L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri. ( 0, ) P( x, y ) c '( -, 0) ( -c, 0) ( c, 0) (, 0) ( 0, - ) P P ' Se l condicion d + d = d (x + c) + y + (x c) + y = (x + c) + y = (x c) + y elevndo l cudrdo (x + c) + y = (x c) + y desrrollndo 4xc = 4 4 (x c) + y grupndo y 4 ((x c) + y ) = xc 4 ((x c) + y ) = ( xc) desrrollndo (x xc + c + y ) = xc + x c xc xc + + = + + = + = x y c grupndo x y c como c xc + xc + = + + = + = + x y x y x y x c grupndo x ( c ) + y = como = c x + y = x y dividiendo + = ecucion de l elipse horizontl con centro en el origen El vlor de = + c es condición de l distncis de culquier punto un punto fijo ( o ), que cumple con el teorem de Pitágors, dems si > implic un elipse horizontl.
Regresr Wikispces Los puntos y ' son los vértices y el segmento ' = eje myor o eje focl = Los puntos y formn el segmento = eje menor o eje no focl = Los puntos y formn el segmento = distnci focl = c L cuerd que ps por un foco y es perpendiculr l eje myo = ldo recto = LR = / ( 0, ) x y + = ( -c, / ) ( c, / ) '( -, 0) ( -c, 0) ( c, 0) (, 0) ( -c, - / ) ( c, - / ) ( 0, - ) Pr un elipse verticl con centro en el origen se tiene que >, cuy gráfic y ecución ordinri es: ( 0, ) x y + = ( - /, c ) ( 0, c) ( /, c ) ' = eje myor o eje focl = = eje menor o eje no focl = ( -, 0) (, 0) = distnci focl = c ldo recto = LR = / ( - /, -c ) ( 0, -c) ( /, -c ) '( 0, - )
Regresr Wikispces Trzr l elipse 9x + 5y - 55 = 0 y clculr su ldo recto. x y 6x + 5y = 400 + = = 5 = 4 c = c = 3 5 6 como 5 es el deno min dor de x => elipse horizontl (4) LR = = = 6.4 (5, 0) '( 5, 0) (3, 0) ( 3, 0) (0, 4) (0, 4) 5 ' Hllr l ecución de l elipse con focos en ( 0, ± 4 ) y un vértice en ( 0, 6 ). el foco est en el eje "y" => elipse verticl x y + = (0, 4) (0, 6) = 6 c = 4 = c = 0 = 4.47 x y + = 36x + 0y = 70 0 36 40 (0, 4.47) (0, 4.47) LR = = 6.66 6 '
L Excentricidd y Directriz de l Elipse Regresr Wikispces L excentricidd, (épsilon) es un prámetro que determin l form de l elipse y se otiene como l relción de l semidistnci focl entre el semieje myor y su vlor est entre cero y uno. c = 0< < L directriz es un rect prlel l eje menor y es considerd como otr lterntiv pr definir l elipse con centro en el origen, est estlece que l distnci de culquier punto P de l elipse uno de sus focos, es un frcción constnte ( ) de l distnci perpendiculr de ese punto P l directriz. P = = d = o d = PD d c ( -c, / ) ( 0, ) P( x, y ) D( /c, y ) '( -, 0) ( -c, 0) ( c, 0) (, 0) x = -d ( -c, - / ) ( 0, - ) x = d Pr el cso de un elipse verticl con centro en el origen se tiene: D y = d c = 0< < ( 0, ± ) ( ±, 0 ) P ( 0, ± c ) LR = / D( x, /c ) y = ± d ( - /, -c ) ( /, -c ) ' y = -d
Hllr l ecución de l elipse de foco el punto ( 0, 6 ) y semieje menor igul 8. Regresr Wikispces c = 6 = 8 = + c = 64 + 36 = 0 (0, ± 0) ( ± 8, 0) 8 c 6 0 LR = = =.8 = = = 0.6 y = ± d = ± = ± = ± 6.6 0 0 0.6 x y x y + = + = 00x + 64y = 6400 64 00 y L excentricidd se trz de los vértices hci el interior. LR LR ' y'
Hllr l ecución de l elipse cuyos focos son los puntos ( ± 4, 0 ) y vertices ( ± 5, 0 ). Regresr Wikispces 8 c = 4 = 5 = (5) (4) = 3 (0, ± 3) LR = = = 3.6 5 c 4 5 x y = = = 0.8 x = ± d = ± = ± =± 6.5 + = 5 0.8 x y + = 9x + 5y = 5 5 9 LR LR ' x' x L excentricidd se trz de los vértices hci el interior. De ls siguientes elipses dig si es verticl u horizontl. 5x + 6y = 400 x + 3y = 9x + 4y = 36 8x + y = 96 3x + 4y = 48 8x + 8y = 7 el denomindor myor est en y, se trt de un elipse verticl el denomindor myor est en x, se trt de un elipse horizontl el denomindor myor est en y, se trt de un elipse verticl el denomindor myor est en x, se trt de un elipse horizontl el denomindor myor est en x, se trt de un elipse horizontl el denomindor myor est en y, se trt de un elipse verticl
L Elipse con centro C( h, k ) Regresr Wikispces En el cso de l elipse con centro en el origen, el punto P( x, y ) tení como coordends pr l scis x = x' + h e y = y' + k, pero h y k = 0, por lo cul er indistinto tomr x' o x de igul form pr y' o y, este cso se nliz como un trslción de los ejes coordendos un nuevo origen, pr un elipse fuer del origen su ecución expresd en su form estándr o segund ordinri de l elipse, es: x' y' x = x ' + h x ' = x h y = y' + k y' = y k + = cso horizontl (x h) (y k) (x h) (y k) + = elipse horizontl + = elipse verticl (h ±, k) (h, k ± ) (h, k ± ) (h ±, k) (h ± c, k ) LR = (h, k ± c) LR = c c = x = h ± d = h ± = c y= k ± d = k ± c C(h, k ) = + c C(h, k ) x' x y ' C C ' y'
Hllr l ecución de l elipse con focos en ( 4, - ), ( 0, - ) y un vértice en (, - ). Regresr Wikispces el centro est l mitd de los focos C( 7, ) h ± = = 5 '(, ) 3 3 h ± c = 4 c = 3 = 4 (7, ) (7, 6) LR = = 6.4 = = 0.6 5 5 (x 7) (y+ ) x = h ± x = 5.333 x ' =.333 + = c 5 6 x' x ' C Hllr l ecución de l elipse con vértices en ( 5, - 3 ), ( 5, 7 ) y con eje no focl igul 6, sí como sus demás elementos. el centro est l mitd de los vertices C( 5, ) k ± = 7 = 5 = = 3 (8, ) (, ) c = 5 9 = 4 y 8 (5, 6) ( 5, ) LR = = 3.6 5 4 5 = = 0.8 y = + = 8.5 5 4 C ' y' (x 5) (y ) y' = 6.5 = 4.5 + = 5 9
L Ecución Generl de l Elipse Regresr Wikispces L ecución generl de l elipse, se otiene desrrollndo l ecución simétric con centro C( h, k ) y se hcen los cmios de vrile necesris. Por convenienci se inici por el cso horizontl. (x h) (y k) + = elipse horizontl (x h) + (y k) = (x xh+ h) + (y yk+ k) = x xh+ h + y yk+ k = 0 x + y xh yk + h + k = 0 si A =, =, D = h E = k y = h + k Ax + y + Dx + Ey + = 0 ecu. Generl D E donde el centro de l elipse C(h, k ) teniendo h = k = A A y deen de ser del mismo signo y si > A => horizontl D E (x h) (y k) Pr el cso verticl es A > y C(, ) + = A sus dems elementos se compor tn igul, como en l form simetric con C(h, k ). Dd l ecución identifique el tipo de elipse y exprésl en su form simétric. 6x + 5y + 60x + 00y + 400 = 0 A = 6 y = 5 => elipse horizontl D 60 E 00 (x + 5) (y + 4) h = = = 5 k = = = 4 + = A (6) (5) 5 6. Dd l ecución identifique el tipo de elipse y exprésl en su form simétric. 3x + y + 4x y + 60 = 0 A = 3 y = => elipse verticl D 4 E (x + 4) (y 3) h = = = 4 k = = = 3 + = A (3) () 3
Regresr Wikispces Determine l ecución generl de l elipse con centro C( 5, ), vértice ( 5, 4 ) y el extremo del eje menor en ( 3, ), sí como sus demás elementos. Es l mism scis del C y, es un elipse verticl: ( x - h ) + ( y - k ) = pr determinr los vlores de y, se hce con el centro, vértice y eje menor, como C( h, k ) ( h, k ± ) ( h ±, k ) como el est por encim de C verticlmente, se tiene que k + = 4 = 4 - = 3 y el extremo est l izquierd de C horizontlmente, por lo cul no es sino ( 3, ), teniendo h - = 3 = h - 3 = 5-3 = pr ( 7, ) 9( x - 5 ) + 4( y - ) = 36 9( x -0x + 5 ) + 4( y -y + ) = 36 9x -90x + 5 + 4y -8y +4-36 =0 9x + 4y - 90x - 8y +93 = 0 A = 9 = 4 como A > => elipse verticl c = - c = 9-4 = 5 c = 5 ( 5, + 5 ) ( 5, - 5 ) LR = (4)/3 = 8/3 = ( 5 )/3 y = + ( 9/ 5 ) y' = - ( 9/ 5 ) y C ' y'
Regresr Wikispces Determine l ecución generl de l elipse con centro C( 5, 4 ), su longitud del eje myor es de 6 y es prlelo l eje horizontl y su longitud del eje menor es de 6, sí como sus demás elementos. Su eje myor es prlelo l eje horizontl, por lo tnto es un elipse horizontl: ( x - h ) + ( y - k ) = pr determinr los vlores de y, se hce con el eje myor y eje menor, como ' = = ' = 6 = = 8 = 6 = = 3 sustituyendo pr otener l ecución: 9( x - 5 ) + 64( y - 4 ) = 576 9( x -0x + 5 ) + 64( y - 8y + 6 ) -576 = 0 9x -90x + 5 + 64y - 5y + 04-576 = 0 9x + 64y - 90x - 5y + 673 = 0 A = 9 = 64 > A horizontl ( 3, 4 ) '( - 3, 4 ) ( 5, 7 ) ( 5, ) c = - = 64-9 = 55 c = 55 ( 5 + 55, 4 ) ( 5-55, 4 ) LR = (9)/8 = 9/4 = ( 55 )/3 x = 5 + ( 64/ 55 ) x' = 5 - ( 64/ 55 ) x' x ' C
Rect Tngente un Elipse Regresr Wikispces El ángulo que formn ls rects L y L en el punto P sore l elipse, tiene como isectriz l rect L que dee cumplir l condición de tener todos sus puntos fuer de l elipse excepto el punto donde se form el vértice, est condición sólo l cumple un rect tngente l curv. Q ( 0, ) L L P L '( -, 0) ( -c, 0) C( 0, 0 ) ( c, 0) (, 0) ( 0, - ) De l definición de l elipse se tiene: d( P ) + d( P ) = como d( Q ) + d( Q ) > d( P ) + d( P ) d( Q ) + d( Q ) > y se cumple que el punto Q est fuer de l elipse. Pendiente de l rect tngente en un punto P( x, y ) de l elipse con centro C( 0, 0 ) si x + y = y = x y y = m(x x ) y = mx mx + y + = sustituyendo "y" de l rect en l elipse (mx mx y ) x desrrollndo + + + = (m x m xx mx y mxy m x y ) x grupndo y fctorizndo en "x" ( m + )x + (m y m x )x + (m x m x y + y ) = 0 por descrimin nte = 0 (m y m x ) 4(m + )(m x m xy + y ) = 0 4 desrrollndo y fctorizndo en "m" ( x )m + ( x y )m + ( 4 y) = 0
Regresr Wikispces 4 4 xy ± (xy) 4( x)( y), 4 ( x) m = como x + y = 0 xy 4 l riz = 0 m = reduciendo y como y = x ( x) l pendiente de l rect tn gente l elipse es : m= x y L ecución de l rect tngente un elipse horizontl, es: x y sustituyendo "m", tenemos y y = (x x ) y y y = x x + x + = + = como x y x x y y ecu. de l rect tn gente + = Pr un elipse verticl, l ecucion de l rect tn gente es : x x y y En este cso nos pueden dr como dto l pendiente o ls coordends del punto de tngenci. Pr el cso de pendiente - ordend l origen, tenemos: si x + y = x + y = 0 y= mx+ K sustituyendo "y" de l rect en l elipse x + (mx + K) = 0 desrrollndo y fctorizndo en "x", tenemos ( + m )x + (m K)x + ( K ) = 0 por descri min nte = 0 (m K) 4( + m )( K ) = 0 desrrollndo y despejndo K, se tiene K = ± + m ordend l origen L ecución de l rect tngente un elipse horizontl, es: como K = ± + m y = mx ± + m ecu. de l rect tn gente Pr un elipse verticl, l ecucion de l rect tn gente es : y = mx ± + m En este cso nos pueden dr como dto l pendiente o l ordend l origen,pr el punto de tngenci.
Regresr Wikispces L ecución de l rect tngente en un punto de l elipse con centro fuer del origen C( h, k ), conociendo el punto P( x, y ), se pueden expresr en form ordinri como: ' ' ' ' yy ' ' xx de l form + = cmindo x = x h y = x k (x h)(x h) (y k)(y k) ' ' x = x h y = y k + = Rect tn gente + = (x h)(x h) (y k)(y k) Rect tn gente un Elipse horizontl pr el cso verticl (x h)(x h) (y k)(y k) + = Rect tn gente + = (x h)(x h) (y k)(y k) Rect tn gente un Elipse verticl Hllr l ecución de l rect tngente l elipse x + 3y = 5 en el punto R(, - ). xx yy + = elipse horizontl = 3 = R(, ) ()x ( )y + = ()()x + (3)( )y = 5 x 3y 5 = 0 3 Hllr l ecución de l rect tngente l elipse 6x + 9y = 44 en el punto R(, (8 )/3 ). xx yy 8 + = elipse verticl = 6 = 9 R(, ) 3 8 ()x ( 3 )y + = (6)()x + (9)( )y = 9 6 54 6x + 9 y 54 = 0 Trce l gráfic de cd ejemplo como comproción de los resultdos.
Regresr Wikispces Hllr l ecución de l rect tngente l elipse 4x + y - 7x + y - 5 = 0 en el punto R(, ). (x h)(x h) (y k)(y k) + = A = 4 = D = 7 E = elipse verticl 7 7 ( )(x ) ( + )(y + ) 7 7 h = = k = = 8 8 + 4 4 = 7x + 40y 8 = 0 (4) 8 () 4 4 Hllr l ecución de l rect tngente l elipse 3x + 4y - 6x + 8y + 6 = 0 en el punto R(, -4 ). (x h)(x h) (y k)(y k) + = A = 3 = 4 D = 6 E = 8 elipse horizontl 6 8 ( )(x ) ( 4 + )(y + ) h = = k = = + = x 4y 9 = 0 (3) (4) 4 3 Trce l gráfic de cd ejemplo como comproción de los resultdos. Dd l elipse 44x + 5y +304x - 50y +64 = 0 encontrr l ecuciones de ls rects con pendiente /5 tngentes l elipse. Dd l elipse 4x + 5y - 8 = 0 encontrr ls ecuciones de ls rects con pendiente tngente l elipse. Trce l gráfic de cd ejemplo como comproción de los resultdos.