Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. INTEGRALES INMEDIATAS.. Ejemplos de integrales inmediatas tipo potencia.. Ejemplos de integrales inmediatas tipo logarítmica.. Ejemplos de integrales inmediatas tipo eponencial.4. Ejemplos de integrales inmediatas tipo trigonométricas.5. Ejemplos de integrales inmediatas tipo trigonométricas inversas.6. Más ejemplos 4. CAMBIO DE VARIABLE 5. INTEGRACIÓN POR PARTES 6. INTEGRALES RACIONALES 7. ACTIVIDADES PROPUESTAS 8. SOLUCIONES
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Definición: Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio. La función F es una función primitiva de f, o simplemente, una primitiva de f, si F tiene por derivada a f, es decir, F primitiva de f si F () = f() Ejemplos. Comprobar que la función F() = 4 es un primitiva de la función f() = 4 F () = 4. Comprobar que F () = y F () = 4 son primitivas de f() = F () = F () = Ambas funciones son primitivas de la función f() =. En general, si F es una primitiva de f, entonces F() + k, siendo k cualquier nº real, es también una primitiva de f. Teorema: Si F() y G() son dos primitivas de f() entonces eiste una constante k tal que F() = G() + k Definición: El conjunto de todas las primitivas de una función f se llama integral indefinida de f.. Se denota f ()d Si F es una primitiva de f(), la integral indefinida de f es: o o o f() es el integrando El símbolo d es la diferencial de es la variable de integración f ()d = F() + k, k R
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II Ejemplos ) cos d = sen + k ya que (sen ) = cos ) = + + d ln( ) k ya que ln(+ ) = + ) e d = e + k ya que (e ) = e 4) d = + k ya que = = + OBSERVACIÓN La determinación de una primitiva particular eige conocer el valor de la constante de integración; para ello, necesitamos otra condición como puede ser el valor que toma la función primitiva en un punto dado. Ejemplos ) Hallar la primitiva de f() =, sabiendo que toma el valor cero para =. d = + k F() = + k F() = 0 k = 0 F() = ) Demostrar empleando la definición que F() = + ln es una primitiva de F primitiva de f si F () = f(). Calculamos la derivada de F: + F () = + = Por tanto F es una primitiva de f + f ( ) = ) Demostrar empleando la definición que F() = ln ( 4 + ) es una primitiva de Calculamos la derivada de F: F () = 4 4 + = f() Por tanto F es una primitiva de f 4 f ( ) = 4 + 4) Demostrar, empleando la definición, que F() = ( + ) es una primitiva de f() = 6 +. Es la única primitiva? Calculamos la derivada de F() = + F () = 6 + Eisten más primitiva, por ejemplo: F() = + + k, k R
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA.. Integral de una suma o diferencia La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las integrales de dichas funciones. Ejemplo: ( ) f () ± g() d = f ()d ± g()d o ( + cos )d = d + cos d = + sen + k.. Integral del producto de una constante por una función La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de dicha función. Ejemplo: ( ) o (7sen )d = 7 sen d = 7cos + k OBSERVACIÓN: k f () d = k f ()d La utilización de estas dos propiedades constituye el método de descomposición. Como principio, conviene descomponer lo máimo posible el integrando: a) Aplicando la propiedad distributiva: Ejemplos: ( + ) d = + d = d + d = + + k ) ( ) + ) d = + d = d + d = + ln + k () Integrales inmediatas tipo potencia () () b) Sustituyendo la epresión de la función por otra equivalente, sumando y restando una misma epresión o multiplicando o dividiendo por un mismo número. Ejemplo: ( + ) ( + ) d = ( + ) d = + C () () Integral inmediata tipo potencia, donde f() = + f () = Multiplicamos y dividimos por para que obtener la integral inmediata: f() n + n + n f () f() d = + C n
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 5 INTEGRALES INMEDIATAS INTEGRALES INMEDIATAS. 0d = C C R. k d = k + C C R FORMA SIMPLE FORMA COMPUESTA. n + n d C n = n + +. n + n f() f() f ()d = + C n n + 4. = + d ln C 4. f () d = ln f() + C f() 5. 6. e d e = + C f() f() 5. = + e f ()d e C f() f() a d = lna a + C 6. = + lna a f ()d a C 7. cos d = sen + C 7. = + cosf() f () d senf() C 8. sen d = cos + C 8. = + senf() f ()d cosf() C 9. tg d = ln cos + C 9. tgf() f ()d = ln cosf() + C 0. (+ tg ) d = d = tg + C c os 0. f () + tg f() f ()d = d = tg f() + C cos f(). d = ctg + C sen. f ()d = ctgf() + C sen f(). f () d = arctg + C. d = arctg f() + C + + f (). d = arcsen + C. f () f () d = arcsen f() + C
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 6 OBSERVACIONES: ) Para utilizar estas fórmulas adecuadamente conviene pasar las epresiones potenciales escritas en forma fraccionaria o en forma radical en forma potencial. Ejemplos: + d = + d = d + d = + ln + C + d = d = = + C + ) En las fórmulas compuestas hay que saber: o Distinguir en el integrando quién es f () y quién es f (). o Completar f () si le falta alguna constante para ser la derivada de f() multiplicando o dividiendo el integrando por dicha constante. Ejemplos: cos ctg d = d = ln(sen ) + C sen () () Si f() = sen f () = cos, se tiene una integral tipo logaritmo: () e d = e d = e + C () Si f() = f () = Multiplicando y dividiendo por se tiene una integral tipo eponencial: f () d = lnf() + C f() = + f () f() f () e d e C ) Siempre que el integrando está epresado en forma de cociente comprobar primero si el numerador es la derivada del denominador, salvo constantes que se pueden introducir. Ejemplos: + d = ln + + 5 + C + + () ( ) 5 () Tomando f() = + + 5 f () = +, se tiene una integral tipo logaritmo. d = = + + + d ln C + ( ) () Tomando f() = + f () = Multiplicando y dividiendo por se tiene una integral tipo logaritmo.
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 7.. Ejemplos de integrales inmediatas tipo potencia: ) ) ) 6 5 6 d = + C En nuestro ejemplo: f() = n = 5 f () = d = d = + C = + C En nuestro ejemplo: f() = n = - f () = + 5 + 5 d = = + C En nuestro ejemplo: f() = n = f () = 4) + 4 4 4 4 + 4 d = = + C En nuestro ejemplo: f() = n = f () = 4 () 5 5) ( 5 + 4)d = d 5 d + 4 d = + 4 + C () Aplicamos ( f() ± g() ) d = f()d ± g()d ; ( k f() ) d = k f()d 6) ( + ) ( + ) d = + C En nuestro ejemplo: f() = + n = f () = ( + ) 7) ( + ) d = ( + ) d = = ( + ) + C 9 En nuestro ejemplo: f() = ( + ) n = f () = Multiplicamos y dividimos por para que sea inmediata 8) + 4 d = d = = + C + 4 En nuestro ejemplo: f() = n = f () = () 5 4 9) ( ) d = d d = d d = + C 5 (): Aplicamos ( f() ± g() ) d = f()d ± g()d ; ( k f() ) d = k f()d
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 8 0) 8 8 6 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) d = 8 d = d = + + C = + C ( + + 6 + + ) En nuestro ejemplo: f() = ( + ) n = - f () = 6 Multiplicamos y dividimos por 6 para que sea inmediata () () 6 6 9 d = d = 6 d = + C = + C 4 ) ( ) ( ) ( ) () 4 = ( ) = () f() = ; n = f () = 6 Multiplicamos y dividimos por ( 6) () () 4 4 d = d = 4 d = + C = + C ) ( ) ( ) ( ) () Aplicando ( k f() ) d = k f()d () f() = ; n = f () = 4 Multiplicamos y dividimos por ( 4) () 4 4 ) d = ( ) d = ( ) + C = ( ) + C 4 8 () f() = ; n = f () = Multiplicamos y dividimos por ( ) 4 4 4 + () 9 4) ( ) 4 4 ( ) 4 ( ) d = + d = + + C = + + C () f() = + ; n = f () = 4 Multiplicamos y dividimos por. 5 ( + ) + + 4 5) d = d = d + d + d = + + + C () () 5 () Desarrollamos el cuadrado de la suma () Aplicamos ( ± ) = ± f() g() d f()d g()d () f() = ; n = ; n = ; n = en cada caso f () =
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 9.. Ejemplos de integrales inmediatas tipo logarítmica ) d = d = ln + C () Aplicando ( k f() ) d = k f()d En nuestro ejemplo: f() = f () = ) d ln( ) C + = + + En nuestro ejemplo: f() = + f () = () d d ) ln( ) C = = + () En nuestro ejemplo: f() = f () = Multiplicamos y dividimos por para tener una integral inmediata tipo logarítmico. d = d = ln + + C + + 4) ( ) () () En nuestro ejemplo: f() = + f () = Multiplicamos y dividimos por para tener una integral inmediata tipo logarítmico. () () () + 5) d = + d = d + d = d + d = + ln( + ) + C + + + + () Efectuamos la división () Aplicamos ( ± ) = ± () Aplicamos ( k f() ) d () f() g() d f()d g()d = k f()d 6) d = d = ln( 4) + C 4 4 () Integral tipo logaritmo: f() = 4 f () = Basta multiplicar y dividir por para tener la integral inmediata + d = ln + + + C + + () 7) ( ) () Integral tipo logaritmo: f() = + + f () = +
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 0.. Ejemplos de integrales de tipo eponencial e d = e d = e + C () ) ( ) () En nuestro ejemplo: f() = f () = Multiplicamos y dividimos por para tener una integral inmediata tipo eponencial. e d = e d = e + C () ) ( ) () En nuestro ejemplo: f() = f () = - Multiplicamos y dividimos por - para tener una integral inmediata tipo eponencial () + + + ) e d = e d = e + C () En nuestro ejemplo: f() = + f () = Multiplicamos y dividimos por para tener una integral inmediata tipo eponencial a d = a d = a + C () lna 4) ( ) () En nuestro ejemplo: f() = f () = Multiplicamos y dividimos por para tener una integral inmediata tipo eponencial () e 5) d = e d e C = + () En nuestro ejemplo: f() = f () = Multiplicamos y dividimos por (-) para tener una integral inmediata tipo eponencial (e ) d e e d e d e d d e d e d d () () () + = + + = + + = + + = 6) ( ) e e C = + + + () Desarrollamos el cuadrado de la suma () Aplicamos ( f() ± g() ) d = f()d ± g()d ; ( k f() ) d = k f()d () Multiplicamos y dividimos por para tener una integral inmediata tipo eponencial sen sen 7) cos e d = e + C () () En nuestro ejemplo: f() = sen f () = cos
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II.4. Ejemplos de integrales inmediatas tipo trigonométricas Las fórmulas que más emplearemos en las integrales son: ) sen α + cos α = ) tg α = sen α cos α ) cos α ctg α = s en α 5) secα = cosα 7) tg α + = sec α 8) 4) 6) ctg α = tgα cosecα = sen α ctg α + = cosec α 9) sen (α) = sen α cos α 0) cos (α) = cos α sen α ) cos α sen α = ) + cos α cos α = () ) sen d = sen d = cos + C () En nuestro ejemplo: f() = f () = Multiplicamos y dividimos por para tener una integral inmediata tipo seno () ) cos d = cos d = sen + C () En nuestro ejemplo: f() = f () = Multiplicamos y dividimos por para tener una integral inmediata tipo coseno () ) cos( + ) d = cos( + ) d = sen( + ) + C () En nuestro ejemplo: f() = + f () = Multiplicamos y dividimos por para tener una integral inmediata tipo coseno () 4) cos( + ) d = cos( + ) d = sen( + ) + C () En nuestro ejemplo: f() = + f () = Multiplicamos y dividimos por para tener una integral inmediata tipo coseno () 5) tg d = tg d = ln(sec ) + C () En nuestro ejemplo: f() = f () = Multiplicamos y dividimos por para tener una integral inmediata tipo tangente
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II () () sen 6) + cos d = (tg + )d = tg d + d = ln(sec ) + + C cos () sen + cos = sen + cos = tg + cos cos cos () Aplicamos ( ± ) = ± () f() g() d f()d g()d 7) sen( + 6) d = sen( + 6) d = cos( + 6) () En nuestro ejemplo: f() = + 6 f () = Multiplicamos y dividimos por para tener una integral inmediata tipo seno () 8) sen( + ) d = sen( + ) d = cos( + ) + C () En nuestro ejemplo: f() = + f () = Multiplicamos y dividimos por para tener una integral inmediata tipo seno 9) 4 4 sen cos d = sen + C En nuestro ejemplo: f() = f () = () 0) cot g d = cot g d = ln(sen ) + C () En nuestro ejemplo: f() = f () = Multiplicamos y dividimos por para tener una integral inmediata tipo cotangente () () tg d = + tg d = + tg d d = tg + C ) ( ) ( ) () Sumamos y restamos () Aplicamos ( ± ) = ± f() g() d f()d g()d () () ctg d = + ctg d = + ctg d d = ctg + C ) ( ) ( ) () Sumamos y restamos () Aplicamos ( ± ) = ± f() g() d f()d g()d
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II.5. Ejemplos de integrales inmediatas tipo trigonométricas inversas d d ) 9 d d = = = = arctg C + 9 + () () 9 + + + 9 () Dividimos numerador y denominador por 9 () Aplicamos ( k f() ) d = k f()d () En nuestro ejemplo: f() = f () =, para tener una integral inmediata tipo arcotangente d d d d ) = 9 = = = arctg + C 4 + 9 () 4 () 9 () 9 6 + + + 9 () Dividimos numerador y denominador por 9 () Aplicamos ( k f() ) d = k f()d () En nuestro ejemplo: f() = f () = Multiplicamos y dividimos por para tener una integral inmediata tipo arcotangente ) d = 4 d = d = 4 d = arctg + C + 4 () () + 4 + + () Dividimos numerador y denominador por, () En nuestro ejemplo: f() = f () =, para tener una integral inmediata tipo arcotangente 4) + 5 d = d = d = d = arctg C + ( + 5) + 9 () 9 ( + 5) 9 5 () 9 5 + + + + + 9 () Dividimos numerador y denominador por 9, () En nuestro ejemplo: f() = + 5 f () =, Para tener una integral inmediata tipo arcotangente, multiplicamos y dividimos por
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 4.6. Más ejemplos de integrales inmediatas 4 ) ( + )( + + ) d = ( + + ) + C 4 () () Observamos que la derivada de + + es + Considerando f() = + +, n =, tenemos una integral inmediata tipo potencia ) ( ) ( ) + ( ) () () d = + d = + C = + C ( + + ) () Observamos que la derivada de + es () Considerando f() = +, n = -, tenemos una integral inmediata tipo potencia ) 4 4 (e + ) e d = (e + ) + C () En nuestro ejemplo: f() = e +, n = f () =e, tenemos una integral inmediata tipo potencia () d = 4 d = = + C 4 4 6 4) ( ) ( ) ( ) () Observamos que la derivada de es -4 Considerando f() =, n = Multiplicamos y dividimos por -4 para tener una integral inmediata tipo potencia + () 4 5) ( ) d = ( + ) d = ( + ) d = ( + ) + C = + + C () Observamos que la derivada de + es Considerando f() = +, n = Multiplicamos y dividimos por para tener una integral inmediata tipo potencia + + 4 6) d = d = + 4 + C + 4 () + 4 () Observamos que la derivada de + 4 es + 4 Considerando f() = + 4, n = Multiplicamos y dividimos por para tener una integral inmediata tipo potencia
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 5 + d = + d = + = + + C 7) ( ) ( ) ( ) () () Integral tipo potencia: f() = +, n = 6 8) d d ln( ) C = 6 = 6 + () () Integral tipo logaritmo: f() = f () = - 6 Basta multiplicar y dividir por 6 para tener la integral inmediata. 4 6 d = d = ln + 8 + C + 8 + 8 9) ( ) 0) () () Integral tipo logaritmo: f() = + 8 f () = 6 Basta multiplicar y dividir por para tener la integral inmediata ( ) () d = d = ln ( ) () Integral tipo logaritmo: f() = f () = ( ) Basta multiplicar y dividir por para tener la integral inmediata e sene d = sen e e d = cose + C () ) ( ) () Integral tipo seno, en nuestro ejemplo: f() = e f () = e ) tg sec d = tg + C () () Integral tipo potencia: f() = tg, n = f () = sec () e cos e d = cos e e d = sen e + C ) ( ) ( ) ( ) () Integral tipo coseno: f() = e f () = e cos 4) d = arctg(sen) + C + sen () () Integral tipo arcotangente: f() = sen f () = cos
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 6 d d 5) = = arctg + + () () () Aplicamos ( f() ± g() ) d = f()d ± g()d ; ( k f() ) d () Integral tipo arcotangente: f() = f () = () d d 6) arctg( 5) C + ( + 5) = + ( + 5) = + + () Integral tipo arcotangente: f() = + 5 f () = Basta multiplicar y dividir por para tener la integral inmediata = k f()d 7) ( ) () + + + ( ) d = d = d = arctg + C 4 () Integral tipo arcotangente: f() = f () = Basta multiplicar y dividir por para tener la integral inmediata 8) ( ) () e e e ( ) d = d = d = arctg e + C 4 + e + e + ( e ) () Integral tipo arcotangente: f() = e f () = e Basta multiplicar y dividir por para tener la integral inmediata sen(ln ) 9) d = cos(ln ) + C () () Integral tipo seno: f() = ln f () = d sen 0) d ln( cos ) = = = ln = ln(sec ) + C ctg cos cos () () Integral tipo logaritmo: f() = cos f () = -sen () () ) sen cos d = sen cos d = sen d = sen d = cos + k 4 4 () Multiplicando y dividiendo por, obtenemos sen () Multiplicando y dividiendo por (-), se tiene una integral inmediata de tipo seno, donde: f() = f () =
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 7 () () () cos ) sen d = d = d cos d = d cos d = sen + C 4 4 () sen = cos () Aplicamos ( f() ± g() ) d = f()d ± g()d ; ( k f() ) d () Si f() = f ) = = k f()d Multiplicamos y dividimos por para tener la integral inmediata de tipo coseno () sen ( ) cos ) sec tg d = d = sen ( cos ) d = = cos cos () Multiplicando y dividiendo por (-) se tiene una integral inmediata de tipo potencia, donde: f() = cos, n = - () sen sen 4) tg d = d = d = ln(cos ) = ln(sec ) + C cos cos () Multiplicando y dividiendo por (-) se tiene una integral inmediata de tipo logaritmo, donde: f() = cos f () = sen
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 8.7. Ejemplos de integrales inmediatas descomponiendo en suma de integrales () ) d = + d = d + d = + ln( ) + C () Aplicamos ( f() ± g() ) d = f()d ± g()d,descomponiéndola en dos integrales: o Una integral de una constante o Una integral tipo logarítmica, donde f() =. + ) d = d = d d = + + C ( + ) ( ) + () ( + ) + () Aplicamos ( f() ± g() ) d = f()d ± g()d,descomponiéndola en dos integrales: o Una integral de una constante o Una integral tipo potencia, donde f() = +, n = - d = ( + ) d = ( + ) + + d ) d = d + = ln( + ) + arctg( ) + + + () () Aplicamos ( f() ± g() ) d = f()d ± g()d,descomponiéndola en dos integrales: o Una integral tipo logaritmo, donde f() = + f () = : d = ln( + ) + o Una integral tipo arcotangente, donde f() = f () = d = arctg + () () 4 + 4 4 4) d = 4 d ( 4) d d 4 4arctg C + = + = + + + + + () Efectuamos la división. () Se descompone en: o Una integral potencia: ( 4) d = 4 o Una integral tipo arcotangente: 4 d = 4arctg +
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 9 5) d = d d = ln( + 9) arctg + C + 9 + 9 + 9 () Se descompone en:: o Integral tipo logaritmo, donde f() = + 9 f () = : d = ln( + 9) + 9 () o Integral tipo arcotangente, donde f() = f () = / d = d = arctg + 9 9 +
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 0 4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE En ocasiones es difícil detectar el tipo de integral que tenemos debido a la epresión del integrando. Por ello, realizar un cambio de variable puede facilitar la integración. Casi todos los ejemplos realizados anteriormente se han resuelto mediante cambios de variables que se han efectuado mentalmente.. Ejemplos sen cos d Efectuamos el cambio t = sen y derivamos dt = cos d La integral quedaría: sen cos d = t dt, quedándonos una integral fácil: El siguiente paso sería deshacer el cambio, quedándonos: 4 sen cos d = sen 4 t dt = t 4 4 d. Calcular por cambio de variable: e + Efectuamos el cambio t = e y derivamos dt = e dt d d = e = La integral queda: d dt dt e + = t + t = ( t + ) t Nos queda una integral racional: dt t A B A(t + ) + Bt = + = ( t + ) t t ( t + ) ( t + ) t = A(t + ) + Bt t = 0 = A t = = B B = dt dt dt t = = ln t ln(t + ) = ln ( t ) t t ( t ) + + t + Deshaciendo el cambio: d e = ln C + e + e +
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II Ejemplos. Calcular por cambio de variable: cos d = cos ( sen )d cos d Efectuamos el cambio t = sen dt = cos d La integral queda: cos d = ( t )dt = t t Deshaciendo el cambio: cos d = sen sen + C d 4. Calcular por cambio de variable: e + e Efectuamos el cambio t = e y derivamos dt = e dt d d = e = La integral queda: d dt dt = = = arctg t + + t + e e t t t Deshaciendo el cambio: d = arctg e + e + e C dt t 5. Calcular por cambio de variable: d + Para poder quitar las raíces hacemos el cambio: = t 6 d = 6t 5 dt La integral queda: 5 d 6t t = dt = 6 dt = 6 t t dt t t 6t 6ln(t ) + = + + + t + t t + t + Deshaciendo el cambio: = t 6 t = 6 d ( ) 6 6 6 6ln C + = + + +
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II Ejemplos 6. Calcular por cambio de variable: tg d dt Efectuamos el cambio tg = t = arctgt d = + t La integral queda: tg d = t + t dt Nos queda una integral racional: t t t dt = t dt = t dt dt = t ln(+ t ) + C + t + t + t tg d = tg ln( + tg ) + C = tg ln(sec ) + C = tg + ln(cos ) + C 7. Calcular por cambio de variable: 5 (tg + tg )d Etraemos factor común tg, quedando: + = + 5 (tg tg )d tg ( tg )d Efectuamos el cambio tg = t ( + tg ) d = dt La integral queda: tg (+ tg )d = t dt = t 4 4 Deshaciendo el cambio: + = + 4 5 4 (tg tg )d tg C
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 5 INTEGRACIÓN POR PARTES La fórmula de la derivada de un producto es: D[u() v()] = u () v() + u() v () que, epresada en notación diferencial, queda: d[u() v()] = du() v() + u() dv() Despejando el último sumando queda: Si integramos en los dos miembros se obtiene: u() dv() = d[u() v()] du() v() u() dv() = u() v() v() du() Para aplicar esta fórmula en la práctica se separa el integrando en dos partes, teniendo en cuenta: a) La parte que se iguale a dv debe ser fácil de integrar. b) v du no debe ser más complicada que u dv No eiste ninguna regla que sirva para determinar qué integrales es conveniente resolver por partes, como tampoco para una vez adoptado este método fijar qué factor debe hacerse igual a u.. Ejemplos e d Si derivamos se simplifica y al integrar e no se complica la integral. Por tanto, tomamos: u = du = d dv = e d v = e d = e e d = e e d = e e + C = ( )e + C. sen d Si derivamos se simplifica y al integrar sen no se complica la integral. Por tanto, tomamos: u = du = d dv = sen d v = sen d = cos sen d = cos + cos d = cos + sen + C
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 4 Ejemplos. ln d Tomamos: u = ln du = d dv = d v = d = ln d = ln d = ln d = ln + C = ln + C 4 4. + d Tomamos: u = du = d dv = + d v = + d = ( + ) 5 5 4 + d = ( + ) ( + ) d = ( + ) ( + ) + C = ( + ) ( + ) + C 5 5 5. arc sen d Tomamos: u = arcsen du = dv = d v = d = d arc sen d = arc sen d = arc sen + d = arc sen + + C 6. arc tg d Tomamos: d u = arctg du = + dv = d v = d = arc tg d = arctg d = arctg d = arctg ln( + ) + C + +
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 5 OBSERVACIÓN : En ocasiones, hay que aplicar el procedimiento varias veces.. Ejemplos e d Tomamos: u du d = = = = dv e d v e e d = e e d = e e d Volvemos a aplicar este procedimiento, tomando u = du = d dv = e d v = e e d = e e d = e e d = e e 4 4 Por tanto, la integral inicial: e d = e e + e + C = + e + C 4 4. ln d Tomamos: ln u = ln du = d dv = d v = ln ln d = ln d = ln ln d Volvemos a aplicar este procedimiento, tomando d u = ln du = dv = d v = d ln d = ln = ln ln d = (ln ) Por tanto, la integral inicial: ln d = ln (ln ) + C
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 6 6 INTEGRALES RACIONALES Es la integración de epresiones de la forma reales y eponentes naturales. Distinguimos tres casos: CASO : GRADO P(X) < GRADO Q(X) En este caso descomponemos en fracciones simples:.a. El denominador sólo tiene raíces sencillas P() d, siendo P() y Q() polinomios de coeficientes Q() Epresamos la fracción algebraica como suma de fracciones simples, para ello descomponemos el denominador. Si Q() = ( a ) ( a ) P() A B = + Q() a a, siendo A y B dos coeficientes indeterminados Puesto que los denominadores son iguales, A y B deben ser tales que los numeradores sean iguales: P() A B A a B a = + = Q() a a a a ( ) + ( ) P() = A ( a ) + B( a ) ( )( ) De esta forma conseguimos epresar la integral como suma de integrales inmediatas de tipo logaritmo. P() A B d d d A ln a Bln a Q() = a + a = + ( ) ( ) Ejemplos d + A B A + B( + ) = + = + + ( + ) = A + B( + ) = (A + B) + B Determinamos A y B igualando coeficientes: Coeficiente de : A + B = Término independiente: - = B Se obtiene que A = y B = -, por tanto: + + d = d d = ln( + ) ln + C También se pueden obtener los coeficientes A y B dando valores a la variable : = 0 - = B = - - = - A A =
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 7.B. El denominador sólo tiene raíces múltiples (no entra en eamen) Si Q() = ( a ) ( a ) P() A B C = + + Q() a a a ( ), siendo A, B y C coeficientes que se determinarán por el procedimiento visto en el apartado anterior. De esta forma conseguimos epresar la integral como suma de integrales inmediatas de tipo logaritmo y potencia. P() A B C C d = d + d + d = A ln( a ) + Bln( a ) Q() a a a ( a ) Ejemplos + + d ( ) ( + ) A B C + + = + + ( ) ( + ) ( ) + + + = A( + ) + B( )( + ) + C( ) Determinamos A,B y C dando valores a : = 4 = 4A A = = - 8 = 6C C = = 0 = A B + C = B + B = + + d d d ( ) ( + ) ( ) + d = + + = + ln( ) + ln( + ) + C CASO : GRADO P(X) = GRADO Q(X) En este caso efectuamos la división: P() = k Q() + R(), siendo k una constante y R() polinomio tal que grado(r()) < grado(q()) De esta forma conseguimos epresar la integral como suma de dos integrales: o kd = k o R() d, tipo racional visto en el caso. Q() Ejemplo + 7 d = + d = d + d = + ln( + ) + C + + +
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 8 CASO : GRADO P(X) > GRADO Q(X) En este caso efectuamos la división: P() = Q() C() + R() De esta forma la integral se descompone en dos:, siendo P() R() d = C()d + d Q() Q() o o C()d una integral inmediata de tipo potencia R() d una integral de tipo racional caso Q() Ejemplos ) + 7 4 d + + 7 4 = + + + + 7 4 d d = ( ) d + = + ln( + ) + C + + 5 + 6 4 ) d = ( ) d + d = + 4ln( ) + C 5 + 6 4 = + ) + 7 + d + + 7 + A B C = + + + + + ) + 7 + = A( + )( + ) + B( )( ) + C( )( + Determinamos A,B y C dando valores a : = = 6A A = = - = C C = - = - - = -B B = Se obtiene que A =, B = y C = -, por tanto: + 7 + + + d = d + d d = ln( ) + ln( + ) ln( ) + C
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 9 5 d 6 + 6 4) 5 A B C = + + 6 + 6 5 = A( )( ) + B( )( ) + C( )( ) Determinamos A,B y C dando valores a : = - = C C= = - = - B B = = = A A = Se obtiene que A =, B = y C =, por tanto: 6 + 6 5 d d d d = + = ln( ) + ln( ) ln( ) + C 4 5) d ( ) ( + ) 5 A B C = + + ( ) ( + ) ( ) + 5 = A ( )( + ) + B( + ) + C( ) Determinamos A,B y C dando valores a : = - = B B = - = - -9 = 9C C = - = 0-5 = -A + B + C A = - Se obtiene que A = B = C = -, por tanto: ( ) ( + ) ( ) 5 d = d d d = ln( ) + ln( + ) + C +