PlaMuesteo.b Guillemo Sachez 1 Plaes de Muesteo Guillemo Sáchez Actualizado: 2007-09-20 (ejectuado de uevo co Mathematica 8.0 e Mayo 2012, si modifica) Pla de muesteo simple à Fudametos uesto objetivo es establece u muesteo po atibutos (aceptació o echazo) paa u lote de tamaño del que se toma ua muesta, aceptadose el lote si la catidad piezas o cofomes e la muesta es meo o igual que u valo establecido como citeio de aceptació. Llamamos p a la popoció vedadea de uds. discofomes e el lote, que os es descoocida (salvo que se ispeccioe el 100%). E u pla de muesteo se establece como citeio de aceptació p p A siedo p A la facció maxima de uidades defectuosas e el lote que co ua pobabilidad P a estamos dispuestos a acepta. A estos valoes de (p A, P a ) se les deomia usualmete ivel de Calidad Aceptable (o AQL)-: Po tato, el AQL coespode a la facció defectuosa, p A, e u lote tal que, paa u pla de muesteo detemiado, éste seá echazado co ua pobabilidad a = 1 - P A. a es coocido como iesgo del fabicate. E la cuva OC es de iteés tambie el ivel de calidad echazable (o RQL) que coespode a la facció de defectuosas de u lote tal que, paa u pla de muesteo detemiado, éste seá aceptado co ua pobabilidad b, coocida como iesgo del cosumido o compado. E temios de test de hipótesis lo ateio podemos expesalo como sigue: La facció p eal es descoocida. Al toma ua muesta se tata de estima si p p A (aceptamos el lote) o p > p A (aceptamos el lote). Esto es equivalete a ealiza u cotaste de hipótesis e el que la hipótesis ula es H 0 : p p A y la alteativa H 1 : p > p A. Al ealiza el cotaste podemos comete dos eoes: a) Rechaza H 0 cuado es cieta (eo tipo I). Es deci: de la ispecció de la muesta cocluimos que p > p A cuado ealmete p p A, po tato echazamos u lote que debeiamos acepta. La pobabilidad de que esto ocua es a. A este eo se llama iesgo del fabicate pues omalmete es él quie asume sus cosecuecias: tia o eispeccioa poducto bueo. Evidetemete el fabicate estáa iteesado que este valo sea lo mas pequeño posible, usualmete a = 0.05 o 0.01, que quiee deci que e el 5% o 1% de las ocasioes se echaá lotes bueos. a = {Pobabilidad de echaza H 0 cuado H 0 es cieta} = {pobabilidad de echaza u lote co p = p A } b) Acepta H 0 cuado es falsa (eo tipo II). Es lo opuesto al caso ateio, obteemos que p p A cuado ealmete p > p A, po tato aceptamos u lote que debeiamos echaza. La pobabilidad de que esto ocua se le llama b. A este eo se llama iesgo del cosumido o compado pues es omalmete quie asume sus cosecuecias: toma po aceptable u poducto que o lo es. atualmete el compado estáa iteesado que este valo sea lo más pequeño posible, usualmete b = 0.05 o 0.1, que quiee deci que e el 5% o 10% de las ocasioes se aceptaá lotes co ua faccio defectiva p R. b = {Pobabilidad de acepta H 0 cuado H 1 es cieta} = {pobabilidad de acepta u lote co p = p R }. http://web.usal.es/guillemo
PlaMuesteo.b Guillemo Sachez 2 Paa establece u pla de muesteo iguoso matematicamete se equiee defii peviamete a, p A, b y p R. Fijado los paametos ateioes la úica foma de dismiui a y b simultaemamete es aumeta el tamaño de la muesta. E el límite: tamaño muestal = tamaño de la població a = b = 0, peo e la páctica esto o suele se ecoomóco y a veces iviable (Ej.: aálisis destuctivos). à Calculo de a y b Paa establece u pla de muesteo ecesitamos elacioa matematicamete a, p A, b y p R. Iicialmete utilizamos la distibucio biomial. Esta fució es valida paa muesteo co eemplazamieto y da muy buea apoximació cuado el tamaño del lote,, es muy gade co el tamaño de la muesta,, situació muy fecuete e la páctica. Mas adelate lo extedeemos a la fució hipegeomética que es la que e igo hay que emplea cuado el muesteo es si eemplazamieto, auque la difeecias e valoes uméicos va a se isigificates co la biomial paa muestas << (tipicamete 0.1 ). Además, el método paa establece es simila tato si se emplea la distibució biomial como la hipegemética. La pobabilidad de que al toma ua muesta de tamaño, de ua població co ua popoció p A defectuosas, haya defectuosas dada po la fució de pobabilidad PF biomial es: PF B,, p A = p A 1 - p A - (1) dode p A popoció de muesta defectuosas e el lote (cuado es descoocida como es el caso, se supoe p = p A ) tamaño de la muesta úmeo de echazos e la muesta E leguaje del Mathematica la fució ateio podemos expesa po PB _, _, pa_ : Biomial, pa 1 pa http://web.usal.es/guillemo
PlaMuesteo.b Guillemo Sachez 3 ü Po ej.: E ua muesta de 100 () uds e ua població co el 5% de uds. defectuosa (p A ) las pobabilidades de que haya defectuosas se muesta e el gáfico (la pobabilidad de que haya más de 20 defectuosas es pacticamete ula). Plot PB 100,, 0.05,, 0, 20 0.15 0.10 0.05 5 10 15 20 Asumiedo las mismas codicioes, la pobabilidad P a de que haya o meos piezas defectuosas está dada po la distibució acumulada de pobabilidad (CF) defiida como: P a = CF B,, p A = x=0 p A 1 - p A - (2) dode x idice de vaiació de La expesió ateio la covetimos al leguaje del Mathematica CB _, _, pa_ : Biomial, x pa x 1 pa x x 0 ü Ej.: La pobabilidad P a de acepta u lote paa ua població co u pocetaje de defectuosas p = 0.05 de la que tomamos ua muesta de 30 () uds y poemos el citeio de acepta el lote si e la muesta hay 2 o meos uds. defectuosas es. CB 30, 2, 0.05 0.812179 http://web.usal.es/guillemo
PlaMuesteo.b Guillemo Sachez 4 ü etemiació de a El valo de a (Pobabilidad de echaza H 0 cuado H 0 es cieta) seá el complemetaio de P a, esto es a= 1 - P a = 1 - CF B,, p A (3) alfab _, _, pa_ : 1 Biomial, x pa x 1 pa x x 0 E el ejemplo ateio, el iesgo de echaza u lote bueo es: alfab 30, 2, 0.05 0.187821 ü etemiació de b El valo de b (pobabilidad de acepta u lote co p = p R ) está dado po b= x=0 p R 1 - p R - (4) betab _, _, pr_ : Biomial, x pr x 1 pr x x 0 Ej.: Paa el mismo ejemplo ateio tomamos p R = 0.1 betab 30, 2, 0.1 0.411351 Obsevese que mateiedo la misma elació de popoció de uds defectuosas e la muesta (2/30) ambos eoes dismiuye aumetado el tamaño muestal. alfab 120, 8, 0.05 0.147407 betab 120, 8, 0.1 0.141433 à Cuva caacteistica y cuva de potecia El valo de a y b podemos elacioalo a tavés de la cuva de opeació caacteistica (OC). Fijado el tamaño de la muesta y el el úmeo de echazos admisibles e la muesta la cuva caacteistica (OC) epeseta la http://web.usal.es/guillemo
PlaMuesteo.b Guillemo Sachez 5 pobabilidad de aceptació P a del lote e fució de la faccio, o pocetaje, de uds defectuosas de la població p. Es deci: se tata de epeseta P a = f,, p co y ctes paa ello podemos utiliza la fució ates defiida CB[,,p] vaiado el valo de p. La abscisa de la cuva OC epeseta la facció defectuosa y las odeada la pobabilidad de aceptació. Ej.: Paa ua muesta de 100 uds y u citeio de aceptacio = 3 la cuva es Plot CB 100, 3, p, p, 0, 0.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.05 0.10 0.15 0.20 Po tato, la pobabilidad de echaza u lote que había que acepta paa el caso ateio co p = 0.05 está dado po a = 1 - P a. Es deci alfab 100, 2, 0.05 0.881737 La pobabilidad de acepta u lote que había que echaza, tomado p R = 0.06, es muy baja betab 100, 2, 0.06 0.0566128 El pla de muesteo ateio es claamete favoable al compado. Obsevese que co bastate apoximació los datos ateioes de deduce obsevado la cuva pecedete. A veces se pefiee utiliza la cuva de potecia que epeseta a, esto es paa el mismo ejemplo http://web.usal.es/guillemo
PlaMuesteo.b Guillemo Sachez 6 Plot alfab 100, 2, p, p, 0, 0.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.05 0.10 0.15 0.20 Paa u tamaño muestal fijo los valoes a y b peseta ua elacio ivesa, e la medida que aumete uo dismiuimos el oto, la úica foma de dismiui ambos es aumeta el tamaño muestal. El b seá muy util aplica e el caso de que estemos iteesados e potegeos de lotes co baja calidad podemos establece u LTP (lot toleace pecet defective), -otos ombes sióimos so RQL o LQL- esto es: el ivel mas pobe de calidad que estamos dispuesto a acepta paa u lote idividual. Lo dicho puede obsevase facilmete epesetado las OCs paa distitos valoes de {/ = cte.}: {3/50,, 15/250}, que muesta que e la medida que aumetamos va dismiuyedo a y b. Plot Evaluate Table CB 50, 3, p,, 1, 5, p, 0, 0.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.05 0.10 0.15 0.20 http://web.usal.es/guillemo
PlaMuesteo.b Guillemo Sachez 7 Pla de muesteo e lotes gades El poblema mas fecuete e muesteo es detemia el tamaño de la muesta y el úmeo de uds. o cofomes e la muesta. Vamos a descibi como ealizalo e el caso de muesteos simples. Sea ua població de tamaño, del que descoocemos el úmeo de uds defectuosas. La pobabilidad P a de que haya o meos defectuosas os viee dada po la distibució hipegeomética. P a = x=0 x - - x (5) dode úmeo de piezas defectuosas e el lote (descoocidas). f Faccio de uds defectuosas: f =, f es descoocida, se toma como valo la facció máxima, p A, de la població que admitiiamos que este fomada po uds fuea de los límites de toleacia. a = ivel de sigificació (Pobabilidad de comete u eo de tipo I que estamos dispuesto a asumi). = tamaño muestal Cosideemos iicialmete que el tamaño del lote es gade y >>, e este caso e vez de (5) podemos emplea co muy buea apoximacio (2), obsevese que paa estas codicioes el esultado es idepediete del tamaño del lote. Usualmete a, p A so fijos. Paa cada valo de obtedemos el úmeo máximo de echazos admisibles despejado e (3). Esto puede hacese como sigue: muesta _, alfa_, pa_ : Floo. FidRoot alfab,, pa alfa,, 1, 2 Po ejemplo, paa a = 0.05, p A = 0.05, y = 100, es muesta 100, 0.05, 0.05 8 Lo usual que que deseemos tee e cueta el eo de tipo II, es deci b, paa ello hemos de fija b y p R lo que podemos hace e fució de la expeiecia o po que os sea valoes dados. E defiitiva teemos cuato valoes fijos: a, p A, b y p R, paa defii cumpliedo co los cuato valoes ateioes sobe el úico paameto que vamos a pode actua es sobe el tamaño de la muesta. Se tata de esolve el sistema dado po las ecuacioes (3) y (4). Esto puede hacese diectamete, que o es facil, o usado métodos apoximados como el que se descibe. Este mismo método puede emplease paa obtee ua pimea apoximació que puede se utilizada paa posteiomete paa esolve el sistema fomado po las ecs (3) y (4). Método apoximado.- Cosite e aplica las ecs (6) (equiee que z siga apoximadamete ua distibucio (0,1) y que >> paa pode asumi que x -úmeo de defectuoso- pueda apoximase po ua distibució de Poisso de media l = p). p A z p A, P z z p R z p R, P z z (6) http://web.usal.es/guillemo
PlaMuesteo.b Guillemo Sachez 8 po tato z p A z p R p A p R (7) Ejemplo : Sea p A = 0.02 y p R = 0.04, co a=b=0.05, es deci z a =-z b = 1.64, po tato : Clea z p A z p R p A p R 2 ;. p A 0.02, p R 0.04, z 1.64, z 1.64 783.807 p A z p A. z 1.64.p A 0.02 22.1694 ü Ejemplo etemia u pla de muesteo paa a= p A = 0.05 e el que el cliete admite u b =0.05, P R = 0.1. (Ojo: Como y so eteos los valoes de a y b o sea justo los especificados, sio que seá los más poximos). El esultado exacto es: betab 313, 22, 0.1 0.043623 alfab 313, 22, 0.05 0.0437683 El poblema que tiee el caso ateio es que la muesta a toma es muy gade, ua alteativa es toma ua muesta mas pequeña mateiedo aseguado el iesgo del cosumido. E el ejemplo este valo seía betab 60, 2, 0.10 0.0530451 http://web.usal.es/guillemo
PlaMuesteo.b Guillemo Sachez 9 E este caso el fabicate coeía u iesgo mayo peo ahoaía gastos de ispecció que debe valoa si ecoómicamete le compesa. alfab 60, 3, 0.05 0.352719 Pla de muesteo e lotes pequeños si eemplazamieto Cuado el tamaño de la muesta o es mucho meo que el del lote la apoximació a la biomial puede o se suficiete, e este caso es ecesaio opea diectamete co la distibució hipegeomética dada pola ec(5) que podemos escibila como: PobA _, _, _, _ : Biomial, x Biomial, x Biomial, x 0 Vamos a utilizala paa calcula la pobabilidad de acepta el lote fijados,,, y. Ejemplo.: Sea u lote de 100 () uds e dode exista 5 () defectuosas, tomamos ua muesta de 44 () uds y poemos el citeio de acepta el lote si e la muesta hay ua o igua defectusas ( x = {0, 1}). PobA 5, 100, 44, 1 0.26539 Po lo demas el pocedimieto paa calcula a y b es el mismo que el descito e el apatado ateio paa la biomial. Como valo de p A, se toma f. à Muesteo LTP Sea ua població de tamaño, del que descoocemos el úmeo de uds defectuosas. Petedemos gaatiza que echazamos co ua pobabilidad P aquellos lotes pocedetes de ua població que cotega ua facció F de la misma está deto de uos límites de toleacia establecidos. Paa ello ecesitamos establece u pla de muesteo e el defiiemos el tamaño muestal y el úmeo de uds defectuosas que estamos dispuesto a admiti e la muesta paa acepta el lote. Este citeio está basado e el popuesto po odge-romig (LTP, lot toleace pecet defective) y se utiliza cuado se petede se muy esticto e pevei la aceptació de lotes o cofomes. El citeio que se seguiá paa establece el pla de muesteo es: Tomaemos F = 1 - f y estos lotes los echazaemos co ua pobabilidad a = 1-P a. Obsevese que P a es fijado po el cosumido y coespode a la facció defectiva máxima que está dispuesto a acepta (LTP), po ello estamos limitado el iesgo del cosumido. e (5) se obtiee: a= 1 - P a = x=0 x - - x (8) Se tata de despeja e la ec. ateio, peviamete eescibimos el lado deecha de (3) haciedo = f y http://web.usal.es/guillemo
PlaMuesteo.b Guillemo Sachez 10 expesamos el esultado e temios de la fució gamma, co la que se puede opea mas facilmete. eq1 _Itege, _, f_, _ : FuctioExpad PobA,,,. f Ahoa se tata de fija el umeo de defectos que estamos dispuestos a admiti, y obtee el valo de e la ec. ateio, esto es: esolve eq1[,, f,] = 1-Pa = alfa, siedo el valo a calcula. eq2 _Itege, alfa_, f_, _ : Ceilig. FidRoot eq1,, f, alfa,, 20 Ejemplo: Si teemos u lote de tamaño =300, y tomamos como citeio de aceptació alfa = 1-0.95 = 0.05, f = 1-0.95 = 0.05, y se obtiee que el tamaño la muesta es = 83 eq2 300, 0.05, 0.05, 1 83 E esume tomaiamos ua muesta de tamaño 83 y aceptaiamos el lote si e la muesta hay igua o 1 ud. discofome. Pla de muesteo co eemplazamieto o paa muestas gades E el caso de que la ispecció sea co eemplazamieto, o que el tamaño de la muesta sea pequeña compaado co el del lote la fució de pobabilidad (PF) de que e u lote de tamaño, co piezas defectuosas, tomada ua muesta de tamaño apaezca defectuosas esta dada po la distibució hipegeomética: u lote co ua facció f de piezas defectuosas está dada po la distibució hipegeomética (HG): PF HG,,, = - - (9) dode tamaño del lote úmeo de piezas defectuosas e el lote Tamaño de la muesta úmeo de echazos e la muesta E leguaje del Mathematica la fució ateio podemos expesa po Pa _, _, _, _ : Biomial, Biomial, Biomial, Po ej.: U lote de 100 () uds e dode exista 5 () defectuosas, si tomamos ua muesta de 44 () uds la pobabilidad de que o haya igua ud defectuosa e la muesta es ( = 0): http://web.usal.es/guillemo
PlaMuesteo.b Guillemo Sachez 11 Pa 5, 100, 44, 0 0.0507364 Asumiedo las mismas codicioes, la pobabilidad de que haya o meos piezas defectuosas está dada po la distibució acumulada de pobabilidad (CF) defiida como: CF HG,,, = x=0 x - - x (10) dode x idice de vaiació de PobA Pobabilidad de que tomada uds haya o meos defectuosas La expesió ateio la covetimos al leguaje del Mathematica PobA _, _, _, _ : Biomial, x Biomial, x Biomial, x 0 Vamos a utilizala paa calcula la pobabilidad de acepta el lote fijados,,, y. Ejemplo.: Sea u lote de 100 () uds e dode exista 5 () defectuosas, tomamos ua muesta de 44 () uds y poemos el citeio de acepta el lote si e la muesta hay ua o igua defectusas ( x = {0, 1}). PobA 5, 100, 44, 1 0.26539 Plaes de muesteo (po atibutos) Quit E este apatado vamos a establece u pla de muesteo po atibutos (aceptació o echazo) secuecial cosistete e hace ua pimea ispecció paa u lote de tamaño del que se toma ua muesta, si e esta se poduce ceo echazos se acepta el lote, e el caso de que se poduzca 1 o 2 echazos se toma ua muesta adicioal del mismo lote, si se da mas de 2 se echaza el lote. Si e esta muesta ampliada cotiee ceo echazos el lote se acepta, y si cotiee dos se echaza. E el caso de que cotega u echazo puede ocui: a) Que e el pime muesteo se tuviea solo u echazo e cuyo caso se vuelve a toma ota muesta adicioal. Si e ella apaece ceo echazos se acepta el lote, e caso cotaio se echaza defiitivamete. b) Que e el pime muesteo se dieo dos echazos e este caso se echaza el lote. El pocedimieto podía extedese paa cotempla u úmeo idefiido de ispeccioes seceueciales, peo po azoes pacticas se ha optado po limitalo a tes. El pla de muesteo se estableceá defiiedo como equisito de aceptacio que cumpla el citeio P F que defiimos como aquel que paa u lote cualquiea pocedete de ua població que cotega ua facció F http://web.usal.es/guillemo
PlaMuesteo.b Guillemo Sachez 12 deto de los límites de aceptació (o su equivalete: ua facció f de uds. defectuosas, f = 1 - F) lo echazaemos co ua pobabilidad P. El método que descibimos pemite defii este pla de muesteo paa cualquie valo de P y F, o obstate umeicamete se esuelve el caso patícula de que P F sea 95/95. Paa los cálculos que sigue vamos a utiliza el pogama de cálculo simbólico y uméico Mathematica. à Fudametos E el caso de que la ispecció sea si eemplazamieto, la fució de pobabilidad (PF) de que e u lote de tamaño, co piezas defectuosas, tomada ua muesta de tamaño apaezca defectuosas esta dada po la distibució hipegeomética: u lote co ua facció f de piezas defectuosas está dada po la distibució hipegeomética (HG): PF HG,,, = - - (11) dode tamaño del lote úmeo de piezas defectuosas e el lote Tamaño de la muesta úmeo de echazos e la muesta E leguaje del Mathematica la fució ateio podemos expesa po Pa _, _, _, _ : Biomial, Biomial, Biomial, Po ej.: U lote de 100 () uds e dode exista 5 () defectuosas, si tomamos ua muesta de 44 () uds la pobabilidad de que o haya igua ud defectuosa e la muesta es ( = 0): Pa 5, 100, 44, 0 0.0507364 Asumiedo las mismas codicioes, la pobabilidad de que haya o meos piezas defectuosas está dada po la distibució acumulada de pobabilidad (CF) defiida como: CF HG,,, = x=0 x - - x (12) dode x idice de vaiació de PobA Pobabilidad de que tomada uds haya o meos defectuosas La expesió ateio la covetimos al leguaje del Mathematica PobA _, _, _, _ : Biomial, x Biomial, x Biomial, x 0 http://web.usal.es/guillemo
PlaMuesteo.b Guillemo Sachez 13 Vamos a utilizala paa calcula la pobabilidad de acepta el lote fijados,,, y. Ejemplo.: Sea u lote de 100 () uds e dode exista 5 () defectuosas, tomamos ua muesta de 44 () uds y poemos el citeio de acepta el lote si e la muesta hay ua o igua defectusas ( x = {0, 1}). PobA 5, 100, 44, 1 0.26539 à Ispeccio co eemplazamieto o paa muestas gades Quit E el caso de que la ispecció sea co eemplazamieto, o que el tamaño de la muesta sea pequeña compaado co el del lote la fució de pobabilidad (PF) de que e u lote de tamaño, co piezas defectuosas, tomada ua muesta de tamaño apaezca defectuosas esta dada po la distibució hipegeomética: u lote co ua facció f de piezas defectuosas está dada po la distibució hipegeomética (HG): PF HG,,, = - - (13) dode tamaño del lote úmeo de piezas defectuosas e el lote Tamaño de la muesta úmeo de echazos e la muesta E leguaje del Mathematica la fució ateio podemos expesa po Pa _, _, _, _ : Biomial, Biomial, Biomial, Po ej.: U lote de 100 () uds e dode exista 5 () defectuosas, si tomamos ua muesta de 44 () uds la pobabilidad de que o haya igua ud defectuosa e la muesta es ( = 0): Pa 5, 100, 44, 0 0.0507364 Asumiedo las mismas codicioes, la pobabilidad de que haya o meos piezas defectuosas está dada po la distibució acumulada de pobabilidad (CF) defiida como: CF HG,,, = x=0 x - - x (14) dode x idice de vaiació de PobA Pobabilidad de que tomada uds haya o meos defectuosas http://web.usal.es/guillemo
PlaMuesteo.b Guillemo Sachez 14 La expesió ateio la covetimos al leguaje del Mathematica PobA _, _, _, _ : Biomial, x Biomial, x Biomial, x 0 Vamos a utilizala paa calcula la pobabilidad de acepta el lote fijados,,, y. Ejemplo.: Sea u lote de 100 () uds e dode exista 5 () defectuosas, tomamos ua muesta de 44 () uds y poemos el citeio de acepta el lote si e la muesta hay ua o igua defectusas ( x = {0, 1}). PobA 5, 100, 44, 1 0.26539 http://web.usal.es/guillemo