MATEMÁTICAS: º BACHILLERATO SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6 1.- Determina dos números cuya suma sea y tales que el producto de uno de ellos por el cubo del otro sea máimo. = 1 er número; y = º número Relación: + y = = y Función: f(,y) = y f(y) = ( y) y = y y Calculemos ahora la derivada de dicha función: f (y) = 7y y Igualando a cero dicha derivada para calcular los posibles máimos o mínimos de la función: f (y) = 0 7y y = 0 y = 0 ó 7 y = 0 y = 0; y = 18 posibles máimos ó mínimos de la función. Hallando la ª derivada para saber si es un má. ó mín.: f (y) = 1y 1y Sustituyamos los posibles máimos ó mínimos en dicha derivada: f (0) = 0 duda f (y) = 1 y f (0) = 1 0 y = 0 es P.I. de f() f (18) = 1 18 1 18 = - 196 < 0 máimo : y = 18; = 18 = 6 Solución: Los números pedidos son 6 y 18.. Calcula el área máima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de la longitudes de sus dos catetos vale cm. Función: f(,y) = = 1 er cateto (base); y = º cateto (altura) y Relación: + y = y = y f() = ( ) = Calculemos ahora la derivada de dicha función: f () = Igualando a cero dicha derivada para calcular los posibles máimos o mínimos de la función: f () = 0 = 0 = 0 = posible máimo ó mínimo de la función. Hallando la ª derivada para saber si es un má. ó mín.: f () = Sustituyamos el posible má. ó mín. en dicha derivada: = - 1 f () = - 1 < 0 máimo : = ; y = = A = = cm Solución: El área máima que puede tener el triángulo rectángulo es de cm
.- Si se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 80 Euros/m y la de los otros 10 Euro/m, halla el área del mayor campo que puede cercarse con 8800 Euros. Relación: 90 + 0y = 8.800 9+y= 880 y = 10 5 Camino y Función (área): f(,y) = y f() = (10 5) = 10 5 Derivando: f () = 10 9 Igualando a cero: f ()=0 10 9 = 0 = 160 posible má. ó mín. Hallando la segunda derivada: f () = - 9 Sustituyamos el posible má. ó mín. en dicha derivada: f (160) = -9 < 0 máimo. Si = 160 y = 10 5 160 = 70 Solución: El área del mayor campo que se puede cercar con 8800 Euros es de 160 m. 70 m. = 115.00 m.. Las páginas de un libro deben medir cada una cm de área. Sus márgenes laterales y el inferior miden cm. y el superior mide cm. Calcular las dimensiones de la página que permitan obtener la mayor área impresa posible. Alto de la página impresa: y-5 Ancho de la página impresa: - Área impresa = (-) (y-5) (función objetivo) Área páginas = y = (relación) y = Función: f(, y) = (-) ( y 5) f() = ( ) 00 Derivando: f () = - 5 + 00 Igualando a cero: f () = 0-5 + = ± 80 = ± 1,91 00 = 0 5 = 5 = 5 = 00 + 0 00 5 Como no pude ser 1,91 ya que las longitudes no pueden ser negativas. El único punto posible máimo ó mínimo de f() es = +1,91 0 00 800 Hallando la segunda derivada: f () = = Sustituyamos el posible má. ó mín. en dicha derivada: f (1,91) = (-) < 0 máimo. Si = 1,91 y = = 7,8 1,91 Solución: La hoja debe tener de ancho 1,91 cm y 7,8 cm de alto..
5.- Entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 10 cm, calcula las dimensiones del que tenga área máima. Relación: + y = 0 y = 00 y = Función: A(, y) = y A() = 00 = 00 00 Como la función es positiva se puede elevar al cuadrado sin que varíen sus máimos y/o mínimos: f() = (A()) = (00 ) = 00 Derivando: f () = 800 Igualando a cero: f () = 0 800 =0 (800 ) =0 =0 ó = ± 00 = 1 1 ( las longitudes no pueden ser negativas o cero) posible má. ó mín. Hallando la segunda derivada: f () = 800 1 Sustituyamos el posible máimo ó mínimo en dicha derivada: f (1 1) = 800 1 (1,1) = - 1 < 0 Máimo: = 1 1 y = 00 ( 1 1) = 00 = 1 1 Solución: Tendrá área máima un cuadrado de lado 1 1 cm. 6.- Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para 1,5 metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcular las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el menor posible. (PAU, SEPT 001) Relación: V = y = y = 1,5 1,5 y = Función: f(,y) = + y f() = 1,5 + = 5 + 0 5 5 Derivando: f () = + = Igualando a cero: f () = 0 5 = 0 5 = 0 = 7 =, posible máimo ó mínimo. 5 108 Hallando la segunda derivada: f () = + = + 108 Sustituyamos el posible má. ó mín. en dicha derivada: f () = + = 6 > 0 7 1,5 mínimo: = y = = 1, 5 Solución: Para que precise la menor cantidad de chapa, la base debe ser un cuadrado de lado m y la altura 1,5 m.
7. El propietario de un edificio tiene alquilados los 0 pisos del mismo a un precio de cada uno. Por cada 60 que el propietario aumenta el precio observa que pierde un inquilino. a qué precio le convienen alquilar los pisos para obtener la mayor ganancia posible?(ayuda: llamar = nº de 60 que aumenta o lo que es lo mismo el nº inquilinos perdidos.) Sea = nº de inquilinos perdidos. Entonces: Función Beneficio: B() = (0 ) ( + 60) = 000 + 1800 60 Derivando: B () = 1800 10 Igualando a cero: B () = 0 1800 10 = 0 = 1800/10 = 15, posible máimo ó mínimo. Hallando la segunda derivada: B () = - 10 Sustituyamos el posible má. ó mín. en dicha derivada: B (15) = - 10 < 0 Máimo: = 15 Precio que debe aumentar a cada piso: 60 15 = 900 Solución: Le deberá aumentar 900 el precio de cada piso. 8.- El consumo de un barco navegando a una velocidad de nudos (millas/hora) viene 50 dada por la epresión C( ) = +. Calcular la velocidad más económica y el coste 60 equivalente. (PAU, JUN 006) 50 La función será el consumo: C( ) = + 60 50 Derivando: C () = 60 50 50 Igualando a cero: C () = 0 = 0 = = 7000 60 60 = 1500 =,81, posible máimo ó mínimo. 0 50 900 Hallando la segunda derivada: C ()= = + 60 60 Sustituyamos el posible máimo ó mínimo en dicha derivada: 900 C (,81) = + > 0 Mínimo: =,81 60 C(,81) = (,81) (,81) 50 = + = 8,5 60,81 Solución: Velocidad más económica es,81 nudos con un coste de 8,5.
5 9.- A partir de una cartulina cuadrada de 60 cms de lado se va a construir una caja de base cuadrada, sin tapa, a base de recortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas de la cartulina y doblando después de la manera adecuada. Un observador indica que la caja de más capacidad se obtendrá si los cuadrados eliminados tienen 10 cm. de lado. Decidir si la observación es correcta o no. (PAU, JUN 001) Función: f() = ( 60 -) ( 60 -) = 0 + Derivando la función: f () = 1 80 + Igualando a cero: f () = 0 1 80 + = 0 0 + 00 = 0 = 10 y = 0 Posibles má ó mín. Hallando la segunda derivada: f () = 80 Sustituyamos los posible máimos ó mínimos en dicha derivada: f (0) = 70 80 = 0 > 0 Mínimo f (10) = 0 80 < 0 Máimo: = 10 Solución: La observación es correcta. 10.- Se quiere construir depósitos cilíndricos como el de la figura, con la condición de que la altura más el perímetro de la circunferencia valgan 100 m. Comprobar que el volumen de los depósitos viene dado por la epresión V = 100 π π y determinar las dimensiones del que tiene volumen máimo. (PAU,Junio 97) Relación: h + π r = 100 h = 100 π r Función: V = π r h V(r) = π r ( 100 π r ) = 100 π π Derivando: V (r) = 00 π 6 π Igualando a cero: V (r) = 0 r ( 00 π 6 π ) = 0 r = 0 ó 00 π 100 r = 0 ; r = = = 10,61, posibles máimos ó mínimos. 6 π π Hallando la segunda derivada: V (r) = 00 π 1 π Sustituyamos los posibles máimos ó mínimos en dicha derivada: V (0) = 00 π - 0 > 0 Mínimo V (10,61) = 00 π - 1 π 10,61 < 0 Máimo: r = 10,61 h = 100 π 10,61 =, 00 π 6 π = 0 Solución: El depósito cilíndrico de volumen máimo tendrá de radio: 10,61 m y de altura, m.