CONTINUIDAD-CURSO 6TO-MATEMÁTICA SÍNTESIS TEÓRICO-PRÁCTICA PROF. SERGIO WEINBERGER INTRODUCCIÓN: L ide de un función continu en es quell en l cul y no present sltos en. Ejemplos: β. En todos estos csos l función no es continu (discontinu) en En estos últimos csos l función es continu en. DEFINICIÓN: f es continu en Lo nterior puede expresrse de form más breve: 1) ) lím f(x) = x ± lím f(x) = x Observción : L definición de continuidd requiere l existenci de, por lo tnto el conjunto de reles pr los cules f es continu el conjunto de continuidd está incluido en el dominio de f. Prof : Sergio Weinberger 1
EJEMPLOS: 1) Si f es un función polinómic lím f(x) = f cont.en R x por tnto un función polinómic es continu x R, coincidiendo en este cso con el dominio. ) Se f : f(x) = x D(f)=R + 0. Estudiremos l continuidd de f : si >0 lím x = por f cont. en x si = 0 lím x ( lím x ) f no es cont. en 0 f cont. x R + x x - si <0 f no es cont. en En este cso el conjunto de continuidd h perdido el 0 respecto l dominio. e x + 3) Se f : f (x) = 1 si x -1 ) Estudir cont. de f x+3 si -1<x<0 en 1 y en 0. x + x + 3 si x 0 b) Grficr f. e x + f (x) 1 x+3 x + x + 3-1 0 x 1+ cont. en 1 : f (-1) = e 1 = e 1 x+ lím (e 1) = e 1 x -1 - lím (x+3) = x -1 + cont. en 0 : f (0) = 0 +.0 + 3 = 3 lím (x+3) = 3 x 0 - lím ( x + x + 3) = 3 x 0 + y 4 por def.cont. por def.cont. f no cont. en -1 f cont. en 0 3 e-1-1 0 1 x Prof : Sergio Weinberger
EJERCICIO1: Estudir l continuidd de ls siguientes funciones : x ) f : f(x)= e b) f : f(x)= Lx c) f : f(x)= x d) f : f (x) = sg(x). Puede definirse sg(0) de modo que f se cont. en o? EJERCICIO: Se f : f (x) = x 4 x + si L x -3 si -1<x<0 en -, 1 y en 0. x si x 0 b) Grficr f. Podrí hcerse f continu en si definiérmos f(-)? CONTINUIDAD LATERAL: Def : f es cont. en + lím f(x) = x + f es cont. en - lím f(x) = x - Observción: De cuerdo est definición : x -1 ) Estudir cont. de f f es cont. en f es cont. en - y f es cont. en + CONTINUIDAD EN INTERVALOS : Definiciones: 1) f es continu en (,b) f es continu x (,b) ) f es continu en [,b] f es continu x (,b), f es cont. en + y f es cont. en b - EJERCICIO3: Considerndo l función del ejercicio, nliz continuiddes lterles de ést en 0. es f continu en (-1,0)? en [-1,0]? y en [-1/,0]? Justifique respuests. OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS : TEOREMAS DE CONTINUIDAD DE SUMA,PRODUCTO Y COCIENTE : 1) Si f es continu en y g es cont. en f+g es cont. en ) Si f es continu en y g es cont. en f.g es cont. en 3) Si f es continu en, g es cont. en y g() 0 f /g es cont. en Demostrremos 1) y los demás quedn crgo del lector : lím (f+g)(x) = lím f (x) + g(x) = f () + g() = (f+g)() x x por teo.lím.sum g() por H y def. cont. Prof : Sergio Weinberger 3
def. función sum teo.lím.sum Demostrción de 1): lím (f+g)(x) = lím f(x) + g(x) = +g() = (f+g)() def.cont. (f+g) cont. en g() (por H y def. cont.) EJERCICIO4: Demostrr )y3) (teos.cont.producto y cociente) EJEMPLO: Estudiremos l continuidd de l función: f:f(x)= 1) x + 3 es continu x > - 3 ( continuidd de l función rdicl) x + 3 (x 7).L(x 5) ( continuidd del numerdor) ) x-7 cont. x R (cont.func.polinómic) (x-)l(x-) L(x-5) es cont. x > 5 ( cont. func. logrítmic) cont. x > 5 3) (x-7).l(x-5) 0 x 7 y x 6 (denomindor no nulo) de 1),)y3)y por teo.cont.cociente (continuidd del denomindor) f es continu x > 5, con x 6 y x 7 EJERCICIO5: Estudir continuidd de l función f : f(x)= (e x+ x 5x 3)(L x + ) CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN COMPUESTA: Si f es cont. en g es cont. en (g o f) cont. en Demostrción: lím (g o f)(x) = lím g[f(x)] = g[] = (g o f)() gof cont. en x x (por cont.de g en ) Ejemplo : Se f : f(x) = L(x -1) x -1 cont. x R (cont.func.polinómic) u= x -1>0 x (-,-1) (1,+ ) Lu es cont. u > 0 ( cont. func. logrítmic) cont. función compuest por cont. de f en (H). f cont. x (-,-1) (1,+ ) Prof : Sergio Weinberger 4
TEOREMAS DE CONTINUIDAD: TEOREMA DE BOLZANO: H f cont. en [,b],.f(b)<0 T c (,b) / f(c)=0 Demostrción : Obs: El teorem no segur l unicidd de l ríz en (,b) A efectos de l demostrción supondremos <0 y f(b)>0 Considermos un conjunto uxilir : A= x [,b] / f(x)<0 L demostrción consiste en ver que dicho conjunto tiene extremo superior y que éste es f(b) ríz de f en (,b). A c b A R y A pues A (def.a) A está cotdo superiormente por b (def.a) por xiom de continuidd. c = ext (A), l ser y b cots inf. y sup. respect.de A c b. (más delnte veremos que c y c b) l ser f cont. en [,b] por H f(c) R Probremos que f(c)=0,suponiendo por bsurdo f(c)<0 o f(c)>0 1) Supongmos f(c)<0. Si sí fuer c b por Hip. f es cont. en c + def.cont. lím f(x) = f(c)<0 teo.cons.signo f(x)<0 x E + (c, δ) x c + ABSURDO Tomndo un x 1 E + (c, δ) [,b] def. A x 1 A, pero x 1 > c= ext (A) lo cul es bsurdo por def. de ext. f(c)<0 y por tnto c. sigf(x) A - - - - - - ext (A) = c x 1 A c+δ b x ) Supongmos f(c)>0. Si sí fuer c por Hip. f es cont. en c - def.cont. lím f(x) = f(c)>0 teo.cons.signo f(x)>0 x E (c, δ) x c - prop. ext x 1 E (c, δ) A f(x 1 )>0 por estr x 1 en el semientorno ABS. f(x 1 )<0 por estr x 1 en A + + + + + sigf(x) f(c)>0 y por tnto c b. x 1 c por 1 y f(c)=o con c (,b) Prof : Sergio Weinberger 5
EJEMPLO: Se f : f(x) = L x- -x Demostrr que f tiene l menos un ríz en (0,1) Aplicremos el teorem de Bolzno: 1) f(0)= L>0, f(1)= -1<0 teo.cont.sum ) L x- cont. x (cont. función log.) -x cont. x R (cont. función polin.) f cont.. x R, x f cont. en [0,1] de 1)y)por teo.de Bolzno c (0,1) / f(c)=0 EJERCICIO6: x 3 Demostrr que f : f(x) = e + x 16 tiene l menos un ríz en el intervlo (3,4) TEOREMA DE DARBOUX (plicción de Bolzno) H f cont. en [,b] T c (,b) / f(c)=k <k<f(b), k R Demostrción: Tomremos un función uxilir f cont. en [,b] por H -k cont. en [,b] (cont.función cte.) g() = k < 0 por H g(b) = f(b) k >0 por H g : g(x) = f(x) k cont.func.sum g cont. en [,b] por teo.de Bolzno c (,b) / g(c)=0 f(c) k = 0 f(c) = k Prof : Sergio Weinberger 6