III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. FUNCIÓN EXPONENCIAL n Hmos stado manjando n st trabajo prsions dl tipo n dond s una variabl llamada bas n una constant llamada ponnt, si intrcambiamos d lugar la bas l ponnt obtnmos una prsión dl tipo n la cual rcib l nombr d función ponncial, sindo mu important su studio para la solución d muchos problmas. Dfinición: Si dond s cualquir númro ral. f a a > ntoncs la función ponncial con bas a s dfin como: ( ) Su dominio son los númros rals D (, ) rals positivos R (, )., su imagn o rango son los númros Obsrvando qu para a > si crc también lo hac rápidamnt si disminu s acrca a cro lo cual s ilustra con las siguints gráficas. EJEMPLOS ) Dibuj las gráficas d las funcions ponncials sistma coordnado., sobr l mismo Como su dominio son todos los númros rals D (, ) tin:, tabulando algunos valors s 6
S obsrva qu l j d las quis, d cuación s asíntota horizontal d st tipo d curvas. ) Trac la gráfica d la función Tabulando: En los jmplos ) ) s obsrva qu l punto (,) s común a todas las gráficas d funcions dl tipo a uno). a (todo númro ral cpto cro lvado a la cro potncia s igual Eist un númro irracional utilizado con mucha frcuncia n funcions ponncials, dado qu tin infinidad d aplicacions prácticas como tóricas. En cursos supriors s aclarará la norm importancia qu tin l númro n l dsarrollo d la MATEMÁTICA. El valor aproimado dl númro s.788 la gráfica d qudará ntr las gráficas d dl jmplo ). ) El númro d bactrias n millons, n un cultivo, t horas dspués d iniciado l primnto vin dado por f () t. S prgunta: a) El númro d bactrias al principio dl primnto. b) El númro d bactrias dspués d una hora d dos horas. c) Graficar la función. t a) Como t ; primnto.. Eistían millons d bactrias al iniciar l 6
b) Si una hora. t (.956) 7. 9 Si.9477 8. dobl qu al inicio dl primnto. t ( ) 955. Eistn 7.9 millons d bactrias dspués d. Eistn 8.955 millons a las dos horas, casi l Para dibujar la gráfica obtndrmos l númro d bactrias a las 4 horas para obtnr más puntos d la gráfica. () (.78) 54. 466 4 ( 4) (.797) 75. 874 : timpo n horas t : millons d bactrias 4) Traza la gráfica d la función 64
5) Dibuja la gráfica d la función Dibujar la gráfica d las siguints funcions: EJERCICIOS ) ) ) 4) 4 4 4 5) Obtnr la statura n cntímtros para un niño d años d dad si sta dtrminada por la función: 79 + 6.4t.5 t 65
.. FUNCIÓN LOGARITMO Como a hmos visto antriormnt, la invrsa d una función ponncial con a >, s obtin intrcambiando la por la la por la : a, a, al dspjar d sta última la variabl, s obtin la función logarítmica log a, qu s l logaritmo d d bas a como l dominio l rango d la función ponncial a son: D (, ), R (, ), ntoncs n la función logarítmica log a, s cambian, R,. los papls, rsultando qu su dominio su rango son D ( ), ( ) Dfinición: log a si solo si con a >, > a Lo qu vrbalmnt podmos dcir l logaritmo d un númro s l ponnt al cual s db lvar la bas a para obtnr dicho númro. EJEMPLOS ) Sobr l mismo sistma coordnado, bosqujar la gráfica d las funcions invrsa log. su La invrsa d la función s, d la cual dspjando la s tin log (qu s una función logarítmica d bas ). Tabulando la función lugo invirtindo los valors d las coordnadas, s tin la tabulación d su invrsa log como sigu: log 66
) Sobr l mismo sistma coordnado, bosqujar la gráfica d las funcions log, ln, log. Cuando la bas d una función logarítmica s l númro, s dcir, log, s acostumbra scribir ln s l llama función logaritmo natural. Como l númro s ncuntra ntr l l ( < < ), la gráfica d la función ln s localiza ntr las gráficas d las funcions log d log como s mustra n la figura. Para graficar log, d acurdo con la dfinición s lo mismo qu, por lo qu s hac más fácil graficar sta última a qu las calculadoras cintíficas no pudn calcular logaritmos d bas, por lo tanto, para tabular algunos valors d, proponmos R, como sigu: algunos valors para d su rango ( ) log Si. 9. 7. 7 9.4... Para graficar ln s lo mismo qu tnmos: ln Si, tabulando con sta última prsión,.5.4.7.7 67
68 Nota: Si sabmos qu por dfinición una función logarítmica, tin su quivalnt n forma ponncial. La graficación d funcions logarítmicas s facilita con l uso d la calculadora cintífica, con la función, a qu n su maoría, las calculadoras cuntan con las funcions log (logaritmo bas ) con ln (logaritmos bas ) únicamnt. ) Obtnr la gráfica d la función log Si 7 9 9 log.9 7.9
. 9. 7.4 4) Obtnga la gráfica d la función log ( ) Como solo ha logaritmos para argumntos positivos, l argumnto ( ) srá positivo si toma valors ngativos, por lo qu l dominio d sta función son todos los rals ngativos D,, tabulando s tin: o lo qu s lo mismo ( ) ( ) ; log 8. 4. Si ( ). ( ) 5 ( ) 5 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 8 69
5) Graficar la función log ( ) ( ) log ( ) ; ; log Si 7 9.. 9.4 7 7
El intrés compusto s un jmplo d aplicación d st tipo d funcions, brvmnt podmos plicarlo como sigu: Si una prsona dposita n l banco $. n una cunta d ahorro dond l banco l paga una tasa d intrés dl 8% anual, al final dl primr año la prsona rcibirá $8., si no rtira sta cantidad, para l siguint año rcibirá $66.4 asi sucsivamnt. Est tipo d problmas da orign al siguint dsarrollo concptual. Año Capital Intrés Monto.... 8. 8. 8. 86.4 66.4 66.4 9. 59.7 En gnral: si C s l capital inicial i s la tasa d intrés t s l príodo d capitalización n s l númro d años M s l monto capitalizado La fórmula dl intrés compusto s: M C + i t tn 7
6) Si Raúl dposita $. n una cunta d ahorro qu l da un intrés dl.5% capitalizabl trimstralmnt, cuánto rcibirá dspués d 5 años? M i C + t tn.5 + 4 4 ( 5) ( ) (.768).875 M $5 88.6 Raúl rcibirá al final dl quinto año la cantidad antrior. EJERCICIOS Obtnr la gráfica d las siguints funcions: ) log ) ln( ) ) log 4) log 5) log ( +) 6) A qué timpo s db invrtir un capital d. $ al % anual compusto, para triplicar l capital inicial? 7