Matemátca Fnancera Amortzacones 8 Qué aprendemos Rentas vencdas y adelantadas: fórmula fundamental y dervadas. Evolucón del saldo. Grafcacón Cálculos para el tempo no entero. Tasa de nterés: fórmula de Baly, método de Newton. Utlzacón de calculadora y planllas de cálculo. Fórmulas Amortzacones Vencdas c c c c c c F. Val. V = c 1 1 + n c = V = c a n Valúa la renta un período antes de la prmera cuota V ln 1 1 1 + n n = c ln 1 + Fórmula de Baly h = Método de Newton: c n V 1 = 0 2 n+1 1 0 = V c 0 + 1 + 0 n 1 V c n 1 + 0 n 1 n 1 h 12 2 n 1 h 12 h Prof. Carlos Maro Frías frasc@profesores.ucongreso.edu.ar 155 066776 T. Práctco N 8 Dctado 2008 Pág. N 1/8
Amortzacones Adelantadas V = c 1 + c = c c c c c c F. Val. 1 1 + n V 1 + = c a n Valúa la renta al momento de la prmera cuota V ln 1 c 1 + 1 1 + n n = ln 1 + Fórmula de Baly h = Método de Newton: c n 1 V - c 1 = 0 2 n 1 0 = n 2 h 12 2 n 2 h 12 h V-c c 0 + 1 + n+1 0 1 V-c c n 1 1 + 0 n Resolvemos en clase 1. Una deuda de $ 9.000 se cancela en 3 años con cuotas mensuales vencdas al 1% mensual. Calcular la cuota y confecconar un cuadro que muestre la evolucón del saldo para los 3 últmos períodos. Representar gráfcamente. 2. Resolver el msmo ejercco anteror, pero suponendo que las cuotas son adelantadas. Prof. Carlos Maro Frías frasc@profesores.ucongreso.edu.ar 155 066776 T. Práctco N 8 Dctado 2008 Pág. N 2/8
3. Calcular el valor real resultante por la compra de una notebook, cuyo preco de lsta es de $ 3.000, que se puede pagar en 50 cuotas sn nterés, tenendo en cuenta que la nflacón proyectada durante los 50 meses sguentes es del 2% mensual. Los ngresos de esta persona se estma que evoluconarán de acuerdo con las varacones de la nflacón. 4. Un señor que recbe una herenca de u$s 100.000 los deposta en un banco que le paga la TNAV del 10,8%. Suponendo que realza retros mensuales vencdos de u$s 2.500 En qué tempo agota la herenca?. (n = 49,81 meses 50 meses) 5. En el Daro Los Andes aparecó una publcdad de equpos de GNC, en la que solamente se ndcaban las sguentes alternatvas de pago: a) cuatro cuotas mensuales adelantadas de $ 300; o b) ocho cuotas mensuales adelantadas de $ 155. Con estos datos se le solcta: a) Formular el dagrama temporal con las alternatvas de pago. b) Calcular la tasa de nterés del comercante. c) Calcular el preco de contado del equpo, comprobando que sea el msmo para ambas alternatvas de pago. Prof. Carlos Maro Frías frasc@profesores.ucongreso.edu.ar 155 066776 T. Práctco N 8 Dctado 2008 Pág. N 3/8
6. Una conocda tenda de Mendoza realzaba tempo atrás la sguente oferta:... pagos en 5 cuotas lmptas (sn nterés), o pago al contado con el 50% de descuento... Calcular la tasa de nterés mplícta en esta oferta aplcando la fórmula de Baly para las rentas vencdas y adelantadas tenendo en cuenta que el prmer pago se realza al momento de la compra. Para facltar los cálculos, suponga un preco de lsta de $ 600. ( (0) = 55,64%; (real) = 55,17%) 7. Para cancelar una deuda de $ 10.000 dsponemos como máxmo de $ 500 mensuales adelantados al 0,9% mensual. Calcular el tempo necesaro. S resulta no entero, redondear al entero más próxmo, recalculando alternatvamente: (n = 21,93 22 meses) a) La últma cuota. (c 22 = $ 465,58) b) Las cuatro últmas cuotas. (c 19 = c 20 = c 21 = c 22 = $ 491,51) c) Las cuatro prmeras cuotas. (c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = $ 492,77) 8. En el sguente dagrama temporal, en donde los períodos son meses, se le solcta calcular el valor actual de la renta en el momento 0, a la tasa del 2% mensual. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 F.Val. 100 100 100 100 100 2% * Amortzacones vencdas: V 0 = 100 a 5 1,02 2 = $ 453,04 * Amortzacones adelantadas: V 0 = 100 a 2% 5 1,02 3 = $ 453,04 * Almacenera: V 0 = 100 3 1,02 3 + 100 4 1,02 4 + 100 5 1,02 5 + 100 6 1,02 6 + + 100 7 1,02 7 = $ 453,04 9. A partr de la sguente expresón, se le solcta ubcar las cuotas sobre el dagrama temporal. 1 1 + 3 V 1 = 200 1 + 1 + 6 1 1 + 4 + 250 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Prof. Carlos Maro Frías frasc@profesores.ucongreso.edu.ar 155 066776 T. Práctco N 8 Dctado 2008 Pág. N 4/8
Resolvemos en casa 10. Cuál es la deuda que se cancela con 20 cuotas semestrales vencdas de $ 750, a la tasa del 1% mensual equvalente? (V = $ 8.497,28) 11. El 01/07/2000 Sr. JC compró una casa con el sguente plan de pagos: a) antcpo $ 10.000; b) cuotas mensuales vencdas de $ 800 durante los próxmos 15 años; c) las cuotas de los meses de juno y dcembre de cada año son de $ 1.000 (en lugar de los $ 800: cuotas agunaldo ). Calcular el valor de contado de la casa sabendo que en esta fnancacón la TEA aplcada es del 7,45%. (V = $ 101.475,61) 12. Cuál es la cuota bmestral vencda que cancela una deuda $ 7.500 en 2 años de plazo a la TNAV = 12%? (c = $ 709,20) 13. En qué tempo se cancela una deuda de $ 2.000 con cuotas mensuales vencdas de $ 400 al 1% mensual? S obtene una solucón entera redondear el resultado al entero más próxmo, recalculando alternatvamente: a) todas las cuotas; b) la prmera cuota. (n = 5,15 meses 5 meses; a) c = $ 412,08; b) c 1 = $ 459,21) 14. Calcular 1 (por el método de Newton) partendo del 0 = 4% mensual, sabendo que la deuda que se cancela es de $ 1.800 en 30 meses con cuotas vencdas de $ 75. ( 1 = 2,22378357714% mensual) 15. Se depostan $ 105.000 a la TEA del 8%, para agotarlos en 4 años con extraccones mensuales vencdas. Calcular el mporte de cada extraccón. (c = $ 2.549,62) 16. Qué es más convenente: comprar un automóvl pagando al contado el preco total de $ 20.000, o comprarlo con la fnancacón de la agenca en 24 cuotas mensuales adelantadas de $ 900? Tenga en cuenta que nuestra tasa de costo de oportundad es del 0,85% mensual.obtener la respuesta correspondente: a) Por comparacón de los valores actuales; b) Por comparacón de las tasas de nterés (aplque Baly). (Me convene que me fnance la agenca: a) V (agenca) = $ 19.630,26 - V (contado) = $ 20.000,00 b) (agenca) = 0,68% mensual ; (propo) = 0,85% mensual) 17. Calcular la cuota trmestral adelantada que permte agotar un captal de $ 5.000 en 2 años, a la TEA = 10,3813%. (c = $ 680,33) 18. En qué tempo se cancela una deuda de $ 3.680,91 medante el pago de cuotas mensuales adelantadas de $ 153,27 a la TNAV =18%? (n 29 meses) 19. Calcular (aplcando Baly) la tasa de nterés mplícta en la sguente oferta (tenga en cuenta que el prmer pago se realza al momento de la compra). ( 0 = 5,3588% mensual) 0% de nterés En tres pagos guales 5% descuento Por pago contado Prof. Carlos Maro Frías frasc@profesores.ucongreso.edu.ar 155 066776 T. Práctco N 8 Dctado 2008 Pág. N 5/8
20. Con los datos del sguente dagrama en el que los períodos son meses, se le solcta calcular el valor actual de la renta al momento 0, con una tasa del 1% mensual equvalente. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 70 70 70 70 100 100 100 100 100 V 0 = 70 a 1% 4 + 100 a 1% 5 1,01 4 = $ 746,94 V 0 = 70 a 1% 9 + 30 a 1% 5 1,01 4 = $ 746,94 V 0 = 100 a 1% 9 30 a 1% 4 = $ 746,94 1% 1% V 0 = 70 a 4 1,01 + 100 a 5 1,01 3 = $ 746,94 1% 1% V 0 = 70 a 9 1,01 + 30 a 5 1,01 3 = $ 746,94 1% 1% V 0 = 100 a 9 1,01 30 a 4 1,01 = $ 746,94 V 0 = 70 + 70 1,01 1 + 70 1,01 2 + 70 1,01 3 + 100 1,01 4 + 100 1,01 5 + 100 1,01 6 + 100 1,01 7 + 100 1,01 8 = $ 746,94 21. A partr de la sguente expresón: 3 3 1 1 + V 0 = 100 1 + 3 1 1 + + 250 1 + Se le solcta ubcar las cuotas sobre el sguente dagrama temporal. 0 1 2 3 4 5 6 7 22. Opcones múltples: para cada afrmacón se brndan tres alternatvas, en todos los casos solo una es la correcta. No es necesaro el uso de calculadora. a) Un captal de $ 400 se agota medante 4 extraccones de O $ 98 O $ 100 O $ 102 b) El valor actual de una amortzacón (valuado a la fecha ncal) es la suma de sus: O cuotas menos ntereses O cuotas O cuotas más ntereses c) En una amortzacón de 5 cuotas mensuales adelantadas de $ 100 a una certa tasa de nterés, el valor actual de la amortzacón es de: O $ 475 O $ 500 O $ 513 d) Durante 20 períodos se pagan al 1% cuotas vencdas de $ 200 las 10 prmeras y de $ 250 los 10 últmas, cancelándose una deuda de $ 4.037,82. S los 10 prmeros pagos fueran de $ 250 y los 10 últmos de $ 200, la deuda cancelada sería: O $ 4.001,64 O $ 4.037,82 O $ 4.082,68 Prof. Carlos Maro Frías frasc@profesores.ucongreso.edu.ar 155 066776 T. Práctco N 8 Dctado 2008 Pág. N 6/8
e) El valor actual de una amortzacón vencda es V = $ 2.300. S calculáramos su valor actual con una tasa de nterés mayor (mantenendo constante todo lo demás) el nuevo valor actual V resultante sería de: O $ 2.250 O $ 2.300 O $ 2.350 f) El valor actual (V) de una amortzacón vencda es de $ 4.652,38. S en su lugar las cuotas fueran adelantadas (mantenendo los demás elementos constantes), el valor actual sería de: O $ 4.583,63 O $ 4.652,38 O $ 4.722,17 g) Con cuotas bmestrales vencdas de $ 200 en 3 años se cancela una deuda de $ 3.286,90, al 6 % efectvo anual. Alternatvamente, esta deuda se puede cancelar con cuotas mensuales vencdas de: O $ 99,76 O $ 100,00 O $ 100,24 h) Una deuda de $ 10.000 se cancela medante 10 pagos mensuales constantes, al 1 % mensual. El saldo después del prmer pago es: O $ 8.955,83 O $ 9.000,00 O $ 9.044,17 ) Con cuotas bmestrales adelantadas de $ 200 en 3 años se cancela una deuda de $ 3.318,97, al 6 % efectvo anual. Alternatvamente, esta deuda se puede cancelar con cuotas bmestrales vencdas de: O $ 198,07 O $ 200,00 O $ 201,95 j) Con cuotas bmestrales adelantadas de $ 200 en 3 años se cancela una deuda de $ 3.318,97, al 6 % efectvo anual. Alternatvamente, esta deuda se puede cancelar con cuotas mensuales adelantadas de: O $ 99,76 O $ 100,00 O $ 100,24 k) Una deuda puede cancelarse con 18 cuotas bmestrales de $ 200 o con 36 cuotas mensuales de $ 99,76. Ambas rentas son: O vencdas O adelantadas O mposble saber l) Una deuda puede cancelarse con 18 cuotas bmestrales de $ 200 o con 36 cuotas mensuales de $ 100,24. Ambas rentas son: O vencdas O adelantadas O mposble saber m) Al 12 % efectvo anual, una deuda puede cancelarse con 6 pagos bmestrales vencdos de 200 pesos, o con 12 pagos mensuales vencdos, los 11 prmeros de 100 $ y el últmo de: O $ 94,03 O $ 100,00 O $ 105,97 n) Al 0,92 % mensual, una deuda de $ 2.500 se cancela medante 12 pagos mensuales de $ 221. Alternatvamente, puede amortzarse con 6 pagos bmestrales: los 5 prmeros de $ 442 y el últmo de $ 454,79. En los dos casos las rentas son: O vencdas O adelantadas O mposble saber o) Débora y Macarena compran cada una, un artículo de $ 500. Débora pagará 24 cuotas mensuales adelantadas de $ 24, con ntereses al 16,37 % efectvo anual. Para Macarena, que pagará 12 cuotas bmestrales adelantadas de $ 48, resulta una tasa efectva anual: O 15,89% O 16,37% O 17,22% Prof. Carlos Maro Frías frasc@profesores.ucongreso.edu.ar 155 066776 T. Práctco N 8 Dctado 2008 Pág. N 7/8
Fuentes de consulta LÓPEZ DUMRAUF, Gullermo, Cálculo Fnancero Aplcado: un enfoque profesonal (Buenos Ares, La Ley; 2006), 2 ed. CASPARRI, María Teresa y ots.: Matemátca Fnancera utlzando Mcrosoft Excel, (Omcrón, Buenos Ares, 2005) FERNÁNDEZ, Néstor H. y YUNGER, Hernán, Excel para Contadores (Errepar, Buenos Ares, 2005) FERNÁNDEZ, Néstor H., Funcones Fnanceras de Excel (Errepar, Buenos Ares, 2003) FERNÁNDEZ, Néstor H. y SIRENA, José Lus, Matemátca fnancera aplcada con Excel (Errepar, Buenos Ares, 2005) TULIÁN, Elseo César, Rentas certas, (U.N.Cuyo, Mendoza) AYRES, Frank, Matemátcas Fnanceras (Mc. Graw Hll, 1963) GARCÍA, Jame A., Matemátcas Fnanceras (Bogotá, Pearson, 2000) GONZÁLEZ GALÉ, José, Matemátcas fnanceras, (Macch, Buenos Ares) Prof. Carlos Maro Frías frasc@profesores.ucongreso.edu.ar 155 066776 T. Práctco N 8 Dctado 2008 Pág. N 8/8