Trigonometrí 10.- Teorems de Adición. Rzones trigonométrics de los ángulos A + B y A B. Hy que tener cuiddo de no confundir l rzón trigonométric de l sum de dos ángulos, con l sum de dos rzones trigonométrics. Es decir: sen(a+b) # sena + senb cos(a+b) # cosa + cosb tg(a+b) # tga + tgb y que: sen (30º + 60º) = sen 90º = 1 en cmbio: sen 30º + sen 60º = Fórmuls: 1 3 = 1 3 por lo que son distntos. sen (A + B) = sen A cos B + cos A sen B cos (A + B) = cos A cos B - sen A sen B sen A cos B cos A sen B Pr obtne el de l tngente. Como tg A B = cos A cos B sen A sen B numerdor y denomindor por cosa cosb y después simplificndo, se obtiene: si dividimos tg A tg B tg A B = 1 tg A tg B Psemos l diferenci de ángulos: sen (A - B) = sen (A + (-B)) = sen A cos (-B) + cos A sen (-B) = sen A cos B sen A cos B B cos (A - B) = cos (A + (-B)) = cos A cos (-B) - sen A sen (-B) = cos A cos B + sen A cos tg A tg B tg A B = 1 tg A tg B Págin 1 de 11
Rzones trigonométrics del ángulo doble A. sen A = sen (A+A) = sen A cos A + cos A sen A = sen A cos A cos A = cos (A + A) = cosa cos A sen A sen A = cos A sen A tg A tg A tg A=tg A A = 1 tg A tg A Rzones trigonométrics del ángulo mitd A/. A prtir de l fórmul: cos A = cos A sen A podemos modificrl de l form: cos A=cos A sen A y de l ecución fundmentl de l trigonometrí, que podemos expresr: sen A cos A =1 Si restmos l segund de ests euciones l primer obtendrímos: sen A =1 cos A de l que despejmos el seno del ángulo mitd: sen A =± 1 cosa Si summos miembro miembro ls dos primers ecuciones tendrímos: cos A =1 cos A de l que despejndo el coseno del ángulomitd: cos A =± 1 cosa y y solo qued obtener l tngente del ángulo mitd: tg A =± 1 cosa 1 cos A Págin de 11
Trigonometrí 11.- Resolución de triángulos culesquier. En todo triángulo, el ángulo myor tiene enfrente el ldo myor y el ángulo menor tiene enfrente el ldo menor. Un expresión cuntittiv de este hecho es el teorem de los senos cuyo enuncido es el siguiente: Teorem del seno. sen A = b sen B = c senc =R Siendo R el rdio de l circunferenci circunscrit l triángulo ABC. En un triángulo culquier, l rzón de un ldo l seno del ángulo opuesto es constnte. Es decir: Los ldos son proporcionles los senos de los ángulos opuestos. Teorem del coseno. =b c b c cos A b = c c cos B c = b b cosc En un triángulo culquier, el cudrdo de un ldo es igul l sum de los cudrdos de los otros dos ldos menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que formn. Ejercicios. Un triángulo qued determindo cundo se conocen tres culesquier de sus elementos, uno de los cules l menos h de ser ldo. Por tnto, el problem que vmos resolver es el de clculr tres elementos de un triángulo, cundo se conocen los otros tres. Se pueden presentr cutro csos: 1. Ddos un ldo y dos ángulos.. Ddos dos ldos y el ángulo que formn. 3. Ddos los tres ldos. 4. Ddos dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos. Págin 3 de 11
c B A b C Pr hllr elementos desconocidos se deben utilizr siempre fórmuls en ls que intervienen los dtos y un elemento desconocido. Procediendo sí, los errores de proximción que pueden drse l hllr los elementos desconocidos no influyen en los cálculos posteriores. Pero pr que esto se pued relizr necesitmos utilizr el teorem de los senos, el del coseno y el de l tngente. Como utilizremos únicmente el teorem de los senos y el del coseno, veces pr clculr elementos desconocidos, es imposible hcerlo utilizndo únicmente los dtos, y debemos echr mno de elementos hlldos previmente. 1. Ddos un ldo y dos ángulos. Ejemplo.- Siendo = 8m, B=45º y C=60º. Podemos clculr: A = 180º-(45º+60º) = 75º. y plicmos el teorem del seno: 8 sen 75º = b sen 45º y y tmbién podemos clculr c: y despejmos b= 8 sen45º sen 75º 8 sen 75º = c sen 60º y despejmos c= 8 sen60º sen 75º Ejercicio.- Resuelve el triángulo ABC siendo: = 6 m, A=30º y B=45º.. Ddos dos ldos y el ángulo que formn. Ejemplo.- Siendo = 9 m y b = 7 m y C = 45º plicmos el teorem del coseno. c =9 7 9 7 cos45º de donde obtenemos que c = 6,39 m y qued plicr el teorem del seno pr obtener uno de los dos ángulos restntes: 6 sen A = 6,39 sen 45º y obtenemos que A= 84º 17 33 y y qued obtener el tercer ángulo: B = 180º - (84º 17 33 + 45º) = 50º 4 7 Págin 4 de 11
Trigonometrí Ejercicio.- Resuelve el triángulo ABC siendo: = 4m, c = 6m y B=60º. 3. Ddos los tres ldos. Existe solución únic, siempre que: < b + c, b < + c y c < + b. Ejemplo.- Siendo = 5m, b = 7m y c = 9m. Entonces por el teorem del coseno: 5 =7 9 7 9 cos A, obtenemos: A = 33º 33 6 y y por el teorem del seno (o nuevmente podemos plicr el del coseno): 5 sen 33º33 6 = 7 sen B obtenemos B = 50º 4 1 y y finlmente por diferenci de ángulos obtenemos C = 95º44. 4. Ddos dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos. En generl, pr que se pued resolver el triángulo debe ocurrir: sen A = b sen B despejndo sen B= b sen A 1 porque el -1 < sen A < 1. Si se verific lo nterior, el ángulo B resultnte debe ser tl que A + B < 180º, y que de otr form el triángulo no existirí. Pueden ocurrir tres csos: 1. b sen A 1. b sen A =1 el problem es imposible. entonces sen B = 1 que indic que B = 90º 1. Si A > 90º el problem no tiene solución y que A + B > 180º. Si A < 90º, entonces es C el complementrio de A y hy un solución. 3. b sen A 1 entonces sen B= bsen A pero pr este vlor del seno corresponden dos ángulos entre 0ºy 180º, un ángulo gudo B 1 y su suplementrio B. 1. Identiddes, ecuciones y sistems. Antes de empezr on ls identiddes, ecuciones y sistems, vmos dr respuests Págin 5 de 11
pregunts del tipo: Ángulos tles que sen α = m. Es decir, que si yo conozco el seno de un ángulo lf (sen α) con l clculdor podrí conocer el ángulo lf cuyo seno es m, pero no podemos firmr que correspond un solo ángulo lf.. Si observmos l figur vemos que sen α le corresponden los ángulos α y (180º - α). Tmbién le corresponden estos mismos ángulos más un número entero de vuelts que v de 1 en delnte. Es decir, sen α le corresponden los ángulos: α + 360k (180º - α) + 360k siendo k = 0,1,,.. un número entero.. y Ángulos tles que cos α = m. Es decir, que si yo conozco el coseno de un ángulo lf (cos α) con l clculdor podrí conocer el ángulo lf cuyo coseno es m, pero no podemos firmr que correspond un solo ángulo lf.. Si observmos l figur vemos que cos α le corresponden los ángulos α y (360º - α). Tmbién le corresponden estos mismos ángulos más un número entero de vuelts que v de 1 en delnte. Es decir, cos α le corresponden los ángulos: α + 360k y (360º - α) + 360k siendo k = 0,1,,.. un número entero.. Ángulos tles que tg α = m. Identiddes, ecuciones y sistems. Antes de empezr on ls identiddes, ecuciones y sistems, vmos explicr unos conceptos: Ángulos tles que sen α = m. Es decir, que si yo conozco el seno de un ángulo lf (sen α) con l clculdor podrí conocer el ángulo lf cuyo seno es m, pero no podemos firmr que correspond un solo ángulo lf.. Si observmos l figur vemos que sen α le Págin 6 de 11
Trigonometrí corresponden los ángulos α y (180º - α). Tmbién le corresponden estos mismos ángulos más un número entero de vuelts que v de 1 en delnte. Es decir, sen α le corresponden los ángulos: α + 360k y (180º - α) + 360k, siendo k = 0,1,,.. un número entero. Ángulos tles que cos α = n. Es decir, que si yo conozco el coseno de un ángulo lf (cos α) con l clculdor podrí conocer el ángulo lf cuyo coseno es n, pero no podemos firmr que correspond un solo ángulo lf.. Si observmos l figur vemos que cos α le corresponden los ángulos α y (360º - α). Tmbién le corresponden estos mismos ángulos más un número entero de vuelts que v de 1 en delnte. Es decir, cos α le corresponden los ángulos: α + 360k y (360º - α) + 360k siendo k = 0,1,,.. un número entero. Ángulos tles que tg α = t. Es decir, que si yo conozco l tngente de un ángulo lf (tg α) con l clculdor podrí conocer el ángulo lf cuy tngente es t, pero no podemos firmr que correspond un solo ángulo lf.. Si observmos l figur, hemos dibujdo ls rzones trigonométrics seno y coseno de los ángulos α y (180º + α) y vemos que tg α le corresponden los ángulos α y (180º + α). Tmbién le corresponden estos mismos ángulos más un número entero de vuelts que de 1 en delnte. v Es decir, tg α le corresponden los ángulos: α + 360k y (180º + α) + 360k siendo k = 0,1,,.. un número entero. Identiddes trigonométrics. "Son igulddes de funciones trigonométrics de ciertos ángulos, que se verificn pr culquier vlor de dichos ángulos". Y hemos visto muchos ejemplos en prtdos nteriores: sen A + cos A = 1 tg A = sena cos A Págin 7 de 11
Pr demostrr un identidd trigonométric, no existen regls. Por lo generl hbrá que reducir el miembro que nos prezc más difícil (medinte sustituciones por identiddes) hst hcerle igul l otro miembro; o bien, si los dos miembros no son sencillos, operr con mbos hst llegr uns expresiones sencills. Como es imposible recoger los infinitos recursos que se pueden utilizr, nos limitremos resolver unos cuntos ejemplos. Ejemplo:- Demuestr que culquier que se el ángulo lf se verific l relció.: sec x cosec x=sec x cosec x sec x cosec x= 1 sen x 1 cos x = cos x sen x sen x cos x =sec x cosec x Ejemplo:- Comprueb si es verdder o fls l siguiente iguldd: tg x tg y =tg x tg y cotg x cotg y tg x tg y tg x tg y = cotg x cotg y 1 tg x 1 tg y = tg x tg y =tg x tg y tg y tg x tg x tg y Ejemplo:- Comprueb si es verdder o fls l siguiente iguldd: sen x cos y=sen y cos x sen x cos x=sen y cos y de donde: sen x cos y=sen y cos x Ejercicio.- Comprueb si son verdders o flss l siguientes igulddes: tg x cotg x=sec x cosec x cotg x cos x=cotg x cos x tg x cotg x=sec x cosec x sen x cos x tg x cotg x sec x cosec x=1 Ecuciones Trigonométrics. "Se llmn sí ls igulddes entre rzones trigonométrics de ciertos ángulos que sólo se verificn pr lgunos vlores prticulres de dichos ángulos". Resolver un ecución trigonométric es buscr todos los vlores de los ángulos que l stisfcen. Aunque no existen regls generles pr resolver un ecución trigonométric, serán de utilidd ls siguientes indicciones: 1) Deben expresrse (medinte trnsformciones convenientes) tods ls rzones que intervengn en un ecución, en función de un mismo ángulo sencillo y de un sol rzón. Págin 8 de 11
Trigonometrí ) Hy que evitr, en lo posible, suprimir soluciones con simplificciones o ñdir soluciones de form indecud: ) Si en l ecución: senx (-cos x) = 0 dividimos por sen x, nos qued - cos x = 0. Hemos suprimido ls soluciones de sen x = 0 que son x = 0º + kπ. b) Añdimos soluciones l ecución sen x= 1 si l elevmos l cudrdo. sen x= 1 4 si posteriormente resolveos sen x= ±1 por lo que hemos ñdido dos nuevos tipos de soluciones sen x= 1 es decir que x = 10º + 360k y x = 330º + 360k que no se correspondín con los iniciles. 3) Suele ser suficiente dr ls soluciones que estén comprendids entre 0º y 360º. sen x=tg x Desrrollmos senx y tgx: sen x cos x= sen x cos x sen x cos x=sen x sen x cos x sen x=0 sen x cos x 1 =0 Un posibilidd es que se sen x = 0 Otr posibilidd es que cos x=1 despejndo cos x= 1 Por lo tnto hy 7 posibles soluciones: senx = 0, obtenemos que x = 0º, x =18º y x =360º cos x= 1 x = 45º y x = 315º cos x= 1 x = 135º y x = 5º Al comprobrls, vemos que ls 7 son válids. Ejemplo.- Resuelve l ecución cos x=1 4 sen x Págin 9 de 11
Conocemos un fórmul que nos desrroll el coseno del ángulo doble cos x=cos x sen x, por lo que: cos x=1 4sen x por lo que cos x sen x=1 4 sen x tenemos rzones trigonométrics seno y coseno. Podemos prtir de l f romul fundmentl de l trigonometrí, expresr un de ells en función de l otr: sen x cos x=1 cos x=1 sen x por lo que: 1 sen x sen x=1 4 sen x 1 sen x=1 4 sen x sen x=4 sen x que es un ecución de segundo grdo en sen x. Hciendo el cmbio t = sen x, tenmos: t =4t t 4t=0 t t 4 =0 de donde obtenemos vlores pr t. O se, t =0 o t =-. Si hor deshcemos el cmbio de vribles, tendrímos que pt t= 0 serí sen x = 0, y el seno de un ángulo vle 0 en 0º, 180º y 360º ms ls vuelts complets que sen. x = 0º + kπ. L otr solución, implic que sen x = - y esto es imposible porque el seno de un ángulo está comprendido entre -1 y 1. Ejemplo.- Resuelve l ecución sen x cos x= 1 Podemos prtir de l f romul fundmentl de l trigonometrí, expresr un de ells en función de l otr: sen x cos x=1 cos x=1 sen x por lo que Págin 10 de 11
Trigonometrí sen x 1 sen x = 1 1 sen x= 1 sen x=± 3 los ángulos cuyo seno es sen x=± 3 son 60º, 10º, 40º, 300º y todos los que resultn de sumr éstos vuelts complets. Así pues ls soluciones de l ecución serán: x1 = 3 k x = k 3 x3 = 4 k 3 x4 = k 3 Ejemplo.- Resuelve l ecución sen x=cos60º Nos pide donde un ángulo (en este cso el ángulo es x) su seno y coseno son igules. Y el seno de un ángulo y su coseno son igules si mbos son complementrios, es decir que mbos sumn 90º. En definitiv que x + 60º = 90º, por lo que x = 30 y x = 15º. Pero en el segundo cudrnte está x = 150º cuyo seno es el mismo vlor (tmbién es positivo) que el seno de 30, por lo que x = 150º es otr solución. Ejercicio.- Resuelve l ecución sen x cos x=3 sen x Págin 11 de 11