Coordinación de Matemática II (MAT) Primer semestre de 3 Semana 9: Lnes 3 de Mao Viernes 7 de Mao CÁLCULO Contenidos Clase : Coordenadas polares: Gráfica de cras. Clase : Cálclo de áreas en coordenadas polares. CLASE. Coordenadas polares Hasta ahora hemos estdiado el sistema de coordenadas cartesianas o rectanglares para localizar pntos en el plano. Eisten otros sistemas de coordenadas qe en determinadas condiciones de simetría presentan entajas respecto a las coordenadas cartesianas. En esta clase estdiaremos el sistema de coordenadas polares... Posición de n pnto en coordenadas polares En el sistema de coordenadas polares n pnto P del plano se representa por n par (r, ) donde r es la distancia del origen (llamado Polo) al pnto dado es el ánglo de inclinación del radio ector OP! con respecto al semieje positio X llamado eje polar. Obseración.. En lo qe sige trabajaremos con el ánglo en radianes. Ejemplo.. En coordenadas polares, el pnto P = (3, /6) es bicado dibjando primero n rao qe parte en el polo qe forme n ánglo = /6 con el semieje positio (Eje polar) lego, sobre dicho radio desde el origen se mide r = 3 nidades. Notar qe el mismo pnto del plano pdo haber sido localizado sando las coordenadas polares (3, /6), más an P = (3, /6 + n ) para n Z.
Etensión de la representación Todo pnto P = (r, ) tiene infinitas representaciones (r, + k ) con k Z (r, ) = ( r, + + k ) con k Z note qe origen es representado por todos los pntos (, ) con R... Fórmlas de transformación Ya qe estamos m familiarizados con las coordenadas rectanglares es útil poder transformar coordenadas polares en rectanglares iceersa. Para obtener fórmlas de transformación obseramos qe el origen es el polo en polares el eje polar es el semieje X positio. Si el pnto P tiene coordenadas polares (r, ) entonces = r cos = r sen estas fórmlas son álidas inclso si r <, n ejercicio podría ser qe al reemplazar las mltiples representaciones de n pnto en polares se obtienen las mismas coordenadas cartesianas. Ejemplo.. Hallar las coordenadas rectanglares del pnto P cas coordenadas polares son:. (8, /3). ( 4,3 /4) 3. (, 5 /3) De las fórmlas de transformación anteriores obtenemos r = + tan = para 6= de esta forma si qeremos obtener la representación polar de n pnto en coordenadas rectanglares, hacer lo mismo qe para obtener la forma polar de n complejo. tenemos qe Obseración.. Si, no es el origen entonces siempre son álidas las fórmlas sen = cos = p + p + Ejemplo.3. Hallar las coordenadas polares del pnto cas coordenadas cartesianas son, = (5, 5). Note qe r = + = 5 ) r = 5 p el pnto esta en el carto cadrante tan = 5 5 = ) = 4 se sige qe el pnto en coordenadas polares es Å 5 p ã Å, = 5 p ã, 4 4 + k con k Z Å = 5 p ã, 4 + + k con k Z MAT (Cálclo)
Ejemplo.4. Considere todos los pntos en coordenadas polares qe cmplen la ecación r = 4 sen transformar a coordenadas cartesianas e identificar s gráfica. Desarrollo: Si mltiplicamos la ecación por r obtenemos pero r = + r sen = se sige r = 4r sen + = 4 es lo qe cmplen los pntos es coordenadas rectanglares, es decir qe es na circnferencia de radio centro (,). Ejemplo.5. Escribir la ecación + + = 4 + = en coordenadas polares.. Gráficas en coordenadas polares Sea f na fnción de na ariable a alores reales (f : D R! R). Definimos el sbconjnto de R de todos los pntos de coordenadas polares (r, ) qe satisfacen la ecación r = f ( ) este conjnto pede ser escrito en coordenadas cartesianas en la forma G = (r cos,r sen ) R : r = f ( ), Dom f = f ( )cos, f ( )sen R : Dom f al conjnto G se le llama gráfica polar de f la ecación qe la origina es llamada ecación polar de f. Ejemplo.6. Considere la fnción constante f ( ) = c entonces la ecación r = c define na circnferencia con centro en el origen de radio c. Note qe la ecación dice son todos los pntos qe están a distancia c del origen sin importar el ánglo. Ejercicio.. A qe corresponde la gráfica de la ecación = c. Ejercicio.. Graficar r = e con R. Para graficar en el plano na ecación en coordenadas polares es coneniente hacer n análisis preio antes de bicar pntos para simplificar la constrcción de la gráfica. En este análisis se consideran las nociones de interceptos, simetrías, etensión. Obseración.3. Como sabemos todo pnto de coordenadas (r, ) coincide con el pnto de coordenadas ( esto se sige qe si la ecación de na cra en coordenadas polares es de la forma entonces la misma ecación tiene las representaciones r = f ( ) ( ) n r = f ( + n ) para n Z. Es por esta razón qe las ecaciones r = r = son la misma circnferencia también la gráfica de r = sen es la misma qe la de r = cos r, + ), de MAT (Cálclo) 3
.. Etensión. Diremos qe la gráfica de la ecación r = f ( ) es acotada si eiste M > tal qe r applem para Dom f esto nos dice qe la gráfica esta encerrada por na circnferencia de radio M. Ejemplo.7. r = 4sen(4 )cos es acotada, más an r apple4 para R. Ejemplo.8. r = e para R es no acotada... Simetría respecto al eje polar La gráfica de na ecación es simétrica respecto al eje polar si al reemplazar por es posible erificar la simetría respecto al eje polar, si al cambiar simltáneamente la ecación polar no aría. También r por r por la ecación no aria. Obseración.4 (importante). Cando decimos qe la ecación r = f ( ) no cambia estamos diciendo qe se obtiene na de ss mltiples representaciones ( ) n r = f ( + n ). Obseración.5. Representar gráficamente las simetría los cambios inolcrados. Ejemplo.9. r = es simétrica respecto al eje polar. (notar qe al reemplazar r por r por obtenemos r = qe es la otra representación de esta circnferencia) Ejemplo.. r = cos( ) es simétrica respecto al eje polar...3 Simetría respecto al eje normal (Eje Y) Si al reemplazar por la ecación polar no aria (o al reemplazar en forma simltánea r por r por ) entonces la ecación es simétrica respecto al eje normal. Ejemplo.. La gráfica de r = 4sin es simétrica respecto al eje polar. También MAT (Cálclo) 4
..4 Simetría respecto al polo Si la ecación polar no cambia al reemplazar r por r (o por + ) entonces la gráfica es simétrica respecto al polo Ejercicio.3. Estdiar las simetrías de r = sen Ejemplo.. Graficar r = + cos Desarrollo:. Note qe r = + cos apple lego el gráfico esta dentro de la circnferencia de radio.. Interceptos. r 3 note qe f ( ) = + cos es periodica de periodo lego se repiten las intersecciones con los ejes. 3. Simetrías: Se erifica qe la gráfica es simétrica solamente respecto al eje polar. Por tanto basta dibjarla en el semiplano sperior. 4. Ahora damos algnos alores de ánglos conocidos con estos datos podemos constrir la gráfica. /6 /3 / /3 5 /6 r + p ä 3/ 3/ (/) p ä 3/.5.5.5.5.5.5.5 Ejercicio.4. Constrir la gráfica de r = sen(3 ) Obseración.6. Para ahorrar trabajo pede enseñar a ss almnos los tipos básicos de ecaciones polares para qe ellos aprendan a identificarlas. Circnferencias, rosas, caracoles, lemniscatas, espirales etc. Se adjnta docmento. MAT (Cálclo) 5
.3 Intersecciones de gráficas en ecaciones polares Como a sabemos na ecación polar r = f ( ) tiene las representaciones ( ) n r = f ( + n ) por lo cal encontrar las intersecciones de dos ecaciones polares r = f ( ) r = g ( ) pede implicar resoler más de n sistema de ecaciones (depende de la cantidad de representaciones de na cra en polares) Ejemplo.3. Hallar los pntos de intersección de lás gráficas de r = cos( ) r = Si a las sabemos identificar sabemos qe son na rosa de 4 pétalos na circnferencia de radio centrada en el origen, por lo qe bscamos 8 pntos de intersección. Al resoler el sistema tenemos de donde r = r = cos( ) = cos( ) = 6, 5 6, 7 6, 6 si samos la representación de la cra r = dada por r = r = r = cos( ) obtenemos de donde así = cos( ) = 3, 3, 4 3 5 3 mestre qe estos son todos los sistemas qe tenemos qe resoler. De esto se obtienen 8 pntos de intersección distintos. MAT (Cálclo) 6
Ejercicio.5. Encontrar la intersección de las gráficas de r = cos r = cos CLASE. Cálclo de áreas en coordenadas polares. Vamos a considerar el problema de hallar el área de na región plana encerrada por la gráfica de na ecación polar por dos raos qe parten desde el origen. Vamos a tilizar para ello smas de Riemann para aproimar el alor eacto del área, sin embargo, esta ez, en lgar de considerar rectánglos emplearemos sectores circlares. r A= r Recordemos qe en n círclo de radio r n sector circlar de ánglo central (medido en radianes) tiene n área de A = r Dada na ecación polar r = f ( ) donde f denota na fnción contina positia definida sobre apple apple la región R de área A encerrada por la gráfica de la ecación r = f ( ) por los raos = = con < qe parten desde el origen. MAT (Cálclo) 7
Consideramos na partición P = = < < n < n = la qe determina n sbinteralos [ k, k ] para k =,,...,n. En cada no de esos interalos seleccionamos n ánglo k arbitrario entonces el área encerrada por la gráfica entre los raos = k = k es aproimadamente igal a f k ää k de esta forma el área total encerrada es aproimadamente A nx k = si f es contina entonces f k ää k lim nx kp k! k = f k ää k = Z f ( ) d Definición.. Sea f :,! R na fnción contina positia. Sea R la región encerrada por la gráfica de la ecación polar r = f ( ) por los raos = =. El área de R es dada por Z A = f ( ) d Ejemplo.. Encontrar el área encerrada por el cardioide r = ( + cos ) Ejemplo.. Encontrar el área encerrada por n pétalo de r = 4sen( ) Ejercicio.. Encontrar el área total encerrada por la lemniscata r = 4sen( ).. Etensión de la fórmla Para calclar el área de la región encerrada por las gráficas de dos ecaciones polares r = f ( ) r = g ( ) por los raos =, = donde < g ( ) apple f ( ) primero calclamos el área maor le restamos la menor es decir Z A = Z = f ( )d Z f ( ) g ( ) ä d g ( )d Ejemplo.3. Hallar el área fera de la cardioide r = ( + cos ) dentro de la circnferencia r = 6cos. Ejemplo.4. Hallar el área común a las dos circnferencias r = sen r = cos. Ejercicio.. Dadas las cras () r = cos(3 ) () r =.. Hallar el área qe encentra en el interior de () eterior a (). Hallar el área qe encentra en el eterior de () e interior a () 3. Hallar el área interior a ambas. MAT (Cálclo) 8
. Coordenadas paramétricas I. Dadas dos fnciones continas f,g : [a,b]! R las ecaciones = f (t ) = g (t ) a apple t apple b son llamadas ecaciones paramétricas. A medida qe t (el parámetro) aría de a hasta b,, en el plano qe se mee qe recorre la cra C =, R : = f (t ), = g (t ) con t [a,b] = f (t ), g (t ) es n pnto llamada cra paramétrica de ecaciones = f (t ) = g (t ) a apple t apple b El pnto (f (a ), g (a )) es llamado pnto inicial el pnto (f (b), g (b)) pnto terminal o pnto final. Si ellos coinciden se dice qe la cra plana C es cerrada. Definición.. Si entre los pntos (f (a ), g (a )) (f (b), g (b)), se erifica qe (f (t ), g (t )) es diferente del pnto (f (t ), g (t )) para todo t t diferentes del interalo ]a,b[ se dice qe la cra plana C es simple. En otras palabras esto epresa qe la cra no se crza a sí misma. Ejercicio.3. Mostrar qe la cra no es simple. Obseración.. Las cras simples peden ser cerradas. = t 3 4t = t 4 Cra cerrada simple Cra cerrada (no simple) Obseración.. Si se elimina el parámetro t del par de ecaciones paramétricas, se obtiene na ecación en e denominada ecación cartesiana de C. Tal eliminación del parámetro (como se aprecia en el próimo ejemplo) pede condcir a na gráfica con más pntos qe aqella definida por las ecaciones paramétricas, razón por la cal se debe precaer a los estdiantes ante esta clase de procedimientos. MAT (Cálclo) 9
Ejemplo.5. Considere las fnciones cosh(t )= e t + e t senh(t )= e t e t. Recerde la sigiente identidad: cosh (t ) senh (t )=. Si se define na cra a traés de = cosht = senht, obtenga na ecación cartesiana dibje la gráfica. Respesta: Usando la identidad presentada se obtiene =. Sin embargo para calqier número real t, cosht nnca es menor qe, por lo tanto la cra definida por las ecaciones paramétricas consiste de sólo los pntos de la rama derecha de la hipérbola. Ejemplo.6. Obtenga na ecación cartesiana de la gráfica de las ecaciones paramétricas = cost = sent apple t apple dibje la gráfica. Desarrollo: Notemos qe + = 4cos t + 4sen t = 4 cos t + sen t cra paramétrica están sobre la circnferencia de centro (, ) radio. = 4 se sige qe los pntos descritos por esta Ejercicio.4. Dado a >, realice n bosqejo de la cra (desde = hasta = 4 a ), llamada cicloide, definida por las sigientes ecaciones paramétricas: = a (t sent ) = a ( cost ).3 Deriación Paramétrica La ecación cartesiana de na cra C definida paramétricamente por {(, ) R : = f (t ), = g (t )} pede obtenerse considerando = F () siempre qe = f (t ) = g (t )=F(f (t )). En este caso, haciendo so de la regla de la cadena, se dedce = d dt = d d d dt ) d d = d dt d dt si d dt 6= Obseración.3. Intencionalmente hemos escrito con dos notaciones diferentes las deriadas anteriores: d d..4 Deriación paramétrica: segndo orden. Para na cra C definida por {(, ) R : = f (t ), = g (t )} se pede obtener = F () si = f (t ) e = g (t )=F (f (t )). Así, del resltado obtenido de la regla de la cadena d d = d/dt d/dt d d = d d dt d d dt : con d dt 6=, se erifica d d d d = dt dt dt dt d 3 = : : si = d ( 3 dt 6= dt MAT (Cálclo)
.4. Ejercicios Tipo Obtener bajo las condiciones. Se pede contar con na epresión para (n)? Encontrar, a partir de las sigientes ecaciones paramétricas: = t t, = 3t t 3 = a cos(t ), = a sen(t ) Sean las cras P P de ecaciones: 8 < P : : = t = p t t > P : ( + + ) 4 = 8 : Verificar qe el ánglo de intersección entre ambas cras es de 9. Hallar d d en el pnto de coordenadas cartesianas (,) si = 3t t, = sent. Respesta: d d = 3 4. Para a >, considere las ecaciones paramétricas qe describen na cicloide, obtenga d/d d /d. = a (t sent ) = a ( cost ) Un móil tiene na traectoria definida por 8 < : (t ) (t ) = = cos t sent apple t apple Encentre la elocidad en el instante qe s componente horizontal es. Qé dirección tiene entonces el moimiento? MAT (Cálclo)
Coordinación de Matemática II (MAT) Primer semestre de 3 Semana 9: Lnes 3 de Mao Viernes 7 de Mao COMPLEMENTO Contenidos Clase : Aplicación a obtención de forma canónica de formas cadráticas. Clase : Secciones cónicas rotadas. CLASE.. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt Teorema. (Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt). Si,,..., m son ectores l.i. en R n, entonces es posible constrir ectores ortogonales,,..., n tales qe para cada k =,,...,m se cmple G ({,,..., k }) = G,,..., k Demostración. Los ectores i se constren sigiendo n análogo a la contrcción de la proección ortogonal = =,. kx k +, j k + = k + j = j j
Ejemplo.. Sean = (3,,4), = ( ectores,,7) 3 = (,9,) en R 3. Aplicando el proceso de gram Schmidt se obtienen los = (3,,4) = (,,7) = ( 4,,3) 3 = (,9,) = (,9,) h(,,7),(3,,4)i k(3,,4)k (3,,4) h(,9,),(3,,4)i (3,,4) 5 h(,9,),( 5 4,,3)i ( 4,,3) Obtenemos así n conjnto ortogonal de ectores qe generan lo mismo qe el conjnto de losectores i. Definición.. Diremos qe na base B = {,,..., n } de n espacio ectorial V es na base ortonormal, si los ectores de la base son ortogonales tienen norma... Diagonalización de materices simétricas En la clase anterior estdiamos el problema de la diagonalización en general, ahora estdiaremos el caso particlar en qe la matriz es real simétrica. Proposición.. Sea A na matriz real simétrica entonces. A tiene todos ss alores propios reales.. Si i 6= i son alores propios de A, los elementos de W i son perpendiclares (con respecto al prodcto pnto) a los elementos de W j (esto se escribe W i? W j ). Demostración. Spongamos qe (A) 6= es n ector propio asociado entonces A =. Denotemos, por abso de lengaje, como al ector colmna ca coordenada (i,) es i. Ahora, sando esta notación, tenemos qe también tenemos qe A ä T = ä T = nx i i = i = A ä T = T A T = () T A T = () T A nx = i. i = nx i i = De las dos igaldades anteriores obtenemos äx n i =. i = MAT (Complemento)
Como 6= se sige =, de donde se obtiene qe R como qeríamos. Para la segnda parte notar qe si A = i A = j entonces, = i, = A, i =,A T =,A =, j, = j de donde se obtiene qe i j ä, = ), =. Teorema.. Sea A na matriz simétrica. Entonces:. A es diagonalizable.. Eiste na base ortonormal de ectores propios asociados a A. 3. La diagonalización pede ser lleada a cabo en la forma VAV T = D donde V es na matriz ortonormal, es decir V T = V ss colmnas son los ectores propios ortonormales D es la matriz diagonal qe tiene los alores propios en s diagonal principal. Idea de la demostración. Para er la diagonalización, no sólo debe obserar qe si B es matriz simétrica E es na matriz elemental fila, entonces la matriz EBE T sige siendo na matriz simétrica. Ahora, obtenida la diagonalización, sabemos qe eiste na base de ectores propios de A (con la cal podemos cosntrir na matriz inertible P tal qe PAP = D, donde D es na matriz diagonal formada por los alores propios de A). Usando el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt la Proposición??, podemos asmir qe tal base es na base ortonormal. Usando esta base, tenemos qe la matriz P es la matriz V bscada. Una consecencia directa del resltado anterior es la sigiente obseración. Proposición.. A es na matriz real simétrica si solo si eiste na matriz ortonormal V na matriz diagonal D tal qe A = VDV T Ejercicio.. Sea B A = @ C A. Determine los alores propios espacios propios asociados.. Verificar qe para alores propios distintos i j se cmple W i? W j 3. Determine na base ortonormal de ectores propios 4. Encontrar na matriz ortonormal V tal qe V T AV = D MAT (Complemento) 3
.3. Formas cadráticas. Al igal como lo hemos hecho anteriormente, escribiremos los ectores de R n como matrices colmnas (por comodidad para mltiplicarlos con las matrices). 3 7 Si! = (,,..., n ) R n, entonces denotamos = 6 4. n 7 5 Definición.. Sea A na matriz real de orden n n. La fnción F A : R n! R : F A! ä = T A R es llamada na forma cadrática en las ariables (,,..., n ). Definición.3 (clasificación de formas cadráticas). Sea A na matriz real de orden n n F A! ä = T A s forma cadrática asociada.. La forma cadrática F A es definida positia si: 8! R n {! } =) F! ä >.. La forma cadrática F A es definida negatia si: 8! R n {! } =) F! ä <. 3. La forma cadrática F A es semidefinida positia si: 8! R n {! } =) F! ä. 4. La forma cadrática F A es semidefinida negatia si: 8! R n {! } =) F! ä apple. 5. Si la forma cambia de signo (es decir, para algnos ectores esta asigna alores negatios para otros alores esta asigna alores positios), entonces decimos qe F A es indefinida. Ejemplo.. Sean las sigientes matrices de orden : Entonces: A =, B =. F A (, )= + es definida positia.. F B (, )= ( + ) es definida negatia. 3. F C (, )= es indefinida. 4. F D (, )= es semidefinida positia. 5. F E (, )= es semidefinida negatia., C = A =,D =.E =. MAT (Complemento) 4
Ejemplo.3. Formas cadráticas en R.Si entonces a A = c F A (, )= ä a b c d b d, = a + d + (b + c). Por otro lado, si b + c A + A T a B = = B C @ b + c A, d entonces F B (, )= ä b + c a B C @ b + c A = a + d + (b + c) = F A (, ). d Lego, dada la matriz A hemos encontrado na simétrica B = ä A+A T con FA = F B. Teorema.3. Sea A na matriz de orden n n. Si B = ä A+A T, entonces FA = F B. Demostración. En efecto, primero notamos qe como T A R, entonces T A =( T A) T = T A T. Lego, tenemos la igaldad A + A T A = T T Ejemplo.4. La forma cadrática + 3 manera 3 + + 3 + 3 3 pede escribirse en forma matricial de la sigiente 3 CB C A@ A 3 äb 3 @ Es decir, la forma cadrática anterior corresponde a la matriz B A = @ 3 C A. Usando A + A T B = = B @ 3 T C A B + @ 3 emos qe esta forma cadrática también corresponde a la matriz simétrica B @ 3 3 C A C A B = @ 3 3 C A MAT (Complemento) 5
Como toda matriz simétrica es diagonalizable, no tiene el sigiente resltado. Teorema.4. Sea A na matriz de orden n n consideremos s forma cadrática asociada F A : R n! R. Entonces eiste na matriz ortonormal V (de orden n n) de manera qe F A (! )= bf,,..., n = nx i = i i, donde = V. La forma cadrática bf es llamada la forma canónica asociada a F A. Los alores,..., n son los alores propios (repitiendolos según la mltiplicidad algebraica de cada no de ellos) de la matriz simétrica (A T + A)/. Demostración. Sea A na matriz de orden n n F A s forma cadrática. Hemos isto qe A se pede reemplazar por la matriz simétrica B =(A T + A)/ para segir teniendo F A = F B. Lego, podemos sponer qe A a era simétrica (o bien la reemplazamos por B). Ahora, bajo el spesto qe A es simétrica, sabemos qe A pede escribirse en la forma A = V T DV, donde V T = V. Lego donde = V. F A (! )= T A = T V T DV = (V) T D (V) = T D = bf (! ) Obseración.. Haciendo so de la forma canónica es fácil analizar si es definida positia, negatia, indefinida etc. CLASE.. Secciones cónicas rotadas Definición.. Una ecación cadrática en las ariables, es na ecación de la forma a + b + c + d + e + f = donde a,b,c,d,e, f son números reales al menos no de los coeficientes a,b,c es no nlo. Podemos escribir la ecación cadrática a + b + c + d + e + f = en forma matricial ä a b b c + d e ä + f =. Si ponemos a A = b b c, X = K = d e ä MAT (Complemento) 6
entonces la ecación cadrática se escribe en la forma X T AX + KX+ f = note qe X T AX es la forma cadrática F A disctida anteriormente. Utilizando diagonalización para matrices simétricas, siempre es posible rotar los ejes de coordenadas de tal manera qe la ecación con respecto al neo sistema no tenga términos en. Se procede de la sigiente manera: Bscamos na matriz ortonormal V (lego na rotación) qe diagonalice A, es decir, V T AV = D, con D diagonal. Utilizamos la transformación de coordenadas = V Encontramos la ecación de la cónica en el neo sistema en la forma T A + K T V AV + KV T V T AV + KV + f = + f = + F =. Como V diagonaliza a A se tiene V T AV = donde son los alores propios de A (contados con ss mltiplicidades algebraicas). De esta forma la ecación de la cónica qeda, en las ariables, como + + d + e + f =. Obseramos qe en la ecación anterior no ha términos en como qeríamos. Ejemplo.. Dada la ecación cadrática 5 4 + 8 + p 5 8 p 5 + 4 =, encontrar na base en R de tal forma qe se peda escribir la ecación sin términos se peda identificar de qe cónica se trata. Desarrollo: La forma matricial de la ecación cadrática es X T AX + KX+ f = donde A = 5 8, K = 8 p p, f = 4 X = 5 5 MAT (Complemento) 7
Primero encontramos los alores propios de A: se sige = 4 = 9. Ahora bscamos los ectores propios asociados: 5 8 = 3 + 36 = Para = 4 se tiene 4 esto es G = Para = 9 4 lo qe es eqialente a G. Estos dos ectores son ortogonales. Como k(,)k = p 5 = k( =,)k, la matriz ortonormal qe diagonaliza a A es V = B @ p p5 5 p p5 5 C A Lego, procedemos con el cambio de coordenadas = B @ p p5 5 p p5 5 C A Sstitendo se obtiene T V T AV + KV + f =. En este caso T 4 9 8 + p p B 5 5 @ p p5 5 p p5 5 C A + 4 =. Es decir qe corresponde a la elipse 4 + 9 8 36 + 4 = ( ) ( ) + = 9 4 MAT (Complemento) 8
4 4 Obseración.. Es posible realizar el mismo procedimiento para ecaciones cadráticas en tres o más ariables.... Ejercicios propestos En cada no de los sigientes ejercicios, encentre na base ortonormal de R las ecaciones de rotación correspondientes qe permiten escribirla en la forma canónica e identifiqe la cónica qe representa.. 4 + 8 =. + + + 8 + = 3. 5 + 4 + 5 = 9 4. 9 4 + 6 = 5 5. 3 8 3 64 = 6. 4 4 8 = 4 MAT (Complemento) 9