Mtemátic Cpítulo 4 Comitori Ejemplo Cuáts comids diferetes que coste de u plto pricipl y u eid puede hcerse prtir del siguiete meú? Etrds Sop Esld Pltos priciples Pst Miles de pollo Filete de pescdo Beids Agu mierl Gseos Cervez Vio Eumeremos tods ls comids posiles co u plto pricipl y u eid: PA, PG, PC, PV, MA, MG, MC, MV, FA, FG, FC, FV Hy comids diferetes L elecció del plto pricipl puede hcerse de tres mers diferetes (P, M o F) y, pr cd u de ells, hy cutro mers distits de elegir l eid (A, G, C o V) Cuáts comids diferetes que coste de u etrd, u plto pricipl y u eid puede hcerse? L elecció de l etrd puede hcerse de dos mers diferetes Por cd u de ess eleccioes, hy tres mers diferetes de elegir el plto pricipl, hiedo etoces u totl de 3 6 comids diferetes co etrd y plto pricipl Pr cd u de ess comids hy cutro mers diferetes de elegir l eid, sí que e totl tedremos 6 4 4 comids diferetes co etrd, plto pricipl y eid pst gu gseos cervez vio pst gu gseos cervez vio gu gseos sop miles cervez vio gu gseos esld miles cervez vio filete gu gseos cervez vio filete gu gseos cervez vio Pricipio de multiplicció Si u ctividd cost de t psos sucesivos y el pso puede relizrse de forms, el pso puede relizrse de forms,, el pso t puede relizrse de t forms, etoces el úmero de diferetes resultdos posiles es t
Ejemplo Recordemos que, ddo u cojuto A, el cojuto de prtes de A es el cojuto cuyos elemetos so todos los sucojutos de A Esto es: P(A) {B / B A } Utilizremos el pricipio de multiplicció pr mostrr que si u cojuto A tiee elemetos, P(A) tiee elemetos Si A { x, x,, x }, u sucojuto de A se costruye e psos, cd uo de los cules puede relizrse de dos mers diferetes: se elige o o x, se elige o o x,, se elige o o x Por el pricipio de multiplicció, el úmero de sucojutos posiles es: Ejemplo 3 ) Cuáts cdes de logitud 4 puede formrse co ls letrs A B C D E si o se permite repeticioes? ) y si ls letrs puede repetirse? c) Cuáts cdes de l prte ) comiez co l letr E? d) Cuáts cdes de l prte ) comiez co l letr E? ) U cde de logitud 4 puede costruirse e cutro psos sucesivos: se elige l primer letr, luego l segud, luego l tercer y filmete l curt L primer letr puede elegirse de cico mers U vez elegid l primer letr, l segud puede selecciorse de cutro forms (pues o queremos que l cde teg letrs repetids), u vez elegid l segud letr, l tercer puede selecciorse de tres forms U vez elegid l tercer letr, l curt puede selecciorse de dos forms Por el pricipio de multiplicció, puede formrse 543 0 cdes diferetes de logitud 4 y si letrs repetids ) Si se permite repeticioes, l elecció de cd letr puede hcerse de cico mers diferetes Por lo tto, hy 5555 5 4 cdes c) Si l cde dee comezr co l E, l elecció de l primer letr puede hcerse de u úic mer Como o permitimos repeticioes, l elecció de l segud letr puede hcerse de cutro mers diferetes, l elecció de l tercer, de tres mers y l elecció de l curt letr puede hcerse de dos mers diferetes Etoces 43 4 es el úmero de cdes de l prte ) que empiez co l letr E d) Otr vez, l elecció de l primer letr puede hcerse de u úic form, pero hor l elecció de l segud letr puede hcerse de cico mers diferetes, y lo mismo vle pr l tercer y l curt letr Así que, e este cso, hy 5 5 5 5 cdes Ejemplo 4 Cuáts cdes de ocho its comiez co 0 o co? U cde de ocho its que comiez co 0 puede costruirse e cico psos: se elige el curto it, se elige el quito it,, se elige el octvo it Cd u de ess eleccioes puede hcerse de dos mers (se elige u o u 0) Por el pricipio de multiplicció, hy 5 3 cdes de ocho its que comiece co 0 El mismo rzomieto vle pr ls cdes que comiez co Hy tmié 3 de ests cdes
El cojuto de ls cdes que comiez co 0 y el cojuto de ls cdes que comiez co so cojutos disjutos, sí que el úmero de cdes de ocho its que comiez co 0 o co es 3 3 64 Pricipio de sum: Si X, X,, X t so cojutos co,,, t elemetos respectivmete, y X i X j si i j etoces el úmero de elemetos posiles que puede elegirse de X o X o o X t es t (dicho de otr mer: X X X t tiee t elemetos) Ejemplo 5 U cosejo formdo por Alici, Bert, Crlos, Drío, Ele y Frcisco dee elegir u presidete, u secretrio y u tesorero ) De cuáts forms puede hcerse esto? ) De cuáts forms puede hcerse si dee ser presidete Alici o Frcisco? c) De cuáts forms puede hcerse si Bert dee teer lguo de los puestos? d) De cuáts mers puede hcerse si Bert es presidete o Crlos es secretrio? )Los ocuptes de los crgos puede elegirse e tres psos: º) se elige el presidete (est elecció se puede hcer de 6 mers distits) º)se elige el secretrio (qued pr est elecció cico posiiliddes) 3º)se elige el tesorero (4 posiiliddes) Por el pricipio de multiplicció, hy 6 5 4 0 forms diferetes de elegir u presidete, u secretrio y u tesorero )Si Alici es presidete, rzodo como e ), cocluimos que hy 5 4 0 mers de seleccior u secretrio y u tesorero etre ls cico persos que qued De l mism mer, si Frcisco es presidete, hy 0 mers de elegir los demás El cojuto de ters que tiee Alici como presidete y el de ters que tiee Frcisco como presidete so disjutos Por el pricipio de sum, hy 0 0 40 forms diferetes de elegir presidete, secretrio y tesorero, si Alici o Frcisco dee ser presidetes c)si Bert es presidete, rzodo como e ), hy 5 4 0 mers de elegir secretrio y tesorero De l mism mer, si Bert es secretrio hy 0 mers de elegir presidete y tesorero y si Bert es tesorero, hy 0 mers de elegir presidete y secretrio Como ls tres situcioes so disjuts, por el pricipio de sum hy 000 60 mers de elegir presidete, secretrio y tesorero, si Bert dee ocupr u crgo E est prte tmié podrímos her rzodo de l siguiete mer: l ctividd de elegir presidete, secretrio y tesorero etre ls seis persos si Bert dee ocupr u crgo, puede relizrse e tres psos E el primer pso se sig Bert u crgo (hy pr esto 3 posiiliddes: presidete, 3
secretrio o tesorero)) E el segudo pso se ocup el siguiete crgo más lto (5 posiles eleccioes) E el tercer pso se ocup el otro crgo (4 posiiliddes) Por el pricipio de multiplicció hy 3 5 4 0 forms de elegir u presidete, u secretrio y u tesorero si Bert dee ocupr lgú crgo d)si Bert es presidete hy, como y hemos dicho, 0 mers de ocupr los otros dos crgos Tmié, siedo Crlos secretrio hy 0 mers de ocupr los otros crgos Pero e este cso el cojuto de posiiliddes e ls que Bert es presidete y el cojuto de posiiliddes e ls que Crlos es secretrio o so disjutos Ls sigcioes de crgos que tiee Bert como presidete y Crlos como secretrio perteece mos cojutos (ésts so 4 posiiliddes) Así que el úmero de mers de elegir presidete, secretrio y tesorero, co Bert como presidete o co Crlos como secretrio es : 0 0 4 36 Si X e Y so cojutos fiitos, co y m elemetos respectivmete, y X Y tiee elemetos, l uió de X e Y tiee m elemetos EJERCICIOS U homre tiee ocho cmiss, cutro ptloes y cico pres de zptos Cuáts comicioes de rop puede hcer? Cuáts ptetes de uto diferetes puede costruirse? 3 ) Cuáts cdes de ocho its comiez co 00? ) Cuáts cdes de ocho its tiee el segudo o el curto it igul? c) Cuáts cdes de ocho its tiee exctmete u? d) Cuáts cdes de ocho its tiee l meos u? e) Cuáts cdes de ocho its tiee exctmete dos? f) Cuáts cdes de ocho its se lee igul e ms direccioes? 4 Ls letrs A B C D E se utiliz pr formr cdes de logitud 3 ) Cuál es el úmero totl de cdes? ) Cuáts cdes hy si letrs repetids? c) Cuáts cdes comiez co A? d) Cuáts cdes comiez co A y o tiee letrs repetids? e) Cuáts cdes cotiee l A? f) Cuáts cdes cotiee l A y o tiee letrs repetids? 5 ) Cuátos eteros hy del 5 l 00 iclusive? ) Cuátos so divisiles por 5? c) Cuátos tiee dígitos distitos? d) Cuátos cotiee el dígito 7? e) Cuátos o cotiee l dígito 0? 6 Co refereci l ejemplo 5, de cuáts mers puede ocuprse los crgos si Bert es presidete o Crlos tiee u puesto? 7 ) Cuáts relcioes existe sore u cojuto de elemetos? ) Cuáts relcioes tisimétrics existe sore u cojuto de elemetos? Ejemplo 6 De cuáts mers diferetes puede orderse los omres Mrí, Nicolás y Pul e u list? 4
El primer omre puede elegirse de tres mers diferetes U vez elegido el primer omre Hy 3 6 mers diferetes de order los tres omres Eumeremos ess posiiliddes: Mrí Mrí Nicolás Nicolás Pul Pul Nicolás Pul Mrí Pul Mrí Nicolás Pul Nicolás Pul Mrí Nicolás Mrí Cd uo de los seis ordemietos es u permutció U permutció de elemetos distitos x, x,, x es u ordemieto de los elemetos x, x,, x Existe! permutcioes de elemetos distitos L demostrció del eucido terior es imedit utilizdo el pricipio de multiplicció Ddos elemetos distitos, u permutció de esos elemetos puede costruirse e psos: se elige el primer elemeto, luego el segudo, y filmete se elige el último elemeto El primer elemeto puede elegirse de mers diferetes, hecho esto, el segudo puede elegirse de mers diferetes, el tercer elemeto puede elegirse de mers diferetes y sí sucesivmete, hst el último elemeto que puede elegirse de ( ) mers diferetes Hy etoces ( )( )! permutcioes de elemetos distitos EJERCICIOS 8 ) Cuátos códigos de cutro letrs se puede formr co ls letrs P, D, Q, X si repeticioes? ) Cuátos úmeros diferetes puede formrse utilizdo todos los dígitos,, 3, 4, 5 si repetirlos? c) De cuáts mers puede estcior 6 iciclets e u hiler? 9 ) Cuáts permutcioes de ls letrs ABCDEF cotiee l sucde DEF?(os referimos ls permutcioes de ls letrs dds que tiee ls letrs D, E y F juts y e ese orde) ) Cuáts permutcioes de ls letrs ABCDEF cotiee ls letrs D, E y F juts e culquier orde? 0 De cuáts forms puede setrse seis persos e toro de u mes circulr? Aclrció: Ls forms de setrse oteids medite rotcioes se cosider idétics 5
Ejemplo 7 Cosideremos tods ls cdes diferetes de logitud y si elemetos repetidos que puede formrse co ls letrs A, B y C Usdo el pricipio de multiplicció cocluimos que el úmero totl de dichs cdes es 3 6 Ls seis cdes diferetes so AB ; AC ; BA ; BC ; CA ; CB Cd u de ests cdes es u ordemieto de dos letrs elegids etre ls tres letrs diferetes dds Se y r úmeros turles tles que r U r-permutció de elemetos distitos x, x,, x sucojuto de r elemetos de { x, x,, x } es u ordemieto de u Al úmero de r-permutcioes de u cojuto de elemetos distitos lo deotremos P(,r) U r-permutció de elemetos distitos puede costruirse e r psos: se elige el primer elemeto, luego el segudo y filmete el elemeto r-ésimo Por lo tto, de cuerdo co el pricipio de multiplicció teemos: P(,r) ( )( ) ( r ) De cuerdo ls defiicioes dds, u -permutció de elemetos distitos, es lo que tes hemos llmdo u permutció P(,) ( )( )! Si r <, P(, r) ( )( ) ( r ) ( ) ( r )( r) ( r)! ( r)! Aceptdo como defiició que 0!, podemos escriir: P(, r)! ( r)!, si r 6
Ejemplo 8 Co cuátos podios diferetes puede filizr u crrer de fórmul e l que prticip 9 corredores? Deemos cotr el úmero de ordemietos de tres persos elegids de u grupo de 9, pues cd uo de esos ordemietos determi u primer puesto, u segudo puesto y u tercer puesto 9! 9! L respuest es etoces P ( 9,3) 987 584 (9 3)! 6! EJERCICIOS ) Cuáts permutcioes existe de ojetos distitos? ) Cuáts 5-permutcioes existe de ojetos distitos? Clculr ) P(0,4) ) P(4,4) c) P(, ) d) P(, ) e)p(, ) 3 Hllr el vlor de tl que: ) P(,5) 7 P(,4) ) P(,5) 9 P(, 4) c) P(,4) 8 P(, 3) 4 ) Cuátos códigos de 7 letrs diferetes puede formrse co ls letrs del cojuto { A, B, C, D, E, F, G }? ) Cuátos de 5 letrs diferetes? c) cuátos de hst tres letrs diferetes? Ejemplo 9 De cuáts mers diferetes puede dispoerse ls seis letrs de l plr BANANA? Teemos que cotr el úmero de ordemietos posiles de 6 ojetos que o so todos diferetes: 3 de ellos so igules etre sí y otros so igules etre sí Si rotulmos ls A y ls N teemos seis elemetos diferetes: B, A, N, A, N, A 3 El úmero de permutcioes de esos elemetos es P(6,6) 6! 70 Pero, e uestro cso, hy vris de ess permutcioes que so idistiguiles (por ejemplo B A N A N A 3 y B A N A N A 3 ) Cd permutció tiee otr idétic que es l que se otiee dejdo fij l B y ls A y permutdo ls N O se que podrímos elistr ls 70 permutcioes e pres que result igules Nos qued por lo tto 70 : 360 permutcioes diferetes Rzodo de mer similr, vemos que ess 360 permutcioes su vez puede gruprse e cojutos de 3! 6 que difiere sólo e el orde de ls letrs A y que so por lo tto idétics si ls letrs A o tiee rótulo Hy etoces 360: 6 60 permutcioes diferetes 7
Dd u sucesió S de ojetos etre los que hy elemetos igules del tipo, elemetos igules del tipo,, elemetos igules del tipo, el úmero de permutcioes distiguiles de los elemetos de S es:!!!! EJERCICIOS 5 De cuáts mers puede izrse e u mástil 7 ders etre ls que hy 3 rojs, verdes y mrills? 6 De cuáts mers puede selecciorse u delegció de 3 miemros de u grupo de 5 persos? Como o hy crgos diferetes, e el prolem 6 o import el orde e que se elige ls tres persos de l delegció Cd delegció diferete es u sucojuto de tres elemetos (o ordedo) del cojuto formdo por ls cico persos (lo que llmmos u 3-comició de 5 elemetos ) Ddo u cojuto co elemetos distitos X { x, x,, x } y r, u r-comició de X es u selecció o orded de r elemetos de X (es decir, u sucojuto de X co r elemetos) El úmero de r-comicioes de u cojuto co elemetos se deot C (, r) o tmié r Ls r-permutcioes de u cojuto X de elemetos puede costruirse e dos psos: Primero: Elegimos u r-comició (cos que podemos hcer de C(,r) mers diferetes) Segudo: Ordemos los elemetos de ést (lo podemos hcer de r! mers diferetes) Etoces: y por lo tto: P(, r) C(, r) r! P(, r)! C(, r), r r! r!( r)! 8
EJERCICIOS 7 Iterpretr l fórmul terior pr el cso r 0 7 0 8 Clculr: ) ) c) d) e) 4 8 9 Demostrr que r r culesquier se y r 0 Hllr el vlor de ) 3 ) 6 c) 3 Cuáts cdes de ocho its cotiee exctmete cutro uos? De cuts forms puede elegirse u comité de dos mujeres y tres homres de u grupo de cico mujeres distits y seis homres distitos? 3 Cuátos prtidos de footll se jueg e u lig de 9 equipos si cd uo de ellos dee jugr dos veces cotr cd rivl? 4 U rj de 5 crts cost de 4 plos co 3 deomicioes cd uo de ellos y u mo de póquer cost de cico de ess crts (si importr el orde) ) cuáts mos de póquer puede elegirse? ) cuáts mos de póquer tiee tods ls crts del mismo plo? c) cuáts mos de póquer tiee tres crts de u deomició y otrs dos de otr deomició? Potecis de u iomio Alizremos l form del desrrollo de ( ), siedo y úmeros reles y u úmero turl Pr y 3 se tiee ls coocids expresioes: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 A mer de ejercicio, verifique que: ( ) 4 4 4 3 6 4 3 4 Oserve los desrrollos teriores y coteste: 9
0 - Qué relció hy etre el expoete del iomio y el úmero de térmios el desrrollo? - E cd térmio de u desrrollo, cuál es l sum de los expoetes de y? - Los coeficietes de ( ) so úmeros comitorios:,, 0, qué puede decir de los coeficietes de ( ) 3 y de ( ) 4? Cosideremos hor el cso geerl ( ) ( )( )( ) ( ) fctores Este producto es igul l sum de todos los productos que se puede formr tomdo como fctores u térmio de cd prétesis Cudo elegimos l letr e todos los prétesis, teemos el producto Cudo elegimos l letr e prétesis y l letr e u solo prétesis, tedremos el producto - El producto - precerá etoces veces e el desrrollo de ( ) (tts como mers de elegir u prétesis etre los ddos) Pr cd 0,,, el producto - precerá tts veces como mers hy de elegir prétesis (dode se tom l letr ) etre los ddos, esto es veces Se tiee etoces l siguiete fórmul, coocid como fórmul del iomio de Newto: EJERCICIOS 5Expresr l fórmul del iomio de Newto utilizdo el símolo sumtori 6Mostrr que: ) ) E l fórmul del iomio de Newto los coeficietes equidisttes de los extremos so igules (recordr ejercicio) 7Desrrollr: 4 0 5 7 8 3 9 ) )( ) )( ) )( ) )( ) )( ) )( y x f x c e x d x 8Hllr el térmio de grdo del desrrollo de 0 x x 0 ) (
3 3 9Hllr el térmio de grdo 99 del desrrollo de ( ) 45 x 30Clculr el coeficiete del térmio de grdo 5 de 3x x 3 45 3Hllr los térmios de grdo turl del desrrollo de x x 5 3Usr l fórmul del iomio de Newto pr demostrr que 0 C(, ) 33Iterpretr l iguldd demostrd e el ejercicio terior e térmios de sucojutos de u cojuto de elemetos 34 Mostrr que C(,r) C(,r) C(,r ) (Propiedd de Pscl) 35Se cooce como triágulo de Pscl l siguiete disposició de úmeros 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 0 5 6 7 35 35 7 Compror que e fil de est disposició(0,, ), se ecuetr sucesivmete los úmeros C(,r), r 0,, 36Usr l fórmul del iomio de Newto pr pror que:! 3!! 37Queremos demostrr l fórmul de Newto pr ls potecis de u iomio usdo iducció complet 3 )L ide de l demostrció se puede ver e cómo psmos del desrrollo de ( ) l de ( ) : 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si usmos l propiedd distriutiv, oteemos: 3 ( ) ( ) ( ) 3 3 ( ) ( ) 3 3
)Complete el eucido de P(): P(): Si y so úmeros culesquier etoces ( ) c)escri P() y compruee que el eucido es verddero d)se u úmero turl myor que Escri P() y P() e)complete ( ) ( ) f)use l hipótesis iductiv pr oteer l iguldd: j 0 j j j ( ) ( ) g)escri mos sumdos de l derech como sumtoris y complete: j 0 j j 0 j j j j j j ( ) j 0 h)reescri l segud sumtori pr que el ídice de sum comiece e j j Agrupe ms sumtoris Cuál es el coeficiete de? Use l fórmul de l sum de Pscl pr completr l demostrció