Cpítulo 5 Integrción 1. L integrl de Riemnn en R n Empecemos por recordr l integrl de Riemnn de un función cotd f : [,b] R. Un prtición P de [,b] es un subconjunto finito P [,b] tl que,b P. Escribimos P = {x 0 = < x 1 <... < x N = b}. Definimos entonces l sum inferior de f con respecto P como L(f,P) = N m i (f)(x i x i 1 ), y l sum superior de f con respecto P como donde U(f,P) = N M i (f)(x i x i 1 ), y m i (f) = ínf{f(x) : x [x i 1,x i ]} y M i (f) = sup{f(x) : x [x i 1,x i ]}. Decimos entonces que f es Riemnn-integrble si L(f) = sup{l(f,p) : P prtición de [,b]} U(f) = ínf{u(f,p) : P prtición de [,b]} son igules, y escribimos b f = L(f) = U(f). LdefinicióndelintegrldeRiemnndeunfunciónsobreunrectángulo en R n está motivd prtir de l definición nterior. Observmos que 79
80 5. Integrción L(f,P) y U(f,P) son sums de l longitud de cd intervlo multiplicdo por m i (f) y M i (f), respectivmente. Así que lo primero que debemos hcer es extender nuestr definición de longitud de un intervlo en R volumen de un rectángulo en R n. Definición 5.1. Se R = [ 1,b 1 ]... [ n,b n ] R n un rectángulo cerrdo. El volumen de R, denotdo por v(r), se define como v(r) = (b 1 1 )(b 2 2 )...(b n n ). Ahor definimos un prtición de un rectángulo cerrdo R. Pr cd i, tommos un prtición P i de [ i,b i ], y se P el conjunto de todos los rectángulos de l form S = [y 1,z 1 ] [y 2,z 2 ]... [y n,z n ], donde y i,z i P i son consecutivos. A cd S P lo llmmos subrectángulo de R. P está formd entonces por N = N 1 N 2 N n subrectángulos, y cd unodelosldos delos subrectágulosderenp correspondelgúnintervlo en [ i,b i ], inducido por P i. Denotremos P como donde cd P i es prtición de [ i,b i ]. P = (P 1,P 2,...P n ), No es muy difícil ver que, si P es un prtición del rectángulo cerrdo R, entonces v(s) = v(r). (Ejercicio 1.) S P Definición 5.2. Sef : R Rcotd. Lsum inferior def con respecto P está dd por L(f,P) = S Pm S (f)v(s), donde m S (f) = ínf{f(x) : x S} y v(s) es el volumen de S. L sum superior de f con respecto P está dd por donde M S (f) = sup{f(x) : x S}. U(f,P) = S PM S (f)v(s), Es clro que, pr cd prtición P de R, L(f,P) U(f,P). Además, pr culquier dos prticiones P y Q, L(f,P) U(f,Q). Demostrremos esto continución, y pr tl efecto definiremos el concepto de refinmiento.
1. L integrl de Riemnn en R n 81 Decimos que Q = (Q 1,Q 2,...,Q n ) es un refinmiento de P si P i Q i, pr cd i. Es decir, cd rectángulo en Q es subrectángulo de lgún rectángulo en P. Proposición 5.3. Si Q es un refinmiento de P, L(f,P) L(f,Q) y U(f,Q) U(f,P). Demostrción. Si T Q, existe S P tl que T S, y m T (f) m S (f), M T (f) M S (f). Además, cd S P está subdividido en rectángulos T 1,T 2,...,T k Q, y Entonces m S (f)v(s) = m S (f) v(s) = v(t 1 )+v(t 2 )+...+v(t k ). k v(t j ) = j=1 Así que L(f,P) L(f,Q). De l mism form, M S (f)v(s) = sí que U(f,P) U(f,Q). k m S (f)v(t j ) j=1 k M S (f)v(t j ) j=1 k m Tj (f)v(t j ). j=1 k M Tj (f)v(t j ), j=1 Not que L(f,P) L(f,Q) U(f,Q) U(f,P). Corolrio 5.4. Si P y Q son prticiones de R, L(f,P) U(f,Q). Demostrción. Se R l prtición R = (P 1 Q 1,P 2 Q 2,...,P n Q n ). Entonces R es un refinmiento de P y de Q y, por l proposición nterior, L(f,P) L(f,R) U(f,R) U(f,Q). Se R R n un rectángulo cerrdo y f : R R cotd. Definimos l sum inferior de f como y l sum superior de f como L(f) = sup{l(f,p) : P prtición de R}, U(f) = ínf{u(f,p) : P prtición de R}. Por el corolrio 5.4, L(f) y U(f) existen pr culquier función cotd f : R R y, demás L(f) U(f).
82 5. Integrción Definición 5.5. Decimos que l función cotd f : R R es Riemnnintegrble si L(f) = U(f). Al vlor común de L(f) y U(f) se l llm l integrl de f y se denot por f, o por Rf, si desemos hcer explícito el dominio de f. Ejemplo 5.6 (Funciones constntes). Se f : R R dd por f(x) = c pr lgún c R. Si P es un prtición de R y S P, m S (f) = M S (f) = c, sí que L(f,P) = U(f,P) = cv(r). Clrmente L(f) = U(f) y entonces f = cv(r). Ejemplo 5.7. Se f : [0,1] [0,1] R dd por { 1 x Q f(x,y) = 0 x / Q. Si P es prtición de R y S P, entonces existen puntos (r,y) y (α,z) en S tles que r Q y α / Q. Entonces m S (f) = 0 y M S (f) pr todo S P, lo cul implic que L(f,P) = 0 y U(f,P) = v([0,1] [0,1]) = 1. Entonces L(f) = 0 < U(f) = 1, por lo que f no es Riemnn-integrble. Teorem 5.8. Se f : R R cotd. Entonces f es Riemnn-integrble si, y solo si, pr cd ε > 0 existe un prtición P tl que U(f,P) L(f,P) < ε. Demostrción. Si f es Riemnn-integrble, entonces L(f) = f = U(f). Se ε > 0. Entonces existen prticiones P y Q tles que L(f,P) > f ε y U(f,Q) < f + ε 2 2. Si entonces y R = (P 1 Q 1,P 2 Q 2,...,P n Q n ), L(f,P) L(f,R) U(f,R) U(f,Q), U(f,R) L(f,R) U(f,Q) L(f,P) < ε. Pr l invers, se ε > 0 ddo y tommos un prtición P tl que U(f,P) L(f,P) < ε.
1. L integrl de Riemnn en R n 83 Entonces, como L(f) L(f,P) y U(f) U(f,P), U(f) L(f) U(f,P) L(f,P) < ε. Como ε es rbitrrio, L(f) = U(f), y entonces f es Riemnn-integrble. El criterio estblecido por el teorem 5.8 es de much utilidd pr identificr funciones Riemnn-integrbles en un rectángulo. L siguiente proposición resume ls propieddes básics de l integrl de Riemnn. Proposición 5.9. Sen f, g : R R Riemnn-integrbles. Entonces 1. f +g es Riemnn-integrble y (f +g) = f + g; 2. Si f g, f y 3. f es Riemnn-integrble y f g; f. Demostrción. 1. Se P un prtición de R, y S P. Entonces m S (f)+m S (g) m S (f +g), M S (f)+m S (g) M S (f +g). Esto implic que L(f,P)+L(g,P) L(f +g,p) y U(f,P)+U(g,P) U(f +g,p). Ddo ε > 0, el teorem 5.8 implic que existe un prtición P tl que U(f,P) L(f,P) < ε 2 y U(g,P) L(g,P) < ε 2. Entonces U(f +g,p) L(f +g,p) U(f,P)+U(f,P) (L(f,P)+L(f,P)) = U(f,P) L(f,P)+U(g,P) L(g,P) < ε 2 + ε 2 = ε. Entonces f + g es Riemnn-integrble. Ahor bien, si P es un prtición de R, (f +g) = L(f +g) L(f +g,p) L(f,P)+L(g,P),
84 5. Integrción sí que (f +g) L(f)+L(g) = f + g. De mner similr (f +g) f + g, y por lo tnto (f +g) = f + g. 2. Dejmos est prte como ejercicio (ejercicio 3). 3. Se P un prtición de R y S P. Si x,y S, l desiguldd del triángulo invers implic que f(x) f(y) f(x) f(y). Entonces M S ( f ) m S ( f ) M S (f) m S (f), y esto implic que U( f,p) L( f,p) U(f,P) L(f,P). Entonces, ddo ε > 0, si P es tl que U(f,P) L(f,P) < ε, U( f,p) L( f,p) < ε, y f es Riemnn-integrble. L desiguldd se sigue de l prte 2 y del hecho que f f f. 2. Funciones Riemnn-integrbles En est sección clsificremos ls funciones Riemnn-integrbles en función de sus puntos de continuidd. Pr ésto necesitremos de dos conceptos fundmentles: el de medid cero y el de oscilción, este último introducido en el segundo cpítulo. Definición 5.10. Se A R n. Decimos que A es de medid cero si pr todo ε > 0 existen rectángulos R 1,R 2,... tles que A R i y v(r i ) < ε. i i Ejemplo 5.11. es de medid cero.
2. Funciones Riemnn-integrbles 85 Ejemplo 5.12. Un conjunto finito {x 1,...,x k } es de medid cero. Ddo ε > 0, prcd x i tommos un rectángulo R i, x i R i, tl que v(r i ) < ε/k. Entonces {x 1,...,x k } k R i y k v(r i ) < k ε k = ε. Ejemplo 5.13. Q es de medid cero: Como es contble, Q = {r k } k=1. Ddo ε > 0, se ( I k = r k ε 2 k+2,r k + ε ) 2 k+2. Entonces v(i i ) = ε/2 k+1, Q k I k y ε v(i k ) = 2 k+1 = ε 2 < ε. k=1 k=1 Es clro que el rgumento del ejemplo nterior puede ser plicdo culquier conjunto contble, por lo que entonces culquier conjunto contble es de medid cero. De hecho, podemos demostrr lgo más fuerte. Proposición 5.14. Sen A 1,A 2,... R n conjuntos de medid cero. Entonces A i es de medid cero. Demostrción. Se ε > 0. Pr cd A i tommos {R ij } j=1 A i R ij y v(r ij ) < ε 2 i+1. j=1 j=1 Tenemos entonces l sucesión de inclusiones A 1 R 11 R 12 R 13... A 2 R 21 R 22 R 23... A 3 R 31 R 32 R 33... tl que Imitndo Cntor, reordenmos los {R ij } en l form. R 11,R 21,R 12,R 31,R 22,R 13,..., y obtenemos un sucesión S k de rectángulos tl que A i S k y v(s k ) = v(r ij ) = i k i,j i k ε 2 i+1 = ε 2 < ε. L doble sum en i,j es independiente del orden de los sumndos porque, como todos los v(r ij ) 0, converge bsolutmente.
86 5. Integrción Es clro que l proposición 5.14 implic que todos los conjuntos contbles son de medid cero. A continución mostrmos un ejemplo de un conjunto incontble de medid cero. Ejemplo 5.15 (El conjunto de Cntor). Considermos l sucesión de conjuntos C 0 = [0,1] C 1 = [0,1/3] [2/3,1] C 2 = [0,1/9] [2/9,1/3] [2/3,7/9] [8/9,1]. C n = [0,1/3 n ]... [1 1/3 n,1]. Not que cd C n+1 es el conjunto que result de remover el tercio centrl de cd uno de los intervlos de C n. El conjunto de Cntor es el conjunto ddo por C = C k. k=0 El conjunto de Cntor es incontble (ejercicios 6 y 7). Ahor observremos que es de medid cero. Cd C k es l unión de 2 k intervlos de longitud 1/3 k cd uno. Si estos los llmmos I 1,I 2,...,I 2 k, entonces C C k = 2 k I i y 2 k ( 2 ) k. v(i i ) = 3 Ddo ε > 0, podemos tomr k tl que (2/3) k < ε. Entonces l ecución nterior implic que C es de medid cero. Observmos que fue suficiente utilizr, pr verificr l definición de medid cero pr C, solo un número finito de intervlos. Definición 5.16. Decimos que el conjunto A R n es de contenido cero si, pr todo ε > 0, existen rectángulos R 1,R 2,...,R N tles que A N R i y N v(r i ) < ε. Es decir, los conjuntos de contenido cero son quellos de medid cero en los cules es suficiente un número finito de rectángulos de l definición de medid cero.
2. Funciones Riemnn-integrbles 87 Es clro que, demás de C, los conjuntos finitos son de contenido cero. De hecho, tenemos l siguiente proposicion. Proposición 5.17. Si A es de medid cero y es compcto, entonces es de contenido cero. Pr demostrr l proposición 5.17 hremos uso del siguiente lem, el cul nos permite verificr l definición de medid cero usndo solo rectángulos biertos. Lem 5.18. Se A R n y R 1,R 2,... rectángulos tles que A R i y v(r i ) < ε. i i Entonces existen rectángulos biertos S i tles que A S i y v(s i ) < ε. i i Demostrción. Se η = 1 2 ( ε i ) v(r i ). Pr cd i, se S i el rectángulo bierto que result de ensnchr R i de tl form que R i S i y v(s i ) < v(r i )+ η 2 i (ejercicio 8). Entonces A i S i y v(s i ) < i i v(r i )+η < ε. Demostrción de l Proposición 5.17. Ddo ε > 0, existe un sucesión de rectángulos R i tles que A i R i y i v(r i) < ε. El lem 5.18 implic que podemos suponer que estos rectángulos son biertos. Entonces formn un cubiert pr A. Como A es compcto, existen R i1,...,r in tles que N A Como N j=1 ij ) j=1v(r i esto implic que A es de contenido cero. R ij v(r i ) < ε, El resultdo nterior es útil pr mostrr que ciertos conjuntos no son de medid cero.
88 5. Integrción Proposición 5.19. El intervlo [,b] R, < b, no es de contenido cero. Demostrción. Sen I 1,...,I N intervlos cerrdos tles que [,b] I 1... I N. Se {t 0 < t 1 <... < t M } el conjunto de todos los extremos de los intervlos I j. Entonces t 0, t M b, y pr cd i existe j tl que [t i 1,t i ] I j. Además, cd I j es de l form [t i,t k ] por lo que v(i j ) = t k t i t i+i t i. Entonces M N b t M t 0 = (t i t i 1 ) v(i j ). j=1 Por lo tnto, no es posible encontrr intervlos I 1,...,I N tles que N v(i j ) < b. j=1 Corolrio 5.20. [,b] no es de medid cero. L proposición 5.19 tmbién implic que un rectángulo no degenerdo en R n no es de contenido cero, lo cul hemos dejdo como ejercicio (ejercicio 9). Corolrio 5.21. A = Q [,b] no es de contenido cero. Demostrción. Sen I 1,...,I N intervlos cerrdos tles que A I 1... I N. Entonces Ā I 1... I N, y Ā = [,b]. Entonces i v(i i) b. Ejemplo 5.22. Como el conjunto A del corolrio tiene medid cero, existen ( i,b i ) (,b), i = 1,2,... tles que A\{,b} i ( i,b i ) y (b i i ) es tn pequeñ como quermos. Se U = i ( i,b i ). U es bierto y Ū = [,b]. Sin embrgo fru = [,b]\u. Si i (b i i ) < b, entonces fru no tiene medid cero. Pr ver esto, se ε = b i (b i i ). Entonces existen intervlos biertos I 1,I 2,... tles que fru j I j y v(i j ) < ε. j Entonces [,b] i ( i,b i ) j I j. Como [,b] es compcto, existen i 1,...,i N,j 1,...,j M
2. Funciones Riemnn-integrbles 89 tles que [,b] ( i1,b i1 )... ( in,b in ) I j1... I jm y N M (b ik ik )+ v( jl ) < b, k=1 lo cul contrdice l demostrción de l proposición nterior. Recordemos l oscilción de un función en un punto. Si f : A R es cotd y x 0 A, ddo δ > 0, definimos l=1 M(f,x 0,δ) = sup{f(x) : x A, x x 0 < δ}, m(f,x 0,δ) = ínf{f(x) : x A, x x 0 < δ}. Los números M(f,x 0,δ) y m(f,x 0,δ) están bien definidos porque f es cotd y, demás, si 0 < η δ, (5.1) M(f,x 0,η) M(f,x 0,δ) y m(f,x 0,η) m(f,x 0,δ). L oscilción de f en x 0 está dd por O(f,x 0 ) = lím δ 0 ( M(f,x0,δ) m(f,x 0,δ) ). Dicho límite existe porque l diferenci M(f,x 0,δ) m(f,x 0,δ) es decreciente en δ, por (5.1). Así que el límite está ddo simplemente por el ínfimo de tods ls diferencis pr δ > 0. Recordemos que, por l proposición 2.24, l oscilción de f en x 0 es igul 0 si, y solo si, f es continu en x 0. A continución demostrremos otrs propieddes de l oscilción. Proposición 5.23. Se A R n, f : A R cotd, ε > 0 y U ε = {x A : O(f,x) < ε}. Entonces existe un bierto U R n tl que U ε = U A. Demostrción. Se x U ε. Entonces O(f,x) < ε, por lo que existe δ > 0 tl que M(f,x,δ) m(f,x,δ) < ε. Demostrremos que B 0 δ (x) A U ε. Se y Bδ 0 (x) A, y se r = δ x y. Si y z < r, x z x y + y z < δ. Esto implic que f(z) M(f,x,δ) y f(z) m(f,x,δ) pr todo z A tl que y z < r. Así que M(f,y,r) m(f,y,r) M(f,x,δ) m(f,x,δ) < ε, y O(f,y) < ε. Por lo tnto y U ε. Podemos tomr entonces U = x U ε B 0 δ (x).
90 5. Integrción Corolrio 5.24. Si A es cerrdo y f : A R es cotd, el conjunto es cerrdo pr todo ε > 0. {x A : O(f,x) ε} Corolrio 5.25. Se R un rectángulo cerrdo, f : R R cotd, y se F = {x R : f no es continu en x}. Si F tiene medid cero, entonces, pr cd ε > 0, el conjunto es de contenido cero. F ε = {x R : O(f,x) ε} Demostrción. Pr todoε>0, F ε F. Así quef ε es demedidceroyes cerrdo por el corolrio nterior. Como F ε R es cotdo, por el teorem de Heine-Borel es compcto. Por lo tnto F ε es de contenido cero, por l proposición 5.17. Estmos listos pr demostrr nuestro teorem de clsificción de funciones Riemnn-integrbles. Empezmos por el siguiente lem, el cul estblece l relción entre oscilción y sums respecto un prtición. Lem 5.26. Se R un rectángulo cerrdo y f : R R cotd tl que O(f,x) < ε pr todo x R. Entonces existe un prtición P de R tl que U(f,P) L(f,P) < v(r)ε. Demostrción. Pr cd x R tommos un rectángulo bierto R x tl que x R x y M Rx (f) m Rx (f) < ε. Tl rectángulo existe porque O(f,x) < ε. Entonces {R x } x R es un cubiert pr R y, como R es compcto, existen R x1,...,r xk tles que R R x1... R xk. Se P l prtición inducid por todos los límites de los R xi. Est stisfce que, si S P, entonces S R xi pr lgún i. Entonces Por lo tnto M S (f) m S (f) M Rxi (f) m Rxi (f) < ε. U(f,P) L(f,P) < ε S Pv(S) = εv(r). Como resultdo inmedito de este lem, por ejemplo, tenemos el hecho de que ls funciones continus son Riemnn-integrbles. Corolrio 5.27. Si f es continu, entonces es Riemnn-integrble.
2. Funciones Riemnn-integrbles 91 L generlizción de este corolrio, que su vez clsific ls funciones Riemnn-integrbles, está dd por el siguiente teorem. Teorem 5.28. Se f : R R cotd y F = {x R : f no es continu en x}. Entonces f es Riemnn-integrble si, y solo si, F es de medid cero. Demostrción. Pr ε > 0, definimos F ε = {x R : O(f,x) ε}. Not que F = F 1/k. k=1 Suponemos primero que f es Riemnn-integrble. Demostrremos que cd F 1/k es de medid cero. Se ε > 0 y P un prtición tl que U(f,P) L(f,P) < ε k. Se Ω = {S P : S F 1/k }. Entonces F 1/k S Ω y M S (f) m S (f) 1 pr cd S Ω. Así k 1 k v(s) ( MS (f) m S (f) ) v(s) U(f,P) L(f,P) < ε k. S Ω S Ω Por lo tnto S Ω v(s) < ε. Como ε es rbitrrio, F 1/k es de medid cero (de hecho, de contenido cero), y por lo tnto F es de medid cero. Supongmos hor que F es de medid cero. Ddo ε > 0, escribimos ε = ε 2v(R). Por l proposición 5.17, F ε es de contenido cero. Se M > 0 tl que f(x) M pr todo x R, y sen R 1,...,R k rectángulos cerrdos tles que F ε R 1... R k y S k v(r i ) < ε 4M. SeP 1 lprticióninducidporloslímitesdelosr i.entoncesp 1 = Ω F Ω B, donde Ω F = {S P 1 : S R i pr lgún i} y Ω B = {S P 1 : S Ri 0 = pr todo i}. Por el lem 5.26, existe un refinmiento P de P 1 tl que, pr cd S Ω B, ( MT (f) m T (f) ) v(t) < v(s) ε. T P T S
92 5. Integrción Sen Ω F = {S P : S R i pr lgún i} y Ω B = {S P : S T pr lgún T Ω B }. Entonces U(f,P) L(f,P) = S P( MS (f) m S (f) ) v(s) = ( MS (f) m S (f) ) v(s)+ ( MS (f) m S (f) ) v(s) S Ω B S Ω F ( MT (f) m T (f) ) k v(t)+2m v(r i ) S Ω B T S < εv(s)+2m ε 4M εv(r)+ ε 2 = ε. S Ω B Por lo tnto, f es Riemnn-integrble. Como primer consecuenci de este teorem, tenemos el siguiente corolrio, que estblece que l multiplicción de funciones Riemnn-integrbles es Riemnn-integrble. Corolrio 5.29. Sen f,g : R R Riemnn-Integrbles. Entonces fg es Riemnn-integrble. Demostrción. Sen F = {x R : f es discontinu en x}, G = {x R : g es discontinu en x}. Como el producto de funciones continus es continu, si H = {x R : fg es discontinu en x}, entonces H F G. Si f y g son Riemnn-integrbles, F y G son de medid cero. Por lo tnto H es de medid cero, y fg es Riemnn-integrble. 3. Medid de Jordn SeC R n unconjuntocotdo. Vmos definir C f,lintegrl sobre C de f. SuponemosC R, donde R es un rectángulo cerrdo, y f : R R es Riemnn-integrble. Definiremos entonces (5.2) f = fχ C, donde χ C es l función crcterístic sobre C, { 1 x C χ C (x) = 0 x / C. C R
3. Medid de Jordn 93 Sin embrgo, pr que l ecución (5.2) teng sentido, es necesrio segurr que l función fχ C es Riemnn-integrble. Como f es Riemnn-integrble, por el corolrio (5.29) es suficiente con grntizr que χ C se Riemnnintegrble. L siguiente proposición estblece l Riemnn-integrbilidd de χ C en función de l fronter de C. Proposición 5.30. χ C es Riemnn-integrble si, y solo si, frc es de medid cero. Demostrción. Vmos que demostrr que χ C es continu solo en R\frC. Ddo x R\frC, x C 0 o x se encuentr en el exterior de C. Si x C 0, existe ε > 0 tl que Bε 0(x) C. Pero entonces χ C 1 en Bε 0 (x), porlo quees continu en x. De mnersimilr, si x está en el exterior de C, existe ε > 0 tl que Bε 0(x) C =. Pero entonces χ C 0 en Bε 0(x), sí que es continu en x. Si x frc, pr todo ε > 0, B 0 ε (x) C y B0 ε (x)\c. Así que χ C tom el vlor de 0 y de 1 en B 0 ε (x), por lo que entonces χ C es discontinu en frc. Por lo tnto, frc es el conjunto de discontinuiddes de χ C, y l proposición se sigue por el teorem 5.28. Ejemplo 5.31 (Función de Dirichlet). L función de Dirichlet es igul χ Q [0,1]. Como fr(q [0,1]) = [0,1] no tiene medid cero, entonces no es Riemnn-integrble. Definición 5.32. Si C R n es un conjunto cotdo tl que frc es de medid cero, entonces decimos que es Jordn-medible. Ejemplo 5.33. Se U el conjunto bierto en [0,1] formdo por l unión de intervlos ( i,b i ) (0,1) tles Q (0,1) i ( i,b i ) y (b i i ) < 1, como en el ejemplo 5.22. Entonces fru = [0,1]\U y no tiene medid cero, como hbímos observdo ntes. Así que U es un conjunto bierto que no es Jordn-medible. Definición 5.34. Si R R n es un rectángulo cerrdo, f : R R es Riemnn-integrble y C R es Jordn-medible, definimos l integrl de f sobre C como f = fχ C. C Si C R es Jordn-medible, C 1 es llmd l medid de Jordn de C. R
94 5. Integrción En R, R 2 y R 3, l medid de Jordn es comúnmente llmd longitud, áre y volumen, respectivmente. Observmos que, si C = R, entonces l medid de Jordn de R es simplemente su volumen, v(r). Si C y D son Jordn-medibles y disjuntos, entonces 1 = 1+ 1. C D L siguiente proposición nos será de utilidd más delnte. Proposición 5.35. Si A es Jordn-medible y ε > 0, entonces existe un conjunto compcto Jordn-medible C A tl que 1 < ε. A\C Demostrción. Se P un prtición de lgún rectángulo R A tl que Si S P, C D U(χ A,P) L(χ A,P) < ε. χ A S = { 1 si S A 0 si S A =. Se Ω = {S P : S A}. Entonces { 1 si S Ω m S (χ A ) = 0 si S / Ω. Si C = S ΩS, entonces C es compcto y Jordn-medible, porque es l unión finit de rectángulos cerrdos. Además, tenemos que { 0 S Ω M S (χ A\C ) = M S (χ A ) S / Ω. Entonces U(χ A\C,P) = S P = S P = S P M S (χ A\C )v(s) = S P\Ω M S (χ A )v(s) M S (χ A )v(s) S ΩM S (χ A )v(s) M S (χ A )v(s) S Pm S (χ A )v(s) Por lo tnto, = U(χ A,P) L(χ A,P) < ε. 1 U(χ A\C,P) < ε. A\C
4. El teorem de Fubini 95 4. El teorem de Fubini En est últim sección del cpítulo, estudiremos el problem de evlur un integrl. Es decir, dd un función f : R R, cómo clculmos el vlor explícito de f? En cálculo de un sol vrible, el lgoritmo más poderoso es el otorgdo por el teorem fundmentl del cálculo. Teorem 5.36 (Fundmentl del cálculo). Se f : [, b] R diferencible tl que su derivd f es Riemnn-integrble. Entonces f = f(b) f(). El teorem 5.36 reduce entonces el problem de clculr f encontrr un ntiderivd de f, es decir, un función F tl que F = f. Aunque no siempre es posible encontrr F de form explícit, sí nos permite resolver un buen número de problem que precen en distintos contextos. En est sección demostrremos el teorem conocido como el teorem de Fubini, que estblece el concepto de integrles iterds. Esto nos permite reducir el problem de clculr integrles sobre rectángulos clculr integrles sobre intervlos, y entonces usr el teorem fundmentl del cálculo. Teorem 5.37 (Fubini). Sen R R n y S R m rectángulos cerrdos, y f : R S R Riemnn-integrble. Pr cd x R, se g x : S R dd por g x (y) = f(x,y), y sen I,S : R R I(x) = L(g x ) y S(x) = U(g x ), ls sums inferior y superior de g x, respectivmente. Entonces I y S son Riemnn-integrbles y I = S = f. R R Si ls funciones g x son Riemnn-integrbles pr cd x, entonces I(x) = S(x) = g x, S que escribimos simplemente como f(x,y)dy. En este cso podemos escribir R S S f(x,y)dxdy = R ( R S S ) f(x,y)dy dx. A ests integrles se le llm integrles iterds, ó integrles múltiples. Desde luego, este resultdo es simétrico en x y y: Si h y (x) = f(x,y) es Riemnn-integrble pr cd y, entonces ( ) f(x,y)dxdy = f(x,y)dx dy. R S S R
96 5. Integrción Demostrción del teorem de Fubini. Si P es un prtición de R S, ést induce prticiones P R y P S de R y S, respectivmente, y, de mner invers, prticiones de R y S inducen un prtición de R S, y que cd T P es de l form T R T S, donde T R P R y T S P S. Pr cd x T R, m T (f) = m TR T S (f) m TS (g x ) y M T (f) = M TR T S (f) M TS (g x ), porque T = T R T S {x} S. Luego, como v(t) = v(t R )v(t S ), L(f,P) = m T (f)v(t) = ( ) m TR T S (f)v(t S ) v(t R ). T P T S P S T R P R Ahor bien, pr culquier x T R, m TR T S (f)v(t S ) m TS (g x )v(t S ) = L(g x,p S ) L(g x ) = I(x), T S P S T S P S por lo que entonces y, sí, T S P S m TR T S (f)v(t S ) m TR (I) L(f,P) T R P R m TR (I)v(T R ) L(I,P R ). De mner similr podemos demostrr que U(f,P) U(S,P R ). Por lo tnto, y L(f,P) L(I,P R ) U(I,P R ) U(S,P R ) U(f,P), L(f,P) L(I,P R ) L(S,P R ) U(S,P R ) U(f,P), porque, clrmente, I(x) S(x) pr cd x R. Como f es Riemnn-integrble, pr cd ε > 0 podemos escoger P tl que U(f,P) L(f,P) < ε. Entonces, pr ε > 0 existe P R tl que U(I,P R ) L(I,P R ) < ε y U(S,P R ) L(S,P R ) < ε, lo cul implic que I y S son Riemnn-integrbles. Además, ls desigulddes nteriores implicn que R S f = R I = R S. En generl, ls funciones g x no son Riemnn-integrbles, por lo que es necesrio utilizr el teorem con el uso explícito de I y S.
4. El teorem de Fubini 97 Ejemplo 5.38. Considermos l función f : [0,1] [0,1] R definid por 0 si x o y es irrcionl f(x,y) = 1 si x y y son rcionles y x = p q q. f es Riemnn-integrble porque es igul cero excepto en un conjunto de medid cero. Ahor se x [0,1]. Si x Q, x = p pr lgunos p,q Z, y q 0 y es irrcionl g x (y) = 1 y es rcionl q es l función de Dirichlet multiplicd por 1/q. Entonces g x no es Riemnnintegrble. De hecho I(x) = 0 y S(x) = 1/q. Si x / Q, g x (y) = 0 pr todo y. Entonces tenemos I(x) = S(x) = 0. Por lo tnto, pr cd x [0,1], 1 x = p I(x) = 0, S(x) = q q 0 x / Q. Ahor bien, S es l función de Dirichlet modificd, es Riemnn-integrble y [0,1] S = 0. Entonces f = I = S = 0. [0,1] [0,1] [0,1] El teorem de Fubini es tmbién útil pr clculr integrles sobre conjuntos Jordn-medibles. Ejemplo 5.39. Consideremos l bol B 2 de rdio 1 lrededor de 0 en R 2. Entonces B 2 [ 1,1] [ 1,1], B 2 es Jordn-medible (no es muy difícil mostrr que su fronter, el círculo S 1 de rdio 1, es de medid cero) y f = fχ B 2. B 2 [ 1,1] [ 1,1] [0,1] Por el teorem de Fubini, est integrl es igul 1 1 ( 1 1 ) (fχ B 2)(x,y)dy dx = 1 porque (x,y) B 2 si, y solo si, y 1 x 2. 1 ( 1 x 2 ) f(x,y)dy dx, 1 x 2 El siguiente ejemplo tmbién muestr un plicción del Teorem de Fubini.
98 5. Integrción Ejemplo 5.40. Se f : [,b] [,b] R continu. Mostrremos que b ( y ) b ( b ) f(x,y)dx dy = f(x,y)dy dx. Se C = {(x,y) [,b] [,b] : x y}. Entonces b ( y ) b ( b ) f(x,y)dx dy = f(x,y)χ C (x,y)dx dy y, por el teorem de Fubini, ests integrles son igules fχ C. [,b] [,b] Un nuev plicción del teorem de Fubini implic que b ( b ) b ( b fχ C = f(x,y)χ C (x,y)dy dx = [,b] [,b] x x ) f(x,y)dy dx. Ejercicios 1. Se R un rectángulo cerrdo y P un prtición de R. Muestr que v(s) = v(r). S P 2. Sef : R RRiemnn-integrble y c R. Muestrquecf esriemnnintegrble y cf = c f. 3. Sen f,g : R R Riemnn-integrbles tles que f g. Muestr que f g. 4. Se f : R R Riemnn-integrble y g : R R tl que g(x) = f(x) excepto lo más un número finito de x. Muestr que g es Riemnnintegrble y g = f. 5. Se f : R R y P un prtición de R. Muestr que f es Riemnnintegrble si y solo si f S es Riemnn-integrble pr cd S P, y en tl cso f S. = Rf S P S { 6. Se C el conjunto de Cntor. Muestr que C = k=1 } n 3 n : n = 0 o 2. Es decir, C es el conjunto de números en [0,1] tles que su expresión ternri (en bse 3) solo tiene los dígitos 0 y 2. 7. Utiliz el ejercicio nterior pr concluir que C es incontble.
Ejercicios 99 8. Se R = [ 1,b 1 ] [ n,b n ] y ε > 0. Muestr que existe α > 0 tl que, si S = ( 1 α,b 1 +α) ( n α,b n +α), entonces v(s) < v(r)+ε. 9. Muestr que [ 1,b 1 ] [ n,b n ] no es de contenido 0 si i < b i pr todo i. 10. ) Muestr que un conjunto no cotdo no puede ser de contenido 0. b) D un ejemplo de un conjunto cerrdo de medid 0 que no se de contenido 0. 11. ) Si C es de contenido 0, muestr que frc es de contenido 0. b) Sin embrgo, d un ejemplo de un conjunto de medid 0 cuy fronter no se de medid 0. 12. Se f : [,b] R creciente. Si x 1,...,x k [,b] son distintos, muestr que k O(f,x i ) < f(b) f(). 13. Se f : [,b] R creciente. Muestr que el conjunto {x [,b] : f es discontinu en x} es de medid 0. Concluye entonces que tod función creciente en [,b] es Riemnn-integrble. 14. Se f : R R Riemnn-integrble, f 0 y tl que f = 0. Muestr que {x R : f(x) 0} es de medid 0. 15. Muestr que si C es de contenido 0, entonces es Jordn-medible. 16. Muestr que si C es Jordn-medible y de medid 0, entonces C 1 = 0. 17. Sen R y S rectángulos y C R S de contenido cero. Se A R el conjunto de todos los x R tl que {y S : (x,y) C} no es de contenido cero. Muestr que A es de medid cero. 18. Se C [0,1] [0,1] l unión p/q Q [0,1] {p/q} [0,1/q], donde se sume que los p/q son frcciones reducids. Muestr que C es de contenido cero y que el conjunto A, definido como en el problem nterior, no es de contenido cero. 19. Se f : [,b] [c,d] R continu tl que D 2 f existe y es continu. ) Define F : [c,d] R como F(y) = b f(x,y)dx.
100 5. Integrción Muestr que F (y) = b b) Define G : [,b] [c,d] R como G(x,y) = D 2 f(x,y)dx. x f(t,y)dt. Encuentr D 1 G y D 2 G. c) Se h : [c,d] [,b] diferencible y define H : [c,d] R como H(y) = Encuentr H (y). h(y) f(x,y)dx.