Septiembre de 007, Número 11, págias 147-155 ISSN: 1815-0640 Números poligoales como disparadores de u proceso de validació Resume E este trabajo aalizamos la respuesta de estudiates de Profesorado e Matemática (Uiversidad Nacioal de La Pampa, Argetia) a u problema cuya resolució, implica la búsqueda de relacioes, la producció de cojeturas y la validació de alguos supuestos surgidos del gráfico. Observamos que el trabajo coúmeros poligoales permite u acercamieto a la historia de los úmeros aturales y además facilita la maipulació y producció de fórmulas a través de la visualizació de las mismas e el campo geométrico. Itroducció E el trascurso de distitos períodos de uestra actividad como docetes del Profesorado e Matemática y Profesorado de EGB (Educació Geeral Básica) 1 ro y do Ciclos, carreras de grado correspodietes a la Uiversidad Nacioal de La Pampa, Argetia, observamos e los alumos de los primeros años, dificultades e el apredizaje de alguos temas de matemática y e particular e los procesos de argumetació, justificació o validació de coceptos y procedimietos presetes e la solució de algua situació-problema. A partir de esta problemática y cosiderado umerosas ivestigacioes que aporta elemetos a la eseñaza y apredizaje de la matemática e geeral y la demostració e particular, iiciamos u trabajo de búsqueda y discusió de situacioes que cotribuya a superar las dificultades de los alumos e la compresió y elaboració de validacioes. Números Poligoales Ua de las clasificacioes meos coocida de los úmeros aturales, heredada de los Pitagóricos, es la asociada a diversas cofiguracioes geométricas. Cada úmero atural está represetado por ua colecció de objetos que puede ser dispuestos e u polígoo determiado. Comezado, e geeral, todas las sucesioes co u úico elemeto. Por ejemplo, los úmeros triagulares 3, 6, 10 se ubica e las siguietes cofiguracioes (Figura 1):
1 3 6 10 Figura 1 Los úmeros cuadrados se dispoe (Figura ): 1 4 9 16 Figura E geeral, el primer úmero poligoal es 1. El segudo úmero poligoal es, cosiderado que el polígoo e cuestió tiee vértices, y cada lado tedrá elemetos. El tercer poligoal se obtiee agregado al cojuto los elemetos ecesarios para que cada lado del polígoo tega 3 elemetos, y así sucesivamete. Los primeros úmeros petagoales so 1, 5, 1,, 35,...(Figura 3) 1 5 1 35 Figura 3 De forma aáloga se defie los úmeros hexagoales, cuyos primeros represetates so: 1, 6, 15, 8, 45,... A partir de la cosideració de casos particulares se puede obteer o sólo ua descripció geeral de u determiado úmero poligoal sio tambié iteresates propiedades del mismo. Así, es secillo afirmar que el -ésimo úmero triagular se obtiee como la suma de los primeros úmeros aturales. Y utilizado expresioes algebraicas ( 1) podríamos idicarlo: T REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA - SEPTIEMBRE DE 007 - NÚMERO 11 - PÁGINA 148
Figura 4 De forma aáloga, podemos pesar el -ésimo úmero cuadrado como, y a cada uo de ellos como la suma de los sucesivos úmeros impares, tal como surge de la cofiguració geométrica de los mismos. Figura 5 La expresió algebraica de dicha propiedad será: C 1 3 5... ( 1) i 1 i 1 Es secillo deducir otras propiedades de los úmeros poligoales aalizado las disposicioes de los mismos. Por ejemplo: la suma de dos úmeros triagulares es igual a uúmero rectagular co ua uidad de diferecia etre sus lados. Experiecia áulica La resolució de u problema puede ivolucrar diversos coteidos y procedimietos muy variados. E este caso se plateó a los estudiates u problema cuya resolució, e u aálisis a priori, implica la búsqueda de relacioes, la producció de cojeturas como así tambié la validació de alguos supuestos surgidos del gráfico. Si embargo, el solo hecho de propoer u problema y dispoer a los estudiates a hallar ua solució aceptable o es suficiete para garatizar que poga e marcha u proceso de prueba. Las experiecias desarrolladas por Nicolás Balacheff (Balacheff, 000) muestra que, aú e grupos habituados a resolver problemas, so pocos los estudiates que ve la ecesidad y se compromete e la producció de ua prueba de sus resultados. Co la iteció de aalizar los procesos de validació utilizados por estudiates de Profesorado e Matemática, presetamos, a u grupo de alumos de segudo año de esta carrera, los úmeros poligoales co ua serie de pregutas e idicacioes. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA - SEPTIEMBRE DE 007 - NÚMERO 11 - PÁGINA 149
Actividades: a) Aaliza los primeros úmeros triagulares y escribe ua fórmula geeral para obteer cualquiera de ellos (se mostró la disposició de dos triágulos simétricos formado u rectágulo). b) Aaliza operacioes etre pares de úmeros triagulares cosecutivos y platea relacioes (Se prevé que obtega: T ( ) T 1 1 y T T 1 ). Puedes demostrarlas? c) Visualiza y escribe los primeros 10 térmios de las secuecias de úmeros triagulares y de úmeros cuadrados. d) Compara ambas secuecias y sus cofiguracioes geométricas. Aaliza la relació que hay etre los úmeros triagulares y los cuadrados. Escribe tu cojetura. Puedes demostrarla? e) Puedes visualizar y validar la siguiete aserció? La suma de ocho úmeros triagulares iguales, más ua uidad, da uúmero cuadrado (Sessa, 005) f) Costruye los primeros úmeros petagoales. Iteta ecotrar ua fórmula para obteer el -ésimo úmero petagoal. g) Busca ua relació que permita calcular cualquier úmero petagoal a partir de uúmero triagular. h) Idaga e ua relació etre úmeros Petagoales, Cuadrados y Triagulares. (Se prevé que halle la relació P C T ). i) Iteta ecotrar ua fórmula para obteer cualquier úmero hexagoal. E el trascurso de la actividad los estudiates se mostraro sorpredidos y etusiasmados co las disposicioes geométricas aalizadas. E alguos casos teía algú coocimieto sólo de los úmeros triagulares pero, e geeral, uca había escuchado hablar de esta clasificació de los úmeros aturales a partir de cofiguracioes geométricas. Propusiero el trabajo co material cocreto (botoes, gemas, etc.) para facilitar el desarrollo de los úmeros petagoales cuya represetació gráfica resultó u poco más elaborada que e los casos ateriores. Tímidamete e pricipio, luego co algo más de decisió comezaro a platear relacioes e igualdades. Las primeras validacioes algebraicas se produjero como respuesta a los requerimietos de la actividad (apartados b), d) y e)), pero e los sucesivos problemas y e la discusió propiciada e la clase, esa demada extera de ua validació, se covirtió e ua ecesidad plateada por los propios resolutores. Alguas de las cojeturas que se formularo y validaro e los trabajos presetados por los estudiates so: La suma de dos úmeros triagulares cosecutivos puede calcularse como el cuadrado de la diferecia etre ambos: T T ( T T ) 1 1. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA - SEPTIEMBRE DE 007 - NÚMERO 11 - PÁGINA 150
La suma de dos úmeros triagulares cosecutivos es igual a uúmero cuadrado: T 1 T C 1. C 1 3 5... ( 1) ( 1) ( 1)... 5 3 1, obteida a partir C 1 de aalizar la siguiete cofiguració geométrica (Figura 6). Figura 6 P P 1 4 3( ) > P P1 4( 1) 3T P T ( 1) P C T 1 H P T 1 El -ésimo úmero poligoal de k lados se obtiee mediate la fórmula ( 1) ( ) ( 1) K k 3. Nos detedremos e la última propiedad mecioada, para estudiar e detalle el aálisis realizado por los estudiates para llegar a esta cojetura, el trabajo de validació, las dificultades ecotradas y las utilidades reveladas e la presetació de esta tarea. Cojetura y validació Al trabajar e la fórmula para hallar los sucesivos úmeros poligoales de orde, para cada cofiguració geométrica e particular, los estudiates fuero buscado geeralizacioes, se platearo relacioes de recurrecia etre úmeros de distito orde y tambié se ecotraro fórmulas directas si hacer referecia a térmios ateriores de la sucesió. Así, obtuviero: Nros. Triagulares: ( 1) T Nros. Cuadrados: C ( 1) ( 4 3) ( 1) ( 1) REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA - SEPTIEMBRE DE 007 - NÚMERO 11 - PÁGINA 151
Nros. Petagoales: Nros. Hexagoales: P H ( 1) ( 1) ( 5 3) ( 6 3) Para u polígoo de k lados, el -ésimo úmero poligoal será: Nros. K-goales: K ( 1) ( k 3) Los estudiates maifestaro gra disposició e la búsqueda de regularidades y trabajaro co iterés e la validació, si embargo, o lograro cocluir la demostració por sí mismos. La propuesta de ua demostració por iducció surgió e la clase a raíz de haber utilizado este tipo de pruebas co aterioridad elogiado e muchos casos la secillez de ua resolució de esta aturaleza. Los estudiates pudiero, si dificultades, hallar ua fórmula para el -ésimo úmero poligoal cuado el úmero de lados del polígoo era costate, si embargo, surgió como u obstáculo, al mometo de demostrar, el trabajo co las dos variables, por u lado el úmero de orde de cada poligoal y por otro el úmero k de lados del polígoo. E este mometo fue ecesaria la iterveció del docete a cargo de la actividad para orgaizar la discusió y tratar de precisar la idea de depedecia, de cada úmero poligoal, de ambas variables, es decir, basádose e los sucesivos ejemplos geéricos presetados, justificar la ueva geeralizació. Por otro lado, fue ecesario defiir claramete sobre cuál de las variables se aplicaba la iducció e el proceso de demostració. E u trabajo cojuto, los estudiates desarrollaro la costrucció geeral de u polígoo de k lados, a partir de la defiició cosiderada y del úmero de lados, agregado elemetos al cojuto a medida que aumeta el orde. Demostració por iducció sobre el úmero de orde: Si el polígoo tiee elemetos e cada lado, el úmero de elemetos es k y es secillo verificar que la fórmula es válida para Supogamos que la fórmula es válida para u cierto y tratemos de probar 1 su validez para u ( ) Dado el úmero poligoal de orde, costruimos el siguiete agregado las 1 elemetos. uidades ecesarias como para que cada lado cuete co ( ) Al primer lado sólo le añadimos 1 elemeto, ése será uuevo vértice, al lado siguiete sólo debemos agregar elemetos, y al siguiete tambié puesto que los vértices se comparte, así hasta llegar al último vértice que completará los ( 1) elemetos del último lado (Ver desarrollo sobre el petágoo e Figura 7). REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA - SEPTIEMBRE DE 007 - NÚMERO 11 - PÁGINA 15
Último vértice 1 Cómo cotar el úmero de elemetos del poligoal de orde ( 1)? Al poligoal de orde le sumamos 1 ( k ) K ( 1) K 1 ( k ), utilizado la hipótesis iductiva ( ) 1 K ( 1) ( k 3) K 1 k Figura 7, esto es: ( 1) ( k 3), teemos: ( ) k ( 1) ( 1) que es igual a la obteida al desarrollar la expresió ( 1 )( ) ( ) ( ) k 3 1, co lo cual se cocluye la validez de la fórmula para ( 1) y co eso la demostració para todo. Demostració por iducció sobre el úmero de lados: Si el polígoo tiee 3 lados, el úmero de elemetos es ( 1 ) y es secillo verificar que la fórmula es válida. Supogamos que la fórmula es válida para u cierto k y tratemos de probar su validez para u ( k 1) Dado el úmero poligoal (k lados) de orde, costruimos el poligoal del mismo orde co ( k 1) lados agregado las uidades ecesarias como para que e cada polígoo aterior se cuete el correspodiete úmero de lados. Al poligoal de orde dos se le debe agregar 1 elemeto (puesto que se está agregado u lado), al de orde tres se le agrega, al de orde cuatro se le agrega 3 y así sucesivamete, co lo cual al de orde se le agregará ( 1) elemetos. (Ver desarrollo sobre el petágoo e Figura 8). REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA - SEPTIEMBRE DE 007 - NÚMERO 11 - PÁGINA 153
Figura 8 Cómo cotar el úmero de elemetos del ( k 1) -poligoal de orde? Al k-poligoal de orde le sumamos 1 ( 1) ( K 1) K 1 ( 1) K, K, esto es: utilizado la hipótesis iductiva primeros ( 1) aturales teemos: K ( 1) ( k 3) y la suma de los ( K 1) ( 1) ( k ) co lo cual se cocluye la validez de la fórmula para ( k 1) y co eso la demostració para todo k. Cometarios Fiales E el comiezo de la actividad, parecía remota la posibilidad de geerar ua fórmula semejate a la demostrada, o sólo por la reuecia maifestada por los alumos a producir sus propias cojeturas sio tambié por los escasos itetos de validació puestos e juego e la clase. La producció de fórmulas para cada uo de los polígoos cosiderados requirió ua geeralizació a partir de los ejemplos presetados. Al desarrollar ua fórmula para cualquier úmero de lados del polígoo, los estudiates tomaro como ejemplo particular esas sucesivas geeralizacioes obteidas ateriormete. A raíz de esta observació, os parece iteresate cosiderar que la actividad tambié fucioó sobre las actitudes de los alumos puesto que mostraro seguridad e la defesa de las fórmulas producidas e iterés e hallar ua justificació de las mismas. A esta altura de su carrera los estudiates ha cursado asigaturas básicas del pla de estudios, e las cuales se utiliza diferetes mecaismos de validació. No obstate, a través de u aálisis de las propuestas de trabajo e el estudio de las REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA - SEPTIEMBRE DE 007 - NÚMERO 11 - PÁGINA 154
demostracioes por iducció, otamos que los ejercicios cosiste e fórmulas ya plateadas sobre las que se debe actuar algebraicamete, obviado la etapa de búsqueda de características comues, costrucció de la expresió y formulació de ua cojetura. La propuesta de trabajo a partir de los úmeros poligoales o sólo permite u acercamieto a los estudios de la escuela pitagórica sio que facilita la maipulació y producció de fórmulas a través de la visualizació de las mismas e el campo geométrico Cosideramos que las actividades plateadas puede ser utilizadas para completar el estudio de las demostracioes por iducció, icetivar el trabajo algebraico y promover la búsqueda de geeralizacioes y actividades de validació e matemática. Bibliografía Balacheff, N. (000): Procesos de prueba e los alumos de matemática. Ua empresa docete, Uiversidad de los Ades, Bogotá. Sessa, C. (005): Iiciació al estudio didáctico del Álgebra. Orígees y perspectivas. Libros del Zorzal, Bueos Aires. Nora Ferreira, ació e Igeiero Luiggi, La Pampa, e 1966. Obtuvo los títulos de Profesor e Matemática y Física y Liceciada e Matemática. Ha participado e umerosos proyectos de ivestigació. Se desempeña como docete de la Uiversidad Nacioal de La Pampa desde 1987. Ha presetado y publicado artículos e revistas, joradas y cogresos. oraf@exactas.ulpam.edu.ar Estela Rechimot, ació e Sata Rosa el 7 de agosto de 1947. Obtuvo los títulos de Profesor e Matemática y Física. Liceciada e Matemática y Magister e Didáctica de la Matemática. Ha dirigido umerosos proyectos de ivestigació. Se desempeña como docete de la Uiversidad Nacioal de La Pampa desde 1973. Ha presetado y publicado artículos e revistas, joradas y cogresos. rechimot@exactas.ulpam.edu.ar Carlos Parodi, ació e 196 e Carlos Tejedor, Provicia de Bueos Aires. Obtuvo los títulos de Igeiero Electromecáico y Magister e Didáctica de la Matemática. Ha participado eumerosos proyectos de ivestigació. Se desempeña como docete de la Uiversidad Nacioal de La Pampa desde 199. Ha presetado y publicado artículos e revistas, joradas y cogresos. Parodic@ig.ulpam.edu.ar REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA - SEPTIEMBRE DE 007 - NÚMERO 11 - PÁGINA 155