NÚMEROS COMBINATORIOS Def:Dado u úmero etero o egativo, se defie el factorial de (! como el producto! = ( 1...1 Def: Dados dos úmeros,k eteros o egativos tales que k, se defie el úmero combiatorio sobre k, y se escribe ( k, como el cociete (! k = ( k!k! Propiedades de los úmeros combiatorios: i ( ( k = k ii ( ( k = 1 ( 1 k 1 k Biomio de Newto Dado úmero positivo se tiee que: (x + y = ( 0 x + ( 1 x 1 y+...+ ( k x k y k +... ( y Dado valores x=y=1, se obtiee la igualdad 2 = ( ( 0 + ( 1 +... VARIACIONES, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 1. Varacioes si repetició Dado u cojuto de elemetos se deomia variacioes si repetició de elemetos tomados de k e k (V k como el úmero de subcojutos que se puede formar co k elemetos distitos del cojuto. Cosiderado dos subcojutos distitos si tiee algú elemeto distito o lo tiee e distito orde. Ejemplo: formas de repartir las medallas de oro, plata y broce etre 8 participates. V k = ( 1...( k + 1 Esta fórmula es fácil de deducir queremos formar sucesioes ordeadas de k elemetos distitos de los origiales, para el elegir el primer puesto de la sucesió teemos opcioes (cada uo de los elemetos, ua vez fijado el primero teemos -1 opcioes (todos los elemetos meos el elegido ates. Ua vez hemos fijado todos meos uo os queda -(k-1 opcioes. 1
2 Variacioes co repetició Dado u cojuto de elemetos se deomia variacioes co repetició de elemetos tomados de k e k (V R k como el úmero de subcojutos que se puede formar co k elemetos distitos o o del cojuto. Cosiderado dos subcojutos distitos si tiee algú elemeto distito o lo tiee e distito orde. Ejemplo: Número de resultados posibles de ua quiiela de fútbol. V R k = k Esta fórmula se deduce de la siguiete maera: queremos formar sucesioes ordeadas de k elemetos distitos o o de los origiales, así cada vez que elegimos u puesto cualquiera de la sucesió teemos opcioes, ya que está a uestra disposició todos los elemetos del cojuto origial. 3 Permutacioes si repetició Dado u cojuto de elemetos se deomia permutacioes si repetició de elemetos (P como el úmero de subcojutos que se puede formar co los elemetos del cojuto si que haya iguo repetido. Cosiderado dos subcojutos distitos si tiee algú elemeto e distito orde. Ejemplo: Formas de ordear 10 libros e ua estateria. P =! Esta fórmula es imediata si os fijamos e que V 4 Permutacioes co repetició = P Dado u cojuto de r elemetos se deomia permutacioes co repetició de r elemetos e el que el elemeto i-ésimo está repetido k i veces (P como el úmero de subcojutos que se puede formar co los elemetos del cojuto (k 1 +...k r = apareciedo el elemeto i-ésimo k i veces. Cosiderado dos subcojutos distitos si tiee algú elemeto e distito orde. Ejemplo: Formas de colocar 5 pelotas de las cuales 2 so amarillas y 3 azules. 2
P k 1,...,k r! = k 1!...k! Para hallar la fórmula, se hace las permutacioes del total de elemetos y se divide por el úmero de permutacioes iguales al cotar los k i elemetos i como distitos. 5 Combiacioes si repetició Dado u cojuto de elemetos se deomia combiacioes si repetició de elemetos tomados de k e k (C k como el úmero de subcojutos que se puede formar co k elemetos distitos del cojuto. Cosiderado dos subcojutos distitos si tiee algú elemeto distito, si importar el orde e que se ecuetre. Ejemplo: Formas de elegir el quiteto iicial de u equipo de basket. C k = ( k = V k Pk La fórmula se obtiee al cosiderar el úmero de variacioes (subcojutos cosiderado el orde y dividirlo por las posibles ordeacioes de cada subcojuto (ya que ahora o se tiee e cueta el orde 6 Combiacioes co repetició Dado u cojuto de elemetos se deomia combiacioes co repetició de elemetos tomados de k e k (CR k como el úmero de subcojutos que se puede formar co k elemetos distitos o o del cojuto. Cosiderado dos subcojutos distitos si tiee algú elemeto distito, si importar el orde e que se ecuetre. Ejemplo: Se tiee pelotas de futbol y balocesto, formas de elegir 5 pelotas. CR k = ( +k 1 k 3
PRINCIPIO DEL PALOMAR Este teorema surge origiariamete de la observació de que si posees u umero de palomas superior al umero de idos e los que debe ser colocadas, e u ido tedrá que haber al meos 2 palomas. De maera más geeral este pricipio se puede euciar diciedo que si tiees elemetos que quieres repartir e m grupos, tedremos: =cm+r Siedo c el cociete de la divisió y r el resto (r distito de cero, etoces se puede cocluir que e uo de los grupos habrá al meos c+1 elemetos. Ejemplo: La suma de las edades de los 120 estudiates que participaro el año pasado e la Olimpiada Matemática fue de 2002 años. Demostrar que podrías haber elegido al meos a 3 de ellos tales que la suma de sus edades o fuese meor que 51 años. (Fase local 2004 Solució: Podemos aplicar el pricipio del palomar de la siguiete maera. Dividimos a los 120 estudiates e 40 grupos de 3 persoas, si dividimos la suma de las edades por los 40 grupos obteemos: 2002=40 x 50 + 2 Por el pricipio del palomar habrá al meos u grupo cuya suma de las edades de sus tres miembros sea c+1, como e este caso c=50, habrá u grupo tal que la suma de las edades de sus miembros sea al meos 51, co lo que se prueba lo que se pedía (existe u grupo tal que la suma de las edades de sus miembros o es meor que 51. 4
TEORÍA DE NÚMEROS 1. Cogruecias Se dice que dos úmeros a,b so cogruetes módulo m (a b(mod m si ambos tiee el mismo resto al dividirlos por m. Se cumple que a b(mod m m a-b Además, las cogruecias puede sumarse, restarse o multiplicarse, es decir se cumple que si a b(mod m y c d(mod m : a±c b ± d(mod m ac bd(mod m Así, se cumple que: a b(mod m a k b k (mod m a b(mod m f(a f(b(mod m dode f(x=a x +... + a 1 x + a 0 co a i úmeros eteros. E geeral, esto o se cumple para la divisió, pero si se cumple lo siguiete: mcd(c,m=1, ca cb(mod m a b(mod m 2. Pequeño teorema de Fermat Sea a u etero positivo y p u úmero primo. Etoces: a p a(mod p Por el resultado visto e el apartado aterior sabemos que si mcd (a,p=1, etoces a p-1 1(mod p 1