Elementos Primitivos Para Euclides es el punto, la recta, la relación de mediación y la relación de congruencia.

Transcripción

1 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- Resume: Geometría Básica Geometría Euclidiaa Se refiere a la geometría iicial que fue propuesta por Euclides e su libro Los Elemetos, e este libro Euclides propoe los elemetos primitivos y u sistema axiomático, la idea pricipal de esto es que las defiicioes utiliza otros coceptos que debe ser defiidos ateriormete y esto produce que todos deba ser defiidos previamete, si cotiuamos llegaremos a teer ua cotradicció, pues los coceptos se autodefie, debido a ello Euclides propoe u sistema basado e elemetos primitivos que teemos de forma ituitiva o etes o defiidos, para que a través de ellos se pueda defiir los otros coceptos. Asimismo co las propiedades de estos elemetos, por ello Euclides propuso las propiedades elemetales o Axiomas o Postulados que segú él so propiedades evidetes que o ecesita demostració, esto hace que partamos de estos elemetos primitivos y estos postulados y todo aquello que se pueda explicar co esto es parte de la teoría. Elemetos Primitivos Para Euclides es el puto, la recta, la relació de mediació y la relació de cogruecia. Postulados de Euclides E su libro Elemetos Euclides propoe 5 Axiomas o Postulados que caracteriza a esta geometría de las otras.. Dados dos putos A y B existe ua úica recta AB que los cotiee.. Dado u segmeto de logitud r y u puto O llamado cetro se puede costruir ua circuferecia de radio r y cetro O deotada co C(o,r). 3. Todo segmeto AB se puede prologar idefiidamete e cada uo de sus extremos. Pieso, Luego existo- Reato Descartes Roald Oliverio Chubay Gallia

2 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- 4. Todos los águlos rectos so iguales. 5. Sea l y l dos rectas, si se pasa ua recta l 3 que atraviese a ambas formado águlos iteriores iguales a dos águlos rectos, etoces l es paralela a l. Las rectas so paralelas ssi α + β = 90 O su equivalete Águlos opuestos por el vértice. Sea l y l dos rectas, etoces si o so paralelas se itersecta e exactamete u úico puto. Formado águlos opuestos por el vértice de igual magitud. Pieso, Luego existo- Reato Descartes Roald Oliverio Chubay Gallia

3 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- Triágulos. Sea l, l y l 3 tres rectas o cocurretes (que o llega a itersectarse e u úico puto), se defie u triágulo co estos tres putos de itersecció. Teorema: La suma de los águlos iteros de u triágulo es igual a dos águlos rectos (80 ). Por el quito postulado y águlos opuestos por el vértice se puede hacer la siguiete costrucció: De dode se aprecia que α + β + γ = 90 = 80 Para todo triágulo. Para ua demostració del teorema de suma de águlos: Para ua demostració del teorema de Pitágoras: Costrucció de triágulos. a. Dados los lados del triágulo. (LLL) Pieso, Luego existo- Reato Descartes Roald Oliverio Chubay Gallia 3

4 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- Para que u triágulo sea costruible dados sus tres lados debe cumplir la desigualdad del triágulo: a + b > c a + c > b b + c > a Si o se cumple las tres el triágulo o es costruible. b. Dados u águlo, u lado y el otro águlo. (ALA) Dados α, β y c es posible costruir el triágulo de forma simple. c. Dados lado-águlo-lado. (LAL), es decir dos lados y el águlo etre ellos. Pieso, Luego existo- Reato Descartes Roald Oliverio Chubay Gallia 4

5 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- Semejaza de triágulos Dados b, c y α. E los tres casos los triágulos so úicos. Se dice que dos triágulos so semejates cuado sus águlos so iguales, o bie, cuado se cumple ua relació de proporcioalidad etre lados correspodietes. Ejemplo: Cosideremos dos triágulos rectágulos. Los dos triágulos so proporcioales, es decir, al dividir lados correspodietes se obtiee ua costates igual para cada lado. Se cumple: AC ED = AB EF = CB DF = k etoces ABC es semejate a EDF E este caso particular: AC ED = = =, k = / E caso de que la relació de proporcioalidad sea ua costate igual a, se dice que los triágulos so cogruetes (como ejemplo clásico teemos u triágulo isósceles) AC ED = AB EF = CB =, etoces ABC es cogruete co EDF DF Otra forma de verlo es que sus águlos sea iguales, etoces se cumple la semejaza, e el ejemplo de los triágulos rectágulos: Pieso, Luego existo- Reato Descartes Roald Oliverio Chubay Gallia 5

6 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- Razoes trigoométricas. Sea C(A,) ua circuferecia de radio y u águlo cetral, las razoes trigoométricas se puede calcular de forma gráfica. Ejemplo: Sea C(A,) ua circuferecia de radio co cetro e A y u águlo cetral de 30, se puede dibujar este águlo de la forma siguiete: Demostració: E el diagrama cosideramos C(A,) y u águlo cetral, por semejaza los triágulos ABC y ADE so semejates debido a que sus águlos so iguales (debido a que DE es paralela a BC y se cumple el quito postulado) etoces: AC AE = AB AD = BC DE = k De esto os iteresa AB AD = BC DE Pieso, Luego existo- Reato Descartes Roald Oliverio Chubay Gallia 6

7 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- AB AD = BC DE Cos α = Se α DE Y despejado DE: DE = Se α Cos α = Ta(α) Co esto podemos calcular co regla, trasportador y compás las razoes trigoométricas de cualquier águlo, tomado e cueta que so estimacioes debido a las limitacioes de espacio e icertezas e las medicioes. Sucesioes Se puede cosiderar ua sucesió como u arreglo ordeado de úmeros. Así, el siguiete cojuto es ua sucesió: a, a, a 3, a 4,, a Dode cada a i, i =,, 3,, es u úmero (e el caso más simple u úmero etero), dode el subídice i es u cotador, y su expresió más geeral es para el a, que puede cosiderarse como ua fució de los aturales (Domiio) co o si el cero y como cotradomiio los úmeros eteros, racioales, reales, etc. Ejemplos:, 4, 6, 8, 0, Se puede escribir ua regla geeral para cada térmio como a =, Que o es otra cosa que la sucesió de úmero pares. Por coveció se tomará como el primer valor de dode cada es u úmero atural, por ejemplo: 6, 8, 0,, a = +, Por ejemplo para calcular los primeros térmios de la sucesió: a =, 0,,, 3, 4, Pero si solo quisiéramos calcular uos cuatos térmios de la sucesió: a =, Podríamos cosiderarlo como u cojuto fiito de la forma: a i = Para los primeros 5 térmios tedríamos: a i = i 5 i =, =, 4, 8,, Es de que cada a i es u térmio de la sucesió que tiee la forma a i = i empezado e el hasta parar al i=, e el caso aterior desde hasta i=5, es decir los térmios de la sucesió cuado, i=, i=3, i=4, i=5. 4, 8, 6, 3 Pieso, Luego existo- Reato Descartes Roald Oliverio Chubay Gallia 7

8 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- Dode se puede hacer ua aalogía co que i es la variable idepediete y a i es la image o variable depediete de la fució. Sucesioes Alterates: So aquellas que tiee ua alteració de sigos etre cada térmio de la sucesió. a =,, es ua serie alterate La sucesió:, 0,, 0,, 0,,. Es ua sucesió alterate pues se puede escribir como: a = + +, Asimismo se pudo haber escrito la sucesió aterior como a = + cos π, 0 Pues los valores de cos π va alterado etre y - segú sea par o impar, pues es u atural o u úmero real. (Los ejercicios se ecuetra e la última parte) Series Se defie ua serie como u tipo de sucesió, específicamete como ua sucesió de sumas parciales deotada como s, s, s 3, s 4,, s Dode cada s i es ua suma de los térmios de la sucesió a i, de la forma siguiete: Es decir: Ejemplos: Sea a =, La sucesió es: s = a s = a + a s 3 = a + a + a 3 s 4 = a + a + a 3 + a 4 S = a + a + a 3 + a a a i S = a i =,, 3, 4, 5,, La serie es etoces: Como serie tiee ua forma expadida S i =, +, + + 3, , ,, i Dode cada S i está coloreado de distita forma, si cosideramos su sucesió tedríamos. ( + ) S i =, 3, 6, 0, 5,, Pieso, Luego existo- Reato Descartes Roald Oliverio Chubay Gallia 8

9 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- Sea la sucesió de los úmeros impares: La serie: a =, S = i Es decir la sucesió formada por la suma de úmeros impares es:, 4, 5, 9, 6, 5,., Puesto que so los úmeros:, +3, +3+5, , Demostració: Partimos de las defiicioes que se demostraro ateriormete: i = ( + ) y = Co esto y por propiedades de la suma (asociatividad, comutatividad, etc.). E aalogía co las propiedades de la itegral, que so de hecho, series. i = i + = i Etoces: i = ( + ) = + = + = i = Productos Al igual que las series (suma) los productos (multiplicació de úmeros) es la sucesió formada por productos parciales, así: 3 4 i = = i = = i = 3 = 6 i = 3 4 = 4 Pieso, Luego existo- Reato Descartes Roald Oliverio Chubay Gallia 9

10 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- Dode! se llama -factorial. i = 3 4 =! Nota: Este es solo u resume de sucesioes, pues el verdadero propósito es aplicarlos a situacioes geométricas como se verá a cotiuació: Ejemplo : Si tego u segmeto de logitud y corto la mitad, luego tomo ua mitad y la corto a la mitad uevamete, tomo ua parte de estas dos que saliero y la corto a la mitad uevamete,, cuál es la sucesió que defie este comportamieto. Para el primer corte tomamos ua mitad del segmeto: Para el segudo corte tomamos la mitad de la mitad: Para el -ésimo corte tomamos: Es decir la sucesió de las partes que tomamos es: a = ½ ¼, Preguta: Es posible llegar a cortar u úmero fiito de veces de la misma forma hasta que las logitudes de los cortes sea cero? Respuesta: No, pues aú co cortes muy pequeños teemos ua logitud muy pequeña pero mayor a cero, por lo que co cortes fiitos o es posible obteer logitudes de cero. Pero si cosideramos cortes ifiitos obteemos ua oció de límite y cuado los cortes so ifiitos las logitudes obteidas so cero. Ejemplo : Si sumo todas las partes que voy sacado (mitad, mitad de la mitad, etc) Qué sucesió obtego y cuál es la suma total de estas partes? Teemos que la suma parcial del primer térmio es: / = / Al sumar la mitad y la mitad de la mitad: /+/4 = 3/4 Al tercer corte: / +/4+/8 = 7/8 De maera ituitiva teemos que para la -ésima suma: S = i = Preguta: Si cosideramos sumar de forma ifiita todos los pedazos obteidos del segmeto de logitud, es coherete pesar que al sumarlos todos obtegamos uevamete. Cómo se podría justificar dicha cojetura? Respuesta: Puesto que se tiee ua sucesió de la sumatoria de los pedazos, al cosiderar sumar todos los pedazos hasta dode los pedazos mide cero de logitud, teemos ua suma ifiita de térmios (dado por el ejemplo ). Etoces podemos cosiderar: Pieso, Luego existo- Reato Descartes Roald Oliverio Chubay Gallia 0

11 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- i = lim i = lim Mediate cálculos secillos de límites se puede mostrar que: lim De esto, justificamos que al sumar todos los pedazos obteidos al hacer los cortes os da el segmeto iicial. Triágulo de Pascal. Se puede iiciar este triágulo peculiar como u juego, sumado casillas superiores de la forma siguiete: = Teemos varios elemetos e este caso, observamos que las filas desde =0 tiee + elemetos o círculos. Se observa distitas sucesioes, como la catidad de círculos e cada fila: a = +. La primera diagoal es la sucesió: a = (E aalogía co la fució costate) La seguda diagoal es la sucesió: a = (La aplicació idetidad) La tercera diagoal: a = = (+) (Como ua serie) E el caso de las filas se puede utilizar para los coeficietes de potecias de biomios. Fila Biomio Expasió Coeficietes del biomio = 0 (x + y) 0 Pieso, Luego existo- Reato Descartes Roald Oliverio Chubay Gallia

12 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- = (x + y) x + y, = (x + y) x + xy + y,, = 3 (x + y) 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3, 3, 3, = 4 (x + y) 4 x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y 4, 4, 6, 4, Los coeficietes de la expasió del biomio correspode a los valores e el triágulo de Pascal. Ejemplo: Para desarrollar la potecia x 3y 4 se puede desarrollar co el producto ormal que es u proceso exteso o al utilizar el triágulo de pascal obteemos: x + y 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y 4 x 3y 4 = x x 3 3y + 6 x 3y + 4 x 3y 3 + 3y 4 x 3y 4 = 6x 4 96x 3 y + 6x y 4 6xy 6 + 8x 8 Se sustituye x por x y +y por -3y y se calcula los productos. Que para el ivel medio es más práctico que memorizar ua fórmula de productos otables. Las razoes geométricas para el primer caso (x + y) se debe al siguiete diagrama: Otra propiedad importate de este triágulo es sobre el cojuto potecia: Sea X u cojuto de cardialidad ( X = ). El cojuto potecia P x es el cojuto (o familia) formada por todos los subcojutos posibles de X, la cardialidad del cojuto potecia es ( P x = ). Justificació: Para X de 0 elemetos, X = Pieso, Luego existo- Reato Descartes Roald Oliverio Chubay Gallia

13 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- Subcojutos de: Subcojutos Catidad Suma ( P x ) 0 elemetos Para X de elemeto, X = a Subcojutos de: Subcojutos Catidad Suma ( P x ) 0 elemetos + elemeto X Para X de elemetos, X = a, b Subcojutos de: Subcojutos Catidad Suma ( P x ) 0 elemetos elemeto a, b ++ elemetos X Para X de 3 elemetos, X = a, b, c Subcojutos de: Subcojutos Catidad Suma ( P x ) 0 elemetos elemeto a, b c elemetos a, b, a, c, b, c 3 3 elemetos X La cardialidad del cojuto potecia resulta de sumar los coeficietes del triágulo de pascal, así para la fila la suma de sus coeficietes será la cardialidad del cojuto potecia de X co elemetos, es decir, es el desarrollo del biomio e el caso particular de x=y=. Etoces para u cojuto X de cardialidad se cumple. P x = x + y cuado x = y =, etoces: P x = ( + ) = Se pudo haber demostrado por iducció y co el teorema del biomio, pero esta forma ituitiva de ver el cojuto potecia es muy acertada y muy acercada a la demostració real que se basa e elemetos de combiatoria e iducció matemática. Tagrama Es ua técica para desarrollar las habilidades de costrucció espacial, se recomieda hacer el material de papel de colores grueso, dar las istruccioes a los estudiates y si todas las piezas so del mismo tamaño cambiar piezas equivaletes para teer las 7 piezas de distitos colores. Pieso, Luego existo- Reato Descartes Roald Oliverio Chubay Gallia 3

14 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- Dode los putos: E es el puto medio del segmeto AC (mitad). F es el puto medio del segmeto BE. K es el puto medio del segmeto EC. J es el puto medio del segmeto AE. HG es paralela a AC. La técica cosiste e teer estas 7 piezas y co ellas formar ua figura teiedo solo la silueta. Pieso, Luego existo- Reato Descartes Roald Oliverio Chubay Gallia 4

15 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- Ejercicios Propuestos. Dibuje lo que se le solicita a cotiuació utilizado úicamete regla y compás. a. U triágulo de logitudes 4 cm, 5 cm, 6 cm. b. U triágulo rectágulo co u cateto de 6 cm y el otro cateto de 5 cm. c. U cuadrado de logitud 5 cm. d. U triágulo isóceles de base 8 cm y altura 4 cm. (supoiedo los lados faltates iguales) e. U triágulo equilátero de 4 cm. f. El siguiete dibujo, dode c es el puto medio del segmeto AB.. Dibuje lo que se le solicita a cotiuació utilizado regla, compás y trasportador. a. U triágulo de 8 cm e u lado, 4 cm e otro y u águlo que los separa de 35. (Segú este criterio LAL es posible utilizar la ley del coseo para averiguar el tercer lado) b. U triágulo isóceles cuyos lados iguales de 5 cm so separados por u águlo de 55. Muestre que este triágulo tiee ua solució complicada co la ley del seo, mietras que co la ley del coseo es factible. c. Muestre que los triágulos de tipo ALA (águlo-lado-águlo) como el triágulo de águlo 30, lado 6 cm y águlo 50 so difíciles de resolver co la ley del coseo, mietras so factibles para la ley del seo. d. El segmeto que represeta la tagete de 35, luego compare el valor obteido co el valor proporcioado por la calculadora. 3. Resuelva los problemas que se le platea a cotiuació. a. Del diagrama e -f, calcule el área de la figura si AB=0 cm. b. Del diagrama e -f, calcule el perímetro de la figura si AB=0 cm. c. Del diagrama e -f, obtega ua expresió algebraica para el área total si AB=(x-) cm. d. Calcule el área de la siguiete figura de dos formas: d. Por separació de la figura compuesta e figuras básicas (triágulos, rectágulos, etc.) Cada separació del plao es de uidad. d. Cotado la mitad de los putos dode la orilla de Pieso, Luego existo- Reato Descartes Roald Oliverio Chubay Gallia 5

16 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- la figura toca u puto (x,y) exacto (putos rojos), sumádole los putos que está e iterior de la figura (putos azules) y restádole. el Co esto las áreas so iguales, por dos métodos distitos. 4. Ecuetre los térmios que le idica la sucesió: a. a i = i+ 4 i b. a i = i 6 i+ c. cos (π) d. i 7 i=3 e. i 6 i= 5 f. cos ( π 4 ) g. S = i +, los primeros3 térmios. 4 h. S 4 = 3i i. S = i, los primeros 4 térmios 4 j. S 4 = i=0, compárelo co el valor de e que i! proporcioa la calculadora. (0!=) 5. Ecuetre ua expresió para las siguietes sucesioes (tome = como iicio) a. 0,, 0,, 0, b. 8,, 6, 0, 4, c., 3, 3 4, 4 5, e. 0,, 0,, 0,, 0,, f.,, 3, 4, 5, g. 3, 6,, 8, 7, d.,, 3, 4, h. x, x, 3x 3, 4x 4, i., x 3, x 4, x 3 5, Problemas variados a. El promedio aritmético se defie como Pieso, Luego existo- Reato Descartes x = x i = x + x + x x Roald Oliverio Chubay Gallia 6

17 Uiversidad de Sa Carlos de Guatemala Escuela de Formació de Profesores de Eseñaza Media EFPEM- Co esta defiició ecuetre el promedio edades de los siguietes valores obteidos ua ecuesta: 5, 6, 8, 9, 7, 7, 8, 0, 7, 6, 8, 8, 5. e b. Sume los úmeros de hasta 00. (Utilizar series y sucesioes reduce el trabajo) c. Ecuetre: d. Si tego u círculo, luego añado formado u triágulo, luego 3 siguiedo la forma del triágulo, luego 4, así sucesivamete. Cuál es el total de círculos al agregar 7 círculos? e. Si a u cuadrado de Logitud x le quitamos la mitad de cada lado, luego a lo que sobró le quitamos uevamete la mitad de cada lado. Qué sucesió represeta el perímetro de las figuras que queda? Y Cuál sucesió represeta el área que queda? Pieso, Luego existo- Reato Descartes Roald Oliverio Chubay Gallia 7