CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS

UNIVERSIDD NCIONL EXPERIMENTL POLITECNIC NTONIO JOSÉ DE SUCRE VICERRECTORDO RQUISIMETO DEPRTMENTO DE INGENIERÍ QUÍMIC CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS Pro: Ing. (MSc). Juan Enrque Rodríguez C. Octubre, 23

Índce Modelado del comportamento dnámco y estátco de Procesos Químcos

CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS Modelado del comportamento dnámco y estátco de Procesos Químcos 3

Desarrollo de un modelo matemátco Según McGraw Hll Dctonary o Scentc and Techncal Terms: Modelo es un sstema ísco o matemátco, que obedecendo a certas condcones especícas, su comportamento es utlzado para comprender un sstema ísco, bológco o socal, al cual es análogo de certa orma. Modelar un proceso químco es una actvdad muy sntétca, lo que requere el uso de los prncpos báscos de la cenca de la ngenería químca, tales como balance de masa, cnétca, termodnámca, enómenos de transporte, etc. Para el dseño de controladores para un proceso químco, el modelado es un paso muy mportante. 4

Desarrollo de un modelo matemátco Por qué necestamos un Modelado Matemátco para el control de Procesos? Clascacón de los modelos Modelos Estátcos Dnámcos Parámetros Dstrbudos (PDE) Parámetros grupados (ODE) Conserva la dependenca espaco-tempo Se reemplaza la dependenca espacal por su promedo en la regón del espaco 5

Desarrollo de un modelo matemátco Clascacón de los modelos Estocástcos Modelos de parámetros agrupados (ODE) No lneales Determnístcos Coecentes varables Lneales Contnuos Coecentes constantes Dscretos Prncpos de: Superposcón: varas señales de entrada actuando smultáneamente, obtenemos una sola salda Proporconaldad: la señal de salda es proporconal a la señal de entrada 6

Desarrollo de un modelo matemátco Los sstemas dnámcos, con parámetros agrupados, determnístcos, lneales son descrtos medante ecuacones derencales ordnaras, en las cuales todos sus térmnos son lneales. 3y' ' x 5y' x 8yx 2x Los sstemas dnámcos, con parámetros agrupados, determnístcos, no lneales son descrtos medante ecuacones derencales ordnaras, en las cuales al menos uno de sus térmnos es no lneal. y'' x x 2y' x e yx Los sstemas dnámcos, con parámetros agrupados, determnístcos, lneales, con coecentes constantes son descrtos medante ecuacones derencales ordnaras, en las cuales todos sus coecentes son nvarantes en el tempo. y' ' 5y' 6y Los sstemas dnámcos, con parámetros agrupados, determnístcos, lneales, con coecentes varables son descrtos medante ecuacones derencales ordnaras, en las cuales todos sus coecentes son uncones del tempo. x 2 y'' xy' 4y 7

Desarrollo de un modelo matemátco Denamos algunos térmnos: Parámetros: En el modelo son objetos o símbolos que representan a entdades o atrbucones del sstema que permanecen constantes durante el estudo. Varables: Son objetos o símbolos en el modelo, que representan a entdades o atrbutos del sstema que camban en el tempo durante el estudo. Relacones unconales: Son los proceso íscos o las relacones entre los símbolos de un modelo, que representan a las actvdades y a las relacones entre los elementos de un sstema. 6 etapas en la que se desarrolla un modelo matemátco:. Descrpcón del enómeno, planteándose las varables que ntervenen y las hpótess del comportamento. 2. Se plantean las ecuacones que descrben matemátcamente el enómeno, las condcones de rontera y la varabldad de solucón. 3. Selecconar el método de solucón del modelo matemátco es decr, la eleccón del algortmo de cálculo. 4. La programacón del algortmo de cálculo para un computador. 5. La calbracón, vercacón y valdacón del modelo. 6. La explotacón del modelo, utlzacón del msmo con base en datos de campo, de expermentos en laboratoros o de supuestos para obtener.

Desarrollo de un modelo matemátco Varables de estado y ecuacones de estado de un proceso químco Con el n de caracterzar un sstema de procesamento (tanque calentador, reactor por lotes, columna de destlacón, ntercambadores de calor, etc) y su comportamentos necestamos:. Un conjunto de cantdades que dependen undamentalmente de valores que descrben el estado natural de un sstema dado (valores en estado estaconaro). 2. Un conjunto de ecuacones con las varables anterores, que se descrbe cómo el estado natural de los cambos en el sstema dado con el tempo. El prncpo de conservacón de la cantdad de S establece que: La cantdad S puede ser cualquera de las sguentes cantdades undamentales: *Masa total *Masa de componentes ndvduales *La energía total *Momento 9

Desarrollo de un modelo matemátco alance de masa total (E-C+F-S=): : entradas ρf ρ jfj j: saldas d ρv alance de masa de componentes ndvduales (E-C+F-S=): d(n ) dc V CF CjFj rv :entradas j: saldas alance total energía: :entradas ρ Fh ρ j j: saldas F h j j Q Ws de d U K P

Desarrollo de un modelo matemátco Ejemplo : Del tanque agtado con serpentín de la gura. Donde F y F son los caudales volumétrcos. Determne las ecuacones undamentales de masa y energía, los cuales proporconan la normacón sobre el calentador: (a) La masa total del líqudo en el tanque (b) La energía total del materal en el tanque alance de masa total (E-C+F-S=) en estado estaconaro: F 2 ( masa) F ( masa) ρ*v ρ**h alance de energía total (E-C+F-S=) en estado estaconaro: H ρ*v*cp* Cuáles son las varables y cuales no? ΔEc ΔEp ΔH Q W T - T ρ**h *Cp* T - re T re Varables de estado: h, T Constantes: ρ, V,, Cp, T re

Desarrollo de un modelo matemátco alance de masa total (E-C+F-S=) en estado no estaconaro: dm F ( masa) F2 ( masa) dρ*v dρ**h ρ*f -ρ*f dh F F * alance de energía total (E-C+F-S=) en estado no estaconaro: de ΔEc ΔEp ΔH Q m*(ĥ - Ĥ ) Q d ρ**h *Cp* ρ*f*cp* T - Tre ρ*f*cp* T - Tre Q S asummos que T y Cp es ctte re T - T re F*T F*T Q ρ*cp d * h *T 2

Desarrollo de un modelo matemátco Por propedades matemátcas de dervadas F*T F*T Q ρ*cp d * F*T - F*T F* h *T T T Resultando Q ρ*cp dt *h * - T* Q ρ*cp F - F dh *T* dt *h * dt *h * dt *h * dh * T* F F F F Consderemos que la temperatura de entrada «T» decrece a partr del estado estable o estaconaro Qué le sucedería a la altura del lqudo y a la temperatura del tanque? 3

Desarrollo de un modelo matemátco Consderemos que el lujo de entrada «F» decrece a partr del estado estable o estaconaro Qué le sucedería a la altura del lqudo y a la temperatura del tanque? Elementos adconales de los modelos matemátcos demás de las ecuacones de balance, necestamos otras relacones para expresar equlbros termodnámcos, las velocdades de reaccón, las tasas de transporte de calor, la masa, el mpulso, y así sucesvamente, veamos algunas relacones. 4

Desarrollo de un modelo matemátco Ecuacones de velocdad de transporte de calor La cantdad de calor Q sumnstrado por el vapor al líqudo en el tanque calentador (Ejemplo anteror) está dada por la sguente ecuacón de velocdad de transerenca de calor: Q U * T * Tst T Donde: U = coecente global de transerenca de calor T = área total de transerenca de calor T st = temperatura del vapor T = temperatura Ecuacones de las velocdades cnétcas La velocdad de reaccón de una reaccón de prmer orden que tene lugar en un CSTR esta dada por: r k o *e E R*T * C Donde: k o = constante cnétca preexponencal r = velocdad de reaccón E = energía de actvacón para la reaccón R = constante de los gases deales T = temperatura C = concentracón del líqudo del componente en la reaccón. 5

Desarrollo de un modelo matemátco Modelo matemátco de un contnuo reactor de tanque agtado (CSTR) Ejemplo 2: Consdere el sguente reactor de tanque agtado contnuo que se muestra en la gura. Se da una reaccón exotérmca senclla dentro del reactor, que es a su vez es enrado por un líqudo rergerante que luye a través de la chaqueta que esta alrededor del reactor. Realce el modelo matemátco correspondente a: (a) La masa total de la mezcla de reaccón en el tanque (b) Masa de producto químco en la mezcla de reaccón (c) La energía total de la mezcla de reaccón en el tanque alance de masa total (E-C+F-S=) en estado no estaconaro: dρ*v dv ρ*f ρ*f ρ*f ρ*f ρ*, S ρ ρ Donde: ρ, ρ = densdad de los lujos de entrada y salda respectvamente F, F = lujo volumétrco de la correntes de entrada y salda V = volumen de la mezcla de reaccón en el tanque = área transversal del tanque h = altura del líqudo en el tanque F F dv 6

Desarrollo de un modelo matemátco alance para el componente en base molar (E-C+F-S=) en estado no estaconaro: dn dc *V dv dc C *F r *V C *F C * V* C *F k o *e E R*T *C *V C *F dc V* C * F F E dc F R*T * C C k o *e *C V Donde: k o = constante cnétca preexponencal C, C = concentracones molares (moles / volumen) de en la entrada y de salda E = energía de actvacón para la reaccón R = constante de los gases deales T = temperatura F, F = lujo volumétrco de la correntes de entrada y salda alance para el componente (E-C+F-S=) en estado no estaconaro: r *V C *F n dc *V d F F 7 dv

Desarrollo de un modelo matemátco alance de energía (E-C+F-S=) en estado no estaconaro: En el balance anteror hemos descudado el trabajo mecánco realzado por el mpulsor del mecansmo de agtacón. La energía total de la reaccón de la mezcla vene dado por: E T = U + E C + E P Donde: U = energía nterna, E C = energía cnétca, E P = energía potenta Por lo tanto, suponendo que el reactor no se mueve (es decr, de C / = de P / = ), el lado zquerdo de la rendmentos totales del balance de energía Dado que el sstema es un sstema líqudo, podemos hacer la sguente aproxmacón: du dh Por otra parte, la cantdad de energía total con la corrente de entrada por undad de tempo = ρ *F *Ĥ (T ) la cantdad de energía total con la corrente de salda por undad de tempo = ρ*f*ĥ(t) Donde: Ĥ = la entalpía especíca (entalpía por undad de masa) de la almentacón Ĥ = la entalpía especíca de la corrente de salda. Por consguente, el saldo total de energía conduce a la ecuacón dh ρ *F *HT ρ*f*ht Q 8

Desarrollo de un modelo matemátco dh ρ *F *HT ρ*f*ht Q Sabemos que la entalpía de un líqudo es uncón de la temperatura dh H,n Derencando la expresón H T H T, n dt H n dn H n dn C y su composcón *F r *V C r *V C d n *F d n *F pero H T ρ*v*cp; H n Ĥ T ; H n Hˆ T dh dt ρ*v*cp* Ĥ * Susttuyendo C *F C *F r *V Ĥ * r *V - C *F 9

ρ Desarrollo de un modelo matemátco *F *H dt ρ*v*cp* T -ρ*f*ht- Q ρ*v*cp* Ĥ * C *F C *F r *V Ĥ * r *V - C *F ρ Consecuent Igualando *F *H ρ dt ρ*v*cp* T -ρ*f*ht- Q Ĥ * C *F C *F r *V Ĥ * r *V - C *F *F *H emente, los ρ*f*h T T F * C *Ĥ T ρ *Cp * T T F* C *Ĥ T C *Ĥ T susttuye ndo ρ derenca les dt Podemos *F *Cp escrbr y * y de entalpía, que : smplca ndo tenemos queda de T T Ĥ Ĥ *r *V Q la orma Por últmo, (Ĥ -Ĥ ) = (-ΔHr) = calor de reaccón a la temperatura T, y ρ = ρ, Cp = Cp, dt V* dt F * F * T T ΔH V T T r ΔHr *r *V ρ*cp *k o *e ρ*cp E R*T Q ρ*cp *C Q V*ρ*Cp 2

Desarrollo de un modelo matemátco Modelo matemátco de un proceso de mezclado Ejemplo 3: Dos correntes y 2 se mezclan en un tanque ben agtado, producendo una corrente de producto 3 (ver gura). Cada una de las dos correntes de almentacón se compone de dos componentes, y, con concentracones molares C, C y C 2, C 2, respectvamente. Tambén sean F y F 2 los caudales volumétrcos de la dos correntes (t 3 /mn o m 3 /mn) y T y T 2 sus temperaturas correspondentes. Por últmo, sean C 3, C 3, F 3, T 3 las concentracones, el lujo y la temperatura de la corrente de productos. Un serpentín tambén se sumerge en el líqudo del tanque y que se utlza para sumnstrar calor al sstema con vapor de agua, o elmnar el calor con agua de rergeracón. Descrbr en el proceso de mezclado: (a) La masa total en el tanque (b) Las cantdades de los componentes y en el tanque (c) la energía total 2

Desarrollo de un modelo matemátco alance de masa total (E-C+F-S=) en estado no estaconaro: d ρ*v d ρ *F ρ2 *F2 ρ3 *F3 ρ *F ρ2 *F2 ρ3 *F3 ρ* dh S ρ ρ ρ2 ρ3 F F2 F3 * *h alance de masa para el componente (E-C+F-S=) en estado no estaconaro: C *F C 2 *F 2 C 3 *F 3 d n dc *V C dv * dc V*, dc C *F C2 *F2 C3 *F3 V* C * F F2 F3 Debdo aque el tanque esta complentamente mezclado, C C - C *F C - C *F C - C 3 C C - C *F C - C 3 2 3 2 2 3 3 3 *F 2 dc 3 *F3 V* dc3 V* 3 22

Desarrollo de un modelo matemátco alance de energía (E-C+F-S=) en estado no estaconaro: E T = U + E C + E P Donde: U = energía nterna, E C = energía cnétca, E P = energía potenta Por lo tanto, suponendo que el reactor no se mueve (es decr, de C / = de P / = ) Dado que el sstema es un sstema líqudo, podemos hacer la sguente aproxmacón: du dh la cantdad de energía total con la corrente de entrada por undad de tempo = ρ*(f *Ĥ +F 2 *Ĥ 2 ) la cantdad de energía total con la corrente de salda por undad de tempo = ρ*f 3 *Ĥ 3 Debdo a la suposcón de agtacón perecta, la especíca entalpía del materal en la corrente 3 es la msma que la entalpía especíca del materal en el tanque, así: H ρ*v*ĥ3 Consecuentemente, el balance de energía queda: dĥ3 ρ* F *Ĥ F2 *Ĥ2 ρ*f3 *Ĥ3 Q ρ*v* 23

Desarrollo de un modelo matemátco La pregunta ahora es cómo caracterzar Ĥ, Ĥ 2, Ĥ 3 en térmnos de otra varables (es decr, temperaturas, concentracones, etc). Sabemos que: Donde: H ~ H ~ ρ*ĥ ρ*ĥ ρ*ĥ 3 2 Ĥ T3 Ĥ3T Cp3 * T3 T T ĤT Cp * T T T Ĥ T Cp * T T T C3 C3 C3 S3T T C *H ~ C *H ~ C *ΔH ~ ST T C *H ~ C *H ~ C *ΔH ~ T Ĥ Ĥ 3 2 Donde :T 2 2 2 2 2 es la temperatura de reerenca *H ~ *H ~ *ΔH ~ y son las entalpías molares (entalpía/mol) de los componentes y a la temperatura T o. Δ H ~ S, Δ H ~ S2 y Δ H ~ S3, son los calores de solucón para los lujos, 2, y 3 por mol de a la temperatura T o. S asummos que Cp l = Cp 2 = Cp 3 = Cp, tenemos C *F * ΔH ~ ΔH ~ C *F * ΔH ~ ΔH ~ ρ*f *Cp* T T S ρ*f 2 S3 *Cp* 2 T 2 2 T 3 S2 S3 2 2 dt Q ρ*cp*v* 3 S2 3 24

Desarrollo de un modelo matemátco Modelo matemátco de una columna de destlacón bnara Ideal Ejemplo 4: Consdere una mezcla bnara de los componentes y, para ser separados en dos correntes de productos utlzando destlacón convenconal. La mezcla es almentada en la columna como un líqudo saturado (es decr, en su punto de burbuja), en la almentacón de la bandeja (Ver gura), con una velocdad de lujo molar (mol / mn) F y una raccón molar del componente, C. La corrente de vapor del tope se enría y se condensa por completo, y luego desemboca en el tambor de relujo. El enramento del vapor del tope se lleva a cabo con agua de rergeracón. El líqudo del tambor de relujo se bombea de nuevo en parte a la columna (bandeja superor, N) con un lujo molar F R (corrente de relujo) y se elmna en parte el producto destlado con una velocdad de lujo molar F D. Llamaremos M RD al líqudo mantendo en el tambor de relujo y X D la raccón molar del componente en el líqudo del tambor de relujo. Es claro que X D es la composcón para tanto el relujo y la correntes de destlado. En la base de la columna de destlacón, una corrente de producto líqudo (el producto de ondo) se denota con un lujo F y una composcón X (raccón molar de ). Una corrente de líqudo con un lujo molar V que tambén se extrae de la parte neror de la columna y después de que se ha calentado utlzando vapor de agua, se vuelve a la base de la columna. La composcón de la recrculacón de vuelta a la columna es X. Sea M la cantdad de líqudo retendo en el ondo de la columna. La columna contene N platos numerados desde la parte neror a la parte superor. Sea M la cantdad de líqudo retendo en el plato. El cantdad de vapor retendo en cada plato se supone que es nsgncante. En la gura, vemos que el materal luye dentro y uera de la bandeja de almentacón. Del msmo modo, en la gura se muestra el materal luyendo por la parte superor (enésmo plato) y bandejas nerores (prmer plato). Para smplcar el sstema, vamos a hacer los sguentes supuestos: 25

Desarrollo de un modelo matemátco. Vapor retendo en cada plato se puede desprecar. 2. Los calores molares de vaporzacón de ambos componentes ( y ) son aproxmadamente gual. Esto sgnca que mol de vapor condensado lbera sucente calor para evaporar mol de líqudo. 3. Se supone que las pérddas de calor de la columna haca los alrededores son nsgncante. 4. La volatldad relatva de uno de los dos componentes se mantene constante a lo largo de la columna. 5. Cada plato se supone que es % ecente (es decr, el vapor que sale cada plato está en equlbro con el líqudo). Los tres prmeros supuestos mplcan que V = V 2 = V 3 = = Vn y no hay necesdad para el balance de energía alrededor de cada plato.

Desarrollo de un modelo matemátco Los dos últmos suposcones mplcan que una smple relacón en el equlbro líqudo-vapor, se puede utlzar para relaconar la raccón molar de en el vapor que sale del plato -ésmo (Y) con la raccón molar de en el líqudo que sale del msmo plato (X): Y α*x α * X Donde: α: es la volatldad relatva de los dos componentes y. Los supuestos nales que vamos a hacer son los sguentes: 6. Desprecar la dnámca del condensador y el rehervdor. Está claro que estas dos undades (cambadores de calor) consttuyen los sstemas de procesamento en su propo derecho y como tales, tenen un comportamento dnámco. Por lo tanto, el modelado precso debe nclur las ecuacones de estado que descrben el comportamento dnámco del condensador y hervdor. 7. Supone que la velocdad de lujo molar del líqudo que sale de cada plato está relaconado con la retencón del líqudo del plato a través de la órmula de Francs para vertedero: 27

28 Desarrollo de un modelo matemátco Para el plato de almentacón ( = ): alance de masa total (E-C+F-S=) dm L L F V L V L F alance de masa para el componente (E-C+F-S=) *X M d *Y V *X L *Y V *X L *C F Para el plato de tope ( = N ): alance de masa total (E-C+F-S=) dm L F V L V F N N R N N N R alance de masa para el componente (E-C+F-S=) *X M d *Y V *X L *Y V *X F N N N N N N N N D R

Desarrollo de un modelo matemátco Para el plato de ondo ( = ): alance de masa total (E-C+F-S=) dm L2 L V V L2 L alance de masa para el componente (E-C+F-S=) dm *X L2 *X2 V*Y L *X V *Y Para el -esmo plato ( = 2,,N- y ): alance de masa total (E-C+F-S=) L L V - V L L alance de masa para el componente (E-C+F-S=) L *X V *Y L *X V *Y dm d M *X 29

Desarrollo de un modelo matemátco Para el tanque de relujo: alance de masa total (E-C+F-S=) V N F R F D dm alance de masa para el componente (E-C+F-S=) dm V *Y F F *X N N R D D RD *X RD D Para el ondo de la columna: alance de masa total (E-C+F-S=) L V F dm alance de masa para el componente (E-C+F-S=) dm *X L *X V*Y F *X 3

Desarrollo de un modelo matemátco Dcultades de modelado Podemos clascar las dcultades encontradas durante la matemátca del modelado de un proceso en tres categorías: 2 3 Los dervados de la poco conocda enomenología de los procesos químcos o íscos Los producdos a partr de valores nexactos de dversos parámetros Los causados por el tamaño y la complejdad del modelo resultante 3

Desarrollo de un modelo matemátco Procesos poco conocdos Para entender completamente los enómenos íscos y químcos que se producen en un proceso químco es práctcamente mposble. Incluso un aceptable grado de conocmento es a veces muy dícl. Ejemplos típcos podemos nclur: Sstemas de reaccón multcomponente con nteraccones poco conocdas entre los dversos componentes y una cnétca poco conocda e mprecsa. Equlbro termodnámco de vapor-líqudo o líqudolíqudo para sstemas multcomponente Interaccones de transerenca de calor y masa en columnas de destlacón con mezclas no deales de componentes múltples, mezclas azeotrópcas, y así sucesvamente 32

Desarrollo de un modelo matemátco Parámetros conocdos mprecsos La dsponbldad de los valores precsos para los parámetros de un modelo es muy necesaro para cualquer análss cuanttatvo del comportamento de un proceso. Desaortunadamente, esto no sempre es posble. Los ejemplos típcos ncluyen la constante preexponencal de una expresón cnétca de velocdad. Tambén hay que señalar que los valores de los parámetros no permanecen constante durante largos períodos de tempo. Por lo tanto, para el eectvo modelado no solo necestamos valores exactos, sno tambén algunas descrpcones cuanttatva de cómo los valores de los parámetros camban con el tempo. Ejemplo típco de cambo de parámetros son la actvdad de un catalzador y el coecente de transerenca de calor global de los sstemas de transerenca de calor (ntercambadores, reactores con chaqueta, etc.) Cuando no hay valores ables de los parámetros dsponbles, se recurre a los expermentos con el proceso real en un esuerzo para estmar algunos "buenos" valores para ellos. Tamaño y complejdad de un modelo En un esuerzo para desarrollar lo más exacto y precso un modelo matemátco como sea posble, su tamaño y la complejdad aumentan sgncatvamente. 33