PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS MODULO I

PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS MODULO I ARITMÉTICA Y ALGEBRA Profesor: Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 1

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x b x b. cx d bc x bd. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 4

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1 CONCEPTOS ELEMENTALES DE ARITMÉTICA TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Número primo bsoluto o simple. Número compuesto. Múltiplo. Submúltiplo, fctor o divisor. Número pr. Número impr. Crcteres de divisibilidd. Divisibilidd por. Divisibilidd por. Divisibilidd por 5. Descomposición de un número en sus fctores primos. Máximo común divisor. Regl pr obtener el M.C.D. por descomposición en fctores primos. Mínimo común múltiplo. Método brevido pr obtener el m.c.m. por descomposición en fctores primos. Sum de rcionles de igul denomindor. Rest de rcionles de igul denomindor. Sum y rest de rcionles de distinto denomindor. Multiplicción de rcionles. División de rcionles. 1.1 NÚMERO ABSOLUTO O SIMPLE Es el que es divisible por si mismo y por l unidd. 5 7 11 9 7 41 1. NÚMERO COMPUESTO. O no primo es quel que demás de ser divisible por si mismo y por l unidd es divisible por otro fctor. Ejemplo: 7; 14 es un número compuesto por que demás de ser divisible por 14 y por 1, es divisible, por y Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 7

15 es compuesto por que demás de ser divisible por si mismo y l unidd es divisible por y por 5. 1. MÚLTIPLO. Múltiplo de un número, es el número que contiene éste, un número excto de veces. Los múltiplos de un número se formn multiplicndo este número por l serie infinit de los números nturles: 1,,, 4, 5,...; luego todo número tiene infinitos múltiplos. 8 es múltiplo de por que contiene 4 veces l ; 1 es múltiplo de 7 porque contiene veces l 7; Los múltiplos del 6 son: 1 6 = 6 4 6 =4 6 = 1 5 6 = 0 6 = 18 6 6 = 6 Luego 6, 1, 18, 4, 0 y 6 son múltiplos del 6. 1.4 SUBMÚLTIPLO, FACTOR O DIVISOR. Es el número que está contenido un número excto de veces en otro número. 4 es submúltiplo, fctor o divisor de 1, por que est contenido en 1 tres veces; 5 es fctor de 0, por que est contenido en 0 seis veces. 1.5 NÚMERO PAR. Es todo número múltiplo de. L fórmul generl de los números pres es n, siendo n un número entero culquier, y se impr o impr, pues si es pr, multiplicdo por drá otro número pr, y si es impr, multiplicdo por drá un número pr. Todos los números pres excepto el, son compuestos. 1.6 NÚMERO IMPAR. Es el que no es múltiplo de. L fórmul generl de los números impres es n±1, siendo n un número entero culquier pues n represent un número pr, que umentndo o disminuido en un cntidd drá un número impr. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 8

EJERCICIO 1. 1. Cuántos divisores tiene un número primo?. Cuántos múltiplos tiene un número?. Cuál es el menor múltiplo de un número? 4. Formr cutro múltiplos de cd uno de los números, 5, 7, 9. 5. Si un número es múltiplo de otro. Qué es este número del primero? 6. Cuál es el residuo de dividir un número entre uno de sus divisores? 7. Cuál es el myor divisor de 784?, Y el menor? 8. Son compuestos todos los números pres?, Son pres todos los números compuestos? 9. Son primos todos los números impres?, Son impres todos los números primos? 10. Dig cules son los tres menores números que se pueden ñdir un número pr pr hcerlo impr. 1.7 CARACTERES DE DIVISIBILIDAD. Son cierts señles que nos permiten conocer, por simple inspección, sí un número es divisible por otro. 1.8 DIVISIBILIDAD POR. Un número es divisible por cundo termin en cifr pr o cero. Ejemplos de divisibilidd: 16, 4, 0, 5 y 48 son divisibles por porque terminn en 6, 4, 0, y 8 que son números pres o cero. Ejemplos de no divisibilidd: 1, 4 y 75 no son números divisibles entre porque terminn en 1, y 5 que son números impres. 1.9 DIVISIBILIDAD POR. Un número es divisible por cundo l sum de los vlores bsolutos de sus cifrs es múltiplo de. Ejemplos de divisibilidd: 57 es divisible por cundo l sum de los vlores bsolutos de sus cifrs, + 5 + 7 = 15, y 15 es múltiplo de. Ejemplos de no divisibilidd: Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 9

989 no es divisible por, porque l sum de los vlores bsolutos de sus cifrs, 9 + 8 + 9 = 6, y 6 no es múltiplo de. 1.10 DIVISIBILIDAD POR 5. Un número es divisible por 5 por que termin en cero o cinco. Ejemplos de divisibilidd: 15 y 0 son divisibles por 5 porque terminn en 5 y 0. Ejemplos de no divisibilidd: y 8 no son divisibles por 5 porque no terminn en cero o cinco. EJERCICIO. 1. Por cuáles de los números, y 5 son divisibles 84, 75 y 16?. Dig por simple inspección, cuál es el residuo de dividir 85 entre, 18 entre 5 y 95 entre.. Dig cuál es l menor cifr que debe ñdirse l número 14 pr que resulte un número de 4 cifrs múltiplo de. 4. Dig que tres cifrs distints pueden ñdirse l número 56 pr formr un múltiplo de, de 4 cifrs. 5. Pr hllr el myor múltiplo de contenido en 745. En cunto se debe disminuir este número? 1.11 DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS. Descomponer un número en sus fctores primos es convertirlo en un producto indicdo de sus fctores primos. 6 = y son los fctores primos de 6; 0 = 5, y 5 son los fctores primos del 0. 1.1 REGLA PARA DESCOMPONER UN NÚMERO COMPUESTO EN SUS FACTORES PRIMOS. Se divide el número ddo por el menor de sus divisores primos; el cociente se divide tmbién por el menor de sus divisores primos y sí sucesivmente con los demás cocientes, hst hllr un cociente primo, que se dividirá por si mismo. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 10

. Descomponer 48 en sus fctores primos. 4 4 48 = 4 1 6 Los fctores primos de 48 son y 1 b. Descomponer 04 en sus fctores primos. 04 10 04 = 17 51 17 17 1 Los fctores primos de 04 son, y 17. EJERCICIO. Descomponer en sus fctores los siguientes números. 1. 1. 4. 0 4. 6 5. 40 6. 45 7. 50 8. 60 9. 64 10. 96 11. 10 1. 144 1. 180 14. 40 15. 70 1.1 MÁXIMO COMÚN DIVISOR. Máximo común divisor de o ms números es el myor número que los divide todos exctmente. Se design por ls iniciles M. C. D.. 18 y 4 son divisibles por, y 6. Hy un número myor que 6 que divid 18 y 4? No Entonces, 6 es el M. C. D. de 18 y 4. b. 60, 100 y 10 son divisibles por, 4, 5, 10 y 0. No hy ningún número myor que 0 que los divid los tres. Entonces 0 es el M. C. D. de 60, 100 y 10. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 11

1.1 REGLA PARA OBTENER EL M. C. D. POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS. El M. C. D. de vrios números descompuestos en sus fctores primos es el producto de sus fctores comunes, fectdos de su menor exponente.. Hllr el M. C. D. de 6, 1 y 4. 6 1 4 6 1 6 = 1 6 1 = 1 4 = 1 Pr hllr el M. C. D. multiplicmos que es el fctor común por estr en ls cutro descomposiciones, fectdo del exponente 1 que es el menor; por que que tmbién está en ls cutro descomposiciones fectdo del exponente 1. Luego el M. C. D. de 6, 1 y 4 es = 6. b. Hllr el M.C.D. de 1, 0 y 6. 1 0 6 6 10 18 1 = 5 5 9 1 = 5 1 1 4 = 1 M.C.D = = 4 EJERCICIO 4. Hllr por descomposición en fctores primos el M. C. D. de: 1. 0 y 80. 144 y 50. 45 y 850 4., 77 y 11. 840, 960, 760 y 915 1.15 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 1

Mínimo común múltiplo de dos o más números, es el menor número que contiene un número excto de veces cd uno de ellos. Se design por ls iniciles m.c.m.. 6 contiene exctmente 9 y 6; 18 tmbién contiene exctmente 9 y 6. Hy lgún número menor que 18 que conteng exctmente 9 y 6? No. Entonces 18 es el m.c.m de 9 y 6. b. 60 es divisible por, y 4; 48, 4 y 1 tmbién son divisibles por, y 4. Como no hy ningún número menor que 1, que se divisible por, y 4 tendremos que 1 es el m.c.m. de, y 4. 1.16 MÉTODO ABREVIADO PARA OBTENER EL m.c.m POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS. Se divide cd uno de los números ddos por su menor divisor; lo propio se hce con los siguientes cocientes hst obtener que todos los cocientes sen 1. El máximo m.c.m. es el producto de todos los divisores primos.. Hllr el m.c.m. de 6, 9 y 15. 6 9 15 9 15 El número que no es divisible por un fctor 1 5 primo se repite debjo, como se hizo con el 1 5 5 9 y 15 que no son divisibles por. 1 b. Hllr el m.c.m de 4, 1, 18 y 4 4 1 18 4 6 9 1 1 9 6 9 1 1 1 m.c.m = = 8 9 = 7 EJERCICIO 5. Hllr el m.c.m. de los siguientes números: 1. 8 y 1. 9 y 15. 6 y 16 4. 8 y 0 5. 9, 15 y 18 6. 5, 9 y 10 7. 15, 18 y 6 8. 18, 4 y 40 9. 5, 7, 10 y 14 10., 48 y 108 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 1

1.17 SUMA DE RACIONALES DE IGUAL DENOMINADOR. REGLA: Se sumn los numerdores y est sum se divide entre el denomindor común Por ultimo se simplific el resultdo si se puede. Ejemplo: Sumr 5 9 4 9 5 9 4 9 1 9 1 9 5 4 9 1 10 9 1.18 RESTA DE RACIONALES DE IGUAL DENOMINADOR. REGLA: Se restn los numerdores y est diferenci se divide entre el denomindor común. Por ultimo se simplific el resultdo si se puede. Ejemplo: Restr 7 1 7 5 1 1 5 1 7 1 5 1 1 6 1.19 SUMA Y RESTA DE RACIONALES DE DISTINTO DENOMINADOR. REGLA: Se simplificn los rcionles ddos si se puede. Después de ser irreducibles se reducen l mínimo común denomindor y se procede como en los dos csos nteriores.. Sumr 1 8 9 6 8 9 Simplificndo tendremos: 9 1 1 7 71 4 6 6 b. Restr Simplificndo tendremos: 14 1 7 14 1 11 1 NOTA: Si el número que se v sumr o restr es un número entero, este número tiene de denomindor 1. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 14

. Sumr 1 1 1 4 4 6 4 1 9 49 1 b. Restr 1 1 5 1 5 15 5 1 14 5 EJERCICIO 6. Efectur: 1 5 1... 8 8 8 4 5 1 5 4. 5 4 5 5. 6. 9 9 9 9 9 7 8 8 1 8 7. 5 1 1 1 8. 9. 6 4 8 5 7 4 11 6 10. 5 4 7 1 11. 8 16 5 1 1. 4 5 6 1. 11 7 14. 1 18 6 15. 5 7 7 14 16. 19. 5 1 4 17. 4 18. 7 14 5 4 7 6 0. 8 1 1. 4 8 5 5 1.0 MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES. REGLA: Pr multiplicr dos o ms rcionles se multiplicn los numerdores y este producto se divide entre el producto de los denomindores, y el resultdo se simplific si se puede. Ejemplo: Multiplicr 4 6 5 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 15

6 6 6 4 5 4 5 60 5 1.1 DIVISIÓN DE RACIONALES. Propedéutico de Mtemátics, Modulo I REGLA: Pr dividir dos rcionles se multiplic el numerdor del primer rcionl por el denomindor del segundo rcionl y este producto se divide entre el producto del denomindor del primer rcionl por el número del segundo rcionl, se simplific si se puede. Ejemplo: Dividir 4 4 4 9 8 NOTA: Si el número que se v multiplicr o dividir es un número entero, este número tiene de denomindor 1.. 4 6 4 1 4 1 4 4 b. 4 5 4 5 1 1 4 0 Efectur 4 1.. 5 EJERCICIO 7. 4 10. 5 9 5 7 16 8 1 4 8 4. 7. 8 7 5. 6. 4 5 5 9 5 15 6 8. 9. 7 14 4 5 5 4 5 10. 5 11. 4 6 8 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 16

LENGUAJE ALGEBRAICO. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO. Algebr. Notción lgebric. Signos de operción. Expresión lgebric. Fórmuls. Iguldd. Ecución. Término lgebrico. Coeficiente. Bse exponente, potencil. Monomio. Polinomio. Trducción de expresiones lgebrics l lenguje común y vicevers. Vlores numéricos de ls expresiones lgebrics..1 ALGEBRA. El lgebr es un cienci cuyo objeto es simplificr y generlizr ls cuestiones reltivs los números.. NOTACIÓN ALGEBRAICA Los símbolos usdos en Algebr pr representr ls cntiddes son los números y letrs. Los números se emplen pr representr cntiddes conocids y determinds. Ls letrs se emplen pr representr cntiddes, y sen conocids o desconocids. Ejemplo:, b, c, x, y, etc.. SIGNOS OPERACIÓN L sum (+ ms); L multiplicción ( por); l rest ( menos); l división ( entre). Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 17

Ejemplo: Sum ( + b); Rest ( b); (8 + 4) (8 4) Multiplicción ( b); División ( b); (8 4) (8 4).4 EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es l representción de un símbolo lgebrico o de un o más operciones lgebrics. Ejemplo:, 5x, b c, 5x y x.5 FORMULAS. Áre de un rectángulo = Bse Altur: A = b h.6 IGUALDAD. Es l expresión de que dos cntiddes o expresiones lgebrics tienen el mismo vlor. b c ; x 4x 5 ; x x 1 0.7 ECUACIÓN. Es un iguldd en l que hy un o vris cntiddes desconocids llmds incógnits y que solo es verdder pr ciertos vlores de ls incógnits. x 1 5 ; x 5x 6 0 ; x y 10.8 TÉRMINO ALGEBRAICO. Es un expresión lgebric que const de un solo símbolo o de vrios símbolos no seprdos entre sí por el signo + ò. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 18

4, b, 6xy, x Los elementos de un término son cutro: SIGNO (+ o ), COEFICIENTE, PARTE LITERAL GRADO (reltivo un letr o bsoluto). Y Ejemplo: 5 b c Grdo con respecto : º grdo b º grdo c 1 er grdo Grdo bsoluto: 6º grdo Signo Coeficiente Prte Literl GRADO ABSOLUTO de un término; es l sum de los exponentes de sus fctores literles..9 COEFICIENTE. Es el número o letr que indic cuántos sumdos igules se tomn. = + ( veces) b = b + b + b ( veces) ne = e + e + e + (n sumndos igules e).10 BASE, EXPONENTE, POTENCIA. Convencionlmente el producto 55 se escribe: 5 ; el de 55 5 = 5. 5 se lee CINCO AL CUADRADO, o 5 elevdo l ª potenci. b se lee b CÚBICA, o b elevd l ª potenci. Y en generl, n se lee l ENÉSIMA, o elevd l enésim potenci. En ls expresiones 5, b, n, los números 5, b y se llmn BASE. El numerito (o letr) escrit rrib l derech de l bse, se llm EXPONENTE, e indic el número de fctores igules l bse que hy en el producto. 9 (Potenci) 5 555 15 (Potenci) POTENCIA de un número es un producto (indicdo o efectudo) de dos o más fctores igules ese número..11 MONOMIO. Es un expresión lgebric que const de un solo término. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 19

x y, 5b, 4.1 POLINOMIO., 6 xyz, b c Es un expresión lgebric que const de más de un término. b ( términos); x y ( términos); x x x 7 (4 términos) BINOMIO: Es un polinomio que const de ms de un término. 6 m x b ; x y ; 8 b 4 TRINOMIO: Es un polinomio que const de tres términos. b c ; ; 6x 8y + x 5x 6.1 TRADUCCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS AL LENGUAJE COMÚN Y VICEVERSA.. Escribe l sum de r, s y t: r + s + t. b. L sum del cudrdo de x, el cubo de y y l quint potenci de z: x + y + z 5. c. Siendo m un número entero, escribe los dos números enteros consecutivos posteriores m: m + 1 y m + d. Tengo $b; después recibo $6 y por ultimo pgo un cuent de $d. Cuánto me qued? $ (b + 6 d) e. Compro t mnzns por $v. Cuánto me h costdo cd mnzn? v Cd mnzn cuest: $ t.14 VALORES NUMÉRICOS DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Es el resultdo que se obtiene l sustituir ls letrs por vlores numéricos ddos y efectur después ls operciones indicds. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 0

. Hllr el vlor numérico de 6xy pr x = ; y = 4 6xy 6()(4) 48 b. 7bc bd pr b = 4, c =, d = 8 4 48 84 64 848 67 7bc bd 7 c. m mn n pr m =, n = 5 m mn n 5 5 4 0 75 59 d. b d e c t b d e c t pr =, b = ½, c = ⅓, d = 5, e = ¼, t = 1 5 7 5 1 4 0 1 1 15 7 60 450 7 60 457 60 Usr letr pr indicr. EJERCICIO 8. 1. Lrgo, ncho y lto de un curto.. Tres veces tu ltur.. Precio de un mnzn, de dos mnzns, de seis mnzns, de n mnzns. Escribir ls respuests correspondientes. 4. L distnci d es igul l velocidd v por el tiempo t. 5. El áre A del trpecio se obtiene multiplicndo l semisum de ls bses B y b por l ltur h. 6. El volumen V del cilindro es el producto del áre A de ls bse por l ltur h. Decir de que grdo son los monomios siguientes: (ejercicios 7, 8 y 9) Con respecto cd letr Con respecto tods sus literles. 7. 7xyz 8. 4 8 bc 9. 5 m nr s 10. Si m es un número pr, escribe los tres números pres consecutivos posteriores de m. 11. Tengo que correr t km., en cinco dís. En el primer cmino u km., en el tercero w km., y en el curto x km. Cuánto me flt por recorrer? 1. Escribe el triple de x con el doble de v y l mitd de y. 1. Cuánto importr l compr de (m ) cbllos (n + ), pesos cd uno? 14. Compre x sombreros por s pesos. A como hbrí slido cd sombrero si hubier comprdo menos por el mismo precio? Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 1

15. El áre de un cmpo rectngulr es r m y el ncho mide 8m. Exprese el lrgo. 16. Si un utomóvil recorrido (z + ) km., en w hors. Cuál es su velocidd por hor? 17. Tengo $ r y cobro $ s. si todo el dinero que tengo lo empleo en comprr (t + ) cmiss. A cómo sle cd cmis? 18. En l plnt bj de un edificio hy z hbitciones. En el segundo piso hy triple número de hbitciones que en el primero; en el tercero l mitd de ls que hy en el primero. Cuánts hbitciones tiene el edificio? 19. René tiene x pesos; Rfel tiene l mitd de lo de René; Fernndo l tercer prte. L sum de lo que tienen los tres es menor que 5000 pesos. Cuánto flt est sum pr ser igul 5000 pesos? Hllr el vlor numérico de ls siguientes expresiones pr: x =, y =, u = ⅓, v = ½, z = 5, w = ¼ 0.. x u uv v x y. y 1 4x 1 w u v xy y 1. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin

LOS NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Números positivos y negtivos. Vlor bsoluto de un número. Números opuestos o simétricos. Representción grfic en el eje numérico (enteros rcionles e irrcionles). Adición. Sum de dos o más números positivos. Sum de dos o más números negtivos. Sum de un número positivo y otro negtivo. Sum de vrios números lgebrics de diferentes signos. Sustrcción o rest de números lgebricos. Regl de los signos de un producto. Potenci de un número lgebrico. División de números lgebrics. Regl de los signos de un cociente. Propiedd distributiv de los signos..1 LOS NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS. Ls pérdids y ls gnncis, ls temperturs sobre cero o bjo cero, etc., constituyen evidentemente, diferentes clses de cntiddes. Los números con que se designn ls gnncis, ls temperturs sobre cero, ls ltitudes norte, etc. Se llmn números positivos y se indicn convencionlmente nteponiéndoles el signo +, como (+ 5) o simplemente 5. Los números que sirven pr indicr pérdids, temperturs bjo cero, ltitudes sur, etc. se llmn números negtivos y se h convenido en representrlos nteponiéndoles el signo. Así ( 50) represent un pérdid; ( 5º) referidos tempertur, indic 5 grdos bjo cero, 18 grdos de ltitud, indic un lugr situdo en el hemisferio sur. Si un número positivo no está precedido de ningún signo, se consider como positivo; por tnto, 5 es lo mismo que + 5.. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO. Es el vlor ritmético de un número. Ejemplo: Vlor bsoluto de 5 es 5. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin

. NÚMEROS OPUESTOS O SIMÉTRICOS. Son dos números lgebricos que solo difieren por el signo. + 9 y 9; + b y b; 5 y 5; 7 x y 7x son simétricos..4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA EN EL EJE NUMÉRICO (ENTEROS RACIONALES E IRRACIONALES). El conjunto de los números lgebricos lo formn los números positivos, los números negtivos y tmbién el cero. OPERACIONES CON NÚMEROS ALGEBRAICOS POSITIVOS Y NEGATIVOS.5 ADICIÓN 1. AXIOMA DE UNIFORMIDAD. L sum de dos números es siempre igul, es decir, únic, sí: si = b y c = d, tenemos que: c b d. 5 + = 8; 1 + = ; + = 5. AXIOMA DE EXISTENCIA. L dición es siempre posible. Es decir es siempre posible efectur est operción con o más números y el resultdo es tmbién un número. + b = c 5 + = 7. AXIOMA DE CONMUTATIVIDAD. El orden de los sumndos, no lter l sum o totl. + b = b + Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 4

5 + = + 5 4. AXIOMA DE ASOCIATIVIDAD. Los sumndos se pueden grupr de diferentes forms y siempre d el mismo totl. ( + b) + c = + (b + c) = ( + c) + b 5. AXIOMA DEL ELEMENTO NEUTRO. Hy un número y solo un número, el cero, de modo que: + 0 = 0 + = pr culquier vlor de. De hí que el cero recib el nombre de elemento neutro de l sum. 5 + 0 = 0 + 5 = 5 4 + 0 = 0 + 4 = 4 6. AXIOMA DE EXISTENCIA DEL INVERSO ADITIVO. Pr todo número pr rel 0 ( diferenci de cero) corresponde un número rel y sólo uno x, de modo que + ( ) = 0. Este número se llm inverso ditivo, opuesto o simétrico de y se represent por.. + ( ) = 0 inverso o simétrico de b. 8 + 8 = 0 8 inverso o simétrico de 8.6 SUMA DE DOS O MÁS NÚMEROS POSITIVOS. REGLA: Se sumn los vlores bsolutos de los números y l resultdo obtenido se le ntepone el signo +.. ( + 4 ) + ( + ) = 4 + = + 7 = 7 b. ( + ) + ( + ) + ( + 8 ) = + + 8 = + 1 = 1 c ( + 9 ) + ( + 7 ) + ( + 5 ) + ( + 6 ) = 9 + 7 + 5 + 6 = + 7 = 7.7 SUMA DE DOS O MÁS NÚMEROS NEGATIVOS. REGLA: Se sumn los vlores bsolutos de los números y l bsoluto obtenido se le ntepone el signo.. ( 4 ) + ( ) = 4 = 7 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 5

b. ( ) + ( 6 ) + ( ) = 6 = 11 c. ( 5 ) + ( 8 ) + ( 9 ) + ( 11 ) = 5 8 9 11 =.8 SUMA DE UN NÚMERO POSITIVO Y OTRO NEGATIVO. REGLA: Se encuentr l diferenci ritmétic de los vlores bsolutos de mbos números y l resultdo obtenido, se le ntepone el signo del número myor.. ( + 6 ) + ( ) = 6 = + 4 = 4 b. ( 8 ) + ( + 5 ) = 8 + 5 = c. ( + 7 ) + ( 7 ) = 7 7 = 0.9 SUMA DE VARIOS NÚMEROS ALGEBRAICOS DE DIFERENTES SIGNOS. REGLA: Se sumn todos los números positivos y todos los números negtivos, plicndo los csos 6 y 7 y luego se restn los resultdos, plicndo el cso 8.. ( +7 ) + ( +4 ) + ( ) + ( 5 ) = ( 7+4 ) + ( 5 ) = ( +11 ) + ( 7 ) = + 4 = 4 b. ( +5 ) + ( ) + ( ) + ( +4 ) + ( 1) = ( 5+4 ) + ( 1) = ( +9 ) + ( 6 ) = 9 6 = + = c. ( 9 ) + ( 0 ) + ( +16 ) + ( +14 ) + ( 9 ) + ( 0 )= ( 16+14 ) + ( 9 0 9 0 ) = ( +0 ) + ( 58 ) = 0 58 = 8 Sumr los siguientes números: EJERCICIO 9. 1. ( + 4 ) + ( + ) + ( + 5 ) + ( + 11 ). ( + 8 ) + ( 5 ) + ( 4 ) + ( + 6 ) + ( ). ( 9 ) + ( 8 ) + ( ) + ( 6 ) + ( + 5 ) 4. ( + 1 ) + ( 1 ) + ( ) + ( 6 ) + ( + 5 ) 5. ( 8 ) + ( 6 ) + ( 9 ) + ( 5 ) + ( 4 ) 6. ( + 7 ) + ( 6 ) + ( 5 ) + ( ) + ( ) Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 6

.10 SUSTRACCIÓN O RESTA DE NÚMEROS ALGEBRAICOS. L rest es operción invers de l sum, por tnto; pr restr números lgebricos, se procede l invers de l sum. REGLA: Pr hllr l diferenci entre dos números se sum l minuendo el sustrendo cmbiándole el signo.. ( + 8 ) ( + 4 ) = ( + 8 ) + ( 4 ) = 8 4 = + 4 = 4 b. ( + 8 ) ( 4 ) = ( + 8 ) + ( + 4 ) = 8 + 4 = + 1 = 1 c. ( 8 ) ( + 4 ) = ( 8 ) + ( 4 ) = 8 4 = 1 d. ( 8 ) ( 4 ) = ( 8 ) + ( + 4 ) = 8 + 4 = 4 En l rest pueden suprimirse tmbién los préntesis precedidos del signo, teniendo cuiddo de cmbir el signo del número escrito entre préntesis. Ejemplo: ( + 8 ) ( 7 ) = 8 + 7 = + 15 = 15 Igul ps cundo el préntesis contiene vrios términos.. ( + 9 ) ( 4 + ) = 9 + 4 + = 16 = + 14 = 14 b. ( + 5 ) + ( 8 ) ( 4 + 8 ) + ( 15 ) = 5 + 8 4 + + 8 5 = 18 17 = +1 = 1 EJERCICIO 10. Restr los siguientes números: 1. ( + 1 ) ( + 15 ). ( 16 ) ( + 5 ). ( 1 ) ( 15 ) 4. ( 1 ) ( + 1 ) 5. [ ( + 6 ) + ( ) + ( + )] [ ( 9 ) + ( 4 )] 6. [ ( + ) + ( ) ( + 5 )] [ ( 9 ) + ( 8 )].10 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ALGEBRAICOS. 1. AXIOMA DE UNIFORMIDAD. El producto de dos números es siempre igul, es decir, único, sí si = b c bd. y c = d, tenemos que: Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 7

= 6 = 4 5 4 = 10. AXIOMA DE EXISTENCIA. L multiplicción es siempre posible. Es decir, siempre es posible efectur est operción, pr dos o más números culesquier y el resultdo es tmbién un número. b = c = 6. AXIOMA DE CONMUTATIVIDAD. El orden de los fctores no lter el producto. b = b. Ejemplo: = = 6 4. AXIOMA DE ASOCIATIVIDAD. Los fctores se pueden grupr de diferentes forms y siempre d el mismo producto. ( b ) c = ( b c) Ejemplo: 5. AXIOMA DE DISTRIBUTIVIDAD. ( ) 5 = ( 5 ) = ( 5 ) Con respecto de l sum tenemos que ( + b ) c = c + bc. Ejemplo: 6. AXIOMA DEL ELEMENTO NEUTRO. ( + ) 5 = 5 + 5 = 15 + 10 = 5 Hy un número y sólo un número, el uno (1) de modo que 1 = 1 = pr culquier vlor de. De hí que el uno recib el nombre de elemento neutro de l multiplicción. 5 1 = 1 5 = 5 7 1 = 1 7 = 7 7. AXIOMA DE EXISTENCIA DEL INVERSO MULTIPLICATIVO. Pr todo número rel 0 ( diferente de cero) corresponde un número rel y sólo uno x, de modo 1 1 que 1. Este número se llm inverso multiplictivo o reciproco de y se represent por. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 8

1 1. 5 1 inverso o reciproco de 5. 5 5 1 1 b. 1 inverso o reciproco de..1 REGLA DE LOS SIGNOS DE UN PRODUCTO. 1. El producto de dos números lgebricos del mismo signo es positivo. ( + ) ( + ) = + 6 = 6 ( ) ( ) = + 6 = 6. El producto de dos números lgebricos de distinto signo es negtivo. Estos resultdos pueden indicrse como sigue: ( + ) ( ) = 6 ( 5 ) ( + ) = 10 ( + ) ( + ) = + ( ) ( ) = + ( + ) ( ) = ( ) ( + ) = Ejemplo del producto de vrios números:. ( 5 ) ( + 4 ) ( ) ( + ) = + 10 = 10 b. ( + 5 ) ( 4 ) ( ) ( ) = 10.1 POTENCIA DE UN NÚMERO ALGEBRAICO. 1. L potenci de un número positivo es siempre positiv. ( + ) 5 = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = + = Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 9

. L potenci de un número negtivo es positiv si el exponente es pr. ( 5 ) = ( 5 ) ( 5 ) = 5 ( ) 4 = ( ) ( ) ( ) ( ) = 81. L potenci de un número negtivo es negtiv si el exponente es impr. ( ) = ( ) ( ) ( ) = 8 ( ) 5 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 4 EJERCICIO 11. Efectur ls siguientes multiplicciones. 1. ( + 1 ) por ( + 4 ). ( + 9 ) por ( 8 ). ( 6 ) por ( 9 ) 4. ( 15 ) por ( + ) 5. [( 8 ) + ( 6 )] por [( ) + ( 4 )] 6. [( + 5 ) ( + 4 )] por [( 8 ) + ( + 8 )] 7. ( ) 8. ( ) 4 9. ( 5 ) DIVISIÓN DE NÚMEROS ALGEBRAICOS. Pr dividir se procede igul que en l multiplicción pero dividiendo..14 REGLA DE LOS SIGNOS DE UN COCIENTE. 1. El cociente de dos números lgebricos de igul signo es positivo. ( + 10 ) ( + ) = +5 ( 10 ) ( ) = + 5 = 5. El cociente de dos números lgebricos de diferente signo es negtivo. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 0

( + 1 ) ( ) = 4 ( 1 ) ( + ) = 4 Estos resultdos pueden indicrse como sigue: ( + ) ( + ) = + ( ) ( ) = + ( + ) ( ) = ( ) ( + ) =.15 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA DIVISIÓN. Pr dividir un sum lgebric entre un número, se divide cd sumndo entre dicho número y luego se sumn los resultdos prciles. Ejemplo: Dividir: ( 4 ) + ( + 15 ) + ( 9 ) entre ( ), tmbién se puede indicr como sigue: [( 4) ( 15) ( 9)] () [( 4) ( )] [( 15) ( )] [( 9) ( )] ( 8) ( 5) ( ) 11 5 6 6 EJERCICIO 1. Dividir los siguientes números: 1. ( + 15 ) entre ( + ). ( 9 ) entre ( ). ( 5 ) entre ( + 5 ) 4. ( + 8 ) entre ( 7 ) 5. [( 9 ) + ( + 8 ) + ( + 7 )] entre [( ) + ( + 6 )] 6. [( 6 ) ( 6 )] entre [( + 9 ) + ( 7 )] Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 1

4 LAS OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Grdo de un polinomio. Términos semejntes. Reducción de términos semejntes. Adición. Sustrcción. Signos de grupción. Supresión de signos de grupción. Introducción de signos de grupción. Multiplicción. Ley de los signos. Signo del producto de ms de dos fctores. Ley de los exponentes. Csos de l multiplicción. Regl pr l multiplicción de monomios. Regl pr multiplicr un polinomio por un monomio. Regl pr l multiplicción de polinomios. Potenci de un monomio. Potenci de un polinomio. División. Ley de los signos de l división. Ley de los exponentes en l división. Csos de l división. Regl pr dividir dos monomios. Regl pr dividir un polinomio entre un monomio. Regl pr dividir dos polinomios. 4.1 GRADO DE UN POLINOMIO. El grdo de un polinomio puede ser bsoluto y con relción un letr. GRADO ABSOLUTO: Es el grdo de su término de myor grdo. x 5x x x x 6x y 4 x y + x y y 4º Grdo 5º Grdo 4 5 4 4 6 GRADO CON RELACIONA A UNA LETRA. Es el myor exponente de dich letr en el polinomio. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin

x x 6 4 4 x 4x 6x y 4 5 (6º grdo con respecto l y 4º con respecto l x) (4º grdo con respecto l x y 5º con respecto l y) 4. TÉRMINOS SEMEJANTES. Son quellos que solo difieren por sus coeficientes numéricos y tienen l mism prte literl con los mismos exponentes.. 5b, 7b, 14b son semejntes por b. b. 5 b, 8 b 1, b son semejntes por b. 4 c. 5b y 6 b no son semejntes por que b es diferente de b. 4. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES. REGLA: Se sumn seprdmente los coeficientes precedidos del signo + y los coeficientes precedidos del signo ; luego se restn ls dos sums y se pone el resultdo, fectdo el signo de l sum myor.. 7m m + 4m m = ( 7m + 4m ) + ( m m ) = 11m 5m = 6m b. 14 9 + 6 8 10 = ( 14 + 6 ) + ( 9 8 10 ) = 0 8 = 8 4.4 ADICIÓN. OPERACIONES CON POLINOMIOS. En l sum lgebric se pueden distinguir dos csos: 1. SUMAR DOS O VARIOS MONOMIOS.. SUMAR DOS O VARIOS POLINOMIOS. REGLA: Pr sumr expresiones lgebrics se escriben uns continución de ls otrs con sus propios signos y se reducen los términos semejntes si los hy. Sumr los monomios siguientes:. 5, 4b, 7b, 6; Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin

( + 5 ) + ( 4b) + ( + 7b) + ( 6 ) = 5 4b + 7b 6 = 5 6 4b + 7b = + b = b b. b, 4b, 4, 5, b, 4b; b 4b + 4 5 + b + 4b = b + b 4b + 4 5 = 4b 1 L sum de polinomios se reduce l sum de monomios. Ejemplo: Sumr el siguiente polinomio: 4 + 9b 11 + 8m con 5 + b + 5 ( 4 + 9b 11 + 8m ) + ( 5 + b + 5 ) = 4 + 9b 11 + 8m + 5 + b + 5 = 4 + 5 + 9b + b 11 + 5 + 8m = + 10b 6 + 8m L sum de vrios polinomios tmbién puede hcerse en column. Ejemplo: Sumr: x y x ; 4x x y ; 5 1 x y x x x y 4x x y 1 x x y x x y 7 8 5 5 Pr sumr términos frccionrios se hce como en Aritmétic, tomndo los coeficientes de los términos lgebricos. 1 1 De x 4x x se tomn, 4 y Así 1 6 1 1 4 7 Sumr: EJERCICIO 1. 1. 5 + b c; 5b c + ; c 4b. 5x + xy y; y xy + x ; y xy 8x. x + xy; 65 xy + y ; 65 xy + y 4. x x ; 5 x 1 + 6 x ; 7 x + x 4 ; x 1 1 x Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 4

4.5 SUSTRACCIÓN. Propedéutico de Mtemátics, Modulo I En l rest lgebric, se pueden considerr dos csos. 1. EL SUSTRAENDO EN UN MONOMIO.. EL SUSTRAENDO EN UN POLINOMIO. REGLA: Se escribe el minuendo con sus propios signos y continución el sustrendo con los signos cmbidos y se reducen los términos semejntes si los hy. En cso de que el sustrendo se un polinomio se le cmbi de signo todos los términos del polinomio. NOTA: De hecho podemos considerr l sustrcción como un sum lgebric después de hberle cmbido el signo l sustrendo. Restr 5x + 8x de 9x + 6x Sustrendo (Est l derech de l plbr restr) Minuendo Restr:. 5 bc de x: x ( 5bc ) = x + 5bc b. 8x de nx 15x + 4 ( nx 15x + 4 ) ( 18 ) = nx 15x + 4 + 8x = nx 7x + 4 c. b b + 4b de 4 4b b + b ( 4 4b b + b ) ( b b + 4b ) = 4 4b b + b b + b + 4b = 5 b + 6b EJERCICIO 14. 1. Restr 4m mn + n de 6n mn + 4m. De 4 b + b entre 5b b +. De 5 x x 1 + x entre x 1 + x + x 4. Restr 1 4 b + c de + b c 4.6 SIGNOS DE AGRUPACIÓN. Los signos de grupción o préntesis son de cutro clses: el préntesis ordinrio ( ), el préntesis ngulr o corchete [ ], ls llves { } y el vínculo o brr. Los signos de grupción se emplen pr indicr que ls cntiddes encerrds en ellos deben considerrse como un todo, o se, como un sol cntidd. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 5

4.7 SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN. REGLA: 1. pr suprimir signos de grupción precedidos del signo +, se dej el mismo signo que teng cd un de ls cntiddes que se hlln dentro de él.. pr suprimir signos de grupción precedidos del signo, se cmbi el signo cd un de ls cntiddes que se hlln dentro de él. Suprimir los préntesis en ls siguientes expresiones:. + ( b c ) + ( + b ) = + b c + b = c b. 5x + ( x y ) [ y + 4x ] + ( x 6 ) = 5x x y +y 4x + x 6 = x 6 EJERCICIO 15. Simplificr suprimiendo los signos de grupción y reduciendo términos semejntes. 1. + [ ( + b )]. 4x + [ ( x xy ) + ( y + xy) ( x + y ) ]. + { ( + b ) ( + b c ) + } 4. 4m { m + ( n ) + [ 4n ( m + 1 )] INTRODUCCIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN. REGLA: 1. Pr introducir cntiddes dentro de un signo de grupción precedido del signo +, se dej cd un de ls cntiddes con el mismo signo que teng.. Pr introducir cntiddes dentro de un signo de grupción precedido del signo, se cmbi el signo cd un de ls cntiddes que se incluye en él.. Introducir los dos términos últimos de l expresión dentro de un préntesis precedido del signo +. b + c d 4 = b + ( c d 4 ) b. Introducir todos los términos menos el primero, en un préntesis precedido del signo. + b ( + b ) ( + b ) = [ b + ( + b ) + ( + b)] EJERCICIO 16. Introducir todos los términos, menos el primero, en un préntesis precedido del signo. 1. + b c + d. x x y + xy y. x + y + ( x y ) 4. 4m n + ( m + n ) + ( m n) Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 6

5. x { xy + [ ( x xy ) + y ] } 6. x x + [ 4x + ] x ( x + ) MULTIPLICACIÓN Es un operción que tiene por objeto, dds dos cntiddes llmds fctores, hllr un tercer cntidd, llmd producto. Ejemplo: fctores b = c producto. LEY CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN. El orden de los fctores no lter el producto. Ejemplo: 5 = 5 = 10 b = b b. LEY ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN. Los fctores de un producto pueden gruprse en culquier modo. Ejemplo: b c d = ( b ) ( c d ) = ( b c ) d LEY DE LOS SIGNOS. Signo del grupo de dos fctores. En este cso l regl es: signos igules dn + y signos diferentes dn. ( + ) ( + b ) = +b ( ) ( b ) = + b ( + ) ( b ) = b ( ) ( +b ) = b Lo nterior se puede resumir diciendo: + por + d + por d + + por d por d Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 7

SIGNO DEL PRODUCTO DE MAS DE DOS FACTORES. En este cso l REGLA es:. el signo del producto de vrios fctores es +, cundo tiene un número pr de fctores negtivos o ninguno. ( ) ( b ) ( c ) ( d ) = [ ( ) ( b )] [ ( c ) ( d ) ] = ( + b ) ( + cd ) = b c d b. El signo del producto de vrios fctores es, cundo se tiene un número impr de fctores negtivos. ( ) ( b ) ( c ) = [( ) ( b )] ( c ) = ( + b ) ( c ) = b c LEY DE LOS EXPONENTES. Pr multiplicr potencis de l mism bse, se sumn los exponentes y l sum se pone como exponente de l bse. 4 = ( ) ( ) ( ) = 4++ = 9 CASOS DE LA MULTIPLICACIÓN. En l multiplicción lgebric se distinguen tres csos: 1. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS.. MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO.. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS. REGLA PARA LA MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Se multiplicn los coeficientes con todo y signo de cuerdo con l ley de signos, continución se escriben ls letrs en orden lfbético, poniéndoles sus exponentes de cuerdo con l Ley de los Exponentes. Multiplicr:. por ; tendremos: = ( ) ( + ) = 6 5 b. ( 4 x ) ( x ) ( x ) = ( 4 ) ( ) ( 1) ( ++1 ) = 1 5 x 5 c. ( 18x y ) ( 6y ) ( x y ) = ( 18 ) ( 6 ) ( 1 ) ( x + ) = 108 x 5 y 6 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 8

REGLA PARA MULTIPLICAR UN POLINOMIO. Se multiplic el monomio por cd uno de los términos del polinomio con todo y signo y se seprn los productos sí obtenidos con sus signos. Multiplicr:. x 6x + 7 por 4x, tendremos: ( x 6x + 7 ) (4 x ) = ( x ) ( 4x ) ( 6x ) (4x ) + 7 ( 4x ) = 1x 4 4x + 8x b. ( + m) = ( + m) ( + m) = (9 + 1m + 4m ) ( + m) = 7 + 6 m + 1m + 18 m + 4m + 8m = 7 + 54 m + 6m + 8m Multiplicr : EJERCICIO 17. 1. ( 5 b c) ( 7 b c 4 ) 1. ( x y) ( 5 xy 10 ) ( x ) ( 4 x y). ( x b x 1 ) ( x+1 b ) ( b x ) 4. b + b por b 1 5. m 1 n 1 + 4 mn 5 m n por 8 mn 6. ( x xy + y ) ( x y) 7. (4 + b) ( b) 8. ( m 4mn + n ) ( 4 5 n) 9. ( x 1 x + x 1 ) (4 x x 1 ) 10. ( bc ) 11. ( 4 x bc x 1 ) 4 1. Simplificr ( + b) [ + b ( + ) (b )] 4.19 DIVISIÓN Es un operción que tiene por objeto, ddo el producto fctores (divisor), hllr el toro fctor (cociente). de dos fctores (dividendo) y uno de los Ejemplo: Divisor b c r Cociente Dividendo Residuo Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 9

4.0 LEY DE LOS SIGNOS DE LA DIVISIÓN. L ley de los signos en l división es l mism que en l multiplicción: signos igules d + y signos diferentes d. + entre + d + b b b b b b b b entre d + entre d entre + d 4.1 LEY DE LOS EXPONENTES EN LA DIVISION Pr dividir potencis de l mism bse se dej l mism bse y se le ponen de exponente l diferenci entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor.. Dividir 4 b 4 b ( b) = = b b b. Dividir 5 4 b c ( 4 5 b c b) = = 5 b c b c. Dividir 16 mx y 5 xy 16mx y 16mx 16 = = = mx 5xy 5 5 4.4 REGLA PARA DIVIDIR UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO. Se divide uno de los términos del polinomio entre el monomio seprndo los cociente prciles con sus propios signos. b c m b m c m b m c m (LEY DISTRIBUTIVA DE LA DIVISIÓN). Dividir 6 b + 9 b entre 6 b 9 b b b b. Dividir 4 x 8 10 x 6 5 x 4 entre x 4 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 40

8 6 4 8 6 4 4 x 10 x 5 x 4 x 10 x 5 x 4 x 5 x 4 4 4 4 x x x x 5 4.5 REGLA PARA DIVIDIR DOS POLINOMIOS. 1. Se orden el dividendo y el divisor y se en orden scendente o descendente con respecto un mism letr.. Se divide el término del dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene sí el primer término del cociente.. Este primer término del cociente se multiplic por todo el divisor y el producto obtenido se rest del dividendo, pr lo cul se les cmbi todos de signo, escribiendo cd término debjo de su semejnte. Si lgún término de este producto no tiene ningún término semejnte se el pone prte, de cuerdo con l ordención del dividendo y el divisor. 4. Se divide el primer término obtenido de l rest nterior y se vuele dividir entre el primer término del divisor obtenido l segundo término del cociente. Este segundo término se multiplic por el divisor y el producto obtenido se rest del dividendo cmbiándole de signos. Se vuelve dividir el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectún ls divisiones nteriores hst que el resto del dividendo de cero o el polinomio se de menor grdo que el divisor.. Dividir x x entre x + 1 Explicción: x x + 1 x x x x x x + 0 El dividendo (x x ) y el divisor (x + 1) están ordendos en orden descendente con respecto x. Por lo generl se orden descendentemente por costumbre, pero tmbién se puede hcer en orden scendente. Se divide el primer término del dividendo (x ) entre el primer término del divisor (x) y tenemos x x = x. Este es el primer término del cociente. Luego se multiplic este término del cociente (x) por el divisor (x + 1) y tenemos x(x + 1) = x + x, como este producto lo tenemos que restr del dividendo le cmbimos de signo y result: x x. Estos productos con sus signos cmbidos los colocmos debjo del dividendo (x términos semejntes y hcemos l reducción que result x y bjmos el. x ) con sus Volvemos dividir el primer término del resto del dividendo ( x) entre el primer término del divisor (x) y tenemos ( x) x = que es le segundo término del cociente. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 41

Este segundo término del cociente ( ) lo multiplicmos otr vez por el divisor (x + 1) y tenemos (x + 1) = x cmbiándoles de signo pr l rest nos d x + que lo vmos reducir del dividendo, resultándonos el residuo igul cero. b. Dividir x + 15 8x entre x Ordenndo descendentemente con respecto l x tenemos: x + 5 x + x 8x + 15 x + x 5x + 15 5x 15 0 c. Dividir 6 x xy y entre y + x Ordenndo tnto dividendo (6 x xy y ) como divisor (y + x) en orden descendente con respecto l x tenemos: x y x + y 6x xy y 6x xy 4xy y 4xy + y 0 NOTA: tmbién se pudo hber ordendo con respecto l letr y. d. Dividir x 5x + 7 entre x 4 x 1 x + x 5x + 7 x + 4x x + 7 x 4 El residuo ( ), no tienen x, sí que es de grdo cero con respecto l x, luego quí se detiene l operción porque el dividendo es de grdo inferior que el divisor y el resultdo es: x 1 x 4 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 4

Dividir. EJERCICIO 18. 1. 1 b 5 c 4 entre 4b c. 4 x 5 y 4 z entre x 4 y z. m + mn entre m 4. x 6xy + 5x y entre x 5. m 4 5 m entre 5 m 6. x + x entre x 1 7. 5m 1 + 8m entre m + 8. 11 + 0 entre 5 9. m 4m entre + m 10. x 5 + 64x y + 10x y 4 + xy 4 1x 4 y entre x 4xy 5x y Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 4

5 PRODUCTOS NOTABLES. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Producto notble. Cudrdo de un binomio. Producto de l sum por l diferenci de dos cntiddes. Cubo de un binomio. Producto de dos binomios que tienen un término común. Producto de dos binomios de l form ( x + b ) ( cx + d ) Producto ( ± b ) ( ± b ± b ). División sintétic o brevid. PRODUCTO NOTABLE. Se llmn productos notbles, ciertos productos que por simple inspección, se les puede escribir su resultdo, sin necesidd de efectur l multiplicción. En l list siguiente precen lguns de ls formuls de productos notbles que son útiles en diversos problems de multiplicción y fctorizción. Se recomiend que el estudinte memorice ests seis formuls, tods ls cules pueden estblecerse por multiplicción direct. b b b 1. b. b b. b b b b 4. x x b x b x b 5. x b cx d cx d bc x bd b b 6. b b Efectundo el producto tenemos: b b b b b b b b b b O se: Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 44

Lo mismo sucede pr: b b b b b Efectundo el producto tenemos: b b b b b b b O se: b b b Lo cul puede expresrse en un sol formul que es l siguiente: b b b Luego: el cudrdo de l sum o diferenci de dos cntiddes, es igul l cudrdo de l primer cntidd más o menos (dependiendo este signo del signo que teng el binomio), el doble de l primer cntidd por l segund más el cudrdo de l segund cntidd.. Desrrollr (y + 5) Cudrdo del primero. (y) = y Doble del primero por el segundo.. (y) (5) = 10y Cudrdo del segundo (5) = 5 Luego: (y + 5) = y + 10y + 5 b. Desrrollr ( 6b ) Cudrdo del primero. () = 9 Doble del primero por el segundo.. () (6b ) = 6b Cudrdo del segundo. (6b ) = 6b 4 Luego: ( 6b ) = 9 6b + 6b Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 45

EJERCICIO 19. Escribir el resultdo de los siguientes productos notbles: 1. b. 9 4 m. 5 x y 4. 5 m 4 n 5. x y 6. 4 r s 5 4 7 PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES Se el producto b b efectundo l multiplicción obtenemos: b b b b b 0 b b O se: b b Luego: El producto de dos binomios conjugdos es igul l cudrdo de l primer cntidd menos le cudrdo de l segund cntidd.. Desrrollr: (m + x) (m x) Cudrdo del primero (m) = m Cudrdo del segundo (x) = x Luego: (m + x) (m x) = m x b. Desrrollr: ( b ) ( + b ) = ( ) (b ) = 4 9b 6 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 46

EJERCICIO 0. Escribir el resultdo de los siguientes productos notbles: 1. b b. 5x y5x y. 1 1 4. x yx y 5. x x 5 5 6. x y x y 5 5 CUBO DE UN BINOMIO Se b b b b, efectundo el producto tendremos: b b b b Como Luego: b b b b b b b b b b b b O se: ( + b) = + b + b + b Lo mismo sucede pr: ( b) = b + b b Lo cul puede expresrse en un sol formul que es l siguiente: b b b b Luego: El cubo de l sum o diferenci de dos cntiddes es igul l cubo de l primer cntidd más o menos (dependiendo este signo del que teng el segundo término del binomio), el triple de l primer cntidd elevd l cudrdo por l segund cntidd más el triple de l primer cntidd por l segund elevd l cudrdo, más o menos el cubo de l segund cntidd. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 47

. Desrrollr (x + 4) x 4 x x 4 x 4 4 x 1 x 4 8 x 6 4 b. Desrrollr: (x 8y ) x 8 y x x 8 y x 8 y 8 y 8 x 9 6 x y 8 4 x y 5 1 y 6 4 6 9 EJERCICIO 1. Escribir el resultdo de los siguientes productos notbles: 1. x 1. x y. 5 m 4 n PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN. Sen los binomios (x + ) y (x + b). Su producto es: x x x x b x b x b x b b O se: ()()() x x b x b x b Luego: Al producto de dos binomios que tiene un término común, es igul l cudrdo del término común, más l sum lgebric de los términos no comunes por el término común, más el producto lgebrico de los términos no comunes. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 48

. Efectur (x + 5) (x + ) Cudrdo del término común..(x) = x Sum lgebric de los no comunes por el común... (5 + ) x = 7x Producto lgebrico de los no comunes...... (5)() = 10 Luego: (x + 5) (x + ) = x +7x + 10 b. Efectur: (m + 8) (m 10) Cudrdo del término común.. (m) = m Sum lgebric de los comunes por el común. (8 10) = m Producto lgebrico de los no comunes... (8) ( 10) = 80 Luego: (m + 8) (m 8) = m m 80 EJERCICIO. Escribir el resultdo de los siguientes productos notbles: 1. ( z 8)( z 5). ( x 7)( x ). ( m 6)( m ) 4. ( 6)( 5) 5. ( x )() y x y 6. ( )( 7) n p n p 5.6 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (x + b) (cx + d). Sen los binomios ()() x b c x d. Su producto es: x b c x c x d b c x d x b d c x d b c x b d O se: ()()() x b c x d c x d b c x b d Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 49

. Efectur (x + ) (5x + 4) 1 0 x 1 ( x )( 5 x 4) 1 0 x 8 x 1 5 x 1 1 0 x x 1 1 5 x 8 x b. Efectur: (4m ) (m + 5) 4 4 ( 4 m )( m 5) 1 ( m0 9)( )( 5) 1m 1 1 1 5 m m EJERCICIO. Escribir el resultdo de los siguientes productos notbles: 1. (x + ) (x 1). (m ) (m + ). (6x + 4) (x 5) 4. (4n 4 + 1) (8n 4 1) 5.7 PRODUCTO () b POR () b b El producto de ests dos expresiones es: b b b b b b b b 0 0 b O se : ()() b b b b, lo mismo ocurre pr: Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 50

()() b b b b Lo cul puede expresrse en un sol fórmul que es l siguiente:. Efectur ( m )( 4 m 6 m 9) ()() b b b ( m )( 4 m 6 m 9)( )( ) m 8 7 m b. Efectur ( 4 x )( y1 6 x1 x y 9) y 4 ( 4 x )( y1 6 x1 x y 9)( 4)( ) y 6 4 x 7 y x y 4 6 EJERCICIO 4. 1... 4. ( )( 9 6 4) ( 6 b 1)( 6 b 6 b 1) ( )( x4 y 6 x 9) x y y ( 1 8)( 1 8 6 4) 4 5.8 DIVISIÓN SINTÉTICA O ABREVIADA Trtándose de l división de un polinomio en x entre el binomio de l form x ±, puede obtenerse el cociente con much rpidez, sin seguir el procedimiento ordinrio, emplen l división sintétic. Se l división de 5x + x 4x + entre x, que suele disponerse como sigue: Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 51

5 x 1 x 0 x x x x 5 4 5 x 1 0 x 1 x 4 x 1 x 4 x 0 x 0 x 4 0 4 Como primer brevición, se puede dejr de escribir los productos de cd término del cociente por el término del divisor y poner solmente los productos del segundo término del divisor, con los signos cmbidos. Después, sumndo estos resultdos con el dividendo, se obtiene: 5 x 1 x 0 x x x x 5 4 1 0 x 4 x 4 0 5 x 1 x 0 x Obsérvese que los coeficientes de los diversos grdos de x en 5x + x + 0x + 4 son los coeficientes de los términos del cociente, y que 4 es el residuo. Se puede, por tnto, como ultim brevición, suprimir ls x y poner, demás, (+) en vez de ( ) en el divisor, porque l producto de ( ) por cd término del cociente hy que cmbirle el signo pr efectur l rest. Result, pues, l operción en l siguiente form: 5-4 1 1 0 4 4 0 5 1 0 4 De lo nterior se deduce l siguiente REGLA: 1º. El grdo del cociente es inferior en 1 l dividendo: º. El cociente del primer término del cociente es igul l del primer término del dividendo. º. Cd uno de los demás, es igul l nterior multiplicdo por el segundo término del divisor, con el signo cmbido, más el cociente del término correspondiente del dividendo. 4º. El último número, es el residuo de l división. 5º. Si fltr lgun potenci del el dividendo, se suplirá dándole cero como coeficiente. Ejemplo: Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 5

5 Dividir 5 x x x 4 entre x 5 4 Se supone 5 x 0 x 0 x x x 4 5 0 0 1-4 - - 1 5 4 5-1 5 9 6-1 1 9 1 5-1 5 4 5-1 5 9 7-1 1 9 5 El cociente es: 4 5x 15x 45x 1x 97 ; y el residuo 1195. 6º.Si el primer término del divisor tiene un coeficiente diferente de 1, puede plicrse tmbién l división sintétic, previ división de los términos del dividendo y de los del divisor entre dicho coeficiente, y procede después como en los ejemplos expuestos. EJERCICIO 5. Hllr por división sintétic, el cociente y el residuo de ls divisiones siguientes: 1. 7 + 5 entre 4. x + x 10 entre x + 5. m m + m entre m 4. + 5 entre + 5. y 4 +4y 5y 48 entre y + 6. z 6 z 5 z + z + z entre z + 1 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 5

6 FACTORIZACIÓN Fctorizción de polinomios. Fctor común. Trinomio cudrdo perfecto. Diferenci de cudrdos. Cutrinomio cubo perfecto. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Trinomio de segundo grdo de l form Trinomio de segundo grdo de l form Sum o diferenci de cubos perfectos. x b x b. cx d bc x bd. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. Fctorizr un expresión lgebric es hllr dos o más fctores cuyo producto es igul l expresión propuest. En l list siguiente precen ls formuls de fctorizción. Se recomiend que el estudinte memorice ests siete formuls de productos notbles, excepción de l primer. 1. m n -() r m n r.. 4. 5. 6. 7. () b b b b ()() b b b () b b b x ()()() b x b x x b cx ()()() d bc x bd x b cx d b ()() b b b FACTOR COMÚN. REGLA: pr fctorizr un polinomio cuyos términos tienen un fctor común monomio, se divide el polinomio entre ese fctor común y se indic el producto del divisor por el cociente obtenido. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 54

. Descomponer Por que b. Descomponer contiene el fctor común y 15b 0b 15b 0b 15b 15b 1 y, luego: tiene el fctor común 15 b, luego: 0 15 b b b ( ) 15 0 15(1 ) b b b b por que c. Descomponer 15m 5m 10m 4 El fctor común es 5m, luego: Fctorizr por fctor común: 1. x.. 4. 5. 6. xy 9 1b 1m np 18m n m m 6m x y z x z x y 9 1 6 7 5 4 15m 5m 10m 5( m m m) EJERCICIO 6. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. REGLA: Pr fctorizr un trinomio cudrdo perfecto, se extre l ríz cudrd de los términos cudráticos y se indic l elevción l cudrdo del binomio formdo por ess ríces, seprds por el signo del término que es su doble producto, esto es: () b b b. Fctorizr: n n 1 Ríz cudrd del primer término n : n Ríz del tercer término 1: 1 Doble producto de ests ríces: (n) (1)=n Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 55

Luego: El signo es + por + n Propedéutico de Mtemátics, Modulo I n n 1( n1) b. Descomponer 9 5 0 m n mn 9m 0mn 5n Ordenndo primermente tendremos: Ríz cudrd del primer término 9m : m Ríz cudrd del tercer término 5n : 5n Doble producto de ests ríces: (m) (5n) = 0mn 9m 0mn 5( n 5) m n Luego: El signo es menos ( ) porque 0mn tiene menos ( ) c. Fctorizr: 4 b 9b Luego: b b 9b b 4 Fctorizr: 1... 4. 5. 6. 9 6m m 4 y y 1 x x y y 6 6 4 1b 9b 9m 5n 0mn z z 1 4 9 EJERCICIO 7. 6.4 DIFERENCIA DE CUADRADOS REGLA: Se extre l ríz cudrd, l minuendo y l sustrendo y se multiplic l sum de ests ríces cudrds por l diferenci entre l ríz del minuendo y l del sustrendo, esto es: b ()() b b 4. Fctorizr: b c Ríz cudrd del minuendo b : b Ríz cudrd del sustrendo c 4 : c Luego: b c ()() b c b c 4 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 56

b. Descomponer: 9m 16 n 6 Ríz cudrd del minuendo 9 m : m Ríz cudrd del sustrendo 16 n 6 : 4n Luego: 9 m 1 6( n 4)( m n4) m n 6 c. Fctorizr: x 1 1 6 4 x 1 4 Luego: x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 1 1 6 4 4 4 1 x x 1 1 4 Fctorizr: 1. 16 x. 4 81 b 4. 5 x 9 y 6 4. 6 z 4 5 5. 1 9 x y 4 z 6 6. 1 100 5 EJERCICIO. 8 CUATRINOMIO CUBO PERFECTO. REGLA : Pr fctorizr un cutrinomio cubo perfecto, después de ordenr el cutrinomio, se extre l ríz cúbic de los términos primero y curto que son los cúbicos y se indic l elevción l cubo del binomio formdo por ess ríces, seprds por el signo del segundo término, esto es: b () b b b. Descomponer: 8m + 1m + 6m + 1 Como efectivmente es un cutrinomio y est ordendo, tenemos: Ríz cúbic del primer término 8m : m Ríz cúbic del curto término 1: 1 Segundo término: ()(1) m 1 m Tercer término: ()(1) m 6 m Como el segundo término 1 m tiene signo +, luego: 8 m 1 m 6 m 1( m1) Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 57

b. Fctorizr: 15 x y 7 y + 15 x 5 x y Ordenndo: 15 x 5 x y + 15 x y 7 y Ríz cúbic del primer término 15 x : 5 x Ríz cúbic del curto término 7 y : y Segundo término: (5)() x y 5 x y Tercer término: (5)() x y 1 5 xy Como los signos de los términos son lterntivmente positivos y negtivos, luego: 1 5 x 5 x y 1 5 xy 7(5 y ) x y Fctorizr: 1... 4. 5. 6. x x x 1 1 6 b 1 b 8 b 7 x 5 4 x y 6 xy 8 y 6 4 m 9 m n 7 m n 7 n 6 4 0 0 b 4 0 b 1 5b 6 4 x 7 y 1 0 8 x y 1 4 4 x y 9 6 4 6 EJERCICIO 9 TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO DE LA FORMA x () b x b REGLA: Un trinomio de l form nterior proviene del producto de dos binomios cuyo primer término es x (llmdo tmbién término común y los segundos términos son tles que dn por sum lgebric el coeficiente de x y por producto lgebrico el coeficiente del término independiente, esto es: x x ()()() b x b x x b 7 x 1. Descomponer: El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es l ríz de x, o se: x. ()() x En el primer binomio del producto se pone + porque el segundo término del trinomio + 7x tiene +. En el segundo binomio se pone el signo que result de multiplicr el signo de + 7x por el signo de + 1 y se tiene que + por + dn +, o se: ()() x Ahor como en estos binomios tenemos signos igules, buscmos dos números cuy sum se 7 y cuyo producto se 1. Estos números son: y 4, luego: x x x x x x 7 1 ( )( 4) Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 58

b. Descomponer: Tendremos: Propedéutico de Mtemátics, Modulo I m 9 m 0 m 9 m 0()() m m En el primer binomio se pone porque 9m tiene. En el segundo binomio se pone porque multiplicndo el signo de 9m por el signo de + 0 se tiene que: por + d. Ahor como en los binomios tenemos signos igules, buscmos dos números cuy sum se 9 y cuyo producto se 0. Estos números son 5 y 4, luego: c. Descomponer: y y 5 y 1 4 5 y 1 4 m m m m 9 0( 5)( 4) Tendremos: En el primer binomio se pone porque 5y tiene. En el segundo binomio se pone + porque multiplicndo el signo de 5y por el signo de 14, se tiene por d +. Ahor, como en los binomios tenemos signos diferentes, buscmos dos números cuy diferenci se 5 y cuyo producto se 14. Estos números son 7 y. El myor 7, se escribe en el primer binomio y se tendrá: y y y y 5 1 4( 7)( ) Fctorizr: 1... 4. 5. 6. 6 x 7 x 8 y 1 0 y 0 m 17 m x x 1 s 5 rs 6 r 1 0 7 b b EJERCICIO 0 SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS. REGLA: L sum o diferenci de dos cubos perfectos se descomponen en dos fctores: 1º.L sum o diferenci de sus ríces cúbics. º.El cudrdo de l primer ríz, menos o más el producto de ls dos ríces, más el cudrdo de l segund ríz, esto es: b ()() b b b Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 59

. Descomponer: 7 Ríz cúbic del primer término : Ríz cúbic del segundo término 7: Producto de ls dos ríces: () () = Luego: 7( )( 9) b. Descomponer: b 6 + 64 Ríz cúbic del primer término b 6 : b Ríz cúbic del segundo término 64: 4 Producto de ls dos ríces: (b ) (4) = 4b Luego: 6 b 6 4( b 4)( b 4 b1 6) 1... 4. 5. 6. 1 7 x y m 4 n 7 x 6 4 y m n 1 6 z 9 1 1 1 EJERCICIO Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 60

7 TEORÍA DE LOS EXPONENTES Y RADICALES. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Exponente cero. Exponente frccionrio. Exponente negtivo. Como psr los fctores de numerdor de un expresión l denomindor o vicevers. Multiplicción de expresiones con exponentes negtivos y frccionrios. Rdicl. Rdicles semejntes. Simplificción de rdicles. Reducción de rdicles semejntes. Sum y rest de rdicles. Multiplicción de rdicles del mismo índice. Potenci de rdicles. Rdicción de rdicles. Rcionlizción. 7.1 EXPONENTE CERO. El exponente cero, proviene de dividir potencis igules de l mism bse. 0 m m m m pero m 1, m luego: m 0 1 7.EXPONENTE FRACCIONARIO. Tod cntidd elevd un exponente frccionrio equivle un ríz cuyo índice es el denomindor del exponente y l cntidd subrdicl l mism cntidd elevd l potenci que indic el numerdor del exponente.. Expresr con signo rdicl m 4 4 m, 1 4 m, 4 x 4 x, m n 1 4 x, n m 5 4 y x 5 4 y x y x 5 4 b. Expresr con exponente frccionrio 5 b, 4 x, 4 y z Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 61

1 5 5 b b, 4 x 4 x, 1 4 4 y z y z 7. EXPONENTE NEGATIVO Tod cntidd elevd un exponente negtivo equivle un frcción cuyo numerdor es 1 y su denomindor, l mism cntidd con el exponente positivo. n 1 n 4 1, 4 b c 4 1 4 5 1 b c 4 1 4 5 7.4COMO PASAR LOS FACTORES DEL NUMERADOR DE UNA EXPRESIÓN AL DENOMINADOR O VICEVERSA. Culquier fctor del numerdor de un expresión se puede psr l denomindor y vicevers con tl de cmbirle el signo su exponente. Expresr con exponentes positivos b xy c 4,, m n 1 b 1 b, xy c 4 x y c, 4 m 1 n n m 7.5MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES CON EXPONENTES NEGATIVOS Y FRACCIONARIOS. L ley de los exponentes en l multiplicción, que nos dice que pr multiplicr potencis de l mism bse se sumn los exponentes, se plic igulmente cundo ls cntiddes que se multiplicn tienen exponentes negtivos o frccionrios.. Multiplicr 4 b por b 5 b b b b 4 5 4 5 b. Multiplicr 4 x y z por xy z 5 x y z xy z x y z x y z 4 5 1 4 1 5 1 8 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 6

Expresr con signo rdicl. 1... 4. 4 5m n b 6 m n r x y z 7 7 1 7 5 EJERCICIO. Expresr con exponentes frccionrios. 5. 6. 7. 8. x 5 7 6 b 7b n m nr 7 5 m 5 6 x y z Expresr con exponentes positivos y simplificr. 9. 5m n 10. m n r x y z 4 11. 1 x y 1. 1 x y b c b c 4 1 1 4 Psr los fctores literles del numerdor l denomindor. b m 1. 14. 15. b 4 c 4n 16. x y 4 y 1 4 Psr los fctores literles del denomindor l numerdor. 5x 7 17. 18. 19. 0. 1 y x y m n 4 x b 4 5 Expresr sin denomindor. 4 b 1.. x xy z x y z 4. 1 4 6mn c mn c 4. m n x m n x 4 Expresr con rdicl y con exponentes positivo. 1 7 5 m 5. 6. 7. 4 5 n b c 5 6 8. ()m 4 5 Expresr con exponentes positivos. 9. 4 x 0. 5 y m 7 1. 4 5 n. x y Multiplicr. 4. m por m 4. 6 por 5. 4 1 x y por x y Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 6

7.6 RADICAL. En generl, es tod ríz indicd de un cntidd. Si un ríz indicd es exct, tenemos un cntidd rcionl y si no lo es, irrcionl.. 4 es un cntidd rcionl b. es un cntidd irrcionl Ls ríces indicds inexcts o cntiddes irrcionles son los rdicles propimente dichos. 7.7 RADICALES SEMEJANTES. Son rdicles del mismo grdo y que tiene l mism cntidd subrdicl.., 5 y 1 son rdicles semejnte b. y 5 no son rdicles semejntes 7.8SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES Simplificr rdicles es reducirlo, su más simple expresión. Un rdicl está reducido su más simple expresión cundo l cntidd subrdicl es enter y del menor grdo posible. Pr simplificr rdicles debe tenerse en cuent que pr extrer un ríz un producto se extre dich ríz cd uno de sus fctores, o se, n n n n bc b c. Simplificr: 9x 9 x x x x x x x x b. Simplificr: 8 4 5 0 x y 4 5 0 x y 4 5 x y y 4( 5) x y y 0 xy y 8 6 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 64

c. Simplificr: 4 8 4 x x y 4 8 4( ) ( ) ( ) 4 x x y x x y x x x y x x x y x x x y d.simplificr: x 1 x 1 1 1 ( 4) ( )( ) x x x x x x Simplificr: EJERCICIO 4. 1. 4 8. 4 4. 4. 5 1 8 5. 7. 9 m 1 8 n 8. 10. 5 x 1 0 x y 5 x y 8 8 5 7 x b c 6. 9 b 9 b 9. 7 7 6 5 x y 4 x y 1 5 x y 4 6 8 m n 1 6 m n 4 7.9REDUCCIÓN DE RADICALES SEMEJANTES. Los rdicles semejntes, se reducen precismente como términos semejntes que son, hciendo l sum lgebric de los coeficientes y poniendo est sum como coeficiente de l prte rdicl común.. 5 (5 ) 7 b. 9 5 1 5(9 1) 5 4 5 c. x 5 y 5( x) 5( y x y) x5(4 y 5) 5 x y 7.10 SUMA Y RESTA DE RADICALES. REGLA: Se simplificn los rdicles ddos: se reducen ls rdicles semejntes y continución se escriben los rdicles no semejntes con su propio signo.. Simplificr: 450 9 1 7 48 98 450 9 1 7 48 98 5 9 7 7 4 5 9 7 7 0 18 8 1 9 10 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 65

b. Simplificr 54 4 10 54 4 16 4 EJERCICIO 5. Simplificr: 1. 4 6 175 75. 405 500 5 80.. 5 b 9b 9 b b 4. 4 4 9 9 5 1 4 4 4 4 5. m x m y 5m x 75m y 6m 9x 7y 7.11 MULTIPLICACIÓN DE RADICALES DEL MISMO ÍNDICE. REGLA: Se multiplicn los coeficientes entre sí y ls cntiddes subrdicles entre sí, colocndo este último producto bjo el signo rdicl común y se simplific el resultdo. Ejemplo:. Simplificr 15 por 10 15 10( ) 15 10 6 150 6 5 6 5 0 6 b.simplificr: x por x x x x x x x c. Simplificr: 5 por 4 5 4 1 0 5 1() 6 0 6 5() 4 6 0 6 15 9 17 6 EJERCICIO 6. 1. 8. 6 4. 4 9 4. 4 6 9 4 5. 50 5 15 6. xy 6 9 x 5 7. por 8. 4 5 por 5 15 9. por 10. 4 5 por Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 66

7.1 DIVISIÓN DE RADICALES DEL MISMO ÍNDICE. REGLA: se dividen los coeficientes entre sí y ls cntiddes subrdicles entre sí, colocndo este último cociente bjo el signo rdicl común y se simplific el resultdo. Ejemplo:. Dividir 81 x entre x 7 7 8 1 x 8 1x 7 5 7 x x x x x x x x x 1. 10 6. 5 6 10. b 4 9 EJERCICIO 7. 7.1 POTENCIACIÓN DE RADICALES. REGLA: Pr elevr un rdicl un potenci se elev dich potenci el coeficiente y l cntidd subrdicl y se simplific el resultdo.. Elevr 5 y 7 l cudrdo 5 5 9 5 45 7 7 4 7 8 b. Elevr cubo 8x 9 9 9 8 8 4 8 8 51 16 x x x x x x x x c. Elevr l cudrdo: 4 5 4 5 4 5 4 5 8 1 5 8 0 8 8 1 5 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 67

1. 6. m 5n. 4 Propedéutico de Mtemátics, Modulo I 9m n 4. EJERCICIO 8. 7.14 RADICACIÓN DE RADICALES. REGLA: Pr extrer un ríz un rdicl se multiplic el índice del rdicl por el índice de l ríz y se simplific el resultdo. Ejemplo: m n 1 1 n mn m mn. Hllr l ríz cudrd de 1 4 1 1 Simplificr: EJERCICIO 9. 1. 81.. 4. () b 7.15 NACIONALIZACIÓN. Rcionlizr el denomindor de un frcción es convertir un frcción cuyo denomindor se irrcionl en un frcción equivlente cuyo denomindor se rcionl. Cundo se rcionliz el denomindor irrcionl de un frcción, desprece todo signo rdicl del denomindor. Vmos considerr dos csos: CASO 1: Rcionlizr el denomindor de un frcción cundo el denomindor es monomio. REGLA: Se multiplicn los dos términos de l frcción por el rdicl, del mismo índice que el denomindor, que multiplicdo por éste dé como producto un cntidd rcionl. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 68

. Rcionlizr el denomindor de Multiplicmos mbos términos de l frcción por y tenemos. b. Rcionlizr el denomindor de 4y Multiplicmos mbos términos de l frcción por 4y y tendremos. 4y 4y 4y 4y 4y 4y 4y y CASO : Rcionlizr el denomindor de un frcción cundo el denomindor es un binomio que contiene rdicles de segundo signo. REGLA: se multiplicn mbos términos de l frcción por l expresión conjugd del denomindor y se simplific el resultdo.. Rcionlizr el denomindor de 1 Multiplicndo mbos términos de l frcción por 1 1 tenemos: 5 5 1 1 1 1 b. Rcionlizr el denomindor de 5 5 4 15 5 5 5 5 15 5 5 5 5 5 5 5 8 15 4 15 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 69

EJERCICIO 40. 1. 5. 4 5 7. 9 4. 5xy 5. 1 6. 5 7. 4 6 6 8. m m n n Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 70

8 FRACCIONES ALGEBRAICAS. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Frcción lgebric. Principio fundmentl de ls frcciones. Signo de l frcción y de sus términos. Cmbios que pueden hcerse en los signos de un frcción. Cmbio de los signos cundo los términos de l frcción son polinomios. Simplificción de frcciones lgebrics. Simplificción de frcciones cuyos términos sen monomios. Simplificción de frcciones cuyos términos son polinomios. Reducción de frcciones un mínimo común denomindor. 8.1 FRACCIÓN ALGEBRAICA Es el cociente indicdo de dos expresiones lgebrics. es un frcción lgebric donde es el dividendo b o numerdor y b es el divisor o denomindor y se lee entre b.. Un expresión lgebric enter es quell que no tiene denomindor literl., x + y, c d, c d, Un expresión enter se puede expresr como un frcción de denomindor 1. x x ; 1 x y x y ; 1 x x x x 1 b. Expresión lgebric mixt es l que const de prte enter y prte frccionri. p m ; r 4 x y Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 71

8. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LAS FRACCIONES. Si el numerdor y denomindor de un frcción se multiplic o dividen por un mism cntidd, l frcción no se lter. Ejemplo: c b cb m cbm Como el dividendo () es igul l cociente (c) multiplicdo por el divisor (b) esto es: Multiplicndo mbos miembros por m result: Considerndo m como el dividendo, bm como divisor y c como cociente, se tiene: m c bm ; O se m bm b 8. SIGNO DE LA FRACCIÓN Y DE SUS TÉRMINOS. En un frcción existen tres signos que son el signo de l frcción, el signo del numerdor y el signo del denomindor. El signo de l frcción es el signo, escrito delnte de l ry de l frcción. Cundo delnte de l frcción no hy signo se sobreentenderá que es el signo + el que tiene est frcción.. El signo de l frcción es + El signo del numerdo () es + b b El signo del denomindor (b) es + b. El signo de l frcción es b El signo del numerdor es El signo del denomindor es + 8.4 CAMBIOS QUE PUEDEN HACERSE EN LOS SIGNOS DE UNA FRACCIÓN. Designdo por m el cociente del dividir b se tendrá según l ley de los signos. 1. m b. m. m b b 4. m 5. m 6. m b b b Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 7

por lo tnto: b b b b por que 1,, 5 y 6 tienen el segundo miembro m igul. 8.5 CAMBIOS DE LOS SIGNOS CUANDO LOS TÉRMINOS DE LA FRACCIÓN SON POLINOMIOS. Cundo el numerdor o el denomindor son polinomios, pr cmbirle el signo l numerdor o denomindor hy que cmbirle de signo todos los términos del polinomio. Ejemplo.. Así en l frcción b x y b b b x y x y y x b. De igul modo, si en l frcción cmbimos el signo l denomindor y l frcción, x 4 est no se lter; tmbién si cmbimos el signo del numerdor y de l frcción, ést tmpoco se lter, esto es: x 4 x 4 x 4 8.6 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. Simplificr un frcción lgebric, es convertirl en un frcción equivlente, reducid si más simple expresión. 8.7 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CUYOS TÉRMINOS SEAN MONOMIOS. REGLA: se dividen el numerdor y el denomindor por sus fctores comunes hst que sen primos entre sí.. Simplificr 4 9 b 1 b c 5 Encontrmos los fctores de 9 y 1 que son 9 = = y 1 = 7 de l form siguiente: Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 7

9 1 los dividimos y obtendremos: 7 7 1 1 9 1 7 7 Dividimos entre y nos qued ; y b 5 entre b 4 y nos qued b, por lo tnto: 4 9 b 1 b c 7 b c 5 NOTA: Al dividir b + b 4 ; como el denomindor es de exponente myor, por lo tnto el resultdo se escribe bjo. b. Simplificr: m n mn m n m m m n n m n m n n m c. 4 5 8x y z Simplificr: 0xy z 8 0 4 10 5 5 1 1 8 x y z x x x x y y y y y z z z x y 4 5 0 xy z 5 x y y y z z z 5 EJERCICIO 41. 1.. 6 b m n 5 6 7 9 m n p. 4. 18x y 60x y z 5 4 7 5 5 b 1 5 100 b c Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 74

8.8 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CUYOS TÉRMINOS SEAN POLINOMIOS. REGLA: se descomponen en fctores los polinomios todo lo posible y se suprimen los fctores comunes l numerdor y denomindor. 5mn. Simplificr: m n n Fctorizndo el denomindor tenemos: b b. Simplificr: 6 b 1b Fctorizndo el denomindor tenemos: 5 mn 5 mn 5 m m n n n m n m n b b 1 b b b b b 6 1 6 m 9 c. Simplificr m 9 Fctorizdo el numerdor y el denomindor tenemos: m m m 9 m m 9 m x d. Simplificr x x 6 Fctorizndo del denomindor tenemos: x x 1 6 x x x x x EJERCICIO 4. 1. x x y y 4 4. m 19m 0 6m 17m 1. 4 4 6 6 4. y 16 y y 1 5. b 8 b b 5 6. 7 1 6 9 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 75

8.9 REDUCCIÓN DE FRACCIONES A UN MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR. Reducir frcciones l mínimo común denomindor es convertirls en otrs, respectivmente equivlentes ls primers cuyos denomindores se igules el menor posible. REGLA: 1. Se simplificn ls frcciones dds si es posible.. Se hll el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denomindores que será el mínimo común denomindor.. Pr hllr los numerdores, se divide el mínimo común denomindor (m.c.d.) entre cd denomindor y el cociente se multiplic por el numerdor respectivo. x y z. Reducir: ; ; y z x z xyz l m.c.d. Hllmos el m.c.d. de los denomindores y z, x z y x y. Los fctores son x, y y z y se tomn todos los fctores diferentes que figurn en ls expresiones dds con su más lto exponente que son x, y y z, por lo tnto el m.c.d. es x y z. Este es el mínimo común denomindor. Ahor dividimos x y z, entre los denomindores y z, y z, x y z y cd cociente lo multiplicmos por su numerdor respectivo y tendremos: x y z y z x z x y z x z y z x y z y z x z x x x z x z y z y z x z x y z y y y z y z x z x z y z x y z x z xy xyz y z xyz xy x y z Ls frcciones reducids l mínimo común denomindor quedn: x z y z xyz ; ; x y z x y z x y z Ests frcciones son equivlentes ls frcciones dds porque no hemos hecho ms que multiplicr los dos términos de cd frcción por el cociente de dividir el m.c.d. entre su denomindor respectivo, con lo cul ls frcciones no se ltern. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 76

b. Reducir b 5 ; b ; 4 8 b 1b l mínimo común denomindor. Los fctores de los denomindores son: 4 8 1 4 6 1 1 1 4 ; 8 b b; 1b b Los fctores diferentes de ls expresiones nteriormente dds son: el, ; y b los de más lto exponente de cd uno de estos fctores son:,,, b, por lo tnto 4 b es el menor común denomindor y tendremos: b b 6 b 6 b 6 b 4 4 6 b 4 b b b b b y 8 b 8 b b 4 b 5 5 10 1 b 1 b 4 b 4 b 4 6 b ; 4 b 8 b b ; 4 b 1 b ; 4 Ls frcciones reducids l mínimo común denomindor, quedn: 4 6 6 10 b b ; b y ; 4 b 4 b 4 b c. Reducir l mínimo común denomindor: Fctorizndo los denomindores tendremos: x 5 ; x ; x 6 7 10 15 x x x x x x x x x x 6 x x x x 7 10 5 x x x x 15 5 Por lo tnto el m.c.m. o m.c.d. es: x x x 5 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 77

Dividiendo el m.c.d. entre cd uno de los denomindores, tenemos: x x x 5 x x x 5 x x 6 x x x 5; x x 6 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 10x 5 x x x x x x x x x x 6 6 5 5 0 4 11 0 x x x 5 x x x 5 x 7x 10 x 5 x x x x 7x 10 x x ; x x 9 x 9 x x x x x x x x x x 7 10 7 10 1 0 4 11 0 x x x 5 x x x 5 x x 15 x 5 x x x x x 15 x x ; x x 4 x 4 x x x x x x x x x x 15 15 4 0 4 11 0 Ls frcciones reducids l mínimo común denomindor quedn: x 10 x 5 9 4 ; x ; x 4 11 0 4 11 0 4 11 0 x x x x x x x x x EJERCICIO 4. 5 1. ; ; 4 8. x y, x y, x y x 4 y 5 5., 1 1 x y 7.,, x y 4x 4y 8 m m 9 np n p n x y, x y x y 4 y,, y y y y m n 5x,, mn m mn mn n.,, 4. 6. 7. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 78

9 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Adicción o rest de frcciones lgebrics. Multiplicción de frcciones lgebrics. División de frcciones lgebrics. 9.1 ADICCIÓN O RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. REGLA GENERAL PARA SUMAR O RESTAR FRACCIONES. 1. Se simplificn ls frcciones dds, si es posible.. Se hll el m.c.d. (mínimo común denomindor) si son de distinto denomindor (si los denomindores son igules no es necesrio el denomindor de todos, es el denomindor común).. Se efectún los coeficientes y multiplicciones respectivs. 4. Se sumn o restn los numerdores de ls frcciones que resulten y se prten ests operciones, por el denomindor común. 5. Se hce l reducción de términos semejntes en el numerdor, si es posible. 6. Se simplific l frcción resultnte, si es posible.. Simplificr x y x y y 4 x 1 15 0 1 15 0 1 6 5 5 15 15 1 5 5 0 5 1 1 m.c.d. 5 60 x y x y y x x y x y y 4 x 5 4 4 1 1 5 0 6 0 5 x 5 y 8 x 4 y y 8 x 1 1 x 7 y 6 0 6 0 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 79

b. Simplificr: b m b m m.c.d. = b m b m m b b m b m b m b m m b m b b m b m m b m b b m b m c. Simplificr: 5 1 4 1 10 4 5 Hllemos el mínimo común denomindor (m.c.d.) fcturndo: 10 5 4 5 5 1 1 m.c.d 5 1 1 5 1 54 1 5 1 4 1 10 4 5 5 1 5 10 4 0 5 7 5 5 1 5 1 EJERCICIO 44. 1. x 1 5x 4x. 6 1 m m m m 5m 9m. x 5 x 1 y 4. 8 4 x xy 6x y x y x y x xy xy y 5. m 4 m m 6m 9 m m 1 6. 5 5 4 5 1 7. 8. 1 1 1 1 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 80

9. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. REGLA GENERAL PARA MULTIPLICAR FRACCIONES. 1. Se descomponen en fctores, todo lo posible, los términos de ls frcciones que se vn multiplicr.. Se simplific, eliminndo los fctores comunes en el numerdor y denomindor, si los hy.. Se multiplicn entre sí los fctores que queden en el numerdor, después de simplificr y este producto se divide entre el producto de los fctores que queden en el denomindor.. Multiplicr b 15x 6m 5 m b 15 6 5 6 5 x m b x x m bx m 5mm m b. Multiplicr m m 1 6 8m 4 6 1 6 1 1 Fctorizndo tendremos: 1 m m m m 1 m m 1 m 6 8m 4 4 m 1 m 1 c. Multiplicr x 5x 6 6x x 5 x x 0 x 15 x 4 Fctorizndo tendremos: x 5 x 6 6 x x 5 6 x x x 6 x x 5 x 5 x x x x x 6 x 5 x 5 x x 6 x 6 x x x 5 x 5 x x 0 x 1 5 x 4 x 6 x 5 x 5 x Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 81

EJERCICIO 45. Efectur ls siguientes multiplicciones de frcciones lgebrics: 1. x 5x. 15 y 7xy b 10x 9m 5 m. mn n m mn n m mn m mn 4. m 4m 4 m 4 6 6m m 6 m m m 9. DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. REGLA GENERAL PARA DIVIDIR FRACCIONES. 1. Se descomponen en fctores, todo lo posible, los términos de ls frcciones que se vn dividir.. Se simplific, eliminndo los fctores comunes en el numerdor y denomindor, si los hy.. se multiplicn el numerdor del dividendo por el denomindor del divisor, este producto se prte por l multiplicción del denomindor del dividendo por el numerdor del divisor.. Dividir 8x 4mx entre 9y 1y 8 4 8 1 96 8 9 1 9 4 6 x mx x y x y xy y y y mx mxy m b. Dividir m m 5m 5m m 6m m 6 m m 5m 5m m m m m m 6 m m 6 m m m 1 5 1 m m 1 m 1 5m m 1 m m 1 m 1 m m 1 m m m m m 5m m 1 5m EJERCICIO 46. Efectur ls siguientes divisiones de frcciones lgebrics: 1. 5x x y x y. 4 5m 0y 1x 6 x 4. mx 5 m x 5m 4m 1 m 1 4. 15 5 5 64 56 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 8

10 FORMULAS. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Formuls. Uso y ventj de ls formuls lgebrics. Cmbio del sujeto de un fórmul. 10.1 FORMULA Es l expresión de un ley o de un principio generl por medio de símbolos o letrs. Ejemplo: b h El áre de un tringulo se expres A del producto de su bse por su ltur. que signific el áre de un tringulo es igul l mitd A b h áre del tringulo bse ltur 10. USO Y VENTAJAS DE LAS FORMULAS ALGEBRAICAS. Ls formuls lgebrics son usds en ls ciencis, como Geometrí, Físic, Mecánic, Economí, Psicologí, etc., y son de enorme utilidd como precirá el lumno en el curso de sus estudios. L utilidd y ventj de ls formuls lgebrics es muy grnde: 1.Porque expresn brevemente un ley o un principio generl..porque son fáciles de recordr..porque su plicción es muy fácil, pues pr resolver un problem por medio de l fórmul decud, bst sustituir ls letrs por sus vlores en el cso ddo. 4.Porque un fórmul nos dice l relción que existe entre ls vribles que en ell intervienen, l vrible cuyo vlor se d por medio de un fórmul es directmente proporcionl con ls vribles (fctores) que se hlln en el numerdor del segundo miembro e inversmente proporcionl con ls que se hllen en el denomindor, si ls demás permnecen constntes. 10. CAMBIO DEL SUJETO DE UNA FÓRMULA. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 8

El sujeto de un fórmul es l vrible cuyo vlor se d por medio de l fórmul. Un fórmul es un ecución literl y nosotros podemos despejr culquier de los elementos que entrn en ell, considerándolo como incógnit, y con ello cmbimos el sujeto de l fórmul. 1. En l ecución e t hcer t el sujeto de l fórmul. Hy que despejr t en est ecución literl; t es l incógnit. Suprimiendo denomindores, tenemos: e t Despejndo t e : t e Extryendo l ríz cudrd mbos miembros: t b. En l fórmul S ( R N ) hcer N el sujeto de l fórmul. Hy que despejr N; N es l incógnit. Efectundo el producto indicdo: S NR 4R Trnsponiendo: NR S 4 R; Despejndo: S 4R N R c. En l fórmul v e, despejr. Elevndo l cudrdo mbos miembros pr desprecer l rdicl; v Despejndo: e d. En l fórmul 1 1 1, despejr p. f p p ' El m.c.m. es f p p. v e Quitndo denomindores tendremos: pp ' fp ' fp. Como l incógnit es p psmos todos los términos con p l primer miembro: pp ' fp ' fp Fctorizndo: p '() p f fp Despejndo p : p ' fp p f Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 84

1. En l fórmul e vt, despejr v y t. e. En l fórmul v, despejr d y e. d b b. En l fórmul A h, despejr h y b. 1 4. En e vot t, despejr v o y. 1 5. En l fórmul A ln, despejr, l y n. EJERCICIO 47. 6. En l fórmul b c, despejr b y c. 7. En l fórmul 1 1 1, despejr p y p. f p p ' 8. En l fórmul 1 V h r, despejr h y r. 9. En l fórmul ct r l, despejr c,t y r 100 10. En l fórmul n 1 u r, despejr y r. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 85

11 ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Iguldd. Ecución. Identidd. Miembros. Clse de ecuciones. Grdo de un ecución. Ríces o soluciones de un ecución. Axiom fundmentl de ls ecuciones. Trnsposición de términos de un miembro otro de un ecución. Cmbio de signos. Regl generl pr l resolución de ecuciones enters de primer grdo con un incógnit. Resolución de ecuciones de primer grdo con signos de grupción. Resolución de ecuciones de primer grdo con productos indicdos. 11.1 IGUALDAD. Es l expresión de que dos cntiddes o expresiones lgebrics vlen lo mismo.. 5x x b. 6x x x 11. ECUACIÓN. Es un iguldd que sólo es ciert pr un vlor determindo (o vlores determindos) de l incógnit; es decir un ecución es un iguldd condicionl. Ls incógnits se representn por lo generl con ls ultims letrs del lfbeto u, v, x, y y z. Así x 1 es un ecución, puesto que es un iguldd que tiene un incógnit (x) y est iguldd solo es ciert pr x = 1. Si sustituimos l x por el 1, tendremos: (1) + 1 = o se = Si se le dier l x otro vlor culquier diferente de 1, l iguldd no seri ciert. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 86

11. IDENTIDAD. Propedéutico de Mtemátics, Modulo I Es un iguldd que es verdder pr culquier de los vlores que se dn ls letrs que entrn en ell. Ejemplo: x y x y x y x y x y x xy y x y x x y xy y Cundo son identiddes como ls nteriores se escribe con el signo = que signific idéntico. 11.4 MIEMBROS. Se llm primer miembro de un ecución o un identidd l expresión que est l izquierd del signo igul o identidd y segundo miembro, l expresión que est l derech. Ejemplo: Así en l ecución 5x 1 x 5 El primer miembro es: 5x 1 El segundo miembro es: x 5 NOTA: No deberá confundirse términos con miembros, por ejemplo en l ecución nterior los términos son 5x, -1, x y 5; y los miembros son 5x 1 y x + 5. Miembro y término son equivlentes sólo cundo en un miembro de l ecución hy un y solo un expresión. Ejemplo: x x En el primer miembro tenemos un solo término que es x, y en el segundo miembro (x + ) tenemos dos términos que son x y. 11.5 CLASES DE ECUACIONES.. Ecución numéric. Es quell que no tiene más letrs de ls incógnits. Ejemplo: 5x x Donde l únic letr es l x, que es l incógnit. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 87

b. Ecución literl. Es quell en donde demás de ls letrs de ls incógnits existen otrs letrs que representn cntiddes conocids. Ejemplo: 6 x 5b bx Donde l incógnit es l letr x y ls cntiddes conocids son ls letrs y b. c. Ecución enter. Es quell en donde ninguno de sus términos tiene denomindor. 1. x 5 6x. x b 4x d. Ecución frccionri. Es quell en donde uno o todos sus términos tienen denomindor. 1. x x 6x. 4x x 5x 1 5 8 5 11.6 GRADO DE UNA ECUACIÓN. Ls ecuciones con un sol incógnit tiene el grdo de l incógnit de myor exponente. Así ls ecuciones de primer grdo tiene en l incógnit el exponente 1. x x 1 Ls incógnits x tiene por exponente el número 1, por lo tnto son de primer grdo. Ls ecuciones de primer grdo se llmn ecuciones simples o lineles. En l siguiente ecución x x 4 0, el grdo de l incógnit de myor exponente es, por lo tnto, est ecución es de segundo grdo. 11.7 RAÍCES O SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN. Son los vlores de ls incógnits que sustituidos en ls ecuciones stisfcen ést, es decir, que sustituidos en lugr de ls incógnits, convierten l ecución en identidd. Ejemplo: En l ecución x x 8 10 10 8; l ríz es 10, por que si hcemos x = 10; 0 0 8 o se 8 8, donde vemos que 10 stisfce l ecución. Ls ecuciones de primer grdo con un incógnit tienen un solución o ríz. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 88

11.8 AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES. Si son cntiddes igules se verificn operciones igules, los resultdos serán igules. I. Si se greg o quit l mism cntidd cd miembro de un ecución, l ecución resultnte es equivlente l primer. II. Si se multiplic o divide cd miembro de un ecución por un mism cntidd diferente de cero, l ecución obtenid es equivlente l primer. III.Si se elev un mism potenci o se extre un mism ríz cd miembro de un ecución, l ecución obtenid es equivlente l primer. 11.9 TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS DE UN MIEMBRO A OTRO DE UNA ECUACIÓN. REGLA 1: Culquier término de un ecución se puede cmbir de un miembro otro cmbiándole de signo, es decir, si está sumndo ps restndo y si est restndo ps sumndo. Ejemplo:. Se l ecución x b sumndo b los dos miembros de l ecución nos qued: x b b b y como b b 0, luego, donde vemos que simplemente psndo b l primer miembro con el signo + podemos hcer lo nterior de trnsponer términos. REGLA : Culquier término de un ecución se puede cmbir de un miembro otro, si está multiplicndo ps dividiendo l otro miembro y si est dividiendo ps multiplicndo l otro miembro. Ejemplo:. Se l ecución x 9 dividiendo l ecución entre en los dos miembros de l ecución nos qued: x 9 y como 1 tendremos que x = ; donde se ve clrmente que con solo que el que est multiplicndo l x, lo psemos dividiendo l segundo miembro, podemos hcer lo nterior de despejr l incógnit de cuerdo con l regl expuest. 11.10 CAMBIO DE SIGNO. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 89

Los signos de todos los términos de un ecución, se pueden cmbir de signo sin que l ecución se ltere; porque equivle multiplicr tod l ecución por 1. Ejemplo:. Se l ecución x 5 6x si multiplicmos tod l ecución por 1, tendremos: x 1 5 1 6x 1 1 Y nos qued: x 5 6x, en donde vemos que con sólo hberle cmbido de signo todos los términos de l ecución, bstb. 11.11 REGLA GENERAL PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. 1. Se llev cbo ls operciones que están indicds si ls hy.. Se hce l trnsposición de términos, reuniendo en el primer miembro de l ecución todos los términos que contengn l incógnit y en el segundo miembro de l ecución todos los términos que no tengn incógnits o se ls cntiddes conocids.. Se reducen los términos semejntes en mbos miembros. 4. se despej l incógnit dividiendo mbos miembros de l ecución por el coeficiente de l incógnit o simplemente se ps dividiendo l segundo miembro de l ecución.. Resolviendo l ecución 4x 5 x Psndo x l primer miembro y 5 l segundo miembro, cmbiándoles de signo tendremos: 4x x 5 Reduciendo términos semejntes en mbos miembros nos quedrá: 8 x O se x 4 L cul es l solución o ríz de l ecución; l prueb de que este vlor es el correcto, se verific sustituyendo este vlor obtenido en los dos miembros de l ecución originl, sí tendremos: 4 4 5 4, 16 5 8 O se 11 = 11, lo cul comprueb que el vlor es correcto. b. Resolver l ecución 1 6x 7 8x Psndo 8x l primer miembro y 1 l segundo miembro: 6x 8x 7 1, Reduciendo términos semejntes: x 6, Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 90

Despejndo 6 x ; x 1 6 7 8 Prueb: 118 7 4; 11.1 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN.. Resolver x x 1 8 x Quitndo los préntesis que están multiplicndos por 1, nos quedrá: x x 1 8 x Trnsponiendo términos: x x x 8 1, reduciendo: x 6 6 Despejndo x: x ; x Prueb: 1 8 ; 7 8 1, luego: 4 = 4 b. Resolver 15x 10 6x x x Multiplicdo por 1 Multiplicdo por +1 Quitndo préntesis: 15x 10 6x x x Trnsponiendo términos: 15x 6x x x 10, Reduciendo: 11x 11 11 Despejndo x: x ; x 1 11 15 1 10 6 1 1 1 15 10 6, luego: 5 = 5 Prueb: 11.1 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON PRODUCTOS INDICADOS.. Resolver x x 1 6 4x Efectundo los productos: x x 6 8x 1 Trnsponiendo términos: x x 8x 6 1 1 Reduciendo: 1x, Despejndo: x ; x 1 4 b. Resolver 5 1 16 7 x x x x Efectundo los productos: 5x 5 x 48 6x 1 x Trnsponiendo términos: 5x x 6x x 1 5 48 64 Reduciendo: x 64, Despejndo: x ; x Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 91

EJERCICIO 48. 1. x 1 x. 9x x x 6 y 5 y 0 0 y 4 7 4y 5 5. 4. 5. 4y y 1 1 15 y 9 6. x x 7. y y y y 14 15 5 1 0 4 4 8 8. z z z z 1 4 z 1 4z 0 11.14 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A PRIMER GRADO.. Resolver l ecución x 4 x 1 5 Aprtndo un rdicl: x 4 5 x 1 Elevndo l cudrdo: x 4 5 x 1 x 4 5 10 x 1 x 1; x 4 5 x 1 10 x 1 Aprtndo el rdicl y reduciendo: 0 10 x 1; 0 10 x 1; x 1 Elevndo l cudrdo: 4 x 1; x 5 b. Resolver l ecución x 7 x 1 x 0 Aprtndo un rdicl: x 7 x 1 x Elevndo l cudrdo: Resolviendo: Aprtndo el rdicl: Reduciendo: Dividiendo entre : x 7 x 7 x 1 x 1 4x 8 x x x x x 7 6 7 1 4 8 x 6x 7 4x 8 x 7 x 1 x 6x 7 x x x x 6 7 1 Elevndo de nuevo l cudrdo: x 6x 7 x 1 x x x x x x 6 7 1; 6 7 1; 4x 8; x EJERCICIO 49. Resolver ls ecuciones: 1. x x 1 9 x. 4x 11 7 x 9. 5x 1 5x 6 4. 18x 8 x 4 x 1 0 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 9

1 ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Resolución de ecuciones frccionris de primer grdo con un incógnit. Resolución de ecuciones frccionris con denomindores monomios. Resolución de ecuciones frccionris con denomindores polinomios. Utilizción de ls ecuciones en problems. 1.1 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. Un ecución es frccionri cundo lguno de sus términos o todos tienen denomindores. x 4 5 x ; 0 5 10 5 x 1 REGLA GENERAL: Cundo se present un ecución que contiene frcciones, se trnsform en otr equivlente que teng form enter. Pr suprimir los denomindores en un ecución se encuentr el mínimo común múltiplo (m.c.m) de estos y se multiplicn mbos miembros por este m.c.m. 1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES FRACCIONARIAS CON DENOMINADORES MONOMIOS.. Resolver l ecución x x 5 11 6 El m.c.d. de los denomindores y 6 es 6, por lo tnto multiplicndo l ecución por 6 tendremos: x x 6 65 6 611 6 Dividendo el m.c.d. entre cd uno de los denomindores, donde ls hy, tendremos: 4x 0 x 66 que es un ecución enter Trnsponiendo: 4x x 66 0 Reduciendo: x 6 6 Despejndo: x ; x 1 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 9

5x 1 b. Resolver l ecución x 4x 5 x 1 Multiplicndo por 15: 15 x 15 154x 15 4 Simplificndo: 15x 9 60x 5x 5 Trnsponiendo: 15x 60x 5x 5 9 14 1 Reduciendo: 70x 14; Despejndo x: x ; x 70 5 1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES FRACCIONARIAS CON DENOMINADORES POLINOMIOS. Ejemplo: 1 1. Resolver l ecución x x x 6 x Fctorizndo los denomindores tenemos: x x x x x x 6 luego el m.c.d. = x x x x Multiplicndo l ecución por el m.c.d. qued 1 1 1 x x x x x x x x x 6 x Dividiendo el m.c.d. entre los denomindores tendremos: x x Trsponiendo: x x 4 Reduciendo: x 4 Despejndo: x ; x EJERCICIO 50. 1. 4 x x 0. x x x 1 5 5 5 1 6 4. x 7 x x 4. 4 5 4 0 1 x 4 10x 5 5. 7x 1 5 x 4x 1 4x 6. 5 0 x 4 x 4 x 1 7. 5 0 x 1 x 1 8. 5 x 5 x x 4 x 4 1 9. 10. 8 x 4x 4 1x 1 x 4 x x 7x 1 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 94

1.4 UTILIZACIÓN DE LAS ECUACIONES EN PROBLEMAS. PROBLEMA: es tod cuestión en que se tiene que encontrr cntiddes desconocids, en bse otrs conocids, ls primers se llmn incógnits y ls segunds se llmn dtos. Ejemplos.. L sum de dos números es 106 y el myor excede l menor en 8. hllr los número. Número menor: x Número myor: (x + 8) (por que excede en 8 l menor) x x 8 106 Estos dos números sumdos nos dn 106, por lo tnto: El problem est plntedo, y lo que tenemos es un ecución de primer grdo común y corriente que y sbemos como resolver. Simplificndo: x x 8 106 98 Trsponiendo: x x 106 8 Reduciendo: x 98 Despejndo: x, x 49 Por lo tnto como el numerdor es x, este vle 49 y el número myor x 8 49 8 57, y los dos números sumdos efectivmente nos dn 106. b. L edd de Esther es el triple de Mrí y mbs eddes sumn 40 ños. Hllr mbs eddes. Edd de Mrí: x Edd de Esther: x (porque es el triple de l edd de Mrí) Ls eddes de Mrí y Esther sumds nos dn 40 ños, por lo tnto: x x 40 Reduciendo: 4x 40 Despejndo: 40 x ; x 10 4 Entonces l edd de Mrí que es x, es de 10 ños y l de Esther que es x, es x 10 = 0 ños y sumds mbs nos dn 40 ños. 10 + 0 = 40 c. Dividir 54 en tres prtes tles que l segund se el triple de l primer y 40 uniddes myor que l tercer. Primer prte: x Segund prte: x (porque es el triple de l primer prte) Tercer prte: x 40 (porque l segund prte es 40 uniddes myor) Evidentemente si son 54 ls sumds nos drán este número, por lo tnto: x x x 40 54, x x x 40 54 Trnsponiendo: x x x 54 40 Reduciendo: 7x 94 Despejndo: 94 x ; x 4 7 Entonces l primer prte vle 4 porque es x, l segund prte vle x o se 4 = 16 y l tercer prte vle x 40, o se 4 40 = 16 40 = 86, ls tres prtes sumds nos dn efectivmente 54. 4 + 16 + 86 = 54 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 95

d. L edd de Silvi es el triple que l de Mrí Eugeni y dentro de 5 ños ser el doble. Hllr ls eddes ctules. Edd ctul de Mrí Eugeni: x Edd ctul de Silvi: x Edd de Mrí Eugeni dentro de 5 ños: x + 5 Edd de Silvi dentro de 5 ños: x + 5 Como el problem dice que dentro de 5 ños l edd de Silvi será l doble de l de Mrí Eugeni, por lo tnto, se multiplic lded de Mrí Eugeni por, pr que se igul l de Silvi y el problem quedrá: x 5 x 5 Resolviendo: x 5 x 10, x x 10 5, x 5 Por lo tnto l edd de Mrí Eugeni es de 5 ños ctulmente porque es x y l de Silvi que es x será 5 = 15 ños. Y verddermente dentro de 5 ños l edd de Silvi que será de 0 ños, será el doble de l de Mrí Eugeni, que será de 10 ños. EJERCICIO 51. 1. Tres números consecutivos sumn 67. hllr los números.. Si l cudruplo de mi edd ñdo 8 ños, tendrí 100ños. Qué edd tengo?. Ls eddes sumds de A, B y C es 5 ños. L edd de A es l mitd que l de B y 5 ños menor que l de C. Hllr ls eddes. 4. Dividir 1080 en dos prtes tles que l myor disminuid en 1 equivlg l menor umentd en 100. 5. Hce dos ños l edd de Antonio er l mitd de lo que será dentro de 9 ños. Qué edd tiene ctulmente? Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 96

1 ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Representción gráfic de un punto. Representción gráfic de l función linel de primer grdo. Resolución de un sistem de dos ecuciones de primer grdo con dos vribles. Método gráfico. Método de eliminción. Eliminción por reducción de sum y rest. Eliminción por igulción. Eliminción por sustitución. Resolución por determinntes de un sistem de dos ecuciones con dos incógnits. 1.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN PUNTO. Hgmos que se corten en ángulo recto, es decir, que sen perpendiculres entre sí, un rect verticl llmd eje Y y un horizontl llmd eje X, y llmndo O (origen) l punto donde se cortn o intersectn ests dos rects. (Figur 1) Si cd uno de estos ejes les dmos un escl decud en cd líne, tendremos dos ejes numerdos, y si luego se conviene que tods ls distncis horizontles medids l izquierd del eje se conviene que tods ls distncis horizontles medids l izquierd del eje Y son negtivs. Y demás que tods ls distncis verticles medids hci rrib del eje X son positivs y tods ls distncis verticles medids hci bjo del eje X son negtivs. Se podrá observr que culquier punto de este plno se le puede socir dos distncis dirigids un prtir de eje Y y otr prtir del eje X. A ls distncis sobre el eje X se les llm bscis o coordends x y ls distncis sobre el eje Y se les llm ordends o coordends y. L bscis y l ordend se llmn coordends del punto y se señln como un pr de números encerrdos en un préntesis y seprdos medinte un com. L bscis se escribe siempre primero que l ordend. Hemos visto que ests dos rects que se cortn formn cutro prtes llmds cudrntes. (Figur ) y Figur 1 II III I IV x Como se podrá ver en el primer cudrnte, l bscis y l ordend son positivs porque están l derech del eje Y y rrib del eje X, respectivmente; en el segundo cudrnte l bscis es negtiv porque est l izquierd del eje Y y l ordend positiv porque est rrib del eje X; en el tercer cudrnte l bscis y l ordend son negtivs porque están l Figur Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 97

izquierd del eje Y y bjo del eje X, respectivmente; y que en el curto cudrnte l bscis es positiv por que est l derech del eje Y, y l ordend es negtiv porque est bjo del eje X. Ls coordends de un punto determinn el punto. Representr gráficmente los puntos A (5,); B (,5); C (, 4) y D (, ). (Figur ) Y X Figur Explicción: En el punto A de bscis 5 y ordend, medimos primero cinco (5) uniddes l derech del origen sobre el eje X, y luego subimos uniddes prtir de eje X, o lo podemos hcer l revés, primero subir uniddes y luego recorrer 5 uniddes l derech. En el punto B de bscis y ordend 5, recorremos uniddes hci l izquierd prtir del origen sobre el eje X, y luego subimos 5 uniddes prtir del eje X. En el punto C, de bscis y ordend 4 recorremos uniddes l izquierd y luego bjmos 4 uniddes prtir del eje X. En el punto D recorremos uniddes l derech y luego bjmos uniddes prtir del eje X. NOTAS. 1. Ls coordends del origen (0,0).. L bscis de un punto que éste sobre el eje Y será cero. Ejemplo: E ( 0, ), (Figur 4) Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 98

Y X Figur 4. L ordend de un punto que éste sobre el eje X será cero. Ejemplo: F (, 0 ) (Figur 5) Y X Figur 5 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 99

1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO. Un función linel de primer grdo como y x dos vribles. tmbién se llm ecución de primer grdo con Con el tem nteriormente visto tenemos ls bses suficientes pr representr gráficmente un función linel, tomndo los vlores de x como bsciss y los vlores de y como ordends, obtendremos un serie de puntos que unidos drán l gráfic de l función linel, que en este cso será un líne rect. Pr ilustrr el procedimiento indicremos lgunos ejemplos.. Representr gráficmente l función y x Dndo vlores x, obtendremos los vlores correspondientes de y: Pr: x x x x x ; y 6; A, 6 1; y 1 ; B 1, 0; y 0 0; C 0, 0 1; y 1 ; D 1, ; y 6; E, 6 Grficndo los puntos A, B, C, D y E; uniéndolos tendremos el gráfico de l función. (Figur 6) Y Y X Figur 6 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 100

b. Representr gráficmente l función y x Los vlores de x y y, se costumbrn representr por medio de tbulción como sigue: X 1 0 1 Y 0 6 Punto A B C D y 6 A, y 1 0 B 1, 0 y 0 0 C 0, y 1 6 D 1, 6 Loclizndo los puntos A, B, C, D, E en el plno crtesino y uniéndolos, tendremos l gráfic de l función. (Figur 7). X Figur 7 Como podemos ver en l gráfic de l ecución cundo x = 0; y =; y cundo y = 0; x = 1, que son los cortes sobre los ejes X y Y respectivmente. Por lo tnto, con encontrr los cortes sobre los ejes de un función podemos hcer se gráfic, por que no necesitmos más puntos. El corte sobre los ejes se encuentrn hciendo x = 0 y luego y = 0. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 101

EJERCICIO 5. Indicr l bscis y l ordend en los siguientes puntos y representrlos gráficmente: 1. A (,). B (,4). C (,1) 4. D (4, 5) 5, E (0,) 6. F (4,0) 7. G ( 4,0) 8. H (0, 5) Encontrr ls grfics de ls funciones siguientes: 9. y x 10. y 5x 11. y 5x 4 1. y x 1. y x 14. y x 1. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES. ECUACIONES SIMULTÁNEAS. Son quells que tienen ls misms soluciones, es decir, que se stisfcen pr unos mismos vlores de ls incógnits. Como y henos visto, un ecución de primer grdo de dos vribles tiene tnts soluciones como se desee. Pero por lo generl, solo un pr de vlores podrá stisfcer simultánemente ese pr de ecuciones. Y ese pr de vlores se llm solución de ls dos ecuciones. 1.4 MÉTODO GRÁFICO. Y que ls coordends de culquier punto de l gráfic de l ecución de primer grdo con dos incógnits, stisfcen l ecución, ls coordends del punto de intersección de ls gráfics de dos de ess ecuciones, constituyen l solución de mbs. Pr obtener l gráfic se resuelve l ecución pr y, es decir se despej y, y luego se plic el método de grficr un función. Ejemplo:. Resolver gráficmente ls ecuciones: x y 7 (1) x y 1...() Tenemos ls ecuciones (1) y (), ests ecuciones son funciones como ls que hemos estdo viendo, con l únic prticulridd de que, en (1) y () no tenemos despejds l vrible y. Y lo primero que tenemos que hcer despejrl en mbs ecuciones: Se (1) x y 7, psndo x l segundo miembro nos quedrá: (1) y 7 x, con lo cul y est despejd en (1). Teniendo (1) despejd, hor procedmos de igul mner pr con. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 10

Se ()... x y 1 y 1 x 1 x y...() Después de hber despejdo y, en mbs ecuciones procedemos tbulrls: (1) X 1 Y 4 1 Punto A B C () X 1 Y 4 1 Punto A B C (1) y 7 x () 1 x y y 7 1 7 4 y 7 7 6 1 y 7 7 9 1 (1) 1 10 y 1 () 1 4 8 y 1 () 1 6 6 y 1 8 Ahor que hemos encontrdo los puntos A (1,4); B (,1); C (, ); en (1) y A (1, ); B (, ); C (, ) en (), vmos grficr mbs ecuciones en un mismo plno crtesino.(figur 8). Y Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 10

Figur 8 X Podemos ver que ls dos rects de cd un de ls ecuciones se cortn en el punto C de (1) y en el punto C de () que son el mismo punto de coordends (, ), por lo tnto este punto es l solución de ests dos ecuciones, es decir el sistem se resuelve pr: x y y EJERCICIO 5. Resolver ls siguientes ecuciones simultánes por el método gráfico: 1. x y 1 x y 7. x y 10 x y 1.5 MÉTODOS ELIMINACIÓN. Los métodos de eliminción son tres: 1. Por sum o rest, llmdo tmbién por reducción.. Por igulción, conocido tmbién de comprción.. por sustitución. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 104

1.6 ELIMINACIÓN POR REDUCCIÓN DE SUMA O RESTA. REGLA: 1. Multiplíquense los dos miembros de un de ls ecuciones o de mbs, por números tles que resulten igules los coeficientes de un de ls incógnits.. Súmense ls dos ecuciones si dichos coeficientes son de signos contrrios, si no un de ls ecuciones cámbiense los signos de todos sus términos.. Resuélvse l ecución que sí result, con lo cul se obtiene el vlor de l incógnit que contiene. 4. Sustituyendo este vlor en un de ls ecuciones dds y resuélvse, se obtiene sí l otr incógnit.. Resolver el siguiente sistem por sum o rest x y (1) x 4y 4...() Se hcen igules los coeficientes de un de ls incógnits, en este cso l x, por ser más cómodo. Multipliquemos l primer ecución por y nos quedrá. x 9y 6...(1) x 4y 4...() Como los coeficientes de x y están iguldos pero tienen el mismo signo, cmbiémosle un de ls ecuciones de signo, en este cso se lo hremos l ecución (). (Lo mismo d culquier de ls dos ecuciones). Tendremos: x 9y 6...(1) x 4y 4...() Ahor y tenemos los coeficientes de x igules y de signos contrrios. Sumemos ls ecuciones por que con ello se elimin x. x 9y 6...(1) x 4y 4...() 5y 10 10 y ; y 5 Sustituyendo el vlor y = en culquier de ls dos ecuciones originles, por ejemplo en l (1). Tendremos: Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 105

Propedéutico de Mtemátics, Modulo I x ; x 6; x 6 ; x 4 Luego l solución del sistem es: x = 4 y y = EJERCICIO 54 1. x y 8 x 4y 1. x y x 4y 1 1.7 ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN. REGLA: 1. Despéjese en cd ecución l incógnit que se quiere eliminr.. Iguálense ls expresiones que representn el vlor de l incógnit elimind.. Resuélvse l ecución que result, con lo cul se obtiene el vlor de l incógnit no elimind. 4. Sustitúynse el vlor hlldo en un de ls expresiones, que represent el vlor de l otr incógnit y resuélvse. Ejemplo:. Resolver el siguiente sistem por igulción: x 7y 9...(1) 6x y 7...() Despejndo un de ls incógnits en ls dos ecuciones, por ejemplo y, tendremos: 9 x y...(1) y 7 6 x...() 7 Ahor igulremos entre si los dos vlores de y que hemos obtenido: 9 x 7 6x 7 Ahor tenemos un ecución de primer grdo con un sol incógnit x. Ahor resolvámosl como se h visto nteriormente. 9 x 7 77 76 x; 9 x 189 4 x; 7 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 106

180 x 4x 189 9; 45x 180; x ; x 4 45 Sustituyendo este vlor de x = 4 en culquier de ls ecuciones originles (en este cso es más recomendble sustituir en l () porque no tiene denomindores), tendremos: Luego l solución es: x = 4 y = y 7 6 4 y 7 4 y 1. 8 ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN. REGLA: 1. Despéjese un incógnit en un de ls dos ecuciones.. Sustitúynse l expresión que represent su vlor en l otr ecución.. Resuélvnse l nuev ecución, con lo cul se obtiene el vlor de l incógnit no elimind. 4. Sustitúyse el vlor sí hlldo, en l expresión que represent el vlor de l otr incógnit y resuélvse l ecución resultnte. Ejemplo:. Resolver el siguiente sistem por sustitución: x y 66...(1) x y 8...() Despejmos un de ls incógnits, por ejemplo x, en l segund ecución y tendremos: x 8 y...() Este vlor sí obtenido de x, lo sustituimos en primer ecución, quedándonos: Est ecución l resolvemos y tendremos: 8 y y 66 Este vlor de 6y y 66; 6y y 66 4 4 7y 4; y ; y 6 7 y = 6 lo sustituimos en un de ls ecuciones originles y nos quedrá: x 6 8; x 1 8; x 8 1; x 0 y 6 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 107

EJERCICIO 56 Resolver por los métodos de igulción y sustitución: 1. 7x 8y 5 x 5y 8. 4x 5y 5 10y 4x 7 1.9 RESOLUCIÓN POR DETERMINANTES DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS. Ejemplo: REGLA: 1. El vlor de x es un frcción cuyo denomindor es el determinnte formdo con los coeficientes de x y y (determinnte del sistem) y cuyo numerdor es el determinnte que se obtiene sustituyendo en el determinnte del sistem l column de los coeficientes de x por l column de los términos independientes de ls ecuciones dds.. el vlor de y es un frcción cuyo denomindor es el determinnte del sistem y cuyo numerdor es el determinnte que se obtiene sustituyendo en el determinnte del sistem l column de los coeficientes de y por l column de los términos independientes de ls ecuciones dds.. Resolver por determinnte el siguiente sistem: 11 4 5x 4y 11...(1) x 7y 16...() 16 7 77 64 141 x x 5 4 5 1 47 7 5 11 16 80 47 y 1 y 1 5 4 5 1 47 7 EJERCICIO 57 Resolver por el método de determinntes : 1. x 6y 7 7x y 9. 9 x 8 y 1 7x 4y 5 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 108

14 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Ecución cudrátic o de segundo grdo. Ecuciones complets de segundo grdo. Ecuciones incomplets de segundo grdo. Ríces de un ecución de segundo grdo. Fórmul pr resolver l ecución generl de segundo grdo. Resolución de ls ecuciones incomplets de l form x + c = 0. Resolución de ls ecuciones incomplets de l form x + bx = 0. Grfic de un ecución cudrátic. Crácter de ls ríces de l ecución e segundo grdo. 14.1 ECUACIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO. Es tod ecución en l cul un vez simplificd, el myor exponente de l incógnit es. 4x x 1 0, x 6x 1, 7x x 9 14. ECUACIONES COMPLETAS DE SEGUNDO GRADO. Son ecuciones de º grdo de l form y un término independiente. x bx c 0, que tienen un término en x, un término en x x 6x 0; 5x 11x 0; 4x x 0 14.4 ECUACIONES INCOMPLETAS DE SEGUNDO GRADO. Son ecuciones de l form x c 0 que crece del término en x o de l form que crece del término independiente. x bx c 0 x 16 0 es ecución incomplet de l form 5x x 0 es ecución incomplet de l form x x c 0 bx 0 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 109

14.4 RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. Son los vlores de l incógnit que stisfcen l ecución: Tod ecución de º grdo tiene dos ríces. Así ls ríces de l ecución. Ejemplo: x x x1 x 5 0, son 7 y 5 y podemos comprobr que efectivmente mbos vlores stisfcen l ecución. 7 7 5 49 14 5 0; 5 5 5 5 10 5 0 14.4 FÓRMULA PARA RESOLVER LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO. Tod ecución cudrátic se puede resolver medinte l fórmul: x b b 4c Que es l fórmul que d ls dos ríces de l ecución x bx c 0 en función de, coeficiente del término en x, b coeficiente del término en x y c el término independiente. Ejemplo:. Resolver l ecución x 11x 4 0 b b 4c Aplicndo l fórmul: x quí = 1, b = 1, c = 4. 11 11 4 1 4 11 1196 11 5 115 x 1 11 5 6 11 5 16 Luego: x1 y x 8; x 1 = x = 8 EJERCICIO 58. Resolver ls siguientes ecuciones por l fórmul generl. 1.. x 5x 0. x 7x 0 x 11x 4 0 4. 0x 7x 6 0 Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 110

5. 1 1 1 x x 1 6 6. x 1 x 7 0 x x 1 6 14.6 RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA x c 0 Ejemplo:. x x x 9 0 9 9 X 1 = X = Tod ecución incomplet de l form x + c = 0 tiene sus dos ríces igules pero de signos contrrios. 14.7 RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA x +bx = 0 Ejemplo:. Resolver l ecución x 4x 0 x x 4 0 Fctorizr el primer miembro: Pr que un producto se nule, es necesrio y bst que se nule uno de los fctores. Si x 0 es un solución; Si x 4 0; x 4, es otr solución, Ls ríces son por tnto x1 0 x 4 Tod ecución incomplet de l form x +bx = 0 tiene un de sus ríces igul cero. EJERCICIO 59 1 1 1 1. x 48. x x 5 1 7. 4. x 6x 1 4x 1 5. x 5x 5x 4 x 7. 6. x 1 x 4 1 x 1 x 8. x x 5 16 14.8 GRAFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA. y = x + b x + c, con 0 es un prábol. Si > 0, l prábol se bre hci rrib; si < 0, l prábol se bre hci bjo. El punto más bjo o ms lto de l prábol se llm vértice. L b bscis del vértice es x Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 111

Ejemplo:. Representr y resolver gráficmente l ecución x 5x 4 0 El primer miembro de est ecución es un función de segundo grdo de x. Hciendo l función igul y, tenemos: y x 5x 4 Dándole vlores x encontrmos los correspondientes y: x y -1 10 0 4 1 0-5 9 4-4 0 5 4 6 10 A (- 1, 10) B (0, 4) C (1, 0) D (, -) E 5 9, 4 F (, -) G (4, 0) H (5, 4) I (6. 10) Uniendo los puntos A, B, C, D, E, F, G, H e I encontrmos l representción grfic del primer miembro de l ecución dd. 5 El punto inferior de l curv en este cso corresponde l vlor x b Que es cundo x. En este cso en especifico: b = -5 y = 1; b 5 5 1 Ls bsciss de los puntos en que l curv cort l eje de ls x son dos puntos cuys bsciss son 1 y 4 y ests son ls ríces de l ecución x 5x 4 0, ls ríces nuln l ecución. Grfic de l ecución x 5x 4 0. (Figur 9) Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 11

Figur 9 14.9 CARÁCTER DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. L ecución generl de segundo grdo x bx c x x 1 0 tienen dos ríces y solo dos, cuyos vlores son: b b 4c b b 4c ; El crácter de ests dos ríces depende del vlor del binomio b - 4c que est bjo el signo rdicl; por est rzón b - 4c se llm discriminnte de l ecución generl de segundo grdo. Consideremos tres csos: 1. b - 4c > 0 o se el discriminnte es un cntidd positiv. En este cso ls ríces son reles y desigules y l grfic trvies veces el eje x en los vlores de ls ríces.. b - 4c = 0 o se el discriminnte es cero. En este cso ls ríces son reles e igules y l grfic es tngente l eje x en los vlores de l ríz doble.. b - 4c < 0 o se el discriminnte es un cntidd negtiv. En este cso ls ríces son imginris y desigules y l grfic no trvies ni un vez el eje x. EJERCICIO 60 Anlizndo el discriminnte de cd un de ls ecuciones cudrátics siguientes, dig cunts soluciones hy en los reles: 1.. 5. x 6x 5. x x x 15 4. x x 4x 5 6. x Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 11 4x 4 x x 1

15 LOGARITMOS. TEMAS QUE SE VEN EN ESTE CAPITULO Logritmo de un número positivo. Grfic de l función exponencil. Grfic de l función logrítmic. Propieddes fundmentles de los logritmos. 15.1 LOGARITMOS DE UN NÚMERO POSITIVO. El logritmo de un número en un bse dd es el exponente que se debe elevr l bse pr obtener el número. x Si tenemos b entonces: log b x. Psr 4 16 l form logrítmic. log 16 4 b. Psr log10 100 l form exponencil. c. Escribir l función invers de y x 10 100 log y x; x log y EJERCICIO 61. En los siguientes ejercicios psr de l form exponencil l form logrítmic. 1. 1 1.. N b 8 4 y w 4. x z 5. u v 6. y x 1 1 En los ejercicios del 7 l 1 psr de l form logrítmic l form exponencil. 7. log10 100 8. log81 4 9. log10 0.1 1 x Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 114

10. log b c 11. log8 4 1. log 1 0 1 En los ejercicios de 1 l 16 hllr el logritmo que se pide. 1. log10 1000 14. log10 0.001 15. log5 65 16. log0. 0.008 17. Si logb 0.1, hllr b 18. Si log7 N 0, hllr N 19. Si log48 x, hllr x 0. Si logb 9, hllr b 1. Si log4 N, hllr N. Demostrr que log 1 b 0 y log b b 1. x logb Demostrr que log b x x b y que b x En los ejercicios 4 y 5, escribir l función invers de l dd. 4. y y log 1 10 x 5. 10 1 x 15. GRAFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL. Son funciones exponenciles curvs cuys ecuciones son de l form generles e tles curvs son: y b x, ls propieddes. L curv psd por el punto (0, 1). b. L curv est sobre el eje x. x x. Trzr l grfic de y y y (figurs 10 y 11) Y Y X Figur 10 Figur 11 X 15. GRAFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 115

Son funciones logrítmics curvs cuys ecuciones son de l form generles de tles curvs son: y logb x. Ls propieddes. L curv ps por el punto (1, 0) b. L curv se encuentr l derech del eje Y y tiene este eje por síntot. Y Ejemplo.. Trzr l grfic de y log x. (Figur 1) X Figur 1 15. 4 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS LOGARITMOS. I. log MN log M log N b b b M II. log log M log N n III. log M n log M IV. b b b b b N 1 n 1 n b b b log M log M log M n EJERCICIO 6 En cd uno de los ejercicios 1 6, expresr el logritmo ddo en función de logritmo de expresiones más sencills. 1. log b 4. log b x 1 x 4 x 1 x. log 5. log x b x b x x 1 1 En cd uno de los ejercicios 7 10, hllr el vlor de x.. log 6. log b b x x x 4 x x 5 x x 7. logb x logb logb logb 4 8. log 1 1 b x logb logb 4 logb log x log log 10. log x 1 log 16 1 log 8 1 9. 10 10 10 11. Simplificr logb logb b y b 1. 10 10 10 Simplificr 10 y 10 1 log10 8 log10 En cd uno de los ejercicios 1 0, hllr l función invers de l función dd. Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 116

x 1. y b 14. 16. y log b x 17. x 1 x x b b 19. y 0. 1 y 15. x 1 b 1 1 x y log b 18. x 1 1 x y log b x 1 b y 1 b y b x1 x x x Dr. Luis G. Cbrl Rosetti Págin 117