MATRICES Y DETERMINANTES

Mtries MATRICES Y DETERMINANTES Muhos prolems que se presentn en l estísti, eonomí, meáni lási, ingenierí meáni - elétri y ún en ls ienis iológis y soiles se orn meinte el empleo e ls mtries. El onepto e mtriz no es nuevo, en, Arthur Cyley, un mtemátio el siglo XIX pulió un trjo llmo Memori sore l teorí e mtries que moifió muhos oneptos estleios hst quell épo; hoy on el elnto e ls máquins omputors se he más neesrio el uso e los métoos mtriiles pr mnejr prolems en los ules se utiliz grn nti e tos. Definiión. Se F un mpo y E{(i,j) / i m, j n} un onjunto e pres orenos e enteros positivos. Un mtriz A e oren m n sore el mpo F es un funión A: E F, one A(i,j) ij F reie el nomre e "entr" o elemento e l mtriz. Usulmente l mtriz A se represent meinte un isposiión retngulr e entrs epress en m fils y n olumns. Cuno el mpo F oinie on R o C, toos los elementos e l mtriz serán respetivmente números reles o omplejos. Por ejemplo, supongmos que: () E {(i, j) / i, j } y F R, L mtriz A: E R representemos, por ejemplo, meinte: A one / se enuentr en l fil y olumn, está ui en l fil olumn, et. Diremos que A es un mtriz e oren ó e tmño por. () E {(i, j) / i, j } y F C, entones l mtriz A: E C isponemos, por ejemplo, por meio e i A / i i i one i se enuentr en l fil olumn, i está situo en l fil olumn, et. El oren e est mtriz es e. En irunstnis espeiles los elementos e ls mtries pueen ser funiones, mtries, et. Por ejemplo: sen t tn t A t B t en el ul los elementos perteneen implíitmente un mpo onvenientemente efinio. Representno l mtriz A e m fils y n olumns meinte un rreglo retngulr, tenemos: Li. José L. Estr P. UNAJMA

n n A ( ij ) mn m m mn uyo oren es mn. Cuno m, entones iremos que A es un mtriz fil; y uno n un mtriz olumn. nn. Si toos los elementos e l mtriz A son eros, ést se enomin l mtriz ero. L igonl prinipl e un mtriz ur nn está form sólo por los elementos,,..., L mtriz ienti I n e oren n es un mtriz ur nn, en el ul toos los elementos el igonl prinipl son y los emás eros; es eir, ij i j. Ejemplos : ( ) mtriz ur mtriz fil mtriz mtriz igonl prinipl:,, - olumn ero I mtriz ienti I mtriz ienti Poemos onsierr ls mtries fils n omo elementos e F n o ls mtries olumn m omo elementos e F m. Más onretmente, supongmos que el mpo F se R y n, y omo semos los elementos e R son terns orens e números reles, por ejemplo el vetor (, /, ); entones l mtriz fil ( / ) poemos onsierr omo elemento e R. De quí que l mtriz fil se llmrá vetor fil y l mtriz olumn vetor olumn. En resumen, un mtriz isponiénose en form retngulr e números permite epresr freuentemente prolems en situiones muy onrets. Por ejemplo supongmos que tres fáris F, F, F prouen irimente lrillos, loquets y tuos e onreto en ls nties que se inin más jo. Este heho lo representmos meinte el igrm que se ilustr, y onsiguientemente meinte un mtriz A: PRODUCTO PRODUCCION DIARIA FABRICA FABRICA FABRICA LADRILLOS BLOQUETAS TUBOS DE C A Li. José L. Estr P. UNAJMA

Otro ejemplo interesnte e uso orriente es quell mtriz que epres el origen-estino e psjeros en un sistem e trnsporte. Est mtriz se onstruye e un list e psjeros que se esplzn e un lugr otro. Formulmos, on un ejemplo, trvés el siguiente igrm: O R I G E N D E S T I N O PUNO AREQUIP A ICA LIMA CUSCO PUNO AREQUIPA L mtriz orresponiente viene por: A Operiones on mtries M mn (F) represent el onjunto e tos ls mtries mn. one F es el mpo e números reles o omplejos. Vmos efinir operiones en este onjunto: Definiión. Ds ls mtries A ( ij ) mn y B ( ij ) mn sore un mpo F, entones: () Diremos que A y B son igules; es eir, A B si y sólo si ij ij pr too i,,..., m; too j,,..., n. () L sum e ls mtries A y B es l mtriz A B ( ij ) mn, one ij ij ij () Si k F y A ( ij ), entones el prouto el eslr k por l mtriz A, es l mtriz ka ( ij ) mn, one ij k ij. () Supongmos que A ( ij ) mn y B ( ij ) np, entones el prouto e A y B viene o por: AB ( ij ) mp, one ij n ik kj, pr i m, j n. k Osérvese que el prouto e A y B es posile efetur sólo uno el número e olumns e l primer mtriz A es igul l número e fils e l segun mtriz B. L operión e multipliión e mtries se ilustr e un mner generl e l siguiente form. Por ejemplo pr i e A, j e B, fijos: m m n n mn n n p p np m m p p mp Li. José L. Estr P. UNAJMA

one n... n n k k k MATRICES Y DETERMINANTES. De igul moo se proeerá pr lulr los otros elementos ij. Arevimente el prouto e mtries se efetú "fil por olumn" en el oren en que son esrits. Presentmos un esquem en el que ij es l interseión e l i-ésim fil e A y l j- ésim olumn e B. B Column j np Fil i Muhs regls pr el álger e mtries son vális l igul que ls leyes onois en el álger en generl, no ostnte que eisten lguns propiees que sí flln en ls mtries. P R O P I E D A D E S Supongmos que A,B,C son mtries uyos órenes sen eus pr efetur ls operiones inis: () A B B A () k(b C) kb kc, k F () A (B C) (A B) C () ( )C C C,, F () A(BC) (AB)C () ()C (C) () A(B C) AB AC (9) (BC) (B)C B(C) () A(B C) AB AC () A m A n A m n, (A m ) n A mn,m,n N L propie () se inluye, pesr e que en este momento toví no hemos efinio l poteni e un mtriz. Es por onvenieni, fin e que estén grupos en un onjunto. Más elnte trtremos este punto. Ejemplos: A mn ij AB mp.. - i i.. i - i i. Li. José L. Estr P. UNAJMA

Li. José L. Estr P. UNAJMA. Sen A y B, entones: AB 9 9, mientrs que BA Oserve que AB ( ij ), one ()() ()( ), ()() ()( ), et. y BA ( ij ), one ()() ()() ( )(), ()() ( )( ) ( )(), et.. A y B, entones: AB 9 y BA. Si A ( ) y B (), entones AB ( ) y BA ( ). APLICACIÓN: Consiérese píses P, Q, R one i, j y k enotn respetivmente el número e eropuertos e pís, pr i, ; j, ; k,,, ; tl omo pree en el igrm siguiente: El número que pree sore ls línes e unión ini el número e posiilies e vijr e un eropuerto otro, eio que hy tnts empress e viión en tryeto. Por ejemplo, pr vijr e hy posiilies, puesto que eisten línes éres lo lrgo e es rut. Se quiere onoer ls lterntivs pr vijr el pís P l pís R. Soluión: To l informión que se tiene poemos epresr en los uros siguientes: Un rut e hst puee psr por o por ; en el primer so eiste posiilies y en el seguno so posiilies, en totl son ls posiilies e esoger. Si isponemos los uros nteriores en mtries eus se tenrá: B i A. El prouto AB proporion el número totl e lterntivs e ls ruts pr ir e P R. Por tnto formmos el uro: P Q R

O B S E R V A C I O N E S () Si A es un mtriz ulquier y es l mtriz ero on oren onvenientemente efinio, entones: A y A. Pero no siempre A A. Por ejemplo, si A es l mtriz A, entones: AO OA ( ) En so el tmño e l mtriz es iferente. ( () En los números reles se umple l propie siguiente: Si y, entones. El prouto e mtries no nuls (no eros) puee ser un mtriz nul. Por ejemplo: Si A i, entones AB. () Como onseueni e l efiniión el prouto e mtries se tiene AB BA; es eir, el prouto no es onmuttivo, vése los ejemplos y nteriores. () En el onjunto e números reles, se umple l ley e l nelión:, siempre que. En el onjunto e mtries no siempre se verifi. En efeto, sen: A, B, C ) Puee omprorse fáilmente que AC BC; sin emrgo A B y C. () En lgunos sos espeiles AB BA uno A y B son mtries urs, en tl so eimos que A onmut on B. Por ejemplo, representemos A por A AA, A A A AA, A A A AA,..., A n A n- A AA n- ; es eir, A onmut on ulquier poteni positiv enter e A. Pr n, efinimos A I (Mtriz ienti). () L mtriz ienti I n onmut on ulquier mtriz ur A e oren n: I n A AI n A. () L multipliión e un mtriz por un vetor olumn nos sugiere interpretr e otr mner el prouto e mtries. Est nuev interpretión es onveniente pr emostrión e lguns propiees que resultn teioss y urris, por ejemplo, l soitivi; y pr plnter lgunos resultos que se verán más elnte, omo son los espios olumn y los espios fil. Supongmos que A y B, Li. José L. Estr P. UNAJMA

entones AB. Este álulo revel lgo importnte: el prouto AB es e heho un ominión linel e ls tres olumns e A poner por omponente e B; es eir: AB () () () Por onsiguiente, el prouto AB se puee hllr usno simultánemente tos ls olumns e A. Poemos etener est ie l prouto e mtries, e l siguiente mner: Supongmos que - A y B, entones 9 AB. Tomno el prouto e A por olumn e B y tenieno en uent el so nterior result: - 9,, Esto emuestr que olumn el prouto AB es ominión linel e ls olumns e A y poners por ls entrs e B. Surge hor l pregunt. Cómo están ls fils e AB? Tomno el prouto e fil e A por l mtriz B, el ejemplo nterior se otiene: ( ) ( )( ) ( )( ) ( 9 ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Result hor que fil el prouto AB es ominión linel e ls fils e B y poners por ls entrs e A. Resummos ls tres mners e visulizr l multipliión e mtries: (º) C entr e AB es el prouto e un fil y un olumn: ij (fil i e A)(olumn j e B) (º) C olumn e AB es el prouto e un mtriz y un olumn: Column j e AB (mtriz A)(olumn j e B) (º) C fil e AB es el prouto e un fil y un mtriz: fil i e AB (fil i e A)(mtriz B). E J E R C I C I O S. Dig si es verero o flso; r un ontrejemplo uno se flso. () Si l primer y terer olumn e B son igules, tmién lo son l primer y l terer olumn e AB. () Si l primer y l terer fils e B son igules, tmién lo son l primer y l terer fils e AB. Li. José L. Estr P. UNAJMA

Li. José L. Estr P. UNAJMA () Si l primer y terer fils e A son igules, tmién lo son l primer y terer fils e AB.. L primer fil e AB es un ominión linel e tos ls fils e B. En est ominión, Cuál es l primer fil e AB, si A, B?. () Qué le suee un mtriz A e si l premultiplimos por E ó E () Qué suee si postmultiplimos pr formr AE?. Si: A, B, C, D. Enontrr: () AB () A C () A B () AB (e) AC (f) AD (g) BC (h) BD. Si A, enontrr: () A () A () f(a) () g(a), one f() y g().. Si A, verifique que A I. Resuelv un e ls siguientes euiones mtriiles: ( ) ( ). Muestre que A y B onmutn si y sólo si A λ I n y B λ I n onmutn pr un ierto eslr λ. 9. Muestre que si N, entones N.. Construy mtries no nuls A y B e oren, tles que AB.. Un inustri e lzo fri por mes moelos: pres e un moelo A, pres e un moelo B, pres e un moelo C y pres e un moelo D. Los preios e vent en iues istints e los iferentes moelos e zptos viene o en el siguiente igrm: Preio Vent A B C D CUSCO AREQUIPA LIMA TRUJILLO L inustri ese ser qué iu ee ser envi to l prouión el mes, pr otener un rent máim proeente e ls vents.

. Ds ls mtries A y B, hlle: () AB, () BA.. D A, enuentre un vetor olumn no ero X y y. Enuentre tos ls mtries que onmutn on. z w. Se A, enuentre A n. tl que AXX.. L Comisión e Amisión e un Universi plne mitir postulntes pr el ño próimo. Al mismo tiempo etermin ls vntes en l form siguiente: vntes pr los que proen e l región INCA (loles) y pr los que son e fuer (foráneos). Este heho lo epresmos en un mtriz fil A ( ). Y estlee los porentjes pr grupos e rrers profesionles. Grupo A: Ingenierís, grupo B: Cienis e l Slu, grupo C: Cienis Aministrtivs - Contles y grupo D: Cienis Soiles; tnto pr estuintes e l región (L) omo e fuer (F). L mtriz B epres est informión: A B C D.... B L.... F Determine el número e estuintes que se esper entren en grupo e fultes el ño próimo.. Refiérse l prolem nterior. L ofiin e ienestr estim que los estuintes porán esoger ls lterntivs e vivien y pensión universitri e uero on los porentjes que pree en l siguiente mtriz C: VU CU VP... B L... F one: VU : Vivien Universitri, CU : Comeor Universitrio. VP : Vivien Prtiulr. Enuentre el número e estuintes que se esper elijn ls iferentes opiones e vivien y pensión.. Un ompñí elor tres proutos, uno e los ules requiere e espeies e mteri prim y mno e or. En l mtriz D se resume l neesi por uni e prouto. E : Espeie, E : Espeie, E : Espeie. Mteri Mno Prim e E E E Or Prouto D Prouto Prouto A B C Li. José L. Estr P. UNAJMA 9

Ls neesies e mteri prim se estlee en kilos por uni, y ls neesies e mno e or en hors por uni. Los ostos e ls tres espeies e mteri prim son, y. nuevos soles por kilo respetivmente. Los ostos por mno e or son e nuevos soles por hor. Supóngse que se vn prouir, y unies e los proutos A, B y C. () Determine ls nties totles e los utro reursos que se requiere pr elorr los proutos A, B y C. () Clule el osto totl omino e prouión. 9. Los olores e myor vent en un tien e pinturs son el rojo y el zul. En olor hy os lies: l eonómi y l superior. Se tiene lts e pintur roj eonómi, lts e pintur zul eonómi, y lts e olor e li superior. Los preios e list normles son e S/. y S/. pr l superior y l eonómi respetivmente, pero están l vent on un esuento e S/. por lt. () Cuál serí l gnni totl si se veniern tos ls lts l preio norml? () Y si tos se veniern on el esuento?. El ueño e vris tiens en rtesní he iseños e vjills, en os e sus plnts e friión. L prouión en l fári el Cuso en un í es l siguiente: Tzs Pltos Pequeños Pltos Tzones Diseño Anino Diseño Triionl Mientrs que en l plnt e Puno l prouión siene : Tzs Pltos Pequeños Pltos Tzone s Diseño Anino Diseño Triionl () Cuántos rtíulos e iseño se prouen en ls fáris omins? Estos iseños tienen un uen mero y el ueño eie herlos tmién en su fári en Lim. Estim que l prouión e est plnt será proporionl l prouión e l fári e Cuso y tres vees myor. () Cuál será l prouión en Lim? () Cuál es l prouión en ls tres plnts?. Demuestre tos ls propiees sore mtries, epuest en l págin. Tipos espeiles e mtries Consieremos hor ierts lses e mtries que esempeñn un ppel importnte en el álger linel. Li. José L. Estr P. UNAJMA

Li. José L. Estr P. UNAJMA A. Mtries igonles Son quells mtries urs en ls ules toos los elementos enim y ejo e l igonl prinipl son eros; es eir, toos los ij pr i j. Por ejemplo: A es un mtriz igonl. Ls mtries igonles tienen propiees muy útiles que veremos posteriormente. Menionemos uns unts: () L sum y el prouto e mtries igonles son igonles. () Si D n es igonl, D k k n k k k ; es eir, pr elevr D l poteni k, solmente se neesit elevr elemento e l igonl prinipl l poteni k. B. Mtries eslres Si I n es l mtriz ienti y k es un eslr, entones ki n E se llm mtriz eslr. Por ejemplo: E I Oservmos que este es un so prtiulr e ls mtries igonles. Aemás se puee euir que E onmut on ulquier mtriz ur el mismo oren: EA (ki)a k (IA) ka AE A(kI) k (AI) ka C. Mtries tringulres Son mtries urs tles que toos los elementos ejo e l igonl prinipl son eros, o toos los elementos enim e l igonl prinipl tmién son eros. Respetivmente se irán mtries tringulres superiores y mtries tringulres inferiores; es eir, ij i >j y ij i < j (respetivmente). Por ejemplo: A i B ij i > j ij i < j Mtriz tringulr Mtriz Tringulr superior Inferior EA AE

Eiste un propie que utilizmos on freueni: El eterminnte e un mtriz tringulr es igul l prouto e toos los elementos e l igonl prinipl; sí tenemos: - et (A) () () () ( ) - (L mtriz tringulr superior o inferior se puee efinir ún uno l mtriz no neesrimente se ur.) D. Mtries trnspuests L trnspuest A T e un mtriz A e oren m n es l mtriz e oren n m oteni prtir e A intermino ls fils por olumns. Por ejemplo: - Si A, entones A T - - P R O P I E D A D E S Supongmos que A,B son mtries uyos órenes sen omptiles pr efetur l operión orresponiente. () (A T ) T A () (A B) T A T B T () (AB) T B T A T () (ka) T ka T, k R L emostrión e ests propiees son reltivmente senills y ejmos omo ejeriio pr el estuinte. Vmos ompror l propie () meinte un ejemplo: AB Supongmos que A, B, entones:, (AB) T ( ). Pero A T B T ( ) y B T A T ( ) ( ) Lo que emuestr que (AB) T B T A T. Oserve que A T B T no eiste, no es posile efetur el prouto. E. Mtries simétris Un mtriz ur A se llm simétri uno oinie on su trnspuest; es eir, si AA T. Se enomin simétri porque sus elementos están ispuestos simétrimente respeto l igonl prinipl. Por ejemplo: Li. José L. Estr P. UNAJMA

A P R O P I E D A D E S Si A es un mtriz simétri on elementos reles o omplejos, entones se umplen: () ka es simétri (k R o k C) () AA T A T A () A es simétri. Vmos emostrr l propie () mner e ilustrión, ejno ls prtes () y () pr el letor. Deemos pror que A (A ) T. Iniimos on el seguno miemro. En efeto: (A ) T (AA) T A T A T A.A A. Ejemplo (Apliión) Consieremos el número e rreters que omunin iues, tl omo están mostrs en el igrm siguiente: () () () () Est informión lo representmos en un mtriz A e, one ij ji. Nturlmente A es simétri. () () () () () () A, A () (), A Los elementos e A inin el número e ruts pr ir e un iu otr. Por ejemplo;, ini que no eiste ningun rreter que une iretmente l iu () on l iu ();, signifi que hy rreters que unen ests os iues. Los elementos e A represent el número e mners e vijr entre os iues psno pens por un iu (ireiones opuests sore l mism entr son onsiers istints). Por ejemplo,, quiere eir que eisten posiilies e vijr e l iu l mism iu psno sólo por un iu. Verifíquelo. Los elementos e A represent el número e mners e vijr e un iu otr psno etmente por iues. Por ejemplo,, ini que hy un sol rreter pr ir e () (), y es preismente l rut: ()-()-()-() l ul está psno por os iues () y (). Li. José L. Estr P. UNAJMA

Verifiión e ls ruts: De l iu () l iu () psno etmente por iues: () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () 9 () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () Poemos etrer e este ejemplo un resulto que firm lo siguiente: Si A es simétri, entones A n es simétri, n N. Ls mtries simétris preen en ulquier mpo uys leyes sen justs. "C ión tiene un reión igul y e sentio opuesto", y l entr que esrie l ión e i sore j, orrespone on otr que esrie l ión e j sore i. En l ftorizión e mtries, omo onseueni el proeso e eliminión Gussin, ls mtries simétris reuen el trjo l mit. Los álulos enim e l igonl son el uplio e los álulos ejo e l igonl. F. Mtries ntisimétris Un mtriz ur A se llm ntisimétri uno oinie on el inverso itivo e su trnspuest; es eir, uno A A T. Como onseueni e ést efiniión se puee menionr que: ij ij pr i j y ij pr i j. Por ejemplo, onsieremos l mtriz: A, A T, A T Li. José L. Estr P. UNAJMA

luego A A T. Oserve que toos los elementos e l igonl prinipl son eros y los emás elementos que están ispuestos simétrimente on respeto l igonl tienen signos opuestos. P R O P I E D A D E S Si A es un mtriz ntisimétri on elementos reles o omplejos, entones se umplen: () ka es ntisimétri (k R o k C) () AA T A T A () A es simétri. L emostrión e ests propiees son nálogs ls e mtries simétris. Se ej omo ejeriio. G. Mtries iempotentes Un mtriz ur A se llm iempotente uno A A. Por ejemplo: - - () A A, luego A A () A, luego A A. A () A () A (), luego A A. Oserve que si A es iempotente, A n A pr ulquier n N. Ests mtries están relions on ierts trnsformiones lineles que son ojeto e estuio el álger linel. H. Mtries nilpotentes Un mtriz ur A se llm nilpotente (nulipotente) si eiste un entero positivo p tl que A p y A p. Por ejemplo: N, N, N Luego N es un mtriz nilpotente e ínie. El estuio e ests mtries se ven uno se or el estuio e "ls forms nónis", vists tmién en el álger linel. I. Mtries inverss Si A es un mtriz ur e oren n y eiste un mtriz B e oren n tl que AB BA I n, entones B reie el nomre e invers e A. Si A mite un invers, entones es invers es úni. En efeto, supongmos que C es otr mtriz invers e A tl que AC CA I n. Luego: Li. José L. Estr P. UNAJMA

C C I n C(AB) (CA)B I n B B ; lo que prue l unii. Por onsiguiente uno l invers eiste, es usul enotr B por A y eimos que A es invertile (inversile). Por tnto esriiremos AA A A I n. Este onepto es muy importnte entro el álger linel y on muh freueni se verá en pítulos posteriores, y estuiremos iversos métoos pr enontrr l invers e un mtriz ; mientrs tnto, uno el oren es pequeño es posile enontrr su invers, si es que eiste, reurrieno l efiniión. Por ejemplo, si A, vmos suponer que B se su invers, entones AB I ; esto es, Igulno ls mtries se tiene el sistem e euiones lineles - - Al resolver el sistem otenemos: /, /, / y /, luego: B - es l invers e A, y se omprue fáilmente que AB BA I. Cuno un mtriz A e oren n tiene invers, otrs vees A reie el nomre mtriz no singulr y uno no tiene invers, se ie que es singulr. P R O P I E D A D E S Supongmos que A y B son mtries invertiles el mismo oren, entones se umple: () AB es invertile () (AB) B A () eslr k, ka es invertile y (ka) (/k)a () A es invertile y (A ) A (e) A n es invertile y (A n ) (A ) n, pr n,,,... J. Ajunt e un mtriz Si A ( ij ) es un mtriz nn y C ij es el oftor e ij, entones l mtriz of (A) C C C... n C C C... n.................. Cn C n... Cnn Se llm l mtriz e oftores e A, one el número C ij ( ) i j M ij y M ij es el eterminnte e l sumtriz que se form l suprimir l fil i on l olumn j e A. Li. José L. Estr P. UNAJMA

L trnspuest e l mtriz e oftores e A se llm junt e A; es eir, T... n C C... Cn... n C C... C n Si A............, entones...... j (A).................. n n... nn Cn Cn... Cnn Por ejemplo, en C ( ) C ( ) C ( ) A se tiene: C ( ) C ( ) C ( ) C ( ) C ( ) C ( ) Por tnto: T j(a) Ahor estleemos un resulto muy importnte el ul permite otener l invers e un mtriz. (Si Uste no onoe eterminntes pse l seión.) Teorem. Si A es un mtriz invertile, entones: A - [j(a)], one et(a). et(a) Ejemplo. Hllr l invers, si es que eiste, e l mtriz A Soluión: Del ejemplo nterior otuvimos que: j (A) Pr plir l fórmul nterior requerimos el eterminnte e A. En efeto, hllmos por el métoo e oftores: ( lo lrgo e l primer fil) et(a). Por lo tnto: A - Li. José L. Estr P. UNAJMA

Li. José L. Estr P. UNAJMA E J E R C I C I O S. Si - A. Enontrr : () AA T y () A T A. Clule ls inverss e ls mtries A, - B, C i D, y verifique l relión (AB) B A y (CD) D C. Se A un mtriz invertile, y supongmos que l invers e A es - -. Enuentre l mtriz A.. Se A l mtriz, lule A, A.. Enuentre l invers e ls siguientes mtries, si es que poseen. () () () () (e) (f) (g) (h). Clule l invers e ls siguientes mtries, si es que tiene: () () () () 9. L omisión e misión e un Universi uer mitir vntes pr el próimo ño istriuios en l form siguiente: pr vrones e l región (VR), pr mujeres e l región (MR), pr vrones fuer e l región (VF) y pr mujeres fuer e l región (MF). Est informión lo epresmos en l mtriz fil: VR MR VF MF A ( ) Los porentjes e ls vntes por áres e Fultes están s en l mtriz B: B Cont. Am F.eCs. Soiles F.eCs. F.e Ingenierís............ VR MR VF MF

Enuentre el número e estuintes que hrá el próimo ño en áre. MATRICES Y DETERMINANTES. Un empres nionl ei l lquiler e vehíulos motorizos está plneno su progrm e mntenimiento pr el próimo ño. Los ejeutivos están interesos en eterminr ls neesies e l empres en unto etermins repriones, sí omo en sus ostos. L empres rent utos, mionets y mirouses. L mtriz N ini el número e vehíulos por tipo en regiones el pís: A,B,C y D. Au : Autos C : Cmionets Mi : Miros Au C Mi A B N C D Ls repriones que een efeturse son: pltinos, ujís, onensores y (juegos e) llnts. Bsos en estuios e los registros e mntenimiento en iferentes prtes el pís se h etermino el número promeio e repriones que se neesitn por vehíulo urnte un ño, y están epress en l mtriz M. M Au C Mi.......9..... Pltinos Bujís Conensores Llnts L mtriz fil C (....) ini el osto en ólres, por uni e pltinos, ujís, onensores y llnts. () Se ese onoer que nties e repriones se neesitrá en región. () Cuáles son los ostos nules regionles e ls repriones? () Cuál es el osto totl nul e ls repriones e l empres? 9. Enontrr l junt (lási), verifir que A j(a) et(a) I y eterminr A en ls siguientes mtries: () A () A () A (e) A i i i i. Hllr l junt (lási) e ls siguientes mtries: () A () () Li. José L. Estr P. UNAJMA 9

Sistem e euiones lineles Un euión linel en ls n vriles i es e l form:... n n one los i F se llmn oefiientes e l euión, y los i ls vriles, pr i,,... n. (Vése l seión. ) Enteneremos un soluión e l euión nterior un n upl e eslres (,,..., n ) tles que :... n n Un sistem e euiones lineles es simplemente un onjunto e vris euiones lineles. Por ejemplo, es un sistem e euiones lineles on vriles (ó inógnits). Un soluión es un -upl e números (,,, ) que stisfe iéntimente ls euiones. No toos los sistems tienen soluiones. Consieremos el so prtiulr e euiones lineles on vriles: y y En este sistem puee ourrir posiilies: tiene infinits soluiones, tiene etmente un soluión o no tiene soluiones. Ls gráfis e ests euiones son rets en el plno; si son prlels no tiene soluión el sistem, si se intersetn en un punto tienen un úni soluión, y si oinien entones tiene el sistem infinits soluiones. Toví poemos seguir interpretno geométrimente l soluión e un sistem e euiones lineles on inógnits: y z y z y z C un e ests euiones, omo semos, represent un plno en el espio triimensionl R. Eisten tmién tres posiilies respeto su soluión: () Si los tres plnos se intersetn en un punto P, entones el sistem tiene un úni soluión, y es justmente ls oorens el punto P. Vése l figur. () Si los tres plnos se intersetn en un ret L, el sistem tiene un número infinito e soluiones. C punto e l ret L es un soluión. vése l figur. Li. José L. Estr P. UNAJMA

Li. José L. Estr P. UNAJMA P P P L L P P P () Cuno los tres plnos son prlelos, ó e ellos son prlelos, o se intersetn en un ret os os omo se muestrn en ls figurs, y respetivmente, el sistem no tiene soluión. Fig. Fig. Fig. Estos mismos resultos son válios pr sistems ritrrios. E J E R C I C I O S Enuentre l invers e ls siguientes mtries, si es que poseen. () () () () (e) (f) (g) (h) Clule l invers e ls siguientes mtries, si es que tiene: () () () () 9 P P P P L P P P Fig. Fig. P P P L L L

Determinntes El onepto e eterminnte, surgió en relión on el prolem e soluión e sistem e euiones lineles. Se quiere efinir el eterminnte e un mtriz ur A nn. Esto se puee her e vris forms. Algunos utores lo plnten meinte permutiones, que son iertos rreglos sore un onjunto finito e números nturles N n {,,,..., n}, e tl moo que se pue efinir e mner generl l funión eterminnte. Prte e l teorí e eterminntes envuelve proesos engorrosos y ifíiles que reemos que no ee eponerse, sí que, sumiremos sin emostrión quellos teorems o propiees que se onsieren e este moo. Definiremos el eterminnte e A ( ij ) nn por ls propiees que een poseer. Se M nn (F) el onjunto e mtries urs sore el mpo F, l funión et : M nn (F) R que signe un número rel vrile mtriil A, y que stisfgn ls utro propiees siguientes, llmremos l funión eterminnte, o simplemente eterminnte e A. et (A,..., A i,..., A j,..., A n ) si y sólo si A i A j, i j et (A,..., ra i,..., A n ) r et(a) et (A,..., A i A' i,..., A n ) et(a,..., A i,..., A n ) et (A,..., A' i,..., A n ) et ( I n ), one : A, A y A n enotn l r fil, fil, y n ésim fil respetivmente e l mtriz A. Como notión, et(a) et (A,..., A i,..., A n ) I n es l mtriz ienti e oren nn. Supóngse que A, entones: omponente A i, i,,,, e A porímos onsierr omo un mtriz fil o omo vetor fil: A ( ), A ( ), A ( ), A ( ). Usulmente se enot el eterminnte e A tmién omo et (A) A. Definiión e eterminnte e seguno y terer oren () Si A, entones et (A) () Si A, entones: et (A) ( ) ( ) Li. José L. Estr P. UNAJMA

Ests os lterntivs e efinir el eterminnte e un mtriz y, nturlmente stisfen ls utro propiees nteriores. A fin e evitr l memorizión e ests pess epresiones, ontinuión ilustrmos un rtifiio pr evlur eterminntes e oren : () Esri A, y en segui, l ereh ls os primers olumns e A, tl omo se muestr ontinuión (llm regl e Srrus): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () Clule los proutos inio por ls flehs. Los que vn hi jo vn preeios el signo ( ), y los que vn hi rri vn preeios el signo ( - ). Otro rtifiio puee estleerse tmién esriieno ls os primers fils e A ejo e l terer fil. Atenión! El igrm sirve sólo pr eterminntes e oren y no pueen usrse pr evlur eterminntes e oren o e oren myor. Ejemplo. Hllr el et (A) e ls siguientes mtries: () A () A () A (e) A () A (f) A ( ) Soluión: () et (A) ()() ()() (efiniión e eterminnte e oren ) () et (A) et et (-) (-) - (propie D) () et (A) et () (propie D) () et (A) ( - (-)) ( ) (ef. eterminnte e oren ) (e) et (A). Pues ls fils y son igules (propie D) (f) et (A). Pues A es l mtriz ienti (propie D) A. Propiees e los eterminntes Ahor mostrmos que eiste l posiili e evlur el eterminnte e un mtriz ur e ulquier oren, reuiénol l form eslon por fils. L importni e éste métoo Li. José L. Estr P. UNAJMA

ri en el heho e que evit los lrgos álulos relionos on l pliión iret e l efiniión: Propie. Si A es ulquier mtriz ur que ontiene un fil e eros, entones et (A). Así tenemos: et (A). Pues l fil A 9 Propie. Si A es un mtriz tringulr (superior o inferior) e ulquier oren nn, entones et (A) es el prouto e los elementos e l igonl prinipl. Por ejemplo: et (A) () () () () 9 Propie. Se A un mtriz e oren nn: () Si B es l mtriz que se otiene uno un sol fil e A se multipli por un onstnte k, entones et (B) k et (A) () Si B es l mtriz que se otiene l intermir os fils e A, entones: et (B) et (A) () Si B es l mtriz que se otiene l sumr un múltiplo e un e ls fils e A otr, entones et (B) et (A). Los tres sos nteriores se reue esriir: () k k k k () () k k k Ejemplo. Ds ls mtries : A, B, C, D Al evlur el eterminnte e un e ells se otiene: et (A). et (B), et (C), et (D). Propie. En ulquier mtriz ur A, et (A) et (A T ), one A T es l trnspuest e A. Li. José L. Estr P. UNAJMA

En virtu e este resulto, si too teorem o propie er e los eterminntes que ontiene l plr fil en su enunio, tmién es verero uno se reemplz on l plr olumn. Ejemplo. Evlur et (A), one A 9 Soluión: Ls os primers olumns son proporionles; es eir, (r. olumn). olumn, luego et(a) et ( ).. Pero omo tienen os olumns igules, se sigue que et (A) Propie. Sen A y B mtries e oren nn, y k ulquier eslr, entones: () et (ka) k n et (A). () et (AB) et (A) et (B). NOTA : () et (A) et (B) et (A B) () et (A) et (B) et (C), únimente en el so e que A y B sen igules, eepto en un fil. Por ejemplo: Sen A y B os mtries que ifieren en l segun fil, entones C et (A) et (B) ( ) ( ) ( ) ( ) et et (C). Ejemplo () Sen A y A, evluno result et(a) y et (A). Esto onuer on l propie (): et (A) et (A). () Sen C ( ), A, B et(b) y et(c). Vemos que et(c) et(a) et(b). Evluno result et(a), Propie. Si A es un mtriz e oren n invertile, entones et(a - ). et(a) En efeto, y que A - A I n y et(a - A) et(a - ) et (A) et (I n ), se sigue que: et(a - ) et(a) Li. José L. Estr P. UNAJMA

Li. José L. Estr P. UNAJMA Ejemplo Supongmos que et(a), one A i h g f e. Hllr: () et (A), () et (A - ), () et[(a) - ], () et f i e h g. Soluión: () Semos que si A es l mtriz nn, entones et(ka) k n et(a). Ahor n, luego et (A) n et(a) (). () De A A I se tiene: (A A) I. Asoino (A ) A I. Tómese eterminnte en mos los: et [(A ) A] et (I ); es eir, et (A )et (A) (), e one et(a ) et(a) / () De (A) (A) I, se tiene et[(a) ] et(a) et(i ); esto es, et [(A) ] et(a) et(a) / () et (A) et (A T ) et i f h e g. Al intermir ls olumns y, se mi e signo, luego et f i e h g. Ejemplo. Sin evlur iretmente, emuestre que: et Soluión: et et ( ) et ( ) ( ) Ejemplo. Si A, hllr et (A). Soluión: Efetuemos el prouto A T A, one, luego et (A T A). Por otro lo et(a T A) et(a T ) et (A), pero omo et (A T ) et (A), entones et(a T A) [et(a)], por tnto [et(a)], e one et(a) ; es eir,

et (A) ( ). B. Desrrollo e un eterminnte por oftores. Es posile epresr el eterminnte e un mtriz nn en términos e (n ) (n ). Pr ello primero neesitmos estuir sumtries. D l mtriz A e nn, un sumtriz e A es un mtriz que se otiene suprimieno e A un o más fils i/o, un o más olumns. Nuestro interés se entrrá en sumtries otenis l suprimir un fil y un olumn e l mtriz nn, y enotmos por A ij pr inir que se h suprimio l fil i y l olumn j. Por ejemplo, si A, l sumtriz A es quell mtriz en one se h suprimio e A l fil 9 y l olumn, resultno A ; l sumtriz A es quell mtriz en one se 9 h suprimio l fil y l olumn, oteniénose A ; et. Definiión.. Pr ulquier mtriz A e oren nn, on n, el menor omplementrio e ij e A es el eterminnte e l sumtriz A ij ; ose, et (A ij ) M ij. El oftor e ij se efine por C ij ( - ) ij M ij. Por ejemplo, se A, el oftor e es: C ( ) M, one M et (A ) et. Análogmente: C ( ) M, one M et (A ) et C ( ) M, one M et (A ) et Uste puee otener los emás oftores, y sí otener l mtriz e oftores: of (A) Ejemplo 9. Si A es l mtriz, entones eisten mners istints e evlur su eterminnte: tres lo lrgo e ls fils y tres lo lrgo e ls olumns. Vemos os e ésts epnsiones: () A lo lrgo e l segun fil: et (A) ( ) Li. José L. Estr P. UNAJMA

() A lo lrgo e l primer olumn: et (A) ( ) C. Regl e Crmer Con freueni result útil tener un fórmul pr l soluión e un sistem e euiones lineles, y emás nos proporione informión e ls propiees e l soluión sin resolver el sistem. L emostrión el siguiente teorem puee verse en: Introuión l Alger Linel, Howr Anton, teorem 9, págin, Eit. Limus 99 Teorem: (Regl e Crmer). Si AX B es un sistem e n euiones lineles on n inógnits, tl que et(a), entones el sistem tiene un soluión úni, y viene o por: et(a) ) et(b, et(b ) et(b,..., n n ) et(a) et(a) one B j es l mtriz nn que se otiene l reemplzre los elementos e l j-ésim olumn e A por los elementos e l mtriz n: B (... n ) T Ejemplo. Empleno l regl e Crmer, eterminr l soluión el sistem: y z 9 y z 9 y z Soluión: El sistem esriimos en euión mtriil AX B, one: A B 9 9 9, X, B y z 9, B 9 9, luego B 9,. Evluno por ulquier métoo los eterminntes, result: et(b ) et (A), et (B ), et (B ), et (B ). Por tnto et(b, y ) et(a) et(a) et(b ), z. et(a). Evlúe los siguientes eterminntes: E J E R C I C I O S () () () () (e) (f) sen os os sen (g) os sen y sen os y (h) i i (i) os isen os i sen. Hllr el eterminnte e ls mtries siguientes por simple inspeión: Li. José L. Estr P. UNAJMA

Li. José L. Estr P. UNAJMA 9 () () () () Sin evlur iretmente, emuestre que y, stisfen l euión:. Pr qué vlor, o uáles vlores e k, A no es invertile? (un mtriz es invertile uno su eterminnte es iferente e ero) () A k k () A k. Verifique que et(ab) et (A). et (B), uno: A, B. Por meio el esrrollo e oftores lo lrgo e ulquier fil o olumn que se elij, hlle et (A): () A () A () A 9 () A (e) A (f) A k k k. Si A evlúe A - λi, one I es l mtriz ienti I.. Trnsformno l form eslon etermine et (A) : () A () A () A () A (e) A (f) A (g) A (h) A (i) A Los ejeriios, 9, son pr estuintes que onoen l geometrí nlíti.

Li. José L. Estr P. UNAJMA. Pruee que l euión e l ret que ps por los puntos (, ) y (, ) se puee esriir omo: y 9. Demuestre que (, y ), (, y ), (, y ) son olineles si y sólo si y y. Verifique que l euión el plno que ps por los puntos no olineles (,, ), (,, ), (,, ) se puee esriir omo: z y. Pruee que el eterminnte e Vnermone ( )( )( ). Supong que et(a), one A i h g f e. Hllr: () et i h g f e () et i h g f e () et i h g f e f e () et i h g f e. Supong que et (A), one A z y f e, hllr: et y z z y e f f e. Hllr l soluión e ls euiones: () et () et. Por ulquier métoo, hlle el vlor e et (A): () A () A 9 En los ejeriios el () l (), evlúe el eterminnte e:... 9. y z z z y z y y z y

. y z y z y z. y y y y. Resolver l euión et 9. Resolver l euión et log log log log 9 log log log log log log log. Usno l regl e Crmer, hlle l soluión, si es que eiste e uno e los sistems: y z y z () y z 9 () z y z y z. Empleno l regl e Crmer, resuelv el sistem:. Resolver los siguientes sistems e euiones lineles: E J E R C I C I O S () () () y z y z () (e) y z (f) y z y z y z. Hllr l soluión, si es que eiste, en los sistems siguientes: () () () () 9 (e) (f) 9 (h) (g). Resolver los siguientes sistems e euiones lineles: 9 () () Li. José L. Estr P. UNAJMA

() () MATRICES Y DETERMINANTES (e). Pr qué vlor (es) e el siguiente sistem e euiones tiene soluión no triviles? ( ) y ( )y En los ejeriios el l 9 etermine el vlor e e mner que el sistem siguiente teng: () ningun soluión. () más e un soluión () un úni soluión. y z y z y z. y z. y z. y z y z y ( )z z y z y z z. y z 9. y z y z y z Li. José L. Estr P. UNAJMA