UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Itroducció a las sucesioes y series uméricas Ramó Bruzual Marisela Domíguez Caracas, Veezuela Septiembre 25
Ramó Bruzual Correo-E: rbruzual@euler.cies.ucv.ve Marisela Domíguez Correo-E: mdomi@euler.cies.ucv.ve Laboratorio de Formas e Grupos Cetro de Aálisis Escuela de Matemática Facultad de Ciecias Uiversidad Cetral de Veezuela http://euler.cies.ucv.ve/ labfg Nota: Este material está dispoible e la págia web http://euler.cies.ucv.ve/ labfg/guias.htm E geeral mateemos ua réplica e u servidor extero a la Uiversidad Cetral de Veezuela, el vículo se ecuetra idicado e esa misma págia web.
Prólogo Estas otas ha sido cocebidas para ser utilizadas e la parte de Sucesioes y Series Numéricas, del curso de Matemática III de la Facultad de Ciecias de la Uiversidad Cetral de Veezuela. E este curso participa estudiates de las Liceciaturas e Biología, Geoquímica, Química, Computació, Física y Matemática. El trabajo de mecaografía y la elaboració de los gráficos está a cargo de los autores. Agradecemos cualquier observació o cometario que desee haceros llegar. Ramó Bruzual. Marisela Domíguez. Septiembre 25. iii
CONTENIDO Capítulo. Sucesioes uméricas.. Defiicioes y resultados básicos 2. Sucesioes covergetes. 4 3. El úmero e. 5 4. Sucesioes moótoas. 5 5. Operacioes co sucesioes 5 6. Repaso de la regla de L Hôpital. 6 7. Límite ifiito 9 8. Sumas fiitas y el símbolo sumatorio. Ejercicios. Sucesioes. 3 Capítulo 2. Series uméricas. 9. Series. 9 2. Covergecia y divergecia de series. 22 3. Criterios de covergecia para series de térmios positivos. 24 4. Criterios de covergecia para series de térmios alteradas. 3 5. Series telescópicas. 3 Ejercicios. Series. 32 Capítulo 3. Fórmula de Stirlig y producto de Wallis. 37. La fórmula de Stirlig. 37 2. El producto de Wallis. 38 Ejercicios. Fórmula de Stirlig y producto de Wallis. 4 Bibliografía 43 Ídice 45 v
CAPÍTULO Sucesioes uméricas. Este capítulo es u repaso de cursos previos. Cocepto de sucesió y ejemplos. Límite de ua sucesió. Propiedades del límite. Cálculo de límites de sucesioes.. Defiicioes y resultados básicos La idea de sucesió e R es la de ua lista de putos de R. So ejemplos de sucesioes:,, 2, 3, 5, 8, 3,... 2, 4, 6, 8,,..., 4, 9, 25, 36,..., /2, /3, /4,...,,,.,.,...,,,,,... Lo importate acerca de ua sucesió es que a cada úmero atural le correspode u puto de R, por esto damos la siguiete defiició. Defiició.. Ua sucesió es ua fució de N e R. Si a : N R es ua sucesió e vez de escribir a(), a(2), a(3),... suele escribirse a, a 2, a 3,... La misma sucesió suele desigarse mediate u símbolo tal como {a }, (a ) ó {a, a 2,...}. Tambié usaremos {a }, (a ) ó {a, a 2,...}. Ejemplo.2. La sucesió de Fiboacci {a } está defiida por a = a 2 =, a = a + a 2.
2. SUCESIONES NUMÉRICAS. Esta sucesió fue descubierta por Fiboacci (75-25. aprox.) e relació co u problema de coejos. Fiboacci supuso que ua pareja de coejos criaba ua ueva pareja cada mes y que después de dos meses cada ueva pareja se comportaba del mismo modo. El úmero a de parejas acidas e el -ésimo mes es a + a 2, puesto que ace ua pareja por cada pareja acida e el mes aterior, y además cada pareja acida hace dos meses produce ahora ua pareja ueva. Ua sucesió, al igual que toda fució, tiee ua represetació gráfica. Por ejemplo, sea α = β = ( ) γ = Las gráficas de {α }, {β } y {γ } so las siguietes: 5 4 3 2 2 3 4 5 Figura.. {α }
. DEFINICIONES Y RESULTADOS BÁSICOS 3-2 3 4 5 Figura.2. {β } 2 3 4 5 Figura.3. {γ } Si embargo se obtiee ua mejor represetació de ua sucesió marcado los putos a, a 2, a 3,... sobre ua recta: α α2 α3 α4 β= β3 =... β2 = β4 =... γ 3 γ 2 γ Figura.4. Este tipo de diagramas os idica hacia dode va la sucesió. Defiició.3. Ua sucesió {a } es acotada si {a, a 2,...} es u cojuto acotado. Es decir, si existe K R tal que a K para todo N. Defiició.4. Ua sucesió {a } es acotada superiormete si existe M R tal que a M.
4. SUCESIONES NUMÉRICAS. Ejemplo.5. Sea a = /. Etoces la sucesió {a } es acotada superiormete por M =. Defiició.6. Ua sucesió {a } es acotada iferiormete si existe m R tal que a m. Ejemplo.7. Sea a =. Etoces la sucesió {a } es acotada iferiormete por m =. Proposició.8. Sea {a } ua sucesió, {a } es acotada si y sólo si {a } es acotada superiormete y {a } es acotada iferiormete. 2. Sucesioes covergetes. E lo que sigue {a } deotará ua sucesió de úmeros reales. Defiició.9. a = L si: para cada ε > existe N N tal que si N etoces a L < ε. E este caso se dice que la sucesió {a } coverge a L R, o límite de {a } es L. Se dice que ua sucesió {a } es covergete si existe L R tal que {a } coverge a L; se dice que es divergete (o que diverge) si o es covergete. límite. Ejemplo.. Sea a = / etoces a =. Ejemplo.. Sea a =! etoces {a } es divergete. Teorema.2 (uicidad del límite). Ua sucesió covergete tiee uo y sólo u Proposició.3. si {a } es ua sucesió que coverge a cero y {b } es ua sucesió acotada etoces la sucesió {a b } coverge a cero. y Teorema.4. Si {a }, {b } y {c } so sucesioes tales que a b c para todo Etoces a = c = L. + + b = L. +
5. OPERACIONES CON SUCESIONES 5 3. El úmero e. Se puede probar que la siguiete sucesió coverge: ( a = + ). Su límite es úico y es coocido como el úmero e: Tambié se puede probar: (a) 2 < e < 3 (b) el úmero e es irracioal. + ( + ) = e. 4. Sucesioes moótoas. N. Defiició.5. Ua sucesió {a } es moótoa creciete si a a + para todo Ejemplo.6. Sea a =. Etoces la sucesió {a } es moótoa creciete. Defiició.7. Ua sucesió {a } es moótoa decreciete si a + a para todo N. Ejemplo.8. Sea a = /. Etoces la sucesió {a } es moótoa decreciete. Teorema.9. (i) Toda sucesió moótoa creciete y acotada superiormete es covergete. (ii) Toda sucesió moótoa decreciete y acotada iferiormete es covergete. 5. Operacioes co sucesioes Teorema.2. Sea {x }, {y } sucesioes covergetes. Sea x = + x, y = + y. Etoces: x + y = x + y. + Demostració. Dado ε > existe N, N 2 N tales que (a) si N etoces x x < ε/2. (b) si N 2 etoces y y < ε/2.
6. SUCESIONES NUMÉRICAS. Sea N = max{n, N 2 }. Si N etoces (x + y ) (x + y) = (x x) + (y ) y) x x + y y < ε/2 + ε/2 = ε. De dode x + y = x + y. + Teorema.2. Sea {x }, {y } sucesioes covergetes. Sea x = + x, y = + y. Etoces: x y = x y. + Teorema.22. Sea {x }, {y } sucesioes covergetes. Sea x = + x, y = + y. Si y para todo, y, etoces x = x + y y. A los lectores iteresados e el Aálisis Matemático se les recomieda cosultar e alguos de los libros de la bibliografía las demostracioes de estos dos últimos teoremas. real. 6. Repaso de la regla de L Hôpital. La regla de L Hôpital permite calcular límites idetermiados para fucioes de variable Las pricipales idetermiacioes las agruparemos e tres grupos: (a),,., (b), +, (c),,. 6.. Idetermiacioes de la forma,,.. Teorema.23 (Regla de L Hopital). Sea f y g fucioes difereciables e u itervalo de la forma (a r, a + r) a, r R, r >. Supogamos que (a) f(x) = g(x) = x a x a (b) g (x) para todo x e (a r, a + r), x a. f (x) (c) x a g (x) = L.
6. REPASO DE LA REGLA DE L HÔPITAL. 7 Etoces f(x) x a g(x) = L. La demostració del teorema aterior se puede ver e [5]. E este mometo o estamos e capacidad de dar la prueba, pero podemos dar ua justificació. Como f y g so difereciables e a, etoces f y g so cotiuas e a. Luego f(a) = y g(a) =. Por lo tato Luego f(x) g(x) = f(x) f(a) g(x) g(a) = Si x a etoces la expresió de la derecha tiede a Ejemplo.24. x El primer límite es de la forma. f (x) x a g (x) = L. f(x) x a g(x) = L. x 3 4x 3 x 3 = x f(x) f(a) x a g(x) g(a) x a 3x 2 2x 2 = 3. Observació.25. La regla de L Hopital tambié es válida cuado se cosidera (a) límites laterales (x a + ó x a ), (b) límites ifiitos (x + ó x ), (c) límites de la forma. Observació.26. El resultado aterior permite calcular límites de la forma., tomado e cueta que si h(x) = etoces x a x a h(x) =. E este caso la regla de L Hopital se aplica a g(x) = h(x) para obteer u límite de la forma. Tambié se puede llevar a la forma. Ejemplo.27. l x x l x = x + x + /x = /x x + /x = 2 x +( x) =. El primer límite es de la forma.( ), el segudo límite es de la forma, el tercer límite se simplifica algebraicamete dado orige al cuarto límite que o es ua idetermiació..
8. SUCESIONES NUMÉRICAS. 6.2. Idetermiacioes de la forma, +. Estas idetermiacioes se resuelve haciedo operacioes algebraicas para llevarlo a algua de las formas cosideradas ates, es decir,,, Ejemplo.28. 4x + x + x se x = (4x + ) se x x x + x se x.. 4 se x + (4x + )(cos x) = x + se x + x cos x 4 cos x + 4 cos x (4x + ) se x = x + cos x + cos x x se x = 4 + 4 = 4. 2 El primer límite es de la forma, el segudo límite es de la forma, el tercer límite es de la forma y el cuarto límite ya o es ua idetermiació. 6.3. Idetermiacioes de la forma,,. Estos límites se calcula usado la siguiete propiedad: Proposició.29. Si x a f(x) existe, etoces x a ef(x) = e x a f(x). Observació.3. Esta Proposició tambié es válida cuado se cosidera (a) límites laterales (x a + ó x a ), (b) límites ifiitos (x + ó x ). Ejemplo.3. Calcularemos Este límite es de la forma. Teemos que x)x x +(se Comezaremos calculado (se x) x = e l((se x)x) = e x l(se x). x l(se x). x + que es u límite de la forma.. Luego aplicaremos la expoecial.
7. LÍMITE INFINITO 9 l(se x) x l(se x) = x + x + /x = x + x 2 cos x se x = x + cos x se x x 2 = x + 2x cos x + x 2 se x cos x El primer límite es de la forma., el segudo límite es de la forma, el tercer límite se simplifica algebraicamete dado orige al cuarto límite que es de la forma, el quito límite o es ua idetermiació. Ahora aplicamos la expoecial x +(se x)x = ex l(se x) = e x + x l(se x) = e =. x + Defiició.32. Sea {a } ua sucesió. 7. Límite ifiito Diremos que + a = + si para cada λ R existe N N tal que si N etoces a λ. Diremos que + a = si para cada λ R existe N N tal que si N etoces a λ. Es importate otar que las sucesioes que tiee límite ifiito o so covergetes. Proposició.33. Si {a } es ua sucesió covergete y {b } es ua sucesió tal que b para todo y b a = +. Etoces =. + + b =. 7.. Cálculo de límite de sucesioes usado la regla de L Hopital. Para calcular el límite de ua sucesió usado la regla de L Hopital se debe usar ua fucioes auxiliares de variable real. Por ejemplo, si la sucesió está dada por a = 2 la fució auxiliar f puede ser f(x) = x 2. Otro ejemplo: si la sucesió está dada por a = l la fució auxiliar f puede ser f(x) = l x. Estas fucioes auxiliares so secillas y e estos casos se calcula el límite cuado x +. Ejemplo.34. Cosideremos ( ) + l. Este es u límite de sucesioes, de la forma.( ).
. SUCESIONES NUMÉRICAS. Para hallarlo, e lugar de colocamos x y calculamos el siguiete límite: ( ) l ( ) x /x x = 2 x = x + x x + x + x = 2 x + x =. Luego ( ) + l =. A veces o coviee usar estas fucioes auxiliares secillas. Puede ser más coveiete cosiderar como fucioes auxiliares algo aparetemete u poco más complicado. ejemplo, si la sucesió está dada por a = 2 la fució auxiliar f puede ser f(x) = (/x) 2. Otro ejemplo: si la sucesió está dada por a = se(/) la fució auxiliar f puede ser f(x) = se x. E estos casos se calcula el límite cuado x +. Ejemplo.35. Cosideremos + se(/). Este es u límite de sucesioes, de la forma. Para hallarlo, podríamos calcular el siguiete límite auxiliar. x x + se(/x). E lugar de hemos colocado x. Este es u límite de fucioes, de la forma. Usted podría tratar de calcularlo. Hemos hecho ua cambio secillo, pero el límite que se debe calcular o es secillo. Si embargo si hacemos u cambio u poco más complicado el límite que tedremos que calcular es más secillo. E efecto, e lugar de colocamos /x y obteemos x + x se x. Este tambié es u límite de fucioes, de la forma. A cotiuació lo calcularemos. Por Por lo tato x + x se x = se x x x + x se x = x + = x + cos x se x + x cos x se x cos x + cos x x se x = 2 =. + se(/) =.
8. SUMAS FINITAS Y EL SÍMBOLO SUMATORIO. 8. Sumas fiitas y el símbolo sumatorio. Cuado queremos referiros a ua suma co sumados, e la que teemos ua fórmula para cada sumado a k usamos la siguiete expresió a + + a que tambié se escribe de la siguiete maera: Es decir, Ejemplo.36. k= a k a k = a + + a. k= () Sumar el úmero, veces: =. k= (2) La suma de los primeros úmeros aturales es: k = + +. k= (3) La suma de los cuadrados de los primeros úmeros aturales es: k 2 = + 2 2 + + 2. k= (.) Se puede probar que k = k= ( + ). 2 (.2) k= k 2 = 3 3 + 2 2 + 6. y.2. Ejercicio Adicioal: Usado el método de iducció completa demuestre las fórmulas.
2. SUCESIONES NUMÉRICAS. Ua propiedad importate de las sumas fiitas es la llamada propiedad telescópica que afirma que: (b k b k+ ) = b b +. k= Estas sumas so deomiadas sumas telescópicas.
EJERCICIOS. SUCESIONES. 3 Ejercicios. Sucesioes. () Sugiera el térmio geeral de cada ua de las siguietes sucesioes: (a) 2, 4, 6, 8,,... (b), 4, 9, 6,... (c), 8, 27, 64,... (d) 2, 2 3, 3 4, 4 5,... (e), 5,, 5,, 5,... (f) 2,, 3, 2,, 3,... (2) Se deja caer ua pelota desde ua altura iicial de 5 pies sobre la losa de cocreto. Cada vez que rebota alcaza ua altura equivalete a 2/3 de la altura aterior. Determie la altura que alcaza e el tercer rebote y e el -ésimo rebote. (3) U objeto se deja caer desde ua gra altura, de tal maera que recorre 6 pies durate el primer segudo, 48 pies durate el segudo, 8 pies durate el tercero y así sucesivamete. Cuáto recorre el objeto durate el sexto segudo? (4) Sea {a } ua sucesió (ifiita) co térmio geeral a. Estudie la sucesió: Diga si es acotada superiormete, acotada iferiormete, acotada, o acotada, moótoa creciete, moótoa decreciete, o moótoa. Dibuje el gráfico de la sucesió. Determie si coverge o diverge, y e caso de que coverja halle su límite. (a) a = 2 (b) a = + + 2 (c) a = ( ) (d) a = se(π) ( π ) (e) a = se 2 + π ( π ) (f) a = cos 2 + π (g) a = cos(π) (h) a = + ( ) (i) a = 2 (j) a = + ( + (k) a = (l) a = 4 (m) a = (/) 3 ) 7
4. SUCESIONES NUMÉRICAS. () a = 8 / (o) a = (/2) (p) a = 6 (5) La sucesió de Fiboacci: (a) Supoga que la vida de los coejos es etera y que cada mes ua pareja procrea ua ueva pareja, que es fértil al mes. Si comezamos co ua pareja de recié acidos y a represeta el úmero de parejas acidas e el -ésimo mes demuestre que a = a 2 =, a = a + a 2 si 3 (la igualdad de la derecha es ua fórmula recurrete). (b) Verifique que el térmio geeral de la sucesió de Fiboacci es ( ) a = ( ) 5 5 + 5 2 5 2 demostrado que esta expresió satisface la fórmula recurrete dada e (a). (6) Sea c, r costates reales. Cosidere la sucesió {a } defiida por a = cr. Se defie la sucesió {S } por S = a + + a. Probar que (a) S = c cr r (b) {S } coverge si y sólo si r <. (c) Si r < etoces S = + c r. (7) Dar ejemplos de sucesioes {a } y {b } tales que pero (a) (b) a = + b a = + + b a = b =, + + (c) (d) a = + b a + b o existe.
EJERCICIOS. SUCESIONES. 5 (8) EL propósito de este ejercicio es recordar la fórmula para la derivada de u cociete, que o debe cofudirse co el cociete de derivadas. Hallar la derivada de cada ua de las siguietes fucioes, e los putos e los que so derivables: (a) f(x) = ta x l x (b) f(x) = ax csc x (c) f(x) = arcta x x (d) f(x) = sec x x (9) Calcular los siguietes límites de fucioes: ( (a) x + (b) x + x ) se x x ( se x x x (c) (se x)se x + ) (d) x( l x) x + (e) x x x + (f) x + (se(3x))se(5x) () Sea {a } ua sucesió (ifiita) co térmio geeral a. Para cada uo de los siguietes casos determie si {a } coverge o diverge, y e caso de que coverja halle su límite. (a) a = 4 3 3 + 4 (b) a = (c) a = 2 2 + (d) a = 2 + (e) a = 3 + ( ) 2 (f) a = ( l ) (g) a = (/) / (h) a = ( ) 2 + 3 (i) a = 43 + 3 2 + 5 3 + 3 (j) a = 2
6. SUCESIONES NUMÉRICAS. ( (k) a = 2 cos ) (l) a = + ( ) (m) a = se () a = se 2 (o) a = e e e + e (p) a = + 8 (q) a = 2 3 + (r) a = 5 2 6 + 4 (s) a = l(2 + e ) 3 (t) a = l( + ) l() (u) a = ( 4 ) (v) a = 5 + 5 3 (w) a = (+)/ (x) a = 2/(+) (y) a = ( + ) (z) a = se ( ) () * Demostrar que: (a) Si < a < 2 etoces a < 2a < 2. (b) La sucesió 2, 2 2, 2 2 2,... es covergete. (c) Hallar el límite de la sucesió aterior. (2) * Demostrar que si {a } es ua sucesió que coverge a cero y {b } es ua sucesió acotada etoces la sucesió {a b } coverge a cero. (3) * Sea {a }, {b } y {c } sucesioes tales que a b c para todo y Demostrar que a = c = L. + + b = L. +
EJERCICIOS. SUCESIONES. 7 (4) * Sea {a } ua sucesió covergete y {b } ua sucesió tal que b para todo y b = +. Demuestre que + a =. + b
CAPÍTULO 2 Series uméricas. Defiició y ejemplos. Criterios de covergecia para series de térmios positivos: comparació, límites, raíz, razó, itegral. criterio de Leibitz. Series alteradas: Las expresioes idefiidamete largas, tales como x + x 2 + x 3... (lo que los matemáticos llama series ifiitas) puede ser tratadas por medio de las reglas de la aritmética, o so ecesarias técicas especiales para poder abarcar su ifiidad? Efretada co tales dificultades coceptuales, la mete de los matemáticos del siglo XVIII empezó a titubear. Lagrage se desesperó tato que abadoó las matemáticas durate u período de varios años, y, e ua carta a su amigo y colega Jea Baptiste D Alembert, e.78, expresó la opiió de que las matemáticas estaba ahodado demasiado, co peligro de ser destruidas. D Alembert, e cambio, o sosegó a sus alumos, sio que les exhortó: Seguid adelate y la fe vedrá a vosotros.. Series. Las series permite eteder la idea de querer hacer sumas e las que hay ua catidad ifiita de sumados (tatos sumados como úmeros aturales). Para dar la idea de ua serie debemos cosiderar dos tipos de úmeros reales: () la expresió para cada sumado: a (2) la expresió para la suma fiita de los primeros sumados: s = a + + a = a k k= La siguiete termiología es usual: () A a se le llama térmio geeral de la serie. (2) A s se le llama la suma parcial de la serie. 9
2 2. SERIES NUMÉRICAS. Por lo tato ua serie está relacioada co dos sucesioes: () la sucesió {a } de los térmios geerales de la serie. (2) la sucesió {s } de sumas parciales de la serie. La siguiete otació es usual: E vez de referirse a la serie como u par de sucesioes es usual hablar de la serie como a. Ejemplo 2.. Para la serie teemos que s = + + = a = k = k= ( + ). 2 Para obteer la última expresió hemos usado la ecuació.. Ua serie + a es ua serie de térmios positivos cuado a > para cada. Ua serie + a es ua serie alterada cuado a = ( ) c para algua sucesió {c } tal que c > para cada. Ejemplo 2.2. La serie armóica es: Para esta serie. a =. Etoces se trata de ua serie de térmios positivos. Además s = + 2 + + = k= k.
. SERIES. 2 Ua cueta iteresate es la siguiete: ( s 2 s = + 2 + + + + + + ) 2 = + + + 2 2 + + 2 = 2 = 2. E coclusió, para la serie armóica: Ejemplo 2.3. Para la serie teemos que k= s 2 s 2. ( ) a = ( ). ( + 2 + + ) Etoces se trata de ua serie alterada. Además { s = ( ) k = + + + ( ) si es impar = si es par Ejemplo 2.4. La serie geométrica (de razó r) es: Para esta serie = r. a = r. Si r > etoces se trata de ua serie de térmios positivos. Si r < etoces se trata de ua serie alterada. Además s = + r + + r = U hecho curioso es que para eta serie: Etoces Por lo tato ( r)s = s rs r k. k= rs = r + r 2 + + r +. = ( + r + + r ) (r + r 2 + + r + ) = r +
22 2. SERIES NUMÉRICAS. E coclusió, si r para la serie geométrica: s = r+ r A veces se puede decir co exactitud cuáto da la suma fiita (la suma k= a k), pero e geeral es muy difícil decir cuáto da la suma ifiita (la serie + a ). Ejemplo 2.5. Para la serie teemos que Esta serie es de térmios positivos. Además 2 + cos( 3 ) 2 +. a = 2 + cos(3 ) 2 + s = k= 2 + cos(k 3 ) 2 k + k 2. Covergecia y divergecia de series. Se dice que la serie + a coverge o es ua serie covergete cuado la sucesió de sumas parciales {s } tiee límite fiito. Se dice que la serie + a diverge o es ua serie divergete cuado la sucesió de sumas parciales {s } o coverge (ya sea porque el límite da +, da ó o existe). Sea s R, si la sucesió {s } coverge a s se suele escribir a = s. E otras palabras, la expresió aterior quiere decir: + a k = s = s. + k= E esto último debe quedar claro que s o se obtiee simplemete por adició, s es el límite de ua sucesió de sumas.
2. CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE SERIES. 23 Ejemplo 2.6. Para la serie ya vimos que Como s = { ( ) si es impar si es par s o existe teemos que + + ( ) diverge. Ejemplo 2.7. La serie armóica es: Ateriormete vimos que (2.). 2 s 2 s. Supogamos que existe u úmero real s tal que teemos que 2 s 2 s. + + Como s 2 = s teemos que + 2 s s =. Y esta es ua cotradicció (porque < ). 2 s = s. Usado la ecuació (2.) + La cotradicció proviee de haber supuesto que existe u úmero real s tal que s = s. + Por el método de reducció al absurdo cocluimos que o existe u úmero real s tal que s = s. + Es decir, la serie armóica + diverge. Criterio 2.8 (Criterio del térmio geeral). Dada + a. (i) Si a etoces la serie + + a diverge. (ii) Si a =, o hay iformació (puede ser que la serie coverja o puede ser + que la serie diverja). Note que si a =, este criterio o permite llegar a igua coclusió. E este + caso debe recurrir a otro criterio.
24 2. SERIES NUMÉRICAS. Ejemplo 2.9. Cosideremos la serie geométrica (de razó r): Si r etoces r. = r. + r. Por el criterio del térmio geeral. + = r diverge si Por otro lado se probó que si r etoces Sabemos que s = r+ r. + r = si r <. Luego s r + = + + r = r. E coclusió, si r < etoces la serie + = r coverge a, es decir, r r = r. = Más adelate estudiaremos qué ocurre cuado r. Este caso de la serie geométrica es uo de los pocos casos e los que se puede decir a qué valor coverge la serie. E geeral o podemos decir cuáto vale. Para saber si estamos trabajado co u úmero o o. Es coveiete dar varios criterios de covergecia de series. 3. Criterios de covergecia para series de térmios positivos. Vamos a estudiar las series de la forma + a dode a >. E estas codicioes S = a + + a >. Para idicar que ua serie de térmios positivos es covergete se suele escribir a < +. Esta otació o se usa para otro tipo de series. Criterio 2. (Criterio de acotació). Dada + a co a >. Si la sucesió de sumas parciales {S } es acotada etoces + a < +.
3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. 25 El criterio de acotació es muy usado por los matemáticos para demostrar teoremas. Muchas de las demostracioes de los criterios siguietes se basa e éste. Por otro lado, la demostració del criterio de acotació requiere ua compresió bie profuda del cojuto de los úmeros reales, especialmete del axioma del supremo. Sea Criterio 2. (Criterio de comparació). Sea {a } y {b } sucesioes tales que < a b para todo. (i) Si + b coverge etoces + a tambié coverge. (ii) Si + a diverge etoces + b tambié diverge. Ejemplo 2.2. Estudiar la covergecia de la siguiete serie Sabemos que etoces a b. Como 2 + cos(3 ) 2 + b = 2 + cos( 3 ) 2 +. 3 2 = 3 ( 2). a = 2 + cos(3 ) 2 +. ( ) b = 3 2 3 ( ) = 3 2 ( ) < + 2 porque la serie de la derecha es ua geométrica de razó /2 <. Es decir, teemos que la serie + b coverge. Por el criterio de comparació, obteemos + a < +. Esto es, 2 + cos( 3 ) 2 + < +. Ejemplo 2.3. Estudiar la covergecia de la siguiete serie! usado que 2! para todo.
26 2. SERIES NUMÉRICAS. (Los estudiates de la Liceciatura e Matemática debería ser capaces de probar esta desigualdad usado el método de iducció completa). Sea Se sigue que, Además! 2. a =!, b = 2. 2 = + k= 2 = + k k= ( ) k < +, 2 porque la serie de la derecha es ua geométrica de razó /2 <. Por el criterio de comparació Criterio 2.4 (Criterio del límite).! < +. Sea {a }, {b } dos sucesioes tales que a, < b y sea a λ =. b (i) Si λ es fiito y λ, etoces b coverge si y sólo si a coverge. (ii) Si λ = y b diverge etoces a diverge. (iii) E los otros casos o hay iformació. Ejemplo 2.5. Estudiaremos se ( ). Recuerde que se x =. x x Sea a = se ( ) y b =. Usado el límite aterior teemos que ( a se λ = = ) b =. Como λ es fiito y λ y se ( ) diverge. diverge, por el criterio del límite teemos que:
3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. 27 Criterio 2.6 (Criterio de la raíz). Sea {a } ua sucesió tal que a > y sea α = + a. Etoces (i) Si α <, la serie + a coverge. (ii) Si α >, la serie + a diverge. (iii) Si α =, o hay iformació (puede ser que la serie coverja o puede ser que la serie diverja). Cuado se aplica u criterio y se llega al caso e que éste o da iformació, se deja este criterio de lado y se trabaja co otro criterio. Ejemplo 2.7. Estudiaremos la serie (l ). Teemos Por el criterio de la raíz α = a = (l ), a = (l ) = l. + a = + (l ) < +. Criterio 2.8 (Criterio del cociete o de la razó). Sea {a } ua sucesió tal que a > y sea β = l = <. + a +. Etoces a (i) Si β <, la serie + a coverge. (ii) Si β >, la serie + a diverge. (iii) Si β =, o hay iformació (puede ser que la serie coverja o puede ser que la serie diverja). Ejemplo 2.9. Estudiaremos la serie Teemos!. a =!,
28 2. SERIES NUMÉRICAS. β = a + = + a + = + = + = e < a + = ( + )! ( + ) +. ( + )! ( + ) +! + = ( + )!! ( + ) ( + ) = + ( + ) = + ( + ) ( + )!! ( + ) + ( + ) = + ( + ) (porque e > ). Por el criterio del cociete! < +. Para dar el próximo criterio de series usaremos itegrales impropias de la forma + f(x) dx. Se dice que la itegral impropia + f(x) dx coverge cuado el límite b b + f(x) dx existe y es fiito. Ejemplo 2.2. Estudiaremos la itegral + x dx. Teemos Luego + b dx = dx = x b + x [(l b + x)]b = l b = +. b + + dx diverge x
3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. 29 Criterio 2.2 (Criterio de la itegral). Sea f ua fució positiva y estrictamete decreciete defiida e [, + ) tal que f() = a para todo atural. La itegral si y sólo si la serie + f(x) dx coverge a coverge. Cuado queremos usar este criterio para estudiar ua serie procedemos así a partir de a escogemos f, revisamos que f cumpla las codicioes dadas e el criterio. Calculamos la itegral y luego aplicamos lo siguiete: () Si (2) Si + + f(x) dx coverge etoces f(x) dx diverge etoces Ejemplo 2.22. Estudiaremos la serie a coverge. a diverge. Sea 2. f(x) = x 2. Es claro que f es positiva. Por otro lado, f (x) = 2x 3 < si x > de dode f es estrictamete decreciete e [, + ). Estudiaremos la itegral Teemos Luego + b dx = x2 b + + x 2 dx. dx = x2 b + + dx coverge x2 [ ] b = x b + b =.
3 2. SERIES NUMÉRICAS. etoces la serie 2 < +. 4. Criterios de covergecia para series de térmios alteradas. Criterio 2.23 (Criterio de Leibitz). Sea {c } ua sucesió tal que (a) c c 2. (b) + c =. Etoces la serie + ( ) c coverge. Recuerde que como la serie o es de térmios positivos para decir que la serie coverge o se usa la otació + a < +.. Ejemplo 2.24. Estudiaremos la serie ( ). E este caso el térmio geeral es a = ( ). Sea c =. Etoces c c 2. c = + + =. Por el criterio de Leibitz teemos que ( ) coverge. 5. Series telescópicas. Las series + a tales que el térmio geeral se puede represetar como ua diferecia de la forma: a = b b + se deomia series telescópicas y su comportamieto está garatizado por el siguiete teorema.
5. SERIES TELESCÓPICAS. 3 Teorema 2.25. Sea {a } y {b } dos sucesioes de úmeros reales tales que a = b b + para =, 2,.... Etoces la serie + a coverge si y sólo si la sucesió {b } coverge, e cuyo caso teemos a = b L, dode L = b. + Ejemplo 2.26. Queremos determiar si coverge o o la serie Sea Se tiee que Tomado b = / teemos que Además sabemos que b = y a = Aplicado el teorema aterior obteemos 2 +. a = 2 +. ( + ) = +. a = b b +. b = / =. + + 2 + =.
32 2. SERIES NUMÉRICAS. Ejercicios. Series. () Verifique que las siguietes series so divergetes (a) 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 +... (b) (c) (d) 3 + 2 + 3 2 2 + (e) 3 9 2 + 27 4 8 8 +... (f) (g) (h) ( ) 4 3 2 + 2 + 2 + (2) Verifique que las siguietes series so covergetes (a) 2 + 3 2 + 9 8 + 27 32 +... (c) 2 + 2 4 + 8... (b) (.9) (d) (.6) (3) Pruebe que la serie ( ) diverge. (4) Qué está mal e la siguiete demostració de que la serie geométrica divergete ( ) + tiee por suma cero? Demostració : (5) Demuestre que (a) La serie ( ) + = [ + ( )] + [ + ( )] + + [ + ( )] +... = + + + + = ( + ) (b) Se cumple la siguiete igualdad coverge y determie su suma. ( + 2)( + 3) = 3.
EJERCICIOS. SERIES. 33 Sugerecia: use la parte (a). (6) Demuestre que la serie 7 ( + ) 2 coverge y determie su suma. 3 (7) Ecuetre ua fórmula para S y demuestre que la serie coverge o diverge usado S. (a) (b) 4 2 l( + ) (c) (d) 9 2 + 3 2 + +. (Sugerecia: racioalice el deomiador). (8) Determie si la serie ( 5 + ) coverge o diverge. (9) Demuestre o dé u cotraejemplo: Si a y b diverge etoces a + b diverge. () Supogamos que + (a + a ) existe. Demostrar que (a + 2a + a ) = a a + + (a + a ). () Determie si las siguietes series telescópicas coverge o diverge. (a) (b) (c) + ( + 2 2 + + ) ( ) 2 l 2 (d) (e) (f) l(( + /) ( + )) l( ) l(( + ) + ) ( ) arcta 2 + + ( ) 2 arcta 2
34 2. SERIES NUMÉRICAS. Ayuda: use la fórmula: arcta α ± arcta β = arcta ( ) α ± β. αβ (2) Aplique el criterio más coveiete para determiar si las siguietes series coverge o diverge. (a) (b) (c) e ( 5 + 2 5 ) + 3 l( + ) (d) (e) (f) ( 2 l 7 5 (( ) 3 + 2 ( ) ( 2 3 ( + ) 4 ) ) (3) *** Determie los valores positivos de p, para los cuales coverge la serie idicada ) (a) p (b) ( 2 2 p ) (4) *** Determie los valores reales de p, para los cuales coverge la serie idicada (a) p! (b) l p (5) Sea {a } la sucesió de Fiboacci. Sea Demuestre que (a) b = +, b 2 (b) b = + 5. + 2 b = a + a. (c) La serie + + 2 + 3 + 5 + 8 + = es covergete. a
EJERCICIOS. SERIES. 35 (6) Use el criterio de series alteradas para determiar si las siguietes series so covergetes (a) (b) (c) (d) (e) (f) ( ) + + 2 ( ) ( ) + 2 + ( ) + + 2 3 ( ) + + 2 3 ( ) + 5 (g) (h) (i) (j) (k) (l) ( ( ) + + ) 3 ( ) + 4 ( ) + 4 2 + 3 2 + cos(π) + l ( ) ( ) 3 + l 2
CAPÍTULO 3 Fórmula de Stirlig y producto de Wallis. Justificació elemetal de la fórmula de Stirlig y producto de Wallis. La fórmula de Stirlig da u estimado para! y el producto de Wallis da ua expresió para π/2 como límite de u cociete de úmeros parecidos a los factoriales.. La fórmula de Stirlig. Comezamos dado u estimado para!. Proposició 3.. Se tiee que Demostració.! = e. El gráfico de la fució logaritmo ayuda a eteder las siguietes desigualdades: l(( )!) = l(.2.....( )) = l + l 2 + + l( ) l xdx l 2 + + l = l + l 2 + + l = l(.2.....( ).) = l! Pero De dode Por lo tato (3.) l xdx = [x l x x] = l + = l( ) +. l(( )!) l + l!. ( )! e e!. De la seguda desigualdad e (3.) obteemos (3.2) e e!. 37
38 3. FÓRMULA DE STIRLING Y PRODUCTO DE WALLIS. Luego Y así (3.3) Por otro lado, multiplicado por e la fórmula (3.) teemos que! e e.! e! e e. e. Como = e =, de las desigualdades (3.2) y (3.3) obteemos: De dode, e = e e! e Esta fórmula da u estimado para!.! = e. e = e e = e. Varios refiamietos del método que acabamos de usar para estimar! permite dar u estimado para!. Más precisamete, se puede demostrar: 2πe =! y ésta es la coocida fórmula de Stirlig. Para o caer e aspectos demasiado técicos o damos la prueba. Si embargo, el lector iteresado e ver ua demostració de esta fórmula puede hallarla e: Itroductio to Calculus ad Aalysis de R. Courat, F. Joh. Vol. I. 2. El producto de Wallis. El producto de Wallis permite aproximar a π 2 y es el siguiete: π 2 = 2m2m(2m 2)(2m 2)... 6.6.4.4.2.2 m (2m + )(2m )(2m )(2m 3)... 7.5.5.3.3.. Para los estudiates de la Liceciatura e Matemática damos la demostració. Recordemos que se x dx = se x cos x + se 2 x dx. Itegrado etre y π se obtiee la siguiete igualdad: 2 (3.4) se xdx = se 2 xdx.
2. EL PRODUCTO DE WALLIS. 39 Aplicado esta fórmula varias veces se obtiee las siguietes igualdades: se 2m x dx = 2m 2m = se 2m 2 x dx = (2m )(2m 3)... 3. 2m(2m 2)... 4.2 (2m )(2m 3) 2m(2m 2) dx = se 2m 4 x dx (2m )(2m 3)... 3. π 2m(2m 2)... 4.2 2. se 2m+ x dx = = 2m 2m + Resumiedo, llegamos a que se 2m x dx = (2m)(2m 2)... 4.2 (2m + )(2m )... 5.3 De las fórmulas ateriores (3.5) se 2m x dx = se 2m+ x dx = π 2 = 2m(2m 2)... 4.2 (2m )(2m 3)... 3. (2m)(2m 2) (2m + )(2m ) se xdx = (2m )(2m 3)... 3. π 2m(2m 2)... 4.2 2, (2m)(2m 2)... 4.2 (2m + )(2m )... 5.3. se 2m xdx, se 2m 3 x dx (2m)(2m 2)... 4.2 (2m + )(2m )... 5.3. (3.6) = (2m + )(2m )... 5.3 (2m)(2m 2)... 4.2 se 2m+ xdx. Dividiedo la fórmula (3.5) etre la fórmula (3.6), obteemos que (3.7) π 2 = 2m2m(2m 2)(2m 2)... 4.4.2.2 (2m + )(2m )(2m )(2m 3)... 5.3.3. A cotiuació estudiaremos el cociete de estas dos itegrales. E [, π/2] así que se x. Luego Itegrado se 2m+ x se 2m x se 2m x. se 2m+ xdx Dividiedo etre se 2m+ xdx se obtiee se 2m+ xdx = se 2m+ xdx se 2m xdx se 2m xdx se 2m+ xdx (para la última igualdad hemos usado la ecuació (3.4)). se 2m xdx se 2m+ xdx se 2m xdx. se 2m xdx se 2m+ xdx = 2m + 2m
4 3. FÓRMULA DE STIRLING Y PRODUCTO DE WALLIS. Etoces De dode se 2m xdx se 2m+ xdx 2m + 2m = + 2m. m Volviedo a la ecuació (3.7) obteemos que se 2m xdx se 2m+ xdx = π 2 = 2m2m(2m 2)(2m 2)... 6.6.4.4.2.2 m (2m + )(2m )(2m )(2m 3)... 7.5.5.3.3., y este es el coocido producto de Wallis.
EJERCICIOS. FÓRMULA DE STIRLING Y PRODUCTO DE WALLIS. 4 A cotiuació idicamos tres fórmulas que permite calcular límites bastate complicados. Ejercicios. Fórmula de Stirlig y producto de Wallis. Estimado para!: Fórmula de Stirlig: Producto de Wallis π 2 = m! = e. 2πe! = 2m2m(2m 2)(2m 2)... 6.6.4.4.2.2 (2m + )(2m )(2m )(2m 3)... 7.5.5.3.3., Deducir los siguietes límites co la ayuda de las fórmulas ateriores () * = e. (!) / (!) 2 2 2 (2) * (2)! = π. (3) * ( ) ( /2 ) =. π dode ( ) t = t(t )... (t + ).! Nota: EL producto t(t )... (t +) es u poliomio e t de grado llamado poliomio factorial -ésimo. Se represeta co el símbolo t (), así pues t () = t(t )... (t + ).
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Ídice criterio de acotació, 24 de comparació, 25 de la itegral, 29 de la raíz, 27 de la razó, 27 de Leibiz, 3 del cociete, 27 del límite, 26 del térmio geeral, 23 L Hopital, regla de, 6 límite ifiito, 9 serie, 9 alterada, 2 armóica, 2 covergete, 22 de térmios positivos, 2 divergete, 22 geométrica, 2 sucesió, covergete, 4 divergete, 4 45