. UNIDAD EXPONENTES Y RADICALES Objetivo generl. Al terinr est Unidd resolverás ejercicios probles en los que pliques ls lees de los eponentes de los rdicles. Objetivos específicos:. Recordrás l notción eponencil, el concepto de bse el de eponente.. Recordrás l le pr ultiplicr fctores con l is bse eponentes enteros.. Recordrás el significdo de los eponentes negtivos del eponente nulo.. Recordrás l le pr dividir fctores con l is bse eponentes enteros.. Recordrás l le pr elevr un potenci otr potenci. 6. Recordrás ls lees pr elevr un producto o un cociente un potenci. 7. Recordrás l notción de rdicles. 8. Recordrás el significdo de los eponentes frccionrios. 9. Recordrás ls lees pr ultiplicr dividir fctores con eponentes frccionrios o con rdicles. 0. Rcionlizrás epresiones lgebrics con rdicles en el denoindor.. Siplificrás epresiones lgebrics plicndo ls lees de los eponentes los rdicles.
. Objetivo. eponente. Recordrás l notción eponencil, el concepto de bse el de En l notción eponencil un núero culquier se descopone en dos fctores: Un núero decil cuo vlor generlente está entre 0, Un potenci de 0, es decir 0 elevdo l n (o se, 0 n ). El núero finl es el producto de bos fctores. Ejeplos:.) Pr escribir en notción eponencil el núero,, se observ que,., 000, de odo que,. 0.) Pr escribir en notción eponencil el núero 7,00,000,000, se observ que 7,00, 000, 000 7., 000, 000, 000, por lo que 9 7,00, 000, 000 7. 0.) Pr escribir en notción eponencil el núero 6,00, se observ que 6,00 6. 0, 000, sí que 6,00 6. 0 En generl, el núero b l n-ési potenci, lo que se escribe coo b n, se lee b elevdo l n, donde n es un núero nturl, signific: n b bbb... b ( n fctores) En est epresión, l núero b se le conoce coo l bse l núero n coo el eponente. Así, en l epresión, el es l bse el es el eponente. L epresión se lee tres elevdo l dos, o tres l cudrdo, signific: fctores
. Ejeplos:.) ( fctores).) ( fctores) 0.)... (0 fctores).) ( fctores) 9 6 Un signo negtivo que precede directente un epresión que está elevd un potenci tiene el efecto de hcer negtiv tod l epresión. Entonces, signific no. Ejeplos:.) Pr evlur 9 luego se tiene si 9, se clcul:.) Pr evlur 9 si, se clcul: luego se tiene 9 Conviene observr que, de cuerdo con ls Regls de los Signos que se epusieron en l Unidd, cundo 0, cntidd negtiv. siepre será un cntidd positiv ientrs que siepre será un
. Ejeplos:.).) Ls operciones con núeros elevdos potencis siguen vris lees (Lees de los eponentes) que se eponen ás delnte. Objetivo. Recordrás l le pr ultiplicr fctores con l is bse eponentes enteros. Le I.- Cundo se ultiplicn dos potencis de l is bse, su resultdo es l is bse elevd un potenci igul l su de ls potencis de los fctores. n n En otr plbrs, pr ultiplicr epresiones eponenciles de l is bse, se conserv l bse coún se sun los eponentes. Ejeplos:.) 8.) 6.) 7 Objetivo. Recordrás el significdo de los eponentes negtivos del eponente nulo. Pr culquier núero rel,, distinto de cero, culquier núero nturl :
. Si es culquier núero distinto de cero, entonces: 0 Ejeplos:.) 8.).) 0.) Pr entender ejor está últi epresión, es conveniente recordr que pr dividir dos núeros bst con ultiplicr l dividendo por el inverso del divisor, de odo que.) Coo en el ejeplo nterior, est epresión se puede siplificr pr dejr 6.) 0 0
. 6 En l práctic, coo se observ en estos ejeplos, en un frcción es posible over un fctor del nuerdor l denoindor, o vicevers, sipleente cbindo de signo su eponente. Objetivo. enteros. Recordrás l le pr dividir fctores con l is bse eponentes Le II.- Cundo se dividen dos potencis de l is bse, su cociente es l is bse elevd un potenci igul l diferenci entre l potenci del dividendo l del divisor. n n Es decir, pr dividir epresiones eponenciles de l is bse, se conserv l bse coún se rest l eponente del dividendo el eponente del divisor. Ejeplos:.) 7 7.) 7 7.) ( ) Objetivo. enter. Recordrás l le pr elevr un potenci enter otr potenci Le III.- Cundo un potenci de un bse se elev otr potenci, el resultdo es un térino de l is bse con un eponente igul l producto de ls dos potencis.
. 7 n n Lo nterior indic que pr elevr un potenci de un bse otr potenci, se conserv l bse se ultiplicn los dos eponentes. Ejeplos:.) * 6 6.) 9 9.) 6 6,0,6 Objetivo 6. potenci enter. Recordrás ls lees pr elevr un producto o un cociente un Le IV.- Cundo un producto de dos o ás fctores se elev, todo l vez, un potenci, el resultdo es el iso producto pero con cd fctor elevdo l potenci dd. b b Le V.- Cundo un cociente se elev, todo l vez, un potenci, el resultdo es el iso cociente pero con el dividendo el divisor elevdos l potenci dd. b b Ejeplos:.) Pr elevr el producto l curt potenci, es decir pr obtener elev l curt potenci cd uno de los fctores se tiene 8, se
. 8.) Pr elevr el cociente l cudrdo, es decir pr obtener, se elevn l cudrdo el dividendo el divisor qued.) Pr elevr el cociente b dividendo el divisor pr obtener b b l cubo, es decir pr obtener, se elevn l cubo el b, coo tnto en el nuerdor coo en el denoindor se tienen productos, se plic l le pr elevr un producto un potenci qued b b 8 7b Objetivo 7. Recordrás l notción de rdicles. L ríz cudrd principl o positiv de un núero positivo n, que se escribe positivo que l ultiplicrse por sí iso d coo resultdo n. n, es el núero Si en lugr de buscr un núero que l ultiplicrse por sí iso dé coo resultdo n, se busc un núero que elevdo l tercer, curt o quint potenci dé coo resultdo n, se dice que dicho núero es l ríz tercer (o cúbic), curt o quint de n, sí sucesivente. En l notción de rdicles lo nterior se escribe coo n, n, n, etcéter. En otrs plbrs, b signific que n signific que b n ; n signific que n ;, en generl,
. 9 Al síbolo que sirve pr indicr un ríz,, se le ll signo rdicl. El núero o epresión dentro del signo rdicl es el rdicndo l núero que sirve pr indicr l ríz se le ll índice. Signo rdicl índice n rdicndo Ejeplos:.) En l epresión 8, el rdicndo es 8 el índice es. 8 signific que 8..) En l epresión 8, el rdicndo es 8 el índice es. 8. 8 signific que.) En l epresión 9, el rdicndo es 9 el índice, que en este cso no se escribe, es. 9 7 signific que 9 7 Objetivo 8. Recordrás el significdo de los eponentes frccionrios. Si n 0, se define: n n De este odo, un bse elevd un eponente frccionrio en el que el nuerdor es, es equivlente un epresión en notción rdicl, en l que l bse es el rdicndo el denoindor del eponente es el índice. Ejeplos:.).)
. 0.) Ls lees enuncids nteriorente pr eponentes enteros, son tbién válids pr eponentes frccionrios. Por tnto, de cuerdo con l le pr elevr un potenci otr potenci, se tiene: n n n, n n n puesto que n n n Así, en generl, un eponente frccionrio represent l ríz de un potenci o, lo que es lo iso, l potenci de un ríz. Sin ebrgo, en ocsiones, l división n result ect, de odo que el eponente del resultdo es un entero. Ejeplos: 6 6.) 6 n n.) n 6.) 6 8 8.) 7 7 8 6 7 8 Objetivo 9. frccionrios o con rdicles. Recordrás ls lees pr ultiplicr dividir fctores con eponentes Coo se indicó, ls lees epuests pr eponentes enteros son cierts culesquier que sen l bse los eponentes n, tnto si son positivos coo negtivos o nulos, enteros o frccionrios.
. Pr el cso de los eponentes frccionrios, ls lees quedn sí: Le I.- n n n n puesto que, l tor coún denoindor, n n n Le II.- n n n n Le III.- n n puesto que n n Le IV.- b b Le V.- b b Ejeplos:.) 7 7 8.) 6 6.)
..) 7 7 7 7 6 Pr el cso de los rdicles es necesrio tener en cuent que el índice del rdicl es el denoindor de un eponente frccionrio. Por ello, ls lees de eponentes cundo se enuncin escriben pr l notción rdicl son: Le I.- Cundo se ultiplicn dos ríces del iso rdicndo, su resultdo es un ríz con el índice igul l producto de los índices de los fctores, el iso rdicndo elevdo l su de los índices originles. n n n Le II.- Cundo se dividen dos ríces del iso rdicndo, su cociente es un ríz con el índice igul l producto de los índices de los fctores, el iso rdicndo elevdo l diferenci del índice del divisor enos el del dividendo. n n n Le III.- Cundo un ríz de un rdicndo se le to otr ríz, su resultdo es un ríz del iso rdicndo un índice igul l producto de los dos índices de los rdicles plicdos. n n Le IV.- Cundo se to un ríz de un producto de uno o ás fctores, su resultdo es el producto de ls ríces de cd fctor. b b Le V.- Cundo se to un ríz de un cociente, su resultdo es el cociente de l ríz del dividendo entre l ríz del divisor. b b
. Ejeplos:.) 7 7.) 8 6 6.).) 7 7 9 9 6 Objetivo 0. Rcionlizrás epresiones lgebrics con rdicles en el denoindor. En l epresión n, se dice que el rdicndo contiene un ríz n-ési perfect si se puede encontrr en él lgún fctor que conteng un potenci igul o últiplo del índice n del rdicl. Ejeplos:.) L epresión 7 contiene un ríz sépti perfect puesto que se puede escribir 7 7 7 7 7 7.) L epresión b 7 contiene un ríz tercer (o cúbic) perfect puesto que se puede escribir b b b 7 6
. b b b b.) L epresión 6 9 contiene un ríz curt perfect puesto que se puede escribir 6 9 8 Es clro que cundo el rdicndo contiene un ríz n-ési perfect, l epresión rdicl puede siplificrse etrendo del iso l ríz ect correspondiente, puesto que de cuerdo con ls lees de eponentes rdicles kn n n n k n k k n Ejeplos: 7.) Coo 7 7, se etre l ríz ect qued 7 7 b b b, se etre l ríz ect qued 7.) b 7 b b.) 6 9, se etre l ríz ect qued 6 9
. Un epresión que inclu lgún rdicl se encuentr en for siple si:.) El rdicndo no tiene fctores con un ríz n-ési perfect. b.) El rdicndo no inclue frcciones. c) No eisten rdicles en el denoindor de un frcción. Ejeplos:.) L epresión: b 7 no está en for siple, porque el rdicndo inclue un ríz 7 b b b. cúbic perfect:.) L epresión: z está en for siple..) L epresión: 6 z está en for siple..) L epresión: 6 9 no está en for siple, porque el rdicndo contiene un 6 frcción, deás, contiene un ríz curt perfect: 9.) L epresión: denoindor. b no está en for siple, porque prece un rdicl en el Rcionlizr un frcción es eliinr los rdicles que eistn en su denoindor. Pr rcionlizr un frcción se ultiplicn el nuerdor el denoindor por un rdicl que l ultiplicrse con el del denoindor lo conviert en un ríz perfect, siplificr ést por tener ríz ect. Ejeplos:
. 6.) Pr rcionlizr l epresión b se ultiplicn el nuerdor el denoindor por b pr obtener b b b b b b b b b b b.) Pr rcionlizr l epresión 8 conviene observr que 8 9 de odo que inclue un ríz cudrd perfect (l correspondiente ), por lo que bst con ultiplicr el nuerdor el denoindor por pr obtener 8.) Pr rcionlizr l epresión z w es iportnte notr que en el rdicndo eisten fctores elevdos diferentes potencis, por lo que es necesrio buscr pr cd uno l potenci que hce flt ultiplicr pr obtener l ríz curt perfect que se necesit. Coo está elevdo l prier potenci, debe ultiplicrse por ultiplicrá por sí is; se ultiplicn el nuerdor el denoindor por ; z se w por w. Por tnto, pr rcionlizr l epresión dd z w z w z w z w z w z w z w z w z w z w pr obtener
. 7 z w zw z w zw z w zw Objetivo. eponentes los rdicles. Siplificrás epresiones lgebrics plicndo ls lees de los Muchs epresiones lgebrics se pueden siplificr plicndo ls lees de los eponentes los rdicles. En generl, l siplificción consiste en efectur ls operciones que estén indicds escribir los resultdos con potencis que no inclun eponentes negtivos ni frccionrios con los rdicles en l for siple que se definió nteriorente. Pr ello, los fctores que tengn eponentes negtivos se trsldn del nuerdor l denoindor de l epresión los eponentes frccionrios se convierten en epresiones escrits en for de rdicles. En cso de necesidd, se rcionlizn ls epresiones resultntes coo se h indicdo ntes. Ejeplos:.) Pr siplificr l epresión bst con tor en cuent que 9 trsldr el fctor l denoindor pr dejr 9.) Pr siplificr l epresión z priero se eliin el eponente negtivo z z después, se to en cuent l le pr elevr un cociente un potenci pr que quede
. 8 z z finlente, se to el recíproco indicdo en l últi operción 9z z.) Pr siplificr l epresión correspondiente z se elev cd fctor l potenci 8 z z luego se efectún ls operciones indicds pr obtener z z 8 8 z 7 8 z 7.) Pr siplificr l epresión 7w 8 w w 7 en prier lugr se identific que tods ls ríces que precen son cúbics, de odo que se puede incorporr tod l epresión en un solo rdicl 7 7 8 7 7w 8w w w w w luego se efectún ls operciones indicds en el rdicndo qued 7 8 7 7 8 7 w w w w w w w 9 w 9 w coo el rdicndo es un ríz cúbic perfect se obtiene
. 9 w w 9 6w.) Pr siplificr l epresión eponentes priero se efectún ls operciones con los luego, se convierte el eponente frccionrio l for de rdicles se rcionliz