OLIMPIADAS DE MATEMATICA, 04 Uiversidad de Atioquia Cotextos AVISO: Los textos aquí publicados so resposabilidad total de sus creadores Estos so materiales e costrucció Errores y/o cometarios por favor comuicarlos a: olimpiadasmatematicas@udeaeduco Algebra básica Propiedades de la poteciació: Recordemos alguas de las propiedades básicas de la poteciació a a m = a +m, a a = a m, (a ) m = a m m Si 0 < a b etoces a b Por ejemplo, si 8 < 9 etoces 8 5 < 9 5 Observa co ateció que 8 = y 9 =, así podemos cocluir ( ) 5 ( < ) 5, es decir, 5 < 0 a +b = (a+b)(a a b+ ab +b ), para N impar y dode la suma e el segudo factor es alterada Por ejemplo, a +b = (a+b)(a ab+b ) a b = (a b)(a + a b + + ab + b ), para cualquier N Por ejemplo, a b = (a b)(a + b); a b = (a b)(a + ab + b ) (a + b) = ( k) a k b k, dode el úmero atural ( ) k :=! k!( k)! es llamado de k=0 coeficiete biomial Los coeficietes biomiales e la expasió aterior satisface u patró de comportamieto iductivo sujeto a las siguietes propiedades, para cada N, ( ( 0) = ; ) = y: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ; + =, k ; = k k k k k Ua maera fácil de recordar este comportamieto es através del llamado triágulo de Pascal: 4 6 4 E otras palabras, este triágulo correspode a la represetació de los coeficietes biomiales de acuerdo a su grado ( ( ) ( ) ) ( ( 0 ) ( ) ( ) ) ( ( 0 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ) ( 4 0 4) Olimpiadas Matem aticas, U de A Cómo usarias la fórmula de la expasió del biomio para probar que las filas de este triágulo correspode a la catidad de subcojutos de u cojuto co elemetos, esto es,? Sobre el factorial de u etero positivo: Recordamos que el factorial de u úmero etero positivo es el úmero etero positivo! := ( ), es decir, obteido como el producto de todos los eteros positivos meores e iguales que Observe, que! es u úmero divisible por todos los eteros meores e iguales que, e otras palabras,! es multiplo de,, 4,,, y Por ejemplo,
! = que es múltiplo de! = 6 que es múltiplo de y 4! = 4 que es múltiplo de, y 4 (y tambié de 6 y ) 5! = 0 que es múltiplo de,, 4 y 5 (y tambié de 6,, 5, 0, 0) 6! = 70 que es múltiplo de,, 4, 5 y 6, y así sucesivamete Por otro lado, como es fácil otar a partir de los ejemplos y co la ayuda de u famoso resultado de divisibilidad de úmeros eteros (el Lema de Euclides), podemos cocluir que, si k y l so eteros positivos si factores comues (es decir, el mcd(k, l) =) que divide a! etoces su producto k l tambié divide a! Por ejemplo, 6 = divide a todos los factoriales! co, ya que y (los cuales o tiee factores comues pues so primos) siempre divide a! 0 = 5, 0 = 4 5, por ejemplo, divide a todos los factoriales!, co 5 Que tal buscar más ejemplos como estos? Sobre el Teorema Fudametal de la Aritmética: Recordemos que el Teorema Fudametal de la Aritmética os garatiza que todo úmero etero positivo se puede descompoer de forma úica, a meos del orde, como producto de potecias de úmeros primos E simbolos, para cada etero positivo, teemos existe α, α,, α r, úmeros aturales mayores o iguales a cero tales que = p α pα pα r r pαr r, dode los p, p,, p r so úmeros primos Etre las múltiples aplicacioes de este teorema e la matemática, aqui os ocuparemos de de ellas: el cálculo de divisores de u etero positivo, el cálculo de divisores y múltiplos comues etre parejas de úmeros eteros positivos Divisores de u etero: Para u etero positivo, apartir de su descomposició e producto de potecias de úmeros primos = p α pα pαr r podemos caracterizar todos sus divisores como el producto de potecias de los primos que aparece e esta descomposició co potecias meores o iguales que los α i, e palabras más precisas, todo divisor l de es de la forma l = p β pβ pβr r dode 0 β α, 0 β α,,0 β r α r Ilustremos la afirmació co u ejemplo: Para 0 = 5, sus (8) divisores sera = 0 0 5 0, = 0 5 0, = 0 5 0, 5 = 0 0 5, 6 = 5 0, 0 = 0 5, 5 = 0 5 y 0 U ejemplo más: para 45 = 5, sus (6) divisores so = 0 5 0, = 5 0, 5 = 0 5, 9 = 5 0, 5 = 5 y 45 = 5 Como lo ilustra tambié los ejemplos es fácil, apartir de la mecioada descomposició, determiar la catidad de divisores que posee u úmero etero positivo E efecto, para esto basta cotar el úmero de todas las combiacioes posibles de productos de potecias de primos co expoetes meores o iguales que los α i, co i =,, r Para este coteo, iiciamos co u ejemplo simple: si = p α, es decir, si es la potecia de u primo E este caso es bie fácil cotar los divisores de, pues so, p, p,, pα, p α, e otras palabras, u total de α + divisores Ahora si cosideramos a = p α pα observa que por lo dicho ateriormete tedriamos que cotar todas las combiacioes posibles de producto de potecias p β pβ dode β y β recorre los cojutos {0,,, α, α } y {0,,, α, α }, respectivamete De esta forma, el úmero total de estas combiacioes es el producto de las posibilidades que tego para cada β i, i =,, esto es, (α + ) (α + ) posibilidades, e otras palabras, tedrá (α + ) (α + ) divisores Así, ya es fácil geeralizar: para cualquier etero positivo = p α pα pαr r tedremos u total de (α + ) (α + ) (α r + ) divisores!!! Volvamos a los ejemplos: 0 = 5 tiee u total de (+)(+)(+) = = 8 divisores!! y 45 = 5 tiee ( + )( + ) = = 6 divisores!! Porque o hacer u par de ejemplos más? Olimpiadas Matem aticas, U de A
Máximo divisor comú y Míimo múltiplo comú: Para u par de eteros positivos = p α pα pαr r y m = p δ pδ pδs s podemos pregutaros: Cual es el meor divisor que los divide a ambos o cual es el meor divisor comú?, Cual es el mayor divisor que los divide a ambos o cual es el mayor divisor comú?, Cual es el meor múltiplo de ambos o cual es el meor multiplo comú?, Cual es el mayor múltiplo de ambos o cual es el mayor múltiplo comú? Bueo, la primera y última preguta so muy (pero muy) fáciles de respoder, pues el meor divisor a ambos es el!!!! y el mayor multiplo de ambos es su producto m!!!!! Por otro lado, la seguda y cuarta preguta so fáciles de respoder pero o de maera ta imediata como las dos ateriores Para respoderlas iiciamos co u ejemplo simple: que tal si = p α y m = p δ E este caso es fácil respoder las pregutas: el mayor divisor comú es la meor potecia de p y el meor multiplo es la mayor potecia de p Por ejemplo, si = 5 = 5 y m = 5 6 = 565 su máximo comú divisor será 5 y su míimo comú múltiplo será 5 6, e simbolos, mcd(5, 565) = 5 y mcm(5, 565) = 5 6 Ahora es fácil geeralizar: por el aálisis e el umeral aterior, sabemos que divisores (y, asi mismo, multiplos) de u etero positivo so productos de las potecias de los primos que figura e su descomposició etoces calcular el máximo comú divisor y el míimo comú multiplo del par y m, será el producto, respectivamete, de las potecias míimas comues y las potecias máximas comues E la práctica esto fucioa así: si os pide calcular el mcd y el mcm de 0 y 45, escribimos 0 y 45 e potecias comues : 0 = 5 y 45 = 5 = 0 5 y así ya es facilísimo: mcd(0, 45) = 0 5 = 5 y mcm(0, 45) = 5 = 90 Por que o practicar co otros ejemplos? Fucioes Sucesioes de úmeros reales: U caso especial de las fucioes f : A R defiidas sobre subcojutos A R de úmeros reales so aquellas defiidas sobre los úmeros aturales A = N, las cuales so llamadas de sucesioes E este caso, los valores de f : N R e cada atural N es represetado por a := f() y es llamado el ésimo termio de la sucesió y el cojuto de valores de la fució será represetado por {a } Las sucesioes so de gra iterés ya que el estudio del comportamieto de muchos tipos de fucioes depede del comportamieto de las sucesioes que ellas defia, ua maera corta de decirlo es: el comportamieto discreto de la fució predice el comportamieto cotiuo de esta misma Por otro lado, muchas herramietas e matemáticas so defiidas o sus defiicioes depede de la compresió de las sucesioes, como por ejemplo, los limites, las series, las sumas de Riema, la itegració de fucioes, etc Si embargo, aqui estamos iteresados e u estudio muy específico y simple de las sucesioes: os pregutamos sobre la suma de los -primeros térmios de alguas sucesioes bie coocidas Más precisamete, queremos calcular i =?? Olimpiadas Matem aticas, U de A La primera es bie coocida, i =?? i =?? i 4 =?? i = + + + + ( ) + es la llamada suma de Gauss, la cuál sabemos es igual a i = (+) Ahora, para la seguda suma vamos a usar las siguietes propiedades de las sumas de sucesioes (que debes itetar probar): Si llamamos S y T las sumas de los térmios de las sucesioes {a } y {b } respectivamete, esto es, a i = S y b i = T se satisface las siguietes propiedades
= + + + = ca i = ca + ca + + ca = cs, dode c R (a i ± b i ) = (a ± b ) + (a ± b ) + (a ± b ) = S ± T (a i+ a i ) = (a a ) + (a a ) + + (a a ) + (a + a ) = a + a La primera es la suma de sucesió costate igual a, ie, a i = para todo atural i N Las dos siguietes propiedades so llamadas de la liealidad de la suma y la última es llamada de la suma telescópica Usado estas propiedades es fácil probar que i = + 4 + 9 + + = (+)(+) E efecto, por u lado como cosecuecia de la expasió biomial teemos Olimpiadas Matem aticas, U de A (i + ) i = i + i + 6 Por la suma telescópica se sigue (i + ) i = ( + ) = + +, de dode por la liealidad + + = (i + ) i = i + i + y despejado la suma de uestro iterés, se sigue = i ( + ) + + i = + ( + ) + = + 6 + 6 5 ( + )( + ) = lo que queriamos probar Co raciociios similares se puede calcular las sumas [ ] ( + ) i = i 4 = ( + )( + )( + ) 0 Coseguiras probar estos resultados? fucioes iyectivas, biyectivas e iversas: Ua fució es llamada iyectiva cuado cada elemeto e su image recibe ua úica pre-image E otras palabras, si dados f : A B ua fució, x, x A tales que f(x ) = f(x ) etoces x = x Ahora, cuado el codomiio de la fució coicide co la image de la fució, esto es, f(a) = B y además la fució f es iyectiva, la fució es llamada de fució biyectiva E cosecuecia, si f : A B es iyectiva etoces f : A f(a) es biyectiva Ejemplos de fucioes iyectivas so las fucioes estrictamete crecietes y estrictamete decrecietes, esto es, so aquellas que satiface la siguiete propiedad, respectivamete, para cada x, x A: x < x f(x ) < f(x ); x < x f(x ) > f(x ) por ejemplo, las fucioes f(x) = x + y g(x) = x, para cada x R, so ejemplos de fucioes estrictamete crecietes y las fucioes f(x) = x, para cada x (0, + ) y g(x) = x + 5, para cada x R, so ejemplos de fucioes estrictamete decrecietes Ahora, es fácil probar que la composició de dos fucioes estrictamete crecietes es ua fució estrictamete creciete y que la compuesta de ua estrictamete creciete co ua estrictamete decreciete es estrictamete decreciete Por otro lado, la composició de dos estrictametes decrecietes es ua fució estrictamete creciete Por que o itetas validar estas afirmacioes? Ahora bie, toda fució biyectiva f : A B admite ua fució iversa, esto es, existe ua fució g : B A tal que g(f(x)) = x, para cada x A y f(g(x)) = x, para cada x B Cuado esto ocurre simbolizamos a g por f, es decir, f : B A es la 4
fució tal que f (f(x)) = x, para cada x A y f(f (x)) = x, para cada x B E otras palabras, y = f(x) si y solo si x = f (y) Así, la fució iversa podemos iterpretarla como aquella fució que devuelve todo lo que hace la fució f Por ejemplo, es fácil ver que el domiio de la fució f es la image de la fució f y que el domiio de la fució f es la image de la fució f Ua maera fácil de calcular la iversa de ua fució biyectiva dada es despejado x e térmios de y Esto se refiere al siguiete proceso que ilustraremos co u ejemplo: Sea y = x+5, la fució iyectiva ( por qué?) defiida sobre (0, + ) Ella será etoces ua fució biyectiva sobre su image, la cual es fácil de calcular, pues 0 < x y asi 0 < x + 5 y por tato 0 < x+5, esto es, la image de esta fució es tambié (0, + ) Ahora para calcular la iversa, despejamos: y = x + 5 (x + 5)y = yx = 5y x = 5y y y de esta forma la fució iversa es defiida como f (x) = 5x x, para cada x (0, ), que es, al cotrario de f, ua fució creciete ( por qué?) Geometría Resultados sobre triágulos e la geometría euclidiaa plaa: U triágulo es llamado equilátero si sus lados so cogruetes El triágulo es llamado isósceles si dos de sus lados so cogruetes Debido a la relació etre lados y águlos opuestos de u triágulo ( a lado mayor se opoe águlo mayor ) podemos cocluir que e u triágulo equilátero todos sus águlos so iguales, y e uo isósceles los águlos opuestos a los lados cogruetes so iguales E particular, dado que la suma de los águlos iteriores a u triágulo suma π o 80 o (como cosecuecia de ua versió equivalete al quito postulado de Euclides: por u puto exterior a ua recta pasa ua úica recta paralela a esa recta ), e u triágulo equilátero sus águlos toma el valor de π o 60o Para u triágulo cualquiera de vértices ABC y lados a, b y c, cada uo de ellos opuesto a su respectivo vértice, es decir, a es opuesto a A, etc ( por que o itetas hacer la figura?) La recta que ue el vértice A co el lado a, por ejemplo, si divide a a e dos partes iguales es llamada la mediaa de a, si divide al águlo e A e dos partes iguales es llamada la bisectriz del águlo e A, y si el águlo que forma esta recta co el lado a es recto, es decir, de valor π o 90o, decimos que es la altura de ABC co pie e a E u triágulo isósceles ABC de lados cogruetes b y c es tal que la mediaa desde A a a acaba siedo bisectriz del águlo e A y altura co pie e a E particular, esto tambié vale si el triágulo es equilátero, pero a diferecia del triágulo isósceles esto es válido para cualquier vértice y su respectivo lado opuesto Ahora e todo triágulo de vértices ABC y lados a, b y c, idicamos por a, b y c tambié las logitudes de sus lados E este setido, vale u importate resultado el cual es tambié u criterio para la costrucció o mejor, garatizar la existecia de triágulos co ciertas logitudes predetermiadas: la desigualdad triagular: a + b > c, a + c > b y b + c > a, e palabras, la suma de las logitudes de dos lados cualquiera de u triágulo siempre es mayor que la logitud del tercer lado Olimpiadas Matem aticas, U de A Dos triágulos ABC y DEF de lados co magitudes a, b, c y d, e, f, respectivamete, so llamados semejates cuado la razó etre las magitudes de pares de lados correspodietes es siempre la misma, e simbolos, a d = b e = c f El caso mas comú de triágulos semejates es cuado sus águlos correspodietes so iguales, esto es, si  = ˆD, ˆB = Ê y Ĉ = ˆF etoces los triágulos ABC y DEF so semejates Esta situació se preseta, por ejemplo, cuado los triagulos comparte u vértice y el par de lados opuestos a ese vértice so paralelos, e simbolos, si ABC y AEF 5
so triágulos tales que los lados a y d opuestos al vértice A so tales que a d (es decir, paralelos) etoces ABC y AEF so semejates ( Cuál será la figura que explique esta situació?) Cuádo uo de los águlos de u triágulo tiee medida de π o 90o, es decir, es u águlo recto, el triágulo es llamado de triágulo rectágulo Si ABC es u triágulo rectágulo que es recto e  el lado opuesto es llamado de hipoteusa, los lados restates so llamados de catetos Ua bella relació etre las logitudes de la hipoteusa y de los catetos e u triágulo rectágulo es establecida por el Teorema de Pitagoras: el área del cuadrado costruido de lado la hipoteusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados costruidos de lados los catetos, e simbolos, si ABC es u triágulo rectágulo recto e  etoces a = b + c, para a, b y c logitudes de los lados opuestos a sus respectivos vértices Paralelogramos: los paralelogramos so tipos especiales de cuadrilateros (es decir, ua figura plaa co 4 lados y 4 vértices) cuyos lados opuestos so paralelos y cogruetes, e simbolos, el cuadrilatero ABCD es u paralelogramo cuado AB CD, AD BC, AB es cogruete a CD y AD es cogruete co BC Se puede demostrar que e u paralelogramo los pares de águlos opuestos so cogruetes, las diagoales (es decir, las rectas que ue vértices opuestos, e otras palabras, rectas que ue vertices o adyacetes) so siempre cogruetes y se itersecta e el puto medio de ambas, y, además, la suma de sus 4 águlos iteriores es π o 60 o Casos especiales de paralelogramos so: a) El rombo: u paralelogramo co todos sus 4 lados cogruetes b) El rectágulo: u paralelogramo co sus 4 águlos cogruetes (y por tato todos so rectos!!) c) El cuadrado: u paralelogramo co todos sus 4 lados y 4 águlos cogruetes Polígoos: cuado ua figura plaa posee mas de 4 lados, e geeral, es llamada de poligoo o agoo dode hace refercia al úmero de lados de la figura E muchas ocasioes recurrimos a prefijos (de orige latio) que represeta la catidad de lados: peta- es cico, así que petagoo represeta ua figura co 5 lados, hexa- es 6 así el hexagoo represeta ua figura co 6 lados Así podemos cotiuar co: heptagoo, octágoo, eeagoo, decagoo, etc Ahora cuado u poligoo tiee todos sus lados y águlos iguales es llamado de regular Se puede probar que la suma de los águlos iteriores de u poligoo regular de lados es π ( ) o 80 o ( ) y la catidad de diagoales y águlos iteriores es de ( ) y π o 80o, respectivamete (estos so uos bueos problemas de coteo, por que o itetas probarlos?) Olimpiadas Matem aticas, U de A 6