ltos 1 4.12-1 Rgls Kirhho Un iruito, n gnrl, stá ormo por un onjunto rsistnis y gnrors..m. ontos un orm ritrri, mnr qu no simpr s posil sustituir los onjuntos rsistnis por sus quivlnts, y qu no suln str onts n sri o n prllo. GUSTAV ROBERT KIRCHHOFF (1824 1887, ísio lmán nio n Prusi, nunió ls rgls qu llvn su nomr y qu prmitn lulr ls intnsis qu iruln por los irnts lmntos un r onutors. Es priso stlr, nts plir sts rgls un r, los siguints onptos: Nuo Es too punto l r n qu onurrn trs o más onutors. Mll Es too iruito qu pu sr rorrio prtino un nuo y volvino él sin psr os vs por un mismo onutor. Un ls rgls Kirhho s rir los nuos, y l otr ls mlls. Rgl los nuos Un nuo s l simpl unión vrios onutors y n él no hy ningún lmnto pz lmnr o rtnr rg létri. Por onsiguint, En uni timpo, l nti rg qu llg un nuo s igul l nti rg qu sl él, y pusto qu l rg qu irul por uni timpo s lo qu s in omo intnsi un orrint létri, L sum ls intnsis qu llgn un nuo s igul l sum ls intnsis qu sln él. Si s onsirn positivs ls intnsis qu llgn un nuo, y ngtivs ls qu sln él, l sum lgrái ls intnsis onurrnts n un nuo s nul. ΣI i = 0 [4.12-1] L ly los nuos s un onsuni l prinipio onsrvión l rg. Si n un r hy n nuos, son linlmnt inpnints n 1 nuos. Si s pli ih ly l nuo nésimo, s otin un uión qu s ominión linl ls n 1 uions ntriors y, por tnto, no s váli pr rsolvr l prolm. Rgl ls mlls Si s lul, plino l ly Ohm gnrliz, l irni potnil ntr os nuos onsutivos un mll V V i = Σε i I ΣR i y s sumn ls uions otnis, s nuln ls irnis potnil, on lo qu rsult [4.12-2] Σε = ΣI i R i [4.12-3] L rgl ls mlls, omo onsuni qu s l ly Ohm gnrliz, s l prinipio gnrl onsrvión l nrgí plio un iruito létrio. [Vés, Cpítulo 1.4.11 Furz ltromotriz.p, pígr 11.3]. 4.12-2 Apliión ls rgls Kirhho Ls rgls Kirhho s pun plir un r siguino os métoos: I Métoo nuos y mlls S ominz por signr rm l r, omprni ntr os noos onsutivos, un intnsi orrint létri n l sntio irulión qu rmos oportuno. S pli l ly los nuos n 1 nuos. Ruérs qu si s pli ih ly l nuo nésimo s otin un uión qu s un ominión linl ls n 1 uions ntriors y no s váli pr rsolvr l prolm. A ontinuión s pli l rgl ls mlls un lls pr sriir l primr mimro l uión [4.12-3], rorrino l mll n un sntio ritrrio. En l sum lgrái ls..m. los gnrors qu vmos nontrno n nustro rorrio s onsirn positivs qulls..m. qu tinn prouir orrint n iho sntio, y ngtivs, n so ontrrio. Hy qu tnr n unt qu no onsirmos l sntio n qu irul l orrint qu hymos signo, sino l sntio n qu tin prouir orrint ih..m.., s ir, l sntio n qu prouirí orrint si stuvis ont ll sol n l mll.
2 ltos S vulv rorrr ih mll pr sriir l sum lgrái l sguno mimro l uión 4.12-3], multiplino l intnsi trmo omprnio ntr os nuos onsutivos por l rsistni totl iho trmo, onsirno positivs ls intnsis uyo sntio oini on l rorrio l mll, y ngtivs, n so ontrrio. Los vlors ls rsistnis s onsirn simpr númros positivos. S pli l rgl ls mlls ls rstnts tnino n unt qu no tos son inpnints. Un mll s inpnint ls qu y s hyn utilizo, si n ll intrvin lgún onutor qu no hy ormo prt ls mlls ntriors. D st orm s vn sriino ls uions ls mlls hst ompltr, junto on ls uions los n 1 nuos, tnts uions omo inógnits hy n l r. Si l rsolvr l sistm uions, lgun intnsi rsult sr ngtiv, signii qu su sntio s ontrrio l qu hmos supusto, pro no hy qu volvr plntr l prolm. S h onstr sí n l rspust inl. Y si ih intnsi intrvin n lgún álulo postrior, s sustituy mntnino l signo ngtivo. Ejmplo Vmos lulr ls intnsis n rm l iruito l igur, y l irni potnil ntr los nuos y. Los puntos,, y, no son nuos sino simpls rrnis pr por nominr ls mlls áilmn- Comnzmos por inir, por mio un lh, l intnsi l orrint n rm l r, n l sntio qu rmos onvnint. Aplimos l rgl los nuos, tnino n unt qu los os nuos, y, sólo uno llos s inpnint. Elgimos l nuo : 4 Ω + = [1] S pu ompror qu si plimos l rgl los nuos l nuo, l uión qu s otin s l mism: = + 6 Ω 3 Ω D moo qu tnmos un uión y trs inógnits:,. Es nsrio, por tnto, ompltr l sistm uions plino l rgl ls mlls os lls. En l r hy trs mlls: l ----, l ---- y l -----. Esogmos ls os primrs y vmos rorrrls, prtino un nuo, n l sntio ontrrio l ls gujs l rloj. Est sntio s ritrrio, y no s nsrio rorrr ls os mlls n l mismo sntio. Mll ---- Esriimos n primr lugr, prtino l nuo, l sum lgrái ls urzs ltromotris orrsponint l primr mimro l uión [4.12-3]. L primr..m. qu nontrmos n nustro rorrio s l. Est...m.., si stuvir ll sol n l mll prouirí orrint n l sntio hi, s ir, n l ontrrio l qu rorrmos l mll, por tnto, s ngtiv. Sguimos rorrino l mll, y ontinuión nontrmos l..m.. Est...m.., si stuvir ll sol n l mll prouirí orrint n l sntio hi, s ir, n l mismo sntio n qu rorrmos l mll, por tnto, s positiv. Por onsiguint, l sum lgrái ls urzs ltromotris st mll s: 15+30 =. Σε = 15 + 30 = [2] Rorrmos nuvmnt l mll, prtino l nuo, pr sriir l sum lgrái l sguno mimro l uión [4.12-3]. L primr intnsi qu nontrmos n nustro rorrio s, uyo sntio s ontrrio l rorrio l mll, por tnto, s ngtiv, y multipli por to l rsistni qu rorr s hst, rsult (2+4. Sguimos rorrino l mll, y ontinuión nontrmos l intnsi, uyo sntio s l mismo qu l rorrio l mll, por tnto, s positiv, y multipli por to l rsistni qu rorr s, psno por y hst,hst, rsult (1+2. En onsuni, l sum lgrái l sguno mimro l uión [4.12-3] s ΣIR = (2 + 4 +(1+ 2 = 6 + 3 Sustituyno [2] y [3] n l uión [4.12-3], s otin pr st mll l uión [3]
ltos 3 S rpit l mismo proso pr l siguint mll: Mll ---- 15 = 6 + 3 [4] Esriimos n primr lugr, prtino l nuo, l sum lgrái ls urzs ltromotris orrsponint l primr mimro l uión [4.12-3]. L primr..m. qu nontrmos n nustro rorrio s l. Est...m.., si stuvir ll sol n l mll prouirí orrint n l sntio hi, s ir, n l ontrrio l rorrio l mll, por tnto, s ngtiv. Sguimos rorrino l mll, y ontinuión nontrmos l..m.. Est...m.., si stuvir ll sol n l mll prouirí orrint n l sntio hi, s ir, n l mismo sntio n qu rorrmos l mll, por tnto, s positiv. Por onsiguint, l sum lgrái ls urzs ltromotris st mll s: 3+15= 12 V. Σε = 3 +15 = 12 V [5] Rorrmos nuvmnt l mll, prtino l nuo, pr sriir l sum lgrái l sguno mimro l uión [4.12-3]. L primr intnsi qu nontrmos n nustro rorrio s, uyo sntio s l mismo qu l rorrio l mll, por tnto, s positiv, y multipli por to l rsistni qu rorr s hst, trvés y, rsult (6+3. Sguimos rorrino l mll, y ontinuión nontrmos l intnsi, uyo sntio s l mismo qu l rorrio l mll, por tnto, s positiv, y multipli por to l rsistni qu rorr s hst, rsult (4+2. En onsuni, l sum lgrái l sguno mimro l uión [4.12-3] pr st mll s ΣIR =(6 + 3 +(4 + 2 = 9 + 6 Sustituyno [5] y [6] n l uión [4.12-3], s otin pr st mll l uión [6] Ls uions [1], [4] y [7] ormn l sistm uy soluión, un vz simpliio y rsulto, s 12V = 9 + 6 + = 0 3 6 = 15 6 + 9 = 12 = 3 A = 1 A El signo ngtivo l intnsi ini qu irul n sntio ontrrio l qu hmos supusto, s ir hi. S pu sguir otro métoo pr plir ls rgls Kirhho II Métoo ls mlls En st métoo no intrvinn los nuos. S supon qu mll s rorri por un sol intnsi n l sntio irulión qu rmos oportuno. Mll ---- I 1 I 2 4 Ω 6 Ω 3 Ω Vmos suponr qu l mll ---- s rorri por l intnsi I 1 n sntio ontrrio l ls gujs l rloj, Esriimos n primr lugr, prtino l nuo, l sum lgrái ls urzs ltromotris orrsponint l primr mimro l uión [4.12-3]. L primr..m. qu nontrmos n nustro rorrio s l. Est...m.., si stuvir ll sol n l mll prouirí orrint n l sntio hi, s ir, n l ontrrio l qu rorrmos l mll, por tnto, s ngtiv. Sguimos rorrino l mll, y ontinuión nontrmos l..m.. Est...m.., si stuvir ll sol n l mll prouirí orrint n l sntio hi, s ir, n l mismo sntio n qu rorrmos l mll, por tnto, s positiv. [7] [8] [9]
4 ltos Por onsiguint, l sum lgrái ls urzs ltromotris st mll s: 15+30 =. Σε = 15 + 30 = [10] Hst quí hmos sguio los mismos psos pr sriir l primr mimro l uión [4.12-3], qu n l métoo ntrior, pro l rorrr nuvmnt l mll, prtino l nuo, pr sriir l sum lgrái l sguno mimro l uión [4.12-3], hy un irni importnt: Dmos tnr n unt qu l trmo - s rorrio simultánmnt por ls intnsis I 1 I 2, y omo l intnsi I 1 s positiv, por sr l mismo sntio qu l rorrio l mll, I 2, ngtiv, por sr sntio opusto, l intnsi nt qu rorr st trmo s l irni I 1 I 2 ms intnsis, y multipli por to l rsistni qu rorr s hst, rsult (2+4(I 1 I 2 Sguimos rorrino l mll, y ontinuión nontrmos l trmo --- qu s rorrio solmnt por l intnsi I 1, qu multipli por to l rsistni l trmo --- qu rorr rsult (1+2I 1. En onsuni, l sum lgrái l sguno mimro l uión [4.12-3] s, pr st mll ΣIR =(2 + 4(I 1 I 2 +(1+ 2I 1 = 6(I 1 I 2 + 3I 1 = 9I 1 6I 2 [11] Sustituyno [10] y [11] n l uión [4.12-3], s otin pr st mll ----, l uión Mll ---- 15 = 9I 1 6I 2 [12] Esriimos n primr lugr, prtino l nuo, l sum lgrái ls urzs ltromotris orrsponint l primr mimro l uión [4.12-3]. L primr..m. qu nontrmos n nustro rorrio s l. Est...m.., si stuvir ll sol n l mll prouirí orrint n l sntio hi, s ir, n l ontrrio l rorrio l mll, por tnto, s ngtiv. Sguimos rorrino l mll, y ontinuión nontrmos l..m.. Est...m.., si stuvir ll sol n l mll prouirí orrint n l sntio hi, s ir, n l mismo sntio n qu rorrmos l mll, por tnto, s positiv. Por onsiguint, l sum lgrái ls urzs ltromotris st mll s: 3+15= 12 V. Σε = 3 +15 = 12 V [13] Siguino un rzonminto nálogo l qu hmos utilizo pr sriir l sum lgrái l sguno mimro l uión [4.12-3], l mll ntrior, l rorrr nuvmnt st mll, prtino l nuo, nontrmos l trmo ---, qu s rorrio solmnt por l intnsi I 2, qu s hor positiv porqu su sntio s l mismo qu l rorrio l mll, y multipli por to l rsistni iho trmo rsult (6+3I 2. A ontinuión nontrmos. l trmo - qu s rorrio simultánmnt por ls intnsis I 1 I 2, pro hor, I 1 s ngtiv por su sr su sntio ontrrio l rorrio l mll y l intnsi nt qu rorr st trmo s l irni I 2 I 1 ms intnsis, y multipli por to l rsistni qu rorr s hst, rsult (2+4(I 2 I 1 En onsuni, l sum lgrái l sguno mimro l uión [4.12-3] s, pr st mll ΣIR =(6 + 3I 2 +(2 + 4(I 2 I 1 = 9I 2 + 6(I 2 I 1 = 15I 2 [14] Sustituyno [13] y [14] n l uión [4.12-3], s otin pr st mll l uión Ls uions [12], [15] ormn l sistm uy soluión, un vz simpliio y rsulto, s 12 = 15I 2 [15] 15 = 9I 1 6I 2 12 = 15I 2 I ' 1 = 3 A I ' 2 Ls intnsis qu iruln por ls irnts rms l iruito son: Rm -: L intnsi s l irni ntr I 2 I 1, y pusto qu s I 2 > I 1, l orrint rsultnt s 1 A y irul hi, rsulto qu onur on l otnio por l primr métoo [16] [17]
ltos 5 Rm ---: Por st rm irul solmnt l intnsi I 1 = 3 A, qu s l intnsi qu hmos nomino n l métoo ntrior. Rm ---: Por st rm irul solmnt l intnsi I 2, qu s l intnsi qu hmos nomino n l métoo ntrior. Como pu vrs, s otinn los mismos rsultos on mos métoos. Dirni potnil ntr los nuos y Ahor stmos n oniions lulr ih irni potnil plino l ly gnrl Ohm [Vés, Cpítulo 1.4.11 Furz ltromotriz.p, pígr 11.3]: I ΣR i = Σε i (V V i Pr llo, utilizmos l igur y los rsultos otnios on l primr métoo, on ojto prtir l uso ih ly pliánol un ls trs rms l iruito. Rm ---: (1+ 2 = 30 (V 4 Ω Dspjno y sustituyno = 3 A V = 30 3 3 = 21 V Rm -: (4 + 2 = 15 (V Dspjno y sustituyno = 1 A [18] 6 Ω 3 Ω V = 15 6 = 15 6( 1 = 21 V [19] Ruérs qu l intnsi irul, n rli, n sntio opusto l inio n l igur. Rm ---: (6 + 3 = 3 (V V Dspjno y sustituyno V = 9 + 3 = 9 2 + 3 = 21 V [20] Como s vint, s otin l mismo rsulto pr l irni potnil, ulquir qu s l rm utiliz pr su álulo.