1 Unidad 3: Funciones eponenciales Tema: Función eponencial Lección: Definición gráfica 10 Función eponencial La función eponencial, es conocida formalmente como la función real e, donde e es el número de Euler, aproimadamente 2.71828... Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f() = b, en donde la base b, es una constante el eponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos mu diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería. La definición de función eponencial eige que la base sea siempre positiva diferente de uno (b>0 b 1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función b se transforma en la función constante f() = 1. El dominio de la función eponencial está formado por el conjunto de los números reales su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos. Se denota equivalentemente como f()=e o eponente(), donde e es la base de los logaritmos naturales corresponde a la función inversa del logaritmo natural. En términos mucho más generales, una función real E() se dice que es del tipo eponencial en base a si tiene la forma E ( ) K a Siendo a, K números reales, a 0. Así pues, estas funciones eponenciales son similares dependen de la base a que utilicen. Ejemplos: 1. La función eponencial de base dos: =f()=2 La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos. -3-2 -1 0 1 2 3 f() 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
2 Para construir la gráfica de esta función se localiza estos puntos en un plano cartesiano, uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la siguiente escena. Observa el comportamiento de la función: 2. La función eponencial de base 1/2 Analicemos ahora el comportamiento de la función eponencial de base 1/2. Mueve el punto P observa el comportamiento de la función cuando tiende a + cuando tiene a =f()=(1/2) -3-2 -1 0 1 2 3 f() 8 4 2 2 1/2 1/4 1/8
3 3. La función eponencial para cualquier valor de b La función eponencial eiste siempre para cualquier valor de la variable independiente. Toma valores positivos para cualquier valor de. El dominio de la función eponencial es todo el conjunto de los números reales. Todas las funciones pasan por el punto (0,1). Las gráficas de las funciones eponenciales de la forma f()=b, con b>1 son crecientes. Los valores de la función crecen cuando aumenta. Las gráficas de las funciones eponenciales de la forma f()=b, con 0<b<1 son decrecientes. Los valores de la función decrecen cuando aumenta. El eje es una asíntota horizontal, hacía la izquierda si b>1 hacía la derecha si b<1. La definición eige que la base sea positiva diferente de uno. Si b=0 la función se transforma en la función constante 0. Observa las siguientes funciones: f() = 2 g() = 2. No debes confundirlas pues las funciones f g no son iguales. La función f() = 2 es una función que tiene una variable elevada a un eponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente (Unidad 1 Tema 2) cua gráfica básica es: D R A [0, ) Mientras que la función eponencial: f() = 2, su gráfica es: 25 20 15 10 5 0-4 -2 0 2 4 D R A (0, )
4 Resumen de las Propiedades de f() = b, b>0, b diferente de uno: 1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1). 2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos. 3) El eje de es la asíntota horizontal. 4) Si b > 1 (b, base), entonces b aumenta conforme aumenta. 5) Si 0 < b < 1, entonces b disminue conforme aumenta. 6) La función f es una función uno a uno. Propiedades de las funciones eponenciales: Para a b positivos, donde a b son diferentes de uno, reales: 1) Lees de los eponentes: a)( a )( a ) a b) a a c) a a a d)( ab) a b a e) b a b 2) a = a si sólo si = 3) Para diferente de cero, entonces a = b si sólo si a = b
5 Referencias: http://es.wikipedia.org/wiki/funci%c3%b3n_eponencial http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/epow.htm