Uiversidad Nacioal de Sa Jua Facultad de Igeiería Departameto de Electróica y Automática RESPUESTA EN FRECUENCIA DE SISTEMAS LINEALES, INVARIANTES EN EL TIEMPO. Cátedra:. Carreras: Igeiería Electróica y Bioigeiería. Autores: Ig. Mario Alberto Perez. Ig. Aalía Perez Hidalgo. Dra. Bioig. Elisa Perez Bereguer.
RESPUESTA FRECUENCIAL - Itroducció. Ya se ha ivestigado la respuesta de compoetes y sistemas a varios tipos de etradas e el domiio temporal. Se vio que la fució respuesta c t cotiee dos térmios, u térmio trasitorio la solució complemetaria y u térmio de estado estacioario o costate la solució particular, obteidos ambos por la solució de la ecuació del sistema, cuado es aplicada ua excitació e la etrada. El presete capítulo se dedicará al estudio de la respuesta e estado estable de compoetes y sistemas cuado sea excitados por ua señal seoidal de amplitud fia pero co ua frecuecia que varía e u cierto rago. Este cocepto se ilustra e la figura, e la cual u sistema lieal es excitado por ua señal se t b se t + φ. a, la respuesta es [ ] Figura. La forma de las odas de etrada y salida se ilustra e la figura. Figura. Este resultado obteido cocuerda totalmete co lo ya visto como solució particular de u sistema cuado era excitado por ua señal armóica de la forma r t H set, dode H es la amplitud costate y la frecuecia agular de etrada, estado el sistema e estado estacioario. Para el caso de u sistema de primer orde la solució particular era: - -
K H c t se t φ arctg + T φ Como se ve, tato la amplitud de la respuesta c t como la fase so ambas fucioes de la frecuecia de la etrada, lo que corrobora lo dicho ateriormete. El siguiete gráfico ilustra lo que se acaba de mecioar: - - Figura 3. Es comú e el aálisis frecuecial que el iterés se cetre e el estudio de las siguietes relacioes: a La relació de amplitud b a la desiga como M., que se la deomia relació de magitud y se b El águlo de fase φ. U águlo de fase egativo recibe el ombre de retardo de fase, y u águlo de fase positiva es deomiado adelato de fase. Se tratará ahora la determiació de iformació sobre la respuesta a la frecuecia, de u modo aalítico, auque tales datos se puede obteer experimetalmete si el sistema existe. Las medicioes de respuesta e frecuecia e geeral so simples y puede ser efectuadas co exactitud usado geeradores de señal seoidales fácilmete obteibles y equipos de medició precisos. Frecuetemete se puede determiar experimetalmete, las fucioes trasferecia de compoetes complicados e prueba de respuesta de frecuecia. Además, el método de respuesta de frecuecia tiee la vetaa de que se puede diseñar u sistema de maera que los efectos del ruido ideseable sea despreciables, y de que ese aálisis y diseño pueda extederse a ciertos sistemas de cotrol o lieales. Obteer la respuesta frecuecial es importate puesto que proporcioa medios coveietes para obteer la respuesta e el estado estable pera cualquier sistema lieal sueto a ua señal seoidal. Tambié está relacioado ítimamete co el método de aálisis frecuecial que se verá más adelate. El procedimieto simple para obteer la respuesta a la frecuecia, coteido e cuatro pasos, es el siguiete: - Se obtiee la fució de trasferecia para el compoete o sistemas a aalizar. Es decir:
C s F s R s Dode C s es la trasformada de la salida y R s la trasformada de la etrada, y dode se ha despreciado todas las codicioes iiciales porque se vio o afectada la respuesta e estado estable. - E la fució de trasferecia se sustituye s por. La ustificació de esta sustitució se hará más adelate. 3 - Para varios valores de la frecuecia, se determia la relació de magitud M y el águlo de fase φ. 4 - Se grafica los resultados de 3 e coordeadas polares o rectagulares. Estas gráficas o solamete sa medios coveietes para presetar los datos de respuesta a la frecuecia, sio que tambié so la base para los métodos de aálisis y diseño que se verá e capítulos posteriores. Auque la respuesta de frecuecia de u sistema de cotrol de ua image cualitativa de la respuesta trasitoria, la correlació etre frecuecia y respuestas trasitorias, es idirecta, excepto e el caso de sistemas de segudo orde. Al proyectar u sistema de lazo cerrado, se puede austar la característica de respuesta de frecuecia, usado diversos criterios de diseño para obteer características de respuesta trasitoria aceptables. Ua vez etedida la correlació idirecta etre diversas medicioes de la respuesta trasitoria y la respuesta de frecuecia, puede utilizarse vetaosamete el método de respuesta de frecuecia. El diseño de u sistema de cotrol basado e este procedimieto, se fuda e la iterpretació de las características de respuesta a la frecuecia. Este aálisis de u sistema de cotrol, idica gráficamete qué modificacioes hay que hacer e la fució de trasferecia de lazo abierto para obteer las características deseadas de respuesta trasitoria. Lógicamete se podría hacer la preguta de por qué es ta importate el aálisis de la respuesta de sistemas a ua señal seoidal, cuado e la práctica, los sistemas de cotrol raramete está expuestos a señales armóicas. La respuesta es que la iformació obteida por el aálisis seoidal puede usarse para establecer la aturaleza de la respuesta a ua gra variedad de señales. Además, el aálisis es coveiete para maearlo matemática y experimetalmete. - 3 -
- Justificació de la Sustitució de s por. Ya se ha visto que para realizar el aálisis frecuecial es ecesario sustituir s por e la fució de trasferecia. Esta sustitució será ahora ustificada. El procedimieto cosistirá e trabaar co ua fució de trasferecia geeral, obteiedo primero la respuesta e el estado estable a ua señal seoidal usado la trasformada de Laplace, y después haciedo la sustitució de s por. Si ambas solucioes resulta idéticas la sustitució es válida. Se supoe ua fució de trasferecia geeral co u umerador N s y u deomiador D s. C s N s F s R s D s La señal de etrada será ua seoide co amplitud igual a uo se t. La trasformada de R s es: s + ; por lo tato: N s N s N s C s R s D s s + D s s + s D s Hay que recordar que todas las codicioes iiciales puede despreciarse porque éstas o afecta la respuesta e el estado estable. Desarrollado e fraccioes parciales: C s C + C + C 3... s + s + s + r s + r s + r + C + + C 3 s +,., so factores de D s. Para u sistema estable los C3 trasitorios desaparece o sea las trasformadas iversas de se s + r aula coforme t y la respuesta e el estado estable es: Dode s + r, r C t SS t Ce + C e t Las costates C y C se determia por el método: 4 C N s lim S r D s s + r o sea para este caso: C N s D s s + r C N s s + N s + s D D s S r S - 4 -
- 5 - D N C 5 D N s s s s D s N C S + + + D N C 6 Como alterativa, la fracció D N puede expresarse de la siguiete forma: B A D N + 7 B A D N 8 Dode A y B so úmeros reales y so fucioes de la frecuecia. Por lo tato: [ ] A B C y [ ] A B C + Sustituyedo estos valores e la ecuació 4: [ ] [ ] t t SS e B A e B A t C + + + 9 t t t t SS e B e A e B e A t C + + + 0 + + t t t t SS e e B e e A t C t B t se A t C SS cos + La respuesta e estado estable se ve que está compuesta por ua seoide más ua coseoide. La suma de estas dos odas se lleva a cabo por adició vectorial como se muestra e la figura 4.
Figura 4. Aquí u vector o fasor de magitud A se cosidera que esta girado e direcció cotraria a las maecillas del relo co ua frecuecia. La proyecció de este vector sobre el ee imagiario produce la seoide requerida. U vector de magitud B se muestra adelatado 90 co respecto al primer vector, su proyecció sobré el ee imagiario produce la coseoide requerida, Los dos vectores puede reemplazarse par u solo vector de magitud: A + B Y águlo de fase: B φ arc. tg A Por lo tata la 0 puede escribirse como: C SS t A + B se t + φ Dode: B φ arc. tg A Hay que recordar que la señal de etrada era ua seoide ca amplitud uitaria Por tato, la relació de magitud, es decir el cociete etre las amplitudes de salida y etrada es: M A + B 3 Y el águlo de fase: B φ arc. tg 4 A Debe recoocerse que el águlo de fase tambié puede ser egativo. - 6 -
Habiedo completado la solució usado trasformada de Laplace, falta demostrar que el mismo resultado puede tambié puede obteerse directamete haciedo la sustitució de s por e: Cs Ns C N A B Rs Ds R D + 5 C A + B se t+ φ R M A + B 6 B φ arctag A 7 Que es el mismo resultado obteido ateriormete, ahora co meos esfuerzo. - 7 -
3- Respuesta de Frecuecia a partir de los Diagramas de Polos y Ceros. Se puede determiar gráficamete la respuesta de frecuecia a partir de los diagramas de polos y ceros de la fució de trasferecia. Sea la siguiete fució de trasferecia: Gs Ks + z ss + p 8 Dode p y z so reales. Se puede obteer la respuesta e frecuecia de esta fució de trasferecia de la relació: G K + z s + p 9 Los factores + z, + p so magitudes compleas como puede verse e la figura 5. Figura 5: Determiació de la respuesta de frecuecia e el plao compleo. La amplitud de G es: G K + z + p 0 KAP G OP BP - 8 -
Y el águlo de fase de G es: G + z + p G arc tag 90º arc tag z p 3 G φφ φ 4 Dode los águlos φ, φ y φ está defiidos e la figura 5. Se hace otar que se defie como setido positivo para la medició de águlo a la rotació ati horaria. Del aálisis de la respuesta trasitoria de los sistemas de lazo cerrado, se sabe que u par de polos compleos cougados cercaos al ee produce u modo altamete oscilatorio de la respuesta trasitoria. E el caso de la respuesta frecuecial, u par de polos así ubicados ha de producir ua respuesta de pico elevado. Sea, por eemplo, la siguiete fució de trasferecia: K Gs s+ p + s+ p 5 Dode p y p so compleos cougados como se ve e la figura 6. Se puede hallar la respuesta e frecuecia de esta fució de trasferecia. Figura 6: Determiació de la respuesta e frecuecia e el plao compleo. G K + p + p 6-9 -
K G 7 AP BP G φ φ 8 Dode los águlos φ y φ está defiidos e la figura 6. Como AP BP es muy pequeño e la cercaía de, G es muy grade. De maera que u par de polos compleos cougados cerca del ee ha de producir ua respuesta de frecuecia de pico elevado. Iversamete, si la respuesta de frecuecia o es de picos elevados, la fució de trasferecia o ha de teer polos compleos cougados cerca del ee. Ua fució de trasferecia así o ha de presetar respuesta trasitoria altamete oscilatoria. Como la respuesta e frecuecia idirectamete describe la posició de los polos y ceros de la fució de trasferecia, se puede estimar las características de respuesta trasitoria del coocimieto de sus características de respuesta de frecuecia esto se etederá más claramete cuado se estudie el cocepto de estabilidad relativa. - 0 -
4- Especificacioes e el Domiio Frecuecial. Se ha puesto de maifiesto ateriormete que la iformació que se busca e el aálisis de u sistema de cotrol es ormalmete la respuesta temporal. Si embargo, e geeral, la respuesta temporal es difícil de obteer aalíticamete a causa de la catidad de cálculos que implica. Por cosiguiete, la respuesta frecuecial de u sistema de cotrol se obtiee a meudo por medio de métodos gráficos represetacioes polares y rectagulares tales como los diagramas de Nyquist y Bode que se estudia más adelate y luego, la iterpretació del comportamieto del sistema e el domiio temporal se basa e las relacioes etre ambos domiios, temporal y frecuecial. El puto de partida para el aálisis e el domiio frecuecial es la fució de trasferecia. Para u sistema de cotrol co realimetació uitaria, la fució de trasferecia de lazo cerrado es: C s R s G s 9 + G s E codicioes de régime siusoidal, s, la ecuació 9 se covierte e: C G M 30 R + G Cuado M se escribe e forma de amplitud y fase, se tiee: M M φ 3 Dode: m G M 3 + G Y φm G + G 33 El sigificado de M e u sistema de cotrol es similar a la gaacia o amplificació de u amplificador electróico. E u amplificador de audiofrecuecia, por eemplo, el criterio ideal de proyecto es que el amplificador tega ua curva de gaacia plaa para las audiofrecuecias. E los sistemas de cotrol, si embargo. La situació ideal e alguas ocasioes es que la salida siga a la etrada e todo istate o, simplemete, que el módulo de M sea igual a la uidad para todas las frecuecias. Pero e la expresió de la ecuació 3 se ve que M solo pede ser igual a la uidad cuado G es ifiito o, e otras palabras, la gaacia del sistema debe ser ifiita para todas las frecuecias. Esto es imposible de coseguir e la práctica y además o es coveiete puesto que la mayoría de los sistemas de cotrol resulta iestables para valores elevados de gaacia. Además, - -
todos los sistemas de cotrol está suetos a ruidos, es decir, además de respoder a la señal de etrada los sistemas debe ser capaces de rechazar y suprimir los ruidos y las señales ivolutarias. Esto sigifica que, e geeral, la respuesta e frecuecia de u sistema de cotrol debe de teer u puto de corte característico y, alguas veces ua bada pasate o o pasate característica. Figura 7: Comparació de las características de magitud y fase de u filtro pasa bao ideal a y de u sistema de cotrol típico b La característica de fase de la respuesta e frecuecia tiee tambié su importacia. La situació ideal es que la fase sea ua fució lieal de la frecuecia detro de la bada de la señal de etrada. La figura 7 represeta las características de gaacia y de fase de u filtro pasa bao ideal, imposible de realizar físicamete. Las características típicas de amplitud y fase de u sistema de cotrol está dibuadas e la figura 7b. Se ve que la gaacia dismiuye al crecer la frecuecia. Ello es debido a los efectos de las iercias e iductacias de los sistemas físicos, por lo que toda respuesta cesa cuado la frecuecia tiede a ifiito. Las especificacioes más usadas de las características de u sistema de cotrol e el domiio frecuecial so las siguietes; - Acho de bada. El acho de bada, A. B., se defie como la frecuecia a la cual el módulo de M vale el 70.7 % del ivel a frecuecia cero o 3 db por debao del ivel de frecuecia ula figura 8. E geeral, el acho de bada idica les características de filtrae de ruido del sistema. El acho de bada da, tambié, ua mecida de las propiedades de la respuesta trasitoria. U acho de bada largo idica, ormalmete, que las señales de alta frecuecia pasará a la salida. Es decir, la respuesta trasitoria debe de teer u tiempo de subida rápido acompañado de u amplio rebase. - -
Por el cotrario, si el acho de bada es chico, solo pasará las señales de baa frecuecia; por cosiguiete, la respuesta temporal será leta. - Factor de resoacia M r. Se defie como el valor máximo de M, que proporcioa además idicació de la estabilidad relativa del sistema. Si se recuerda la figura 0 y como se verá más adelate, cuado se estudió el diagrama de Bode de u sistema de segudo orde se obtiee distitas curvas de respuesta para distitos valores de δ.es evidete que a valores elevados de M correspode amplios rebases de la respuesta temporal. r Cuado se proyecta se admite, geeralmete, que el valor oprimo de estar compredido etre. y.5. M r debe Figura 8: Curva de amplitud de u sistema. 3 Frecuecia de resoacia r. Es la frecuecia para la que se produce el factor de resoacia. 4 - Razó de corte. A meudo para frecuecias elevadas es importate la razó de corte de la curva de respuesta, e frecuecia, puesto que idica la capacidad del sistema para distiguir la señal de ruido. Si embargo, las características de corte agudo se acompañadas ormalmete de valores elevados de M, lo que sigifica que el sistema es poco estable. r 5 - Marge de amplitud y Marge de fase. Estas dos catidades que so ua medida de la estabilidad relativa de u sistema. Será defiidos más adelate cuado se estudie los diagramas de Bode y Nyquist. - 3 -
4.- Especificacioes E El Domiio Frecuecial Para U Sistema De Segudo Orde E u sistema de segudo orde, el factor de resoacia M r y la frecuecia de resoacia depeder, úicamete riel coeficiete de amortiguamieto δ r y de la frecuecia atural si amortiguamieto del sistema. Si se cosidera la fució de lazo cerrado de segudo orde: M 34 + δ + M 35 + δ Al utilizar la frecuecia reducida expresió: u, el módulo de M toma la M u 36a u + δu Y la fase de M : δu M : φ m u tg 36b u La frecuecia de resoacia se determia derivado M u co respecto a u e igualado a cero, es decir: M u u [ ] 3 3 u + δu 4u 4u + 8uδ 0 37 De dode: 3 4u 4u + 8uδ 0 38 Por cosiguiete: u 0 39 Y u u r r δ 40-4 -
La solució dada e la ecuació 39 idica meramete que la pediete de la curva M vale cero para 0 0; o es u máximo. De la ecuació 40 se obtiee la frecuecia de resoacia que vale: r δ 4 Evidetemete, la ecuació 4 es válida solamete para δ o δ 0. 707, puesto que de otra maera r sería imagiario. Esto sigifica simplemete que para todos los valores de δ > 0. 707 o hay resoacia o M r e la curva M e fució de. La curva M es iferior a uo para todos los valores de > 0 si el coeficiete de amortiguamieto es mayor que 0.707 Sustituyedo la ecuació 40 e la 36a y simplificado se obtiee: M r 4 δ δ Es importate observar que M r es fució de δ solamete, mietras que r es fució de y δ. Las figuras 9 y 0 represeta respectivamete las curvas de M r y de u r e fució de δ. Figura 9: M r e fució de δ para u sistema de segudo orde. - 5 -
Figura 0: u r e fució de δ para u sistema de segudo orde. E resume se observa que a medida que el factor de amortiguamieto δ tiede a cero, la frecuecia de resoacia tiede a r. Para 0 < δ < 0. 707, la frecuecia de resoacia es meor que la frecuecia atural co amortiguamieto d r δ, que aparece e la respuesta trasitoria. Para δ > 0.707 o hay pico resoate, la amplitud de G decrece moótoamete cuado la frecuecia crece. Esto sigifica que o hay pico e la curva de respuesta para δ > 0. 707 La amplitud es meor que 0 db para todos los valores de > 0. Debe recordarse que para 0.707 < δ <, la respuesta escaló es oscilatoria, pero las oscilacioes so muy bie amortiguadas y apeas perceptibles. Cuado δ tiede a cero M r tiede a ifiito. Esto sigifica que si el sistema o amortiguado es excitado a su frecuecia atural, la magitud de G se hace ifiito. Se puede obteer el águlo fase de G, a la frecuecia que se produce el pico de resoacia. δ G tg 43 δ - 6 -
5 - Gráficas Polares Como se había mecioado ateriormete, para varios valores de se obtiee los valores de M y φ los que podía ser graficados e coordeadas polares o rectagulares. Se verá a cotiuació la primera de estas formas de represetació frecuecial. El diagrama polar de ua fució de trasferecia seoidal G es u diagrama de la amplitud de G e fució del águlo de G e coordeadas polares al variar desde cero a ifiito. Se hace otar que e los diagramas polares, se mide u águlo 'de fase positivo egativo e setido atihorario e setido horario desde el ee positivo real. El diagrama polar frecuetemete recibe el ombre de diagrama de Nyquist. E la figura hay u eemplo de ese diagrama. Cada puto del diagrama polar de G represeta el puto termial de u vector pera u valor determiado de. E el diagrama polar es importate mostrar la graduació de frecuecia sobre el diagrama. Las proyeccioes de G e los ees real e imagiario so sus compoetes real e imagiario. Tato la amplitud G como el águlo de fase G debe ser calculados directamete para cada frecuecia para peder costruir los diagramas polares. Si embargo, como el diagrama rectagular logarítmico que se verá posteriormete es fácil de costruir, la iformació ecesaria para trazar el diagrama polar puede ser obteida directamete del diagrama logarítmico si se dibua previamete aquél y se covierte decibeles e ua magitud ordiaria usado la figura 33. Figura. - 7 -
Pera dos sistemas coectados e cascada la fució de trasferecia total de la combiació, e ausecia de efectos de carga, es el producto de las dos fucioes de trasferecia idividuales. Si se ecesita la multiplicació de dos fucioes de trasferecia seoidales, esta puede lograrse multiplicado las fucioes de trasferecia seoidales e cada frecuecia realizado la multiplicació co álgebra complea. Es decir, si: G G G Etoces: G G G 44 Dode: G G G 45a G G + G 45b E la figura se muestra el producto de G. G Figura. E geeral, si se desea u diagrama polar de G. G es coveiete trazar u diagrama logarítmico de G. G y luego covertirla e u diagrama polar - 8 -
e lugar de dibuar los diagramas polares G y de G multiplicado estos dos e el plao compleo. Ua vetaa de usar u diagrama polar es que preseta las características de respuesta de frecuecia de u sistema e todo el rago de frecuecias e u úico diagrama. Ua desvetaa es que el diagrama o idica claramete las cotribucioes de cada uo de los factores idividuales de la fució de trasferecia de lazo abierto. 5.- Factores Itegral Y Derivativo ±. El diagrama polar de G es el ee imagiario egativo, pues: G 90º 46 El diagrama polar de G es el ee positivo imagiario, pues: G 90º 47 ± 5.- Factores De Primer Orde + T Para la fució de trasferecia seoidal: + T + T G tg T 48 Los valores de G e 0 y so respectivamete: T G 0 0º 49 Y G T 45º Al teder a ifiito: 50 G 0 90º 5 El diagrama polar de esta fució de trasferecia es ua semicircuferecia al variar la frecuecia desde cero a ifiito, como se ve e la figura 3a. El cetro está ubicado e 0.5 sobre el ee real y el radio es igual a 0.5. - 9 -
Figura 3. a: Diagrama polar de + T, b: Diagrama de G e el plao x-y. Para probar que el diagrama polar es ua semicircuferecia se defie: G X + Y 5 Dode: X + T Parte real de G 53 Y T + T Parte imagiaria de G 54 Etoces se obtiee: X + Y T + T T + + T 55-0 -
Etoces e el plao x-y, G es u círculo co cetro e X/; Y0 y co u radio igual a / como puede verse e la figura 3b. La semicircuferecia iferior correspode a 0 y la semicircuferecia superior correspode a 0. El diagrama polar de la fució de trasferecia + T es simplemete la mitad superior de la líea recta que pasa por el puto,0 e el plao compleo y paralelo al ee imagiario, como puede verse e la figura 4. El Diagrama polar de + T tiee u aspecto totalmete diferete al de + T. Figura 4: Diagrama polar de + T Si: G T T tg T + + 56 Para 0 : G 0 0º 57 Para : G 90º 58 5.3- Factores Cuadráticos + δ + Las porcioes de alta y baa frecuecia del diagrama polar de la fució de trasferecia seoidal siguiete: ± - -
G δ > 0 + δ + Está dadas respectivamete por: 59 lim G 0º y lim G 0 80º 0 El diagrama polar de esta fució de trasferecia seoidal comieza e 0º y fializa e 0 80º al aumetar desde cero a ifiito. Así, la porció alta frecuecia de G es tagete al ee real egativo. Figura 5. Los valores de G e el rago de frecuecias de iterés puede ser catalogados directamete. E la figura 5, hay eemplos de diagramas polares de la fució de trasferecia recié aalizada. La forma exacta de u diagrama polar depede del valor de la relació de amortiguamieto δ, pues la forma geeral es la misma, tato para el caso subamortiguado 0< δ < como para el caso sobreamortiguado δ >. Para el caso subamortiguado e se tiee G δ y el águlo de fase es - 90. Por tato, se puede ver que la frecuecia a la cual el lugar G itersecta al ee imagiario es la frecuecia atural o amortigua da. E el diagrama polar, el puto de frecuecia cuya distacia desde el - -
orige es máxima, correspode a la frecuecia de resoacia r. Se obtiee el valor pico de G como la relació etre el módulo del vector a la frecuecia de resoacia y el módulo del vector e 0. Se idica la frecuecia de resoacia e el diagrama polar como puede verse e la figura 6. Figura 6: Diagrama polar que muestra el pico de resoacia y la frecuecia de resoacia Para el caso sobreamortiguado, cuado δ es bastate mayor que la uidad el lugar de G se aproxima a ua semicircuferecia. Se puede ver esto del hecho de que para u sistema fuertemete amortiguado, las raíces características so reales y es ua mucho más pequeña que la otra. Como para u valor de δ suficietemete grade el efecto de la raíz más grade e la respuesta se hace muy pequeña, el sistema se comporta como u sistema de primer orde. Para la fució de trasferecia seoidal: r G + δ + δ G + 60a 60b La porció de baa frecuecia de la curva es: lim G 0º 6 0-3 -
Y la porció de alta frecuecia es: lim G 80º 6 Como la parte imagiaria de G es positiva para > 0 y es moótoamete creciete; la parte real de G es moótoamete decreciete desde la uidad, la forma geeral del diagrama polar de G de la ecuació 60a es como puede verse e la figura 7. El águlo de fase está etre 0 o y 80. Figura 7: Diagrama polar de G + δ + Eemplo : Sea la siguiete fució de trasferecia de segudo orde: Gs sts + Trazar u diagrama polar para esta fució de trasferecia. E primer lugar se escribe la fució de trasferecia seoidal: T G T T T + + + El tramo de baa frecuecia de la curva es: lim G T 90º 0 El tramo de alta frecuecia de la curva es: lim G 0 0 0 80º - 4 -
E la figura 8 se muestra la forma geeral del diagrama polar G.El diagrama de G es asitótico a la recta vertical que pasa por el puto - T, 0. Como esta fució de trasferecia ivolucra itegració s, la forma del diagrama polar difiere sustacialmete de las fucioes de trasferecia que o tiee itegració. 5.4- Retardo De Trasporte. Figura 8. Alguos elemetos e los sistemas de cotrol se caracteriza por su tiempo muerto o retraso de trasporte, durate el cual o da salida a la señal de etrada que se les haya aplicado; hay u periodo muerto de iactividad que demora la trasmisió de la señal recibida. La figura 9 muestra el diagrama de bloques del elemeto demorador. Figura 9. La figura 0 idica la salida ct rt T. ut T que tiee la misma forma que la etrada, pero demora u tiempo T. La demora es ua característica o lieal que, afortuadamete, puede ser represetada por su trasformada de Laplace. Así: Cs st Gs e 63 Rs - 5 -
Figura 0. T G e 64 Puede ser escrito: G cost set 65 Como el módulo G es simple la uidad y el águlo de fase varía liealmete co, el diagrama polar del retardo de trasporte es u círculo de radio uitario, como puede verse e la figura. Figura : Diagrama polar del retardo de trasporte. - 6 -
A frecuecias baas, el retardo de trasporte T y el retardo de primer orde + T se comporta e forma similar, lo que puede verse e la figura. e Figura : Diagramas polares de T e y + T T e Los diagramas polares de y + T so tagetes etre sí e 0. Puede verse esto del hecho que para T : T e T y T + T Si embargo, para T ; hay ua diferecia esecial etre + T como puede verse tambié e la figura. T e Eemplo : Obteer el diagrama polar de la siguiete fució de trasferecia L e G + T Se puede escribir: L G e + T y - 7 -
El módulo y el águlo de fase so respectivamete: L G e. + T + T Y L G e + + T L tg T Figura 3. Como el módulo dismiuye desde la uidad e forma moótoa y el águlo de fase tambié dismiuye moótoa e idefiidamete, el diagrama polar de la fució de trasferecia dada es ua espiral, como puede verse e la figura 3. 5.5- Formas Geerales De Los Diagramas Polares Los diagramas polares de ua fució de trasferecia de la forma G G K + Ta + Tb λ + T + T...... m m + b + + a +... 66 0... b 67 a 0 Dode el grado del poliomio deomiador es mayor que el del deomiador, tedrá las siguietes formas geerales: - 8 -
- Para λ 0 o sistemas de tipo 0: el puto de iiciació del diagrama polar que correspode a 0 es fiito y está sobre el ee positivo real. La tagete al diagrama polar e 0 es perpedicular al ee real. El puto termial que correspode a, está e el orige y la curva coverge al orige y es tagete a uo de los ees. - Para λ o sistemas tipo : el térmio e el deomiador cotribuye -90 al águlo de fase total de G para 0. E 0, el módulo de G es ifiito y el águlo de fase es -90. A frecuecias baas, el diagrama polar es asitótico a ua líea paralela al ee imagiario egativo. E, el módulo se hace cero y la curva coverge al orige y es tagete a uo de los ees. 3 - Para λ o sistemas tipo : el térmio e el deomiador cotribuye -80 al águlo de fase total de G para 0. E 0, la amplitud de G es ifiita y el águlo de fase es igual a -80. E baas frecuecias, el diagrama polar es asitótico a ua líea recta paralela al ee real egativo. E, el módulo se hace cero y la curva es tagete a uo de los ees. E la figura 4, se ve las formas geerales de las porcioes de baa frecuecia de los diagramas polares de los sistemas tipo 0, tipo y tipo. Se puede ver que si el arado del poliomio deomiador de G es mayor que el del umerador, los lugares de G coverge al orige e setido horario. E, los lugares so tagetes a uo u otro de los ees, como se ve e la figura 5. Figura 4: Diagramas polares de sistemas tipo 0, tipo y tipo. - 9 -
Para el caso e que los grados del poliomio umerador y deomiador de G so iguales, el diagrama polar comieza a ua distacia fiita sobre el ee real y fializa e u puto sobre el ee real. Figura 5: Diagramas polares de fucioes de trasferecia co diámica de umerador. Se hace otar que cualquier forma complicada de las curvas de los diagramas polares es causada por la diámica del umerador, es decir, por las costates de tiempo del umerador de la fució de trasferecia. E la figura 6 se ve eemplos de diagramas polares de fucioes de trasferecia co diámica de umerador. Figura 6: Diagramas polares de fucioes de trasferecia co diámica de umerador. - 30 -
Al aalizar sistemas de cotrol, hay que determiar co exactitud el diagrama polar de G e el rago de frecuecias de iterés. E la tabla se aduta distitos diagramas polares para diversas fucioes de trasferecia. - 3 -
Factor Lugar Polar de la Respuesta a + Ts b + Ts c Ts, T s d Ts, T s e + Ts como g, co δ f + Ts + Ts como g, co δ > g + Ts + T s T Tabla. - 3 -
5.6 - El Efecto De Factores + Ts E El Numerador De La Fució De Trasferecia. La curva polar de la respuesta de frecuecia de ua fució de trasferecia como la de la figura 7, está situada totalmete e el cuarto cuadrate, co u atraso de fase que se aproxima a 90 co frecuecias de etrada muy elevadas. Figura 7: Represetació polar de K + Ts La gráfica para u simple sistema de segudo orde, figura 8, ocupa el tercero y cuarto cuadrate, co u águlo de fase que se aproxima a -80 para frecuecias de etrada muy elevadas. Figura 8: Represetació polar de u sistema de segudo orde. El lugar de la respuesta a la frecuecia de u sistema simple de tercer orde cuya fució de trasferecia sea: C s R s H s 68 + T s + T s + T s 3 O - 33 -
C s R s H s 69 + T s + T s + T s Ocuparía el segudo, tercero y cuarto co u águlo de atraso que se aproxima a -70 para frecuecias de etrada muy elevadas como se ilustra e la figura 9a. Figura 9. Esto idica que cada factor + Ts e el deomiador de la fució de trasferecia cotribuye co u atraso de fase que se aproxima a 90 para altas frecuecias, llevado a la gráfica a ocupar u cuadrate adicioal e el setido horario. Se vio que u factor + Ts e el umerador, expresado e forma polar, tiee u águlo de fase positivo asociado a él, por eemplo: C s C + Ts + R s R T Que tiee ua relació de magitud y fase: M + T 70 7 φ tg T 7 Y por lo tato su característica de frecuecia ocupa el primer cuadrate del gráfico polar, como se ve e la figura 9b. La fase positiva de u factor + Ts es llamada fase de adelato, y se aproxima a 90 para altas frecuecias. La adició de u factor de adelato de fase + Ts a ua fució de trasferecia coteiedo factores de atraso de fase, afecta la relació de magitud de la misma, y más sigificativamete, la fase. - 34 -
El efecto es dismiuir el atraso de fase debido a los factores e el deomiador. Esta acció puede ser ilustrada cosiderado la fució de trasferecia: + T s + T s + T s C s G s 73 KR s 3 Si el factor + T s o figurara, el lugar de la respuesta de frecuecia ocuparía el tercer y cuarto cuadrate. La adició de + T s e el umerador cambia la relació de magitud, y reduce la fase para ua frecuecia particular de acuerdo a: φ φ φ φ3 Dode: φ tg φ tg φ tg 3 T T T 3 Por lo que el factor e el umerador tiede a restrigir el lugar al cuarto cuadrate solamete. Los valores relativos de T, T y T 3 dicta si el lugar está totalmete cofiado al cuarto cuadrate, o si se extiede e el primer y/o tercer cuadrate. E el caso límite, cuado T T o T 3, la fució de trasferecia se reduce a la forma: C s G s 74 KR s + Ts La cual ocupa solamete el cuarto cuadrate. Cada factor e el umerador de la fució de trasferecia actúa compesado o cotrarrestado u factor similar e el deomiador, y por lo tato actúa para restrigir el lugar de la respuesta de frecuecia polar a u cuadrate meor que es idicado por los factores e el deomiador. Eemplo 3: U sistema tiee la fució de trasferecia: K + Ts + T s + T s C s 75 R s 3-35 -
- 36 - Dode: seg T seg T seg T K 0.04 0. 0. 0 3 Establecer la característica de respuesta del sistema e forma polar. Para el aálisis de respuesta de frecuecia de estado estacioario, s es reemplazado por, por lo tato: 3 0 T T T R C + + + 76 La cual es ua relació de úmeros compleos vectores de la forma R Q P, dode: 3 T R T Q T P + + + E otació polar, la magitud y águlo de cada uo es: 3 3,,, T tg T R T tg T Q T tg T P + + + Y la relació de magitud es: 3 0 T T T R C M + + + 77 Y la fase: 3 T tg T tg T tg φ 78 Reemplazado T, T y 3 T por sus valores:
0 + 0.0 + 0.04 + 0.006 C M 79 R φ tg 0. tg 0. tg 0. 04 80 Para varios valores de [ rad seg], se puede obteer la siguiete tabla: 0 5 0 5 0 30 40 50 00 M 0 9.7 8,4 5,5,6 9,75 8,6 6,7 5,4 4,54,4 0 φ 0-8, -5, -30-40 -46-5 -59,5-65 -69-76 -90 Tabla. La figura 30 muestra la represetació polar de la fució de trasferecia propuesta. Figura 30: Represetació polar de 0 + T + T + T 3 5.7 - El Efecto De Los Ceros Y Polos E El Orige E La Fució De Trasferecia. Ua fució de trasferecia puede coteer factores de la forma: ; Ts Ts etc. O bie Ts ; Ts ; etc. Tales factores aparecerá frecuetemete e los modelos matemáticos de los sistemas de cotrol a estudiar, y se los cooce co el ombre de ceros y polos e el orige de la fució de trasferecia. Si se cosidera el polo simple e el orige: - 37 -
G s Ts Para el aálisis de respuesta e frecuecia: G 8 T Dode, e forma polar: G 8 + T T T T φ 0 tg tg tg 90º 83 0 0 Lo que idica que produce u atraso de 90 para todas las frecuecias, por lo tato la respuesta de frecuecia está sobre el ee de los 70-90 o Además para, G y para, G 0 El lugar del polo simple es mostrado e la figura 3a. Se puede demostrar e forma similar que el polo doble e el orige s T tiee lugar de la respuesta de frecuecia polar que comieza e para 0 sobre el ee de 80-80 y prosigue a lo largo de este ee hacia el orige cuado tiede a aumetar, alcazado el mismo para, el lugar del polo doble e el orige está mostrado e la gráfica 3 b. Figura 3: a Gráfica polar de st, b Gráfica polar de s T - 38 -
Cuado se tiee u cero simple e el orige Ts, la represetació frecuecial es u fasor compleo co parte real e igual a cero, y por lo tato el lugar está a lo largo del ee imagiario. G s Ts G T 84 G T T 85 φ tg T tg + 90º 86 0 La fase será etoces + 90 para cualquier valor de. Además para 0, G 0 0 y para, G, tal gráfica se muestra e la figura 3. 5.8 - Trazados Polares Iversos. Figura 3: Gráfica polar de Ts Los trazados polares vistos ateriormete se los cooce co el ombre de traza dos polares directos. Los trazados polares directos tiee ciertas desvetaas e sistemas que tiee elemetos diversos e el lazo de realimetació, deado de ser ésta uitaria. E estos casos se ha ecotrado que es mucho más secillo para el aálisis gráfico el empleo de trazados polares iversos que preseta ciertas vetaas. Este trazado se obtiee represetado el fasor de: G 87 G E fució de la frecuecia. - 39 -
6 - Gráficos Rectagulares. 6. - Itroducció. Los resultados obteidos al realizar el aálisis frecuecial, puede ser graficados e coordeadas rectagulares. La relació de magitud M y el águlo de fase φ se grafica cotra la frecuecia. Es ormal y coveiete hacer los gráficos cotra 0 log E el caso de los águlos de fase φ se usa ua escala lieal, de modo que la gráfica de φ cotra se hace e papel semilogarítmico. E el caso de la relació ce magitud M puede graficarse de dos formas: se puede tomar log M, e cuyo caso la gráfica de M cotra se hace e papel log-log; o puede expresarse M e decibeles, ua uidad logarítmica, y graficarse sobre ua escala lieal o sea, sobre papel semilogarítmico. El caso más comú de gráfica rectagular es la que emplea M e decibeles, porque permite graficar e la misma hoa tato M y φ cotra log ; esta gráfica es coocida co el ombre de diagrama de Bode 0 y se estudiara e el próximo apartado. Se defiirá ahora, ya que será de uso permaete e todo el estudio que se realizará, la uidad logarítmica coocida como decibel. El uso del térmio decibel, se debe a que la relació de magitud fue empleada e pricipio como gaacia e los amplificadores electróicos, los cuales tuviero sus primeras aplicacioes e la amplificació de señales eléctricas para su coversió e soidos audibles El oído humao respode a los estímulos e ua escala logarítmica. Si M es ua magitud y m es dicha magitud e decídeles db, etoces: m 0log M 0 [ m] db 0 Eemplos: M m0log 00 0 db M0 m0log 00 l 0 db M00 m0log 000 40 db M0. m0 log 0.0- l -0 db M0. m0log 0.0-0,099-3,98 db La coversió de magitud a db se facilita por el uso de gráficos y tablas. E la figura 33 se muestra u gráfico que permite covertir úmeros e decídeles. - 40 -
Se puede hacer otar que dado u úmero, el recíproco tiee el mismo úmero de decibeles pero co el sigo opuesto. Así el valor e decídeles de es +6 db y el de 0,5 será de 6 db. Cuado u úmero se duplica, su valor e decibeles aumeta e 6 db. El úmero es el doble de, y su valor logarítmico es 6 decibeles mayor. El úmero 00 es el doble de 00, y su expresió logarítmica 6 db mayor. Cuado u úmero hace 0 veces mayor su expresió logarítmica aumeta e 0 db. El úmero 00 es diez veces mayor que 0 y su expresió logarítmica es 0 db mayor que la de 0. El úmero 00 es cie veces mayor que, su expresió loga rítmica es 40 db mayor. 0 0 Decibeles, db 0-0 -0-30 -40 0-0 - 0 0 0 Números Figura 33: Recta de coversió úmeros-decibeles. - 4 -
6. - Diagrama de Bode. El aálisis y la predicció del comportamieto diámico de sistemas estudiado su respuesta a la frecuecia puede llevarse a cabo usado gráficas e coordeadas rectagulares, aparte de las gráficas polares ya estudiadas. Otra vez, las catidades a estudiar so las relacioes de magitud y fase de la respuesta a la frecuecia de lazo cerrado más adelate, cuado se estudie el capitulo de estabilidad de compoetes y sistemas, se verá la utilidad de la represetació frecuecial de la fució de trasferecia de lazo abierto, U diagrama logarítmico o de Bode es ua represetació de respuesta a la frecuecia que costa de dos gráficos: uo que da la amplitud e fució de la frecuecia diagrama de ateuació de Bode y otro el águlo de fase e fució de la frecuecia. El trazado del diagrama de ateuació se realiza e papel semilogarítmico, colocado e ordeadas el módulo de la amplitud de la fució de trasferecia a represetar e decibeles y e abscisas el logaritmo de la frecuecia. El trazado del diagrama de fase se realiza tambié e papel semilogarítmico colocado e la ordeada la fase de la fució de trasferecia a represetar e grados y e abscisas el logaritmo de la frecuecia. La vetaa pricipal de usar el diagrama de Bode e lugar de la gráfica e coordeadas polares radica e la mayor facilidad de la costrucció de las gráficas. Los sistemas de cotrol está compuestos, a meudo, por compoetes que so aproximados por bloques que tiee fucioes de trasferecia formadas por costates, K, itegracioes, s, difereciacioes, s, costates de tiempo, ± s δ + ± ± Ts, y factores cuadráticos, + s. El diagrama de Bode permite la superposició sistemática de los efectos de los diferetes elemetos tomados idividualmete. Además, los diagramas de ateuació de Bode y las gráficas del águlo de fase puede obteerse a partir del aálisis experimetal de la frecuecia de los compoetes para los que o se cooce las fucioes de trasferecia reales. Las gráficas puede usarse para establecer las relacioes de trasferecia reales de s. Es tambié útil la represetació logarítmica de Bode, porque preseta las características de alta y baa frecuecia de la fució de trasferecia e u solo diagrama. Es muy vetaoso el poder expadir el rago de baas frecuecias utilizado ua escala logarítmica de frecuecias, ya que a frecuecias baas so muy importate las características de los sistemas utilizados debido al uso de escala de frecuecia logarítmica es imposible trazar las curvas de hasta frecuecia cero; si embargo esto o crea u problema importate. Se verá a cotiuació los coceptos teóricos de diagrama de Bode, icluyedo su costrucció, además del aálisis experimetal de la respuesta frecuecial. E el próximo capítulo, cuado se estudie los coceptos de estabilidad de sistemas y compoetes, se estudiará el uso e el aálisis de estabilidad a los diagramas de Bode. - 4 -
6.3- Coceptos Básicos Sobre los Diagramas de Ateuació de Bode. La vetaa de los trazados logarítmicos es que las operacioes de multiplicació y divisió se covierte e otras de suma o resta y que el trabao para obteer la represetació frecuecial es más bie gráfica que aalítica. Los factores básicos que usualmete aparece e las fucioes de trasferecia puede ser aproximados por asutotas, para ua primer estimació y luego se traza la curva exacta para ua mayor exactitud. Como ya se ha visto ateriormete, la fució de trasferecia de u sistema resultate de reemplazar s por es, e geeral, u úmero compleo. El logaritmo eperiao, base e, de u úmero compleo es, a su vez, otro úmero compleo: l l φ φ [ M e ] l M + l e 88 φ [ M e ] l M + φ 89 El logaritmo del úmero compleo e φ M tiee ua parte real igual al logaritmo eperiao de la magitud l M y ua parte imagiaria igual al águlo φ expresado e radiaes. Ambos compoetes so fució de la frecuecia. De igual forma, el logaritmo decimal, base 0, de u úmero compleo es tambié otro úmero compleo: log log φ φ [ M e ] log M + log e 90 φ [ M e ] log M + 0.434φ 9 Como podía preverse, la parte real es igual al logaritmo decimal de la magitud, log M, y la parte imagiaria es 0.434φ, empleádose e el resto de este estudio solamete la parte proporcioal igual a φ omitiédose, por tato, el factor 0,434. Tambié se puede llegar a igual coclusió siguiedo la teoría de la variable complea que establece que el logaritmo de u úmero compleo es otro úmero compleo. Si es: M α + β 9 Será etoces: [ φ π ] log M log R + + 93 Para,, Y dode: - 43 -
- 44 - β α + R y α β φ tg El águlo π esta presete debido a la existecia de posibilidades de teer el vector e el mismo lugar sobre el plao compleo. Nuevamete, el logaritmo de M está compuesto por dos fucioes de, la parte real: log R y la parte imagiaria: φ e cotra del logaritmo de. Si se admite que ua forma geeral de expresar la fució de trasferecia de u sistema cotrolado es la siguiete relació de valores reales y compleos: D D N N K M 94 Etoces ahora siguiedo los axiomas de logaritmos: log log log log log log D D N N K M + + 95 [ ] log log log log log log φ φ φ φ D D N N K M D D N N + + + + + + + 96 [ ] log log log log log log φ φ φ φ D D N N K M D D N N + + + + 97 Como se sabe la suma de varios úmeros compleos es otro úmero compleo dode la parte real es la suma de todas las partes reales de los compleos sumados y la parte imagiaria la suma de las partes imagiarias de los compleos sumados. Esta relació se puede usar ahora para obteer las dos gráficas completas que represeta el log M. Estas Gráficas será: log log log log log log D D N N K M + + 98 Y φ φ φ φ φ D D N N + 99 La uidad comúmete empleada e el estudio de sistemas realimetados para el logaritmo del módulo es el decibel. Por lo que la ecuació 98 se puede expresar e decibeles multiplicado ambos miembros por 0:
0log M 0log K + 0log N 0log D 0log D + 0log N 00 Las gráficas de las ecuacioes 99 y 00, so los diagramas de Bode. Como puede observarse ahora se evidecia la secillez de graficar u diagrama de ateuació de Bode. Las operacioes de multiplicació y divisió se ha covertido e adició y sustracció. El procedimieto es calcular, o buscar e gráficas o tablas, los valores e decibeles para cada uo de los factores de M, para valores específicos de y combiarlos algebraicamete. Como ya se había visto, hay varias maeras de graficar el logaritmo de M. Se adoptará el método siguiete de ahora e más: se graficará el log M expresado e decibeles cotra e papel semilogarítmico. La ordeada será etoces 0log M graficada e divisioes uiformemete espaciadas, mietras que la abscisa es, graficada e ua escala proporcioal al logaritmo. El úmero de ciclos logarítmicos ecesarios e la abscisa se determiará por el rago de frecuecia sobre el cual se va a ivestigar el sistema. La parte imagiaria φ se graficará tambié e papel semilogarítmico, colocado e ordeadas φ e grados y e la abscisa e ua escala proporcioal al logaritmo. Es coveiete mecioar e este apartado que hay dos uidades para expresar badas de frecuecias o cocietes de frecuecias: la octava y la década. Ua octava es ua bada de frecuecias de a, e la que. Así la bada de frecuecias etre a c/s es ua octava de acha, y la bada de a 4 c/s tiee tambié ua octava de acha, lo mismo ocurre e la bada de 7.4 a 34,8 c/s. Nótese que ua octava o correspode a u acho de bada fio sio que depede del marge de frecuecias cosiderado. El úmero de octavas e u marge de frecuecias, desde a viee dado por: Figura 34. log 0 úmero de octavas log log log úmero de octavas log log log 0-45 -
Por lo que: log log octavas 03 3.3 log octavas 04 Ua década es ua bada de frecuecia desde a 0. Dode uevamete es cualquier frecuecia. La bada de frecuecias de a 0 c/s o de,5 a 5 c/s tiee u acho de bada de ua década, el úmero de décadas etre dos frecuecias y se calcula del siguiete modo: Figura 35. log úmero de décadas log log log úmero de décadas log log log0 log décadas 05 Se puede ahora obteer la relació etre octavas y décadas etre dos frecuecias de las ecuacioes 04 y 05. º de octavas 3.3 log º de décadas log O sea: úmero de octavas 3,3 úmero de décadas 06-46 -
Estas relacioes etre frecuecias será usadas más adelate, cuado se dibue los diagramas de Bode aproximados por asítotas. Eemplo 4: Trazar el-diagrama de Bode para la fució de trasferecia de lazo abierto del sistema de la figura 36. Figura 36. La fució de trasferecia de lazo abierto es: B s 00 G s ya que se ve e la figura que H s E s s s + 0 Para realizar el aáisis frecuecial se reemplaza s por : G 00 + 0 El siguiete paso es ormalizar esta fució de trasferecia, lo que se obtiee dividiedo por 0 el umerador y deomiador. G 0 + 0. Etoces será: 0. 0 log G 0 log0 0 log 0 log + π φ 0 arc tg 0. Que so las expresioes de la parte real e imagiaria del logaritmo de la ecuació 97. E la siguiete tabla se obtiee valores para el logaritmo del módulo e db y la fase de las ecuacioes 98 y 99 para varios valores de. - 47 -
0 log G db φ grados 0-0 0 0-90 -5.7-95.7 5 0-3,98-5,0-90 -6.6-6.6 0 0-0 - 3-3 -90-45 -35 0 0-6 - 7-3 -90-63.4-57.4 50 0-34 4-8 -90-78.7-68.7 Tabla 3 Los diagramas de ateuació y de águlo de fase se da el la figura 37. La ordeada de la izquierda está e db para la gráfica de ateuació y la ordeada de la derecha está e grados. El ee de 0 db coicide co el de fase de -80º. Figura 37. - 48 -
6.4- Trazado Asitótico De Los Diagramas Logarítmicos De La Magitud Y Fase. Simplificacioes Al Establecer Los Diagramas De Bode. Las fucioes de trasferecia frecueciales puede poerse e forma geeralizada como el cociete de dos poliomios: + T + T K... M K M 07 δ + T a + + m E el que K es la gaacia. Como se sabe, el logaritmo de esta fució de trasferecia tedrá ua parte real proporcioal al logaritmo del módulo y ua parte imagiaria proporcioal al águlo. 0log M 0log K + 0log + T + m0log + T +... δ 08.. 0log 0log + Ta 0log + +... M K + + T + m + T +... δ + Ta + Ta + +... 09 Las dos ecuacioes ateriores sugiere que el logaritmo de M podría graficarse sobrepoiedo las cotribucioes de cada uo de los factores de M. El proceso de establecer los diagramas de ateuació y fase de Bode, puede simplificarse y hacerse más rápido e virtud de que los factores de la fució de trasferecia que se ecuetra usualmete, se de la forma de los mostrados e la ecuació 07. El logaritmo de cada uo de estos factores, cuado se grafica separadamete cotra el logaritmo de la frecuecia, preseta ciertas características: Co u coocimieto del comportamieto de cada factor, es posible costruir u diagrama de Bode aproximado para ua M dada trazado las curvas para cada factor y sumado las curvas idividuales gráficamete porque sumar logaritmo de gaacias, correspode a multiplicarlas etre sí. Se puede simplificar aú más el proceso de obteer el diagrama logarítmico utilizado aproximacioes asitóticas a las curvas de caca factor. Es posible, como se verá, austar el diagrama asitótico para que de la gráfica real co el uso de factores de correcció simples. El primer paso para simplificar el trazo de los diagramas de Bode, es aalizar el comportamieto de cada uo de los factores iterviietes e la ecuació 07. - 49 -
6.4..- Diagrama De Bode De Ua Costate K La gaacia costate K puede pesarse como u úmero compleo co parte imagiaria ula. La parte real puede ser u úmero positivo o egativo que represeta u vector de magitud K y que se ecuetra sobre el ee real. Debido a que K es idepediete de. El diagrama de ateuació de Bode es ua recta horizotal. El águlo de fase es 0 si K es positivo y -80 si K es egativo. U úmero mayor que la uidad tedrá u valor e decibeles mayor que cero, mietras que u úmero meor que la uidad tedrá u valor egativo e decibeles. El efecto de variar la gaacia K e la fució de trasferecia, es que sube o baa la curva de logaritmo de magitud de la fució de trasferecia e el valor costate correspodiete, pero o tiee efecto e el águlo de fase. La figura 38, muestra los diagramas de ateuació y fase para u valor de K mayor que la uidad. 40 35 30 5 Amplitud, db 0 K [db] 5 0 5 0 0 0 0 0 Frecuecia, rad/s - 50 -
0.8 0.6 0.4 0. Fase, Grados 0-0. -0.4-0.6-0.8-0 0 0 0 Frecuecia, rad/s Figura 38: Diagrama de Bode para ua costate K 6.4..- Diagrama De Bode De Factores Derivativos E Itegral ± ceros y polos e el orige Los diagramas de ateuació y águlo de fase para u elemeto itegrador o u elemeto difereciador so rectos. Se cosiderará e primer lugar el diagrama de ateuació e decibeles cotra el lazo. Para ua itegració: 0log 0log 0 Y para ua difereciació: 0log 0log Coro se ve ambas ecuacioes so represetacioes de rectas. La pediete de estas rectas se obtiee derivado las ecuacioes ateriores respecto a log, es decir: 0log log ± ± 0 db - 5 -
Luego e coordeadas rectagulares, a u icremeto uitario de log le correspoderá u icremeto de ± 0 db. Por otro lado u icremeto uitario de log es equivalete a u cambio de a 0, de 0 a 00, etc. e la escala logarítmica. Luego la pediete de estas rectas es ± 0 db / década. La figura 39 represeta las pedietes de u factor itegral y de u factor derivativo. 40 30 0 0 Amplitud, db 0-0 -0 / -30-40 0-0 0 0 0 Frecuecia, rad/s Figura 39: Diagrama de ateuació de factores itegrativos y derivativos. Si el orde del factor itegrativo o derivativo es mayor que uo, etoces se tedrá: ± 0log ± 0log 3 Que es tambié la ecuació de ua recta cuya pediete será: 0log log ± ± 0 db 4 O sea que la pediete será de ± 0 db / década. - 5 -