IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. Ejercicio 1. La altura e cm. de las cañas roducidas or ua variedad de carrizo e cada cosecha es ua variable aleatoria que sigue ua ley ormal co desviació tíica σ = 16 cm. Para cotrastar si la altura media de las cañas de la última cosecha es de 17 cm, se ha tomado ua muestra aleatoria de 64 de estas cañas y se ha medido sus logitudes, resultado como media muestra x = 166 cm. So suficietes estos datos ara rechazar que la altura media de las cañas de la última cosecha es de 17 cm, a u ivel de sigificació α = 5? Solució Sabemos que si teemos ua oblació que sigue ua distribució ormal N(µ,σ) y extraemos de ella muestras de tamaño, la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: σ N(µ, ). Trabajaremos co lo ormal N(,1) Tambié se uede hacer co la distribució ormal muestra y es arecido a los itervalos de cofiaza. Este roblema os latea u cotraste bilateral. Datos dados: µ = 17, = 1, desviació tíica = σ = 16, x = 166; ivel de sigificació = α = 5 El roblema la dividimos e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa. Las hiótesis ula y alterativa so: H : µ = 17 cm y H 1 : µ 17 cm. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. La rueba es bilateral y ara u ivel de sigificació α = 5, co lo cual α/2 =,5/2 = 25. De (Z z 1-α/2 ) = 1 - α/2 = 1 25 = 975, mirado e las tablas de la N(,1) obteemos z 1-α = 1 96, co lo cual le corresode or valores críticos z 1-α = 1 96 y z α = - z 1-α = -1 96, que seara las zoas de acetació y de rechazo. Etaas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de rueba es Z = observado del estadístico de rueba será el úmero, que sigue ua ormal tiificada N(,1), y el valor σ / z = = σ / 166-17 16/ 1 = - 2 5, Etaa 5: Comaramos el valor observado co el uto crítico ara tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de rueba z =- 2 5 es meor que el valor crítico z α/2 = = -1 96, vemos que se ecuetra e la zoa de rechazo. Por tato, tomamos la decisió de rechazar la acetar hiótesis ula H : µ = 17 cm, a este ivel de sigificació. E cosecuecia, odemos rechazar la hiótesis ula H y acetar que la altura de las caños de carrizo o mide 17 cm, sio meos cm. al ivel de sigificació 5, udiedo haber cometido u error del tio I. Ejercicio 2. U comerciate ha observado durate u largo eriodo de tiemo que sus beeficios semaales se distribuye segú ua ley ormal co ua media de 5 euros y ua desviació tíica de 52 euros. A gjrubio@hotmail.com 1
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. fiales del año asado se abrió u suermercado frete a su comercio y él cree que su beeficio semaal medio ha dismiuido desde etoces. Para cotrastar esta suosició, ha tomado ua muestra aleatoria de 16 semaas del año actual y ha ecotrado que el beeficio semaal medio de esa muestra es de 47 euros. Puede afirmarse, a u ivel de sigificació α = 1, que estos datos avala la creecia del comerciate? Solució Sabemos que si ua variable aleatoria X sigue ua distribució ormal N(µ,σ) y extraemos de ella muestras σ de tamaño, la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: N(µ, ). Datos del roblema: Beeficios N(5,25); µ = 5; = 16; x = 47; σ = 522; regió crítica = α = = 1% = 1. Nos dice el roblema que el comerciate cree que su beeficio semaal medio ha dismiuido, es decir la hiótesis ula es lo cotrario, es decir H : µ 5, co lo cual u ivel de sigificació del 1%, or tato la hiótesis alterativa es H 1 : µ < 5. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(,1). Tambié se uede hacer co la distribució ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. El roblema la dividimos e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa. Las hiótesis ula y alterativa so: H : µ 5 (sus beeficios o ha dismiuido) y H 1 : µ < 5, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la izquierda del uto crítico z α = - z 1-α. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. El ivel de sigificació es α = 1, luego teemos 1 - α =,99. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 1 = 99, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que o aarece e las tablas. El valor más róximo es 991, que corresode al valor crítico es z α = - z 1-α = - 2 33 que seara las zoas de acetació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etaas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de rueba de este cotraste es Z =, que sigue ua ley ormal N(,1), y σ / 1'8-11 el valor observado del estadístico de rueba será el úmero z = = σ / 2/ 18-4243 Etaa 5: Comaramos el valor observado co el uto crítico ara tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de rueba z = - 4243 es mayor que el valor crítico z α = - z 1-α = - 2 33, vemos que os ecotramos e la regió de acetació. Por tato, tomamos la decisió de la acetar la hiótesis ula H : µ 5. Co lo cual, o se uede afirmar, al ivel,1, que los datos de la muestra aoye la creecia de que gjrubio@hotmail.com 2
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. el uevo suermercado ha dismiuido el beeficio semaal medio del comerciate. Ejercicio 3. Sólo el 75 % de los alumos de u cetro de eseñaza realiza correctamete u test sicotécico que lleva utilizádose mucho tiemo. Para tratar de mejorar este resultado, se modificó la redacció del test, y se rouso a u gruo de 12 alumos de ese cetro, elegidos al azar. De los 12 alumos a los que se le asó el uevo test, lo realizaro correctamete 17. Podemos afirmar que la ueva redacció del test ha aumetado la roorció de resuestas correctas, a u ivel de sigificació α =,25? Solució Sabemos que la distribució muestral de roorcioes sigue tambié ua distribució ormal:.(1- ) N( ˆ, ). Trabajaremos co lo ormal N(,1) Tambié se uede hacer co la distribució ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. De sólo el 75 % de los alumos realiza correctamete u test, teemos H : 75 a iveles de sigificació de α =,25. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(,1). Tambié se uede hacer co la ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. Datos del roblema: = 42; = 12; ˆ = 17/12 8916; ivel de sigificació α =,25. El roblema la dividimos e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa. Las hiótesis ula y alterativa so: H : 75 (sólo el 75% suera el test) y H 1 : > 75, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la derecha del uto crítico z 1-α. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. Para el ivel de sigificació es α = 25, luego teemos 1 - α =,9975. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 25 = 9975, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que viee dicha robabilidad y que corresode al valor crítico es z 1-α = 2 81 que seara las zoas de acetació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etaas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. ˆ - E este caso el estadístico de rueba es Z =, que sigue ua ormal tiificada, N(,1), y el.(1- ) ˆ - valor observado del estadístico de rueba será el úmero z =.(1- )/ = = '8916 - '75 3 582. '75 '25 12 gjrubio@hotmail.com 3
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. Etaa 5: Comaramos el valor observado co el uto crítico ara tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de rueba z = 3 582 está a la derecha del uto crítico 2 81, estamos e la zoa de rechazo. Resumiedo rechazamos la hiótesis ula H : H : 75, y acetamos la hiótesis alterativa H 1 : > 752, ara u ivel de sigificació α = 25. Co lo cual, co ua robabilidad de equivocaros del 25%, afirmamos que mas del 75% realiza correctamete los test. Ejercicio 4. El eso e vacío de los evases fabricados or ua emresa, segú su método usual, es ua variable aleatoria que sigue ua ley ormal co media 2 gramos y ua desviació tíica de 1 gramo. Se desea cotrastar si u uevo roceso de fabricació o aumeta dicho eso medio. Para ello, se elige al azar 25 evases fabricados or la ueva técica y se ecuetra que la media de su eso e vacío es de 2,5 gramos. Se uede afirmar, a u ivel de sigificació α =,2, que el uevo roceso ha aumetado el eso medio de los evases? Solució Del roblema teemos N(2;1), es decir µ = 2 y σ = 1 ; de o aumeta dicho eso medio, teemos H : µ 2 a ivel de sigificació de α =,2; = 25; x = 2 5. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(,1). Sabemos que la distribució muestral de roorcioes sigue tambié ua distribució ormal: N( µ, Trabajaremos co lo ormal N(,1) Tambié se uede hacer co la distribució ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. El roblema la dividimos e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa. σ ). Las hiótesis ula y alterativa so: H : µ 2 (o aumeta dicho eso medio) y H 1 : µ > 2, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la derecha del uto crítico z 1-α. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. Para el ivel de sigificació es α = 2, luego teemos 1 - α =,98. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 2 = 98, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que dicha robabilidad o viee e la tabla, y el valor más róximo es 9821 el cual corresode al valor crítico es z 1-α = 2 1 que seara las zoas de acetació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etaas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de rueba de este cotraste es Z =, que sigue ua ley ormal N(,1), y σ / 2'5-2 el valor observado del estadístico de rueba será el úmero z = = = 2 5. σ / 1/ 25 gjrubio@hotmail.com 4
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. Etaa 5: Comaramos el valor observado co el uto crítico ara tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de rueba z = 2 5 está a la derecha del uto crítico 2 1, estamos e la zoa de rechazo. Resumiedo rechazamos la hiótesis ula H : µ 2, y acetamos la hiótesis alterativa H 1 : µ > 2, ara u ivel de sigificació α = 2. Co lo cual, co ua robabilidad de equivocaros del 2%, afirmamos el uevo roceso de evasado aumeta el eso medio. Ejercicio 5. E uas eleccioes muiciales de ua ciudad, el 42% de los votates diero su voto al artido A. E ua ecuesta realizada u año desués a 5 ersoas co derecho a voto, sólo 184 votaría al artido A. Co estos datos, uede afirmarse que ha dismiuido la roorció de votates a ese artido? Resoder a la reguta aterior co iveles de sigificació α =,1, α =,25 y α =,1. Solució Sabemos que la distribució muestral de roorcioes sigue tambié ua distribució ormal:.(1- ) N( ˆ, ). Trabajaremos co lo ormal N(,1) Tambié se uede hacer co la distribució ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. Nos dice el roblema si uede afirmarse que ha dismiuido la roorció de votates a ese artido, es decir que el orcetaje de votos o es meor del 42%, or tato la hiótesis ula es H : 42 a iveles de sigificació de α =,1, α =,25 y α =,1. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(,1). Tambié se uede hacer co la ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. Datos del roblema: = 42; = 5; ˆ = 184/5 = 368; regió crítica = α =,1 = 1%, α =,25 = = 2 5% y α =,1 = 1%. El roblema la dividimos e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa. Las hiótesis ula y alterativa so: H : 42 (al meos el 42% vota) y H 1 : < 42, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la izquierda del uto crítico z α = - z 1-α. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. Para el ivel de sigificació es α = 1, luego teemos 1 - α =,99. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 1 = 99, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que o aarece e las tablas. El valor más róximo es 991, que corresode al valor crítico es z α = - z 1-α = - 2 33 que seara las zoas de acetació y rechazo. Para el ivel de sigificació es α = 25, luego teemos 1 - α =,9975. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 25 = 9975, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que viee dicha robabilidad y que corresode al valor crítico es z α = - z 1-α = - 2 81 que seara las zoas de acetació y rechazo. Para el ivel de sigificació es α = 1, luego teemos 1 - α =,999. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 1 = 999, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que viee dicha robabilidad y que corresode al valor crítico es z α = - z 1-α = - 3 9 que seara las zoas de acetació y rechazo. gjrubio@hotmail.com 5
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. Lo observamos e u dibujo: Etaas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. ˆ - E este caso el estadístico de rueba es Z =, que sigue ua ormal tiificada, N(,1), y el.(1- ) ˆ - valor observado del estadístico de rueba será el úmero z =.(1- )/ = '368 - '42 = -2 355. '42 '58 5 Recordamos que los utos críticos era - 2 33, -2 81 y 3 9 Etaa 5: Comaramos el valor observado co el uto crítico ara tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de rueba z = -2 355 está e la regió de acetació ara los utos críticos -2 81 y 3 9. Si embargo está meor que el valor crítico z α = - z 1-α = - 1 645, vemos que os ecotramos e la regió de rechazo ara el uto crítico 2 33. Resumiedo rechazamos la hiótesis ula H : H : 42, y acetamos la hiótesis alterativa H 1 : < 42, sólo e el caso del ivel de sigificació α = 1. Co lo cual, co ua robabilidad de equivocaros del 1%, afirmamos que meos del 42% votará. lo Ejercicio 6. E ua ciudad, dode la roorció de fumadores co edad comredida etre 18 y 2 años es del 3%, el ayutamieto ha realizado ua camaña cotra el cosumo de tabaco. Dos meses desués de termiar dicha camaña, se ha realizado ua ecuesta a 4 ersoas de estas edades, elegidas al azar, y se ha ecotrado etre ellos a 92 fumadores. Podemos afirmar, a u ivel de sigificació α =,5, que esta camaña ha modificado la roorció de fumadores etre 18 y 25 años? Solució Sabemos que la distribució muestral de roorcioes sigue tambié ua distribució ormal:.(1- ) N( ˆ, ). Trabajaremos co lo ormal N(,1) Tambié se uede hacer co la distribució ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. Nos dice el roblema la roorció de fumadores es del 3%, si uede afirmarse que ha dismiuido la roorció de votates a ese artido, es decir que se ha modificado la roorció (me está diciedo que la hiótesis ula es H : = 3) al ivel de sigificació de α =,5. Es u cotraste bilateral y trabajamos co la ormal N(,1). Tambié se uede hacer co la ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. Datos del roblema: = 3; = 4; ˆ = 92/4 = 23; ivel sigificació = α =,5 = 5% gjrubio@hotmail.com 6
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. El roblema la dividimos e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa. Las hiótesis ula y alterativa so: H : = 3 y H 1 : 3. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. La rueba es bilateral y ara u ivel de sigificació α = 5, co lo cual α/2 =,5/2 = 25. De (Z z 1-α/2 ) = 1 - α/2 = 1 25 = 975, mirado e las tablas de la N(,1) obteemos z 1-α = 1 96, co lo cual le corresode or valores críticos z 1-α = 1 96 y z α = - z 1-α = -1 96, que seara las zoas de acetació y de rechazo. Etaas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de rueba es Z = ˆ -, que sigue ua ormal tiificada, N(,1), y el.(1- ) valor observado del estadístico de rueba será el úmero z = ˆ - '23 - '3 = =.(1- )/ '3 '7-3 55. 4 Etaa 5: Comaramos el valor observado co el uto crítico ara tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de rueba z = - 3 55 es meor que el valor crítico z α/2 = = -1 96, vemos que se ecuetra e la zoa de rechazo. Por tato, tomamos la decisió de rechazar la acetar la hiótesis ula H : = 3 y acetar la hiótesis alterativa H : 3, a este ivel de sigificació. E cosecuecia, odemos rechazar la hiótesis ula H y acetar que la roorció de fumadores etre 18 y 25 años ha dismiuido al ivel de sigificació 5, udiedo haber cometido u error del tio I. Ejercicio 7. U fabricate de automóviles roduce dos tios de u determiado modelo de turismo: el tio A, co motor de gasolia, y el tio B, co motor de gasoil. De ua muestra aleatoria de 2 turismos de este modelo, 112 so del tio B. Proorcioa estos datos suficiete evidecia, a u ivel de sigificació α =,1, de que los clietes refiere el modelo del tio B al del tio A? Solució Sabemos que la distribució muestral de roorcioes sigue tambié ua distribució ormal:.(1- ) N( ˆ, ). Trabajaremos co lo ormal N(,1) Tambié se uede hacer co la distribució ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. Si los clietes o tiee referecia tedría u 5% de ocioes de elegir u modelos de coche, como me dice si hay evidecia de que elija el modelo B al ivel de sigificació de α =,1, me está dado la direcció del cotraste es decir la hiótesis alterativa H 1 : = 5) al ivel de sigificació de α =,1. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(,1). Tambié se uede hacer co la ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. gjrubio@hotmail.com 7
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. Datos del roblema: = 5; = 2; ˆ = 112/2 = 56; ivel sigificació = α =,1 = 1% El roblema la dividimos e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa. Las hiótesis ula y alterativa so: H : 5 (o elige el modelo B) y H 1 : > 5, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la derecha del uto crítico z 1-α. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. Para el ivel de sigificació es α = 1, luego teemos 1 - α =,99. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 1 = 99, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que dicha robabilidad o viee e la tabla, y el valor más róximo es 991 el cual corresode al valor crítico es z 1-α = 2 33 que seara las zoas de acetació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etaas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de rueba es Z = ˆ -, que sigue ua ormal tiificada, N(,1), y el.(1- ) valor observado del estadístico de rueba será el úmero z = ˆ - '56 - '5 = =.(1- )/ '5 '5 1 697. 2 Etaa 5: Comaramos el valor observado co el uto crítico ara tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de rueba z = 1 697 está a la izquierda del uto crítico 2 33, estamos e la zoa de acetació. Resumiedo acetamos la hiótesis ula H : 5, ara u ivel de sigificació α = 1. Co lo cual, co ua robabilidad de equivocaros del 1%, o odemos afirmar que refiera el coche modelo B. Ejercicio 8. Suogamos que 1 eumáticos de cierta marca duraro e romedio 21431 kilómetros. Si se suoe que la oblació es ormal co ua desviació tíica oblacioal de 1295 km, utilizado α =,5, odemos cosiderar que la duració media de los eumáticos es iferior a 22 km? Solució Sabemos que si ua variable aleatoria X sigue ua distribució ormal N(µ,σ) y extraemos de ella muestras σ de tamaño, la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: N(µ, ). Datos del roblema: = 1; x = 21431; µ = 22; σ = 1295; ivel sigificació = α = 5. Nos dice el roblema si odemos cosiderar que la duració media de los eumáticos es iferior a 22 km, es decir la hiótesis ula es lo cotrario, es decir H : µ 22, co lo cual u ivel de sigificació del 5%, or tato la hiótesis alterativa es H 1 : µ < 22. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(,1). Tambié se uede hacer co la distribució ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. gjrubio@hotmail.com 8
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. El roblema la dividimos e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa. Las hiótesis ula y alterativa so: H : µ 22 (sus beeficios o ha dismiuido) y H 1 : µ < 22, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la izquierda del uto crítico z α = = - z 1-α. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. El ivel de sigificació es α = 5, luego teemos 1 - α =,95. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 5 = 95, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que o aarece e las tablas. Uo de los valores más róximo es 9495, que corresode al valor crítico es z α = - z 1-α = - 1 94 que seara las zoas de acetació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etaas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de rueba de este cotraste es Z =, que sigue ua ley ormal N(,1), y σ / 21431-22 el valor observado del estadístico de rueba será el úmero z = = σ / 1295/ 1-4 3938 Etaa 5: Comaramos el valor observado co el uto crítico ara tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de rueba z = - 4 3938 es meor que el valor crítico z α = - z 1-α = - 1 64, vemos que os ecotramos e la regió de rechazo. Por tato, tomamos la decisió de la rechazar la hiótesis ula H : µ 22 y acetar la hiótesis alterativa H : µ < 22. Co lo cual, se uede afirmar, al ivel,5, que los eumáticos o llega a durar 22 km. Ejercicio 9. U costructor afirma que or lo meos el 75% de las casas que costruye tiee calefacció. Se estaría de acuerdo co tal afirmació si ua isecció aleatoria muestra que 72 de 135 casas cueta co calefacció? (Usar α =,1) Solució Sabemos que la distribució muestral de roorcioes sigue tambié ua distribució ormal:.(1- ) N( ˆ, ). Trabajaremos co lo ormal N(,1) Tambié se uede hacer co la distribució ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. Nos dice el roblema que u costructor afirma que or lo meos el 75% or tato la hiótesis ula es H : 75 a iveles de sigificació de α =,1. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(,1). Tambié se uede hacer co la ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. gjrubio@hotmail.com 9
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. Datos del roblema: = 75; = 135; ˆ = 72/135 5333; ivel sigificació = α =,1 = 1%. El roblema la dividimos e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa. Las hiótesis ula y alterativa so: H : 75 (or lo meos el 75% tiee calefacció) y H 1 : < 75, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la izquierda del uto crítico z α = = - z 1-α. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. Para el ivel de sigificació es α = 1, luego teemos 1 - α =,99. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 1 = 99, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que o aarece e las tablas. El valor más róximo es 991, que corresode al valor crítico es z α = - z 1-α = - 2 33 que seara las zoas de acetació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etaas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de rueba es Z = ˆ -, que sigue ua ormal tiificada, N(,1), y el.(1- ) valor observado del estadístico de rueba será el úmero z = ˆ - '5333 - '75 =.(1- )/ '75 '25-5 814. 135 Etaa 5: Comaramos el valor observado co el uto crítico ara tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de rueba z = -5 814 está a la izquierda del valor crítico z α = = - z 1-α = 2 33, os ecotramos e la regió de rechazo. Resumiedo rechazamos la hiótesis ula H : 75, y acetamos la hiótesis alterativa H 1 : < 75, e el ivel de sigificació α = 1. Co lo cual, co ua robabilidad de equivocaros del 1%, afirmamos que meos del 75% de las casas tiee calefacció. Ejercicio 1. Ua comañía textil afirma que a lo sumo el 2% del úblico comra roa de laa. Verifica esta afirmació ara α =,1, si ua ecuesta aleatoria idica que 46 de 2 clietes comra roa de laa. Solució Sabemos que la distribució muestral de roorcioes sigue tambié ua distribució ormal:.(1- ) N( ˆ, ). Trabajaremos co lo ormal N(,1) Tambié se uede hacer co la distribució ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. gjrubio@hotmail.com 1
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. Ua comañía textil afirma que a lo sumo el 2% del úblico comra roa de laa. Me dice que la hiótesis ula es H : = 2. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(,1). Tambié se uede hacer co la ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. Datos del roblema: = 2; = 2; ˆ = 46/2 = 23; ivel sigificació = α =,1 = 1% El roblema la dividimos e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa. Las hiótesis ula y alterativa so: H : 2 (comra meos del 2%) y H 1 : > 2, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la derecha del uto crítico z 1-α. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. Para el ivel de sigificació es α = 1, luego teemos 1 - α =,99. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 1 = 99, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que dicha robabilidad o viee e la tabla, y el valor más róximo es 991 el cual corresode al valor crítico es z 1-α = 2 33 que seara las zoas de acetació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etaas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de rueba es Z = ˆ -, que sigue ua ormal tiificada, N(,1), y el.(1- ) valor observado del estadístico de rueba será el úmero z = ˆ - '23 - '2 = =.(1- )/ '2 '8 1 6. 2 Etaa 5: Comaramos el valor observado co el uto crítico ara tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de rueba z = 1 6 está a la izquierda del uto crítico 2 33, luego estamos e la zoa de acetació. Resumiedo acetamos la hiótesis ula H : 2, ara u ivel de sigificació α = 1. Co lo cual, se uede afirmar que meos del 2% comra roa de laa. Ejercicio 11. Se sabe que la logitud e cm de ua determiada esecie de coleóteros sigue ua distribució ormal de variaza,25 cm 2. Caturados 6 ejemlares de dicha esecie, sus logitudes (e cm) fuero: 2;75 1;72 2;91 2;6 2;64 3;34 Se uede acetar la hiótesis de que la oblació tiee ua logitud media de 2 656 cm? (Usar α = ;5 ) Solució Sabemos que si teemos ua oblació que sigue ua distribució ormal N(µ,σ) y extraemos de ella muestras de tamaño, la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: σ N(µ, ). Trabaremos co la ormal N(,1). gjrubio@hotmail.com 11
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. Tambié uede resolverse or la distribució muestral y es arecido a los itervalos. Este roblema os latea u cotraste bilateral. Datos dados: µ = 2 656 cm, = 6, Variaza = σ 2 = 25, luego σ = 5; ivel de sigificació = α = 5 y x = (2 75 + 1 72 + 2 91 + 2 6 + 2 64 + 3 34)/6 = 2 66 cm. Dividimos el roblema e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa Las hiótesis so: H : µ = 2 656 cm y H 1 : µ 2 656 cm. Es cotraste bilateral. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. La rueba es bilateral y ara u ivel de sigificació α = 5, teemos α/2 =,5/2 = 25. De (Z z 1- α/2) = 1 - α/2 = 1 25 = 975, mirado e las tablas de la N(,1) obteemos z 1-α = 1 96, co lo cual le corresode or valores críticos z 1-α = 1 96 y z α = - z 1-α = -1 96, que seara las zoas de acetació y de rechazo. Etaas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de rueba es Z =, que sigue ua ormal tiificada N(,1), y el valor σ / 2'66-2'656 observado del estadístico de rueba será el úmero z = = 19 σ / '5/ 6 Etaa 5: Comaramos el valor observado co el uto crítico ara tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de rueba z = 19 se ecuetra e la regió de acetació. Por tato, tomamos la decisió de acetar la acetar hiótesis ula H : µ = 2 656 cm, a este ivel de sigificació. E cosecuecia, odemos acetamos la hiótesis ula H y acetar que la logitud media de los crustáceos es de 2 656 al ivel de sigificació 5, udiedo haber cometido u error del tio I. Ejercicio 12. La edad de la oblació que vive e residecias de mayores e Cádiz sigue ua distribució ormal de desviació tíica 7,3 años. Se toma ua muestra aleatoria simle de tamaño 5, y se obtiee ua media muestral de 69 años. Se uede asegurar que la edad media de la oblació que vive e residecias de mayores e Cádiz es mayor de 7 años co u ivel de sigificació del 5%? Solució Del roblema teemos: µ = 69 y σ = 7 3 ; = 5; x = 2 5; de la edad es mayor de 7 años co u ivel de sigificació del 5%, lo que está dado es la hiótesis alterativa teemos H 1 : µ > 7 a ivel de sigificació de α =,5. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(,1). Sabemos que la distribució muestral de roorcioes sigue tambié ua distribució ormal: N( µ, Trabajaremos co lo ormal N(,1) Tambié se uede hacer co la distribució ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. σ ). gjrubio@hotmail.com 12
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. El roblema la dividimos e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa. Las hiótesis ula y alterativa so: H : µ 7 (cotrastamos que la edad es meor o igual a 7 años) y H 1 : µ > 7, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la derecha del uto crítico z 1-α. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. Para el ivel de sigificació es α = 5, luego teemos 1 - α =,95. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 5 = 95, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que dicha robabilidad o viee e la tabla, y uo de los valores más róximo es 9495 el cual corresode co el valor crítico z 1-α = 1 64 que seara las zoas de acetació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etaas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de rueba de este cotraste es Z =, que sigue ua ley ormal N(,1), y σ / 69-7 el valor observado del estadístico de rueba será el úmero z = = - 9686. σ / 7'3/ 5 Etaa 5: Comaramos el valor observado co el uto crítico ara tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de rueba z = - 9686 está a la izquierda del uto crítico 1 64, estamos e la zoa de acetació. Resumiedo acetamos la hiótesis ula H : µ 7, ara u ivel de sigificació α = 5. Co lo cual, co ua robabilidad de equivocaros del 5%, afirmamos la edad o suera los 7 años. Ejercicio 13. Para coocer la roducció media de sus olivos, u olivarero escoge al azar 1 de ellos, esa su roducció de aceituas, y obtiee los siguietes valores, exresados e kg: 175, 18, 21, 215, 186, 213, 19, 213, 184, 195. Sabemos que la roducció sigue ua distribució ormal co desviació tíica igual a 15 3 kg. Co la iformació obteida, se uede asegurar que la roducció media de u olivo de ese agricultor es meor de 2 kg? (Usar α =,5 ) Solució Sabemos que si ua variable aleatoria X sigue ua distribució ormal N(µ,σ) y extraemos de ella muestras σ de tamaño, la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: N(µ, ). Nos dice el roblema que se uede asegurar que la roducció media de u olivo de ese agricultor es meor de 2 kg? (Usar α =,5 ), al darme el ivel de cofiaza e la reguta del cotraste me está dado la hiótesis alterativa, es decir la hiótesis ula es lo cotrario, es decir H : µ 2, a u ivel de sigificació del 5%, or tato la hiótesis alterativa es H 1 : µ < 2. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(,1). Datos del roblema: = 1; x = (175+18+21+215+186+213+19+213+184+195)/1 = 196 1; µ = 2; σ = 15 3; ivel sigificació= α = 5. gjrubio@hotmail.com 13
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. Tambié se uede hacer co la distribució ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. El roblema la dividimos e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa. Las hiótesis ula y alterativa so: H : µ 2 (las aceituas suera los 2 kg or olivo) y H 1 : µ < 2, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la izquierda del uto crítico z α = - z 1-α. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. El ivel de sigificació es α = 5, luego teemos 1 - α =,95. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 5 = 95, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que o aarece e las tablas. El valor más róximo es 9495, que corresode al valor crítico es z α = - z 1-α = - 1 64 que seara las zoas de acetació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etaas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de rueba de este cotraste es Z =, que sigue ua ley ormal N(,1), y σ / 196'1-2 el valor observado del estadístico de rueba será el úmero z = = - 86 σ / 15'2/ 1 Etaa 5: Comaramos el valor observado co el uto crítico ara tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de rueba z = - 86 es mayor que el valor crítico z α = - z 1-α = = - 1 64, vemos que os ecotramos e la regió de acetació. Por tato, tomamos la decisió de la acetar la hiótesis ula H : µ 2. Co lo cual, al ivel de sigificació del,5 la media de kg de aceituas or olivo suera los 2 kg. Ejercicio 14. El 4% de los escolares de cierto aís suele erder al meos u día de clase a causa de gries y catarros. Si embargo, u estudio sobre 1 escolares revela que e el último curso hubo 45 e tales circustacias. Las autoridades defiede que el orcetaje del 4% ara toda la oblació de escolares se ha mateido. Cotrastar co u ivel de sigificació del 5% la hiótesis defedida or las autoridades saitarias, frete a que el orcetaje ha aumetado, como arece idicar los datos, exlicado claramete a qué coclusió se llega. Solució Sabemos que la distribució muestral de roorcioes sigue tambié ua distribució ormal:.(1- ) N( ˆ, ). Trabajaremos co lo ormal N(,1) Tambié se uede hacer co la distribució ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. gjrubio@hotmail.com 14
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. De La autoridades defiede que el 4% de los escolares falta u día or grie se ha mateido, teemos H : 4 a iveles de sigificació de α = 5%. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(,1). Tambié se uede hacer co la ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. Datos del roblema: = 4; = 1; ˆ = 45/1 = 45; ivel de sigificació α = 5% = 5. El roblema la dividimos e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa. Las hiótesis ula y alterativa so: H : 4 (el orcetaje de alumos que falta o suera el 4% ) y H 1 : > 4, la cual os idica la direcció e el cotraste uilateral, es decir la regió crítica esta a la derecha del uto crítico z 1-α. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. Para el ivel de sigificació es α = 5, luego teemos 1 - α =,95. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 5 = 95, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que o viee dicha robabilidad y uo de los valores más róximos es 9495 que corresode al valor crítico es z 1-α = 1 64 que seara las zoas de acetació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etaas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de rueba es Z = ˆ -, que sigue ua ormal tiificada, N(,1), y el.(1- ) valor observado del estadístico de rueba será el úmero z = ˆ - '45 - '4 =.(1- )/ '4 '6 3 227. 1 Etaa 5: Comaramos el valor observado co el uto crítico ara tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de rueba z = 3 227 está a la derecha del uto crítico 1 64, estamos e la zoa de rechazo. Resumiedo rechazamos la hiótesis ula H : 4, y acetamos la hiótesis alterativa H 1 : > 4, ara u ivel de sigificació α = 5. Co lo cual, co ua robabilidad de equivocaros del 5%, afirmamos que mas del 4% de los alumos falta u día a clase or la grie. Ejercicio 15. Ua de las etradas a cierta ciudad adaluza sufría costatemete retecioes de tráfico, de forma que el tiemo de esera e la cola formada or el semáforo allí istalado seguía ua distribució Normal de media 1 miutos y desviació tíica 4 miutos. Co el fi de descogestioar ese uto y bajar la media de tiemo de esera, se habilitó ua vía de acceso auxiliar. Trascurrida ua semaa se hizo u estudio sobre 36 vehículos y se obtuvo que el tiemo medio de esera e el citado semáforo fue de 8 5 miutos. Las autoridades muiciales mostraro su satisfacció y dijero que la medida había fucioado, ero la oiió gjrubio@hotmail.com 15
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. ública, si embargo, defiede que la situació sigue igual. Suoiedo que la desviació tíica se ha mateido: a) Platee u test ara cotrastar la hiótesis defedida or la oiió ública frete a la de los resosables muiciales. Si se cocluye que la media de tiemo de esera bajó y realmete o lo hizo, cómo se llama el error cometido? b) A qué coclusió se llega co u ivel de sigificació del 5%? c) A qué coclusió se llega co u ivel de sigificació del 1%? Solució a) Platee u test ara cotrastar la hiótesis defedida or la oiió ública frete a la de los resosables muiciales. Si se cocluye que la media de tiemo de esera bajó y realmete o lo hizo, cómo se llama el error cometido? Sabemos: DECISIONES Mateer H Rechazar H SITUACIÓN H verdadera H 1 verdadera Decisió Decisió icorrecta correcta Error de tio II Decisió icorrecta Error de tio II Decisió correcta Leyedo el euciado (a) si se diese esa situació estaríamos e u error de tio I. (a), (b) y (c) Sabemos que si ua variable aleatoria X sigue ua distribució ormal N(µ,σ) y extraemos de ella muestras σ de tamaño, la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: N(µ, ). Datos del roblema: Tiemo de esera N(1,4); µ = 1; σ = 4; = 36; x = 8 5; iveles de sigificació = = α = 5% = 5 y α = 1% = 1. De tiemo de esera de 1 miutos, autoridades 8 5 miutos y la oiió ública defiede que la situació sigue igual, teemos H : µ 1. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(,1). Tambié se uede hacer co la distribució ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. El roblema la dividimos e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa. Las hiótesis ula y alterativa so: H : µ 1 (la esera o ha dismiuido) y H 1 : µ < 1, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la izquierda del uto crítico z α = - z 1-α. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. Para el ivel de sigificació es α = 5, luego teemos 1 - α =,95. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 5 = 95, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que o viee dicha robabilidad y uo de los valores más róximos es 9495 que corresode al valor crítico es - z 1-α = -1 64 que seara las zoas de acetació y rechazo. Para el ivel de sigificació es α = 1, luego teemos 1 - α =,99. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 1 = 99, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que o aarece e las tablas. El valor más róximo es 991, que corresode al valor crítico es z α = - z 1-α = - 2 33 que seara las zoas de acetació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: gjrubio@hotmail.com 16
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. Etaas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de rueba de este cotraste es Z =, que sigue ua ley ormal N(,1), y σ / 8'5-1 el valor observado del estadístico de rueba será el úmero z = = - 2 25. σ / 4/ 36 Etaa 5: Comaramos el valor observado co el uto crítico ara tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de rueba z = - 2 25 está a la derecha dl valor crítico z α = - z 1-α = - 2 33 al ivel de sigificació del 1%, y a la izquierda del valor crítico z α = - z 1-α = - 1 64 al ivel de sigificació del 5%, vemos que os ecotramos e la regió de rechazo al ivel de sigificació del 1%, y e la regió de acetació al ivel de sigificació del 5%. Por tato, tomamos la decisió de rechazar la hiótesis ula H : µ 1 al ivel del 1%, y de acetar la hiótesis ula H : µ 1 al ivel del 5%. Co lo cual se uede afirmar al ivel,1, que las autoridades lleva razó y el ivel de esera o suera los 1 miutos; si embargo los coductores lleva razó y tiee que eserar más de 1 miutos al ivel 5. Ejercicio 16. E u hosital se observó que los acietes abusaba del servicio de urgecias, de forma que u 3% de las cosultas odía erfectamete haber eserado a cocertar ua cita co el médico de cabecera, orque o era realmete urgecias. Puesto que esta situació raletizaba el servicio, se realizó ua camaña itesiva de cocieciació. Trascurridos uos meses se ha recogido iformació de 12 cosultas al servicio, de las cuales sólo 3 o era realmete urgecias: a) Hay ersoal del hosital que defiede que la camaña o ha mejorado la situació. Platee u test ara cotrastar esta hiótesis frete a que si la mejoró. Si se cocluye que la situació o ha mejorado y realmete sí lo hizo, cómo se llama el error cometido? b) A qué coclusió se llega e el test lateado e el aartado aterior co u ivel de sigificació del 1%? Solució a) Hay ersoal del hosital que defiede que la camaña o ha mejorado la situació. Platee u test ara cotrastar esta hiótesis frete a que si la mejoró. Si se cocluye que la situació o ha mejorado y realmete sí lo hizo, cómo se llama el error cometido? Sabemos: DECISIONES Mateer H Rechazar H SITUACIÓN H verdadera H 1 verdadera Decisió Decisió icorrecta correcta Error de tio II Decisió icorrecta Error de tio II Decisió correcta Leyedo el euciado (a) si se diese esa situació estaríamos e u error de tio II. b) gjrubio@hotmail.com 17
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. Sabemos que la distribució muestral de roorcioes sigue tambié ua distribució ormal:.(1- ) N( ˆ, ). Trabajaremos co lo ormal N(,1) Tambié se uede hacer co la distribució ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. Nos dice el roblema Hay ersoal del hosital que defiede que la camaña o ha mejorado la situació, es decir el orcetaje de ersoas que acude al Hosital suera el 3%, or tato la hiótesis ula a cotrastar es H : 3 a ivel de sigificació de α =,1. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(,1). Tambié se uede hacer co la ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. Datos del roblema: = 3; = 12; ˆ = 3/12 = 25; regió crítica = α =,1. El roblema la dividimos e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa. Las hiótesis ula y alterativa so: H : 3 (acude a urgecias mas del 3%) y H 1 : < 3, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la izquierda del uto crítico z α = - z 1-α. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. Para el ivel de sigificació es α = 1, luego teemos 1 - α =,99. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 1 = 99, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que o aarece e las tablas. El valor más róximo es 991, que corresode al valor crítico es z α = - z 1-α = - 2 33 que seara las zoas de acetació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etaas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de rueba es Z = ˆ -, que sigue ua ormal tiificada, N(,1), y el.(1- ) valor observado del estadístico de rueba será el úmero z = ˆ - '25 - '3 =.(1- )/ '3 '7-1 195. 12 Recordamos que los utos críticos era - 2 33, -2 81 y 3 9 Etaa 5: Comaramos el valor observado co el uto crítico ara tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de rueba z = -1 195 está a la derecha del uto crítico -2 33, se ecuetra e la regió de acetació. Resumiedo acetamos la hiótesis ula H : 3, al del ivel de sigificació α = 1. Co lo cual, co ua robabilidad de equivocaros del 1%, afirmamos que or lo meos el 3% de gjrubio@hotmail.com 18
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. los acietes sigue yedo a urgecias. Ejercicio 17. El alcalde de ua ciudad rometió, e su rograma electoral, ooerse a la costrucció de ua cetral de tratamieto de ciertos residuos, uesto que e aquel mometo sólo u 1% de los ciudadaos estaba a favor de la cetral de tratamieto de residuos. E los últimos días se ha ecuestado a 1 ersoas de las cuales 14 está a favor de la cetral. El alcalde afirma si embargo que el orcetaje de ciudadaos a favor sigue siedo del 1% o icluso ha dismiuido. Tiee razó el alcalde co u ivel de sigificació del 2%? Solució Sabemos que la distribució muestral de roorcioes sigue tambié ua distribució ormal:.(1- ) N( ˆ, ). Trabajaremos co lo ormal N(,1) Tambié se uede hacer co la distribució ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. De sólo u 1% de los ciudadaos estaba a favor, teemos H : 1. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(,1). Tambié se uede hacer co la ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. Datos del roblema: = 1; = 1; ˆ = 14/1 = 14; ivel de sigificació α = 2% =,2. El roblema la dividimos e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa. Las hiótesis ula y alterativa so: H : 1 (sólo u 1% estaba a favor) y H 1 : > 1, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la derecha del uto crítico z 1-α. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. Para el ivel de sigificació es α = 2, luego teemos 1 - α =,98. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 2 = 98, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que o viee dicha robabilidad y que el valor mas róximo es 7798 y corresode al valor crítico es z 1-α = 2 5 que seara las zoas de acetació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etaas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. ˆ - E este caso el estadístico de rueba es Z =, que sigue ua ormal tiificada, N(,1), y el.(1- ) ˆ - '14 - '1 valor observado del estadístico de rueba será el úmero z = = 1 333..(1- )/ '1 '9 1 Etaa 5: Comaramos el valor observado co el uto crítico ara tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de rueba z = 1 333 está a la izquierda del uto crítico 2 5, estamos e la zoa de acetació. gjrubio@hotmail.com 19
IES Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hiótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Alicadas a las CCSS II del año 29. Resumiedo acetamos la hiótesis ula H : 1, ara u ivel de sigificació α = 2. Co lo cual, el alcalde acierta e que el orcetaje de ciudadaos a favor sigue siedo del 1% o icluso ha dismiuido, ara u ivel de sigificació α = 2. Ejercicio 18. Se desea estudiar el gasto mesual de los teléfoos móviles, e euros, de los estudiates uiversitarios adaluces. Para ello, se ha elegido ua muestra aleatoria de 1 de estos estudiates, resultado los valores siguietes ara el gasto mesual e móvil: 3 6 25 2 25 3 35 45 5 4 Se suoe que la variable aleatoria objeto de estudio sigue ua distribució ormal de media descoocida y de desviació tíica igual a 12 euros. a) Se uede asegurar que los estudiates uiversitarios adaluces gasta meos de 5 euros mesuales e teléfoo móvil? (Usar α =,1) b) Cuál es la desviació tíica de la media muestral? Solució (a) y (b) Sabemos que si ua variable aleatoria X sigue ua distribució ormal N(µ,σ) y extraemos de ella muestras σ de tamaño, la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: N(µ, ). Se desea estudiar el gasto mesual de los teléfoos móviles, e euros, de los estudiates uiversitarios adaluces. Para ello, se ha elegido ua muestra aleatoria de 1 de estos estudiates, resultado los valores siguietes ara el gasto mesual e móvil: 3 6 25 2 25 3 35 45 5 4 Se suoe que la variable aleatoria objeto de estudio sigue ua distribució ormal de media descoocida y de desviació tíica igual a 12 euros. a) Se uede asegurar que los estudiates uiversitarios adaluces gasta meos de 5 euros mesuales e teléfoo móvil? (Usar α =,1) b) Cuál es la desviació tíica de la media muestral? Datos del roblema: = 16; x = (3+6+25+2+25+3+35+45+5+4)/1 = 36; µ = 5; σ = 12; ivel de sigificació = α =,1 = 1%. La desviació tíica muestral es σ = 12 3 7947. 1 Nos dice el roblema que los estudiates uiversitarios adaluces gasta meos de 5 euros mesuales co u ivel del 1%, luego es la hiótesis alterativa, es decir H : µ 5, co lo cual u ivel de sigificació del 1%, or tato la hiótesis alterativa es H 1 : µ < 5. Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(,1). Tambié se uede hacer co la distribució ormal muestral y es arecido a los itervalos de cofiaza. El roblema la dividimos e cico etaas Etaa 1: Formulamos la hiótesis ula y la alterativa. Las hiótesis ula y alterativa so: H : µ 5 (gasta más de 5 ) y H 1 : µ < 5, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la izquierda del uto crítico z α = - z 1-α. Etaa 2: Calculamos el uto o utos críticos que os dará las regioes críticas y de acetació. El ivel de sigificació es α = 1, luego teemos 1 - α =,99. De (Z z 1-α ) = 1 - α = 1 1 = 99, mirado e las tablas de la N(,1), vemos que o aarece e las tablas. El valor más róximo es 991, que corresode al valor crítico es z α = - z 1-α = - 2 33 que seara las zoas de acetació y rechazo. gjrubio@hotmail.com 2