Los números complejos

7 Los números complejos 1. Forma binómica del número complejo Piensa y calcula Halla mentalmente cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones en el conjunto de los números reales. a) x 2 25 = 0 b) x 2 + 9 = 0 a) Tiene dos soluciones: 5 y 5 b) No tiene solución real. Aplica la teoría 1. Completa con equis las casillas a las que pertenecen los siguientes números. Números 3/4 2 + 5i 4 π 5 23 Números 3/4 2 + 5i 4 π 5 23 4. Halla mentalmente las siguientes raíces: a) 16 b) 25 a) ± 4 b) ± 5i 5. Calcula mentalmente x e y para que los siguientes números complejos sean iguales: x = 3, y = 4 = x 4i = 3 yi 2. Escribe cinco números complejos que no sean reales. 2 + 3i, 5i, 4, 3 4i, 4 7 3. Escribe cinco números imaginarios puros. i, 3i, 3i, 5i, 5i 6. Halla los números complejos representados en el siguiente plano de Gauss por sus afijos: z 8 z7 z6 z 9 220 SOLUCIONARIO

= 3 3i = 3i = 3 = 0 = 4 + 5i z 7 = 2i z 9 = 5 z 8 = 1 + 5i = 3 = 3 3i = 3 4i z 8 = 1 + 5i = 4 + 5i = 3i = 0 z 9 = 5 z 7 = 2i = 3 4i 7. Representa los afijos de los siguientes números complejos en el plano de Gauss. a) = 2 3i b) = 4 c) = 4 + 5i d) = 3i e) = 3 4i f) = 2 g) z 7 = 5 + 3i h) z 8 = 5i z 9 = 4 + 5i = 3 4i = 4 = 3i = 2 z 8 = 5i z 7 = 5 + 3i = 2 3i 2. Operaciones en forma binómica Piensa y calcula Las raíces de la ecuación de 2º grado x 2 4x + 13 = 0 son x 1 = 2 + 3i,x 2 = 2 3i.Represéntalas en el plano de Gauss. Respecto de qué recta son simétricas? = 2 + 3i = 2 3i Son simétricas respecto del eje de abscisas, Aplica la teoría 8. Sean = 3 4i, = 2 + 5i a) + b) c) 2 5 d) 3 + 4 a) 1 + i b) 5 9i c) 16 33i d) 17 + 32i 9. Sean = 3 + 5i, = 4 2i, = 1 + 6i a) b) c) a) 22 + 14i b) 33 + 13i c) 8 + 26i TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 221

10. a) (3 + 2i) 2 b) ( 4 + 7i) 2 c) (2 i) 2 d) (1 + i) 2 a) 5 + 12i b) 33 56i c) 3 4i d) 2i 11. Sea z = 4 3i. a) el opuesto de z b) el conjugado de z c) el inverso de z d) el producto z z a) z = 4 + 3i b) z = 4 + 3i 4 3 c) z 1 = + i d) z z = 25 25 25 12. Sea = 2 + 6i, = 3 i, = 4 + 5i a) / b) / c) / 13. Calcula las siguientes potencias: a) i 259 b) i 342 c) i 372 d) i 109 a) i b) 1 c) 1 d) i 14. Dado el número complejo z = 3 + 5i,calcula: z z z 1 3 5i 15. Dibuja un rectángulo de centro el origen de coordenadas y lados paralelos a los ejes, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del número complejo z = 5 + 3i. Halla las coordenadas de los otros tres vértices en función del opuesto y/o del conjugado de z z = 5 + 3i z = 5 + 3i 22 34 17 11 a) 2i b) i c) i 41 41 41 41 z = 5 3i z = 5 3i 3. Forma polar del número complejo Piensa y calcula Dado el número complejo z = 3 + 4i,halla mentalmente la longitud de la hipotenusa,r, del triángulo rectángulo siguiente, la tangente del ángulo α y, utilizando la calculadora, el ángulo α z = 3 + 4i r = 5 tg α = 4/3 α= 53 7 48 r α 3 4 222 SOLUCIONARIO

Aplica la teoría 16. Calcula mentalmente el módulo y el argumento de los siguientes números complejos y pásalos a forma polar. a) = 5i b) = 6 c) = 3i d) = 4 d) α 2 r 5 = 2 5i a) 5 90 b) 6 180 c) 3 270 d) 4 0 = ( 29) 291º 48 5 = 17. Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos y pásalos a forma polar y trigonométrica. a) = 3 + 5i b) = 4 6i c) = 3 + 2i d) = 2 5i a) = 3 + 5i = 29(cos 291º 48 5 + i sen 291º 48 5 ) 18. Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos y pásalos a forma trigonométrica y binómica. a) = 3 60 b) = 4 225 c) = 5 330 d) = 6 150 a) r α 3 5 = 3 60 3 60º = ( 34) 59º 2 10 = = 34(cos 59 2 10 + i sen 59 2 10 ) b) = 3(cos 60º + i sen 60º) = 1 3 3 3 3 = 3 ( + i ) = + i 2 2 2 2 b) 4 α 6 r = 4 6i = (2 13) 236º 18 36 = = 2 13(cos 236 18 36 + i sen 236 18 36 ) c) = 4(cos 225º + i sen 225º) = 2 2 = 4 ( i ) = 2 2 2 2i 2 2 c) 225 4 = 4 225 = 3 + 2i r 2 α 3 = ( 13) 146º 18 36 = = 13(cos 146 18 36 + i sen 146 18 36 ) 330º = 5(cos 330º + i sen 330º) = 3 1 5 3 5 = 5 ( i ) = i 2 2 2 2 5 = 5 330 TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 223

d) c) = 6 150 6 150º z 4 3 30º = 6(cos 150º + i sen 150º) = 3 1 = 6 ( + i ) = 3 3+ 3i 2 2 19. Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos y pásalos a forma polar y binómica. a) = 3 (cos 225 + i sen 225 ) b) = 2 (cos 300 + i sen 300 ) c) = 4 (cos 30 + i sen 30 ) d) = 5 (cos 135 + i sen 135 ) a) 3 1 = 4 30º = 4( + i ) = 2 3 + 2i 2 2 d) 2 2 5 2 5 2 = 5 135º = 5( + i ) = + i 2 2 2 2 5 135º 225º 2 2 3 2 3 2 = 3 225º = 3( i ) = i 2 2 2 2 b) 3 20. Define y representa el lugar geométrico definido por: z = 5 z = 5 300º 2 1 3 = 2 300º = 2 ( i ) =1 3i 2 2 Es una circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio 5 224 SOLUCIONARIO

4. Operaciones en forma polar Piensa y calcula Dado el número complejo z = 4 + 4i,multiplica reiteradamente tres veces por i. Representa en el plano de Gauss el número complejo z = 4 + 4i y los tres números complejos que has obtenido. Une mediante un segmento cada afijo con el siguiente, y el último con el primero. Qué figura se obtiene? = 4 + 4i = 4 + 4i = 4 4i = 4 4i Se obtiene un cuadrado. Aplica la teoría 21. Sean = 2 120, = 3 210, = 4 315 a) b) c) a) 6 330 b) 8 75 c) 12 165 a) 125 90 b) 81 180 c) 32 225 24. Un triángulo equilátero de centro el origen de coordenadas tiene un vértice en el punto A(0, 5). Halla las coordenadas de los otros dos vértices y dibuja dicho triángulo. 22. Sean = 6 225, = 3 150, = 2 300 = 5i = 5 90 = 5 90 1 120 = 5 210 a) / b) / c) / = 5 210 1 120 = 5 330 a) 2 75 b) 3 285 c) 1,5 210 23. Sean = 5 150, = 3 225, = 2 45 a) 1 b) 2 c) 3 = 5 210 = 5 90 = 5 330 TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 225

5. Radicación de números complejos Piensa y calcula a) Calcula mentalmente 1. Cuántas raíces tiene? 4 b) Observando que 1 = 1, calcula mentalmente 1. Cuántas raíces tiene? a) 1 y 1, tiene dos raíces. b) 1, 1, i y i, tiene cuatro raíces. 4 Aplica la teoría 25. Halla las raíces cúbicas de z = 8i;represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? z = 8 90 27. Halla las raíces quintas de z = 3 + 4i;represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? z = 5 126 52 12 = 2 30 = 2 150 = 2 270 = ( 5 5) 25º 22 26 = ( 5 5) 97º 22 26 = ( 5 5) 169º 22 26 = ( 5 5) 241º 22 26 = 2 150 = 2 30 = 2 270 Se obtiene un triángulo equilátero. 26. Halla las raíces cuartas de z = 81; represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? = ( 5 5) 313º 22 26 = ( 5 5) 169º 22' 26'' z ( 5 4 = 5) 241º 22' 26'' Se obtiene un pentágono regular. ( 2 = 5) 97º 22' 26' = ( 5 5) 25º 22' 26'' z ( 5 5 = 5) 313º 22' 26'' z = 81 180 = 3 45 = 3 135 = 3 225 = 3 315 = 3 135 = 3 45 28. Resuelve las ecuaciones siguientes; representa las raíces gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? a) + 16 = 0 b) 16i = 0 Se obtiene un cuadrado. = 3 225 = 3 315 a) + 16 = 0 z = 4 16 = 4 16 180 = 2 45 = 2 135 = 2 225 = 2 315 226 SOLUCIONARIO

31. Halla una ecuación de 2º grado que tenga las raíces: 6± 5i = 2 135 = 2 45 (x 6) 2 + ( 5 ) 2 = 0 x 2 12x + 41 = 0 = 2 225 = 2 315 Se obtiene un cuadrado. b) 16i = 0 z = 4 16i = 4 16 90 = 2 22 30 = 2 112 30 = 2 202 30 = 2 292 30 Se obtiene un cuadrado. 29. Resuelve la ecuación: x 2 + 6x + 10 = 0 a) Cómo son las raíces? En la parábola correspondiente: b) halla el vértice. c) halla el eje de simetría. d) Represéntala. x 1 = 3 + i x 2 = 3 i a) Las raíces son complejas conjugadas. b) V( 3, 1) c) x = 3 d) = 2 112º 30' = 2 22 30' = 2 202 30' z4 = 2292 30' y = x 2 + 6x + 10 32. Resuelve la ecuación: x 2 2x + 3 = 0 a) Cómo son las raíces? En la parábola correspondiente: b) halla el vértice. c) halla el eje de simetría. d) Represéntala. x 1 = 1 + 2 i x 2 = 1 2i a) Las raíces son complejas conjugadas. b) V(1, 2) c) x = 1 d) y = x 2 2x + 3 V(1, 2) x = 1 33. Dado el dibujo de la parábola siguiente, halla: a) el vértice. b) las raíces. c) la ecuación de la parábola. V( 3, 1) x = 3 30. Halla una ecuación de 2º grado que tenga las raíces: 2±3i (x 2) 2 + 3 2 = 0 x 2 4x + 13 = 0 a) V(2, 3) b) x 1 = 2 + 3i,x 2 = 2 3i c) (x 2) 2 + 3 = 0 y = x 2 4x + 7 TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 227

Ejercicios y problemas 1. Forma binómica del número complejo 34. Completa con equis las casillas a las que pertenecen los siguientes números. 35. Escribe cinco números complejos que no sean reales. 36. Escribe cinco números imaginarios puros. 37. Halla mentalmente las siguientes raíces: a) 36 b) 64 a) ± 6 b) ± 8i Números 7 13 6/5 2 + 5i 28 e 4 + 5i, 7i, 5, 2 3i, 6 43 7i, 2i, 4i, 9i, 9i Números 7 13 6/5 2 + 5i 28 e 39. Halla los números complejos representados en el siguiente plano de Gauss por sus afijos: = 2 5i = 5i = 2 = 0 = 5 + 3i = 5 5i z 7 = 4i z 8 = 5 + 4i z 9 = 3 40. Representa los afijos de los siguientes números complejos en el plano de Gauss. a) = 3 + 5i b) = 6 c) = 4 6i d) = 2i e) = 2 + 5i f) = 4 g) z 7 = 1 4i h) z 8 = 2i 2. Operaciones en forma binómica z 8 z 8 = 5 + 4i z 9 z 7 = 2 = 2 5i = 2 + 5 = 6 z 7 = l 4i = 5i = 5 + 3i = 0 z 9 = 3 z 7 = 4i = 5 5i = 3 + 5i = 2i = 4 z 8 = 2i = 4 6i 38. Calcula mentalmente x e y para que los siguientes números complejos sean iguales: x = 5, y = 8 = 8 xi = y 5i 41. Sean = 2 3i, = 5 4i a) + b) c) 3 4 d) 5 + 2 a) 7 7i b) 3 + i c) 14 + 7i d) 7i 228 SOLUCIONARIO

42. Sean = 5 2i, = 3 + i, = 6 4i a) b) c) a) 13 + 11i b) 22 32i c) 14 + 18i 43. a) (4 + i) 2 b) ( 5 + 2i) 2 c) (3 3i) 2 d) (6 + i) 2 a) 15 + 8i b) 21 20i c) 18i d) 35 + 12i 44. Sea z = 5 + 2i a) el opuesto de z b) el conjugado de z c) el inverso de z d) el producto z z a) z = 5 2i b) z = 5 2i 5 2 c) z 1 = i 29 29 d) z z = 29 45. Sean = 3 5i, = 2 + i, = 6 + 4i 3. Forma polar del número complejo 48. Calcula mentalmente el módulo y el argumento de los siguientes números complejos, y pásalos a forma polar. a) = 4 b) = 5i c) = 2i d) = 3 a) 4 180 b) 5 90 c) 2 270 d) 3 0 49. Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos, y pásalos a forma polar y trigonométrica. a) = 4 + 5i b) = 3 2i c) = 6 i d) = 1 + 5i a) = ( 41) 128º 39 35 = b) = 4 + 5i 5 4 = 41(cos 128 39 35 + i sen 128 39 35 ) r α a) / b) / c) / 1 13 a) i 5 5 19 9 b) + i 26 26 2 7 c) i 13 26 46. Calcula las siguientes potencias: a) i 159 b) i 242 c) i 272 d) i 209 a) i b) 1 c) 1 d) i 47. Dado el número complejo z = 4 5i,calcula:z z z 1 4 + 5i = ( 13) 326º 18 36 = c) = 13(cos 326 18 36 + i sen 326 18 36 ) = ( 37) 189º 27 44 = 3 r 2 = 3 2i = 37(cos 189 27 44 + i sen 189 27 44 ) α 6 1 r = 6 i α TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 229

Ejercicios y problemas d) = l + 5i r 5 α l d) 315º 3 = 3 315 = ( 26) 78º 41 24 = 50. Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos, y pásalos a forma trigonométrica y binómica. a) = 4 210 b) = 5 135 c) = 6 30 d) = 3 315 a) = 26(cos 78 41 24 + i sen 78 41 24 ) = 3(cos 315 + i sen 315 ) = 2 2 3 2 3 2 = 3( i ) = i 2 2 2 2 51. Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos, y pásalos a forma polar y binómica. a) = 4(cos 150 + i sen 150 ) b) = 3(cos 330 + i sen 330 ) c) = 2(cos 45 + i sen 45 ) d) = 5(cos 240 + i sen 240 ) 210º 4 a) = 4 210 4 150º = 4(cos 210 + i sen 210 ) = b) 3 1 = 4 ( i ) = 2 3 2i 2 2 = 5 135 5 135º 3 1 = 4 150 = 4 ( + i ) = 2 3 + 2i 2 2 b) 330º 3 = 5(cos 135 + i sen 135 ) = c) 2 2 5 2 5 2 = 5 ( + i ) = + i 2 2 2 2 = 6(cos 30 + i sen 30 ) = 3 1 = 6( + i ) = 3 3 + 3i 2 2 = 6 30 6 30º 3 1 3 3 3 = 3 330 = 3( i ) = i 2 2 2 2 c) 2 2 = 2 45 = 2( + i ) = 2 + 2 i 2 2 2 45 º 230 SOLUCIONARIO

d) 55. Sean = 8 45, = 4 210, = 2 330 240º 5 a) / b) / c) / a) 2 195 b) 4 75 c) 2 240 1 3 5 5 3 = 5 240 = 5( i ) = i 2 2 2 2 52. Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos que tienen de argumento 45 53. Define y representa el lugar geométrico definido por: Es una semirrecta, que nace en el origen de coordenadas O(0, 0), y el ángulo formado por el semieje positivo de l as y dicha semirrecta tiene una amplitud de 45 ; es decir, es la bisectriz del primer cuadrante. z = 4 Es una circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio 4 45º 56. Sean = 6 120, = 5 315, = 3 225 a) 3 b) 4 c) 5 a) 216 0 b) 625 180 c) 243 45 57. Un cuadrado de centro el origen de coordenadas tiene un vértice en el punto A(4, 0). Halla las coordenadas de los otros vértices y dibuja dicho cuadrado. = 4 = 4 0 = 4 0 1 90 = 4 90 = 4i = 4 90 1 90 = 4 180 = 4 = 4 180 1 90 = 4 270 = 4i = 4 = 4i 5. Radicación de números complejos = 4i = 4 z = 4 58. Halla las raíces cúbicas de z = 27i;represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? z = 27 270 = 3 90 = 3 210 4. Operaciones en forma polar 54. Sean = 4 60, = 5 240, = 6 300 a) b) c) a) 20 300 b) 24 0 c) 30 180 = 3 330 = 3 90 = 3 210 = 3 330 Se obtiene un triángulo equilátero. TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 231

Ejercicios y problemas 59. Halla las raíces cuartas de z = 16; represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? = 3 = 3i = 3i z = 16 0 = 2 0 = 2 90 = 2 180 = 3 = 3 = 2 270 = 2 90 Se obtiene un cuadrado. = 3i = 2 180 = 2 270 = 2 0 b) + 16i = 0 z = 4 16i = 4 16 270 = 2 67 30 = 2 157 30 = 2 247 30 Se obtiene un cuadrado. = 2 337 30 60. Halla las raíces quintas de z = 3 + 5i;represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? = 2 157 30' = 2 67 30' z = ( 34) 59º 2 10 = ( 10 34) 11º 48 26 = ( 10 34) 83º 48 26 Se obtiene un cuadrado. = 2 247 30' = 2 337 30' = ( 10 34) 155º 48 26 = ( 10 34) 227º 48 26 = ( 10 34) 299º 48 26 Se obtiene un pentágono regular. 61. Resuelve las ecuaciones siguientes; representa las raíces gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? a) 81 = 0 b) + 16i = 0 a) 81 = 0 = 81 z = 4 81 = 3 = 3i 10 = ( 34) 155º 48' 26'' 10 =( 34) 227º 48' 26'' 10 =( 34) 10 =( 34) 10 =( 34) 83º 48' 26'' 11º 48' 26'' 299º 48' 26'' 62. Resuelve la ecuación: x 2 4x + 5 = 0 a) Cómo son las raíces? En la parábola correspondiente: b) halla el vértice. c) halla el eje de simetría. d) Represéntala. x 1 = 2 + i x 2 = 2 i a) Son complejas conjugadas. b) V(2, 1) c) x = 2 d) y = x 2 4x + 5 V(2, 1) x = 2 232 SOLUCIONARIO

63. Resuelve la ecuación: x 2 + 4x + 7 = 0 a) Cómo son las raíces? En la parábola correspondiente: b) halla el vértice. c) halla el eje de simetría. d) Represéntala. x 1 = 2 + 3i x 2 = 2 3i a) Son complejas conjugadas. b) V( 2, 3) c) x = 2 d) 64. Halla una ecuación de segundo grado que tenga las raíces: 3 ± 5i (x 3) 2 + 5 2 = 0 x 2 6x + 34 = 0 65. Halla una ecuación de segundo grado que tenga las raíces: 2 ± 3i V( 2, 3) x = 2 (x + 2) 2 + ( 3 ) 2 = 0 x 2 + 4x + 7 = 0 y = x 2 + 4x + 7 Para ampliar 66. Las raíces cuadradas de los números reales negativos, qué clase de números son? Pon un ejemplo. Son números imaginarios puros. Ejemplo: 9 = ± 3i 67. La suma de un número complejo y su conjugado, qué clase de número es? Pon un ejemplo. Es un número real. Ejemplo: z = 2 + 3i, z = 2 3i z + z = 4 68. El producto de un número complejo y su conjugado, qué clase de número es? Pon un ejemplo. Es un número real. z = 4 + 5i, z = 4 5i z z = 41 69. Dado el número complejo: z = 3 + 5i a) el conjugado del opuesto. b) el opuesto del conjugado. c) qué relación hay entre los resultados obtenidos en los dos apartados anteriores? a) z = 3 + 5i b) z = 3 + 5i c) Que son iguales. 70. Calcula x e y para que: a) x + 2i + 5 3i = 7 + yi b) 3 5i 7 + yi = x + 2i a) x = 2, y = 1 b) x = 4, y = 7 TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 233

Ejercicios y problemas 71. Halla los números complejos representados en forma polar: z 7 z4 = 5 230 = 3 90 = 4 180 = 4 40 = 6 320 = 3 270 z 8 74. Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos cuya parte imaginaria está comprendida entre 2 y 3 Es una franja horizontal, los números complejos que están comprendidos entre las rectas y = 2 e y = 3, incluidas las rectas. 2 Imaginaria (z) 3 y = 3 y = 2 z 7 = 5 120 z 8 = 4 0 72. Representa los siguientes números complejos en el eje polar. a) = 5 330 b) = 4 180 c) = 3 150 d) = 5 90 e) = 2 240 f) = 3 0 75. Si el producto de dos números complejos no reales es un número real, qué relación hay entre sus argumentos? Pon un ejemplo. La suma de los argumentos tiene que ser 180 o 360 2 60 3 120 = 6 180 = 6 g) z 7 = 6 60 h) z 8 = 2 270 z 7 76. Resuelve las ecuaciones siguientes. Representa las raíces gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? a) 1 = 0 b) + i = 0 z 8 a) 1 = 0 z = 6 1 = 6 1 0 = 1 0 = 1 60 73. Escribe la condición que deben cumplir los números complejos representados en la siguiente figura: = 1 120 = 1 180 = 1 240 = 1 300 = l 120 = l 60 Que la parte real esté comprendida entre 2 y 5 2 Real (z) 5 = l 180 = l 0 = l 240 = l 300 Se obtiene un hexágono regular. 234 SOLUCIONARIO

b) + i = 0 z = 6 1 = 6 1 270 = 1 45 = 1 255 = 1 315 = 1 105 = l 75 = 1 165 = l 135 = 1 225 = l 15 = 1 285 = l 195 = 1 345 = l 315 = l 165 = l 105 = l 45 = l 255 Se obtiene un hexágono regular. 77. Resuelve las ecuaciones siguientes. Representa las raíces gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? a) + 1 = 0 b) i = 0 = l 225 = l 285 Se obtiene un hexágono regular. a) + 1 = 0 z = 6 1 = 6 1 180 = 1 345º 78. Halla la ecuación de una parábola que tiene el vértice en el punto V(1, 4) y que no corta al eje de abscisas. Las raíces son: 1 ± 2i (x 1) 2 + 2 2 = x 2 2x + 5 y = x 2 2x + 5 y = x 2 2x + 5 V(1, 4) x = 1 = 1 30 = 1 90 = 1 150 = 1 210 = 1 270 = 1 330 = l 150 = l 90 = l 30 79. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 4 + 5x 2 36 = 0 b) x 4 + 5x 2 + 4 = 0 a) x 1 = 2, x 2 = 2, x 3 = 3i, x 4 = 3i b) x 1 = i, x 2 = i, x 3 = 2i, x 4 = 2i = l 210 = l 330 = l 270 Se obtiene un hexágono regular. b) i = 0 z = 6 i = 6 1 90 = 1 15 = 1 75 = 1 135 = 1 195 80. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 4 + 13x 2 + 36 = 0 b) x 4 3x 2 4 = 0 a) x 1 = 2i, x 2 = 2i, x 3 = 3i, x 4 = 3i b) x 1 = 2, x 2 = 2, x 3 = i, x 4 = i TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 235

Ejercicios y problemas Problemas 81. Halla un número que sumado con su inverso dé 1. Qué tipo de números son el resultado? 1 z + = 1 z + 1 = 0 z 1 3 1 3 = + i, = i 2 2 2 2 El resultado son dos números complejos conjugados, tal que la suma de sus partes reales es uno. 82. Dados los números complejos z 0 = 0, = 3 + 2i, =1+3i, halla + y representa los afijos de z 0,, y +. Únelos mediante segmentos en el siguiente orden: z 0,, +, y z 0. Qué polígono se obtiene? + = 4 + 5i = 1 + 3i z 0 + = 4 + 5i = 3 + 2i z = 3 2i 85. Dados los números complejos = 4 + xi, = x i,halla x para que sea: a) un número real. b) un número imaginario puro. = 5x + (x 2 4) i a) x 2 4 = 0 x = ± 2 b) 5x = 0 x = 0 86. Dados los números complejos = 2 6i, = x + 3i,halla x para que / sea: a) un número real. b) un número imaginario puro. 2x 18 6x + 6 = i x 2 + 9 x 2 + 9 a) 6x + 6 = 0 x = 1 b) 2x 18 = 0 x = 9 Se obtiene un paralelogramo; es equivalente a la suma de vectores. 83. Dado el número complejo z = 5 + 3i,calcula el conjugado, z,el opuesto, z,y el opuesto del conjugado, z.representa los cuatro números complejos en el plano de Gauss y únelos en el siguiente orden: z, z, z, z,z. Qué polígono se obtiene? z = 5 3i z = 5 3i z = 5 + 3i = 5 + 3i Se obtiene un rectángulo. z z = 5 3i 84. Resuelve la siguiente ecuación sabiendo que z es un número complejo: 2z + 6 3i = 5z 3 + 3i z = 5 + 3i z = 5 + 3i 87. Dado el número complejo z = x 3i,halla x para que (x 3i) 2 sea: a) un número real. b) un número imaginario puro. (x 3i) 2 = x 2 9 6xi a) 6x = 0 x = 0 b) x 2 9 = 0 x = ± 3 88. Resuelve la siguiente ecuación: 3x + 5y + (xy 15)i = 22 7i Se transforma en el sistema: 3x + 5y = 22 xy 15 = 7 x 1 = 4, y 1 = 2 x 2 = 10/3, y 2 = 12/5 (x 5i)(3 + yi) = 22 7i 89. Dados los números complejos = x + i, = 2 + i,halla x para que el afijo de esté en la bisectriz del 1 er cuadrante. 236 SOLUCIONARIO

= 2x 1 + (x + 2)i 2x 1 = x + 2 x = 3 Comprobación: = 5 + 5i 93. Escribe la condición que deben cumplir los números complejos representados en la siguiente figura: 90. Define y representa el lugar geométrico definido por: z = 3 Es una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio 3 Que su módulo sea menor o igual que 2 z 2 z = 3 91. Escribe la condición que deben cumplir los números complejos representados en la siguiente figura: 94. Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos que tienen de argumento 150 Es una semirrecta que nace en el origen de coordenadas, y el ángulo que forma el semieje positivo de las con dicha semirrecta tiene de amplitud 150 150º Que su módulo sea 4 z = 4 95. Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos que tienen de parte real 4 92. Define y representa el lugar geométrico definido por: z 5 Es el círculo de centro el origen de coordenadas y radio 5, es decir, la circunferencia y su interior. Es una recta vertical de abscisa 4 x = 4 96. Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos que tienen de parte imaginaria 3 TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 237

Ejercicios y problemas Es una recta horizontal de ordenada 3 y = 3 100. Halla la ecuación de una parábola que tiene el vértice en el punto V(3, 2) y que no corta al eje de abscisas. Las raíces son: x 1 = 3 + 2i x 2 = 3 2i (x 3) 2 + 2 = 0 x 2 6x + 11 = 0 y = x 2 6x + 11 97. Dado el número complejo: 2 2 z = + i 2 2 calcula 0. Da el resultado en forma binómica. y = x 2 6x + 11 V(3, 2) x = 3 z = 1 45 0 = (1 45 ) 50 = 1 50 50 45º = 1 90 = i 98. Aplicando la fórmula de Moivre,expresa sen 2α y cos 2α en función del seno α y del cos α (cos α + i sen α) 2 = cos 2α + i sen 2α Desarrollando el cuadrado del primer miembro e igualando las partes reales e imaginarias, se obtiene: cos 2α = cos 2 α sen 2 α sen 2α = 2 sen α cos α 99. Halla los vértices de un hexágono regular, sabiendo que uno de ellos es el punto A(5, 0) 101. Halla las raíces cúbicas de i y de i,represéntalas gráficamente en los mismos ejes coordenados y forma el polígono que se obtiene uniendo los afijos de cada una de las raíces. z = i = 1 90º = 1 30º = 1 150º = 1 270º z = i = 1 270º = 1 90º = 1 210º = 1 330º A(5, 0) z = 5 0 5 0 1 60 = 5 60 5 60 1 60 = 5 120 = 1 150 = 1 90 = 1 30 5 120 1 60 = 5 180 5 180 1 60 = 5 240 = 1 210 = 1 270 = 1 330 5 240 1 60 = 5 300 5 180 5 120 5 240 5 60 5 0 5 300 Para profundizar 102. En qué números complejos coincide su inverso con su conjugado? Representa gráficamente la solución. 238 SOLUCIONARIO

x y i = x yi x 2 + y 2 x 2 +y 2 Para que las partes reales e imaginarias sean iguales tiene que ser: x 2 + y 2 = 1 Son los números complejos que tienen de módulo uno, es decir, los números complejos que están sobre la circunferencia unidad. Es una franja vertical comprendida entre las rectas x = 1 y x = 4 1 Real(z) 4 x = 1 x = 4 x 2 + y 2 = 1 106. Dado el número complejo: 2 2 z = i 2 2 103. Define y representa el lugar geométrico determinado por: 3 z 5 Son los números complejos cuyo módulo está comprendido entre 3 y 5, es decir, una corona circular de radios 3 y 5, con el centro en el origen de coordenadas. 3 Ì z Ì 5 calcula 0. Da el resultado en forma binómica. z = 1 315 0 = (1 315 ) 50 = 1 50 50 315 = 1 270 = i 107. Si el cociente de dos números complejos no reales es un número real, qué relación hay entre sus argumentos? Pon un ejemplo. La diferencia de sus argumentos tiene que ser 0 o 180 6 30 :2 30 = 3 0 = 3 6 210 :2 30 = 3 180 = 3 104. Escribe la condición que deben cumplir los números complejos representados en la siguiente figura: 108. Halla un número complejo cuyo cuadrado sea un número real negativo. z = 5i = 25 109. Halla un número complejo cuyo cuadrado sea un número imaginario puro. 2 z 4 105. Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos cuya parte real está comprendida entre 1 y 4 z = 3 45 = 9 90 = 9i 110. Aplicando la fórmula de Moivre,expresa sen 3α y cos 3α en función del seno α y del cos α.ten en cuenta que: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 239

Ejercicios y problemas (cos α + i sen α) 3 = cos 3α + i sen 3α Desarrollando el primer cubo e igualando las partes reales e imaginarias, se obtiene: sen 3α = 3 sen α cos 2 α sen 3 α cos 3α = cos 3 α 3 cos α sen 2 α 111. Halla los vértices de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto A(3, 4). Haz el dibujo. = 3 + 4i = i = 4 + 3i = i = 3 4i = i = 4 3i = 4 + 3i = 3 + 4i 113. Halla la ecuación de una parábola que tiene el vértice en el punto V( 3, 1) y que no corta al eje de abscisas. Las raíces son: x 1 = 3 + i x 2 = 3 i (x + 3) 2 + 1 = x 2 + 6x + 10 y = x 2 + 6x + 10 = 4 162 = 4 90 = 4 18 = 4 234 = 4 306 y = x 2 + 6x + 10 = 3 4i = 4 3i V( 3, 1) 112. Halla los vértices de un pentágono regular sabiendo que uno de ellos es el punto A(0, 4) A(0, 4) z = 4 90 4 90 1 72 = 4 162 4 162 1 72 = 4 234 4 234 1 72 = 4 306 4 306 1 72 = 4 18 x = 3 114. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 3 7x 2 + 19x 13 = 0 b) x 3 + 6x + 20 = 0 a) x 1 = 1, x 2 = 3 + 2i, x 3 = 3 2i b) x 1 = 2, x 2 = 1 + 3i, x 3 = 1 3i 240 SOLUCIONARIO