Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Algebr Linel MA 0, 0/08/3, Profs. J. González, R. Gouet. Solución Exmen. Considere el siguiente sistem de ecuciones lineles, dependiente de los prámetros reles, α, β, γ, δ, siendo S el conjunto de sus soluciones. + )x + y + z + u = α x + + )y + z + u = β x + y + + )z + u = γ x + y + z + + )u = δ. ) ) pts.) Supong = 0. Encuentre l relción que deben stisfcer α, β, γ, δ pr que S teng l form S = W + v, donde W es un sev de R y v R. Especifique W, v y propong un bse pr W. Sol: Si = 0 el sistem se simplific porque todos los coeficientes de ls vribles son, es decir, x + y + z + u = α x + y + z + u = β x + y + z + u = γ x + y + z + u = δ. ) Evidentemente ) tiene solución si y solo si α = β = γ = δ y, ddo α R, S = {x, y, z, u) x + y + z + u = α} = {x, y, z, u) x + y + z + u = 0} + α, 0, 0, 0). Vemos entonces que W = {x, y, z, u) x + y + z + u = 0} y v = α, 0, 0, 0). Como bse de W podemos escoger B = {,, 0, 0),, 0,, 0),, 0, 0, )}. b) 3 pts.) Supong =. Indique l relción R que deben stisfcer α, β, γ, δ pr que el conjunto de soluciones se S =. Suponiendo que R no se cumple, determine S y muestre que tiene l form S = W + v, donde W es un sev de R y v R. Especifique W, v y propong un bse pr W. Indicción: resuelv en generl pr 0 y luego estudie el cso =. Sol: Siguiendo l indicción, resolvemos el cso generl 0. Pr ello designmos ls ecuciones, de l primer l curt, por E, E, E 3, E. Entonces vemos que hciendo E E se obtiene x u = α δ x = u + α δ. Análogmente, de E E se tiene y u = β δ y = u + β δ y de E 3 E se lleg z u = γ δ z = u + γ δ.
Reemplzndo ls expresiones pr x, y, z en E llegmos que es equivlente u + α δ + u + β δ + )u = + Cundo = l ecución 3) se reduce + u + γ δ + + )u = δ, δ α + β + γ + δ. 3) α + β + γ + δ = 0. Entonces, pr que no exist solución S = ) l condición es R : α + β + γ + δ 0. Si R no se cumple, es decir, si α + β + γ + δ = 0, entonces hy infinits soluciones y S = {u α δ, u β δ, u γ δ, u) u R} = {u, u, u, u) u R} + α δ, β δ, γ δ ) ), 0. Vemos que W = {u, u, u, u) u R} y v = α δ, β δ, γ δ )., 0 Un bse pr W es {,,, )}. c) pt.) Supong {0, }. Muestre que ) tiene solución únic y clcúlel. Sol: Como no es 0 ni -, podemos despejr u de 3) y obtener Luego, reemplzndo en ls expresiones pr x, y, z, obtenemos x = α α + β + γ + δ + ) u = δ α + β + γ + δ. 5) + ), y = β α + β + γ + δ + ), z = γ α + β + γ + δ. + ). Se A l mtriz socid l sistem linel ) de l pregunt. Indicción: Considere expresr A en términos de l mtriz, cuyos elementos son todos igules. ) pts.) Escrib l expresión lgebric de l form cudrátic qv) socid A y nlice el signo de q, pr concluir si A es semi) definid positiv o negtiv. Exprese sus resultdos en términos de. Sol: Usmos l indicción y escribimos A como A = + I, donde es l mtriz con todos sus elementos e I es l identidd. Entonces qv) = v t Av = v t + I)v = v t v + v t v. Por otr prte, notmos que ) v t v = v i
y que v t v = v i. Por lo tnto, ) qv) = v i + vi. Observmos primermente que si 0, qv) 0, v R. Es decir, A es semidefinid positiv. Si > 0 vemos que qv) > 0, v R, v 0, es decir, A es definid positiv. Usemos hor l desiguldd dd en indicción) ) v i vi 0, v R. 6) Supongmos que, entonces, plicndo l desiguldd tenemos, ) qv) = v i + ) vi v i vi 0 y A result semidefinid negtiv. Finlmente, si < < 0, digmos = podemos encontrr v con qv) > 0 y u, con qu) < 0, de mner que A no es semi) definid positiv o negtiv. Por ejemplo, con = tenemos qv) = v i) v i y q,,, ) =, q,, 0, 0) =. b) pts.) Explique por qué A debe tener vlores propios reles. Determine el espectro σa) e indique ls multipliciddes lgebrics y geométrics de los vlores propios. Clcule l signtur de q en función del prámetro. Sol: Porque tod mtriz simétric de coeficientes reles tiene vlores propios reles. Pr clculr σa) volvemos recurrir l representción de A = + I y escribimos el polinomio crcterístico de A como sigue: pλ) = deta λi) = det λ )I). Notemos que el polinomio crcterístico de es rµ) = det µi). Por lo tnto, pλ) = rλ ) de mner que µ es vlor propio de si y solo si µ + es vlor propio de A. Clculmos entonces los vlores propios de. Ddo que tiene tods sus fils igules, es evidente que 0 es vlor propio. Pr encontrr el espcio propio W 0 resolvemos el sistem de donde result de inmedito que v = 0, W 0 = {v, v, v 3, v ) v i = 0}. Notmos que W 0 coincide con el espcio W del prtdo ) de l pregunt, cuy bse que y obtuvimos) es B = {,, 0, 0),, 0,, 0),, 0, 0, )}. Concluimos entonces que l 3
multiplicidd geométric de µ = 0 es 3 y l lgebric es 3 por hor). Buscmos si existe un vlor propio no nulo de, resolviendo Pero este sistem equivle ls ecuciones v = µv, µ 0. v i = µv j, j =,, 3,, cuy solución es un vector v R con tods sus componentes igules. Por lo tnto, µ = y el espcio propio es W = {u, u, u, u) u R}, que coincide con W del prtdo b) de l pregunt, cuy bse es {,,, )}. Vemos que l multiplicidd geométric de µ = es. Ahor vemos que l multiplicidd lgebric de µ = 0 debe ser 3 igul l geométric). Por su prte, µ = 0 tiene multipliciddes. Finlmente, dd l relción entre los vlores propios de A y de, concluimos que λ = es vlor propio de A con multiplicidd geom. y lg.) 3 y que λ = + es vlor propio de A con multiplicidd geom. y lg.). Luego, el espectro de A es entonces σa) = {, + }. L signtur de A se define como el número de vlores propios positivos menos el número de vlores propios negtivos. Si > 0 l signtur es porque todos son positivos; si = 0 l signtur es, porque hy un positivo y 0 negtivo; si < < 0 l signtur es - porque hy un positivo y 3 negtivos; si = l signtur es -3 porque hy 0 positivo y 3 negtivos; si < l signtur es -. Observmos tmbién que los subespcios propios de A, socidos los vlores λ = y λ = +, coinciden respectivmente con los subespcios propios de W 0 y W de. c) 3 pts.) Determine un bse ortonormd de vectores propios de A y mtrices D digonl y P ortogonl, tles que A = P DP t. Clcule A 5 pr el cso =. Sol: Y tenemos ls bses de los espcios propios de de A, dds por {,, 0, 0),, 0,, 0),, 0, 0, )} pr λ = ) y {,,, )} pr λ = + ). Podemos firmr que {v, v, v 3, v } = {,, 0, 0),, 0,, 0),, 0, 0, ),,,, )} es un bse de vectores propios de R pero, unque el curto vector es ortogonl los tres primeros, estos no son ortogonles. Debemos entonces usr Grm-Schmidt, proyectndo, por ejemplo, el segundo en el primero y tomndo el residuo. Sen u, u, u 3, u los vectores ortogonles, entonces tommos u = v, u = v y clculmos Tmbién clculmos Este problem tiene un punto de bono. u = v < u, v > < u, u > u =, 0,, 0),, 0, 0) =,,, 0). u 3 = v 3 < u, v 3 > < u, u > u < u, v 3 > < u, u > u =, 0, 0, ),, 0, 0) 3,,, 0) = 3, 3, 3, ).
Tenemos un bse ortogonl {u, u, u 3, u } = {,, 0, 0),,,, 0), 3, 3,, ),,,, )} 3 y solo flt normlizr, dividiendo por ls norms: Llegmos finlmente u =, u = 3/, u 3 = / 3, u =. {,, 0, 0),,,, 0), 6 6 6 3, 3, 3, 3 3 ),,,, )}. Ls mtrices son y Not: Se elimin el cálculo de A 5. D = P = 3. Se L : R R 3 l función linel tl que 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 6 3 6 3 0 6 3 0 0 3 3 L,,, ) = 0, 0, ), L,,, 0) = 0, 0, ), L, 0,, 0) =,, ), L,, 0, 0) =,, ). 7). 8) ) pts.) Encuentre l mtriz representnte de L con respecto ls bses cnónics. b) 3 pts.) Determine ls dimensiones de KerL) e ImL), justificndo sus respuests. c) pts.) Determine l mtriz representnte de L con respecto l bse cnónic en R y l bse B = {,, ),, 0, ),,, 0)} de R 3. 5