Slide 1 Uiversidad Diego Portales Facultad de Ecoomía y Negocios Martes 13 de Abril, 2010 Slide 1 Slide 2 Capítulo 4 Itroducció a la Probabilidad Temas Pricipales: Experimetos, Reglas de Coteo, y Asigació de Probabilidades Evetos y sus Probabilidades Alguas Relacioes Básicas de Probabilidad Probabilidad Codicioal Teorema de Bayes Slide 2 Slide 3 Probabilidad Probabilidad es ua medida umérica de qué ta factible es que u eveto ocurra. Los valores probabilísticos so siempre asigados e ua escala de 0 a 1. Ua probabilidad cercaa a 0 idica que u eveto es muy poco factible, co pocas posibilidades de ocurrir. Ua probabilidad cercaa a 1 idica que se trata de u eveto muy posible, que su ocurrecia es casi segura. Ua probabilidad de 0.5 idica que la ocurrecia de dicho eveto tiee ua factibilidad igual tato de que ocurra como de que o ocurra. Slide 3
Slide 4 Probabilidad como ua medida umérica de la factibilidad de ocurrecia Se icremeta la posibilidad de ocurrecia Probabilidad: 0.5 1 La ocurrecia del eveto tiee las mismas posibilidades de ocurrir como de o ocurrir. Slide 4 Slide 5 U Experimeto y su Espacio Muestral U experimeto es cualquier proceso que geera resultados bie defiidos. El Espacio Muestral de u experimeto es el cojuto de todos los resultados posibles. U puto muestral es u elemeto del espacio muestral que tiee u resultado experimetal bie defiido. Slide 5 Slide 6 Ejemplo: Iversioes Bradley La firma Bradley ha ivertido e dos accioes, Markley Oil y Collis Miig. Bradley ha determiado que los resultados posibles de dichas iversioes e los próximos 3 meses so: Gaacia o Pérdida e los Próximos 3 meses (e $000) Markley Oil Collis Miig 10 8 5-2 0-20 Slide 6
Slide 7 Reglas de Coteo para Experimetos e varias Etapas Si u experimeto cosiste e ua secuecia de k etapas o pasos e los cuales existe 1 resultados posibles para la primera etapa, 2 resultados posibles para la seguda etapa, y así sucesivamete, etoces el úmero total de resultados experimetales posibles está dado por ( 1 )( 2 )... ( k ). Ua herramieta muy útil para la represetació de u experimeto e etapas es u diagrama de árbol. Slide 7 Slide 8 Ejemplo: Bradley Ivestmets Ua Regla de Coteo para Experimetos de Varias Etapas Las iversioes Bradley Ivestmets puede ser vistas como u experimeto e dos etapas; dado que ivolucra a dos tipos de accioes, cada uo de ellos co u cojuto de resultados experimetales. Markley Oil: 1 = 4 Collis Miig: 2 = 2 Número Total de Resultados Experimetales: 1 2 = (4)(2) = 8 Slide 8 Slide 9 Ejemplo: Iversioes Bradley Diagrama de Árbol Markley Oil Collis Miig Resultados (Etapa 1) (Etapa 2) Experimetales Gaa 10 Pierde 20 Gaa 5 Par Gaa 8 (10, -2) Gaa $8,000 Pierde 2 Gaa 8 (5, 8) Gaa $13,000 Pierde 2 Gaa 8 Pierde 2 (0, -2) Pierde $2,000 Gaa 8 (-20, 8) Pierde $12,000 Pierde 2 (10, 8) Gaa $18,000 (5, -2) Gaa $3,000 (0, 8) Gaa $8,000 (-20, -2) Pierde $22,000 Slide 9
Slide 10 Reglas de Coteo para Combiacioes Otra regla útil os permite cotabilizar el úmero de resultados experimetales cuado objetos tiee que ser seleccioados a partir de u cojuto de N objetos. Número de combiacioes de N objetos tomado cada vez N N C N!!( N )! Dode N! = N(N - 1)(N - 2)... (2)(1)! = ( - 1)( - 2)... (2)(1) 0! = 1 Slide 10 Slide 11 Reglas de Coteo para Permutacioes Ua tercera regla útil para cotabilizar os permite cotar el úmero de resultados experimetales cuado seleccioamos objetos a partir de u cojuto de N objetos, e dóde el orde de selecció es importate. Número de Permutacioes de N objetos tomado cada vez P N N N!! ( N )! Slide 11 Slide 12 Asigado Probabilidades Método Clásico Asigar las probabilidades basados e el supuesto de que los resultados so igualmete factibles. Método de Frecuecia Relativa Asigar las probabilidades basados e la experimetació o e datos históricos. Método Subjetivo Asigar las probabilidades basados e el juicio de la persoa que se ecuetra tomado las decisioes. Slide 12
Slide 13 Método Clásico Si u experimeto tiee posibles resultados, este método asigará ua probabilidad de 1/ a cada resultado posible. Por Ejemplo: Experimeto: Tirar u dado Espacio Muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilidades: Cada puto del espacio muestral tiee 1/6 probabilidad de ocurrecia. Slide 13 Slide 14 Ejemplo: Arriedo de Herramietas Lucas Método de Frecuecia Relativa Lucas quiere asigar probabilidades al úmero de pulidoras de piso que arrieda por día. Registros previos idica las siguietes frecuecias de retas diarias e los 40 días ateriores: Número de Número de Pulidoras Retadas Días 0 4 1 6 2 18 3 10 4 2 Slide 14 Slide 15 Ejemplo: Arriedo de Herramietas Lucas Método de Frecuecia Relativa La asigació de probabilidad so dados dividiedo las frecuecias del úmero de días por la frecuecia total (úmero total de días) Número de Número Pulidoras de Días Probabilidad 0 4.10 = 4/40 1 6.15 = 6/40 2 18.45 etc. 3 10.25 4 2.05 40 1.00 Slide 15
Slide 16 Método Subjetivo Cuado las codicioes ecoómicas y las circustacias de ua compañía cambia rápidamete, puede ser iapropiado asigar probabilidades basados simplemete e datos históricos. Podemos etoces usar cualquier dato dispoible así como uestra experiecia e ituició, pero al fial ua probabilidad debe expresar uestro grado de creecia de que u resultado experimetal ocurrirá. Los mejores estimados de la probabilidad de u eveto so, e muchos casos, obteidos mediate ua combiació de estimacioes usado los métodos clásicos o relativos, co los métodos subjetivos. Slide 16 Slide 17 Ejemplo: Iversioes Bradley Aplicado el método subjetivo, u aalista realizo las siguietes asigacioes de probabilidad. Resultado Ga/Pérd. Neta Probabilidad ( 10, 8) $18,000 Gaa.20 ( 10, -2) $8,000 Gaa.08 ( 5, 8) $13,000 Gaa.16 ( 5, -2) $3,000 Gaa.26 ( 0, 8) $8,000 Gaa.10 ( 0, -2) $2,000 Pierde.12 (-20, 8) $12,000 Pierde.02 (-20, -2) $22,000 Pierde.06 Slide 17 Slide 18 Evetos y su Probabilidad U Eveto es ua colecció de putos muéstrales. La probabilidad de cada eveto es igual a la suma de las probabilidades de los putos muéstrales detro del eveto. Si somos capaces de idetificar todos los putos muéstrales y asigar ua probabilidad a cada uo de ellos, etoces podemos calcular exactamete la probabilidad de ocurrecia de u eveto. Slide 18
Slide 19 Ejemplo: Iversioes Bradley Evetos y su Probabilidad Eveto M = Markley Oil es Lucrativo M = {(10, 8), (10, -2), (5, 8), (5, -2)} P(M) = P(10, 8) + P(10, -2) + P(5, 8) + P(5, -2) =.2 +.08 +.16 +.26 =.70 Eveto C = Collis Miig es Lucrativo P(C) =.48 (Ecotrado usado la misma lógica) Slide 19 Slide 20 Alguas Relacioas Básicas de Probabilidad Existe alguas Relacioes Básicas de Probabilidad que puede ser usadas para calcular la probabilidad de u eveto si ecesariamete coocer todas las probabilidades de todos los putos muéstrales. Complemeto de u Eveto Uió de dos Evetos Itersecció de dos Evetos Evetos Mutuamete Excluyetes Slide 20 Slide 21 Complemeto de u Eveto El complemeto de u eveto A se defie como el eveto que cosiste e todos los putos muéstrales que o se ecuetra e A. El complemeto de A se deota por A c. El Diagrama de Ve abajo ilustra el cocepto de u complemeto. Espacio Muestral S Eveto A A c Slide 21
Slide 22 Uió de dos Evetos La uió de los evetos A y B es el eveto que cotiee todos los putos muéstrales que se ecuetra e A, e B, o e ambos. La uió se deota mediate A B La uió de A y B se ilustra a cotiuació. Espacio Muestral S Eveto A Eveto B Slide 22 Slide 23 Ejemplo: Iversioes Bradley Uió de dos Evetos Eveto M = Markley Oil Lucrativo Eveto C = Collis Miig Lucrativo M C = Markley Oil Lucrativo o Collis Miig Lucrativo M C = {(10, 8), (10, -2), (5, 8), (5, -2), (0, 8), (-20, 8)} P(M C) = P(10, 8) + P(10, -2) + P(5, 8) + P(5, -2) + P(0, 8) + P(-20, 8) =.20 +.08 +.16 +.26 +.10 +.02 =.82 Slide 23 Slide 24 Itersecció de dos Evetos La itersecció de los evetos A y B es el cojuto de todos los putos muéstrales que se ecuetra tato e A como e B. Deotamos la itersecció mediate el símbolo A La itersecció de A y B es el área ecimada e el siguiete gráfico: Sample Space S Itersectio Evet A Evet B Slide 24
Slide 25 Ejemplo: Iversioes Bradley Itersecció de dos Evetos Eveto M = Markley Oil Lucrativo Eveto C = Collis Miig Lucrativo M C = Markley Oil Lucrativo ad Collis Miig Lucrativo M C = {(10, 8), (5, 8)} P(M C) = P(10, 8) + P(5, 8) =.20 +.16 =.36 Slide 25 Slide 26 Ley Aditiva La Ley Aditiva provee ua maera de calcular la probabilidad del eveto A, o B, o tato A como B. Se escribe cómo: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B Slide 26 Slide 27 Ejemplo: Iversioes Bradley Ley Aditiva Markley Oil o Collis Miig Lucrativo Sabemos: P(M) =.70, P(C) =.48, P(M C) =.36 Etoces: P(M C) = P(M) + P(C) - P(M C) =.70 +.48 -.36 =.82 Este resultado es el mismo que habíamos obteido ates utilizado la defiició de probabilidad de u eveto. Slide 27
Slide 28 Evetos Mutuamete Excluyetes Dos evetos se dice mutuamete excluyetes si dichos evetos o tiee u puto muestral e comú. Esto es, dos evetos to mutuamete excluyetes si, cuado u eveto ocurre, es otro o puede ocurrir. Espacio Muestral S Eveto A Eveto B Slide 28 Slide 29 Evetos Mutuamete Excluyetes Ley Aditiva para Evetos Mutuamete Excluyetes P(A B) = P(A) + P(B) Slide 29 Slide 30 Probabilidad Codicioal La probabilidad de u eveto dado que otro eveto ha ocurrido es llamada Probabilidad Codicioal. La probabilidad codicioal de A dado B se deota por P(A B). La probabilidad codicioal se calcula de la siguiete forma: P( A B) P( A B) P( B) Slide 30
Slide 31 Ejemplo: Iversioes Bradley Probabilidad Codicioal Collis Miig Lucrativa dado que Markley Oil es Lucrativa P( C M ). 36 P( C M ). 51 P( M ). 70 Slide 31 Slide 32 Ley de Multiplicativa La ley multiplicativa provee u método para calcular la probabilidad de ua itersecció de dos evetos. La Ley se escribe de la siguiete maera: P(A B) = P(B)P(A B) Slide 32 Slide 33 Ley Multiplicativa Ejemplo: Iversioes Bradley Markley Oil y Collis Miig so Lucrativas Sabemos: P(M) =.70, P(C M) =.51 Etoces: P(M C) = P(M)P(M C) = (.70)(.51) =.36 Este resultado es el mismo que habíamos obteido ates usado la defiició de probabilidad de u eveto. Slide 33
Slide 34 Evetos Idepedietes Los Evetos A y B so idepedietes si P(A B) = P(A). Slide 34 Slide 35 Evetos Idepedietes Ley Multiplicativa para Evetos Idepedietes P(A B) = P(A)P(B) La Ley Multiplicativa tambié puede ser usada para probar si dos evetos so idepedietes. Slide 35 Slide 36 Ejemplo: Iversioes Bradley Ley Multiplicativa para Evetos Idepedietes So M y C idepedietes? Es P(M C) = P(M)P(C)? Sabemos qué: P(M C) =.36, P(M) =.70, P(C) =.48 Pero: P(M)P(C) = (.70)(.48) =.34.34 así que M y C o so idepedietes. Slide 36
Slide 37 Teorema de Bayes Frecuetemete, iiciamos el aálisis de probabilidad co alguas probabilidades iiciales o ateriores. Después, de ua muestra, reporte especial o pruebas diversas obteemos iformació adicioal. Dada ésta iformació, recalculamos las probabilidades iiciales (Las llamamos probabilidades a posteriori) El Teorema de Bayes os da u método para revisar dichas probabilidades iiciales. Probabilidades Iiciales Nueva Iformació Aplicació del Teorema de Bayes Probabilidades A Posteriori Slide 37 Slide 38 Slide 38 Slide 39 Ejemplo: Compañía L. S. Clothiers Slide 39
Slide 40 Ejemplo: Compañía L. S. Clothiers Diagrama de Árbol P(B A 1 ) =.2 P(A 1 B) =.14 P(A 1 ) =.7 P(B c A 1 ) =.8 P(B A 2 ) =.9 P(A 1 B c ) =.56 P(A 2 B) =.27 P(A 2 ) =.3 P(B c A 2 ) =.1 P(A 2 B c ) =.03 Slide 40 Slide 41 Teorema de Bayes Slide 41 Slide 42 Ejemplo: Compañía L. S. Clothiers Slide 42
Slide 43 Método Tabular Paso 1 Preparar las 3 siguietes columas: Columa 1 - Los evetos mutuamete excluyetes para los cuales se desea obteer probabilidades a posteriori. Columa 2 - Las probabilidades iiciales de los evetos. Columa 3 - Las probabilidades codicioales dada la ueva iformació para cada eveto. Slide 43 Slide 44 Método Tabular (1) (2) (3) (4) (5) Prob. Prob. Evetos Iicial Codicioal A i P(A i ) P(B A i ) A 1.7.2 A 2.3.9 1.0 Slide 44 Slide 45 Método Tabular Paso 2 E la Columa 4, calculamos las probabilidades adjutas para cada eveto y la ueva iformació B usado la Ley Multiplicativa. Multiplicar las probabilidades iiciales e la columa 2 por la probabilidad codicioal correspodiete e la columa 3. Esto es, P(A i IB) = P(A i ) P(B A i ). Slide 45
Slide 46 Método Tabular (1) (2) (3) (4) (5) Prob. Prob. Prob. Evetos Iicial Codicioal Adjuta A i P(A i ) P(B A i ) P(A i I B) A 1.7.2.14 A 2.3.9.27 1.0 Slide 46 Slide 47 Método Tabular Paso 3 Sumar las probabilidades adjutas e la columa 4. Esta suma es la probabilidad de la ueva iformació P(B). Podemos observar que existe ua probabilidad de.14 de que el cosejo apruebe el cambio de zoa dada ua recomedació egativa de la juta de plaeació. Existe ua probabilidad de.27 de que el cosejo desapruebe el cambio de zoa dada ua recomedació egativa de la juta. La suma.14 +.27 muestra ua probabilidad total de.41 de ua recomedació egativa por parte de la juta. Slide 47 Slide 48 Método Tabular (1) (2) (3) (4) (5) Prob. Prob. Prob. Evetos Iicial Codicioal Adjuta A i P(A i ) P(B A i ) P(A i I B) A 1.7.2.14 A 2.3.9.27 1.0 P(B) =.41 Slide 48
Slide 49 Método Tabular Paso 4 E la columa 5, calculamos las probabilidades a posteriori usado la relació básica de probabilidad codicioal. P( Ai B) P( Ai B) P( B) Note que la probabilidad adjuta P(A i IB) se ecuetra e la columa 4 y que la probabilidad P(B) es la suma de la columa 4. Slide 49 Slide 50 Método Tabular (1) (2) (3) (4) (5) Prob. Prob. Prob. Prob. Evetos Iicial Codicioal Adjuta A posteriori A i P(A i ) P(B A i ) P(A i I B) P(A i B) A 1.7.2.14.3415 A 2.3.9.27.6585 1.0 P(B) =.41 1.0000 Slide 50