MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE POLINOMIOS POLINOMIOS A. Introducción Teoría B. Ejercicios resueltos B.. Sumas y restas B.. Multiplicación B.3. División B.4. Sacar factor común B.5. Simplificar fracciones algebraicas B.6. Operaciones con fracciones algebraicas B.7. Relación entre dividendo, divisor, resto y cociente - Operaciones con polinomios: Notas teóricas a) Suma y resta Se agrupan los monomios del mismo grado y se opera. b) Multiplicación Se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo y luego se agrupan y se operan los términos del mismo grado. c) División Suelen utilizarse dos métodos: i. Método estándar: Se procede de forma análoga a la división entre números. dividendo divisor resto cociente Se cumple que: Dividendo divisor cociente + resto ii. Método de Ruffini: Sólo se puede aplicar para dividir polinomios de grado igual o mayor que dos entre un binomio de grado uno - Teorema del resto: /3
Logaritmos resueltos El resto de la división de un polinomio entre a coincide con el valor del polinomio en a, es decir: resto P( a) - Factorización de polinomios: Los polinomios compuestos pueden descomponerse como producto de dos o más polinomios de grado menor. A esta tarea se le llama factorizar polinomios. B.. Sumas y restas Ejercicios resueltos. 3 + 5. 6 5 9 3. 4. 5. 3 + 3 5 + 5 + 3 4 3 3 3 3 3 + 4 + 5 + 5 + 4 3 3 6 + 4 6. ( ) ( ) 3 + 4 3+ 4 4 B.. Multiplica 7. 8. 9. 0. + 3 3 3+ 5 4 4 6 3 6 + 6 7 7 + ( ) 5 5 0 0. 6 (3 + ) 8+. 9 (6 5) 54 45 3. 3 ( 7) 6+ /3
Logaritmos resueltos 4. 5 ( ) 5 0 5. (3 9) 6+8 6. 9 (6 5) 54 45 7. ( ) 8. (3 9) 6 +8 9. 9 (6 5) 54 3 45 0. 5 ( + ) 5 3 +5 0. (3 7 ) ( 4) 5 7 +8 6 +4 5. (3 3 9 +7+) 6 5 +8 4 4 3 3. 9 6 ( 5 4 + 0 3 3 + 3) 45 0 +90 9 7 8 9 7 +7 6 4. (3 + )(5 + ) 3 (5 + )+ (5 + ) 5 +6+5 + 5 ++ 5. ( + 7)( + ) ( + )+7 ( + ) ++7 + 7 +9+7 6. ( )(5 + 6) (5 + 6) (5 + 6) 5 +6 5 6 5 + 6 7. (3 )( 7 + ) 3 ( 7 + ) ( 7 + ) +6+7 +3 8. (3 + 7)( + ) (3 + 7)( + ) 3 ( + ) + 7 ( + ) 3 3 +3 6+ 7 +7 4 3 3 +0 + 4 9. ( + )( + ) ( + )+( + ) ( + ) 4 + 3 + 3 + +4 4 + 3 3 4+4 + 7 + 7+ 7 30. ( ) 3. ( ) 3 5 3 0 3+ 5 3. + 3 3 3 3 3 3 3/3
Logaritmos resueltos 33. ( )( + ) ( ) ( ) + 34. ( 3 3) 4 35. ( 5) 3 ( ) ( ) + + + 4 3 3 3+ 3 9 6 3 + 3 3 3 + ( 4 ) 3( 4 ) 5 3( 4 )( 5) ( 5) + + + + + + ( ) 3 8 4 8 5 30 5 TEMA RELACIONADO: Binomio de Newton B.3. División 36. ( 4+ 3 )( : ) a) Método de Ruffini 4 3 3 3 0 Resto: 0 Cociente: 3 b) Método general o estándar 4 +3 3 Cociente 0 3 +3 3 3 0 0 Resto 4/3
Logaritmos resueltos 37. ( 3 + 5 )( : + ) a) Método de Ruffini 3-5 - -6 0 3-5 5 Resto Cociente: 3 5 b) Método general 3 + 5 + 3 6 3 5 Cociente 0 5 5 5 0 0 5 Resto 38. ( 6 5 3 4 + )( : + ) 5/3
Logaritmos resueltos a) Método estándar: 6 5 3 4 + + 6 5 6 4 6 4 9 3 +9 9+ 9 4 + 9 4 +9 3 9 3 + 9 3 9 9 + Resto: 9 +9 Cociente: 6 4 9 3 +9 9+ b) Método de Ruffini 6 3 0 0 0 6 9 9 9 6 9 9 9 Resto: Cociente: 6 4 9 3 +9 9+ 39. ( 3 + 3 )( : + ) En este caso no podemos aplicar el método de Ruffini, ya que aparece un divisor que no es de la forma ( ± a) - Método estándar: 6/3
Logaritmos resueltos 3 + 3 + 3 + + 3 3 + Resto: 5 5 5 5 Cociente: B.4. Saca factor común 40. 4+ 4 3 4 ( + 3) 4. 5+ 5 5 ( + ) 4. 5 + 5 5+ 5 5 ( + 5) 43. 4 + 3 3 ( + 3) 44. a 3 b a b 3 a b ( a b) 45. ab ac a c a(b c ac) 46. + 3( 3) ( ) 3 3 3 3 6 8 + 3 3 3 + 6 + 47. 0a b 3 5 a 3 b 5a b (b 5a) 48. 4abc 6ac 0b c 4bc(a 4a 5bc) 49. 5 3 y 3 30 4 y 5 y y (5y 30 y 3 ) 50. 5 7 0 3 +5 5( 6 4 +3) B.5. Simplifica 5. 5. 53. 3 9 5 + 5 7 3 + 3 4 7 4 3 3 5 3+ 5 8 4 3 3 4 + 4 6 3 3 3 4+ 4 4( + ) + 4 4 7/3
Logaritmos resueltos 54. 4 + 4 4 ( + ) + 8 4 55. 56. 8 4+ 4 + 3 + 3 4 4( + ) + + 3 ( + 3) Puede que te estés preguntando por qué el resultado no es 0. La razón por la que en el numerador queda un es que +3 se puede escribir también como: (+3). Así que: + 3 ( + 3) ( + 3) ( + 3) 57. 58. 4 ( ) 36 3 3 3 3 9 3 3 ( 3) 3( 3) 4. También habría podido proceder del siguiente modo: 36 4 3 4 9 4 ( 3 9) 3 9 3 9 3 9 4 59. 60. 6. 6. 63. 64. 3 9 3 9 3 9 36 4 3 4 9 4 ( 3 9) 4 4 4 4 4 ( ) ( ) 3 3 5 5 5 5 30 0 5 5 ( 5 5) ( 5 5 ) 3 5 3 5 ( 3 5) 8 30 6 3 6 5 6 3 5 6 6 3 3 3 3( ) ( ) 5+ 5 5+ 5 ( 5+ 5) 5+ 75 5 5+ 5 5 5 ( 5+ 5) 5 65. + + - ( + ) + ( + )( ) 8/3
Logaritmos resueltos 66. 67. 68. + ( ) ( 3) 3 ( + )( ) + 4 3 3 y - y 9y - 3y y( 3) 3y( 3) 3 a b ab ab( a b) ab 3 3 a b a b a b ( a b) a b ab B.6. Opera con las siguientes fracciones polinómicas 69. + + + + + + + + ( ) 70. + + + + ( ) + + + ( )( + ) ( ) + ( )( + ) ( )( + ) + ( ) ( )( + ) ( )( + ) + 7. + + ( ) + + ( ) ( ) ( ) 7. + + + + + + ( ) + + + ( )( + ) ( ) + ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) + + ( )( + ) ( ) ( )( + ) 9/3
Logaritmos resueltos ( ) ( ) + + + 3 3 + + + ( )( + ) ( )( + ) + ( )( + ) + + + + + + ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) + + + + + ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) + + + ( + )( ) ( + )( ) ( ) ( ) + ( + )( )( ) ( + )( )( ) + + ( + )( )( ) ( + )( )( ) 73. 3 B.7. Relación entre dividendo, divisor, resto y cociente 74. Determina el valor de m para que el polinomio 3 P( ) m+ ( m 5) al dividirlo por ( 5) tenga un resto de 3 Por el teorema del resto se tiene que cumplir que P( 5) 3, es decir: 3 P( 5) 3 5 5 5m+ ( m 3) 3 m 5 3 75. Calcula el valor de m para que el polinomio p( ) m+ 4m sea divisible por ( 5) Para que el polinomio sea divisible por ( 5) se tienen que cumplir la condición P( 5) 0, es decir: 3 P( 5) 5 5 5m+ 4m 0 m 55 0/3
Logaritmos resueltos Así que el polinomio buscado es: 3 P( ) 55+ 0 3 76. Calcula el valor de m y n para que el polinomio P( ) m+ n sea divisible simultáneamente por ( 5) y ( + ) Para que el polinomio sea divisible por ( 5) y ( + ) se tienen que cumplir las condiciones P( 5) 0 y P( ) 0. Es decir: 3 P( 5) 5 5 5m+ n 0 3 P( ) ( ) ( ) ( ) m+ n 0 Tenemos entonces un sistema de ecuaciones, cuyas incógnitas son m y n. resolviendo: 5m+ n 75 m 3; n 0 m+ n 6 Conclusión: 3 El polinomio buscado es P( ) 3 0 Factoriza los siguiente polinomios 77. P( ) 6 Utilizamos Ruffini. Las raíces enteras de P() van están entre los divisores de 6. Probaremos con el y con el 3. 6 6 3 0 3 3 0 /3
Logaritmos resueltos Conclusión: P( ) ( + )( 3) 78. P( ) 9+ 0 Utilizamos Ruffini. Las raíces enteras de P() van están entre los divisores de 6. Probaremos con el 4 y con el 5. 9 0 4 4 0 5 0 5 5 0 Conclusión: P( ) ( 4)( 5) 3 79. P( ) 3 + 3 Utilizamos Ruffini. Las raíces enteras de P() van están entre los divisores de 3. Probaremos con el, y con el 3. 3 3 4 3 4 3 3 3 3 3 0 Conclusión: P( ) ( + )( )( 3) 4 3 80. P( ) 5 + 9 7+ /3
Logaritmos resueltos Utilizamos Ruffini. Las raíces enteras de P() van están entre los siguientes números, todos divisores de, es decir: ± y ±. -5 9-7 -4 5 - -4 5-0 -3-3 0 - - 0 Conclusión: P( ) ( )( )( )( ) ( )( ) *** 3/3