVA DE G 1 Y G 2 Propiedd G1 G2 Oservión Número de vérties Número de rists Grdos 2,4,4,4,4,2 4,2,2,4,4,4 Coiniden en el mismo número de vérties y de grdos 2 y 4. Conexo Si Si pr ulquier pr de vérties se puede enontrr un mino Cmino de Euler Ciruito de Euler No No Todos los vérties son de grdo pr Si Si Todos los vérties tienen grdo pr Ciruitos de longitud n ( en este so de longitud 3) 6,,d,,e,,,d,,,d,e,,d,e,,e,f, 6 1,3,5,1 1,6,4,1 1,4,5,1 1,5,6,1 2,4,6,2 4,5,6,4 En lugr de tener longitud 3, se puede ver uántos iruitos tienen de longitud 4. Pero en ulquier so deen de oinidir

19 Ejeriio Los grfos son isomorfos? Demostrión: : Construimos f omo se indi l ldo de l figur. Se tiene que: {1,2} f {,f {,f} {6,8} f {, {,} {1,6} f {, {,} f(1) = f(2) = f f(6) = {2,8} f {f, {f,} {4,3} f {h,g {h,g} {1,4} f {,h {,h} f(4) = h f(5) = d f(3) = g {2,3} f {f,g {f,g} {5,7} f {d,e {d,e} {4,5} f {h,d {h,d} {3,7} f {g,e {g,e} {6,5} f {,d {,d} {8,7} f {,e {,e} f(7) = e f(8) =

20 Ejeriio Son isomorfos estos dos grfos? No, G tiene un ilo de longitud 3 (,d,,) y G no tiene ninguno de longitud 3

21 Ejeriio Son isomorfos estos dos grfos? Justifi tu respuest

22 APLICACIONES: COLORACIÓN DE GRAFOS Cuántos olores se neesitn pr olorer un mp de form que no hy dos regiones on fronter on el mismo olor?

23 APLICACIONES:COLORACIÓN DE GRAFOS Se G(V,A) un grfo y se C un onjunto de olores. L olorión de los vérties V del grfo usndo un olor del onjunto C se enuentr dd por l funión. f: V C tl que v 1, v 2 V dyentes f(v 1 ) f(v 2 ) Esto signifi que d pr de vérties dyentes deerán estr ilumindos on un olor diferente En l olorión de grfos se us usr l menor ntidd de olores posile

24 NUMERO CROMÁTICO X(G) Se llm número romátio del grfo G l número mínimo de olores on que se puede olorer un grfo, uidndo que los vérties dyentes no tengn el mismo olor. Psos pr olorer un grfo: 1. Seleionr el vértie v de myor grdo e iluminrlo on ulquier olor del onjunto C 2. Colorer los vérties dyentes l vértie v verifindo que no existn vérties dyentes del mismo olor. En so de ser neesrio intermir olores. Si y están oloredos todos los vérties, terminmos, en so ontrrio ontinur on el pso 3 3. Seleionr el vértie v de myor grdo que y este oloredo y que todví teng vérties dyentes sin olorer. Regresr l pso 2

25 CARACTERÍSTICAS DEL NÚMERO CROMÁTICO 5. En generl l myorí de los grfos tienen un X(G) n porque se entiende que no están reliondos todos los vérties entre sí. 6. Los grfos iprtitos o iprtitos ompletos (K n, m ) tienen un número romátio X(G) = 2 7. Todos los ároles de ulquier orden tienen número romátio X(G)=2 o ien se die que son 2-olorele d e f d e Grfo iprtito iprtito ompleto (K 2, 3 ) d e f g X(G) = 2 h i j k

26 EJEMPLO: COLOREO DE GRAFOS Considere que se dese iluminr el siguiente grfo G y que se dispone pr ello el onjunto C ={1,2,3,4,5} f e d g h f e d g h

27 CARACTERÍSTICAS DEL NÚMERO CROMÁTICO El número romátio posee ls siguientes siete rterístis fundmentles: 1. Un grfo G tiene un X(G) =1 si y sólo si no tiene rists X(G) = 1 2. El X(G) pr un mino o un ilo de longitud 2 es X(G)=2 y que se podrán lternr los olores X(G) = 2 3. Si el grfo G tiene un ilo de longitud impr entones X(G) 3 X(G) = 3 X(G) = 4 4. El número romátio del grfo ompleto K n es X(K n )=n, onsiderndo que un grfo K n d todos los vérties son dyentes entre sí. X(K 4 ) = 4 e d f g

28 EJERCICIO Determinr si hy mino de Euler, iruito de euler, iruito hmiltonino. Colore el grfo. d e

29 Ejeriio Colore los siguientes grfos

30 Ároles, ejemplos

31 Ároles, ejemplos

32 Ároles, ejemplos Análisis de expresiones Ároles de úsqued

33 Ároles Grfo onexo y sin ilos Sin ldos prlelos Nodos Ríz Nivel 0 Hojs Rms Nivel 4 Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nodos internos Pdre Hijo Altur=4

34 Ároles Los vérties de un árol se llmn nodos Los nodos desendientes inmeditos de un nodo son sus hijos, y el nodo superior es el pdre A un seueni desendente de nodos se le llm rm Los nodos sin hijos se llmn hojs, y los que sí tienen hijos nodos internos Un onjunto de ároles es un osque

35 Ároles, propieddes Se G =(V,A) un árol. Entones: Entre d pr de vérties x,y hy un únio mino Al quitr de A ulquier rist result un osque on 2 ároles Al ñdir un rist nuev siempre se otiene un ilo A = V -1

36 Propieddes Se T un árol on ríz v 0. Supong que x, y y z son vérties en T y que v o,v 1,,v n es un mino simple en T. Entones V n-1 es el pdre de v n V o,, v n-1 son nestros de v n V n es un hijo de v n-1 Si x es un nestro de y, y es un desendiente de x Si x y y son hijos de z, x y y son hermnos Si s no tiene hijos, x es un vértie terminl (hoj) Si x no es un vértie terminl, x es un vértie interno

37 Ejeriio Enuentr: El pdre de Eros Los nestros de Hermes Los hijos de Zeus Los desendientes de Cronos El hermno de Afrodit Los vérties terminles Los vérties internos

38 Tipos de ároles Ároles inrios: d nodo pdre tiene uno o dos hijos máximo. Ároles trinrios: d nodo pdre tiene máximo tres hijos. Ároles uternrios: d nodo pdre tiene omo máximo utro hijos et.

39 Tipos de ároles Árol inrio ompleto. Es quél en el que d nodo tiene dos rms o ningun. Un árol inrio ompleto on i nodos internos tiene (i + 1) hojs y (2i +1) vérties en totl. Nodos internos= 3 Nodos hoj= i+1=4 Totl de vérties= 2i+1=2*3+1=7

40 Bosques Un osque es un onjunto de ároles, es deir, un árol es un osque onetdo. De un árol se pueden otener vrios suároles, mismos que formn un osque. Un árol puede onsiderrse un osque onetdo. El árol más pequeño lo integr por lo menos dos nodos onetdos por un rist.

41 Ejeriio Identifique: número de nodos, hojs, ltur del árol, niveles, nodo ríz, nodos internos, tipo de árol.