Soluciones a las actividades

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BLOQUE I Aritmética. Los números reales. Potencias, radicales y logaritmos

Los números reales. Números racionales e irracionales a) Calcula mentalmente el área de un cuadrado de cm de lado. b) Epresa de forma eacta el lado,, de un cuadrado de cm de área. P I E N S A C A L C U L A A = = cm = cm Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: a) / b) π c) d),... a) Racional. b) Irracional. c) Irracional. d) Racional. A P L I C A L A T E O R Í A Representa gráficamente de forma eacta: a) b) 0 a) _ Escribe tres números racionales. 0 _ /,, / Escribe tres números irracionales. b) 0 _ 0 _ 0 0, π, 6 Representa gráficamente de forma aproimada: a) 0 Escribe dos números racionales comprendidos entre / y / / + / = / + / = b) e c) d) a) 0 0 SOLUCIONARIO

b) c) 0 e 9 /6 6 d) 7 0 Halla de forma eacta la diagonal de un cubo de cm de lado y escribe qué tipo de número es. Calcula: + / 0 d = + + = Es un número irracional. 0 7 : ( ) 0/9 ( +) ( +) ( ) : /. La recta real Representa en la recta real todos los números reales que cumplen: < Ì P I E N S A C A L C U L A 0 0 TEMA. LOS NÚMEROS REALES 9

Representa en la recta real los siguientes pares de números y calcula la distancia que hay entre ellos. a) y b) y c) y d) y 0 a) d(, ) = b) d(, ) = c) d(, ) = d) d(0, ) = Escribe en forma de desigualdad los siguientes intervalos, représentalos gráficamente y clasifícalos: a) (, ) b) [, ) c) (, + @) d) ( @,] a) { é ; < < } Abierto. b) { é ; Ì < } 0 0 0 0 Semiabierto y semicerrado. c) { é ; < < + @} 0 0 Representa gráficamente los siguientes entornos: a) E(, ) b) E*(, ) a) 0 b) 0 6 7 Escribe los intervalos que se representan en los siguientes dibujos, y clasifícalos: a) b) c) d) 0 0 0 0 a) (, ) Abierto. b) [0, ) Semiabierto y semicerrado. c) (, + @) Abierto. d) ( @, ] Semiabierto y semicerrado. Escribe los entornos que se representan en los siguientes dibujos: a) b) 0 0 a) E(, ) b) E*(0, ) A P L I C A L A T E O R Í A Abierto. d) { é ; @ < Ì } 0 0 Semiabierto y semicerrado. 90 SOLUCIONARIO

. Aproimaciones y errores Juan estima que la altura de un árbol es de m. Si la altura real es de, m, cuál es el error cometido en la estimación?, = 0, m P I E N S A C A L C U L A Calcula la parte entera y decimal de los siguientes números: a),9 b), a) Ent(,9) = Dec(,9) = 0,9 b) Ent(,) = Dec(,) = 0,6 9 Redondea a dos cifras decimales los siguientes números y di cuáles de las aproimaciones son por defecto y cuáles por eceso: a) /7 b),97 a),7,7 Aproimación por defecto. b),60 Aproimación por eceso. 0 Trunca a dos cifras decimales los siguientes números: a) /7 b),97 a),7,7 b),97,9 Halla el error absoluto y el error relativo que se cometen al aproimar con dos cifras decimales los siguientes números: a) / b) 6 a),, Error absoluto = 0,00 Error relativo = 0,00069 b),9, Error absoluto = 0,000 Error relativo = 0,000 Epresa en notación científica los siguientes números: a) 7 000 000 b) 0,000000 a),7 0 b), 0 7 Epresa en notación decimal los siguientes números: a) 7, 0 b), 0 9 a) 7 000 000 b) 0,00000000 Opera y epresa en notación científica: a), 0, 0 9 b),7 0 6 : (, 0 ) a), 0 7 b), 0 0 A P L I C A L A T E O R Í A TEMA. LOS NÚMEROS REALES 9

. Números combinatorios Calcula mentalmente los siguientes productos: a) b) c) P I E N S A C A L C U L A a) 6 b) c) 0 Calcula el factorial de los números siguientes: a) 6 b) a) 6! = 70 b)! = 0 0 6 Calcula mentalmente los siguientes números combinatorios: 7 a) ( ) b) ( ) 6 c) ( ) d) ( ) a) 6 b) c) d) 6 7 Comprueba que se cumple, en cada caso, la igualdad siguiente: m ( ) ( ) = m p m p a) m = 6, p = b) m =, p = 6 6 a) ( ) ( ) = = b) ( ) ( ) = = Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de en la siguiente igualdad: Se tiene que: + + = = 6 ( ) ( ) = + A P L I C A L A T E O R Í A 9 SOLUCIONARIO

Ejercicios y problemas. Números racionales e irracionales 9 Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: a) 0 b) / c) 6 d) 0 a) Irracional. b) Racional. c) Racional. d) Irracional. 0 Escribe tres números racionales comprendidos entre / y / / + / = / + / = / + / = 6 Representa gráficamente de forma eacta: a) b) 0 a) b) 0 _ _ 0 _ _ 0 0 c) d) Calcula: a) + 7 b) 6 9 c) : ( + ) d) ( + ) 0 9 a) b) c) d) Halla de forma eacta el lado de un cuadrado de 0 cm de área y escribe qué tipo de número es. 0 cm Es un número irracional.. La recta real 0 Representa en la recta real los siguientes pares de números y calcula la distancia que hay entre ellos: a) y b), y, a) d(, ) = 0 b) d(,;,) =,, 0 0 Representa gráficamente de forma aproimada: a) b) π c) d) a) 0 b) π 0 6 Escribe en forma de desigualdad los siguientes intervalos, represéntalos gráficamente y clasifícalos: a) (, ] b) [, ] c) [, + @) d) ( @, ) a) { é ; < Ì } 0 Semiabierto y semicerrado. TEMA. LOS NÚMEROS REALES 9

Ejercicios y problemas b) { é ; Ì Ì } 0 Cerrado. c) { é ; Ì < + @} 0 Semiabierto y semicerrado. d) { é ; @ < < } 0 Abierto. a) E(, ) b) E*(, ) c) E(, ) d) E*(, ). Aproimaciones y errores 0 Calcula la parte entera y decimal de los siguientes números: a) 7, b), c), d),7 7 9 Escribe los intervalos que se representan en los siguientes dibujos y clasifícalos: a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 a) (, + @) Abierto. b) (, ) Abierto. c) ( @, ] Semiabierto y semicerrado. d) [, ) Semiabierto y semicerrado. Representa gráficamente los siguientes entornos: a) E*(, ) b) E(, ) c) E(, ) d) E*(0, ) a) b) c) d) 0 0 0 0 Escribe los entornos que se representan en los siguientes dibujos: a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 a) Ent( 7,) = Dec( 7,) = 0, b) Ent(,) = Dec(,) = 0,6 c) Ent(,) = Dec(,) = 0, d) Ent(,7) = Dec(,7) = 0,7 Redondea a dos cifras decimales los siguientes números y di cuáles de las aproimaciones son por defecto y cuáles por eceso: a) / b),97 c) 7 d),6 a),7, por eceso. b),0 por eceso. c) 6,0 6,0 por defecto. d),6 por eceso. Trunca a dos cifras decimales los siguientes números: a) / b),97 c) 7 d),6 a),7,7 b),9 c) 6,0 6,0 d),6 9 SOLUCIONARIO

Halla el error absoluto y el error relativo que se cometen al redondear con dos cifras decimales los siguientes números: a) / b) c),0 d) 0 a),0 Error absoluto = 0,00 Error relativo = 0,006 b), Error absoluto = 0,006 Error relativo = 0,0006 c), Error absoluto = 0,000 Error relativo = 0,0000 d),9 Error absoluto = 0,00 Error relativo = 0,000 Epresa en notación científica los siguientes números: a) 7 00 000 b) 900 000 000 c) 0,000007 d) 0,00069 a),7 0 b),9 0 c), 7 0 6 d),69 0 Epresa en notación decimal los siguientes números: a),7 0 9 b), 0 7 c), 0 d),0 0 9 a) 7 000 000 b) 0,000000 c) 0 000 d)0,000000000 6 Opera y epresa el resultado en notación científica: a) 7, 0, 0 b) 0, 0, 0 6 c),6 0 +, 0 d),7 0 0 : (,6 0 9 ) a), 0 b),6 0 9 c),9 0 d), 0 9. Números combinatorios 7 Calcula el factorial de los números siguientes: a) 7 b) 9 a) 00 b) 6 0 9 0 Calcula los siguientes números combinatorios: 6 0 0 0 a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) a) b) 0 c) d) 0 Comprueba que se cumple, en cada caso, la igualdad siguiente: p a) m = 7, p = b) m = 0, p = 7 6 6 a) ( ) ( ) ( ) = + = 0 + 0 9 9 = 6 + 9 b) ( ) = ( ) + ( ) m ( ) ( ) ( ) = m + m Calcula los términos de la fila 7ª del triángulo de Tartaglia., 7,,,,, 7, Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de en la siguiente igualdad: + = 9 = 6 9 9 ( ) ( ) = 9 p 0 p TEMA. LOS NÚMEROS REALES 9

Ejercicios y problemas Para ampliar Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: a) b) /7 /7 c) π d) (0, ) a) Irracional. b) Racional. c) Irracional. d) Racional. Escribe en forma de entorno las siguientes desigualdades: a) < b) < c) + < d) < a) E(, ) b) E(, ) c) E(, ) d) E(0, ) Escribe tres números racionales entre, y,7, +,7 =,6, +,6 =,, +, =, 7 Escribe dos números irracionales entre, y, π =,9 0 =,6 6 Epresa, mediante el número π, un número irracional que esté comprendido entre 0 y π/ = 0,7 Escribe el menor intervalo abierto, cuyos etremos sean números enteros, que contenga al + número f = (, ) Escribe en forma de intervalo las siguientes desigualdades: a) Ì Ì b) > c) < Ì d) < a) [, ] b) (, + @) c) (, ] d) ( @,) 9 Redondea a dos decimales los siguientes números y di cuáles de las aproimaciones son por defecto y cuáles por eceso: a),6 b) 7,09 c),7 d) 9,99 a),6 por defecto. b) 7,0 por eceso. c),7 por eceso. d) 9,00 por eceso. Con calculadora 60 Halla con la calculadora el valor de los siguientes números con tres cifras decimales: a) π b) π + 0 + c) d) 0 + a) 6, b) 6,0 c),6 d),9 6 Halla con la calculadora y epresa el resultado en notación científica: a),7 0 +,6 0 b),9 0 0 : (, 0 ) c), 0, 0 6 d),7 0, 0 9 : (, 0 0 ) a) 9, 0 b), 0 c), 0 0 d),796 0 96 SOLUCIONARIO

Problemas 6 Halla de forma eacta la longitud de una circunferencia de m de diámetro. Qué clase de número es? L = π, = π m Es un número irracional. 6 Halla de forma eacta el área de un triángulo equilátero de cm de lado. Clasifica el resultado como número racional o irracional. h = = A = = cm Es un número irracional. h A = B = / m C = F = /6 m D = E = G = / m 66 Escribe el menor intervalo cerrado, cuyos etremos sean números enteros, que contenga a [, ] 67 B F A E Escribe el menor intervalo abierto, cuyos etremos sean números enteros, que contenga al número π C D G 6 6 Halla de forma eacta las longitudes de los segmentos siguientes y clasifica los resultados como números racionales o irracionales: cm a) BH b) CI c) AG d) AF e) AE a) BH = /. Número racional. b) CI = /. Número racional. c) AG =. Número irracional. d) AF =. Número irracional. e) AE = 0. Número irracional. H G A cm B C D La siguiente figura se conoce con el nombre de tangram chino. Si el lado del cuadrado mide m, halla el área de cada una de las figuras que componen el tangram. F I E ( 7, 6) 6 69 70 La longitud de una varilla se aproima a, m. Entre qué valores se hallará la longitud real si la aproimación es por defecto? si fuese por eceso? Entre, y, Entre, y, Las dimensiones de un cartón rectangular son 0, m y 0, m. Calcula su área y redondea el resultado a dos decimales. 0,9 m Se construye un ortoedro de dimensiones, cm Ò 0,6 cm Ò,6 cm para almacenar medio litro de líquido. Qué error relativo se está cometiendo? TEMA. LOS NÚMEROS REALES 97

Ejercicios y problemas V =, 0,6,6 = 0, cm 00 0, Error relativo = = 0,0076 00 AB = AC = AD = = 7 Se sabe que g de hidrógeno contienen,06 0 moléculas. Calcula la masa en gramos de una molécula de hidrógeno. : (,06 0 ) =, 0 g _ 0 _ 0 Para profundizar 7 Calcula la longitud del segmento AB en la figura siguiente y clasifica el resultado como número racional o irracional: cm A 7 0 La distancia que hay del Sol a la Tierra es de,6 0 km. Si se toma la velocidad de la luz como 00 000 km/s, calcula el tiempo que tarda la luz del sol en llegar a la Tierra. t = e/v t =,6 0 : 00 000 = 9, s = min s A B 7 Si el radio del Sol mide 6,96 0 km, calcula el volumen del Sol suponiendo que es una esfera. V = π (6,96 0 ) =, 0 km / AB = ( ) = = cm Es un número irracional. B 76 Halla el área y el volumen de un tetraedo regular cuya arista mide cm. Redondea el resultado a dos decimales. cm 7 Calcula la longitud de los segmentos AB, AC y AD de la figura adjunta, y representa de forma eacta en la recta real los números obtenidos: D A C I B A = a A = =,0 cm a V = V = =,7 cm 9 SOLUCIONARIO

77 Halla el área y el volumen de un octaedro regular cuya arista mide cm. Redondea el resultado a dos decimales. cm A = a A = =,6 cm a V = V = =,77 cm TEMA. LOS NÚMEROS REALES 99

Aplica tus competencias 7 Si se estima que la población de una ciudad es de 7 000 habitantes, da una cota de error absoluto y otra de error relativo. Resuelto en el libro del alumnado. 79 Da una cota de error absoluto y de error relativo para las siguientes estimaciones: a) Los participantes de una manifestación contra la guerra han sido 000 b) La altura de un árbol es de m a) Error absoluto < 00 habitantes. Error relativo 00 = 0,00 000 b) Error absoluto < 0, m Error relativo 0, = 0,0 00 SOLUCIONARIO

Comprueba lo que sabes Escribe la clasificación de los números reales y pon un ejemplo de cada uno de ellos. Enteros Naturales : 0, Racionales Negativos: Reales Fraccionarios: Irracionales: Representa en la recta real los siguientes pares de números y calcula la distancia que hay entre ellos: a) y b) y a) d(, ) = b) d(, ) = 6 Escribe en forma de desigualdad los siguientes intervalos, represéntalos gráficamente y clasifícalos: a) (, ) b) [, ) c) ( @, ) d) [, + @) a) { é ; < < } Abierto. b) { é ; Ì < } 0 Semiabierto y semicerrado. c) { é ; @ < < } 0 Abierto. d) { é ; Ì < + @} 0 Semiabierto y semicerrado. 0 0 0 Escribe los intervalos de los dibujos siguientes y clasifícalos: a) 0 b) 0 6 7 c) d) a) (, ) Abierto. b) [, ) Semicerrado y semiabierto. c) (, + @) Abierto. d) ( @, ] Semiabierto y semicerrado. Halla el error absoluto y el error relativo que se cometen al aproimar con dos cifras decimales los siguientes números: a) / b) 7 a) =, Error absoluto = 0,00 Error relativo = 0,00 b) 7 =,6 Error absoluto = 0,00 Error relativo = 0,006 Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de en la siguiente igualdad: 0 ( ) ( ) = 0 + + + + + = 0 ò = 6 ò = Calcula el área de un triángulo equilátero de cm de lado. 0 0 h = ( ) = A = = La masa de la Tierra es,97 0 kg, y la de la Luna es 7, 0 kg. Calcula cuántas veces es mayor la masa de la Tierra que la de la Luna.,97 0 : (7, 0 ) =,0 TEMA. LOS NÚMEROS REALES 0

Linu/Windows Paso a paso 0 Calcula: ( + ) ( : ) Resuelto en el libro del alumnado. Halla la epresión decimal con dígitos del siguiente número y clasifícalo como racional + o irracional: Resuelto en el libro del alumnado. Halla el error relativo que se comete al redondear el número a dos decimales. Resuelto en el libro del alumnado. Calcula:, 0 : (, 0 ) Resuelto en el libro del alumnado. Calcula el factorial de Resuelto en el libro del alumnado. Calcula ( ) Resuelto en el libro del alumnado. Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: 6 7 Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de en la siguiente igualdad: ( ) ( ) = + Resuelto en el libro del alumnado. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema. Practica 9 Calcula: a) + b) c) : ( ) d) ( + ) a) / b) /6 c) 0/9 d) Halla la epresión decimal con dígitos de los siguientes números y clasifícalos como racionales o irracionales: 7 6 a) b) c) π d) e a),67 Número irracional. b),6666666666667 Número racional. c),96979 Número irracional. d),790 Número irracional. 0 SOLUCIONARIO

Windows Derive 90 Halla el error absoluto y relativo que se comete al aproimar con dos cifras decimales los siguientes números: a) b) 6 a) / =, Error absoluto = 0,00 Error relativo = 0,00069 b) 6 =, Error absoluto = 0,000 Error relativo = 0,0000 9 Opera y epresa en notación científica: a), 0, 0 9 b),7 0 6 : (, 0 ) a), 0 7 b), 0 0 9 Calcula el factorial de los números siguientes: a) 6 b) a) 70 b) 0 0 9 Calcula los siguientes números combinatorios: a) 7 ( ) b) ( ) c) 9 ( ) d) ( ) 7 6 a) b) 6 c) 6 d) 9 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: 9 9 96 Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de en la siguiente igualdad: 9 ( ) ( ) = 9 = 6 La distancia que separa el Sol de la Tierra es de,6 0 km. Si se toma la velocidad de la luz como 00 000 km/s, calcula el tiempo que tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra. t = 9, s =,6 min Si el radio del Sol mide 6,96 0 km, calcula el volumen del Sol suponiendo que es una esfera. V =, 0 km TEMA. LOS NÚMEROS REALES 0

Potencias, radicales y logaritmos. Potencias de eponente natural y entero Calcula mentalmente las siguientes potencias: a) b) ( ) c) d) ( ) P I E N S A C A L C U L A a) b) c) d) Calcula mentalmente los cinco primeros cuadrados perfectos. 0,,, 9, 6 Calcula mentalmente: a) b) ( ) c) d) ( ) Utilizando la calculadora, realiza las siguientes operaciones y redondea los resultados a dos decimales: a), b), c) 0,9 d), 0 7, 0 a) 7,9 b),6 c) 0, d), 0 A P L I C A L A T E O R Í A a) 6 b) 6 c) 6 d) 6 6 Escribe en forma de potencia de base : a) b) c) d) / Calcula mentalmente: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) a) b) c) d) 7 7 7 7 Calcula mentalmente: a) 0 7 b) ( ) 0 c) 6 d) ( 6) a) 0 b) c) d) 6 a) b) c) 0 d) 7 Utilizando la calculadora, realiza las siguientes operaciones y redondea los resultados a dos decimales: a) (,7 + ), b) (,6, 7,) :, c) (, 67,7 :,), a),6 b),9 c) 76,77 0 SOLUCIONARIO

Calcula mentalmente: a) ( + ) b) + c) ( ) d) a) 7 b) c) 6 d) a) 9 b) c) d) 6 9 Epresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) b) 7 : c) ( ) d) : 0 Una pecera tiene forma cúbica y su arista mide 7 cm. Si está llena, cuántos litros de agua contiene? V = 7 = 7 cm =,7 litros.. Radicales Halla mentalmente el valor de en los siguientes casos: 6 a) 000 = b) = 0 c) = d) 6 = P I E N S A C A L C U L A a) = 0 b) = 000 000 c) = d) = ± Calcula mentalmente el valor de los siguientes radicales: a) b) c) 6 d) 6 A P L I C A L A T E O R Í A Escribe en forma de potencia los radicales: a) 7 b) a c) d) 7 a 6 a) ± b) c) ± d) No tiene raíces reales. a) 7 / b) a / c) a / d) 6 /7 Utilizando la calculadora, halla las siguientes raíces. Redondea los resultados a dos decimales. a),67 b) 9, c) 9, d) 000 a),9 b) 9,6 c),0 d),9 Escribe en forma de radical las potencias: a) / b) / c) a / d) 6 / a) b) c) a d) 6 Simplifica los siguientes radicales: 6 a) b) c) 6 d) a) b) c) d) a 6 Introduce dentro del radical el factor que está delante: a) b) a c) a d) a a) b) a c) a d) a TEMA. POTENCIAS, RADICALES LOGARITMOS 0

7 Etrae todos los factores posibles de los siguientes radicales: a) 0 b) a 7 c) a b 6 d) 6 7 y z a) b) a a c) a b a b d) y yz El volumen de un cubo es m. Cuánto mide la arista? Redondea el resultado a dos decimales. V = m a = =,6 m. Operaciones con radicales Calcula mentalmente el resultado de las siguientes operaciones: a) 9 + 6 b) 9 + 6 c) 9 d) 9 P I E N S A C A L C U L A a) b) 7 c) d) 9 Realiza las siguientes sumas y restas de radicales: a) 7 0 + + 00 b) 7 + 7 7 + 00 a) 6 + + 0 = = (6 + + 0) = b) 0 6 + + 0 = = (0 6 + + 0) = 0 Utilizando la calculadora, halla la siguiente suma y resta de radicales. Redondea el resultado a dos decimales: 7 + 7 0, Realiza los siguientes productos: a) 6 b) 0 6 c) d) a) = b) 0 = c) m.i.c.(, ) = 6 6 6 = 6 = 6 00 d) m.i.c.(6, ) = = = 0 A P L I C A L A T E O R Í A Realiza los siguientes cocientes: a) 6 : b) 0 : 6 c) : 6 d) 9 : a) b) = c) m.i.c.(, ) = 6 6 : 6 6 = 6 :6 = 6 6 : 6 = 6 : 7 = 6 7 d) m.i.c.(, ) = 6 6 9 9 : 6 = 6 9 := 6 : = 6 9 : = 6 06 SOLUCIONARIO

Sustituye los puntos suspensivos por igual, =, o distinto,?: a) ( ) b) a) = b)? Racionaliza: 6 0 a) b) c) + 7 d) e) f) 6 6 a) = = 7 7 0 0 b) = = ( ) ( ) c) = = ( + )( ) ( ) = = d) = = 7 7 e) = = ( + ) ( + ) f) = = ( )( + ) = ( ) = 0. Logaritmos Halla el valor de en los siguientes casos: a) 0 = b) 0 = 000 000 c) = 00 d) = 0 e) 0 = P I E N S A C A L C U L A a) = 000 b) = 6 c) = ± 0 d) = 0 e) = 0 Halla el valor de en los siguientes casos: a) = b) = 7 c) = / 7 A P L I C A L A T E O R Í A Halla mentalmente los siguientes logaritmos: a) log 00 b) log 0 c) log 0,00 a) = 9 b) = c) = a) b) c) 6 Halla el valor de en los siguientes casos: a) = b) = c) = / a) = / b) = c) = Halla mentalmente los siguientes logaritmos: a) log b) log c) log / a) b) 0 c) TEMA. POTENCIAS, RADICALES LOGARITMOS 07

9 Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. a) log, b) log 67 c) log 0,06 a),7 b),6 c),0 0 Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. a) L b) L,7 c) L 0, a),096 b),6 c) 0,69 Utilizando las propiedades de los logaritmos y la calculadora, halla los siguientes logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. a) log 7 b) log c) log (0, 0 7 ) a) log = 7,6 b) (log )/7 = 0,9 c) 0 log 0, + log 7 = 0,06 Sustituye los puntos suspensivos por igual, =, o distinto,?: a) log (7 + ) log 7 + log b) log log 6 c) log log 6 log d) log log a)? b) = c) = d)? Sabiendo que log = 0,6990, halla: a) log b) log 0 0 log = log 0 log = 0,6990 = = 0,00 log ( ) = log + log = = 0,00 + 0,6990 =,00 0 SOLUCIONARIO

Ejercicios y problemas. Potencias de eponente natural y entero Calcula mentalmente los cinco primeros cubos perfectos. 0,,, 7, 6 Calcula mentalmente: a) b) ( ) c) d) ( ) a) b) c) d) 6 Calcula mentalmente: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) 7 7 7 7 a) b) c) d) 7 Calcula mentalmente: a) 0 b) c) d) a) 0 0 b) ( ) 0 c) d) ( ) b) (, + 7,,76) : 9 c) (, 6 6, : 7,),7 a) 9,69 b), c) 7,0 Calcula mentalmente: a) ( + 6) b) + 6 c) (0 ) d) 0 a) b) 6 c) d) 6 Epresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) b) : 7 c) ( ) d) : a) b) c) d) 6 0 Utilizando la calculadora, realiza las siguientes operaciones y redondea los resultados a dos decimales: a) 0, b) 7, c), 0 d),7 0 : 9, 0 a) 0,0 b) 6, c) 6,9 d),9 0 9 Escribe en forma de potencia de base : a) b) c) d) 7 a) b) c) 0 d) Utilizando la calculadora, realiza las siguientes operaciones y redondea los resultados a dos decimales: a) (7,,) 7,. Radicales Calcula mentalmente el valor de los siguientes radicales: a) 6 b) 6 c) d) 9 a) ± b) c) ± d) No tiene raíces reales. Utilizando la calculadora, halla las siguientes raíces. Redondea los resultados a dos decimales. a) 000 b) 00 c), d), a),6 b),6 c),06 d),0 TEMA. POTENCIAS, RADICALES LOGARITMOS 09

Ejercicios y problemas Escribe en forma de radical las siguientes potencias: a) / b) / c) a / d) 7 / a) b) c) a d) 7 6 Escribe en forma de potencia los siguientes radicales: a) a b) c) d) 6 a 7 a) a / b) / c) a / d) 7 /6 7 Simplifica los siguientes radicales: 6 9 a) 6 b) c) a 6 d) a) b) c) a d) Introduce dentro del radical el factor que está delante: a) b) a c) a d) a y y a) 0 b) a 6 c) 7 a d) 9 y 6 9 Etrae todos los factores posibles de los siguientes radicales: a) b) c) 6a 7 b 9 d) 9 y 0 a) b) c) a b ab d) y z 9. Operaciones con radicales 0 Realiza las siguientes sumas y restas de radicales: a) 7 + 7 + 00 b) 0 + + 00 a) + + 0 = = ( + + 0) = b) + 0 + 0 = = ( + 0 + 0) = 7 Utilizando la calculadora, halla la siguiente suma y resta de radicales. Redondea el resultado a dos decimales: 7 + 7 9 0,7 Realiza los siguientes productos: a) 6 b) 0 6 c) d) a) = b) 0 = c) m.i.c.(, ) = 6 6 6 = 6 = 6 0 d) m.i.c.(, 6) = = = Realiza los siguientes cocientes: a) 6 : b) 0 : c) 9 : d) : a) b) = c) m.i.c.(, ) = 6 6 9 : 6 = 6 9 : = 6 = 6 6 d) m.i.c.(, ) = : = : = /7 Sustituye los puntos suspensivos por igual, =, o distinto,?: 7 a) ( ) b) 7 a)? b) = 6 0 SOLUCIONARIO

Racionaliza: a) b) c) 7 a) = = 7 b) 7 = 7 7 7 6( 7+ ) 6( 7+ ) c) = = ( 7 )( 7+ ) 7 6( 7+ ) = = ( 7+ ) 6 Racionaliza: 0 a) b) c) 6 0 6 0 6 a) 6 = = 6 6 6 b) = = = 6 ( + ) ( + ) c) = = ( )( + ) 9 ( + ) 7( + ) = = 6. Logaritmos 7 Halla mentalmente el valor de en los siguientes casos: a) = b) = c) = / a) = b) = / c) = 7 7 Halla mentalmente el valor de en los siguientes casos: a) = b) = c) = a) = / b) = c) = 0 9 Halla mentalmente los siguientes logaritmos: a) log 000 b) log c) log 0 6 a) b) 0 c) 6 60 Halla mentalmente los siguientes logaritmos: a) log 9 b) log /7 c) log a) b) c) 0 6 6 6 6 Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales: a) log 0,7 b) log,9 c) log 0,000 a),60 b) 0,7 c),00 Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. a) L b) L, c) L 0,0 a),609 b),0 c), Utilizando las propiedades de los logaritmos y la calculadora, halla los siguientes logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. a) log 0 67 b) log c) log ( :, ) a) 0 log =,0 b) log 67 log =,609 c) log log, =,0 Sustituye los puntos suspensivos por igual, =, o distinto,?: a) log ( : 9) log log 9 b) log 7 log 7 c) log ( + ) log + log d) log ( + ) log 0 a) = b)? c)? d) = TEMA. POTENCIAS, RADICALES LOGARITMOS

Ejercicios y problemas 6 Sabiendo que log = 0,00, halla: a) log b) log 0 00 00 log = log = log 00 log = = 0,00 =,9 00 log = log 00 log = 0,00 = =,6990 Para ampliar 66 Escribe en forma de radical las siguientes potencias y halla mentalmente el resultado: a) / b) 9 / c) / d) / a) = b) = ± 9 c) ( ) = (± ) = ± d) ( ) = = Efectúa las siguientes operaciones: 67 6 a) ( + ) b) ( ) ( + )( ) = a) + 6 + = + 6 b) 6 + = 6 7 a) b) 7 : 7 a) m.i.c.(, ) = = 7 b) m.i.c.(, ) = 7 : 7 = 7 7 Escribe con un solo radical: a) a b) a) a b) Racionaliza: + 7 a) b) a) = = ( + ) + b) = = + 69 0 + 9 0 + = 6 70 a) b) 6 : a) 0 b) 6 7 a) b) 6 6 a) = = ( ) b) = = SOLUCIONARIO

7 a) b) a) = = 9 9 b) = = 9 log (7 ) = log 6 log a + log b log c a b log c 76 a) b) 7 7 a) 7 = = 7 7 7 7 7 b) 7 = = 7 7 7 7 77 a) b) + 7 ( ) 6 a) = = 6 ( + )( ) ( + ) 6+ b) = = 6+ ( )( + ) log log y + log z z log y log + Con calculadora log y log ( 6 y ) = log y Utilizando la calculadora, halla el valor de la siguiente epresión. Redondea el resultado a dos decimales. (,, 7,), Solución 60,7 + 7 a) b) ( + ) + a) 6+ = = + 6 ( )( + ) ( ) b) 6+ = = 6 ( + )( ) Reduce al logaritmo de una sola epresión: 79 log + log 6 log 6 log = log 0 log 7 + log + a) π 7, b) π 7, Solución a) 706,6 b) 767, 6 7 a), b) 7,, Solución a) 7, b) 9, a) π e b) e π Solución a),6 b), Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. TEMA. POTENCIAS, RADICALES LOGARITMOS

Ejercicios y problemas + + a) log π b) log c) log e 9 a) L π b) L c) L 0 Solución a) 0,97 b) 0,090 c) 0, Solución a),7 b) 0, c),06 Problemas 90 Calcula el volumen de un cubo de área m 6a = ò a = = 0,9 m 6 V = a V = 0,9 = 0,7 m 9 Una escalera está apoyada sobre la fachada de un edificio. Si la escalera mide m de longitud y el pie de la escalera está a m de la pared, a qué altura de la pared llega la escalera? h = = m 9 9 La cantidad de madera de un bosque crece según la función y =,0 t, donde t es el tiempo en años y es la cantidad de madera inicial.si en el año 000 el bosque tiene 000 km de madera, cuánta madera tendrá en el año 00? y =,0 00 000 =,7 km Halla el volumen de un cono en el que el radio de la base mide m, y la generatriz, m m h m H 9 m Una población crece según la función dada por P(t) = p,00 t, donde t es el tiempo en años. Si en el año 000 tenía un millón de habitantes, siendo p la población inicial, cuántos habitantes tendrá en el año 00? m H = = m V = π = 7,70 m P(0) = 0 6,00 0 = 97 habitantes. 9 Halla la arista de un cubo cuyo volumen es 7 m. Redondea el resultado a dos decimales. V = a a = 7 ò a = 7 =,9 m 96 La fórmula del capital final en el interés compuesto es C = c( + r) t, donde C es el capital final, c es el capital inicial, r es el tanto por uno y t es el tiempo en años. Calcula en cada caso la incógnita que falta: a) c = 0 000, r = 0,0, t = 6 años b) C = 000, r = 0,0, t = años c) C = 0 000, c = 000, t = 0 años d) C = 0 000, c = 000, r = 0,07 SOLUCIONARIO

a) C = 0 000,0 6 = 0 b) c,0 = 000 ò c =, c) 000 ( + r) 0 = 0 000 ( + r) 0 = 0 log ( + r) = log log log ( + r) = 0 log ( + r ) = 0,00 + r =,07 r = 0,07 = 7,% d) 000,07 t = 0 000,07 t = t log,07 = log t = 0, años. 97 Las medidas de las tarjetas de crédito están en proporción áurea, es decir, el cociente entre la medida del largo y la medida del ancho es + f =. Si miden mm de ancho, cuánto miden de largo? Para profundizar 00 Racionaliza: a+ b a) b) a b ( a+ b ) a + ab + b a) = = ( a b )( a+ b ) a b 0 a + b + ab = a b ( a b ) a ab + b b) = = ( a b )( a+ b ) a b a + b ab = a b Una moto se devalúa un % cada año. Si nos ha costado 000, qué valor tendrá al cabo de 0 años? 000 0, 0 = 9,7 a b a+ b + Longitud = = 6 mm 9 99 Una ameba es un ser unicelular que se reproduce por bipartición. Si partimos de un cultivo de 000 amebas que se reproducen cada hora, cuánto tiempo tiene que transcurrir para que tengamos 0 amebas? 000 t = 0 t =, 0 9 t log = 9 + log, t =, horas. Supongamos que, en cada uno de los 0 años siguientes, el IPC es de un %. Si un producto cuesta actualmente 00, cuánto costará al cabo de los 0 años? 00,0 0 =,90 0 Halla el área y el volumen de una esfera de radio R =, m Área = π R Área = π, =,9 m Volumen = π R Volumen = π, = 79,9 m 0 Se ha obtenido eperimentalmente que la presión atmosférica viene dada por la función p() = 0,9, donde es la altura sobre el nivel del mar. La altura se mide en kilómetros, y la presión, en atmósferas. a) Halla la presión en lo alto de una montaña de 00 m b) Halla la altura a la que hay que subir para que la presión sea de 0, atmósferas. a) P(,) = 0,9, = 0,69 atmósferas. TEMA. POTENCIAS, RADICALES LOGARITMOS

Ejercicios y problemas b) 0,9 = 0, log 0,9 = log 0, =, km = m 0 La masa de un cuerpo radioactivo viene dada por la función M = m(/) t, donde t es el número de períodos. Un período de semidesintegración es el tiempo necesario para que la masa se convierta en la mitad. Si tenemos 0 g de un cuerpo radioactivo que tiene un período de años, cuántos años tienen que transcurrir para que tengamos g de dicho cuerpo? 0(/) t = (/) t = /6 t log / = log /6 t =, Nº de años =, = 6, años. 6 SOLUCIONARIO

Aplica tus competencias 0 Una ciudad tiene 00 000 habitantes, y su población crece un,% cada año. Cuántos habitantes tendrá al cabo de 0 años? P = 00 000,0 0 = 7 0 habitantes. 06 Una población de algas en un lago cubren una superficie de m. Si se reproducen a razón de 0, m cada año, cuántos metros cuadrados cubrirán al cabo de 0 años? P =, 0 = 0 9, m 07 Tenemos una población inicial de 00 conejos en una gran llanura con comida abundante. Si se reproducen a razón de 0 conejos cada año, cuántos conejos habrá al cabo de años? P = 00 0 = 000 000 conejos. TEMA. POTENCIAS, RADICALES LOGARITMOS 7

Comprueba lo que sabes Define qué es un logaritmo decimal y pon un ejemplo. Los logaritmos decimales son los logaritmos en los que la base es 0. En este caso la base 0, que es el subíndice, no se escribe. log p = ï 0 = p Ejemplo log 000 = porque 0 = 000 6 a) = 6 = 6 6 6 6 b) = = ( + ) + c) = + = ( )( + ) + = = + Escribe en forma de potencia de base : a) 6 b) c) d) a) 6 b) 0 c) d) Etrae todos los factores posibles de los siguientes radicales: a) 9 b) c) d) Racionaliza: a) 6 b) c) a b 0 6 y z 0 a) 7 b) c) a b a b d) y z y + 6 7 Halla mentalmente el valor de en los siguientes casos: a) = b) = c) = / a) = 6 b) = c) = Sabiendo que log = 0,00, halla: a) log b) log 0 0 a) log = log = log 0 log = = 0,00 = 0,6990 b) log 0 = log ( 0) = log + log 0 = = 0,6990 + =,6990 Halla la diagonal de un cubo de forma eacta, es decir, da el resultado en forma de un radical, cuando el volumen mide m V = a a = ò a = d = a + a + a = a = a d = = 6 6 = 6 = 6 67 m SOLUCIONARIO

Una célula se reproduce por bipartición cada horas. Si se parte inicialmente de 00 células, cuánto tiempo tiene que transcurrir para que haya millón de células? 00 t = 000 000 t = 00 t log = log 00 log 00 t = =,9 log Nº de horas =,9 = 6, horas. TEMA. POTENCIAS, RADICALES LOGARITMOS 9

Linu/Windows Paso a paso 0 Calcula:, Resuelto en el libro del alumnado. 09 Calcula: ( 9),09 Resuelto en el libro del alumnado. 0 Calcula: 7 Resuelto en el libro del alumnado. Calcula: 0 Resuelto en el libro del alumnado. Racionaliza: Resuelto en el libro del alumnado. Racionaliza: Resuelto en el libro del alumnado. Calcula: log, Resuelto en el libro del alumnado. Calcula: L,6 6 7 + Resuelto en el libro del alumnado. Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: 6 Un coche cuesta 0 000 y se devalúa cada año un 7%. Cuántos años tardará en valer menos de 6 000. Resuelto en el libro del alumnado. 7 Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema. Practica Calcula: a) (,7 + ), b) (,6, 7,) :, a),6 b),90 9 Calcula: a),67 b) c) 9, d) 9, 000 a),9 b) 9,6 c),07 d),9 0 Calcula: a) 7 0 + b) 7 + 7 0 SOLUCIONARIO

Windows Derive a) b) 9 Racionaliza: 6 0 a) b) c) a) b) c) + Calcula: a) log, b) log 67 c) log 0,06 a),7 b),6 c), + Calcula: a) L b) L,7 c) L 0, Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: 6 7 Una pecera tiene forma cúbica y la arista mide 7 cm. Si está llena, cuántos litros de agua contiene? V = 7, =, dm =, litros. Supongamos que en cada uno de los 0 años siguientes el IPC es de un %. Si un producto cuesta hoy 00, cuánto costará al cabo de los 0 años? 00,0 0 =,9 Una ameba es un ser unicelular que se reproduce por bipartición. Si partimos de un cultivo de 000 amebas que se reproducen cada hora, cuánto tiempo tiene que transcurrir para que tengamos 0 amebas? 000 t = 0 t =,9 años. a),096 b),6 c) 0,69 Calcula: a) log 7 b) log c) log (0, 0 7 ) a) 7,6 b) 0,9 c) 0,06 TEMA. POTENCIAS, RADICALES LOGARITMOS

BLOQUE II Álgebra. Polinomios y fracciones algebraicas. Resolución de ecuaciones. Sistemas de ecuaciones 6. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

Polinomios y fracciones algebraicas. Binomio de Newton Desarrolla mentalmente: a) ( + ) b)( ) c) ( + )( ) P I E N S A C A L C U L A a) + + b) + c) Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( + ) A P L I C A L A T E O R Í A 6 y y y y + + y + y 6 6 6 6 + + + Halla el término séptimo en el desarrollo de: ( y) 0 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( ) + + 6 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( + y) + y + 0 y + 0 y + y + y Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( y) 6 Como se pide el término 7, r = 6 0 T 7 = T 6 + = ( ) 6 ( ) () y 6 = 60 y 6 6 6 Calcula el término en el que el grado de es en el desarrollo de ( ) + T r+ = ( ) r ( ) r = r ( r ) Luego r = ò r = El término que se pide es: T 6 = T + = ( ) = 79 r SOLUCIONARIO

. Teorema del resto y del factor Calcula mentalmente el valor del polinomio P() = + + 9 para los valores siguientes: a) = 0 b) = a) P(0) = 9 b) P() = P I E N S A C A L C U L A 7 Calcula P() : Q(), siendo: P() = 6 + + Q() = C() = + + + 0 R() = + Halla P() : Q() por Ruffini, siendo: P() = + 6 Q() = + C() = R() = 9 Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P() = + a) Para = b) Para = a) P() = b) P( ) = 6 0 Cuál de estos números: o es raíz del polinomio P() = 6 +? P() = 0 ò = es raíz de P() P( ) = 96 π 0 ò = no es raíz de P() Halla, sin hacer la división, el resto de dividir: P() = + entre Resto = P() = Comprueba mentalmente, y sin hacer la división, que el polinomio P() = + 7 + es divisible entre Resto = P() = 0 Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea ( + k 6 + ) : ( + ) Por el teorema del resto: P( ) = ò k + 9 = ò k = Halla el valor de k para que el polinomio P() = + k + sea divisible entre Por el teorema del factor: P() = 0 ò k = 0 ò k = A P L I C A L A T E O R Í A TEMA. POLINOMIOS FRACCIONES ALGEBRAICAS

. Factorización de polinomios Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) + b) + 6 + 9 c) + d) P I E N S A C A L C U L A a) ( + ) b) ( + ) c) ( ) d) ( + )( ) Raíces: Raíces: Raíces: Raíces: = 0, = = = =, = Factoriza mentalmente los siguientes polinomios: a) + b) 9 c) + + d) 6 + 9 a) ( + ) b) ( + )( ) c) ( + ) d) ( ) 6 7 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) b) + c) d) + 6 + 9 a) ( + )( ) Las raíces son: = 0, =, = b) ( ) Las raíces son: = 0, = = c) ( + )( ) Las raíces son: = = 0, =, = d) ( + ) Las raíces son: = 0, = = Factoriza los siguientes polinomios y calcula sus raíces: a) + 6 b) + 7 c) 9 + + d) + + a) ( )( + )( ) =, =, = b) ( ) ( ) = =, = c) ( + )( ) ( + ) =, = =, = d) ( + )( )( )( ) =, =, =, = Halla un polinomio que tenga las siguientes raíces: a) =, = b) =, = 0 c) =, =, = d) = 0, = =, = a) ( + )( ) = b) ( ) = c) ( + )( )( ) = + 6 d) ( ) ( + ) = + 9 A P L I C A L A T E O R Í A Halla el M.C.D. y el m.c.m. de los siguientes polinomios: a) P() = + Q() = b) P() = Q() = + c) P() = Q() = 6 SOLUCIONARIO

d) P() = + Q() = + a) P() = ( ) ( ) Q() = ( ) M.C.D.(P(), Q()) = m.c.m. (P(), Q()) = ( ) ( ) b) P() = ( )( + ) Q() = ( + ) ( ) M.C.D.(P(), Q()) = + m.c.m. (P(), Q()) = ( )( + ) ( ) c) P() = ( + )( ) Q() = ( + ) ( ) M.C.D.(P(), Q()) = ( + ) m.c.m. (P(), Q()) = ( + ) ( )( ) d) P() = ( ) ( + ) Q() = ( ) ( ) M.C.D.(P(), Q()) = ( ) m.c.m. (P(), Q()) = ( ) ( )( + ). Fracciones algebraicas Factoriza mentalmente el numerador y el denominador, y simplifica la siguiente fracción: + + + + ( + ) ( + ) = = ( + )( ) P I E N S A C A L C U L A 0 Descompón mentalmente en factores el numerador y el denominador, y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) b) + a) 0 + b) + A P L I C A L A T E O R Í A ( ) a) = ( ) ( ) b) = ( + )( ) + Calcula: a) + + b) Completa para que se verifique la igualdad: + a) = b) = 6 + + a) ( ) + b) TEMA. POLINOMIOS FRACCIONES ALGEBRAICAS 7

Efectúa: + a) + b) + + a) b) a) ( )( ) b) Opera y simplifica: a) ( ) + b) ( + ) : ( ) + Calcula: + a) : + b) + : 9 + ( + ) a) + b) ( + ) SOLUCIONARIO

Ejercicios y problemas. Binomio de Newton 6 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( y) y + 6y y 7 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( + ) 0 0 + + + + +. Teorema del resto y del factor Calcula P() : Q(), siendo: P() = + + 0 + 0 Q() = + C() = + R() = + Calcula P() : Q(), siendo: P() = 7 + 6 + + Q() = + C() = + 6 7 R() = 7 + Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( + y) 6 6 + y + 60 y + 60 y + 0 y + + 9y + 6y 6 9 Halla el término octavo en el desarrollo de: ( ) y Como se pide el término, r = 7 y 99 T = T 7 + = ( ) 7 ( ) ( ) 7 = y 7 7 6 0 Halla el coeficiente de en el desarrollo de: ( ) 7 7 7 T r+ = ( ) r ( ) ()7 r = ( ) r ( ) 7 r 7 r r r r Luego 7 r = ò r = El término que se pide es: 7 T = T + = ( ) ()6 = 0 6 Calcula P() : Q() por Ruffini, siendo: P() = 6 + 6 Q() = C() = 9 R() = Halla P() : Q() por Ruffini, siendo: P() = + Q() = + C() = + R() = Calcula el valor numérico del siguiente polinomio, para los valores que se indican: P() = + + a) Para = b) Para = a) P() = 9 b) P( ) = Halla si los valores y son raíces del siguiente polinomio: P() = + P() = 0 ò = es raíz de P() P() =? 0 ò = no es raíz de P() TEMA. POLINOMIOS FRACCIONES ALGEBRAICAS 9

Ejercicios y problemas 7 Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P() = + + entre + Por el teorema del resto: Resto = P( ) = Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea ( + k k + ) : ( ) Por el teorema del resto: P() = ò 6k + = ò k = a) ( ) = ( + )( ) Las raíces son: = 0, = /, = / b) ( + ) Las raíces son: = = 0, = = c) ( + )( ) Las raíces son: = = 0, =, = d) ( + ) Las raíces son: = 0, = = 9 Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio P() = + + es divisible entre + Por el teorema del factor: Resto = P( ) = 0 0 Halla el valor de k para que el polinomio P() = k + 6 sea divisible entre + Por el teorema del factor: P( ) = 0 ò k = 0 ò k = 6. Factorización de polinomios Factoriza mentalmente los siguientes polinomios: a) b) + 6 c) + d) + 0 + a) ( )( + ) b) ( ) c) ( ) = ( + ) ( ) d) ( + ) Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) 6 b) + + c) d) + + Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) b) c) 7 + 0 d) + a) ( )( + ) Las raíces son: =, = = b) ( + )( ) Las raíces son: = 0, =, = c) ( )( ) ( + ) Las raíces son: =, = =, = d) ( ) ( ) Las raíces son: = = 0, = =, = Halla un polinomio que tenga las siguientes raíces: a) =, = b) =, = c) =, =, = d) = 0, =, = = a) ( )( + ) = + 6 b) ( + )( ) = + 0 SOLUCIONARIO

c) ( + )( )( ) = + d) ( )( ) = + Halla el M.C.D. y el m.c.m. de los siguientes polinomios: a) P() = Q() = + b) P() = + Q() = + c) P() = + Q() = + d) P() = + Q() = + a) P() = ( ) Q() = ( + )( ) M.C.D.(P(), Q()) = ( ) m.c.m. (P(), Q()) = ( ) ( + ) b) P() = ( )( + ) Q() = ( )( ) M.C.D.(P(), Q()) = m.c.m. (P(), Q()) = ( )( )( + ) c) P() = ( )( ) Q() = ( ) M.C.D.(P(), Q()) = ( ) m.c.m. (P(), Q()) = ( ) ( ) d) P() = ( ) ( ) Q() = ( )( ) M.C.D.(P(), Q()) = ( )( ) m.c.m. (P(), Q()) = ( ) ( ). Fracciones algebraicas 6 Descompón mentalmente en factores el numerador y el denominador y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) ( + ) b) c) 9 d) ( + ) + a) = ( + )( ) 9 + 6 + + b) = ( ) ( + )( ) c) = + ( + ) d) = + + 7 Calcula: a) + b) + + + c) d) + ( ) a) b) ( + )( ) c) d) ( ) Efectúa: + a) b) a) ( + ) + b) 9 9 Calcula: a) : b) : a) ( + ) b) 0 Opera y simplifica: + a) ( + ) b) ( ) + ( ) : a) b) + + ( ) 9 9 TEMA. POLINOMIOS FRACCIONES ALGEBRAICAS

Ejercicios y problemas Para ampliar Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( ) + Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( ) Halla el término séptimo en el desarrollo de: ( + y) y 0 0 + + + + + y y y y y 7 + + 6 + 6 Como se pide el término 7, r = 6 T 7 = T 6 + = ( ) ( ) y 6 = y 6 6 6 El término que se pide es: T = T + = ( ) ( ) = 0 9 6 7 Halla un polinomio que al ser dividido entre: + se obtenga de cociente + y de resto + ( + )( + ) + + = = + 7 6 + Observando las gráficas siguientes, halla las raíces de los polinomios: P() = + Q() = + 6 y = + Halla el término decimosegundo en el desarrollo de: ( ) Como se pide el término, r = 6 T = T + = ( ) ( ) () ( ) = 7 Calcula el coeficiente del término que tiene grado 9 en el desarrollo de: ( ) T r+ = ( ) ( ) r r ( ) r = ( ) ( ) r r + r r r Luego + r = 9 ò r = y = + 6 Las raíces de P() son: =, = 0 Las raíces de Q() son: =, = Halla el valor de k para que el polinomio P() = + + k + sea divisible por + Por el teorema del factor: P( ) = 0 ò 0 k = 0 ò k = SOLUCIONARIO

9 Halla el valor de k para que el resto de la división del polinomio P() = + k entre sea Por el teorema del resto: Resto = P() = ò k + = ò k = 60 Di si son eactas las siguientes divisiones sin hacer la división: a) ( ) : ( + ) b) ( ) : ( + ) a) Resto = ( ) = 0 ò Es eacta. b) Resto = ( ) = 6 ò No es eacta. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces: 6 + ( )( )( + + ) Las raíces reales son: =, = 6 + ( + ) ( ) Las raíces son: = =, = = 6 + + 6 6 66 + 6 ( ) ( + )( ) Las raíces son: = =, =, = + ( + )( ) Las raíces son: =, = = = Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 67 6 ( + ) 69 + + + 6 + + + ( )( + )( + ) Las raíces reales son: =, = 6 6 + ( )( + )( ) Las raíces son: =, =, = 70 + + 7 + + 6 + + 0 + 0 + ( + ) TEMA. POLINOMIOS FRACCIONES ALGEBRAICAS

Ejercicios y problemas Efectúa las operaciones siguientes y simplifica los resultados: 7 7 7 76 + + + 0 + + + 7 + + + + ( ) ( : ) + + + + + 7 79 0 ( )( + ) : ( + ) ( + ) ( ) : + + + + + ( + ) ( : + ) + 9 6 ( + ) ( : ) + 9 + + 9 + 6 + + ( ) + + 77 + + + SOLUCIONARIO

Problemas Calcula los valores de m y n para que el polinomio: P() = + + m + n sea divisible por + y Por el teorema del factor: P( ) = 0 ò m + n + = 0 P() = 0 ò m + n + = 0 Resolviendo el sistema: m =, n = Calcula los valores de m y n para que el polinomio: P() = + m + + n sea divisible por + y Por el teorema del factor: P( ) = 0 ò m n = 0 P() = 0 ò 7m + n + 7 = 0 Resolviendo el sistema: m =, n = 0 Escribe un polinomio cuyas raíces sean los valores,, ( )( + )( ) = 6 + + 0 6 Escribe dos polinomios P() y Q() tales que: M.C.D.(P(), Q()) = P() = Q() = ( ) 7 Escribe dos polinomios P() y Q() tales que: m.c.m.(p(), Q()) = ( )( ) P() = ( ) Q() = 9 90 9 Escribe en forma de polinomio en una variable cada uno de los enunciados siguientes: a) El cubo de un número menos el cuadrado del número, más unidades. b) El área de un rectángulo cuya base mide unidades más que la altura c) El área de un triángulo cuya altura mide unidades menos que la base a) P() = + b) A() = ( + ) = + ( ) c) A() = = Dos números suman unidades. Escribe el polinomio que epresa el producto de dichos números en función del número menor P() = ( ) = Dados dos números enteros consecutivos, escribe el polinomio que epresa en función del número menor : a) la suma de los números. b) el producto de los números. a) S() = + + = + b) P() = ( + ) = + Dado el rombo siguiente, halla su área en función de A() = = + TEMA. POLINOMIOS FRACCIONES ALGEBRAICAS

Ejercicios y problemas 9 Escribe el polinomio que da el área de un triángulo equilátero en función del lado h 00 A() = Escribe el polinomio que epresa la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función de (00 ) A() = ( ) + 9 En una cartulina cuadrada de 60 cm de lado se recorta un cuadrado de lado en las esquinas, para construir una caja sin tapa. Escribe el volumen de la caja en función de 60 cm 60 cm Para profundizar Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 96 y 6y y V() = (60 ) = 0 + 600 9 Con una cartulina como la de la figura, se construye un cilindro sin tapas. Escribe: a) el área lateral del cilindro en función de b) el volumen del cilindro en función de 97 ( + y) 9 y y a a + a b b a b (a + ) a) A() = = b) V() = π ( ) = 9 π π Se divide un alambre de 00 m de longitud en dos trozos, y se forman el triángulo equilátero y el cuadrado siguientes. 99 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 00 + y + y + y + y y y 6 SOLUCIONARIO

( + y) 0 ( + y ) y 0 y + y y( y) + y y y y 0 0 + y y y y ( + y)( y) y + y y + y + y y y TEMA. POLINOMIOS FRACCIONES ALGEBRAICAS 7

Aplica tus competencias 0 Halla el polinomio que define un movimiento uniformemente acelerado en el que: a = m/s, v 0 = m/s y e 0 = m e(t) = t + t + e(t) = t + t + 06 Halla el monomio que define el movimiento de un cuerpo que se deja caer en el vacío en el que: a = 9, m/s, v 0 = 0 m/s y e 0 = 0 m e(t) = 9,t e(t) =,9t SOLUCIONARIO

Comprueba lo que sabes Enuncia el teorema del resto y pon un ejemplo. El resto que se obtiene al dividir el polinomio P() entre el binomio a es el valor numérico del polinomio para = a R = P(a) Ejemplo Halla el resto de la siguiente división: P() = + 7 entre + Resto = P( ) = ( ) ( ) + 7 = = 7 + + 7 = Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( ) 6 96 + 6 6 + Halla el coeficiente de en el desarrollo de: ( + ) T r + = ( ) ( ) r r r Luego 6 r + r = ò 6 r = ò r = El término que se pide es: T = T + = ( ) ( ) = 70 Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: P() = + + = ( + )( ) Raíces: = ; = Halla el M.C.D. y el m.c.m. de los polinomios siguientes: P() =, Q() = + P() = = ( ) = ( + )( ) Q() = + = ( + ) M.C.D.(P(), Q()) = ( + ) m.c.m.(p(), Q()) = ( + )( ) 6 7 Efectúa la operación siguiente y simplifica el resultado: ( ) 9 + + 9 Calcula el valor de k para que el polinomio P() = = + k + 6 sea divisible por ( + ) Por el teorema del factor: P( ) = 0 ( ) ( ) + ( )k + 6 = 0 k + 6 = 0 k = 0 k = 7 Dado el cilindro inscrito en el cono de la figura siguiente, halla el polinomio que epresa el volumen del cilindro en función del radio Se tiene: 0 0 h = ò h = ( ) El volumen es: V() = π ( ) = 0π π h 0 h TEMA. POLINOMIOS FRACCIONES ALGEBRAICAS 9

Linu/Windows Paso a paso 07 Desarrolla: ( + ) Resuelto en el libro del alumnado. 0 Divide P() = 6 + + 7 + entre Q() = + Resuelto en el libro del alumnado. 09 Halla el valor numérico del polinomio P() = + 9 para = Resuelto en el libro del alumnado. 0 Factoriza: + 7 + 6 Resuelto en el libro del alumnado. Calcula: + Resuelto en el libro del alumnado. Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: + Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea ( + k 0) : ( ) Resuelto en el libro del alumnado. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema. Practica Desarrolla el siguiente binomio: ( + y) + y + 0 y + 0 y + y + y 6 Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P() = + a) Para = b) Para = Calcula P() : Q(), siendo: P() = 6 + + Q() = C() = + + + 0 R() = + a) P() = b) P( ) = 6 7 Factoriza los siguientes polinomios: a) + 6 b) 9 + + 0 SOLUCIONARIO

Windows Derive a) ( )( + )( ) b) ( + )( ) ( + ) Halla las raíces de los siguientes polinomios: a) + 7 b) + + a) ( ) ( ) = =, = b) ( + )( )( )( ) =, =, =, = 9 Calcula: a) + b) + a) + + b) + 0 Calcula: a) + b) + + a) + b) + Calcula: + + : Calcula: + : Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea ( + k 6 + ) : ( + ) P( ) = k = Halla el valor de k para que el polinomio P() = + k + sea divisible entre P() = 0 k = 9 + TEMA. POLINOMIOS FRACCIONES ALGEBRAICAS

Resolución de ecuaciones. Ecuaciones de er y º grado Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) + = b) = 0 c) = d) ( ) = 0 P I E N S A C A L C U L A a) = b) = c) = ± 9 d) = 0, = Resuelve las siguientes ecuaciones: + = = + = / = + 9 9 = 6 7 + 7 = 0 = 0, = / = 6 = 0 A P L I C A L A T E O R Í A = + = / 6 ( ) = + = 7 = /, = 9 = = /, = / 9 = 0 = /, = SOLUCIONARIO

0 ( )( ) = = 6, = + + + = 0 =, = Determina, sin resolverlas, cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones: a) + = 0 b) + 7 = 0 c) + 6 + 9 = 0 d) + = 0 a) D = 6 ò tiene dos soluciones reales. b) D = 7 ò no tiene soluciones reales. c) D = 0 ò tiene una solución real. d) D = ò tiene dos soluciones reales. Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios de segundo grado: a) b) + c) d) a) ( + /)( ) b) ( ) c) ( + /)( ) d) ( /). Ecuaciones bicuadradas, racionales e irracionales Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) = b) = c) + = a) = b) = c) = P I E N S A C A L C U L A Resuelve las siguientes ecuaciones: 0 + 9 = 0 =, =, =, = 6 = 0 =, = 6 7 + 6 = 0 =, =, =, = 7 = 0 =, =, = = 0 A P L I C A L A T E O R Í A TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

+ = 0 =, =, =, = 9 6 = 0 = 0, = 0 6 6 7 = 0 =, = = /7, = 6 =, = 7 + + + = = 6 = /7, = + = =, = + + + = + = = 6, = = = = /, = 6 = + = 9 + 7 = 0 = 0 0 = = 6 = 0 No tiene solución. + + + = 7 + = 7 = SOLUCIONARIO

. Ecuaciones eponenciales y logarítmicas Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) = 9 b) = c) = d) = 9 P I E N S A C A L C U L A e) log = 0 f) log = g) log = h) log = a) = b) = c) = d) = 0 e) = f) = d) = 9 f) = /9 Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) = 7 b) 7 + = a) = b) = a) = b) = / a) = b) = a) log = 0 b) log = a) = b) = 6 6 a) log = b) L = a) = b) = e + = 0 = 9 + = 6 = 0, = 0 + + + = = 9 6 + + = 0 = = 6 A P L I C A L A T E O R Í A Resuelve las siguientes ecuaciones: 7 = =, = log 6 = = 0,6 log + log 6 = 0 TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

= / + = log log = = 0, log + log 6 log + log 0 = = / 7 log ( ) = + log = 0 log 6 = log = log + log = =. Resolución de problemas Calcula mentalmente: a) el lado de un cuadrado cuya área es de 6 m b) dos números enteros consecutivos cuya suma sea P I E N S A C A L C U L A a) = 6 m b) = 7, = 9 0 Halla dos números que sumen y cuyo producto sea Número ( ) = = Un número es El otro número es Se ha mezclado aceite de girasol de 0, el litro con aceite de oliva de, el litro. Si se han obtenido 00 litros de mezcla a,6 el litro, calcula cuántos litros se han utilizado de cada clase de aceite. Capacidad (l) Precio ( /l) Dinero ( ) Girasol 0, A P L I C A L A T E O R Í A Oliva 00, 0, +,(00 ) = 00,6 ò = 00 Aceite de girasol: 00 litros. Aceite de oliva: 00 litros. Oliva 00, 0, +,(00 ) = 00,6 6 SOLUCIONARIO

Dos motos salen juntas de una ciudad para recorrer 60 km a velocidad constante. La segunda moto lleva una velocidad de 0 km/h más que la primera, y tarda una hora menos en hacer el recorrido. Calcula las velocidades de las dos motos. Tiempo de la ª moto = Tiempo de la ª moto = 60 60 + 0 = ò =, = 7 Velocidad primera moto = 60/ = 70 km/h Velocidad segunda moto = 0 km/h La solución negativa no tiene sentido. Halla las dimensiones de un rectángulo en el que la base es cm mayor que la altura y cuya área sea de cm + ( + ) = =, = 6 Las dimensiones son cm y 6 cm La solución negativa no tiene sentido. Dos grifos,abiertos a la vez,llenan un depósito en 6 h. El segundo grifo tarda en llenar el depósito h más que el primero, estando éste cerrado. Calcula el tiempo que tardan en llenar el depósito por separado. Tiempo del primer grifo = Tiempo del segundo grifo = + + = + 6 = 0, = El primer grifo tarda 0 h El segundo grifo tarda h La solución negativa no tiene sentido. En una tienda se compraron unos adornos de porcelana por 69. Se rompieron y los que quedaron se han vendido a más de lo que costaron. Si se ha obtenido un beneficio de, cuántos adornos se compraron? N de adornos = 69 ( )( ) + = 69 + = 7, = / Se han comprado 7 adornos. La solución negativa no tiene sentido. TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 7

Ejercicios y problemas. Ecuaciones de er y º grado Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: = 0 = /, = / 6 6 + = = /, = ( ) + ( ) = 6 ( )( + ) = 0 =, = 7 ( ) + = 0 = 0, = / 6 = 0 =, = 6 = 66 + = + ( + )( ) = + 7 =, = + 0 = 0, = /6 67 + + + = Resuelve las siguientes ecuaciones: + 9 = 0 = 60 + + = 6 = / = 6 = /, = 69 ( )( ) + = + = ( ) + = + 6 6 6 ( ) = = 6, = 6 = = + 6 7 0 70 = 7 + ( ) = + ( + )( ) = ( + ) 7 = SOLUCIONARIO

7 7 + =, = + = 0 ( )( ) + ( ) = 9 = /7, = 0 0 + = 0 =, =, =, = = = 7/, = 7 ( + ) ( )( ) = 7( ) + = 6 = /, = = 0 = 0. Ecuaciones bicuadradas, racionales e irracionales Resuelve las siguientes ecuaciones: 7 6 9 + = 0 =, = 76 + = 7 =, = 77 9 = 0 =, = =, = = 6 9 + = = + = + = /, = / + = + 0 6 9 7 =, = = = + 79 = + 6 + 7 + + = = = + = 9/, = ( ) TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 9

Ejercicios y problemas 9 9 = 0 =, = 90 + 7 + = = 9 = /, = + = 9 99 = 00 + + = = 9 = 6/7, = / + + = + + = + 9 9 + =, = + = 6 + 7 = 0 =, = 0 + 6 = 0 =, =, =, = 0 =, = /9 = 9 + = = 0 6 = + = 0, = 9 6 + = 0 = /, = /, = /, = / 96 + + = 7 = 97 + 6 + = =, = /. Ecuaciones eponenciales y logarítmicas Resuelve las siguientes ecuaciones: 0 + = + =, = 0 = 6 =, = 0 SOLUCIONARIO

06 6 + = 0 =, = + = + = 07 + + = + = 0 + 9 = + + =, = 09 + = = 0, = 0 6 = 96 = 6 + + = 6 = 7 9 = + 6 = + + + + = 7 = 9 = ( ) log = = 0,6 log 6 + = = 0, = + = 6 = 0, = 0 + = =, = 0 e = + + L = =,7 L 9 = 9 = + + = = = 9 = /, = log ( + + 0) = + log ( ) =, = TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Ejercicios y problemas log log = log + log = log + log ( + ) = = 6 log log ( + ) = = 0 7 L + L ( + ) = L = + log = log = 00 log ( ) = + log log ( ) = 7 log = log (7 ) =, = 6 log (6 ) log (7 ) = 0 =, = log + log = log ( + ) + log = 7 log + = / + log = + log 9 log + log = 6 = 0 ( + ) log + log 0 = log =, = 0 L L = L = 0 log = + log = 000 log log = log ( + ) = / 0. Resolución de problemas 9 Halla dos números tales que su suma sea 0 y la diferencia de sus cuadrados sea 60 Número = (0 ) = 60 = Los números son y 0 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide cm. Si el cateto mayor mide 7 cm más que el cateto menor, cuál es la longitud de los catetos? SOLUCIONARIO

cm Dos obreros, trabajando juntos, tardan días en realizar una obra. Se sabe que el segundo obrero, trabajando solo, tardaría 0 días más que el primero. Calcula el tiempo que emplean en realizar dicha obra por separado. + ( + 7) = =, = Los catetos miden cm y cm La solución negativa no es válida. Se mezcla avena de 0, /kg y centeno de 0, /kg para hacer pienso para vacas. Si se hacen 000 kg de pienso a 0, /kg, cuántos kilos de avena y de centeno se han utilizado? Peso (kg) Precio ( /kg) Dinero ( ) + 7 Avena 0, 0, + 0,( 000 ) = 000 0, = 000 Avena: 000 kg Centeno: 000 kg Un coche y una moto salen a la vez de dos ciudades, A y B, el uno hacia el otro por la misma carretera. La velocidad del coche es de 00 km/h y la velocidad de la moto es de 70 km/h. Si la distancia entre las ciudades es de 0 km, cuánto tiempo tardarán en encontrarse? Tiempo = 00 + 70 = 0 = Tardan h en encontrarse. Centeno 000 0, Mezcla 000 0, 0, + 0,( 000 ) = 000 0, Tiempo que tarda el primer obrero: Tiempo que tarda el segundo obrero: + 0 + = + 0 = 0, = 6 El primer obrero tarda 0 días y el segundo 0 días. La solución negativa no tiene sentido. Varios amigos han preparado un viaje de vacaciones que cuesta 000. Un amigo tiene problemas y los demás deciden pagar 00 más cada uno. Calcula el número de amigos que son. Nº de amigos = 000 000 + 00 = =, = El número de amigos son La solución negativa no tiene sentido. La edad de un padre es seis veces la del hijo. Si dentro de dos años la edad del padre será cinco veces la del hijo, calcula la edad de cada uno. Edad del hijo Edad del padre Hoy 6 6 + = ( + ) ò = La edad del hijo: años. La edad del padre: años. Dentro de años + 6 + TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Ejercicios y problemas Para ampliar 6 7 9 + = 0 + + = + = 6 9 9 + = /, = / = =, = + = =, = 0 log log 0 = = 0 + = =, = + = + = = /, = 6 = 0 + + =, = 0 7 = 0 = =, = 9 + + + + + + = + = = /, = + + + = + 6 60 = + =, = = + + = = 7 + = 7 6 + + + = =, = 6 = SOLUCIONARIO

67 + + + + + + + + = 0 = = 6 + + + = + 6 + + + + = + + = 7/9 log 7 log + log 9 = =,9 log log 6 = + =, = 69 log 7 + + log + = + log = 6 = + 70 log log = = 9/7 = 0 66 + = 7 log (0 ) log ( ) = = = Problemas 7 Halla las raíces de una ecuación de segundo grado, sabiendo que su suma es 0 y su producto es 7 Halla un número tal que al elevarlo al cuadrado sea 0 unidades mayor. Suma de las raíces: S = 0 Producto de las raíces: P = 0 + = 0 = 7, = Número = + 0 = =, = El número es o TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Ejercicios y problemas 7 Halla un número que eceda a su raíz cuadrada en 6 unidades. Número = = + 6 = 69 El número es 69 7 Si se aumenta cm la longitud de cada una de las aristas de un cubo, el volumen del mismo aumenta cm. Calcula la longitud de la arista. 7 Halla dos números enteros sabiendo que el mayor ecede en 6 unidades al menor, y la suma de sus inversos es /9 Número menor = Número mayor = + 6 + = + 6 9 = 9/, = Los números son y 9 La solución 9/ no se acepta porque no es entera. Arista = ( + ) = + =, = 7 La arista mide cm La solución negativa no tiene sentido. 79 Una finca rectangular tiene una superficie de 000 m. Si un lado de la finca tiene 0 m más que el otro, calcula las dimensiones de la finca. 76 Halla dos números pares consecutivos cuyo producto eceda a su suma en unidades. Primer número = Segundo número = + ( + ) = + + + = 6, = 6 Los números son, y, 0 + 0 ( + 0) = 000 = 0, = 0 Las dimensiones son 0 m por 0 m La solución negativa no tiene sentido. 77 El dividendo de una división es 6 y el cociente y el resto son iguales. Si el divisor es el doble que el cociente, cuál es el divisor? 0 El perímetro de un triángulo rectángulo mide cm, y su hipotenusa mide 0 cm. Calcula la longitud de los catetos. Cociente = Resto = Divisor = + = 6 = 7/, = El divisor es 6 0 cm 0 6 SOLUCIONARIO

+ ( 0 ) = 0 =, = 6 Los catetos miden cm y 6 cm La diagonal de un rectángulo mide cm. Calcula las dimensiones del rectángulo, sabiendo que la altura es / de la base. m = 96 = 6, = 6 Las diagonales miden cm y 6 cm + ( ) = =, = Las dimensiones son cm y 0 cm La solución negativa no tiene sentido. Si se aumenta en tres centímetros el lado de un cuadrado, el área aumenta en cm. Calcula la longitud del lado del cuadrado inicial. + Se tiene un cuadrado cuyo lado es cm mayor que el lado de otro cuadrado. Si entre los dos cuadrados se tienen cm, calcula el área de cada uno de ellos. ( + ) = + = La longitud del cuadrado inicial es cm Se tiene un rectángulo de 0 cm de perímetro. Si se reduce en cm la base y en cm la altura, el área disminuye en cm. Calcula las dimensiones del rectángulo. + ( + ) = =, = El área es de 6 cm y de 69 cm + Calcula la longitud de las diagonales de un rombo de 96 cm de área, sabiendo que la diagonal menor es / de la diagonal mayor. 0 0 (0 ) = ( )(0 ) + = 6 Las dimensiones del rectángulo son 6 cm y cm TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 7

Ejercicios y problemas 6 Se funde plata de ley 0,7 con plata de ley 0,9 para conseguir una aleación de 00 g de una ley 0,7. Calcula la cantidad de cada tipo de plata que se ha usado. Tiempo que emplea Alba = Tiempo que emplea Pablo = = ( ) = 6/ =, Se emplea horas y minutos, luego Pablo alcanza a Alba a las h min Peso (g) Ley Plata 0,7 Plata 00 0,9 0,7 + 0,9(00 ) = 00 0,7 = 0 Plata de ley 0,7 pesa 0 gramos. Plata de ley 0,9 pesa 0 gramos. Aleación 00 0,7 0,7 + 0,9(00 ) = 00 0,7 9 Dos autobuses de línea salen a la misma hora de dos ciudades,a y B, separadas por 00 km. Los dos autobuses salen por la misma carretera el uno hacia el otro. Si el autobús que sale de A lleva una velocidad de 90 km/h y el que sale de B lleva una velocidad de 0 km/h, cuánto tiempo tardarán en encontrarse? Tiempo que tardan en encontrarse = 90 + 0 = 00 = Tardan horas en encontrarse. 7 Se mezcla leche del tipo A, con un % de grasa, con otra leche del tipo B, con un % de materia grasa. Si se obtienen 0 litros de mezcla con un 6% de materia grasa, cuántos litros de cada tipo de leche se han utilizado? Capacidad (l) Grasa Leche A 0,0 0,0 + 0,0(0 ) = 0 0,06 = 0 Leche A: 0 litros. Leche B: 0 litros. Leche B 0 0,0 Mezcla 0 0,06 0,0 + 0,0(0 ) = 0 0,06 A las nueve de la mañana, Alba sale en bicicleta de una población A, a una velocidad de km/h. Dos horas después, sale en su búsqueda Pablo con una motocicleta a km/h. A qué hora alcanzará Pablo a AIba? 90 9 Un grifo B tarda en llenar un depósito h más que otro grifo A. Si a la vez llenan el depósito en h 0 min, cuánto tardarán en llenar el depósito por separado? Tiempo que tarda en llenar el depósito el grifo A = Tiempo que tarda en llenar el depósito el grifo B = + = ò + = + + =, = El grifo A tarda horas, y el B, 6 horas. La solución negativa no tiene sentido. Dos desagües abiertos a la vez vacían un depósito en h. Si se abre solo uno de ellos, tardaría en vaciar el depósito 6 h menos que el otro. Calcula el tiempo que tardan en vaciar el depósito los dos desagües por separado. Tiempo que tarda en vaciar el depósito el primer desagüe = SOLUCIONARIO

Tiempo que tarda en vaciar el depósito el segundo desagüe = 6 + = 6 = 0, = 6 Tiempo que tarda en vaciar el depósito el primer desagüe = 0 h Tiempo que tarda en vaciar el depósito el segundo desagüe = h La solución = 6 no tiene sentido. 9 Se han comprado por 7 unas zapatillas de deporte y un balón que costaban 0. Si en las zapatillas han rebajado el 0%, y en el balón, el 0%, cuál era el precio inicial de cada producto? Precio de las zapatillas = Precio del balón = 0 0, + 0,7(0 ) = 7 = 0 El precio de las zapatillas es 0, y el del balón, 0 9 Se han pagado 0 por un lector de DVD y una tarjeta de red que ahora se deben cambiar. Si en la venta se pierde el 0% en el lector de DVD, y el 60% en la tarjeta, y se han obtenido, cuál era el precio inicial de los dos artículos? Son estudiantes. La solución negativa no tiene sentido. 9 96 Pablo tiene años, y su madre, 0. Cuántos años deben transcurrir para que la edad de la madre sea el doble que la de Pablo? Pablo Madre 0 + = ( + ) = 0 Dentro de 0 años. Un padre tiene el quíntuplo de la edad de su hijo. Si el padre tuviera 0 años menos y el hijo años más, la edad del padre sería el doble que la del hijo. Calcula la edad actual de cada uno. Edad del hijo Edad del padre Hoy 0 Hoy ( + ) = 0 = El hijo tiene años, y su padre, 60 Dentro de años + 0 + + 0 Precio del DVD = Precio de la tarjeta = 0 0,7 + 0,(0 ) = = 60 El precio del DVD es 60 y el de la tarjeta 90 9 Un grupo de estudiantes alquila un piso por 00 al mes. Si aumentase el grupo en uno más, se ahorrarían cada uno. Cuántos estudiantes son? Número de estudiantes = 00 00 = + + =, = 97 La edad de una madre y un hijo suman 60 años, y dentro de dos años la edad de la madre será el triple de la del hijo. Calcula la edad actual de cada uno. Edad del hijo Edad de la madre Hoy 60 ( + ) = 60 + = El hijo tiene años, y su madre, 6 Dentro de años + 60 + 9 Se tiene un cultivo con células que se reproducen por bipartición cada hora. Si se tienen inicialmente células, cuántas horas han de transcurrir para que en el cultivo haya 0 células? TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 9

Ejercicios y problemas Tiempo = = 0 = 0 Deben transcurrir 0 horas. 99 Una población de peces se reproduce según la fórmula N = 0 t, donde N es el número de peces y t es el número de años. Cuántos años deben transcurrir para que haya más de 00 000 peces? Tiempo = t 0 t = 00 000 t =,9 años. Para que haya más de 00 000 deberán pasar,9 años. Para profundizar 00 Resuelve la siguiente ecuación: + + = + =, = (no es válida) 0 Resuelve la siguiente ecuación: = 6 (Haz el cambio de variable z = ) Primer número = Segundo número = + ( + ) = 6 =, = Los números son y, o bien y 0 0 En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 0 cm, y su altura correspondiente mide cm. Cuánto miden los segmentos que el pie de dicha altura determina sobre la hipotenusa? (0 ) = =, = Los segmentos miden cm y cm La diagonal de un rectángulo mide 0 cm. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden cm y cm 0 cm =, = 7 0 0 Halla un número tal que al sumarle 6 unidades sea un cuadrado perfecto, y al restarle 6 unidades su resultado sea la raíz del cuadrado perfecto anterior. Número = 6 = + 6 = 0 Halla dos números enteros consecutivos tales que la diferencia de sus cubos sea 6 + (/) = 0 0 cm =, = Las dimensiones son cm y 6 cm, respectivamente. 06 Se alean dos lingotes de oro. Uno de ellos con una ley 0,7, y otro con una ley 0,6. Si se han conseguido 00 gramos de aleación con una ley 0,69, cuántos gramos pesaba cada lingote de oro? 60 SOLUCIONARIO

07 0 Peso (g) Ley Oro 0,7 Oro 00 0,6 0,7 + (00 )0,6 = 00 0,69 = 00 Oro de ley 0,7 pesa 00 gramos. Oro de ley 0,6 pesa 00 gramos. Aleación 00 0,69 0,7 + (00 )0,6 = 00 0,69 Una moto y un coche salen a la misma hora de la ciudad A en dirección a la ciudad B, que dista 0 km. La velocidad de la moto es / de la velocidad del coche, y llega minutos más tarde que éste. Calcula las velocidades de los dos vehículos. Tiempo que tarda el coche = Tiempo que tarda la moto = + 0, 0 0 = + 0, = / = 0, h = min El coche lleva una velocidad de 00 km/h, y la moto, de 0 km/h Un alumno ha obtenido una nota final de 6, puntos en matemáticas. Los eámenes valen el 0% de la nota, y los trabajos, el 0%. Sabiendo que entre eámenes y trabajos suma puntos, qué nota sacó en cada apartado? Nota de eámenes = Nota de trabajos = 0, + 0,( ) = 6, = 6 En los eámenes sacó un 6 y en los trabajos un 09 0 Un padre tiene años, y sus hijos, 0 y años. Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea igual a la suma de las edades de los hijos? Edad del padre Edad del er hijo Hoy 0 Dentro de años + 0 + Edad del º hijo + + = 0 + + + = 7 Deben transcurrir 7 años. Una sustancia radiactiva tiene un período de semidesintegración de 0 años, es decir, que cada 0 años la masa de la sustancia se reduce a la mitad. Si se tienen 00 g de dicha sustancia, en cuánto tiempo se trasformarán en g? Período = 00(/) = = Tienen que transcurrir 0 = 0 años. Se ha comprado un ordenador por 00,y se sabe que su valor se deprecia un 0% cada año. Cuánto tiempo debe transcurrir para que el ordenador valga menos de 00? Tiempo = 00 0, = 00 =,9 Tienen que transcurrir,9 años. TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 6

Aplica tus competencias Unos solares cuestan 60 000 y hay una inflación constante del 0%. Cuántos años deberán transcurrir para que el terreno valga 7 6? N de años = 60 000, = 7 6 = Transcurrirán años. 6 SOLUCIONARIO

Comprueba lo que sabes Descomposición factorial del trinomio de grado. Pon un ejemplo. La descomposición factorial del trinomio de grado es: a + b + c = a( )( ) donde y son raíces de la ecuación a + b + c = 0 Ejemplo Halla la descomposición factorial de En primer lugar, se hallan las raíces de la ecuación = 0 ± + 60 ± = = = = = La descomposición factorial es: = ( )( + ) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + = b) 0 + 9 = 0 a) = b) Haciendo z = z 0z + 9 = 0 ò z =, z = 9 Si z = ò = ò =, = Si z = 9 ò = 9 ò =, = Las soluciones son: =, =, =, = Resuelve la siguiente ecuación: + + = + + = + = + = + 6 9 + = 0 = 7, = Comprobación: + 7 + = + = 7 Si = 7 ò ò7 = 7 = 7 + + = + = 6 Si = ò ò6? = La solución es = 7 Resuelve la siguiente ecuación: 9 6 7 = 0 6 7 = 0 Haciendo z = z 6z 7 = 0 z = 9, z = Si z = 9 ò = 9 ò = Si z = ò? ( no puede ser negativo) La solución es: = Resuelve la siguiente ecuación: + = + + m.c.m.( +, +, ) = ( + )( + ) ( + ) + ( ) ( + ) = = ( + )( + ) + 6 = 0 9 + + = 0 = /, = 6 Resuelve la siguiente ecuación: log ( ) = log log ( ) log = log 0 log = log 0 = 0 0 0 = ò = 0 TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 6

Comprueba lo que sabes 7 María tiene años, y su madre, 0 años. Cuántos años deben transcurrir para que la edad de la madre sea el triple que la de María? Edad de María Edad de la madre Hoy 0 ( + ) = 0 + = Tienen que transcurrir años. Dentro de años + 0 + Se tiene un cuadrado cuyo lado es cm mayor que el lado de otro cuadrado. Si entre los dos cuadrados tienen 9 cm de área, cuál es el área de cada uno de ellos? + + ( + ) = 9 + + 6 + 9 = 9 + 6 0 = 0 = 7, = 0 Las áreas son 9 cm y 00 cm 6 SOLUCIONARIO

Linu/Windows Windows Derive Paso a paso Resuelve la siguiente ecuación: + = 0 Haz la interpretación gráfica para comprobarlo. Resuelto en el libro del alumnado. Resuelve la siguiente ecuación: + = + Resuelto en el libro del alumnado. Resuelve la siguiente ecuación: 9 7 = 0 Resuelto en el libro del alumnado. 6 Resuelve la siguiente ecuación: log ( + ) log = Resuelto en el libro del alumnado. Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: 7 Halla dos números enteros consecutivos tales que su suma dividida entre su producto sea /6 Resuelto en el libro del alumnado. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema. TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 6

Linu/Windows Practica 9 Resuelve la siguiente ecuación: + + 7 = + 6 = / 0 Resuelve la siguiente ecuación: 7 + 6 = 0 Haz la interpretación gráfica para comprobarlo. =, =, =, = Resuelve la siguiente ecuación: 6 6 7 = 0 Haz la interpretación gráfica para comprobarlo. =, = Resuelve la ecuación: + = + =, = Resuelve la ecuación: + = = 7 Resuelve la ecuación: + + + = 7 = Resuelve la ecuación: + + = 7 = 6 7 Resuelve la ecuación: = 0 = 6,0 Resuelve la ecuación: log ( ) = log = 0 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: Halla un número que eceda a su raíz cuadrada en 6 unidades. Número = = + 6 = 69 El número es 69 9 En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide cm más que el otro, y la hipotenusa mide cm más que el cateto mayor. Calcula la longitud de los tres lados. Longitud del cateto menor: Longitud del cateto mayor: + Longitud de la hipotenusa: + + = + 6 + ( + ) = ( + 6) = 9, = Si la longitud del cateto menor es 9 cm, la del cateto mayor es 9 + = cm y la de la hipotenusa es + = cm La solución = no es válida porque no tiene sentido. 66 SOLUCIONARIO

Windows Derive 0 El perímetro de un triángulo rectángulo mide cm, y su hipotenusa mide 0 cm. Calcula la longitud de los catetos. 0 cm 0 + ( 0 ) = 0 =, = 6 Los catetos miden cm y 6 cm Se han pagado 0 por un lector de DVD y una tarjeta de red que ahora se deben cambiar. Si en la venta se pierde el 0% en el lector de DVD, y el 60% en la tarjeta, y se han obtenido, cuál era el precio inicial de los dos artículos? Precio del DVD = Precio de la tarjeta = 0 0,7 + 0,(0 ) = = 60 El precio del DVD es 60, y el de la tarjeta, 90 Una población de peces se reproduce según la fórmula N = 0 t, donde N es el número de peces y t es el número de años. Cuántos años deben transcurrir para que haya más de 00 000 peces? Tiempo = t 0 t = 00 000 t =,67 Para que haya más de 00 000 deberán pasar de,9 años. TEMA. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 67

Sistemas de ecuaciones. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o las soluciones. a) Solo tiene una solución b) La solución es =, y = P I E N S A C A L C U L A + y = y = Resuelve gráficamente el siguiente sistema lineal y clasifícalo según el número de soluciones: + y = y = } Primera ecuación: + y = y = y 0 ò A(0, ) ò B(, ) Segunda ecuación: y = = y + y 0 ò C(, 0) ò D(, ) Solución =, y = Como tiene una solución, el sistema es compatible determinado + y = y = A P L I C A L A T E O R Í A P(, ) Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal y resuélvelo gráficamente para comprobarlo: y = + y = } 6 SOLUCIONARIO

Los coeficientes de las variables son proporcionales, y no lo son con los términos independientes; por tanto, el sistema es incompatible. Las rectas son paralelas. =? Representación gráfica: Primera ecuación: y = y = y 0 / 7/ ò A(0, /) ò B(, 7/) Segunda ecuación: + y = y = + y 0 ò C(0, ) ò D(, ) + y = y = Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal y resuélvelo gráficamente para comprobarlo: y = + y = } Los coeficientes de las variables son proporcionales, y lo son con los términos independientes; por tanto, el sistema es compatible indeterminado. Las dos rectas son la misma. Multiplicando la ª ecuación por se obtiene la ª ecuación. = = Representación gráfica: Solo representaremos la ª recta, ya que ambas rectas son la misma. Primera ecuación: y = y = y 0 ò A(0, ) ò B(, ) Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal y resuélvelo gráficamente para comprobarlo: + y = 6 y = } Los coeficientes de las variables no son proporcionales, por tanto, el sistema es compatible determinado. Las rectas son secantes.? Representación gráfica: Primera ecuación: + y = 6 y = y 0 0 ò A(0, ) ò B(, 0) Segunda ecuación: y = y = y 0 ò C(0, ) ò D(, ) y = + y = + y = 6 y = P(, 0) TEMA. SISTEMAS DE ECUACIONES 69

. Resolución algebraica de sistemas lineales + y = Halla mentalmente, sumando y restando, la solución del sistema y = } P I E N S A C A L C U L A Sumando se obtiene: = 6 ò = Restando se obtiene: y = ò y = Resuelve por el método más adecuado el siguiente sistema y razona por qué eliges ese método: + y = 9 + y = 6 } Se resuelve por sustitución despejando la incógnita y de la ª ecuación y sustituyendo en la ª ecuación. Se obtiene: =, y = 6 Resuelve por el método más adecuado el siguiente sistema y razona por qué eliges ese método: + y = y= 9} Se resuelve por reducción; sumando las dos ecuaciones se elimina la incógnita y Se obtiene: =, y = 7 Primero se eliminan los denominadores. Se obtiene: =, y = Resuelve el siguiente sistema: + y = 6 6 y = 0 0 Resuelve el siguiente sistema: + y = 7 } y = 6 Primero se eliminan los denominadores. Se obtiene: =,y = A P L I C A L A T E O R Í A. Sistemas de ecuaciones no lineales Observando el dibujo de la parte derecha, halla mentalmente la solución del sistema formado por las ecuaciones de las dos circunferencias. P I E N S A C A L C U L A Los puntos de corte son: A(, ) y B(, ). Por tanto, las soluciones son: =, y = =, y = + y 6y + = 0 + y 6 y + = 0} 70 SOLUCIONARIO

9 Resuelve el siguiente sistema e interpreta la solución gráficamente: y = + y = + } A P L I C A L A T E O R Í A Resuelve el siguiente sistema e interpreta la solución gráficamente: y = 6 y = 0 } Se resuelve por igualación. Se obtienen las soluciones: =, y = =, y = Interpretación gráfica: y = + A(, ) Se resuelve por sustitución, se despeja y de la ª ecuación y se sustituye en la ª ecuación. Se obtienen las soluciones: =, y = =, y = Interpretación gráfica: Son una hipérbola y una recta. y = 6 A(, ) B(, ) y = + Son una parábola y una recta. La parábola y la recta son secantes, se cortan en dos puntos: A(, ) y B(, ) B(, ) + y = 0 La hipérbola y la recta son secantes. Se cortan en dos puntos: A(, ) y B(, ) 0 Resuelve el siguiente sistema formado por dos circunferencias e interpreta gráficamente el resultado: + y y = 0 + y + y = } Se restan las dos ecuaciones y se obtiene una ecuación de er grado. Se despeja en esta ecuación una incógnita y se sustituye en la ecuación de una de las circunferencias. Se obtienen las soluciones: = 6, y = =, y = La interpretación gráfica es que las dos circunferencias son secantes. Se cortan en dos puntos:a(6, ) y B(, ) Resuelve el siguiente sistema formado por una hipérbola y una circunferencia e interpreta la solución gráficamente: y = + y = 7 } Se resuelve por sustitución, se despeja de la ª ecuación la incógnita y, y se sustituye en la ª ecuación. Se obtienen las soluciones: =, y = =, y = =, y = =, y = La interpretación gráfica es que la hipérbola y la circunferencia son secantes. Se cortan en cuatro puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) TEMA. SISTEMAS DE ECUACIONES 7

. Sistemas eponenciales y logarítmicos Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) = b) = c) = / d) log = e) log = 0 f) log = a) = b) = 0 c) = d) = 0 e) = f) = 0, P I E N S A C A L C U L A Resuelve el siguiente sistema eponencial: + y = 7 y = } Se hace el cambio de variables: = u, y = v Se obtiene el sistema lineal: u + v = 7 ò u =,v = u v = } Deshaciendo el cambio: = ò = y = ò y = Sumando las dos ecuaciones se obtiene: log = log + log log = log 6 = 6 ò = ± 6 La solución negativa no sirve. Restando las dos ecuaciones se obtiene: log y = log log log y = log y = ò y = ± La solución negativa no sirve. = 6, y = A P L I C A L A T E O R Í A Halla dos números sabiendo que suman y que su producto es + y = y = } Se resuelve el sistema por sustitución, despejando la incógnita y de la ª ecuación. La soluciones del sistema son: = 7, y = =, y = 7 Por tanto, los números son y 7 Resuelve el siguiente sistema logarítmico: log + log y = log log log y = log } 6 Halla los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide 0 m y que los catetos son proporcionales a y 0 y 7 SOLUCIONARIO

Se aplica el teorema de Pitágoras. + y = 0 } = y Se resuelve el sistema por sustitución, despejando la incógnita y de la ª ecuación. Las soluciones del sistema son: = 6, y = = 6, y = Las soluciones negativas no tienen sentido. Por tanto, los catetos miden 6 m y m TEMA. SISTEMAS DE ECUACIONES 7

Ejercicios y problemas. Sistemas lineales. Resolución gráfica 7 Resuelve gráficamente el siguiente sistema lineal y clasifícalo por el número de soluciones: + y = 6 y = } Primera ecuación: + y = 6 y = 6 y 0 6 0 ò A(0, 6) ò B(, 0) Segunda ecuación: y = y = + y 0 0 ò C(0, ) ò D(, 0) = = 6 Representación gráfica: Solo representaremos la ª recta, ya que ambas rectas son la misma. Primera ecuación: y = = y + y 0 ò A(, 0) ò B(, ) y = + 6y = Solución =, y = Como tiene una solución, el sistema es compatible determinado. + y = 6 y = Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal y resuélvelo gráficamente para comprobarlo: y = + 6y = } Los coeficientes de las variables son proporcionales, y lo son con los términos independientes; por tanto, el sistema es compatible indeterminado. Las dos rectas son la misma. Multiplicando la ª ecuación por se obtiene la ª ecuación. P(, ) 9 Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal y resuélvelo gráficamente para comprobarlo: y = + y = 0 } Los coeficientes de las variables no son proporcionales; por tanto, el sistema es compatible determinado. Las rectas son secantes.? Representación gráfica: Primera ecuación: y = + y = y ò A(, ) ò B(, ) Segunda ecuación: + y = 0 = y 7 SOLUCIONARIO

y 0 0 ò O(0, 0) ò D(, ) + y = y = y = P(, ) + y = 0 0 Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal y resuélvelo gráficamente para comprobarlo: y = + y = } Los coeficientes de las variables son proporcionales, y no lo son con los términos independientes; por tanto, el sistema es incompatible. Las rectas son paralelas. =? Representación gráfica: Primera ecuación: y = y = y ò A(, ) ò B(, ) Segunda ecuación: + y = + y = y ò C(, ) ò D(, ). Resolución algebraica de sistemas lineales Resuelve el siguiente sistema por el método más adecuado y razona por qué eliges ese método: y = + 0 y = + 7 } Se resuelve por igualación, ya que la incógnita y está despejada en las dos ecuaciones. Se obtiene: =, y = Resuelve el siguiente sistema por el método más adecuado y razona por qué eliges ese método: y = + y = } Se resuelve por reducción, multiplicando la ª ecuación por y restándosela a la ª Se obtiene: =, y = Resuelve el siguiente sistema: y } = y y + = Primero se eliminan los denominadores. Se obtiene: =, y = TEMA. SISTEMAS DE ECUACIONES 7

Ejercicios y problemas Primero se eliminan los denominadores. Se obtiene: =,y =. Sistemas de ecuaciones no lineales Resuelve el siguiente sistema: y } = 6 y 9 + y = 6 Resuelve el siguiente sistema e interpreta la solución gráficamente: y = + + + y = } Se resuelve por igualación despejando y de la ª ecuación. Se obtienen las soluciones: =, y = =, y = + y = B(, ) y = + + A(, ) incógnita y se sustituye en la ecuación de una de las circunferencias. Se obtiene la solución: =, y = La interpretación gráfica es que las dos circunferencias son tangentes. Se cortan en un punto, A(, ) 7 Resuelve el siguiente sistema: y = y y = } Se resuelve por sustitución, se despeja de la ª ecuación y se sustituye en la ª ecuación. Se obtienen las soluciones: =, y = =, y = Resuelve el siguiente sistema: y = + y y + 6 = 0 } Se resuelve por sustitución, se despeja la incógnita y de la ª ecuación, y se sustituye en la ª ecuación. Se obtienen las soluciones: =, y = =, y = Interpretación gráfica: Son una parábola y una recta. La parábola y la recta son secantes. Se cortan en dos puntos: A(, ) y B(, ) 6 Resuelve el siguiente sistema formado por dos circunferencias e interpreta el resultado: + y = + y y + 6 = 0 } Se restan las dos ecuaciones y se obtiene una ecuación de er grado. Se despeja en esta ecuación una. Sistemas eponenciales y logarítmicos 9 Resuelve el siguiente sistema eponencial: + y = y = } Se hace el cambio de variables: = u, y = v Se obtiene el sistema lineal: u + v = ò u =,v = u v = } 76 SOLUCIONARIO

Deshaciendo el cambio: = ò = y = ò y = 0 Halla dos números sabiendo que el doble del primero más el segundo es igual a, y que la suma de sus cuadrados es + y = + y = } Se resuelve el sistema por sustitución, despejando la incógnita y de la ª ecuación. La soluciones del sistema son: =, y = 7 =,y = Como el problema decía dos números, ambas soluciones son válidas. Resuelve el siguiente sistema logarítmico: log ( ) log (y + ) = 0 log + log (y + ) = log } Aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene: } log = log y + log (y + ) = log } = = y + y + ò (y + ) = (y + ) = 6 } Se resuelve por sustitución, se despeja la incógnita y de la ª ecuación y se sustituye en la segunda. Se obtiene solo la solución real. =, y = 0 Una chapa tiene m de perímetro. Si le cortamos m de largo y otros m de ancho, el área de la nueva chapa es de m. Halla las dimensiones de la chapa inicial. y + y = ( )(y ) = } + y = y y = 0 } Se resuelve el sistema por sustitución, despejando la incógnita y de la ª ecuación. La soluciones del sistema son: =, y = 6 = 6, y = Por tanto, los lados de la plancha inicial miden m y 6 m y Para ampliar Resuelve gráficamente el sistema planteado en el siguiente gráfico: Haz la interpretación gráfica. + y y = 0 + y + y + = 0} =, y = Las dos circunferencias se cortan en un punto A(, ) y, por tanto, son tangentes. TEMA. SISTEMAS DE ECUACIONES 77

Ejercicios y problemas Resuelve gráficamente el siguiente sistema: + y = y = 9 } Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas y clasifica el sistema. Las soluciones son: =, y = 0 =, y = 0 Interpretación gráfica: + y = y = 9 y = 0 B(, 0) y = A(, 0) P(, ) Las soluciones corresponden a los puntos de corte de la parábola con el eje La solución es: =, y = Las dos rectas son secantes. El sistema es compatible determinado. Resuelve el siguiente sistema: } + = y 6 + y = m.c.m.(, y, 6) = 6y 6y + 6 = y + y = } Ahora se resuelve por sustitución, despejando la incógnita y de la ª ecuación. Las soluciones son: =, y = =,y = 7 Resuelve el siguiente sistema: y = 0 + y = 6 } Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas. Se despeja la incógnita y de la ª ecuación. Las soluciones son: =, y = =, y = Interpretación gráfica: y = y = 6 A(, ) B(, ) La recta y la parábola se cortan en dos puntos. 6 Resuelve el siguiente sistema: y = 0 y = } Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas. Se sustituye y = 0 en la ª ecuación y se resuelve. Resuelve gráficamente el siguiente sistema: + y = 9 y = } Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas y clasifica el sistema. 7 SOLUCIONARIO

+ y = 9 Deshaciendo el cambio, se tiene: = ò = y = 9 ò y = y = P(, ) 0 Resuelve el siguiente sistema logarítmico: log ( + ) + log y = log log + log y = log } La solución es: =, y = Las dos rectas son secantes. El sistema es compatible determinado. 9 Resuelve el siguiente sistema eponencial: + y = 7 y = } Se hacen los cambios de variable: = u, y = v u + v = 7 u v = } Se resuelve por sustitución; se obtiene: u =, v = 9 Se le resta la ª ecuación a la ª: log ( + ) log = log + log = log + = =, = El valor negativo no tiene sentido. Se sustituye el valor = en la primera ecuación: log + log y = log log y = log y = La solución es: =, y = Problemas Resuelve gráficamente el siguiente sistema: + y = y = 7 } Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas y clasifica el sistema. y = 7 + y = P(, ) La solución es: =, y = Las dos rectas son secantes. El sistema es compatible determinado. Un campo de fútbol tiene forma rectangular. El perímetro mide 00 m, y el largo es el doble del ancho. Cuánto mide cada lado? y TEMA. SISTEMAS DE ECUACIONES 79

Ejercicios y problemas + y = 00 y = } + y = 0 y = } Se resuelve por sustitución. La solución es: = 0 m, y = 00 m Resuelve gráficamente el siguiente sistema: y = y = } Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas y clasifica el sistema. y = Las rectas son paralelas; no tiene solución. El sistema es incompatible. Resuelve el siguiente sistema: y + = + y y + = m.c.m.(, ) = La ª ecuación se convierte en: 6 + y = 6 m.c.m.(, ) = 0 La ª ecuación se convierte en: 7 y = Se despeja y de esta ecuación y se sustituye en la otra. Las soluciones son: =, y = 9 =,y = 7 y = } 7 Meli compra DVD y CD, y paga 00 ; y Ana compra DVD y CD en la misma tienda, y paga 0. Cuánto cuesta cada DVD y CD? +y = 00 + y = 0 } La solución es: un DVD cuesta 0 un CD cuesta 0 6 Resuelve el siguiente sistema: y = + y = } Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas. Se resuelve por igualación, despejando la incógnita y de las dos ecuaciones. Las soluciones son: =, y = =, y = Interpretación gráfica: Son una recta y una parábola. La recta y la parábola son secantes, se cortan en dos puntos. Un piso tiene forma rectangular y su área es de 0 m. Si el largo mide m más que el ancho, cuáles son las dimensiones del piso? y = B(, ) y y = + A(, ) 0 SOLUCIONARIO

y = 0 y = + } Se resuelve por sustitución. Se obtienen las soluciones: = 9, y = =, y = 9 Las soluciones negativas no tienen sentido. El piso mide de largo m y de ancho 9 m Se resuelve por igualación. = = = 0 ( ) = 0 ò = 0, = = 0, y = 0 =, y = Halla los puntos de corte de las siguientes funciones: y =, y = Hay que resolver el sistema formado por las ecuaciones; se resuelve por igualación. = = 0 ( ) = 0 ò = 0, = Las soluciones del sistema son: = 0, y = 0 =, y = Luego los puntos comunes de las dos funciones son: O(0, 0),A(, ) La suma de las edades de un padre y su hija es de 70 años. Dentro de 0 años la edad del padre será el doble de la edad de su hija. Qué edad tiene ahora cada uno? Edad hoy Edad dentro de 0 años + y = 70 + 0 = (y + 0) } Se resuelve por igualación. La solución es Edad del padre: = 0 años. Edad de la hija: y = 0 años. Padre + 0 Hija y y + 0 9 La suma de dos números es, y la suma de sus inversos es /6. Halla ambos números. + y = } + = y 6 m.c.m.(, y, 6) = 6y + y = 6 + 6y = y } Se resuelve por sustitución: Se obtienen las soluciones: =, y = =, y = Luego los números son y 0 Resuelve el siguiente sistema: y = y = } Resuelve el siguiente sistema eponencial: + y = 7 y = 9 } Se hacen los cambios de variable: = u, y = v u + v = 7u v = 9 } Se resuelve por sustitución; se obtiene: u =, v = Deshaciendo el cambio, se tiene: = ò = y = ò y = 0 Resuelve el siguiente sistema logarítmico: log + log y = log log log y = log } TEMA. SISTEMAS DE ECUACIONES

Ejercicios y problemas Sumando ambas ecuaciones, se obtiene: log = log log = log = = Se sustituye el valor = en la ª ecuación: log + log y = log log y = log log log y = log y = y = La solución es: =, y = Resuelve el siguiente sistema: y = 0 y + y = } Se despeja la incógnita y de la ª ecuación y se sustituye en la ª Las soluciones son: =, y = =,y = Halla los puntos de corte de las siguientes funciones: y = +, y = + Haz la representación gráfica para comprobarlo. y = + A(, 0) y = B(, ) 6 Resuelve el siguiente sistema: y = y = } Se resuelve por igualación: = ò = ò = 0 ò = 0 Para = 0 ò y = 0 = La solución es = 0, y = 7 Resuelve el siguiente sistema: y = y = } Se resuelve por igualación. Se obtiene una ecuación de er grado + = 0 Hay que resolverla aplicando el teorema del factor. Tiene las raíces: =, = Las soluciones del sistema son: =, y = 0 =, y = 6 Son las soluciones del sistema correspondiente, que se resuelve por igualación: =, y = 0 =, y = Los puntos de corte son: A(, 0) y B(, ) Para profundizar Resuelve el siguiente sistema: } y = y = Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas. Se resuelve por igualación. SOLUCIONARIO

Las soluciones del sistema son: =, y = =, y = Interpretación gráfica: y = A(, ) + y = 60 y = 00 } Las soluciones son: = 0, y = 0 = 0, y = 0 Por tanto, el campo mide de largo 0 m, y de ancho, 0 m y = B(, ) La recta y la parábola se cortan en dos puntos. 6 Resuelve el siguiente sistema: + y = y = 6 } Interpreta gráficamente las soluciones obtenidas. 9 Resuelve el siguiente sistema: } + = y + y = m.c.m.(, y) = y La ª ecuación se convierte en: y + = y m.c.m.(, ) = 6 La ª ecuación se convierte en: y = 0 Se despeja de esta ecuación y se sustituye en la otra. Las soluciones son: = 0, y = 0 =, y = Se resuelve por igualación, despejando de ambas ecuaciones: Las soluciones son: =, y = = 6, y = Son una recta y una hipérbola. + y = y = 6 Se cortan en dos puntos. A(, ) B(6, ) 60 Un campo de baloncesto tiene forma rectangular. El largo más el ancho mide 60 m, y el área es de 00 m. Cuánto mide cada lado? y 6 La suma de dos números es, y la diferencia de sus cuadrados también es. Halla ambos números. + y = y = } Se resuelve por sustitución, despejando y de la ª ecuación. Las soluciones son: =, y = 7 TEMA. SISTEMAS DE ECUACIONES

Ejercicios y problemas 6 Resuelve el siguiente sistema: y = y = } Se resuelve por igualación: = = 0 ( ) = 0 ò = 0, =, = Las soluciones son: = 0, y = 0 =, y = =, y = 6 Halla los puntos de corte de las siguientes funciones: y = 6 y = + 6 Representa ambas funciones para comprobarlo. Consiste en resolver el sistema formado por las dos ecuaciones. Se resuelve por igualación. Las soluciones son: =, y = 0 =, y = Los puntos de corte son: A(, 0) y B(, ) Representación gráfica: Son dos parábolas. B(, ) 6 Resuelve el siguiente sistema: y = y = } y = 6 A(, 0) y = + 6 Se resuelve por igualación despejando la incógnita y de las dos ecuaciones. La única solución es: =, y = 66 Resuelve el siguiente sistema eponencial: 7 y = 7 y = 67 } Se hacen los cambios de variable: 7 = u, y = v u v = u v = 67 } Se resuelve por sustitución; se obtiene: u =, v = Deshaciendo el cambio, se tiene: 7 = ò = y = ò y = 67 Resuelve el siguiente sistema logarítmico: log log y = log log log y = log } Se multiplica la ª ecuación por y se resta la ª; se obtiene: log = log log = log = = 9 Se sustituye el valor = 9 en la ª ecuación: log 9 log y = log log y = log 9 log 9 log y = log y = La solución es: = 9, y = SOLUCIONARIO

6 Resuelve el siguiente sistema: y = e + y = e } Se resuelve por igualación: e + = e + = = = Para = ò y = e Solución del sistema: =, y = e TEMA. SISTEMAS DE ECUACIONES

Aplica tus competencias 69 Un móvil A lleva un movimiento uniforme de ecuación e = t. Otro móvil B lleva un movimiento uniformemente acelerado de ecuación e = t. El tiempo se epresa en segundos, y el espacio, en metros. Halla en qué instantes se encuentran. Haz la representación gráfica. Hay que resolver el sistema: e = t e = t } Se resuelve por igualación. Las soluciones son: t = 0 s, e = 0 m t = s, e = m Longitud (m) O(0, 0) A(, ) e = t Tiempo (s) 70 Un móvil A lleva un movimiento uniforme de ecuación e = t. Otro móvil B lleva un movimiento uniformemente acelerado de ecuación e = t + t +. El tiempo se epresa en segundos, y el espacio, en metros. Halla en qué instan- tes se encuentran. Hay que resolver el sistema: e = t } e = t + t + Se resuelve por igualación. Las soluciones son: t = s, e = m t = 6 s, e = 7 m e = t 6 SOLUCIONARIO

Comprueba lo que sabes Define qué es un sistema de ecuaciones no lineales y pon un ejemplo. No es necesario que lo resuelvas. Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de ecuaciones en el que, por lo menos, hay una ecuación que no es lineal. Ejemplo y = 6 + 7 y = } Se resuelve por igualación. Las soluciones son: =, y = ; =, y = y = A(, ) B(, ) y = Resuelve gráficamente el siguiente sistema lineal y clasifícalo por el número de soluciones: y = + y = } Son dos rectas paralelas; por tanto, el sistema no tiene solución. + y = El sistema es lineal e incompatible. y = La recta y la parábola se cortan en dos puntos. Resuelve el siguiente sistema: + y = 9 + y = 6 } Se hacen los cambios de variable: = u, y = v u + v = 9 u + v = 6 } Se resuelve por sustitución y se obtiene: u =, v = Deshaciendo el cambio, se tiene: = ò = y = ò y = 0 Se resuelve por sustitución, despejando la incógnita y de la ª ecuación. La solución es =, y = Resuelve el siguiente sistema: + y = y = 6 Resuelve el siguiente sistema e interpreta la solución gráficamente: y = y = } } 6 Resuelve el siguiente sistema: log + log y = log log y = + log } Se suman las dos ecuaciones y se obtiene: log = log log = log = Se sustituye el valor = en la ª ecuación: log + log y = ò log y = log log y = log 0 log log y = log y = La solución es =, y = TEMA. SISTEMAS DE ECUACIONES 7

Comprueba lo que sabes 7 Halla dos números sabiendo que su producto es 6 y la suma de sus cuadrados es y = 6 + y = } Se resuelve el sistema por sustitución, despejando la incógnita y de la ª ecuación: aparece una ecuación bicuadrada. Las soluciones son: =, y = =, y = =, y = =, y = Los números pueden ser y, y también y Los catetos de un triángulo rectángulo son proporcionales a y, y la hipotenusa mide m. Calcula cuánto mide cada cateto. y } = m + y = Se resuelve el sistema por y sustitución, despejando la incógnita y de la ª ecuación. Las soluciones son: =, y = 0; =, y = 0 Las soluciones negativas no tienen sentido. Los catetos miden m y 0 m SOLUCIONARIO

Linu/Windows Windows Derive Paso a paso 7 Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y, si es compatible, halla la solución: + y = 7 + y = } Resuelto en el libro del alumnado. Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: 7 Calcula los lados de un rectángulo sabiendo que el perímetro mide m, y el área, m Resuelto en el libro del alumnado. 7 Resuelve algebraicamente el siguiente sistema: + y = 7 y = 0 } 7 Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema. Resuelto en el libro del alumnado. Practica 7 Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y, si es compatible, halla la solución: + y = y = } El sistema es incompatible, es decir, no tiene solución. El sistema es compatible determinado. =, y = 77 Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y, si es compatible, halla la solución: + y = y = 6 } 76 Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y, si es compatible, halla la solución: + y = + y = } TEMA. SISTEMAS DE ECUACIONES 9

Linu/Windows El sistema es compatible indeterminado. Tiene infinitas soluciones: todos los puntos de dicha recta. Por ejemplo: =, y = =, y = 7 Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y luego haz la representación gráfica para comprobar la solución obtenida: + y } = = y Se introduce una ecuación en cada cuadro de teto. =, y = 6 79 Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y luego haz la representación gráfica para comprobar la solución obtenida: } + y = + y = 6 0 Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y luego haz la representación gráfica para comprobar las soluciones obtenidas: y = 6 + 7 y = } Se introduce una ecuación en cada cuadro de teto. =, y = =, y = Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y luego haz la representación gráfica para comprobar las soluciones obtenidas: + y 6y + = 0 + y 6 y + = 0 } Se introduce una ecuación en cada cuadro de teto. =, y = =, y = Se introduce una ecuación en cada cuadro de teto. =, y = Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: Halla los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide 0 m y que los catetos son proporcionales a y 90 SOLUCIONARIO

Windows Derive 0 Se aplica el teorema de Pitágoras + y = 0 } y = Las soluciones del sistema son: = 6, y = = 6, y = Las soluciones negativas no tienen sentido. Por tanto, los catetos miden 6 m y m y Halla dos números sabiendo que suman y que el producto es + y = y = } La soluciones del sistema son: = 7, y = =, y = 7 Los números son y 7 Meli compra DVD y CD, y paga 00 ; y Ana compra DVD y CD en la misma tienda, y paga 0. Cuánto cuesta cada DVD y CD? + y = 00 + y = 0 } Un DVD cuesta 0 Un CD cuesta 0 TEMA. SISTEMAS DE ECUACIONES 9

6 Inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Inecuaciones de er grado Escribe todos los números enteros que verifiquen a la vez: < Ì 6 P I E N S A C A L C U L A,,,, 0,,,,,, 6 Cambia mentalmente de signo las siguientes inecuaciones: a) Ì 7 b) > a) Ó 7 b) < ( @, ) = { é, < } 0 Interpretación gráfica: Son los valores de para los que: f() = es negativa. A P L I C A L A T E O R Í A Multiplica o divide mentalmente las siguientes inecuaciones por el número que se indica: a) / < Multiplica por b) Ó 6 Divide entre f() = a) > 0 b) Ì Resuelve las siguientes inecuaciones y haz la interpretación gráfica: a) + > b) + Ó a) > > 6 < b) ( + ) Ó + Ó Ó Ó Ó / [ /, + @) = { é, Ó /} / 0 9 SOLUCIONARIO

Interpretación gráfica: Son los valores de para los que: f() = + / es positiva. + Interpretación gráfica: + f() = f() = + / Resuelve la siguiente inecuación: Ì Es el entorno cerrado de centro y radio, E(, ), es decir, el intervalo cerrado: [, ] = { é, Ì Ì } 0 Son los valores de para los que: f() = es positiva o nula. 6 Resuelve el siguiente sistema: Ì 0 + > 0 } Ì, > (, ] = { é, < Ì } 0 Resuelve la siguiente inecuación y haz la interpretación gráfica: Ì + 6 Ì + 6 0 m.c.m.(, 6, 0) = 60 ( ) Ì 0( ) + ( ) Ì 0 0 + 9 0 Ì 0 9 + 7 Ì Ó [, + @) = { é, Ó } 0 0 7 Resuelve el siguiente sistema: + Ó 0 Ì 0 } Ó, Ì / [, /] = { é, Ì Ì /} / 0 Resuelve la siguiente inecuación: + > Es el eterior del entorno de centro y radio, es decir, dos intervalos. No contiene a los etremos: ( @, ) (, + @) 0 TEMA 6. INECUACIONES SISTEMAS DE INECUACIONES 9

. Inecuaciones polinómicas y racionales Halla el intervalo donde es positiva la función representada en el margen. P I E N S A C A L C U L A (, ) = { é, < < } B(, 0) + y = A(, 0) 0 9 Resuelve la siguiente inecuación y haz su interpretación gráfica: Ó 0 y = es negativa o nula. A P L I C A L A T E O R Í A [, ] = { é, Ì Ì } f() = 0 Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola: y = = y = es positiva o cero. B(, 0) + f() = A(, 0) Resuelve la siguiente inecuación y haz su interpretación gráfica: + > 0 ( @, ) (, + @) 0 0 Resuelve la siguiente inecuación y haz su interpretación gráfica: Ì 0 ( @, ) [, + @) 0 Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la hipérbola: Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola: y = + es positiva. + + B(, 0) A(, 0) f() = + 9 SOLUCIONARIO

Resuelve la siguiente inecuación y haz su interpretación gráfica: + Ì 0 [, ) = { é, Ì < } 0 Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la hipérbola: + y = es negativa o nula. f() = + y = =. Inecuaciones lineales con dos variables P I E N S A C A L C U L A Representa en unos ejes de coordenadas todos los puntos del plano en los que la abscisa,, sea mayor o igual que la ordenada, y y = Ó y Resuelve la siguiente inecuación: + y Ì Resuelve la siguiente inecuación: > A P L I C A L A T E O R Í A + y Ì B(0, ) + y = A(, 0) = > TEMA 6. INECUACIONES SISTEMAS DE INECUACIONES 9

Resuelve la siguiente inecuación: + y Ó 7 a) Escribe la inecuación correspondiente a la zona rellena de cada una de las siguientes figuras: b) + y = + y Ó B(0, ) A(, 0) 6 Resuelve la siguiente inecuación: y < a) Ì b) + y Ì y < B(0, ) A(, 0) y =. Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables Observando la representación gráfica de la parte derecha, escribe las coordenadas enteras de todos los puntos que verifiquen al mismo tiempo que >, y >, <, y < A(, ); B(, ); C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C U L A y = y = = = 96 SOLUCIONARIO

Resuelve mentalmente el siguiente sistema de inecuaciones: Ì 0 y Ó 0 } Ì 0 y Ó 0} y = 0 = 0 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: + y < 6 y < 6 } + y = 6 + y < 6 y < 6} A P L I C A L A T E O R Í A y = 6 9 Resuelve mentalmente el siguiente sistema de inecuaciones: y Ì y Ó } a) Escribe el sistema de inecuaciones correspondiente a la zona coloreada de cada una de las siguientes figuras: b) a) Ó 0 y Ì 0 } 0 Resuelve mentalmente el siguiente sistema de inecuaciones: + y > + y < } b) Ó 0 y Ó 0 + y Ì } + y > + y < } + y = + y = TEMA 6. INECUACIONES SISTEMAS DE INECUACIONES 97

Ejercicios y problemas. Inecuaciones de er grado Cambia mentalmente de signo las siguientes inecuaciones: a) Ì b) > a) Ó b) < Multiplica o divide mentalmente las siguientes inecuaciones por el número que se indica: a) / < Multiplica por b) Ó 6 Divide entre a) > b) Ì ( @, /) = { é, < /} / 0 Interpretación gráfica: Son los valores de para los que: f() = / es negativa. f() = / Resuelve las siguientes inecuaciones y haz la interpretación gráfica: Ó Ó + Ó [, + @) = { é, Ó } 0 Interpretación gráfica: Son los valores de para los que: f() = es positiva. 7 ( + ) Ì ( ) 6 Ì Ì + 6 Ì Ó [, + @) = { é, Ó } 0 Interpretación gráfica: Son los valores de para los que: f() = + es positiva o nula. + + f() = f() = + 6 < < + < < / ( ) > 0 ( + ) + > 0 6 + > 0 6 > 9 SOLUCIONARIO

(, + @) = { é, > } 0 Interpretación gráfica: Son los valores de para los que: f() = es positiva. + > < 0 Interpretación gráfica: Son los valores de para los que: f() = es negativa. f() = f() = 9 + Ì m.c.m.(,, ) = 0 6 + Ì 0 0 Ì 6 Ì 6/ 6/ 0 Interpretación gráfica: Son los valores de para los que: f() = + 6/ es negativa o nula. f() = + 6/ + + < + 6 + + < + 6 m.c.m.(, 6, ) = 6 + + < 9 + 6 + 9 < 6 < > 0 Interpretación gráfica: Son los valores de para los que: f() = + es positiva. + + 0 + > 6 Solución + + > 6 m.c.m.(6, ) = 6 + f() = + + Ì + 6 TEMA 6. INECUACIONES SISTEMAS DE INECUACIONES 99

Ejercicios y problemas m.c.m.(,,, 6) = ( + ) 6( + ) Ì + 0 6 + 6 Ì + 0 6 Ì 0 + 6 Ì Ì 0 Interpretación gráfica: Son los valores de para los que: f() = es negativa o nula. f() = 6 < Es el entorno abierto de centro y radio, E(, ), es decir, el intervalo abierto: (, ) = { é, < < } + Ì Es el entorno cerrado de centro y radio, E(, ), es decir, el intervalo cerrado: [, ] = { é, Ì Ì } + > 0 0 + 0 Ì + + m.c.m.(,, ) = 0 ( ) Ì 6( + 0) + ( + ) Ì + 60 + 0 + 6 0 Ì 60 + 6 + Ì ò Ó / / Interpretación gráfica: Son los valores de para los que: f() = + / es positiva o nula. 0 Es lo que queda fuera del entorno de centro y radio, es decir, los intervalos: ( @, ) (, + @) 7 Ó 0 Es lo que queda fuera del entorno de centro y radio, es decir, los intervalos: ( @, ] [, + @) 0 Resuelve los siguientes sistemas: + > 0 Ì } f() = + / + >, Ì (, ] = { é, < Ì } 0 00 SOLUCIONARIO

9 Ó 0 + < 0 } Ó, < No hay solución; la intersección de los dos es el conjunto vacío, Ö f() = + 6 + B(, 0) A(, 0) 6 + < 0. Inecuaciones polinómicas y racionales Resuelve las siguientes inecuaciones y haz la interpretación gráfica: 0 < 0 (, ) = { é, < < } (, ) = { é, < < } 0 Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola: y = 6 + es negativa. 0 Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola: f() = es negativa. f() = 6 + B(, 0) A(, 0) B(, 0) f() = A(, 0) + Ì 0 [, /] = { é, Ì Ì /} / + 6 Ó 0 [, ] = { é, Ì Ì } 0 Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola: y = + 6 es positiva o nula. 0 Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola: f() = + es negativa o nula. f() = + B(, 0) A(/, 0) TEMA 6. INECUACIONES SISTEMAS DE INECUACIONES 0

Ejercicios y problemas Ó Ó 0 ( @, 0] [, + @) Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola: f() = es positiva o nula. + + < 0 (, ) = { é, < < } + 0 0 O(0, 0) A(, 0) f() = + Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola: f() = + es positiva o nula. 7 Ó 0 ( @, ] (, + @) Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la hipérbola: y = es positiva o nula. + B( /, 0) A(/, 0) f() = + / 0 + 0 Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la parábola: f() = + + es negativa o nula. + y = + f() = + + f() = + = B(, 0) A(, 0) < 0 6 + Ó ( @, /] [/, + @) / / 0 (0, ) = { é, 0 < < } 0 0 Interpretación gráfica: Es el intervalo donde la hipérbola: y = es negativa. 0 SOLUCIONARIO

f() = + y = + y < 6 Solución + y = 6 = 0 B(0, ) A(6, 0) + y < 6. Inecuaciones lineales con dos variables Resuelve las siguientes inecuaciones: 9 y Ì Solución Escribe la inecuación correspondiente a la zona coloreada de las siguientes figuras: a) b) y Ì y = A(, 0) 0 y < B(0, ) a) y Ó b) y Ó Solución y = y <. Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables Resuelve mentalmente los siguientes sistemas de inecuaciones: Ó 0 y Ì 0 } Solución y Ì Solución y = 0 y Ì y = Ì Ó } = 0 Ó 0 y Ì 0} TEMA 6. INECUACIONES SISTEMAS DE INECUACIONES 0

Ejercicios y problemas Solución Solución + y > 6 y < 6} + y = 6 = = Ì Ó } y = 6 6 y Ì + y Ó } Solución Escribe el sistema de inecuaciones correspondiente a la zona coloreada de cada una de las siguientes figuras: + y = y Ì + y Ó } a) b) y = 7 Resuelve mentalmente el siguiente sistema de inecuaciones: + y > 6 y < 6 } a) Ì 0 b) Ó y Ì 0 } 6} y Ó + y Ì Para ampliar Resuelve las siguientes inecuaciones: 9 ( ) < + 6 < + < 6 < < / ( @, /) = { é, < /} 0 / 60 ( ) > + 6 + 6 > + 6 + 6 6 > + > < ( @, ) = { é, < } 0 0 SOLUCIONARIO

6 + Ó 0 ( @, ] [, + @) 6 + + < 0 La ecuación: + + = 0 No tiene soluciones reales; por tanto, la solución es el conjunto vacío, Ö, o toda la recta real, Si se prueba un punto, = 0, quedaría: < 0 Esto es falso, por tanto, la solución es el conjunto vacío, Ö 6 6 + + + Ì 0 Raíz del numerador: = Raíz del denominador: = Para = 0 ò / que no es Ì 0 (, ] = { é, < Ì } > 0 Raíz del numerador: = Raíz del denominador: = Para = 0 ò que no es > 0 ( @, ) (, + @) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: 6 + > + Ì 9 + } 0 0 0 Primera ecuación: + > > > Segunda ecuación: + Ì 9 + Ì 9 Ì La solución es el intervalo: (, ] = { é, < Ì } 66 + Ì ( 7) + ( ) > 6 7 } Primera ecuación: + Ì ( 7) + Ì + + Ì + Ì Ì Segunda ecuación: + ( ) > 6 7 + 6 0 > 6 7 + 6 6 > 7 + 0 > La solución es el conjunto vacío, Ö, ya que no hay puntos comunes a las soluciones de las dos ecuaciones que forman el sistema. Resuelve gráficamente la inecuación: 67 + y Ó + y = 0 + y Ó TEMA 6. INECUACIONES SISTEMAS DE INECUACIONES 0

Ejercicios y problemas 6 y < + y = + y Ó y Ì } y < y = y = 69 Observando las siguientes representaciones gráficas, escribe directamente las soluciones de las inecuaciones correspondientes: a) Ó 0 b) + Ì 0 7 Observando las siguientes representaciones gráficas, escribe directamente las soluciones de las inecuaciones correspondientes: a) Ì 0 b) Ó 0 y = y = y = y = + a) Es toda la recta real, b) Es el conjunto vacío, Ö a) ( @, 0) = { é, < 0} b) ( @, 0) (0, + @) Resuelve gráficamente el sistema de inecuaciones: 70 y Ó + y Ó } + y = y Ó + y Ó } 7 Escribe el sistema de inecuaciones correspondiente a la zona rellena de cada una de las siguientes figuras: a) b) 7 + y Ó y Ì } y = a) Ó } b) Ó } Ì Ì y Ó + y Ó y Ì + y Ì 6 06 SOLUCIONARIO

7 El perímetro de un triángulo equilátero es menor a) b) o igual que m. Calcula cuánto puede medir el lado. Ì Ì 6 m 7 Escribe el sistema de inecuaciones correspondiente a la zona rellena de cada una de las siguientes figuras: a) Ó 0 } b) y Ì y Ó 0 y Ó } + y Ó Problemas 76 Dada la función f() = 6, halla: a) cuándo vale cero. b) cuándo es positiva. c) cuándo es negativa. d) Represéntala para comprobarlo. a) 6 = 0 ò = 0 ò = b) 6 > 0 ò > c) 6 < 0 ò < d) Representación: 0 0 f() = 6 + c) cuándo es negativa. d) Represéntala para comprobarlo. a) = 0 ò = = ò = ± b) (, ) = { é, < < } c) ( @, ) (, + @) d) Representación: B(, 0) + 0 0 f() = A(, 0) A(, 0) 77 Dada la función f() =, halla: a) cuándo vale cero. b) cuándo es positiva. 7 Dada la función f() = a) cuándo vale cero. b) cuándo es positiva. c) cuándo es negativa., halla: d) Represéntala para comprobarlo. TEMA 6. INECUACIONES SISTEMAS DE INECUACIONES 07

Ejercicios y problemas a) Nunca vale cero. b) (0, + @) = { é, > 0} c) ( @, 0) = { é, < 0} d) Representación: 79 El perímetro de un cuadrado es menor o igual que 0 m. Calcula cuánto puede medir el lado. Ì 0 Ì 0 Un comerciante desea comprar frigoríficos y lavadoras, que cuestan 00 y 00, respectivamente. Si solo dispone de sitio para almacenar 0 electrodomésticos, y de 000 para invertir, representa en el plano el recinto de todas las posibles soluciones de la cantidad de frigoríficos y lavadoras que puede comprar. Frigoríficos: Lavadoras: y Ó 0 } 00 + 00y Ì 000 } y Ó 0 + y Ì 0 Ó 0 y Ó 0 + y Ì 0 + y Ì 0 f() = 0 0 0 0 + Un fabricante vende sillas y mesas. Para su fabricación, necesita h y h, respectivamente, de trabajo manual y h y h para pintarlas. Si el fabricante no puede sobrepasar las 00 horas de trabajo manual y 90 horas de pintura, representa en el plano el recinto de las posibles soluciones. Sillas: Mesas: y Ó 0 60 0 0 0 0 0 y Ó 0 + y Ì 00 + y Ì 90 0 00 0 60 0 0 } 0 0 Para profundizar Ó 0 y Ó 0 + y Ì 0 + y Ì 0} 0 0 0 0 60 Ó 0 y Ó 0 + y Ì 00 + y Ì 90} 0 60 0 00 0 Resuelve gráficamente los sistemas de inecuaciones: } Ó 0 y Ó 0 + y Ó + y Ì 0 SOLUCIONARIO

y Ó 0 } + y Ó 6 + y Ì = 0 + y = Ó 0 } y Ó 0 + y Ó + y Ì + y = y = 0 Dada la función f() = +, halla: a) cuándo vale cero. b) cuándo es positiva. c) cuándo es negativa. d) Represéntala para comprobarlo. a) + = 0 ò =, raíz doble. b) Nunca es positiva, es decir, es el conjunto vacío, Ö c) ( @, ) (, + @) = { é,? } 0 d) Representación: + y = 6 f() = + + y = y Ó 0 + y Ó 6 + y Ì } y = 0 A(, 0) Dada la función f() =, halla: a) cuándo vale cero. b) cuándo es positiva. c) cuándo es negativa. d) Represéntala para comprobarlo. a) = 0 ò = 0 b) > 0 siempre que? 0 0 0 c) < 0 nunca, es decir, es el conjunto vacío, Ö d) Representación: f() = + O(0, 0) + 6 7 El área de un cuadrado es menor o igual que 6 m. Calcula cuánto puede medir el lado. > 0 Ì 6 } (0, 6] = { é, 0 < Ì 6} 0 6 0 Un agricultor puede sembrar en sus tierras, como máimo, hectáreas de trigo y 6 hectáreas de centeno. La producción de trigo, por cada hectárea sembrada, es de toneladas, mientras que la producción de centeno, también por hectárea sembrada, es de toneladas, pudiendo producir un máimo de 0 toneladas entre los dos cereales. Representa en el plano el recinto de las posibles soluciones. TEMA 6. INECUACIONES SISTEMAS DE INECUACIONES 09

Ejercicios y problemas Hectáreas de trigo: Hectáreas de centeno: y } Ó 0 y Ó 0 Ì y Ì 6 + y Ì 0 } Ó 0 y Ó 0 Ì y Ì 6 + y Ì 0 Ó 0 y Ó 0 Ì y Ì 6 = + y Ì 0} y = 6 + y = 0 El número de unidades de dos productos (A y B) que un comercio puede vender es, como máimo, igual a 00. Dispone de 60 unidades de producto de tipo A y de 70 unidades de tipo B. Representa en el plano el recinto de las posibles soluciones. Unidades producto A: Unidades producto B: y } Ó 0 y Ó 0 Ì 60 y Ì 70 + y Ì 00 0 00 0 60 0 0 y = 70 Ó 0 y Ó 0 Ì 60 y Ì 70 + y Ì 00} = 60 + y = 00 0 0 60 0 00 0 0 SOLUCIONARIO

Aplica tus competencias 9 Una fábrica monta ordenadores e impresoras. Un ordenador necesita h para su montaje, y una impresora, h. Diariamente dispone de 0 h de trabajo y de una capacidad de almacenaje de 0 unidades. Si el ordenador y la impresora tienen las mismas dimensiones y, por lo tanto, ocupan el mismo espacio en el almacén, cuántos ordenadores e impresoras se pueden montar cada día? Número de ordenadores: Número de impresoras: y Ó 0 } y Ó 0 + y Ì 0 + y Ì 0 0 + y = 0 00 Ó 0 } y Ó 0 0 + y Ì 0 60 + y Ì 0 0 0 + y = 0 0 0 60 0 00 0 90 Los alumnos de un centro educativo pretenden vender dos tipos de lotes, A y B, para sufragar los gastos del viaje de estudios. Cada lote de tipo A consta de una caja de mantecadas y tres participaciones de lotería; cada lote del tipo B consta de dos cajas de mantecadas y dos participaciones de lotería. Por razones de almacenamiento, pueden disponer a lo sumo de 00 cajas de mantecadas. Los alumnos solo cuentan con 600 participaciones de lotería, y desean maimizar sus beneficios. Cuántos lotes pueden hacer de cada tipo? Unidades de lote A: Unidades de lote B: y Ó 0 } y Ó 0 + y Ì 00 + y Ì 600 00 000 00 600 00 00 + y = 600 Ó 0 y Ó 0 + y Ì 00 + y Ì 600} + y = 00 00 00 600 00 000 00 TEMA 6. INECUACIONES SISTEMAS DE INECUACIONES

Comprueba lo que sabes Define qué es una inecuación racional y pon un ejemplo; no es necesario que la resuelvas. Una inecuación racional es una epresión de la forma: P() < 0 P() y Q() son polinomios Q() donde el operador < puede ser: Ì, > o Ó Ejemplo + Ó 0 Resuelve la siguiente inecuación: + 7 Ì ( ) + 7 Ì Ì 7 0 Ì 0 Ó [, + @) = { é, Ó } Resuelve la siguiente inecuación: + + Ó 0 0 a) 6 Escribe el sistema de inecuaciones correspondiente a la zona coloreada de cada una de las figuras del margen: a) Ó b) Ó 0 } Ì } y Ó 0 + y Ó Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: + y Ì + y Ì 6 } + y Ì + y Ì 6 } b) + y = 6 P(, ) + y = [, ] = { é, Ì Ì } Resuelve la siguiente inecuación: Ó 0 + ( @, ] [, + @) 0 0 7 Dada la función: f() =, halla: a) cuándo vale cero. b) cuándo es positiva. c) cuándo es negativa. d) Represéntala para comprobarlo. a) = 0 ò = = ò = ± b) (, ) = { é, < < } 0 SOLUCIONARIO

c) ( @, ) (, + @) 0 d) Representación: y = + B(, 0) A(, 0) Ó 0 } y Ó 0 0, + 0,y Ì 0 0, + 0,y Ì 0 Ó 0 } y Ó 0 + y Ì 00 + y Ì 00 Un pastelero produce dos tipos de bollos. El tipo A lleva 00 g de harina y 00 g de azúcar, mientras que los del tipo B llevan 00 g de harina y 00 g de azúcar. Si el pastelero tiene para cada día 0 kg de harina y 0 kg de azúcar, cuántos bollos puede producir de cada tipo? 0 00 0 60 0 0 Ó 0 } y Ó 0 + y Ì 00 + y Ì 00 + y = 00 + y = 00 0 0 60 0 00 0 TEMA 6. INECUACIONES SISTEMAS DE INECUACIONES

Linu/Windows Paso a paso 9 Resuelve el sistema: Ì 0 + > 0 } 9 Halla mediante ensayo-acierto la inecuación correspondiente a la zona coloreada de la siguiente figura: Resuelto en el libro del alumnado. 9 Resuelve la siguiente inecuación y haz la representación gráfica correspondiente: Ó 0 Resuelto en el libro del alumnado. 9 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: + y Ó + y Ó } Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. 9 Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema. Practica 96 Resuelve la siguiente inecuación: + 7 Ì + Ó / Es el intervalo: [/, + @) 97 Resuelve la siguiente inecuación y haz la representación gráfica correspondiente: + Ó 0 Ì > Son los intervalos: ( @, ] (, + @) 9 Resuelve la siguiente inecuación: + y Ó 0 SOLUCIONARIO

Windows Derive 99 Resuelve la siguiente inecuación: y Ì 0 0 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: + y > 6 y < 6 } 00 Resuelve la siguiente inecuación: + y Ì Halla mediante ensayo-acierto cada uno de los sistemas de inecuaciones correspondientes a la zona coloreada de cada una de las siguientes figuras: 0 0 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: y Ì y Ó } Ó 0 y Ó 0 } + y Ó 0 0 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: + y Ó y Ì 0 } y Ì y Ó } TEMA 6. INECUACIONES SISTEMAS DE INECUACIONES

BLOQUE III Geometría 7. Semejanza y trigonometría. Resolución de triángulos rectángulos 9. Geometría analítica

7 Semejanza y trigonometría. Teorema de Thales Si una persona que mide,70 m proyecta una sombra de,0 m y el mismo día, a la misma hora y en el mismo lugar la sombra de un árbol mide m, cuánto mide de alto el árbol? Se observa que el objeto mide la mitad que la sombra; por tanto, el árbol mide : = 7, m P I E N S A C A L C U L A Sabiendo que en el siguiente dibujo AB = cm, BC = cm y A B = cm, halla la longitud del segmento B C. Qué teorema has aplicado? a b c C B r A s A' B' C' r = : = c = = 6 cm C' C A P L I C A L A T E O R Í A A B B C = AB BC B C = B C = 0 cm Hemos aplicado el teorema de Thales. Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan cm y cm. Dibuja otro triángulo rectángulo en posición de Thales de forma que el cateto mayor mida cm. Cuánto mide el otro cateto? c = cm A b = cm Dos ángulos de un triángulo miden y 60 y otros dos ángulos de otro triángulo miden 7 y 60. Son semejantes ambos triángulos? El er ángulo del er triángulo mide: 0 ( + 60 ) = 0 0 = 7 Es decir, los ángulos del er triángulo miden:, 60 y 7 B B' SOLUCIONARIO

El er ángulo del º triángulo mide: 0 (7 + 60 ) = 0 = Es decir, los ángulos del º triángulo miden:, 60 y 7 Como los dos triángulos tienen sus ángulos iguales, son semejantes. Los dos triángulos del siguiente dibujo son semejantes. Halla cuánto miden a y c a =, cm c = cm b = cm r = b : b r = : =, a =,, =,7 cm c =, =, cm En una foto están Ana y su madre. Se sabe que Ana mide en la realidad,6 m. En la foto Ana a' c' b' = cm 6 7 mide 6,6 cm, y su madre, 6, cm. Cuánto mide su madre en la realidad? 6,6 6, = 6 = 7 cm =,7 m Un palo vertical de,7 m proyecta una sombra de m. Si la sombra de un edificio el mismo día, en el mismo sitio y a la misma hora mide m, cuánto mide de alto el edificio? =,7 = m La superficie de una esfera es de m. Halla la superficie de otra esfera en la que el radio mide el triple. S = = m. Teorema de Pitágoras Cuáles de las siguientes ternas son pitagóricas? a), y b) 6, 7 y c) 6, y 0 d), y a) + = b) 6 + 7? c) 6 + = 0 d) + = Son ternas pitagóricas a), c) y d) P I E N S A C A L C U L A TEMA 7. SEMEJANZA TRIGONOMETRÍA 9

En un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa divide a ésta en dos segmentos de longitudes, cm y 6 cm. Halla la longitud de dicha altura y dibuja el triángulo rectángulo. h = b c ò h = b c h =, 6 = cm c = cm A P L I C A L A T E O R Í A a b =, cm b h = cm c a = b + c ò a = b + c a =, + =, cm 9 b' =, cm c' = 6 cm a En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 0 m y la proyección del cateto b sobre ella mide,6 m. Halla: a) la longitud del cateto b b) la longitud de la proyección del cateto c sobre la hipotenusa. c) la longitud del cateto c d) la longitud de la altura relativa a la hipotenusa h e) Dibuja el triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide, cm, y un cateto, cm. Haz el dibujo y halla la longitud del otro cateto. Redondea el resultado a dos decimales. a =, cm c a) b = a b ò b = a b b = 0,6 = 6 m b) c = a b c = 0,6 = 6, m c) c = a c ò c = a c c = 0 6, = m d) h = b c ò h = b c h =,6 6, =, m e) Dibujo a = b + c ò c = a b c =, =,77 cm Dibuja la interpretación gráfica del teorema de Pitágoras en el caso en que los lados midan 6, y 0 cm b = cm 0 0 b = 6 cm b' =,6 cm h =, cm c = cm c' = 6, cm a = 0 cm En un triángulo rectángulo los catetos miden, cm y cm. Haz el dibujo y halla la longitud de la hipotenusa. Redondea el resultado a dos decimales. 0 6 6 + = 0 ò 6 + 6 = 00 6 0 SOLUCIONARIO

Cuáles de las siguientes ternas son pitagóricas? a), y b), y c), y 6 d), y a) +? ò No b) + = ò Sí c) +? 6 ò No d) + = ò Sí En una pirámide cuadrangular la arista de la base mide cm, y la altura, cm. Calcula el área lateral de dicha pirámide. Redondea el resultado a dos decimales. h =, + h =,7 cm,7 A L = =,6 cm Calcula la diagonal de un ortoedro cuyas aristas miden m, m y m D m m cm cm h cm h, cm m Aplicando el teorema de Pitágoras en el espacio: D = + + D = 9, m. Razones trigonométricas o circulares A' B' P I E N S A C A L C U L A Dado el ángulo a del dibujo: a) aplica el teorema de Pitágoras y calcula mentalmente los segmentos OA y OB b)halla las razones siguientes y di si hay alguna relación entre ellas: AA BB OA OB O a A B a) OA =, OB = 0 b) AA =, BB = = OA OB 0 Las dos razones son iguales. TEMA 7. SEMEJANZA TRIGONOMETRÍA

6 Halla todas las razones trigonométricas del ángulo a en el siguiente triángulo: A P L I C A L A T E O R Í A 9 cm cm cm a cm 6, cm sen a = / = / ò cosec a = / cos a = 9/ = / ò sec a = / tg a = /9 = / ò cotg a = / 7 Dibuja un ángulo tal que sen a = / cm cm sen a = 6,/ = 0,76 cos a =,/ = 0,6 tg a = 6,/, =,0 0 Dibuja un triángulo rectángulo con un ángulo agudo a de 0 y aproima, midiendo en el dibujo, el valor del sen a, cos a y tg a a, cm a 6, cm cm Dibuja un ángulo tal que cos a = /6 0, cm sen 0 = /6, = 0,6 cos 0 =,/6, = 0,76 tg 0 = /, = 0, 9 a Calcula de forma aproimada el valor del sen a, cos a y tg a en el siguiente dibujo: a 6 cm cm Calcula, usando la calculadora, el valor de las siguientes razones trigonométricas. Redondea el resultado a decimales. a) sen b) cos 6 c) tg 0 d) sen 6 a) 0,99 b) 0,76 c),07 d) 0,76 Calcula, usando la calculadora, la amplitud del ángulo agudo a: a) sen a = 0,76 b) cos a = 0,907 SOLUCIONARIO

c) tg a =,90 d) cos a = 0,76 a) 7 b) 67 7 c) 6 0 d) 67 Elisa y su sombra forman un ángulo recto. La sombra mide, m y el ángulo con el que se ve la parte superior de su cabeza desde el etremo de la sombra mide 0. Calcula la altura de Elisa. 0', m tg 0 = ò =, tg 0 =,70 m,. Relaciones entre las razones trigonométricas Dibuja un triángulo rectángulo isósceles. a) Cuánto miden sus ángulos agudos? b) Calcula el valor de la tangente de uno de sus ángulos agudos. P I E N S A C A L C U L A C b = cm a) Los ángulos miden 90 : = b) tg = / = B c = cm A Sabiendo que sen a = /, calcula cos a A P L I C A L A T E O R Í A Sabiendo que sec a = 7/, calcula tg a sen a + cos a = ( ) + cos a = cos a = tg a + = sec a 7 tg a + = ( ) tg a = TEMA 7. SEMEJANZA TRIGONOMETRÍA

6 Sabiendo que tg a =, calcula sen a tg a + = sec a + = sec aòsec a = 0 ò sec a = 0 0 cos a = = 0 0 sen a 0 tg a = ò sen a = tg a cos a = cos a 0 7 Calcula cos 0 sabiendo que se verifica que sen 0 = 0,7660 cos 0 = sen 0 = 0,7660 Sabiendo que sen a = /, calcula las restantes razones trigonométricas de a cosec a = = sen a sen a + cos a = ( ) + cos a = ò cos a = 6 cos a = sec a = = = cos a sen a tg a = = : = = cos a cotg a = = = tg a 9 Sabiendo que sen 0 = 0,0 y cos 0 = 0,997, calcula: a) cos 70 b) sen 70 c) tg 0 d) tg 70 a) cos 70 = sen 0 = 0,0 b) sen 70 = cos 0 = 0,997 sen 0 c) tg 0 = = 0,69 cos 0 sen 70 d) tg 70 = =,777 cos 70 0 Simplifica la siguiente epresión: cos a + sen a tg a sen a cos a + sen a tg a = cos a + sen a = cos a cos a + sen a = = = sec a cos a cos a Simplifica la siguiente epresión: + tg a sec a + tg a sec a = = sec a sec a sec a SOLUCIONARIO

Ejercicios y problemas. Teorema de Thales Sabiendo que AB = 7, cm, BC = 0 cm y B C = cm, halla la longitud del segmento A B. Qué teorema has aplicado? a r A s A' a b = a b = 6 9 =, cm b c B C C' B' Un árbol de,6 m proyecta una sombra de, m. En el mismo sitio, el mismo día y a la misma hora, la sombra de una antena de telefonía móvil mide m. Cuánto mide de alto la antena de telefonía móvil? A B B C = AB BC A B = 7, 0 A B = 9 cm Hemos aplicado el teorema de Thales. Sabiendo que AB = m,ac = 6 m y AB =, m, halla la longitud del lado AC. Cómo están los triángulos ABC y AB C?, =,6 = 69, cm 6 El volumen de una esfera es de 7, cm. Halla el volumen de otra esfera en la que el radio mide el doble. V = 7, = 60 cm B' m, m B 6 m A C C' A B AC = AB AC, AC = 6 AC = 9 cm Los triángulos ABC y AB C están en posición de Thales.. Teorema de Pitágoras 7 En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 7, cm, y uno de los segmentos en que la divide la altura correspondiente mide 6 cm. Dibuja el triángulo rectángulo y halla la longitud de dicha altura. b h b' = 6 cm a = 7, cm c Un ángulo de un triángulo mide y los lados que lo forman miden a = 6 cm y b = 9 cm. En otro triángulo semejante se sabe que un ángulo mide y que uno de los lados que lo forman mide a = cm. Cuánto mide el otro lado del ángulo de? h = b c b = 6 cm c = a b = 7, 6 =, cm h = 6, = 9 h = cm TEMA 7. SEMEJANZA TRIGONOMETRÍA

Ejercicios y problemas En un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa divide a ésta en dos segmentos que miden b = cm y c = cm. Halla: a) el cateto b b) el cateto c a) b = a b a = b + c = + = 0 cm b = 0 b = 0 cm b) c = a c c = 0 c = 0 cm b b' = cm h c c' = cm a = cm c b =, cm a = b + c ò c = a b c =, =,9 cm Cuáles de las siguientes ternas son pitagóricas? a), 7 y 9 b) 6, y 0 c) 7, 9 y d)0, y 6 a) + 7? 9 ò No b) 6 + = 0 ò Sí c) 7 + 9? ò No d) 0 + = 6 ò Sí 9 En un triángulo rectángulo los catetos miden cm y cm. Haz el dibujo y halla la longitud de la hipotenusa y el área del triángulo rectángulo. Dibuja un cuadrado de cm de lado y su diagonal. Halla la longitud de la diagonal. Redondea el resultado a un decimal y comprueba el resultado midiendo con una regla. c = cm a d cm a = b + c ò a = b + c a = + = cm Área = = 6 cm b = cm d = + d =,7 cm cm 0 En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide cm, y un cateto,, cm. Haz el dibujo y halla la longitud del otro cateto. Redondea el resultado a dos decimales. Del siguiente cono se sabe que el radio de la base mide cm y la generatriz mide cm. Calcula el volumen de dicho cono. Redondea el resultado a dos decimales. 6 SOLUCIONARIO

H G = cm H G = cm cos a = /0 = / ò sec a = / tg a = / = / ò cotg a = / R = cm R = cm 6 Calcula el valor del seno, el coseno y la tangente del siguiente ángulo: Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la altura H a R + H = G ò H = G R H = = cm V = A B H V = π = 7,70 cm Calcula la diagonal de un ortoedro cuyas aristas miden 7, cm,, cm y,6 cm,7 cm cm sen a = /,7 = 0, a, cm cos a =,/,7 = 0, tg a = /, =,67 D,6 cm 7 Dibuja un ángulo agudo a tal que cos a = / 7, cm, cm cm Aplicando el teorema de Pitágoras en el espacio: D = 7, +, +, D = 9, cm a cm Dibuja un ángulo agudo a tal que tg a = /. Razones trigonométricas o circulares Halla todas las razones trigonométricas del ángulo a en el siguiente triángulo: cm 0 cm cm αa sen a = /0 = / ò cosec a = / 9 a cm cm Calcula la longitud de los catetos en el siguiente triángulo rectángulo sabiendo que se verifica que sen 0 = 0, y cos 0 = 0,660 TEMA 7. SEMEJANZA TRIGONOMETRÍA 7

Ejercicios y problemas y sen 0 = 0 y 0, = ò y = 0, 0 = 0 cm 0 cos 0 = 0 0,660 = ò = 0,660 0 = 7, cm 0 0 Dibuja los siguientes ángulos y aproima midiendo en el dibujo el valor del seno, el coseno y la tangente.aproima el resultado a dos decimales: a) 0 b) 0 a) 0 0 0 cm,9 cm sen 0 =,7/,9 = 0, cos 0 =,6/,9 = 0,9 tg 0 =,7/,6 = 0,7 b),6 cm y,7 cm a) sen 0 b) cos 7 0 0 c) tg 6 0 d) sen 6 a) 0,676 b) 0,979 c),9 d) 0, Halla, usando la calculadora, la amplitud del ángulo agudo a: a) sen a = 0,0 b) cos a = 0,7 c) tg a = 0,7 d) cos a = 0,7970 a) a = b) a = 60 0 c) a = 0 6 d) a = 7 9 0. Relaciones entre las razones trigonométricas Sabiendo que sen a = /, calcula cos a sen a + cos a = ( ) + cos a = ò cos a = Sabiendo que cos a = 9/, calcula tg a tg a + = sec a tg a + = ( ) 9 tg a = 7,9 cm 6 cm Sabiendo que tg a = /, calcula sen a sen 0 = 6/7,9 = 0,76 cos 0 = /7,9 = 0,6 tg 0 = 6/ =, 0 cm Halla, usando la calculadora, el valor de las siguientes razones trigonométricas. Redondea los resultados a decimales. tg a + = sec a ( ) + = sec a sec a = cos a = = sen a tg a = cos a SOLUCIONARIO

sen a = tg a cos a = = 6 7 Sabiendo que cos 7 = 0,090, calcula sen º sen = cos 7 = 0,090 Sabiendo que cos a = /, calcula las restantes razones trigonométricas. sec a = = cos a sen a + cos a = sen a + ( ) = sen a = cosec a = = = sen a sen a tg a = = : = cos a cotg a = = = tg a Simplifica la siguiente epresión: sen a cos a cos a sen a sen a cos a sen a + sen a = = cos a sen a sen a sen a sen a = = sen a Para ampliar 9 Se tiene un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles, como se indica en la siguiente figura: Sabiendo que la base del triángulo es B = 6 cm, y la altura, H = 9 cm, y que la altura del rectángulo es h = cm, halla cuánto mide la base del rectángulo. C Los triángulos ABC y AB C son semejantes. AB B C = AB BC = 9 =, cm Base del rectángulo: (,) =, cm 60 Dibuja dos triángulos equiláteros distintos. Razona si son semejantes. h = cm A C' B' B cm H = 9 cm Sí son semejantes, porque los ángulos de uno son iguales a los ángulos del otro. TEMA 7. SEMEJANZA TRIGONOMETRÍA 9

Ejercicios y problemas 6 Los lados de un triángulo miden a = cm, b = 7, cm y c = 9 cm. Halla la medida de los lados a, b y c de un triángulo semejante en el que r =, a =, a a =, = 7, cm b =, b b =, 7, =, cm c =, c c =, 9 =, cm a) +, =, < = ò Obtusángulo. b), + =, ò Rectángulo. c) +, = 0, > = 9 ò Acutángulo. d), + 6 = 6, ò Rectángulo. 6 Halla el radio de la circunferencia circunscrita al siguiente heágono: R 6 6 Un palo de un metro de longitud colocado verticalmente proyecta una sombra de un metro. Si el mismo día, a la misma hora y en el mismo lugar la sombra de la pirámide Kefrén mide 6 m, calcula mentalmente lo que mide de alto la pirámide de Kefrén. La pirámide de Kefrén mide lo mismo que la sombra, es decir, 6 m 6 El radio de una circunferencia mide metros, y el radio de otra circunferencia es el triple. Calcula cuántas veces es mayor la longitud de la segunda circunferencia y el área del círculo correspondiente. Longitud: L = L L = L La longitud es el triple. Área: A = A A = 9A El área es nueve veces mayor. Clasifica los siguientes triángulos en acutángulos, rectángulos y obtusángulos: a) a = cm, b =, cm, c = cm b) a =, cm, b = cm, c =, cm c) a = cm, b =, cm, c = cm d) a =, cm, b = 6 cm, c = 6, cm 66 R a = 7 m Calcula la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son, cm,, cm y, cm Se aplica el teorema de Pitágoras en el espacio: D =, +, +, D =,6 cm 67 Dibuja un ángulo agudo a que cumpla: a) sen a = / b) cos a = / a) cm a = 7 m En el heágono coincide la longitud del lado y del radio de la circunferencia circunscrita; por tanto, R = 7 m D, cm cm, cm a, cm 0 SOLUCIONARIO

b) cm c tg = = 0,700 c = 0,700 =,0 cm c sen = = 0,76 a,0 a = =,66 cm 0,76 B = a cm 70 Halla cos a y tg a sabiendo que sen a = / 6 Dibuja un ángulo agudo a que cumpla: a) tg a = / b) sec a = 7/ a) cm sen a + cos a = ( ) + cos a = cos a = sen a tg a = = cos a 7 Calcula sen a y tg a sabiendo que se verifica que cos a = / b) a cm 7 cm sen a + cos a = sen a + ( ) = sen a = sen a tg a = = cos a 69 Calcula a, c y B en el siguiente triángulo rectángulo, sabiendo que tg = 0,700 y sen = 0,76. Aproima el resultado a dos decimales. B c a A cm a b = cm C 7 Si tg a =, calcula las restantes razones trigonométricas. cotg a = tg a + = sec a + = sec aòsec a = 7 7 sec a = 7 ò cos a = = 7 7 sen a tg a = cos a TEMA 7. SEMEJANZA TRIGONOMETRÍA

Ejercicios y problemas 7 7 sen a = tg a cos a = = 7 7 7 cosec a = 7 Calcula redondeando a cuatro decimales: a) sen 0 b) cos 0 c) tg 0 0 7 Simplifica la siguiente epresión: cos a + cos a sen a cos a + cos a ( cos a) = = cos a + cos a cos a = = cos a Con calculadora 7 Calcula redondeando a cuatro decimales: a) cos 7 0 0 b) tg 0 0 0 c) sen 9 0 a) 0,79 b) 0, c) 0,7 76 Calcula redondeando a cuatro decimales: a) sec 0 b) cotg 0 c) cosec a),7 b),66 c),60 a) 0,97 b) 0,7 c) 0,6 Problemas 77 Dado el siguiente dibujo, calcula la medida de la altura H del cono grande. h =, m R H, H = ò = r h,, H =, m r =, m R =, m 7 Los lados de un triángulo miden a = cm, b =, cm y c =, cm. Sabiendo que en otro triángulo semejante a = cm, halla la medida de los lados b y c Razón de semejanza: a r = a r = =, b =,, = 6, cm c =,, =,7 cm SOLUCIONARIO

79 Se tiene un rectángulo inscrito en una circunferencia, como se indica en la siguiente figura: Sabiendo que el radio de la circunferencia es R =, cm y que la altura del rectángulo es h =, cm, halla cuánto mide la base del rectángulo. B C A B 0,,7 El triángulo dibujado es rectángulo en A porque un lado es un diámetro y el ángulo opuesto está inscrito en una circunferencia y vale la mitad del central correspondiente: 0 / = 90 Aplicando el teorema de la altura: =,7 0, = 0, cm Base del rectángulo: = 0, =,66 cm C A a) a = b + c a = + = 0 cm b) h = b c ò h = b c h = = cm c) b = a b ò b = a b b = 0 = 0 cm d) c = a c ò c = a c c = 0 = 0 cm e) Área = b c Área = 0 0 = 600 cm Un rectángulo mide 00 m de perímetro y 00 m de área. Halla el área de otro rectángulo semejante que mide 000 m de perímetro. P r = P 000 r = =, 00 A = r A A =, 00 = 6 m Halla la altura de un triángulo equilátero de 7 m de lado. Redondea el resultado a dos decimales. 0 En un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa divide a ésta en dos segmentos que miden b = cm y c = cm. Halla: a) la longitud de la hipotenusa a b) la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. c) el cateto b d) el cateto c e) el área de dicho triángulo rectángulo. c c' = cm a h b b' = cm 7 m h, m h +, = 7 h = 6,06 m Halla el área del siguiente romboide: cm a cm 6 cm TEMA 7. SEMEJANZA TRIGONOMETRÍA

Ejercicios y problemas a + = a =, cm Área:, = 6,6 cm cm D cm Halla el área del siguiente trapecio rectángulo: cm a 6, cm D = + D = 7,07 cm R = D/ =, cm 7 cm a + = 6, a =,00 cm 7 + Área = = cm 7 Una antena de radio proyecta una sombra de 7 m. El mismo día, a la misma hora y en el mismo lugar, Sonia, que mide,7 m, proyecta una sombra de,0 m. Calcula la altura de la antena de radio.,0 7 = ò =, m,7 Halla el área de un heágono regular de m de lado. Redondea el resultado a dos decimales. Halla el volumen de un cono recto en el que el radio de la base mide m y la generatriz mide 9 m. Redondea el resultado a dos decimales. m a + 7, = a =,99 =,00 m 6 Área = = cm a 7, m m H G = 9 m R = m 6 Halla el radio de la circunferencia circunscrita al siguiente cuadrado: R a = cm H + = 9 H = 7, m V = A B H V = π 7, = 9, m 9 Calcula la diagonal de una habitación cuyas dimensiones son 6 m Ò m Ò m SOLUCIONARIO

m Se aplica el teorema de Pitágoras: H + = 7, H = 6,7 cm 90 D 6 m m Se aplica el teorema de Pitágoras en el espacio: D = 6 + + ò D = 7, m Dibuja una pirámide regular cuadrangular en la que la arista de la base mide cm y la apotema mide 6, cm. Calcula su volumen. 9 Calcula la diagonal de un prisma recto cuadrangular cuya base tiene cm de arista y 0 cm de altura. D 0 cm Se aplica el teorema de Pitágoras en el espacio: D = + + 0 D =,9 cm cm cm H 6, cm 9 Se tiene un cilindro inscrito en un cono, como se indica en la siguiente figura: Se aplica el teorema de Pitágoras: H +, = 6, H = 6 cm V = A B H V = 6 = 0 cm 9 Dibuja un cono recto en el que el radio de la base mide cm y la generatriz mide 7, cm. Halla su altura. cm H cm H cm, cm G = 7, cm Sabiendo que la altura del cono es H = cm, el radio del cono es R = 0 cm, y que el radio del cilindro mide r = cm, halla cuánto mide la altura h del cilindro. Haciendo una sección se tiene un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles. Los triángulos ABC y AB C son semejantes. A B B C 6 h = ò = ò =, cm AB BC 0 H h r H = cm R C r = cm C' h 6 cm B' B 0 cm A TEMA 7. SEMEJANZA TRIGONOMETRÍA

Ejercicios y problemas 9 Se tiene un cono inscrito en una esfera, como se indica en la siguiente figura: 96 Calcula el área del siguiente tronco de pirámide: m m r 7 m H = m h m m 9 m H = m h m Sabiendo que el radio de la esfera es R = 9 cm y que la altura del cono es h = cm, halla cuánto mide el radio de la base del cono. Haciendo una sección se tiene un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia. C C Se aplica el teorema de Pitágoras: h = + h = 0 m A B = 7 = 6 0 m A B = = 76 m 7 + A L = 0 = 7 00 m A T = 6 0 + 76 + 7 00 = 0 m B r A cm H cm B El triángulo dibujado ABC es rectángulo en A porque un lado es un diámetro y el ángulo opuesto está inscrito en una circunferencia y vale la mitad del central correspondiente: 0 / = 90 Aplicando el teorema de la altura: r = = 6 ò r = 7, cm r A 97 Un árbol forma con su sombra un ángulo recto. Si la sombra mide, m, y el ángulo con el que se ve la parte superior del árbol, desde el etremo de la sombra, mide 0 0, calcula la altura del árbol. tg 0 0 =, 9 Halla el radio de la base de un cono recto en el que la altura mide 6 m, y la generatriz, 6, m 0 0', m =, tg 0 0 = = 0, m 9 Desde un punto en el suelo situado a 0 m del pie de la fachada de un edificio se ve el tejado del mismo con un ángulo de 0. Calcula la altura del edificio. H = 6 m G = 6, m R Se aplica el teorema de Pitágoras: R + 6 = 6, R =, m R tg 0 = 0 = 0 tg 0 =, m 0 0 m 6 SOLUCIONARIO

99 Calcula en un triángulo rectángulo el lado b, siendo a =,9 cm y B = 9 a b,9 cm b sen 9 =,9 b =,9 sen 9 =,7 cm 9 6, cos 6 = a, a = = 6, cm cos 6, cm 00 Calcula en un triángulo rectángulo el lado a, siendo b =, cm y B = 0, cm, sen = a, a = = 6, cm sen Calcula en un triángulo rectángulo el lado c, siendo a = 6,6 cm y B = a 0 0 Calcula en un triángulo rectángulo el lado c, siendo b =, cm y B =, tg = c, c = =,0 cm tg c b =, cm Calcula en un triángulo rectángulo el ángulo B, siendo a =,6 cm y b =, cm c cos = 6,6 c = 6,6 cos =,0 cm 0 6,6 cm c Calcula en un triángulo rectángulo el lado a, siendo c =, cm y B = 6, sen B =,6 B = 7 9 b =, cm a =,6 cm 0 Calcula en un triángulo rectángulo el ángulo C, siendo a = 6,9 cm y b =, cm B TEMA 7. SEMEJANZA TRIGONOMETRÍA 7

Ejercicios y problemas cos a ( + cos a)( cos a) = = + cos a cos a cos a a = 6,9 cm, cos C = 6,9 C b =, cm Para profundizar 09 Se tiene un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia, como se indica en la siguiente figura: C = 06 Calcula en un triángulo rectángulo el ángulo B, siendo b =,6 cm y c =, cm b =,6 cm Sabiendo que el diámetro de la circunferencia es D = 7 cm y que la altura del triángulo es h = 6 cm, halla cuánto mide la base del triángulo isósceles. C C B c =, cm 6 cm,6 tg B =, B = B A cm B A 07 Desde un barco se mide con un radar la distancia a la cima de una montaña, que es de 00 m. El ángulo de elevación con el que se ve la cima desde el barco es de. Calcula la altura de la montaña. 00 m El triángulo dibujado ABC es rectángulo en A porque un lado es un diámetro y el ángulo opuesto está inscrito en una circunferencia y vale la mitad del central correspondiente: 0 / = 90 Aplicando el teorema de la altura: = 6 =, cm Base del triángulo: =, =,90 cm sen = 00 = 00 sen = 7,6 m 0 Simplifica la siguiente epresión: sen a cos a 0 Halla el radio de la circunferencia circunscrita al siguiente triángulo equilátero. R a = cm SOLUCIONARIO

R h cm a = cm Haciendo una sección se tiene un rectángulo inscrito en una circunferencia. r B, H r A h + = h = 6,9 cm El radio es los / de la altura por una propiedad de las medianas de un triángulo. R = 6,9 =,6 cm Se tiene un triángulo rectángulo cuyos lados miden a = 0 cm, b = cm y c = 6 cm. En la interpretación geométrica del teorema de Pitágoras, cambia el cuadrado por un semicírculo. Calcula el área de los tres semicírculos y comprueba si se sigue verificando la interpretación geométrica del teorema de Pitágoras. El triángulo dibujado ABC es rectángulo en A porque un lado es un diámetro y el ángulo opuesto está inscrito en una circunferencia y vale la mitad del central correspondiente: 0 / = 90 Aplicando el teorema de la altura: r = 6,, = 9,7 r =, cm Calcula la altura de un tetraedro de arista 6 cm 6, C a = 0 cm c = 6 cm 6 cm b = cm H Área del semicírculo de radio a = 0 cm A = π 0 / = 7,0 cm Área del semicírculo de radio b = cm A = π / = 00, cm Área del semicírculo de radio c = 6 cm A = π 6 / = 6, cm A + A = 00, + 6, = 7,0 cm Vemos que se sigue verificando la interpretación geométrica del teorema de Pitágoras. Se tiene un cilindro inscrito en una esfera. Sabiendo que el radio de la esfera es R = cm y la altura del cilindro es h = cm, halla cuánto mide el radio de la base del cilindro. En primer lugar tenemos que hallar la altura del triángulo equilátero de la base, para poder hallar posteriormente 6 cm 6 cm h cm cm Se aplica el teorema de Pitágoras: h + = 6 h =,0 cm Por la propiedad de las medianas de un triángulo, éstas se cortan en un punto que está a / del vértice. Se tiene: TEMA 7. SEMEJANZA TRIGONOMETRÍA 9

Ejercicios y problemas = h =,0 =,7 cm Se obtiene otro triángulo rectángulo formado por, H y una arista: H 6 cm Los triángulos ABC y AB C son semejantes porque tienen los ángulos iguales; por tanto, los lados son proporcionales: AB B C = AB BC 6 r = r =, m =,7 cm Se aplica el teorema de Pitágoras: H +,7 = 6 H =,9 cm El radio de la base de un cono mide cm y la altura mide m. Se corta por un plano paralelo a la base a m de la misma. Qué radio tendrá la circunferencia que hemos obtenido en el corte? Eiste algún ángulo a tal que sen a = / y cos a = /? Para que sea posible se debe cumplir la propiedad fundamental sen a + cos a = ( ) + ( ) =? 00 No se cumple. A H h H = m h = 6 m r B' r C' R = m R B C 0 SOLUCIONARIO

Aplica tus competencias Cálculo de alturas 6 Desde un punto en el suelo situado a 0 metros del pie de una torre se traza la visual a la cúspide de la torre con un ángulo de. Cuál es la altura de la torre? tg = =,, = 0, m m tg = 0 = 0 tg =,0 m 0 m Un tramo de carretera salva en 00 m, medidos sobre la carretera, un desnivel de m. Cuál es el ángulo de inclinación de la carretera? sen = /00 = 0,0 = 9 00 m m Cálculo de inclinaciones 7 Cuál es la inclinación de los rayos del sol si un mástil de m proyecta un sombra sobre el suelo de, m?, m m 9 Una carretera sube 0 m en 0 m medidos en horizontal. Cuál es el ángulo de inclinación? tg = 0/0 = 0,0 = 6 0 m 0 m TEMA 7. SEMEJANZA TRIGONOMETRÍA

Comprueba lo que sabes Define las razones sen a, cos a y tg a en un triángulo rectángulo y pon un ejemplo. a cm Hipotenusa h y α Cateto contiguo cm cm Cateto opuesto a) El seno del ángulo a es la razón entre el cateto opuesto al ángulo a y la hipotenusa. cateto opuesto y sen a =, sen a = hipotenusa h b) El coseno del ángulo a es la razón entre el cateto contiguo al ángulo a y la hipotenusa. cateto contiguo cos a =, cos a = hipotenusa h c) La tangente del ángulo a es la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo. cateto opuesto y tg a =, tg a = cateto contiguo Ejemplo Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo a en el triángulo rectángulo de la figura del margen. sen a = / cos a = / tg a = / Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan, cm y 6 cm. Dibuja otro triángulo rectángulo menor en posición de Thales tal que su cateto menor mida cm. Calcula la longitud del otro cateto. 6, = ò = cm cm, cm 6 cm 0,7 = ò =,6 cm m 0 m,7 m Un edificio proyecta una sombra de 0 m. El mismo día, y a la misma hora, un palo de m proyecta una sombra de,7 m en el mismo lugar. Calcula la altura del edificio. Calcula b, c, c y h en el triángulo de la figura: b h,6 cm 0 cm c c' SOLUCIONARIO

b = a b ò b = a b b = 0,6 = 6 cm c = a b c = 0,6 = 6, cm c = a c ò c = a c c = 0 6, = cm h = b c ò h = b c h =,6 6, =, cm 7 Calcula el volumen de un cono en el que el radio de la base mide cm y la generatriz mide cm H G = cm Dibuja un ángulo agudo a en un triángulo rectángulo tal que cumpla que sen a = /. Cuántos triángulos puedes dibujar con esa condición? cm cm R = cm Se aplica el teorema de Pitágoras: + H = H = = cm V = π =,6 cm Se pueden dibujar infinitos triángulos, ya que el seno depende del ángulo y no depende del tamaño del triángulo. α Con qué ángulo de inclinación se verá el tejado de un edificio, que tiene 0 m de altura, desde una distancia de 6 m de la fachada? 6 Sabiendo que cos a = 0,, calcula sen a y tg a 0 m sen a + cos a = sen a + 0, = sen a = 0,9 sen a 0,9 tg a = = =, cos a 0, 0 tg = = 0, 6 = 9 6 6 m TEMA 7. SEMEJANZA TRIGONOMETRÍA

Linu/Windows GeoGebra Paso a paso 0 Comprueba el teorema de Thales. Resuelto en el libro del alumnado. Dibuja un ángulo, mide su amplitud y calcula e interpreta el valor del seno. Resuelto en el libro del alumnado. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema. SOLUCIONARIO

Windows Cabri Practica Comprueba el teorema de Pitágoras. Dibuja un ángulo, mide su amplitud y calcula e interpreta el valor de la tangente. Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. Dibuja un ángulo, mide su amplitud y calcula e interpreta el valor del coseno. Resuelto en el libro del alumnado. TEMA 7. SEMEJANZA TRIGONOMETRÍA

Resolución de triángulos rectángulos. Circunferencia goniométrica P I E N S A C A L C U L A Escribe la fórmula de la longitud de un arco de circunferencia de radio m, y calcula, en función de π, la longitud del arco correspondiente a: a) 90 b) 0 c) 70 d) 60 L = π nº 60 a) π 90 = π m b) π 0 = π m c) π 70 = π m d) π 60 = π m 60 60 60 60 Pasa los ángulos siguientes a radianes: a) 0 b) 0 c) 70 d) π rad π a) 0 = rad 0 6 π rad π b) 0 = rad 0 π rad π c) 70 = rad 0 π rad 7π d) = rad 0 Pasa los ángulos siguientes a grados: a) 0, rad b) rad c), rad d), rad 0 a) 0, rad = π rad 0 b) rad = 7 7 π rad 0 c), rad = 6 7 π rad 0 d), rad = π rad Determina cos a sabiendo que el ángulo a está en el cuadrante y que sen a = 0, 0, cos a sen a + cos a = 0, + cos a = ò cos a = 0,979 A P L I C A L A T E O R Í A Calcula tg a, sabiendo que el ángulo a está en el er cuadrante y que cos a = 0,7 a 6 SOLUCIONARIO

0 0,7 a O cos 0 sec 0 tg a sen a + tg a = sec a + tg a = ( ) 0,7 tg a =,00 O 0 cotg 0 tg 0 Determina las razones trigonométricas del ángulo a si está en el cuadrante y sen a = 0, 7 Dibuja en la circunferencia unidad los ángulos siguientes: a) b) 70 c) 00 a cos a 0, tg a a) = + 60 sen a + cos a = ( 0,) + cos a = ò cos a = 0,96 sen a tg a = = 0,6 cos a sec a =,09 cosec a =, cotg a =,9 b) 70 = 0 + 6 60 0 6 Dibuja en la circunferencia unidad el ángulo de 0 y dibuja el segmento que representa a cada una de las razones trigonométricas. c) 00 = 00 + 60 O cosec 0 0 sen 0 00 TEMA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 7

. Reducción de razones, identidades y ecuaciones Dibuja en la circunferencia unidad todos los ángulos que cumplen que: a) sen a = / b) cos a = / a) b) P I E N S A C A L C U L A / / Dibuja en la circunferencia unidad dos ángulos que cumplan: a) sen a = / b) cos a = / c) sec a =, d) tg a = d) tg a = A P L I C A L A T E O R Í A a) / b) / c) sec a =, ò cos a = 0,, 9 Calcula, reduciendo al er cuadrante, las razones trigonométricas siguientes: a) cos 0 b) sen 00 a) 0 60 0, cos 0 = cos 60 = SOLUCIONARIO

b) b) 0 = 0 + 60 00 60 0 0 0 sen 00 = sen 60 = Calcula, reduciendo al er cuadrante, las razones trigonométricas siguientes: a) tg 0 b) sen cos 0 = cos 0 = cos 0 = c) = + 6 60 a) 0 0 tg = tg = tg = d) 0 = 00 + 7 60 b) tg 0 = tg 0 = 00 60 cos 0 = cos 00 = cos 60 = / sen = sen = Calcula, reduciendo al er cuadrante, las razones trigonométricas siguientes: a) sen 0 b) cos 0 c) tg d) cos 0 a) 0 = 0 + 60 Demuestra que: a) sec tg = b) (cosec + tg ) cos = sen + cotg sen sen cos a) = = = cos cos cos cos sen cos b) ( ) + cos = + sen = sen cos sen = cotg + sen sen 0 = sen 0 = / 0 Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: sen = sen = / TEMA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 9

6 sen cos = 0 0 = 0 + 60 k, k é = 0 + 60 k, k é cos = sec 0 / sen ( sen ) = 0 sen + sen = 0 sen + sen = 0 ± 9 + 6 ± / sen = = = La solución sen = no tiene sentido, porque sen Ì sen = / cos = cos cos = cos = ± a) cos = 0 = 0 + 60 k, k é = 0 + 60 k, k é 0 / 0 7 sen = = 60 k, k é b) cos = = 90 = 0 = 0 + 60 k, k é = + 60 k, k é cos = cos = 0 = 0 + 60 k, k é = 0 + 60 k, k é 0 sen cos = 0 sen = 0 { cos = 0 a) sen = 0 0 0 0 SOLUCIONARIO

= 60 k, k é = 0 k, k é = 0 + 60 k, k é } = 90 + 60 k,k é = 90 + 0 k, k é = 70 + 60 k,k é } b) cos = 0 70 90. Resolución de triángulos rectángulos P I E N S A C A L C U L A Escribe la razón trigonométrica que relaciona directamente el valor de los datos conocidos en el triángulo del margen y el ángulo correspondiente. Utilizando la calculadora, halla dicho ángulo. a = cm B? b = cm sen B = B = 7 9 A P L I C A L A T E O R Í A En un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa a = m y un cateto b = m. Calcula los demás elementos. a = m Área? B? c? C? b = m Datos a = m b = m Incógnitas c B Fórmulas a = b + c ò c = a b Resolución c = = m sen B b = sen B = ò B = 7 a C C = 90 B C = 6 Área Área = b c Área = = 6 m TEMA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

0 En un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa a =, m y el ángulo B = 7. Calcula los demás elementos. Datos Incógnitas Fórmulas Resolución C? a =, m Área? B = ' 7'' c? a =, m B = 6 b? C b c Área C = 90 B b sen B = ò b = a sen B a c cos B = ò c = a cos B a Área = b c C = b =, sen 7 =,6 m c =, cos 7 =,67 m Área =,6,67 =,79 m En un triángulo rectángulo se conocen el cateto b =, m y el ángulo opuesto B = 7 0. Calcula los demás elementos. Datos Incógnitas Fórmulas Resolución C? a? Área? B = 7 ' 0'' c? b =, m a =, m B = 7 0 C a c Área C = 90 B sen B b b = ò a = a sen B c tg C = ò c = b tg C b Área = b c C = 0, a = = b =,79 m sen 7 0 c =, tg 0 =,6 m Área =,,6 =, m En un triángulo rectángulo se conocen los dos catetos b =, cm y c =, cm. Calcula los demás elementos. a? Área? C? b =, cm Datos b =, cm c =, cm Incógnitas a B Fórmulas a = b + c ò a = b + c Resolución c =, +, =,70 cm tg B b = tg B, = ò B = 7 0 c, C C = 90 B C = 7 0 B? c =, cm Área Área = b c Área =,, = 7, cm SOLUCIONARIO

. Aplicaciones al cálculo de distancias, áreas y volúmenes Calcula mentalmente el ángulo relleno de rojo del siguiente pentágono regular. P I E N S A C A L C U L A a a = 60 : = 7 Una antena de telefonía móvil está en una llanura dentro de una cerca en la que está prohibido entrar. Para hallar su altura, medimos desde un punto eterior el ángulo de elevación y se obtienen 6. Nos alejamos 0 m y el nuevo ángulo de elevación es de. Calcula la altura de la antena de telefonía móvil. h tg 6º = } h tg º = 0 + A P L I C A L A T E O R Í A =,7 m h =,0 m La antena de telefonía móvil mide, m de alto. Calcula el área de un heptágono regular en el que el lado mide,6 cm 6 0m 60 : =,6 cm D ' '' a ' '' a, cm, cm h A 90 6 0 m B C, tg = a a =,7 cm P a Área = 7,6,7 Área = = 7, cm TEMA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Calcula el área de un prisma regular pentagonal en el que la arista de la base mide 6 m, y la altura, m jamos en la misma dirección 00 m y el nuevo ángulo de elevación es de. Halla la altura de la catedral. 6 m m 6 00m 6 m D tg 6 = a a a 6 m h a =, m 6, A B = = 6,9 m A L = 6 = 0 m A T = 6,9 + 0 = 7,90 m 6 Para medir la altura de una catedral, medimos el ángulo de elevación de la parte más alta desde un punto determinado y obtenemos 6 ; nos ale- 90 6 A B h tg 6º = } h tg º = 00 + 00 m = 6, m h =,7 m La catedral mide,7 m de alto. C SOLUCIONARIO

Ejercicios y problemas. Circunferencia goniométrica 7 Pasa los ángulos siguientes a radianes: a) b) 0 c) 0 d) 0 π rad π a) = rad 0 π rad π b) 0 = rad 0 6 π rad 7π c) 0 = rad 0 6 π rad π d) 0 = rad 0 6 Pasa los ángulos siguientes a grados a) rad b) π/9 rad c) π/ rad d),7 rad 0 a) rad = 0 π rad π 0 b) rad = 0 9 π rad π 0 c) rad = 00º π rad 0 d),7 rad = 97 0 π rad 9 Determina todas las razones trigonométricas del ángulo a si cos a = 0, y el ángulo a está en el er cuadrante. sec a =, cosec a =,6667 cotg a =, 0 Si la tg a = 0, y a está en el º cuadrante, determina el resto de las razones trigonométricas. tg a = 0, + tg a = sec a + ( 0,) = sec aòsec a =,0 cos a = 0,9 sen a tg a = ò sen a = 0,7 cos a cosec a =,6 cotg a = Si el ángulo a está en el º cuadrante y tenemos cosec a =,, determina las razones trigonométricas del ángulo a cosec a =, ò sen a = 0,, 0, a cos a = 0, 0, sen a + cos a = sen a + ( 0,) = ò sen a = 0,6 sen a tg a = = 0,7 cos a a sen a + cos a = 0, + cos a = ò cos a = 0,96 sec a =,09 sen a tg a = = 0,6 cos a cotg a =,9 Dibuja en la circunferencia unidad el ángulo de y dibuja el segmento que representa a cada una de las razones trigonométricas. TEMA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Ejercicios y problemas cosec sen 0 tg 0 cotg 0 sec cos cotg tg. Reducción de razones, identidades y ecuaciones Dibuja en la circunferencia unidad los ángulos que cumplan que: a) sen a = 0,7 b) cos a = 0, a) 0,7 Dibuja en la circunferencia unidad el ángulo de 0 y dibuja el segmento que representa a cada una de las razones trigonométricas. b) 0, 0 sen 0 Dibuja en la circunferencia unidad dos ángulos que cumplan que: cos 0 cosec 0 0 sec 0 a) cosec a =, b) tg a =, a) cosec a =,, 6 SOLUCIONARIO

b) tg a =, d), 0 60 sen 0 = sen 60 = 7 Demuestra la siguiente identidad: cos a + cos a sen a = cos a 6 Calcula, reduciendo al er cuadrante, las razones trigonométricas siguientes: a) sen 0 b) cos 0 c) tg 0 d) sen 0 a) b) 0 sen 0 = sen 0 = 0 cos a + cos a sen a = = cos a + cos a ( cos a) = = cos a + cos a cos a = cos a Demuestra la siguiente identidad: tg a cosec a (cos a sen a) = tg a tg a cosec a (cos a sen a) = = tg a (cos a sen a) = sen a cos a = tg a tg a = tg a sen a 0 0 Resuelve las siguientes ecuaciones: 9 sen = c) cos 0 = cos 0 = sen = ± a) sen = tg 0 = tg 60 = 0 60 = + 60 k, k é = + 60 k, k é TEMA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 7

Ejercicios y problemas b) sen = = 0 + 60 k, k é = 0 + 60 k, k é b) sen = / 0 / 0 / = + 60 k, k é = + 60 k, k é 0 tg = Se considera la raíz positiva. = 0 + 60 k, k é = 0 + 60 k, k é sen + = cosec 0 60 sen + = sen sen + sen = 0 ± + ± sen = = = / sen = / no tiene sentido, porque sen Ì sen = = 60 + 60 k, k é = 0 + 0 k, k é = 0 + 60 k, k é = 0 + 0 k, k é 90 sen = cosec = 90 + 60 k, k é sen = sen sen = sen = ± / a) sen = / sen = cos + sen = sen + / 0 0 / sen + sen = 0 ± + ± sen = = = sen = no tiene sentido, porque sen Ì sen = SOLUCIONARIO

a) sen = 0 90 0 0 = 90 + 60 k, k é = 60 k, k é = 0 k, k é = 0 + 60 k, k é } b) cos = sen cos = sen sen cos sen = 0 { sen = 0 sen (cos ) = 0 ò cos = = 60 k, k é 0. Resolución de triángulos rectángulos En un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa a = m y un cateto c = 7, m. Calcula los demás elementos. a = m Área? C? b? Datos a = m c = 7, m Incógnitas b B Fórmulas Resolución a = b + c ò b = a c b = 7, = 9,7 m cos B c = cos B 7, = ò B = 9 a C C = 90 B C = 0 6 B? c = 7, m Área Área = b c Área = 9,7 7, =, m 6 En un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa a = 7, cm y el ángulo B =. Calcula los demás elementos. Datos Incógnitas Fórmulas Resolución C? a = 7, cm Área? b? B = ' '' c? a = 7, cm B = C b c Área C = 90 B b sen B = ò b = a sen B a c cos B = ò c = a cos B a Área = b c C = 7 7 b = 7, sen =,7 cm c = 7, cos =,0 cm Área =,7,0 =,9 cm TEMA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 9

Ejercicios y problemas 7 En un triángulo rectángulo se conocen el cateto c = 6, m y el ángulo contiguo B = 6. Calcula los demás elementos. a? C? Área? b? Datos c = 6, m B = 6 Incógnitas C a b C = 90 B Fórmulas cos B c c = ò a = a cos B b tg B = ò b = c tg B c C = 6 6 Resolución 6, a = =,6 m cos 6 b = 6, tg 6 = 9,6 m B = 6º ' '' c = 6, m Área Área = b c Área = 9,6 6, = 0, m En un triángulo rectángulo se conocen los dos catetos b = 9, cm y c = 7,6 cm. Calcula los demás elementos. a? Área? C? b = 9, cm Datos b = 9, cm c = 7,6 cm Incógnitas a B Fórmulas Resolución a = b + c ò a = b + c c = 9, + 7,6 =,7 cm tg B b = tg B 9, = ò B = 0 c 7,6 C C = 90 B C = 9 B? c = 7,6 m Área Área = b c Área = 9, 7,6 = 6,0 cm. Aplicaciones al cálculo de distancias, áreas y volúmenes D 9 Una torre de alta tensión está colocada dentro del mar sobre un soporte. Desde la orilla de la playa se mide el ángulo de elevación de la parte más alta y se obtiene 67. Alejándose en la misma dirección 0 m, el nuevo ángulo de elevación es de. Calcula la altura de la torre. 67 0 m h 67 A 0 m B h tg 67º = } h tg º = 0 + =, m h = 9,07 m La torre de alta tensión mide 9,07 m de alto. C 60 SOLUCIONARIO

0 Calcula la apotema de un octógono regular en el que el lado mide 7, cm 60 : 6 = 0 7, cm Se quiere medir la anchura de un río. Para ello se observa un árbol que está en la otra orilla. Se mide el ángulo de elevación desde esta orilla a la parte más alta del árbol y se obtienen.alejándose 0 m del río se vuelve a medir el ángulo de elevación y se obtienen. Calcula la anchura del río. a 0' a 0',6 tg 0 = a,6 cm,6 cm a =,9 cm 0 m Calcula el volumen de una pirámide regular cuadrangular en la que la arista de la base mide 6 cm y el ángulo que forma la base con las caras laterales es de 6 D h H 6 cm H tg 6 = H = 6, cm A B = 6 = 6 cm V = 6 6, = 77,6 cm 6 cm A 90 h tg º = } h tg º = 0 + =, m h =,7 m El río mide de ancho, m B 0 m C TEMA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 6

Ejercicios y problemas Para ampliar Pasa los ángulos siguientes a radianes: a) 0 b) c) 0 d) 00 cosec a =,67 cotg a =, π rad π a) 0 = rad 0 π rad π b) = rad 0 π rad π c) 0 = rad 0 π rad π d) 00 = rad 0 6 Calcula todas las razones trigonométricas de a sabiendo que cotg a = / y a está en el er cuadrante. Pasa los ángulos siguientes a grados: a), rad b) rad c),6 rad d) 0, rad 0 a), rad = 00 7 π rad 0 b) rad = 7 π rad 0 c),6 rad = 9 π rad 0 d) 0, rad = 6 π rad Calcula todas las razones trigonométricas de a sabiendo que sen a = 0,6 y a está en el cuadrante. 0,6 + cotg a = cosec a + ( /) = cosec a cosec a = sen a = = tg a = / cos a cotg a = òcos a = cotg a sen a sen a cos a = ( ) = sec a = = 7 Calcula todas las razones trigonométricas de a sabiendo que tg a = / y a está en el cuadrante. sen a + cos a = 0,6 a + cos a = ò cos a = 0, sen a tg a = = 0,7 cos a sec a =, / + tg a = sec a + ( /) = sec a 6 SOLUCIONARIO

9 sec a = b), 9 cos a = = 9 9 sen a tg a = òsen a = cos a tg a cos a 9 9 sen a = ( ) = 9 9 9 9 cosec a = = 9 Dibuja en la circunferencia unidad dos ángulos que cumplan que: a) sen a = 0,6 b) cos a = 0, a) b) 60 Calcula, reduciendo al er cuadrante, las razones trigonométricas siguientes: a) sec 70 b) cos 000 c) tg 00 d) sen 0 a) 70 = 0 + 9 60 0 0,6 0, sec 70 = sec 0 = b) 000 = 0 + 60 9 Dibuja en la circunferencia unidad dos ángulos que cumplan que: a) tg a =, b) sec a =, a) 0 60 cos 000 = cos 0 = cos 60 = / c) 00 = 0 + 60, 0 60 tg 00 = tg 0 = tg 60 = TEMA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 6

Ejercicios y problemas d) 0 = 0 + 7 60 6 Dibuja en la circunferencia un ángulo a tal que sec a = /. Calcula cos(a + π) 0 0, sen 0 = sen 0 = / 6 Calcula las razones trigonométricas siguientes sabiendo que sen = 0,: a) sen 6 b) sen 9 c) sen d) cos 0 e) cos f) cos a) sen 6 = sen (0 ) = sen = 0, b) sen 9 = sen (0 + ) = sen = = 0, c) sen = sen (60 ) = sen = = 0, d) cos 0 = cos (0 7 ) = cos 7 = = sen = 0, e) cos = cos(0 + 7 ) = cos 7 = = sen = 0, f) cos = cos(60 7 ) = cos 7 = = sen = 0, cos (a + π) = cos a = / 6 Demuestra la siguiente identidad: tg a (cos a + cosec a sen a) = sen a + cos a sen a (cos a + cosec a sen a) cos a sen a sen a + cos a cos a cos a sen a + sec a cos a sen a + sec a sec a + cos a sen a + cos a 6 Demuestra la siguiente identidad: tg a sen a ( + tg a) = sen a 6 Sabiendo que sen a = 0, y a es un ángulo del er cuadrante, calcula: a) sen (0 a) b) sen (60 a) c) sen (90 + a) a) sen (0 a) = sen a = 0, b) sen (60 a) = sen a = 0, c) sen (90 + a) = cos a Se calcula cos a sen a + cos a = 0, + cos a = cos a = 0,96 tg a = sen a sec a sen a sen a = : = cos a cos a sen a cos a = : = cos a cos a sen a cos a = = cos a sen a = sen a 66 Demuestra la siguiente identidad: + sen a cos a = cos a sen a 6 SOLUCIONARIO

( + sen a)( sen a) = cos a sen a = cos a cos a = cos a 0 0 67 Demuestra la siguiente identidad: = sec a Resuelve las siguientes ecuaciones: 6 tg a cos a sen a sen a tg a cos a = = cos a sen a cos a sen a cos a sen a = = cos a (cos a sen a) = = sec a cos a sen ( + ) = = 60 k, k é = 0 k, k é = 0 + 60 k, k é } 70 tg = cos sen = cos sen = ( sen ) sen + sen = 0 ± 9 + 6 ± / sen = = = La solución sen = no es válida. sen = / sen ( + ) = / 0 0 / Se toma la raíz positiva. 0 60 = 0 + 60 k, k é = 0 + 60 k, k é 7 cos sen = sen + = 60 + 60 k, k é = + 60 k, k é + = 0 + 60 k, k é = 7 + 60 k, k é 69 cos = + sen sen sen = sen sen + sen = 0 ± + ± / sen = = = a) sen = / cos = + sen sen = + sen sen = 0 sen = 0 / 0 0 / TEMA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 6

Ejercicios y problemas = 0 + 60 k, k é = 0 + 60 k, k é b) sen = ± + ± / sen = = = a) cos = / 70 00 60 = 70 + 60 k, k é 7 sen cos = / sen + sen = / sen = / sen = ± / a) sen = / = 60 + 60 k, k é = 00 + 60 k, k é b) cos = 0 = 0 + 60 k, k é / 0 0 / 7 sen cos = cos = 0 + 60 k, k é = 0 + 60 k, k é b) sen = / sen cos cos = 0 cos (sen ) = 0 ò cos = 0 sen? 0 para todo valor de Si cos = 0 0 70 90 / 0 / = 0 + 60 k, k é = 0 + 60 k, k é = 90 + 60 k, k é = 90 + 0 k, k é = 70 + 60 k, k é } 7 cos + cos = sen cos + cos = cos cos + cos = 0 7 tg = sen cos sen = sen cos sen sen cos = 0 66 SOLUCIONARIO

sen ( cos ) = 0 ò a) sen = 0 { sen = 0 cos = 0 ò ò cos = ± / 0 0 0 = 60 k, k é = 0 k, k é = 0 + 60 k, k é } b) cos = 0 = 60 k, k é = 0 k, k é = 0 + 60 k, k é } b) cos = 0 = 60 k, k é Es la misma que una anterior. = + 60 k, k é = + 60 k, k é c) cos = 77 sen cos = 0 sen = cos sen = cos tg = = + 60 k, k é 6 = + 60 k, k é 76 tg sen = 0 sen sen cos = 0 sen ( cos ) = 0 ò a) sen = 0 { sen = 0 cos = 0 ò ò cos = 7 En un triángulo rectángulo un cateto mide el doble que el otro. Calcula la amplitud de sus ángulos agudos. TEMA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 67

Ejercicios y problemas b m b m a tg a = = òa= 6 6 6 b = 90 6 = 6 a m m cos a = òa= 6 b = 0 6 = 06 6 a 79 En un triángulo rectángulo un cateto mide m, y el área, 0 m. Halla los demás elementos del triángulo rectángulo. C? a? b = m B? Área = 0 m Área = bc c = 0 c = 0 c = m a = + = = 6,0 m tg B = ò B = 0 C = 90 0 = 9 c? Con calculadora Calcula el ángulo correspondiente en cada caso: a) sen a = 0, estando a en el er cuadrante. b) cos a = 0,6 estando a en el º cuadrante. c) tg a =, estando a en el er cuadrante. d) cos a = 0, estando a en el º cuadrante. a) b) 0 0 c) 7 d) 7 Calcula el ángulo correspondiente en cada caso: a) cos a = 0, estando a en el er cuadrante. b) tg a =,6 estando a en el º cuadrante. c) sen a = 0,7 estando a en el er cuadrante. d) tg a = 0, estando a en el º cuadrante. 0 En un triángulo isósceles, cada uno de los lados iguales mide m, y el desigual, m. Halla la amplitud de sus ángulos. a) 7 7 7 b) 9 c) 7 d) 6 6 6 SOLUCIONARIO

Calcula el ángulo correspondiente en cada caso: a) tg a = estando a en el er cuadrante. b) sen a = 0,9 estando a en el º cuadrante. c) cos a = 0, estando a en el er cuadrante. d) sen a = 0, estando a en el º cuadrante. a) 6 6 6 b) 0 c) 6 9 d) Problemas 6 Calcula la longitud del arco correspondiente a un ángulo central de 0 en una circunferencia de 0 cm de radio. 0π 0 = 7,9 cm 0 En una circunferencia de cm de radio, el arco correspondiente a un ángulo central mide cm. Calcula en radianes lo que mide dicho ángulo. = rad Las diagonales de un rombo miden cm y 6 cm. Calcula los ángulos del rombo. B cm Los ángulos del rombo son: A = 06 7 B = 7 7 Halla el valor de en el siguiente triángulo rectángulo: sen = = sen =, cm Halla el valor de en el siguiente triángulo rectángulo: C C A a = cm B = B 6 cm A A a =, cm B = 6 0' B tg A = = 6 A = 7 B = 90 7 = 6 cos 6 0 =, =, cos 6 0 =, cm 9 Halla el valor de en el siguiente triángulo rectángulo: TEMA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 69

Ejercicios y problemas C C b =, cm b =, cm a =, cm A B = ' B A B, sen =, sen =,, = =, cm sen = 90 Halla el valor de en el siguiente triángulo rectángulo: b =, cm C 9 El etremo de una escalera está apoyado sobre la pared de un edificio, y su base se encuentra a m de la pared. Si el ángulo que forma la escalera con la pared es de 6, a qué altura del suelo llega la escalera? A c = cm B, tg = = 9 6 m tg 6 = = tg 6 =, m 9 Halla el valor de en el siguiente triángulo rectángulo: b = cm C 9 Una torre de 0 m de altura proyecta un sombra de 0 m a cierta hora del día. Calcula el ángulo con el que se verá el etremo superior de la torre desde el etremo de la sombra. A c = cm B tg = = 9 0 9 Halla el valor de en el siguiente triángulo rectángulo: 0 m 0 m 0 tg = 0 tg =, = 6 70 SOLUCIONARIO

9 A una distancia de m del pie de una chimenea se ve el etremo de la misma con un ángulo de. Calcula la altura de la chimenea. m a, cm,7 cm tg = = tg = 6, m,7 tg a =, a = 7 96 Una cometa está sujeta al suelo con una cuerda de 0 m de largo y ésta forma con el suelo un ángulo de 6. Si la cuerda está recta, a qué altura del suelo está la cometa? 9 En el centro de un lago sale verticalmente un chorro de agua, y se quiere medir su altura. Para ello, se mide el ángulo de elevación desde la orilla a la parte más alta del chorro de agua y se obtienen 6 ; alejándose 7 m del lago se vuelve a medir el ángulo de elevación y se obtienen 7. Calcula la altura del chorro de agua. 0 m 6 6 7 m 7 0 m D sen 6 = 0 6 h = 0 sen 6 = 7,0 m 97 Una persona que mide,7 cm proyecta una sombra de, cm. Cuál es el ángulo de elevación del Sol en ese momento? A h } tg 6º = h tg 7º = + 7 6 7 B 7 m C TEMA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 7

7 m Ejercicios y problemas h = tg 6º h = ( + 7) tg 7º } h =, h = 0,7( + 7) } =, m h = 0,6 m 99 Una cinta transportadora de sacos de cemento mide 0 m y se quiere que eleve el cemento a 7 m de altura. Qué ángulo de elevación debe llevar la cinta? h = 7 = = 6,7 m 0 Calcula la apotema y el área de un heptágono regular cuyo lado mide 9, cm 60 : = 9, cm a ' '' 0 m,6 cm,6 tg = a a = 9, cm 7 9, 9, Área = = 07, cm 7 sen a = 0 a = 00 7 m 0 m Dado un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden 7 m, y el desigual, m, calcula la altura relativa al lado desigual. a 0 Dos personas están en una playa y ven un globo desde los puntos A y B, respectivamente, de forma que las dos personas y el globo están en un plano perpendicular al suelo. La distancia entre las dos personas es de km. El ángulo de elevación del globo desde el punto A es de 7, y desde el punto B, de 6. Calcula la altura a la que se encuentra el globo. h m 7 m h m 7 m 7 SOLUCIONARIO

h D tg + = tg tg + = tg tg tg + = 0 ± 6 ± tg = = = a) tg = A h } tg 7º = h tg 6º = + h = tg 7º h = ( + ) tg 6º } h =, h =,0( + ) } =, km h =, km 7 6 B km C Para profundizar 0 Demuestra la siguiente igualdad: + sen a cos a + = sec a cos a + sen a + sen a cos a + = cos a + sen a ( + sen a) + cos a = = cos a ( + sen a) + sen a + sen a + cos a = = cos a ( + sen a) + sen a = = cos a ( + sen a) ( + sen a) = = cos a ( + sen a) = = sec a cos a 0 Resuelve la ecuación trigonométrica: tg + cotg = = 7 + 60 k, k é = + 60 k, k é b) tg = = + 60 k, k é = + 0 k, k é = + 60 k, k é } 0 Resuelve la ecuación trigonométrica: tg sec = sen = cos cos TEMA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 7

Ejercicios y problemas sen = cos sen = cos sen = ( sen ) sen + sen = 0 ± + ± sen = = = / sen = no tiene sentido porque sen Ì sen = h tg º = } h tg 0º = + 00 h = tg º h = ( + 00) tg 0º } h =, h = 0,( + 00) } = 7, m h = 60,7 m = + 60 k, k é = + 60 k, k é 07 Un faro está colocado sobre un montículo.al lado del montículo hay una pequeña llanura y desde ella se mide el ángulo de elevación del punto más alto del faro y se obtiene 7.Nos alejamos en la misma dirección 0 m, se vuelve a medir el ángulo de elevación y se obtiene. Calcula la altura del faro más el montículo. 06 En una llanura, desde un punto cualquiera se mide el ángulo B de elevación de una montaña y se obtiene 0.Acercándose a la montaña una distancia de 00 m, se vuelve a medir el ángulo C de elevación y se obtiene. Calcula la altura de la montaña. D 7 0 m h D h A C = B = 0 00 m 0 B 00 m C A h } tg 7º = h tg º = + 0 h = tg 7º h = ( + 0) tg º } h =,07 h = 0,6( + 0) } = 7,6 m h = 9,9 m 7 B 0 m C 7 SOLUCIONARIO

Aplica tus competencias Cálculo de alturas 0 Una escalera de bomberos que mide 0 m de longitud se apoya sobre una fachada. El ángulo que forma el suelo con la escalera es de 7. Qué altura alcanza la escalera sobre la fachada? Cálculo de áreas 09 Una finca tiene forma de triángulo rectángulo. Uno de los catetos mide 0 m, y el ángulo opuesto,. Calcula el área de la finca. 0 m 7 0 m c 0 m h 0 m h sen 7 = 0 h = 0 sen 7 h = 9, m 7 tg = 0 c c = 9, m Área = 0 9, Área = m TEMA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 7

Comprueba lo que sabes Define qué es una identidad trigonométrica y pon un ejemplo. Una identidad trigonométrica es un igualdad que se verifica para cualquier valor de la variable. Ejemplo: sen + cos = Un ángulo mide, rad. Cuántos grados son?, rad 0 = 70 6 π rad b) a = 7 c) a = 09 Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica: sen + = cos + sen sen sen + = 0 sen =, sen = / a) sen = 90 Sabiendo que sen a = / y que el ángulo está en el º cuadrante, halla el valor del cos a = 90 + 60 k, k é b) sen = / / cos a a / 0 0 / sen a + cos a = ( ) + cos a = cos a = 9 cos a = 6 cos a = 6 = 0 + 60 k, k é = 0 + 60 k, k é Resuelve el siguiente triángulo rectángulo: b =, cm a Calcula el ángulo a en los siguientes casos: a) sen a = 0,67 y el ángulo está en el º cuadrante. b) cos a = 0, y el ángulo está en el er cuadrante. c) tg a =, y el ángulo está en el º cuadrante. a) a = tg a =, òa= 6, b = 90 6 = 7 a =, +, ò a =,0 cm 7 c =, cm Calcula el área de un heptágono regular en el que el lado mide, cm 76 SOLUCIONARIO

En la llanura, desde un punto cualquiera, se mide el ángulo B de elevación de una montaña y se obtiene. Acercándose a la montaña una distancia de 00 m, se vuelve a medir el ángulo C de elevación y se obtiene 7. Cuánto mide de alto la montaña? a 0,7, cm D 60 : = h tg = 0,7 a a =,6 cm Área = 7,,7 =, cm a 0,7 cm, cm ' '' tg 7 = h tg = h 7 B 00 m C A } + 00 h = tg 7 h = ( + 00) tg } h =, h = ( + 00) 0,7 } = 66,67 m h = 6,67 m La montaña mide 6,67 m de alto. TEMA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 77

Linu/Windows GeoGebra Paso a paso 0 Estudia el signo de la razón trigonométrica seno en cada cuadrante. Dibuja un triángulo rectángulo en el que se conocen la hipotenusa a = cm y el ángulo B = 6. Calcula todos sus elementos. Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema. Practica Estudia el signo de la razón trigonométrica coseno en cada cuadrante. Dibuja un triángulo rectángulo en el que se conocen la hipotenusa a = 0 cm y c = cm. Calcula todos sus elementos. Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. 7 SOLUCIONARIO

Windows Cabri Demuestra las siguientes identidades; primero dibuja el er miembro, y luego, el º (sen + cos ) = + sen cos Resuelve las siguientes ecuaciones: 7 sen cos = 0 6 tg + cotg = sec cosec sen cos = 0 TEMA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 79

9 Geometría analítica. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus etremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C U L A B(, ) A(, ) C(, ) D(, ) Ä Dado el punto A(, ), halla el vector OA, represéntalo y halla sus componentes. Ä OA (, ) A(, ) A P L I C A L A T E O R Í A A(, ) OA O A(, ) La componente horizontal es, y la vertical, Dado el vector v (, ), halla el punto A tal que el vector OA Ä =v, y represéntalo. Calcula el módulo y el argumento de los siguientes vectores: a) v(, ) b) v(, ) a) v = + = 9 =,9 unidades. 0 SOLUCIONARIO

tg a = òa= u + v = (, ) u(, ) v(, ) v(, ) a b) v = ( ) + = unidades. b) Analíticamente: u v = (, ) (, ) = ( 7, ) Geométricamente: v(, ) a u(, ) u v v(, ) tg a = òa= 7 Halla el vector opuesto del vector v (, ) y represéntalos en unos mismos ejes coordenados. v = (, ) v(, ) 6 Dado el vector v(, ), calcula analítica y geométricamente: a) v b) v a) Analíticamente: v = (, ) = (6, ) Geométricamente: v(, ) v(6, ) v(, ) Dados los siguientes vectores: u(, ) y v(, ) calcula analítica y geométricamente: a) u +v b) u v a) Analíticamente: u +v = (, ) + (, ) = (, ) Geométricamente: b) Analíticamente: v = (, ) = ( 6, ) Geométricamente: v( 6, ) v(, ) TEMA 9. GEOMETRÍA ANALÍTICA

. Ecuaciones de la recta Halla la pendiente del vector Ä AB del primer dibujo del margen y simplifica el resultado. Ä AB (6, ) ò m = tg a = = 6 P I E N S A C A L C U L A B(, ) AB A(, ) AB(6, ) O 7 Dados los puntos A(, ) y B(, ), calcula el vector AB Ä. Haz la representación gráfica. Ä AB ( +, ) = (, ) AB B(, ) 9 Representa la recta que pasa por el punto P(, ) y tiene como vector director v (, ). Halla las distintas ecuaciones de dicha recta. A P L I C A L A T E O R Í A P(, ) A(, ) O AB(, ) v(, ) Representa la recta que pasa por los puntos A(, ) y B(, ). Halla un vector director y la pendiente de dicha recta. A(, ) B(, ) a v(, ) Ä v = AB ( +, ) = (, ) m = tg a = Ecuación vectorial: (, y) = (, ) + t(, ); t é Ecuaciones paramétricas: = + t ;t é y = t } Ecuación continua: y = Ecuación general: + = y + y = 0 Ecuación eplícita: y = + y = + SOLUCIONARIO

0 Dada la recta + y = 6, qué tipo de ecuación es? Halla un punto, un vector normal, un vector director y la pendiente. Haz la representación gráfica. Es la ecuación general. Para = 0 ò y = 6 ò y = ò P(0, ) n (A, B) ò n (, ) v(b, A) ò v(, ) m = tg a = P(0, ) v(, ). Otras ecuaciones de la recta Dibuja la recta que pasa por los puntos A(, ) y B(, ) y halla su pendiente. P I E N S A C A L C U L A B(, ) A(, ) m = Dibuja la recta que pasa por el punto A(, ) y que tiene de pendiente /. Halla la ecuación de dicha recta. y = ( + ) 7 y = + A P L I C A L A T E O R Í A A(, ) Dibuja la recta que pasa por los puntos A(, ) y B(, ). Halla la ecuación de dicha recta. TEMA 9. GEOMETRÍA ANALÍTICA

= y = + t } t é B(, ) A(, ) Halla la ecuación general de las rectas representadas en los siguientes ejes de coordenadas: b) Ä v = AB (, ) ò m = a) y = ( + ) 7 y = + c) Dibuja la recta que es paralela al eje y que pasa por el punto A(, ). Escribe su ecuación vectorial. d) A(, ) a) y = 0 b) = c) = 0 d) y = (, y) = (, ) + t(, 0); t é Dibuja la recta que es paralela al eje y que pasa por el punto A(, ). Escribe su ecuación paramétrica. 6 Halla el punto medio del segmento de etremos A(, ) y B(, ). Haz la representación gráfica. M(, ) A(, ) M(, ) A(, ) B(, ) SOLUCIONARIO

. Posiciones, distancia y circunferencia Halla todos los puntos de coordenadas enteras en la recta del er dibujo del margen. A(, ); B(6, 6); C(, 0); D(0, ); E(, 6) P I E N S A C A L C U L A A(, ) y = 6 r 7 Estudia analítica y gráficamente la posición relativa de los puntos A(, ) y B(, ) respecto de la siguiente recta: r ~ + y = 6 A(, ) ò + = + 6 =? 6 ò A(, ) è r B(, ) ò ( ) + = 6 + = 6 ò B(, ) é r Estudia analíticamente la posición relativa de los siguientes pares de rectas. Si se cortan, halla el punto de corte: a) + y = b) y = y = } + y = } Representa ambas rectas para comprobarlo. a) Analíticamente:? ò rectas secantes. Para hallar el punto de corte hay que resolver el sistema. Se resuelve por reducción. Sumando se obtiene: = 6 ò = = ò y = Se cortan en el punto A(, ) 9 Representación: + y = y = b) Analíticamente: =? ò rectas paralelas. No se cortan. Representación: + y = A P L I C A L A T E O R Í A P(, ) Dada la recta r ~ + y =, halla una recta s, paralela a r, y otra perpendicular t que pasen por el punto P(, ). Haz la representación gráfica. La recta s tendrá la misma pendiente que la recta r, que es: m = A/B = y = TEMA 9. GEOMETRÍA ANALÍTICA

Su ecuación será: y + = ( ) + y = La recta t tendrá la pendiente inversa y opuesta a la de la recta r: Si la pendiente de r es: m r =, la pendiente de t será: m t = y + = ( ) y = + y = + y = Halla el coeficiente a para que la recta a + y = pase por el punto P(, ). Haz la representación gráfica. a + = a + = a = La ecuación de la recta será: + y = P(, ) y = P(, ) 0 Halla la distancia que hay entre los puntos A(, ) y B(, ). Haz la representación gráfica. Ä AB (7, ) d(a, B) = 7 + = = 7,6 unidades. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C(, ), y de radio,. Haz el dibujo. ( + ) + (y ) = + y + y = B(, ) A(, ) 7 C(, ) R = 6 SOLUCIONARIO

Ejercicios y problemas. Vectores Ä Dado el punto A(, ), halla el vector OA, represéntalo y halla sus componentes. Ä OA (, ) a v(, ) O OA b) v = ( ) + ( ) = 9 + 6 = = tg a = òa= 7 A(, ) La componente horizontal es, y la vertical, 6 Halla el vector opuesto del vector v (, ) y represéntalos en unos mismos ejes coordenados. Dado el vector v (, ), halla el punto A, tal que el vector OA Ä =v, y represéntalo. A(, ) A(, ) v = (, ) v(, ) v(, ) Calcula el módulo y el argumento de los siguientes vectores: a) v(, ) b) v(, ) a a) v = + ( ) = 6 + = 0 = tg a = òa= 6 6 v(, ) 7 Dados los siguientes vectores: u(, ) y v(, ) calcula analítica y geométricamente: a) v +v b) u v a) Analíticamente: u +v = (, ) + (, ) = (, 6) Geométricamente: v(, ) u(, ) u + v = (, 6) TEMA 9. GEOMETRÍA ANALÍTICA 7

Ejercicios y problemas b) Analíticamente: u v = (, ) (, ) = (, ) Geométricamente: v(, ) u v u(, ) Ä AB (, ) = ( 6, ) B(, ) AB( 6, ) AB O A(, ) Dado el vector v(, ), calcula analítica y geométricamente: a) v b) v 0 Halla un vector director y la pendiente de la siguiente recta: r a) Analíticamente: v = (, ) = (, 6) Geométricamente: Se dibuja un vector de la recta y se hallan sus componentes. B A v(, ) v(, ) b) Analíticamente: v = (, ) = (, 6) Geométricamente: v(, 6) v(, 6) v(, ) Ä v = AB (, ) m = tg a = Representa la recta que pasa por el punto P(, ) y tiene como vector director v (, ). Halla las distintas ecuaciones de dicha recta.. Ecuaciones de la recta 9 Dados los puntos A(, ) y B(, ), calcula el vector AB Ä. Haz la representación gráfica. P(, ) v(, ) SOLUCIONARIO

Ecuación vectorial: (, y) = (, ) + t(, ); t é Ecuaciones paramétricas: = + t ;t é y = + t } Ecuación continua: + y + = Ecuación general: + = y + y + = 0 Ecuación eplícita: y = y = + y = + y = ( ) 0 y = + Dibuja la recta que pasa por los puntos A(, ) y B(, 0). Halla la ecuación de dicha recta. A(, ) Dada la recta y = +, qué tipo de ecuación es? Halla un punto, la pendiente, un vector director y un vector normal. Haz la representación gráfica. A(, ) B(, 0) Es la ecuación eplícita. Para = 0 ò y = ò P(0, ) m = tg a = v(, ) n (, ) P(0, ) v(, ) n(, ) Ä v = AB (, ) ò m = y = ( + ) 9 y = + Halla la ecuación general de las rectas representadas en los siguientes ejes de coordenadas: b) a) d) c). Otras ecuaciones de la recta Dibuja la recta que pasa por el punto A(, ) y tiene de pendiente /. Halla la ecuación de dicha recta. a) = 0 b) y = c) y = 0 d) = TEMA 9. GEOMETRÍA ANALÍTICA 9

Ejercicios y problemas 6 Dibuja la recta que es paralela al eje y que pasa por el punto A(, ). Escribe su ecuación general. B(, ) M(/, ) A(, ) 7 Dibuja la recta que es paralela al eje y que pasa por el punto A(, ). Escribe su ecuación general. A(, ) A(, ) y =. Posiciones, distancia y circunferencia 0 Estudia analítica y gráficamente la posición relativa de los puntos A(, ) y B(, ) respecto de la siguiente recta: r ~ y = A(, ) ò = = ò A(, ) é r B(, ) ò = 6 =? ò B(, ) è r B(, ) A(, ) = r Halla la ecuación eplícita de las rectas representadas en los siguientes ejes de coordenadas: b) a) a) y = b) y = + c) y = + d) y = d) c) Estudia analíticamente la posición relativa de los siguientes pares de rectas. Si se cortan, halla el punto de corte: a) y = b) + y = + y = } y = } Representa ambas rectas para comprobarlo. a) Analíticamente: = = ò rectas coincidentes. Todos los puntos son comunes. Representación: 9 Halla mentalmente el punto medio del segmento de etremos A(, ) y B(, ). Haz la representación gráfica. M(/, ) y = + y = 90 SOLUCIONARIO

b) Analíticamente:? ò rectas secantes. Para hallar el punto de corte hay que resolver el sistema. Se resuelve por reducción. Se multiplica la ª ecuación por y sumando se obtiene: = ò = = ò y = Se cortan en el punto A(, ) Representación: La recta t tendrá de vector director: n (, ) m = / Su ecuación será: y = ( ) y = t r P(, ) P(, ) + y = y = Dada la recta r ~ y =, halla una recta s, paralela a r, que pase por el punto P(, ). Haz la representación gráfica. La recta s tendrá la misma pendiente que la recta r, que es: m = A/B = / Su ecuación será: y = ( ) y = Halla la distancia que hay entre los siguientes puntos: A(, ) y B(, ) Haz la representación gráfica. Ä AB (, ) d(a, B) = + ( ) = unidades. A(, ) B(, ) y = P(, ) y = Dada la recta r ~ + y =, halla una recta t, perpendicular a r, que pase por el punto P(, ). Haz la representación gráfica. Halla el coeficiente a para que la recta: + ay = 7 pase por el punto P(, ). Haz la representación gráfica. ( ) + a = 7 + a = 7 a = TEMA 9. GEOMETRÍA ANALÍTICA 9

Ejercicios y problemas La ecuación de la recta será: + y = 7 ( ) + (y + ) = + y + y = P(, ) R = C(, ) 6 Halla la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C(, ), y de radio,. Haz el dibujo. Para ampliar 7 Dado el siguiente cuadrado de centro el origen de coordenadas y lado de longitud 0: a) representa todos los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen como etremo uno de los vértices del cuadrado. b) escribe la epresión analítica de cada uno de los vectores representados. a) Vectores: 9 Calcula mentalmente las componentes de los vectores AB en los siguientes casos: Ä a) A(, ), B(, 7) b) A(, ), B(, ) c) A(0, ), B( 7, ) d) A(0, 0), B(, ) Ä a) AB (, ) Ä c) AB ( 7, ) Halla mentalmente dos vectores perpendiculares al vector v (, ) y represéntalos gráficamente. n (, ), n (, ) Ä b) AB (6, 6) Ä c) AB (, ) b c b) a (, ), b (, ), c (, ), d (, ) a d n (, ) 90 90 n (, ) v(, ) 9 SOLUCIONARIO

0 Calcula mentalmente el módulo y el argumento de los siguientes vectores: c b a a) n (, ), v(, ) b) n (, ) (, ), v(, ) c) n (, ), v(, ) d) n (, ), v(, ) a: módulo =, argumento = 0 b : módulo =, argumento = 90 c: módulo =, argumento = 0 d : módulo =, argumento = 70 Dada la siguiente recta: (, y) = (, ) + t(, ); t é halla: a) el tipo de ecuación. b) un punto. c) el vector director. d) un vector normal. e) la pendiente. f) Represéntala. a) Vectorial. b) P(, ) c) v(, ) d) n (, ) e) m = / f) Representación: A(, ) r d v(, ) Halla mentalmente las ecuaciones generales de las siguientes rectas: a) Eje b) Eje a) y = 0 b) = 0 Halla la ecuación eplícita de las siguientes rectas representadas en los ejes de coordenadas. a) y = b) y = Representa y halla mentalmente las ecuaciones generales de las rectas paralelas a los ejes coordenados, que pasan por el punto A(, ) b) a) = y = A(, ) Halla mentalmente un vector normal y un vector director de cada una de las siguientes rectas: a) + y = b) y = c) + y = d) y = 6 Representa y halla mentalmente las ecuaciones generales de las rectas paralelas a los ejes coordenados, que pasan por el punto A(, ) TEMA 9. GEOMETRÍA ANALÍTICA 9

Ejercicios y problemas = A(, ) y = 9 Halla mentalmente la posición relativa de los siguientes pares de rectas: = y = } Represéntalas y halla el punto de corte. = 7 Halla mentalmente la posición relativa de los siguientes pares de rectas: y = + y = } y = A(, ) Son paralelas porque los coeficientes de las variables son proporcionales, y no lo son con los términos independientes. =? Se cortan, porque la primera es vertical y la segunda es horizontal. 60 Halla mentalmente la ecuación de la circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio R = unidades. Represéntala. Halla mentalmente la posición relativa de los siguientes pares de rectas: 6y = + y = } + y = 9 Son coincidentes porque todos los coeficientes son proporcionales: 6 = = R = O(0, 0) Problemas 6 Dado el triángulo equilátero siguiente, de centro el origen de coordenadas y vértice A(, 0): B C A(, 0) a) representa todos los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen como etremo uno de los vértices del triángulo equilátero. b) Aplicando las razones trigonométricas, halla la epresión analítica de cada uno de los vectores representados. 9 SOLUCIONARIO

a) Vectores: 6 De un paralelogramo se conocen tres vértices consecutivos:a(, ), B(, ) y C(, ) B(, ) C(, ) B b c a A(, 0) A(, ) b) a(, 0) b ( cos 0, sen 0 ) = [ ( /), /] = (, ) 6 Dibuja y calcula el área del triángulo comprendido entre las rectas siguientes: =, y =, + y = C c( cos 0, sen 0 ) = [ ( /), ( /)] = (, ) y = Es un triángulo rectángulo, la base mide unidades y la altura también mide unidades. Área = / = unidades cuadradas. + y = = 6 Halla las coordenadas del cuarto vértice D utilizando la suma de vectores. B(, ) A(, ) OD Ä = OA Ä + BC Ä OA Ä (, ) BC Ä (, 0) OD Ä = (, ) + (, 0) = (, ) O D C(, ) Halla analíticamente un vector director y la pendiente de las rectas que están definidas por los dos puntos siguientes: a) A(0, 0), B(, ) b) A(, ), B(, 6) c) A(, ), B(, ) d) A(, ), B(, ) 6 Halla la ecuación general de las siguientes rectas representadas en los ejes de coordenadas: b) a) a) Ä v = AB (, ), m = / b) Ä v = AB (, 7), m = 7/ c) Ä v = AB (, 9), m = 9/ d) Ä v = AB (, ), m = a) y = + b) y = + 66 Dada la siguiente recta: = halla: a) el tipo de ecuación. b) un punto. y + TEMA 9. GEOMETRÍA ANALÍTICA 9

Ejercicios y problemas c) el vector director. d) un vector normal. e) la pendiente. f) Represéntala. a) Continua. b) P(, ) c) v(, ) d) n (, ) e) m = / f) Representación: v(, ) 6 Dado el triángulo que tiene los vértices en los puntos A(, ), B(, ) y C(, ): a) representa dicho triángulo y dibuja la recta que contiene la mediana definida por el vértice A b) Halla la ecuación de dicha recta. a) Dibujo: B(, ) M(, ) r A(, ) C(, ) 67 Dada la siguiente recta: y = halla: a) el tipo de ecuación. b) un punto. c) la pendiente. d) un vector director. e) un vector normal. f) Represéntala. a) Eplícita. b) P(0, ) c) m = d) v(, ) e) n (, ) f) Representación: r v(, ) r A(0, ) A(, ) b) La recta r pasa por los puntos M(, ) y A(, ) Ä v = MB (, 7) m = 7 Se aplica la recta en la forma punto-pendiente: y + = 7( ) y = 7 7 69 Dado el triángulo que tiene los vértices en los puntos A(, ), B(, ) y C(, ): a) representa dicho triángulo y dibuja la recta paralela al lado BC, que pasa por el vértice A b) halla la ecuación de dicha recta. a) Dibujo: B(, ) b) La recta r pasa por el punto A(, ) y tiene la misma pendiente que el lado BC v = BC Ä (, 6) (, ) m = / y = ( ) + y = 9 A(, ) r C(, ) 96 SOLUCIONARIO

70 Dibuja el segmento de etremos los puntos A(, ) y B(, ) y su mediatriz. Halla la ecuación de la mediatriz. La solución es = 0, y = + y = P(0, ) r A(, ) M(, ) + y = B(, ) Ä La recta r pasa por el punto medio del segmento AB M(, ) Ä v = AB ( 6, 6) (, ) m = Como la recta r es perpendicular, su pendiente será inversa y opuesta: m r = Se aplica la recta en la forma punto-pendiente: y = ( ) y = + 7 Dibuja un rectángulo sabiendo que tiene los lados paralelos a los ejes coordenados, y que las coordenadas de dos vértices opuestos son A(, ) y B(, ). Dibuja y halla la longitud de la diagonal. A(, ) B(, ) 7 Halla el coeficiente k para que la recta: k + y = pase por el punto A(, ) k + = k = 7 Halla mentalmente la posición relativa de los siguientes pares de rectas: + y = + y = } Represéntalas y halla el punto de corte. Las rectas son secantes porque los coeficientes de las variables no son proporcionales.? El sistema se resuelve por sustitución despejando y de la segunda ecuación. Ä d(a, B) = AB = ( + ) + ( ) = = 6 + 6 = = = 7, 7 7 Halla el valor de k para que las siguientes rectas sean paralelas: + y = k 6y = } Para que sean paralelas, los coeficientes de las variables tienen que ser proporcionales. = k 6 k = k = Halla la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto A(, ), y de radio, unidades. Haz el dibujo. ( + ) + (y + ) = TEMA 9. GEOMETRÍA ANALÍTICA 97

Ejercicios y problemas + y + + y = 0 R = C(, ) Pendiente de la mediatriz: m = Ecuación de la mediatriz: y + = ( + ) y = 7 Halla la ecuación de la siguiente circunferencia: 76 Halla la ecuación de la siguiente circunferencia: Tiene el centro en O(0, 0) y radio R = + y = + y = 6 77 Dado el triángulo de la siguiente figura: El centro es el punto C(, 0) y el radio, R = ( ) + y = + y 6 = 0 Para profundizar 79 Dada la circunferencia de centro el origen de coordenadas, y radio, C A halla la ecuación de la mediatriz del lado AB La mediatriz del lado AB pasa por el punto medio M de AB y es perpendicular a dicho lado. Luego tendrá pendiente inversa y opuesta de la que tiene dicho lado. A(, ), B(, ) ò M(, ) Pendiente del lado AB: Ä AB (6, ) (, ) m AB = B a) representa todos los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen como etremo un punto de la circunferencia de coordenadas enteras. b) Escribe la epresión analítica de cada uno de los vectores representados. a) Representación: g f h e d j c b i k l a 9 SOLUCIONARIO

b) Epresión analítica: a(, 0) b(, ) c(, ) d (0, ) e (, ) f (, ) g(, 0) h (, ) i (, ) j (0, ) k (, ) l (, ) 0 Dados los vectores: u(, ) y v(, ) calcula analíticamente: a) u + v b) u v a) (, ) + (, ) = (, ) b) (, ) (, ) = (, 7) Dado el triángulo que tiene los vértices en los puntos A(, ), B(, ) y C(, ) a) representa dicho triángulo y dibuja la recta que contiene al lado BC b) halla la ecuación de dicha recta. a) Representación: b) Pendiente del lado BC: BC Ä (0, ) (, ) A(, ) C(, ) r B(, ) Dada la siguiente recta: y + 9 = 0 halla: a) el tipo de ecuación. b) un punto. c) un vector normal. d) un vector director. e) la pendiente. f) Represéntala. a) Ecuación general. b) P(, ) c) n (, ) d) v(, ) e) m = / f) Representación: A(, ) r v(, ) Halla el coeficiente k para que la recta: + ky = pase por el punto A(, ) ( ) + k = k = m = y + = ( + ) y = + Un romboide tiene tres vértices en los puntos A(, ), B(, ) y C(, ) Halla: a) el cuarto vértice. b) la longitud de sus diagonales. a) Vértice D A(, ) B(, ) D O C(, ) TEMA 9. GEOMETRÍA ANALÍTICA 99

Ejercicios y problemas OD Ä = OA Ä + BC Ä OA Ä (, ) BC Ä (, 0) OD Ä = (, ) + (, 0) = (, ) b) Longitud de las diagonales. B(, ) A(, ) D(, ) C(, ) Se aplica la forma punto-pendiente. Punto C(, ) Pendiente: la altura es perpendicular a la base AB, luego su pendiente es inversa y opuesta de la pendiente del lado AB Ä AB (, ) ò mab = / m = y = ( ) y = + d(a, C) = AC Ä = 7 + = 6 =,06 u d(b, D) = BD Ä = + ( ) = 7 =, u Halla la longitud del segmento determinado por los puntos de corte con los ejes coordenados de la recta siguiente: + y = Para y = 0 ò = ò = ò A(, 0) Para = 0 ò y = ò y = ò B(0, ) 7 Halla la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C(, ), y de radio, unidades. Haz el dibujo. ( + ) + (y ) = + y + 6 y + = 0 R = C(, ) r B(0, ) A(, 0) d(a, B) = + = unidades. Halla la ecuación de la siguiente circunferencia: 6 Dado el triángulo de la siguiente figura: C A B halla la ecuación de la recta que contiene a la altura relativa al vértice C Tiene el centro en el punto C(, ) y radio, R = ( ) + (y ) = + y 6 y + 9 = 0 00 SOLUCIONARIO

Aplica tus competencias 9 Halla mentalmente el centro y el radio de la siguiente circunferencia: + y 6 y = 0 C(, ), R = 9 Halla mentalmente el centro y el radio de la siguiente circunferencia: + y + 6y + 6 = 0 C(, ), R = 90 Halla mentalmente el centro y el radio de la siguiente circunferencia: + y + + 7 = 0 C(, 0), R = TEMA 9. GEOMETRÍA ANALÍTICA 0

Comprueba lo que sabes Eplica cómo se hallan las componentes de un vector definido por dos puntos. Pon un ejemplo. El vector definido por dos puntos A(, y ) y B(, y ) es el que se obtiene al restar al vector de posición del etremo el del origen. Ä AB = OB Ä OA Ä Sus coordenadas son: Ä AB (, y y ) Ejemplo Dados los puntos A(, ) y B(, ), calcula el vector Ä AB Ä AB ( ( ), ) Ä AB (6, ) AB A(, ) AB(6, ) O B(, ) Es la ecuación general. Para y = 0 ò = ò = ò A(, 0) Para = 0 ò y = ò y = ò B(0, ) n(, ) v(, ) m = / B(0, ) A(, 0) Dibuja la recta que pasa por el punto A(, ) y tiene de pendiente. Halla la ecuación de dicha recta. Calcula el módulo y el argumento del vector v(, ) Representación gráfica: A(, ) v(, ) a Se aplica la ecuación punto-pendiente y = ( ) ò y = v = + = = tg a = a = 6 Dada la recta y =, qué tipo de ecuación es? Halla dos puntos, un vector normal, un vector director y la pendiente. Haz la representación gráfica. Halla la ecuación general de las rectas representadas en los siguientes ejes de coordenadas: b) a) c) d) 0 SOLUCIONARIO

a) y = 0 b) = c) y = d) y = 6 Estudia analíticamente la posición relativa del siguiente par de rectas. Si se cortan, halla el punto de corte: + y = y = 6 } Representa ambas rectas para comprobarlo. Analíticamente:? ò Rectas secantes. Resolviendo el sistema se halla el punto de corte: A(, ) y = 6 + y = A(, ) 7 Dada la recta y = 6, halla su ecuación vectorial. Un punto es: P(, 0) El vector normal es: n(, ) ò v(, ) Ecuación vectorial: (, y) = (, 0) + t(, ); t é Dado el triángulo de la figura del margen, halla la ecuación de la recta que contiene a la altura relativa al vértice A C A Punto: A(, ) La altura es perpendicular al lado BC; por tanto, su pendiente es la inversa y opuesta a la de dicho lado. Ä BC(, ) (, ) ò m BC = / m = y = ( ) ò y = + B TEMA 9. GEOMETRÍA ANALÍTICA 0

Linu/Windows GeoGebra Paso a paso 9 Dibuja el vector u(, ) y sus componentes. Halla el módulo y el argumento. 9 Dibuja la recta que pasa por el punto P(, ) y tiene de vector director a v(, ). Halla la ecuación de la recta. Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. 9 Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema. 0 SOLUCIONARIO

Windows Cabri Practica 9 Dibuja la recta que pasa por los puntos A(, ) y B(, ) y halla su ecuación. 97 Dada la recta r ~ y + = 0, halla una recta t, perpendicular a r, que pase por el punto P(, ) Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. 96 Dada la recta r ~ y + = 0, halla una recta s, paralela a r, que pase por el punto P(, ) 9 Dibuja la circunferencia de centro C(, ) y radio R =. Halla su ecuación. Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. TEMA 9. GEOMETRÍA ANALÍTICA 0

BLOQUE IV Funciones 0. Funciones. Rectas y parábolas. Funciones racionales, irracionales, eponenciales y logarítmicas. Límites y derivadas

0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo de la figura, calcula: a) el perímetro. b) el área. P I E N S A C A L C U L A Perímetro = ( + ) = 6 Área = = a) Indica cuál de las siguientes gráficas es función: b) y = y = + + b) Logarítmica. c) Irracional. d) Trigonométrica. e) Racional. f) Eponencial. A P L I C A L A T E O R Í A a) Sí es función. b) No es función. Hay valores de para los que eisten dos valores de y. Por ejemplo, para =, y =,y = Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los 0 apartados. y = Clasifica las siguientes funciones: a) y = + b) y = log ( + ) c) y = + d) y = cos e) y = f) y = + a) Polinómica.Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( @,+@). Continuidad: es continua.. Periodicidad: no es periódica.. Simetrías: no es simétrica respecto del eje ni respecto del origen O(0, 0) 0 SOLUCIONARIO

6. Asíntotas: Verticales: no tiene. Horizontales: no tiene. 7. Corte con los ejes: Eje : O(0, 0),A(, 0) Eje : O(0, 0). Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: B(, ) Monotonía: Creciente ( ): (, + @) Decreciente ( ): ( @,) 9. Puntos de infleión: no tiene. Curvatura: Convea (á): = ( @,+@) Cóncava (Ü): Ö 0. Recorrido o imagen: Im(f) = [, + @) Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los 0 apartados. y = +. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( @,+@). Continuidad: es continua.. Periodicidad: no es periódica.. Simetrías: no es simétrica respecto del eje ni respecto del origen O(0, 0) 6. Asíntotas: Verticales: no tiene. Horizontales: no tiene. 7. Corte con los ejes: Eje : A(, 0), B(, 0) Eje : C(0, ). Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: D(, ) Mínimo relativo: no tiene. Monotonía: Creciente ( ): ( @, ) Decreciente ( ): (, + @) 9. Puntos de infleión: no tiene. Curvatura: Convea (á): Ö Cóncava (Ü): = ( @,+@) 0. Recorrido o imagen: Im(f) = ( @,]. Función lineal y función afín Dada la función f() =, indica si es lineal o afín y calcula la pendiente. Función lineal. Pendiente: m = P I E N S A C A L C U L A TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS 09

A P L I C A L A T E O R Í A Dadas las funciones lineales siguientes, halla su pendiente e indica si son crecientes o decrecientes. Represéntalas: a) y = b) y = c) y = / m = ò y = b) a) m = ò Creciente. P(, ) m = ò y = b) m = ò Decreciente. 7 Dadas las funciones afines siguientes, halla su pendiente y la ordenada en el origen, e indica si son crecientes o decrecientes. Represéntalas: a) y = / b) y = / + a) m = / ò Creciente. b = c) m = / ò Creciente. 6 Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: b) m = / ò Decreciente. b = a) b) a) P(, ) a) Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: b) 0 SOLUCIONARIO

a) b) A(0, ) B(, ) A(0, ) B(, ) m = = 0 b = y = + ( ) m = = 0 b = y =. Función cuadrática Dada la función f() =, representada en el margen, indica: a) la ecuación del eje de simetría. b) las coordenadas del vértice, y si éste es un máimo o un mínimo. P I E N S A C A L C U L A a) = 0 b) V(0, ) es un mínimo. 9 Halla el eje de simetría y las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo en las siguientes funciones cuadráticas: a) y = 6 b) y = + c) y = 9 d) y = + a) Eje de simetría: = V(, ) es un mínimo. b) Eje de simetría: = V(, ) es un máimo. c) Eje de simetría: = 0 V(0, 9) es un mínimo. d) Eje de simetría: = V(, ) es un mínimo. 0 Representa las siguientes parábolas: a) y = b) y = a) A P L I C A L A T E O R Í A TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS

b) Representa la parábola y = ; a partir de ella, representa la parábola y =. Halla el eje de simetría y las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo. Eje de simetría: = V(, 0) es un máimo. Representa la parábola y = ; a partir de ella, representa la parábola y = ( ). Halla el eje de simetría y las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo. Eje de simetría: = 0 V(0, ) es un mínimo. Representa la parábola y = ; a partir de ella, representa la parábola y = ( + ). Halla el eje de simetría y las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo. Eje de simetría: = V(, ) es un mínimo. =. La parábola Dada la función f() =, representada en el margen, indica: a) la ecuación del eje de simetría. b) las coordenadas del vértice y si éste es máimo o mínimo. Eje de simetría: = V(, ) es un mínimo. P I E N S A C A L C U L A SOLUCIONARIO

Halla el eje de simetría y las coordenadas del vértice, indicando si éste es un máimo o un mínimo, de las siguientes funciones cuadráticas, y represéntalas: a) y = b) y = 6 + c) y = + + d) y = + A P L I C A L A T E O R Í A Halla la ecuación de la siguiente parábola: a) Eje de simetría: = V(, ) es un mínimo. = = (0, ) b) Eje de simetría: = V(, ) es un máimo. V(, ) V(, ) a = Eje de simetría: b = ò b = a ò b = a c = y = + = c) Eje de simetría: = V(, ) es un mínimo. 6 Halla la ecuación de la siguiente parábola: d) Eje de simetría: = V(, ) Es un máimo. = V(, ) (0, ) = V(, ) = a = Eje de simetría: b = ò b = a ò b = 6 a TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS

c = y = + 6 + = (0, ) 7 Halla la ecuación de la siguiente parábola: a = Eje de simetría: b = ò b = a ò b = a c = y = + + SOLUCIONARIO

Ejercicios y problemas. Funciones Indica cuál de las siguientes gráficas es función: a) b) a) Sí es función. b) No es función. Hay valores de para los que eisten dos valores de y. Por ejemplo, para = 0, y =, y = 9 Clasifica las siguientes funciones: a) y = + b) y = log ( ) c) y = d) y = sen ( + π) e) y = f) y = a) Polinómica. b) Logarítmica. c) Irracional. d) Trigonométrica. e) Racional. f) Eponencial. y = + 6 y + =. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( @,+@). Continuidad: es continua.. Periodicidad: no es periódica.. Simetrías: es simétrica respecto del eje 6. Asíntotas: Verticales: no tiene. Horizontales: no tiene. 7. Corte con los ejes: Eje : A(, 0), B(, 0) Eje : C(0, ). Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: C(0, ) Monotonía: Creciente ( ): (0, + @) Decreciente ( ): ( @,0) 9. Puntos de infleión: no tiene. Curvatura: Convea (á): = ( @,+@) Cóncava (Ü): Ö 0. Recorrido o imagen: Im(f) = [, + @) Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los diez apartados. y = + 0 Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los diez apartados. y =. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = ( @,+@). Continuidad: es continua.. Periodicidad: no es periódica.. Simetrías: no es simétrica respecto del eje ni respecto del origen O(0, 0) TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS

Ejercicios y problemas 6. Asíntotas: Verticales: no tiene. Horizontales: no tiene. 7. Corte con los ejes: Eje : O(0, 0),A(, 0) Eje : O(0, 0). Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: B(, ) Mínimo relativo: no tiene. Monotonía: Creciente ( ): ( @,) Decreciente ( ): (, + @) 9. Puntos de infleión: no tiene. Curvatura: Convea (á): Ö Cóncava (Ü): = ( @,+@) 0. Recorrido o imagen: Im(f) = ( @,]. Función lineal y función afín Halla mentalmente la pendiente de las siguientes funciones lineales o de proporcionalidad directa, di si son crecientes o decrecientes y represéntalas: a) y = b) y = c) y = d) y = c) m = / ò Creciente. d) m = / ò Decreciente. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: a) b) a) m = ò Creciente. a) b) m = / ò Decreciente. m = ò y = P(, ) 6 SOLUCIONARIO

b) d) m = / ò Decreciente. b = P(, ) m = ò y = Halla mentalmente la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes funciones afines, di si son crecientes o decrecientes y represéntalas: a) y = + b) y = + Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: a) b) c) y = d) y = + a) m = ò Creciente. b = a) A(0, ) B(, ) b) m = / ò Decreciente. b = ( ) m = = 0 b = y = b) c) m = / ò Creciente. b = A(0, ) B(, ) m = = 0 b = y = + TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS 7

Ejercicios y problemas. Función cuadrática 6 Halla el eje de simetría y las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo en las siguientes funciones cuadráticas: a) y = 6 + b) y = + c) y = + d) y = + a) Halla el eje de simetría. b) Halla las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo. c) Dónde es creciente y dónde decreciente? d) Es convea (á) o cóncava (Ü)? a) Eje de simetría: = V(, ) es un mínimo. b) Eje de simetría: = V(, ) es un máimo. c) Eje de simetría: = 0 V(0, ) es un mínimo. d) Eje de simetría: = V(, ) es un mínimo. a) = 0 b) V(0, 0) es un máimo. c) Creciente ( ): ( @,0) Decreciente ( ): (0, + @) d) Es cóncava (Ü) 7 Representa la siguiente parábola: y = a) Halla el eje de simetría. b) Halla las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo. c) Dónde es creciente y dónde decreciente? d) Es convea (á) o cóncava (Ü)? 9 Representa la parábola y = A partir de ella, representa la siguiente parábola: y = + a) Halla el eje de simetría. b) Halla las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo. c) Dónde es creciente y dónde decreciente? d) Es convea (á) o cóncava (Ü)? a) = 0 b) V(0, 0) es un mínimo. c) Creciente ( ): (0, + @) Decreciente ( ): ( @,0) d) Es convea (á) Representa la siguiente parábola: y = a) = 0 b) V(0, ) es un máimo. c) Creciente ( ): ( @,0) Decreciente ( ): (0, + @) d) Es cóncava (Ü) 0 Representa la función y = A partir de ella, representa la siguiente parábola: SOLUCIONARIO

y = ( ) a) Halla el eje de simetría. b) Halla las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo. c) Dónde es creciente y dónde decreciente? d) Es convea (á) o cóncava (Ü)?. La parábola Representa la siguiente parábola: y = + a) Halla el eje de simetría. b) Halla las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo. V(, 0) V(, ) a) = b) V(, 0) es un mínimo. c) Creciente ( ): (, + @) Decreciente ( ): ( @,) d) Es convea (á) = a) = b) V(, ) es un mínimo. = Representa la función y = A partir de ella, representa la siguiente parábola: y = ( + ) a) Halla el eje de simetría. b) Halla las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo. c) Dónde es creciente y dónde decreciente? d) Es convea (á) o cóncava (Ü)? Representa la siguiente parábola: y = 6 a) Halla el eje de simetría. b) Halla las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo. V(, ) = a) = b) V(, ) es un máimo. = a) = b) V(, ) es un mínimo. c) Creciente ( ): (, + @) Decreciente ( ):( @, ) d) Es convea (á) Representa la siguiente parábola: y = + a) Halla el eje de simetría. b) Halla las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo. TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS 9

Ejercicios y problemas a) b) V(, ) a) = b) V(, ) es un mínimo. = a) = Representa la siguiente parábola: y = + 6 a) Halla el eje de simetría. b) Halla las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo. a) = b) V(, ) es un máimo. 6 Halla la ecuación de las siguientes parábolas: a = Eje de simetría: b = ò b = a ò b = a c = y = + b) (0, 6) a = Eje de simetría: b = ò b = a ò b = a c = 6 y = + + 6 (0, ) = = 0 SOLUCIONARIO

Para ampliar 7 Clasifica las siguientes funciones en lineales o afines. Halla mentalmente la pendiente, di si son crecientes o decrecientes y represéntalas: a) y = b) y = c) y = d) y = Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: b) a) a) Función lineal. m = / ò Decreciente. c) d) b) Función afín. m = ò Decreciente. a) y = b) y = + c) y = + 6 d) y = c) Función afín. m = / ò Creciente. 9 Representa la siguiente parábola: y = A partir de ella, representa la parábola: y = ( ) a) Halla el eje de simetría. b) Halla las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo. c) Dónde es creciente y dónde decreciente? d) Es convea (á) o cóncava (Ü)? d) Función lineal. m = / ò Creciente. a) = b) V(, 0) es un mínimo. = V(, 0) TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS

Ejercicios y problemas Representa la siguiente parábola: y = 0 A partir de ella representa la parábola: y = ( ) + a) Halla el eje de simetría. b) Halla las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo. c) Dónde es creciente y dónde decreciente? d) Es convea (á) o cóncava (Ü)? c) Creciente ( ): (, + @) Decreciente ( ): ( @,) d) Es convea (á) = V(, ) a) = b) V(, ) es un mínimo. c) Creciente ( ): (, + @) Decreciente ( ): ( @, ) d) Es convea (á) Halla la ecuación de las siguientes parábolas: a) b) a) = b) V(, ) es un máimo. c) Creciente ( ): ( @,) Decreciente ( ): (, + @) d) Es cóncava (Ü) Representa la siguiente parábola: y = + 6 + a) Halla el eje de simetría. b) Halla las coordenadas del vértice, e indica si éste es un máimo o un mínimo. c) Dónde es creciente y dónde decreciente? d) Es convea (á) o cóncava (Ü)? a) b) (0, ) a = Eje de simetría: b = ò b = a ò b = a c = y = + = V(, ) = a = = (0, 0) SOLUCIONARIO

Eje de simetría: b = ò b = a ò b = 6 a c = 0 y = + 6 Halla algebraicamente los puntos de corte de las siguientes parábolas con los ejes de coordenadas, representa las parábolas y comprueba el resultado. a) y = + + b) y = c) y = + + d) y = + a) Eje : + + = 0 ò =, = A(, 0), B(, 0) Eje : C(0, ) b) Eje : = 0 ò = 0, = O(0, 0), B(, 0) Eje : O(0, 0) d) Eje : + = 0 ò No tiene solución. Eje :A(0, ) Halla algebraicamente los puntos de corte de la recta y la parábola siguientes, representa las gráficas y comprueba el resultado: y = y = Se resuelve el sistema formado por la ecuación de la recta y de la parábola: =, y = ò A(, ) =, y = ò B(, ) B(, ) A(, ) c) Eje : + + = 0 ò = A(, 0) Eje : B(0, ) Halla algebraicamente los puntos de corte de las siguientes parábolas, representa las parábolas y comprueba el resultado: y = y = + TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS

Ejercicios y problemas Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de las dos parábolas: =,y = ò A(, ) =, y = ò B(, ) A(, ) B(, ) Problemas 6 La parábola y = a + b + c pasa por el origen de coordenadas. a) Cuánto vale c? b) Si la parábola pasa además por los puntos A(, ) y B(, ), calcula el valor de los coeficientes a y b c) Escribe la ecuación de la parábola. d) Represéntala gráficamente. a) c = 0 b) Se resuelve el sistema: 9a b = a + b = } a =, b = c) y = + d) B(, ) a) Se resuelve el sistema: 6 + b + c = + b + c = } b =,c = b) y = + c) B(, ) A(, ) La distancia de seguridad que deben guardar los coches entre sí, en circulación, se recoge en la tabla siguiente: 7 A(, ) Sea la parábola y = + b + c a) Calcula los valores de b y c sabiendo que pasa por los puntos A(, ) y B(, ) b) Escribe la ecuación de la parábola. c) Represéntala gráficamente. Velocidad (km/h) Distancia de seguridad (m) 0 0 0 9 0 6 0 Epresa la distancia de seguridad en función de la velocidad, y representa la gráfica. SOLUCIONARIO

y = ( ) 0 9 Longitud (m) 0 9 7 6 0 0 0 70 90 Velocidad (km/h) El perímetro de un rectángulo mide m. Epresa el área del rectángulo, en función del lado de la base. Representa la función e indica el valor del lado de la base para el que el área se hace máima. Dinero ( ) 0, 0, 0, 0, 0, 0 0 0 0 0 Tiempo (min) El beneficio, en miles de euros, que se obtiene al vender a una unidad de un determinado producto viene dado por la fórmula B() = + 0 a) Representa la función B() b) Determina el precio al que hay que vender el producto para obtener el máimo beneficio. Si el perímetro mide m, la base más la altura mide m a) Dinero ( 000) 9 7 6 = V(, ) 679 Dinero ( ) y = ( ) y = El máimo se obtiene para =, que forma un cuadrado de área m 0 Un servicio de telefonía cobra 0, por el uso del servicio y 0,06 por cada minuto. Escribe la fórmula de la función que epresa el dinero que se paga en función del tiempo y representa su gráfica. y = 0, + 0,06 y = = V(, ) b) A la unidad, se obtiene el máimo beneficio, que es de 000 Se depositan 000 a un % de interés simple anual. Epresa el interés en función del tiempo y representa la gráfica. y = 000 0,0 y = 0 Dinero ( ) 60 0 00 0 0 6790 Tiempo (años) La energía cinética de un móvil de masa m viene dada por la siguiente fórmula: TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS

Ejercicios y problemas E(v) = mv donde v es la velocidad del móvil en m/s; m, la masa en kilos, y E, la energía en julios. Dibuja la gráfica que epresa la energía cinética en función de la velocidad de un cuerpo de kg de masa. Qué tipo de gráfica es? E = mv Si m = kg E = v Velocidad (m/h) Energía (julios) Es una parábola. Energía (julios) 9 7 0 0 / 67 Velocidad (m/s) Halla el área de un cuadrado en función del lado. Represéntala gráficamente. 9/ Para profundizar 6 Escribe la ecuación de la parábola que tiene el vértice en V(, ) y pasa por P(, ) Si el vértice es V(, ) y pasa por P(, ) ò a = Se resuelve el sistema: + b + c = + b + c = } b =, c = 6 y = + 6 Escribe la función que da el volumen de un cilindro de 0 cm de altura en función del radio de la base. Represéntala. y = 0π Volumen (cm ) 900 700 00 00 0 cm 00 6790 Longitud (cm) y = Área (m ) 9 7 67 Longitud (m) 7 La demanda y la oferta de un determinado producto en función del precio son: Oferta: y = Demanda: y = + donde se epresa en euros, e y es la cantidad ofertada o demandada. a) Halla el punto de equilibrio algebraicamente. b) Representa las funciones y comprueba el resultado. 6 SOLUCIONARIO

a) Se resuelve el sistema de las dos ecuaciones: =, y = b) Dos móviles inician su movimiento desde un punto O. El primero se desplaza según la fórmula e = t, y el segundo móvil, según e = t; 9 donde t se mide en segundos, y e, en metros. Representa las gráficas de sus movimientos e interpreta el resultado. Dinero ( ) 0 9 7 6 Oferta Demanda 6790 Dinero ( ) Al principio, el móvil recorre un mayor espacio en el mismo tiempo; éste se iguala a los 9 s, y a partir de los 9 s, el er móvil recorre un espacio mayor. 9 Dos móviles inician su movimiento desde un punto O. El primero se desplaza según la fórmula e = t, y el segundo móvil, según e = t; 9 donde t se mide en segundos, y e, en metros. Representa las gráficas de sus movimientos e interpreta el resultado sabiendo que el segundo móvil parte s más tarde que el primero. El móvil alcanza al primero a los s y está por delante hasta los 6 s, cuando se vuelven a encontrar a los m del recorrido.a partir de ese instante, el er móvil va por delante del. Longitud (m) E 0 9 e = t 7 6 e = t 9 T 6790 Tiempo (s) Longitud (m) E 0 e = t 9 9 7 6 e = t T 6790 Tiempo (s) TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS 7

Aplica tus competencias 60 Un móvil se desplaza con una velocidad constante de m/s. Halla la ecuación y representa la gráfica que epresa el espacio en función del tiempo. 6 Un móvil se desplaza según la fórmula e = t + t +. Representa la gráfica e indica el valor del espacio inicial, la velocidad inicial y la aceleración. Logitud (m) 0 9 e = t 7 6 6790 Tiempo (s) T e 0 = m v 0 = m/s a = m/s E Logitud (m) 9 E 7 6 T 679 Tiempo (s) SOLUCIONARIO

Comprueba lo que sabes Define función cuadrática, pon un ejemplo e indica sus características. Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado y = a + b + c, siendo a, b y c números reales y a? 0. Su representación gráfica es una parábola que tiene las siguientes características: a) Tiene un eje de simetría cuya fórmula es: = b a b) Corta al eje en dos puntos, uno o ninguno, según el número de raíces reales de a + b + c = 0, y corta al eje en el punto (0, c) c) El vértice es un mínimo si a > 0, y un máimo si a < 0; por una parte del eje es creciente, y por la otra es decreciente. d) Es convea (á) si a > 0 y cóncava (Ü) si a < 0 b) Función afín. m = / ò Decreciente. e) Al aumentar a en valor absoluto, se hace más estrecha. Ejemplo y = Halla las ecuaciones de las siguientes rectas y clasifícalas. a) b) y = a) Clasifica las siguientes funciones en lineales o afines, halla mentalmente la pendiente, indica si son crecientes o decrecientes y represéntalas: a) y = / b) y = / + a) Función lineal. m = / ò Creciente. m = y = Función lineal. P(, ) TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS 9

Comprueba lo que sabes b) B(, ) A(0, ) y = + V(, ) m = ( ) = 0 b = y = Función afín. Eje de simetría: = V(, ) es un mínimo. 6 Halla la fórmula de la parábola del margen. Eje = Representa la parábola y =, y a partir de ella, dibuja la parábola: y = ( ) a) Halla el eje de simetría. b) Cuándo es creciente y cuándo es decreciente? c) Halla el vértice y di si éste es un máimo o un mínimo. d) Es convea (á) o cóncava (Ü)? V(, ) = (0, ) y = y = ( ) a) = b) Creciente ( ): (, + @) Decreciente ( ): ( @, ) c) V(, ) es un mínimo. d) Es convea (á) V(, ) Eje = Representa la parábola y = +, halla el eje de simetría e indica si el vértice es un máimo o un mínimo. a = Eje de simetría: = b ò b = a ò b = 6 a c = y = + 6 + 7 Un cristalero quiere hacer marcos rectangulares para espejos que tengan m de perímetro. a) Escribe la fórmula que epresa el área de los rectángulos en función del lado b) Representa la gráfica. c) Para qué valor de se hace máima el área del espejo? 0 SOLUCIONARIO

a) Si el perímetro mide m, la base más la altura miden 6 m; por tanto, si la base es, la altura será 6 Un técnico cobra 0 por desplazamiento y por cada hora de trabajo. Halla la ecuación que calcula el dinero que cobra en función del tiempo que tarda en hacer un trabajo, y represéntala. y = (6 ) y = 6 b) Área (m ) 0 9 7 6 = V(, 9) 6 6 7 9 0 Longitud (m) y = + 0 Dinero ( ) c) El máimo se alcanza cuando el rectángulo es un cuadrado de m de lado y tiene un área de 9 m 00 90 0 70 60 0 0 0 0 0 6 7 9 0 Tiempo (h) TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS

Linu/Windows GeoGebra Paso a paso 6 Dada la función: y = clasifícala, halla su pendiente y estudia el crecimiento; calcula la ordenada en el origen. Represéntala. Resuelto en el libro del alumnado. 6 Representa la siguiente parábola: y = Halla el eje de simetría y dibújalo, calcula las coordenadas del vértice y di si es máimo o mínimo, halla dónde es creciente y decreciente y di si es cóncava o convea. Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de Geogebra y DERIVE: 6 6 El perímetro de un rectángulo mide m. Epresa el área del rectángulo en función del lado de la base. Representa la función e indica el valor del lado de la base para el que se hace máima el área. Resuelto en el libro del alumnado. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema. Resuelto en el libro del alumnado. SOLUCIONARIO

Windows Derive Practica 66 Dadas las funciones siguientes: a) y = b) y = c) y = / clasifícalas, halla su pendiente y estudia el crecimiento. Represéntalas. a) a) b) b) Identifica las siguientes gráficas y halla mediante ensayo-acierto su fórmula: 6 c) a) Función lineal. b) y = 69 67 Dadas las funciones siguientes: a) y = / b) y = / + clasifícalas, halla su pendiente y estudia el crecimiento; calcula la ordenada en el origen. Represéntalas. TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS

Linu/Windows GeoGebra a) Función cuadrática. b) y = a) 70 b) a) Función afín. b) y = 7 c) a) Función cuadrática. b) y = + 6 + d) 7 Halla el eje de simetría, las coordenadas del vértice indicando si es un máimo o un mínimo y representa las siguientes funciones cuadráticas: a) y = b) y = 6 + c) y = + + d) y = + Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Geogebra o Derive: SOLUCIONARIO

Windows Derive 7 El beneficio, en miles de euros, que se obtiene al vender a una unidad de un determinado producto viene dado por la fórmula B() = + 0 a) Representa la función B() b)determina el precio al que hay que vender el producto para obtener el máimo beneficio. 7 Escribe la función que da el volumen de un cilindro de m de altura en función del radio de la base. Represéntala. 7 Se depositan 00 a un % de interés simple anual. Epresa el interés en función del tiempo y representa la gráfica. TEMA 0. FUNCIONES. RECTAS PARÁBOLAS

Funciones racionales, irracionales, eponenciales y logarítmicas. Funciones racionales Despeja y de la epresión y = 6. Qué tipo de función es? P I E N S A C A L C U L A 6 y = Es una función racional que corresponde a una función de proporcionalidad inversa. Representa la gráfica de la función y = /, calcula el valor de la constante de proporcionalidad e indica si ésta es creciente o decreciente. Tabla de valores: y = / y = b) las ecuaciones de las asíntotas. c) las discontinuidades. Haciendo la división se obtiene: f() = + y = A P L I C A L A T E O R Í A = a) Dom(f) = {} = ( @, ) á (, + @) Constante de proporcionalidad k = > 0 ò decreciente Dibuja la gráfica de la función f() = Halla: a) su dominio. b) Asíntotas Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = c) Es discontinua en = Halla la ecuación de las siguientes funciones: 6 SOLUCIONARIO

a) b) b) Se dibujan las asíntotas y un rectángulo. y = = a) Se dibuja un rectángulo. Como es creciente k es negativo. y = y = Como es decreciente k es positivo. y =. Operaciones con funciones. Funciones irracionales Desarrolla los siguientes polinomios y calcula su suma: ( ) + ( + )( ) 6 P I E N S A C A L C U L A Dadas las siguientes funciones: f() = ( + ) g() = ( ) calcula: a) f + g b) f g a) (f + g)() = + 0 b) (f g)() = 0 Dadas las siguientes funciones: f() = ( + ) g() = ( +)( ) 6 calcula: a) f g b) f/g c) Dom(f/g) a) (f g)() = + + b) (f/g)() = c) Dom(f/g) = {} = ( @, ) á (, + @) Dadas las siguientes funciones: f() = + g() = A P L I C A L A T E O R Í A TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 7

calcula: a) g f b) f g Clasifica la función f() =, halla su dominio y represéntala. a) (g f)() = g(f()) = g( + ) = ( + ) = = + 0 + b) (f g)() = f(g()) = f( ) = + La función es irracional. Dom(f) = [, + @) 7 Dada f() = +, calcula f, representa ambas funciones y la recta y =. Qué observas? y = = y + y = + y = ò y = f () = f() = + y = f () = 9 a) Halla la fórmula de las siguientes funciones: b) Se observa que f() y f () son simétricas respecto de la recta y = a) y = + b) y =. Funciones eponenciales Calcula mentalmente las 0 primeras potencias enteras positivas de,,, 6,, 6,, 6,, 0 P I E N S A C A L C U L A SOLUCIONARIO

0 Representa la siguiente función: f() = Tabla de valores y = /9 / 0 9 Es la función y = (/) trasladada unidades hacia abajo y una hacia la izquierda. (, ) A P L I C A L A T E O R Í A y = + (/) + y = (, ) (, ) (0, ) Halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: a) b) Representa la siguiente función: f() = (/) y = (/) 9 0 / /9 y = (/) (, ) (0, ) a) y = b) y = + (/) Una célula se reproduce por bipartición cada minuto. Halla la función que epresa el número de células en función del tiempo, y represéntala gráficamente. Representa la siguiente función: f() = + Es la función y = trasladada unidades hacia arriba y una hacia la derecha. (, ) y = t,t Ó 0 Como no puede haber fracciones de células, será una función discreta. y = + (, ) t 0 y = t 6 Representa la siguiente función: f() = + (/) + Número de células y = t Tiempo (min) T TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 9

. Funciones logarítmicas Calcula mentalmente los siguientes logaritmos: a) log b) log / c) log / d) log / / e) log P I E N S A C A L C U L A a) b) c) d) e) 0 6 Representa la siguiente función: f() = log Tabla de valores y = log /9 / 0 y = log (, ) (, 0) 9 Representa la siguiente función: f() = + log ( ) A P L I C A L A T E O R Í A Es la función y = log trasladada una unidad hacia arriba y dos hacia la derecha. y = + log ( ) (, ) (, ) = 7 Representa la siguiente función: f() = log / Tabla de valores y = log / /9 / 0 9 9 Representa la siguiente función: f() = + log / ( + ) Es la función y = log / trasladada una unidad hacia abajo y dos hacia la izquierda. y = log / (, 0) (, ) = y = + log / ( + ) (, ) (, ) 0 SOLUCIONARIO

0 a) Halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: b) Se despeja y y = + y = y = log ( ) y = + log ( ) f () = + log ( ) a) y = log b) y = + log / ( + ) y = + Halla la función inversa de y = +. Representa ambas funciones y la recta y =. Qué observas en las gráficas? Se cambian las letras = + y y = y = + log ( + ) Ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS

Ejercicios y problemas. Funciones racionales Representa la gráfica de la función y = /. Calcula el valor de la constante de proporcionalidad e indica si es creciente o decreciente. Tabla de valores: Halla la ecuación de las siguientes funciones: a) b) y = / Constante de proporcionalidad k = > 0 ò creciente a) Se dibuja un rectángulo. y = Como es creciente, k es negativo. y = b) Se dibujan las asíntotas y un rectángulo. Dibuja la gráfica de la función f() = Halla: a) su dominio. + + = y = b) las ecuaciones de las asíntotas. c) las discontinuidades. Haciendo la división se obtiene: f() = + Como es decreciente, k es positivo. y = + + + y = + y = = a) Dom(f) = { } = ( @, ) á (, + @) b) Asíntotas Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = c) Es discontinua en =. Operaciones con funciones. Funciones irracionales Dadas las siguientes funciones: f() = ( ) g() = 9 calcula: a) f + g b) f g a) (f + g)() = 6 b) (f g)() = 6 + SOLUCIONARIO

6 Dadas las siguientes funciones: f() = 6 g() = ( + ) calcula: a) f g b) f/g c) Dom(f/g) a) (f g)() = + 6 b) (f/g)() = + c) Dom(f/g) = { } = ( @, ) á (, + @) 9 Clasifica la función f() = +, halla su dominio y represéntala. La función es irracional. Dom(f) = [, + @) y = + 7 Dadas las siguientes funciones: f() = g() = + calcula: a) g f b) f g a) (g f)() = g(f()) = g( ) = = ( ) + ( ) = + b) (f g)() = f(g()) = f( + ) = = ( + ) = + 9 0 Halla la fórmula de las siguientes funciones: a) b) Dada la siguiente función: f() = + calcula f Representa ambas funciones y la recta y =. Qué observas? a) y = b) y = + +. Funciones eponenciales = y + = y + y = + y = f () =, Ó 0 Representa la función f() = Tabla de valores y = /6 / 0 6 f() = + y = Se observa que f() y f () son simétricas respecto de la recta y = y = y = (, ) (0, ) Representa la función f() = (/) TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS

Ejercicios y problemas y = (/) 6 0 / /6 a) y = (/) b) y = + y = (/) (, ) (0, ) 6 Un estanque contiene hectolitros de agua y cada mes se gasta la mitad de su contenido. Halla la función que define la capacidad que queda en el estanque en función del tiempo y represéntala gráficamente. Representa la función f() = + Es la función y = trasladada unidades hacia abajo y dos hacia la derecha. y = (/) t,t Ó 0 t 0 y = (/) t Como el agua disminuye continuamente, será una función continua. / / 6 / y = + (, ) (, ) Volumen (hl) y = (/) t Tiempo (meses) T Representa la función f() = + (/) + Es la función y = (/) trasladada unidad hacia arriba y tres hacia la izquierda. (, ) (, ) y = + (/) +. Funciones logarítmicas 7 Representa la siguiente función: f() = log Tabla de valores y = log /6 / 0 6 Halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica. a) b) y = log / (, 0) (, ) Representa la siguiente función: f() = log / SOLUCIONARIO

y = log / /6 / 0 6 Halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: a) b) y = log / (, 0) (, ) 9 Representa la siguiente función: f() = + log ( ) a) y = log / b) y = + log ( + ) Es la función y = log trasladada dos unidades hacia arriba y tres hacia la derecha. y = + log ( ) (, ) = 0 Representa la siguiente función: f() = + log / ( ) Es la función y = log / trasladada tres unidades hacia abajo y dos hacia la derecha. Halla la función inversa de y = + log ( ), representa ambas funciones y la recta y =. Qué observas en las gráficas? Se cambian las letras = + log (y ) Se despeja y log (y ) = + log (y ) = y = y = + f () = + Ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = f () = + y = + log / ( ) = (, ) (6, ) y = + log ( ) TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS

Ejercicios y problemas Para ampliar Halla el dominio de las funciones: 7 a) y = b) Función irracional. b) y = a) Dom(f) = {} = ( @, ) á (, + @) b) Dom(f) = [, + @) Halla el dominio de las funciones: a) y = + b) y = log ( ) Creciente ( ) : [, + @) Decreciente ( ) : Ö a) Dom(f) = = ( @,+@) b) Dom(f) = (, + @) Halla las discontinuidades de las funciones: + a) y = b) y = + 7 a) y = + + b) y = + + a) Función eponencial. a) = b) = Clasifica las siguientes funciones. Represéntalas y halla su crecimiento: + 6 a) y = b) y = a) Función racional. Creciente ( ) : = ( @,+@) Decreciente ( ) : Ö b) Función racional. + y = ò y = + + + = y = y = = + y = ò y = + Creciente ( ) : Ö Decreciente ( ) : ( @, ) á (, + @) Creciente ( ) : Ö Decreciente ( ) : ( @, ) (, + @) a) y = + b) y = + log ( + ) 6 SOLUCIONARIO

a) Función irracional. 0 Dadas las siguientes funciones: f() = 7 g() = + 6 calcula: a) f + g b) f g a) (f + g)() = + b) (f g)() = 9 + Creciente ( ) : [, + @) Decreciente ( ) : Ö b) Función logarítmica. Dadas las siguientes funciones: f() = 7 g() = + 7 calcula: a) f g b) f/g c) el dominio de f/g Creciente ( ) : (, + @) Decreciente ( ) : Ö 9 a) y = + (/) b) y = log / ( ) a) Función eponencial. a) (f g)() = 9 7 b) (f/g)() = + 7 c) Dom(f/g) = { 7} = ( @, 7) á ( 7, + @) Representa la función f() =, multiplica dicha función por y represéntala en los mismos ejes coordenados. Qué observas en las gráficas de ambas funciones? La gráfica de la función f() = es la simétrica de la función f() = respecto del eje f() = Creciente ( ) : Ö Decreciente ( ) : = ( @,+@) b) Función logarítmica. Creciente ( ) : Ö Decreciente ( ) : (, + @) f() = Dadas las siguientes funciones: f() = g() = + calcula: a) g f b) f g a) (g f)() = g(f()) = g( ) = ( ) + = = 0 + 6 b) (f g)() = f(g()) = f( + ) = + = = TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 7

Ejercicios y problemas Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica. 6 a) b) a) b) a) Función racional. a) Función racional. y = y = b) Función eponencial. y = e b) Función irracional. y = a) b) 7 a) b) a) Función logarítmica a) Función logarítmica. y = L y = log /e b) Función racional. b) Función racional. y = y = SOLUCIONARIO

a) b) 60 a) b) a) Función eponencial. y = b) Función racional. a) Función irracional. y = + b) Función racional. y = y = 9 a) b) 6 a) b) a) Función racional. a) Función racional. 6 y = b) Función eponencial. y = (/e) 6 y = b) Función eponencial. y = (/) TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 9

Ejercicios y problemas 6 a) b) a) Función racional. y = b) Función irracional. y = + Problemas 6 Un árbol crece durante los tres primeros años, según la función y =. Representa dicha función en los tres primeros años de vida del árbol. y = 0 0 7 b) (f g)() = f(g()) = f ( ) = = ( ) + = + = c) Que las funciones f y g son una inversa de la otra. 6 Dada la siguiente función: f() = calcula: a) f f b) Qué puedes afirmar del resultado obtenido? a) (f f)() = f(f()) = f( ) = b) Que la función f es inversa de sí misma. 6 Dadas las funciones: f() = + g() =, Ó calcula: a) g f b) f g c) Qué puedes afirmar del resultado obtenido? a) (g f)() = g(f()) = g( + ) = + = = = 66 Calcula la función inversa de f() =, Ó 0. Representa ambas funciones en unos mismos ejes coordenados, y la recta y =. Qué observas? y =, Ó 0 Se cambian las letras. = y Se despeja la y y = 0 SOLUCIONARIO

y = + f () = + Los puntos de corte son: O(0, 0) y A(, ) f () = + y = f() = O(0, 0) y = y = A(, ) Se observa que ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = 69 y = y = 67 Calcula la función inversa de f() = +. Representa ambas funciones en unos mismos ejes coordenados, y la recta y =. Qué observas? y = + Se cambian las letras. = y + Se despeja la y = y + y = + y = f () = y = / El único punto de corte es P(, ) 70 y = y = + log ( ) y = P(, ) f () = f() = + y = P(, ) y = + log ( ) Se observa que ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = El único punto de corte es P(, ) Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones y luego halla los puntos de corte: 6 y = y = 7 a) b) TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS

Ejercicios y problemas a) Función racional. a) Función racional. y = = y = b) Función irracional. y = + + y = + = + + b) Función logarítmica. y = log / 7 a) b) 7 a) b) a) Función eponencial. a) Función eponencial. y = + + y = 0 b) Función racional. b) Función racional. y = = y = 0 = y = + = y = + 7 a) b) 7 a) b) SOLUCIONARIO

a) Función racional. a) Función racional. = = y = y = + 7 y = = + + b) Función irracional. y = + y = = b) Función logarítmica. y = log 76 a) b) 7 a) b) a) Función racional. a) Función racional. y = y = = = + y = = + + b) Función eponencial. y = (/0) y = + = b) Función irracional. y = 77 a) b) 79 a) b) TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS

Ejercicios y problemas a) Función racional. = = 0 ( ) = 0 ò = 0, = Para = 0 es cuando empieza a funcionar. A partir de los años empezará a ser deficitaria. 0 y = + y = = b) Función logarítmica. y = log /0 En una granja hay pienso para alimentar 000 pollos durante 0 días. Calcula la función que da el número de días en función del número de pollos. Clasifica la función obtenida. 0 000 y = 0 000 ò y = Es una función racional. Es de proporcionalidad inversa. Halla la función que calcula la longitud del lado de un cuadrado de área m. Clasifica la función obtenida. y = Es una función irracional. Los ingresos y gastos, en millones de euros, de una empresa en función del número de años que llevan funcionando vienen dados por: i() = g() = a) Calcula la función que da los beneficios de dicha empresa. b) Cuándo empieza a ser deficitaria la empresa? a) b() = i() g() b() = b) Empieza a ser deficitaria a partir de que los beneficios sean cero. Las diferencias de presiones, que aparecen al ascender por una montaña, son la causa del mal de montaña y del dolor de oídos. Se ha probado eperimentalmente que la presión viene dada por la fórmula y = 0,9, donde y se mide en atmósferas, y, en miles de metros. a) Representa dicha función. b) Qué presión hay a 000 m de altura? c) A qué altura tendremos que ascender para que la presión sea de 0,9 atmósferas? a) Gráfica Presión (atmósferas) b) y = 0,9 = 0,79 atmósferas. c) 0,9 = 0,9 log 0,9 = log 0,9 log 0,9 = = log 0,9 Altura = 000 m La bacteria Eberthella typhosa se reproduce por bipartición cada hora. Si partimos de un millón de bacterias, calcula: a) la función que epresa el número de bacterias en función del tiempo. b) cuántas bacterias habrá al cabo de horas. Da el resultado en notación científica. c) qué tiempo tiene que transcurrir para tener 0 millones de bacterias. a) y = 0 6 0,9 0, 0,7 0,6 0, 0, 0, 0, 0, 6790 Longitud (miles de metros) SOLUCIONARIO

b) y = 0 6 =,67776 0 c) 0 6 = 0 0 6 = 0 = 0 = 0 horas. Un barco de vela deportivo cuesta un millón de euros. Si se devalúa un % anualmente, calcula: a) la función que epresa el valor en función del número de años. b) el valor que tendrá al cabo de 0 años. c) cuántos años tendrán que transcurrir para que valga la mitad del precio inicial. a) y = 0 6 0, b) y = 0 6 0, 0 = 7 c) 0 6 0, = 0, 0 6 0, = 0, log 0, = log 0, log 0, = =,9 años log 0, Aproimadamente años y medio. 6 El alquiler de un piso es de 00 mensuales. Si en el contrato se hace constar que se subirá un % anual, calcula: a) la función que epresa el precio del alquiler en función del número de años. b) el precio del alquiler al cabo de 0 años. c) cuántos años tendrán que transcurrir para que se duplique el alquiler. a) la función que epresa el volumen de madera en función del número de años. b) el volumen que tendrá al cabo de años. c) cuántos años tendrán que transcurrir para que se triplique el volumen. a) y =, b) y =, = 0,9 m c), =, = log, = log log = =, años. log, Para profundizar Calcula la función inversa de f() = e. Representa ambas funciones en unos mismos ejes coordenados, y la recta y =. Qué observas en las gráficas? y = e Se cambian las letras. = e y Se despeja la y e y = y = L f () = L a) y = 00,0 b) y = 00,0 0 = 67,96 c) 00,0 = 000,0 = log,0 = log log = =, años. log,0 7 Un bosque tiene m de madera. Si el ritmo de crecimiento es de un 0% al año, calcula: Se observa que ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = 9 f() = e y = Calcula la función inversa de f() =. Qué puedes afirmar viendo el resultado que has obtenido? f () = L TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS

Ejercicios y problemas y = Se cambian las letras. = y a) Función logarítmica. y = + log ( ) b) Función irracional. y = + Se despeja la y y = 9 a) b) f () = Se puede afirmar que dicha función coincide con su inversa. Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: 90 a) b) a) Función racional. = 0 y = a) Función racional. = y = 6 + y = = b) Función logarítmica. y = + log / ( ) 9 a) b) 6 + y = + = + + b) Función eponencial. y = + (/) 9 a) b) a) Función eponencial. y = + + b) Función irracional. y = + 9 Para recolectar las fresas de una huerta, 0 trabajadores tardan días. Calcula la función que da el número de días en función del número de trabajadores. Clasifica la función obtenida. 6 SOLUCIONARIO

y = 00 00 y = y = (/) t/0 y = (/) 0/0 = 0,7 g Es una función racional. Es de proporcionalidad inversa. 9 96 Halla la función que calcula la longitud del radio de un círculo de área m. Clasifica la función obtenida. πr = R = /π R = /π f() = /π Función irracional. Se define el período radioactivo como el tiempo necesario para que la mitad de los átomos de un isótopo se hayan desintegrado, emitiendo radiaciones. El actinio tiene un período de desintegración de 0 años. Escribe la función que calcula la cantidad de actinio en función del número de años. Si tenemos inicialmente g de actinio, al cabo de 0 años cuánto actinio tendremos? 97 Un capital de 0 000 se deposita en un banco a interés compuesto del %. Calcula: a) la función que epresa el valor del capital en función del número de años. b) el valor que tendrá al cabo de años. c) cuántos años tendrán que transcurrir para que se duplique el capital inicial. a) C = 0 000,0 t b) C = 0 000,0 = 6 6 c) 0 000,0 t = 60 000,0 t = t log,0 = log log t = =, años. log,0 TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 7

Aplica tus competencias 9 Escribe la fórmula que relaciona la presión y el volumen dada por la ley de Boyle-Mariotte, y clasifícala. PV = k k P = V Es una función racional; es de proporcionalidad inversa. 99 Escribe la fórmula que relaciona la presión y el volumen dada por la ley de Boyle-Mariotte, sabiendo que para una determinada cantidad de gas P = atmósferas, V = litros. Represéntala gráficamente. Tabla de valores: V P Gráfica: Presión (atmósferas) V 6 P = V 6 PV = P = V P SOLUCIONARIO

Comprueba lo que sabes Define función eponencial y pon un ejemplo. Una función es eponencial si la variable independiente está en el eponente. Es de la forma: f() = a siendo a > 0 y a π Ejemplo: Representa la función f() = Se hace una tabla de valores: y = / / / 0 y = (, ) (, ) (0, ) Se despeja la y y = y = + y = + f () = + f () = + y = Ambas son simétricas respecto de la recta y = f() = Clasifica y representa la función y = /, calcula el valor de la constante de proporcionalidad, indica si la función es creciente o decreciente y di si es continua. Clasifica, halla el dominio y representa la función f() = + log ( + ) Es una función logarítmica. Dom(f) = (, + @) Es una función racional. y = + log ( + ) = k = > 0 ò decreciente. Es discontinua en = 0 Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica. Halla la función inversa de f() =, Ó 0. Representa ambas funciones y la recta y =. Qué observas? Se cambian las letras. = y a) TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 9

Comprueba lo que sabes b) b) Función racional. = a) Función irracional. y = + + b) Función eponencial. y = e + y = = + + 6 Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica. a) 7 Para hacer la revista del centro, alumnos tardan 6 días. Calcula la función que epresa el número de días en función del número de alumnos. Clasifica la función obtenida. y = ò y = Es una función racional. Es de proporcionalidad inversa. b) Una ciudad tiene un índice de crecimiento de población del 0,%. Si en el año 000 tenía millones de habitantes, escribe la función que calcula la población en función del número de años. Cuántos habitantes tendrá en el año 00? a) Función logarítmica. y = + log ( + ) P = 0 6,00 t 000 P = 0 6,00 0 =,9677 0 6 = = 9 677 habitantes. y = 60 SOLUCIONARIO

Linu/Windows GeoGebra Windows Derive Paso a paso 00 Dada la función: y = + clasifícala. Represéntala. Descríbela como traslación. Halla y representa las asíntotas. Halla el dominio, las discontinuidades y el crecimiento. Resuelto en el libro del alumnado. 0 Representa en los mismos ejes las funciones: y = y = log y = Qué observas? Resuelto en el libro del alumnado. 0 Clasifica la siguiente función dada por su gráfica y mediante ensayo-acierto halla su fórmula o ecuación: Resuelto en el libro del alumnado. 0 Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema. TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 6

Linu/Windows GeoGebra Practica 0 Dada la función: y = + + a) clasifícala. b) represéntala. c) descríbela como traslación. d) halla y representa las asíntotas. e) halla el dominio. f) halla las discontinuidades. g) halla el crecimiento. 0 y = + 06 y = e Dadas las siguientes funciones: a) clasifícalas. b) represéntalas. c) halla el dominio. d) halla el crecimiento. 6 SOLUCIONARIO

Windows Derive 07 y = log 09 Representa en unos mismos ejes coordenados las funciones y =, y = (/). Qué observas? 0 Representa en unos mismos ejes coordenados las funciones y =, y = log, y =. Qué observas? 0 Representa en unos mismos ejes coordenados las funciones y = log, y = log /. Qué observas? TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 6

Linu/Windows GeoGebra Clasifica y halla mediante ensayo-acierto la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: a) Función racional. b) y = + + a) Función logarítmica. b) y = + log ( ) a) Función eponencial. b) y = + ( ) a) Función irracional. b) y = + 6 SOLUCIONARIO

Windows Derive Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de Geogebra o Derive: Una célula se reproduce por bipartición cada minuto. Halla la función que define el número de células y represéntala gráficamente. TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 6

Límites y derivadas. Funciones especiales Completa la tabla siguiente:,6,6 0, 0, Ent() Dec() Signo() P I E N S A C A L C U L A,6,6 0, 0, Ent() 0 Dec() 0, 0,6 0, 0,,6,6 0, 0, Signo() A P L I C A L A T E O R Í A Representa las siguientes funciones: Representa las siguientes funciones: a) y = Ent() b) y = signo( ) a) y = + b) y = + a) a) y = Ent () b) b) y = signo ( ) 66 SOLUCIONARIO

Representa las siguientes funciones: a) y = log b) y = sen a) y = log b) 0 y = sen π/ π π/ π 6 Representa la siguiente función: / si < 0 y = { si Ó 0 Representa la siguiente función: + si Ì y = { si >. Límites Completa la tabla y estima el valor al que tiende la función cuando tiende al infinito: P I E N S A C A L C U L A y = / 0 00 000 0 000 00 000 000 000 + @ y y = / 0 0, 00 0,0 000 0,00 0 000 0,000 00 000 0,0000 000 000 0,00000 + @ y 0 6 Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím ( 7 + ) +@ b) lím ( 7 + ) @ a) lím ( 7 + ) = + @ +@ b) lím ( 7 + ) = @ @ A P L I C A L A T E O R Í A TEMA. LÍMITES DERIVADAS 67

7 Calcula los siguientes límites y representa la función correspondiente: a) lím b) 0 ( + )( ) a) lím = [ ] = lím = 0 = lím ( + ) = Gráfica: + 0 + lím = [ ] = lím = + 0 ( + ) = lím = Gráfica: b) y = y = + + lím + + Calcula mentalmente los siguientes límites: a) + b) + lím lím +@ + @ 7 n c) + lím d) n +@ n n e) + lím f) n +@ n + a) lím = +@ + + b) lím = + @ @ 7 n + c) lím = n +@ n + d) lím = @ +@ 7 n + e) lím = 0 n +@ n + f) lím = @ + lím +@ lím @ + 7 + +. La derivada Un coche va de Asturias a Andalucía; recorre 00 km en horas. Cuál es su velocidad media? Velocidad media = 00 = 00 km/h P I E N S A C A L C U L A 6 SOLUCIONARIO

Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: 9 f() = + en [, ] f() f() 7 TVM[, ] = = = 0 f() = en [, ] f() f() TVM[, ] = = = f() = en [, ] f() f() / TVM[, ] = = = f() = en [0, ] f() f(0) 0 TVM[0, ] = = = 0 Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas: 7 y = y = 0 y = y = 9 y = y = 0 y = y = y = + + + y = + + A P L I C A L A T E O R Í A Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indica: f() = + en = f () = f() = + en = f () = y = 7 + y = 0 7 y = + + y = + 6 y = ( + ) f() = en = f () = 6 6 f() = + en = f () = y = ( + ) y = e y = e 6 y = e TEMA. LÍMITES DERIVADAS 69

y = e 7 y = L y = y = L ( ) y = 9 y = L ( + 6) + y = + 6 0 y = 7 y = 7 y = e y = ( + )e 6 y = L y = + L y = e L e y = e L + y = ( ) e y = y = y = y = e + + y = ( + ). Aplicaciones de la derivada Si la pendiente de una recta es m =, calcula la pendiente m de cualquier recta perpendicular. Las pendientes son inversas y opuestas, m = P I E N S A C A L C U L A 70 SOLUCIONARIO

7 Halla la recta tangente a la curva y = + para =. Dibuja la función y la recta tangente. Recta tangente: y = f() = + P(, ) A P L I C A L A T E O R Í A y = 6 6 = 0, =, y =,A(, ) y = f () = > 0 ò A(, ) mínimo relativo. f() = 6 + y = A(, ) Calcula la recta normal a la curva y = para =. Dibuja la función y la recta normal. Recta normal: y = f() = y = P(, ) Halla los máimos y mínimos relativos de la función y = +. Dibuja la función. y = + + = 0, =, y =,A(, ) y = f () = < 0 ò A(, ) Máimo relativo. A(, ) 9 0 Halla las rectas tangente y normal a la curva y = para =. Dibuja la función y las rectas tangente y normal. Recta tangente: y = 9 Recta normal: y = + f() = y = + 9 P(, ) y = Calcula los máimos y mínimos relativos de la función y = 6 +. Dibuja la función. f() = + Calcula el crecimiento de la función y =. Dibuja la función. Hay que hallar previamente los máimos y mínimos relativos: y = = 0, =, y =,A(, ) y = f () = > 0 ò A(, ) mínimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () 0 TEMA. LÍMITES DERIVADAS 7

y = f (0) = f () + 0 ( ) = (, + @) ( ) = ( @,) Calcula el crecimiento de la función y =. Dibuja la función. y = > 0, es siempre creciente. f() = f() = A(, ) Halla el crecimiento de la función y = + 6. Dibuja la función. Hay que hallar previamente los máimos y mínimos relativos: y = + 6 + 6 = 0, =, y =,A(, ) y = f () = < 0 ò A(, ) Máimo relativo. Halla el crecimiento de la función y =. Dibuja la función. y = < 0, es siempre decreciente. f() = Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () 0 y = + 6 f (0) = + f () + 0 ( ) = ( @,) ( ) = (, + @) f() = + 6 P(, ) 6 Calcula los máimos y mínimos relativos de la función y = y = = 0, = 0, =, =, = =, y =,A(, ) =, y =, B(, ) y = 6 f () = 6 > 0 ò A(, ) Mínimo relativo. f ( ) = 6 < 0 ò B(, ) Máimo relativo. 7 SOLUCIONARIO

Ejercicios y problemas. Funciones especiales 7 Representa la siguiente función: y = Ent(/) Representa la siguiente función: si Ì 0 y = { si > 0 Representa la siguiente función: y = Signo( ) Representa la siguiente función: si < y = { log/ si Ó 9 Representa la siguiente función: y = y =. Límites Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím ( + ) +@ b) lím ( + ) @ a) lím ( + ) = @ +@ 0 Representa la siguiente función en el intervalo [0, π]: y = cos 0 y = cos π/ π/ π π 6 b) lím ( + ) = + @ @ Calcula el siguiente límite: lím + + Representa la función correspondiente. + 0 ( + ) lím = [ ] = lím = lím = + 0 + TEMA. LÍMITES DERIVADAS 7

Ejercicios y problemas Gráfica: y = + + lím = + a) +@ lím = + b) @ 6 7 Calcula el siguiente límite: lím 6 Representa la función correspondiente. 0 lím = [ ] = lím = 6 0 ( + )( ) = lím = + Gráfica: Calcula mentalmente los siguientes límites: a) b) + 7 a) lím = 0 +@ + + 7 b) lím = 0 @ + Calcula mentalmente los siguientes límites: a) b) lím +@ lím @ lím +@ lím @ + 7 + + 7 + + + y = 6 9 Calcula mentalmente los siguientes límites: a) b) n a) lím = 0 n +@ n + n n + n b) lím = n + @ n n Calcula mentalmente los siguientes límites: a) b) + a) lím = @ +@ + b) lím = + @ @. La derivada Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: 60 f() = en [, ] f() f() + TVM[, ] = = = 6 lím n +@ lím n +@ lím +@ lím @ n n + n n + n n n + + f() = + en [0, ] f() f(0) 0 TVM[0, ] = = = 6 0 7 SOLUCIONARIO

6 6 f() = en [, ] f() f() TVM[, ] = = = 6 f() = + en [, ] f() f( ) TVM[, ] = = = + Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indica: 6 f() = + en = f () = 6 f() = + en = f () = 66 f() = en = f ( ) = 6 67 f() = + en = f () = Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas: 6 y = 9 y = 0 y = 7 6 7 7 7 7 7 76 77 y = 7 + + 9 y = 7 6 + y = + y = 6 y = + y = 0 + y = ( ) y = 0 ( ) y = e + y = e + y = L ( + ) y = + y = L ( + ) y = + 69 y = y = 70 y = 7 7 y = 9 y = 9 79 y = ( + ) e TEMA. LÍMITES DERIVADAS 7

Ejercicios y problemas y = ( + ) e 0 y = L ( ) y = L ( ) + y = e L e y = e L + 6 f() = Calcula la recta normal a la curva y = + para =. Dibuja la función y la recta normal. Recta normal: y = + P(, ) y = 9 y = e y = + P(, ) ( ) e y = y = y = ( ) y = + y = ( ) 7 f() = + Halla las rectas tangente y normal a la curva y = para =. Dibuja la función y las rectas tangente y normal. Recta tangente: y = Recta normal: y = + f() = y = P(, ) y = +. Aplicaciones de la derivada Halla la recta tangente a la curva y = para =. Dibuja la función y la recta tangente. Recta tangente: y = 9 Calcula los máimos y mínimos relativos de la función y =. Dibuja la función. y = = 0, =, y =,A(, ) y = f () = > 0 ò A(, ) mínimo relativo. 76 SOLUCIONARIO

f() = f() = 6 + A(, ) A(, ) 9 90 Halla los máimos y mínimos relativos de la función y = + 6. Dibuja la función. y = + 6 + 6 = 0, =, y =,A(, ) y = f () = < 0 ò P(, ) Máimo relativo. Calcula el crecimiento de la función siguiente: y = 6 +. Dibuja la función. Hay que hallar previamente los máimos y mínimos relativos: y = 6 6 = 0, =, y =,A(, ) y = f () = > 0 ò A(, ) mínimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () y = 6 f (0) = ( ) = (, + @) ( ) = ( @,) f() = + 6 0 f () + 0 A(, ) 9 9 Halla el crecimiento de la función siguiente: y = + +. Dibuja la función. Hay que hallar previamente los máimos y mínimos relativos: y = + + = 0, =, y =,A(, ) y = f () = < 0 ò A(, ) Máimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () y = + f (0) = + f () + 0 ( ) = ( @,) ( ) = (, + @) f() = + + Calcula el crecimiento de la función y =. Dibuja la función. y = > 0, es siempre creciente. 0 A(, ) TEMA. LÍMITES DERIVADAS 77

Ejercicios y problemas 9 f() = Halla el crecimiento de la función y =. Dibuja la función. y = < 0, es siempre decreciente. 9 Calcula los máimos y mínimos relativos de la función y = + y = + + = 0, = 0, =, =, = =, y =,A(, ) =, y =, B(, ) y = 6 f () = 6 < 0 ò A(, ) Máimo relativo. f ( ) = 6 > 0 ò B(, ) mínimo relativo. f() = Para ampliar 9 Representa la siguiente función: { si Ì y = si > Puede haber más de una ecuación? y = o bien y = + 97 Halla la ecuación de una función cuyo valor absoluto tenga como representación la siguiente gráfica: 96 Halla la ecuación de una función cuyo valor absoluto tenga como representación la siguiente gráfica: 9 Puede haber más de una ecuación? y = o bien y = + + Halla la ecuación de una función definida a trozos cuya representación sea la siguiente gráfica: 7 SOLUCIONARIO

+ si Ì y = { + si > 0 Calcula mentalmente los siguientes límites: a) b) lím n +@ lím n +@ n + n 7n n + n n n n + a) lím = + @ n +@ n 7n n + n b) lím = n + @ n n 99 Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím ( + 7) b) lím 0 + 0 + 6 + a) lím ( + 7) = + 0 + 6 b) lím = 0 + 0 Calcula mentalmente los siguientes límites: a) b) lím +@ lím @ 6 + 9 6 + 9 6 + 9 a) lím = +@ 6 + 9 b) lím = @ 00 Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím ( + + ) b) lím ( + ) a) lím ( + + ) = @ +@ b) lím ( + ) = @ @ 0 Calcula mentalmente los siguientes límites: a) b) +@ @ lím +@ lím @ + + + a) lím = +@ + b) lím = @ 0 Calcula mentalmente los siguientes límites: a) b) lím +@ lím @ a) lím = 0 +@ 7 + b) lím = 0 @ 7 + 0 Calcula el siguiente límite: lím 7 + 7 + + + 0 ( + )( ) lím = [ ] = lím = + + 0 ( + )( + ) = lím = = + TEMA. LÍMITES DERIVADAS 79

Ejercicios y problemas 06 Calcula el siguiente límite: lím 07 Calcula el siguiente límite: lím 0 Calcula el siguiente límite: lím + + 0 ( ) lím = [ ] = lím = 0 ( ) lím = 0 + 0 ( ) lím = [ ] = lím = + 0 ( )( + ) = lím = + + + + + + + 0 ( + ) lím = [ ] = lím = + + 0 ( + )( + ) + = lím = 0 + f() = en [, ] f() f( ) TVM[, ] = = = 0 + Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indica: f() = en = f () = f() = + en = f () = 6 Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas: y = 6 + y = 6 0 6 y = ( + ) y = 0 ( + ) 09 Calcula el siguiente límite: lím 7 ( 7) ( 7) 0 ( 7) lím = 7 [ ] = lím = 0 7 ( + )( 7) = lím = = 7 + 6 Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: 0 f() = en [, ] f() f( ) + TVM[, ] = = = + 6 y = e y = e 7 y = L ( + ) + y = + y = y = 9 y = ( ) e 0 SOLUCIONARIO

y = e 0 y = ( + ) L + y = L + Calcula los máimos y mínimos relativos de la función y =. Dibuja la función. y = = 0, = 0, y = 0,A(0, 0) y = f (0) = > 0 ò A(0, 0) mínimo relativo. y = + y = ( ) f() = A(0, 0) y = y = ( + ) + + Halla la recta tangente a la curva y = para =. Dibuja la función y la recta tangente. Recta tangente: y = 6 Halla los máimos y mínimos relativos de la función y =. Dibuja la función. y = = 0, = 0, y = 0,A(0, 0) y = f (0) = < 0 ò A(0, 0) Máimo relativo. f() = P(, ) f() = A(0, 0) y = Halla la recta normal a la curva y = + para =. Dibuja la función y la recta normal. 7 Recta normal: y = f() = + P(, ) 7 Halla los máimos y mínimos relativos y el crecimiento de la función y = e Máimos y mínimos relativos: y = e e? 0 siempre, no tiene ni máimos ni mínimos relativos. Crecimiento: y = e > 0 siempre, es creciente siempre. ( ) = ( @,+@) ( ) = Ö TEMA. LÍMITES DERIVADAS

Ejercicios y problemas Problemas Representa la siguiente función: y = { ( ) si Ì 0 log / si > 0 9 Calcula el valor de k para que se verifique: lím +@ = k + k lím = ò = ò k = 0 +@ k + + 0 lím = [ ] + 0 = ( )( + ) 0 = lím = ( )( [ ] + + ) 0 = ( )( + ) + = lím = lím = ( )( + + ) + + = = 6 Dibuja la siguiente función afín: y = a) Halla mentalmente la pendiente. b) Halla la pendiente derivando. c) La función es creciente o decreciente? f() = 0 Observando la siguiente gráfica: y = + + a) m = b) y = c) Como m = y = > 0 siempre, la función siempre es creciente. calcula: lím ( + + ) +@ lím @ ( + + ) lím ( + + ) = @ +@ lím ( + + ) = + @ @ Calcula el siguiente límite: lím + + Dibuja la siguiente función afín: y = + a) Halla mentalmente la pendiente. b) Halla la pendiente derivando. c) La función es creciente o decreciente? f() = SOLUCIONARIO

a) m = b) y = c) Como m = y = < 0 siempre, la función siempre es decreciente. Dibuja la siguiente parábola: y = + a) Viendo la gráfica, halla el máimo o mínimo relativo. b) Viendo la gráfica, halla el crecimiento. c) Halla el máimo relativo o mínimo relativo derivando. d) Halla el crecimiento derivando. f() = + Recta tangente: y = 0 Recta normal: y = 6 Halla el crecimiento de la función: y = + 6 + Dibuja la función. f() = y = y = 0 P(, ) A(, ) a) A(, ) es un mínimo relativo. b) ( ) = (, + @) ( ) = ( @,) c) y =, =, y =,A(, ) y = f () = > 0 ò A(, ) mínimo relativo. d) Discontinuidades: no hay. f () ( ) = (, + @) ( ) = ( @,) 0 y = f (0) = f () + 0 Halla las rectas tangente y normal a la curva: y = para = Dibuja la función, así como las rectas tangente y normal. Hay que hallar previamente los máimos y mínimos relativos: y = + 6 + 6 = 0, =, y =,A(, ) y = f ( ) = > 0 ò A(, ) mínimo relativo. Discontinuidades: no hay. f () y = + 6 f (0) = + ( ) = (, + @) ( ) = ( @, ) 0 f () + 0 f() = + 6 + 7 Halla el crecimiento de la función: 6 y = Dibuja la función. TEMA. LÍMITES DERIVADAS

Ejercicios y problemas 6 y = < 0, es siempre negativa, decreciente. Discontinuidades: = 0 ( ) = Ö ( ) = ( @,+@) Halla los máimos y mínimos relativos y el crecimiento de la función: y = 6 + y = 6 6 = 0, =, y =,A(, ) y = f () = > 0 ò A(, ) mínimo relativo. Discontinuidades: no hay. f () y = 6 f (0) = ( ) = (, + @) ( ) = ( @,) 9 Halla los máimos y mínimos relativos y el crecimiento de la función: y = 0 f () + 0 f() = 6/ f() = 6 + A(, ) 0 Calcula lím f(), lím f(), esboza la gráfica de la función. Máimos y mínimos relativos: y = = 0, =, =, = =, y = 6/,A(, 6/) =, y = 6/, B(, 6/) y = f () = > 0 ò A(, 6/) mínimo relativo. f ( ) = < 0 ò B(, 6/) Máimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () y = f () = +@ ( ) = ( @, ) á (, + @) ( ) = (, ) Halla los máimos y mínimos relativos y el crecimiento de la función: @ f () + + 0 0 B(, 6/) f() = / y = + Calcula lím f(), lím f(), esboza la gráfica de +@ @ la función. Máimos y mínimos relativos: y = + + = 0, = 0, =, =, = =, y = 6/,A(, 6/) A(, 6/) SOLUCIONARIO

=, y = 6/, B(, 6/) y = f () = < 0 ò A(, 6/) Máimo relativo. f ( ) = > 0 ò B(, 6/) mínimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () y = f () = ( ) = (, ) ( ) = ( @, ) á (, + @) f () + 0 0 y = + + = 0, = 0, = 9, y = 6 y = f (9) = < 0 ò A(9, 6) Máimo relativo. Los máimos beneficios los alcanza en el 9º año y son 6 millones de euros. Para profundizar Representa la siguiente función: { + + si < 0 y = + si Ó 0 + f() = / A(, 6/) B(, 6/) Halla la recta tangente a la curva: y = + 7 para =. Dibuja la función y la recta tangente. Recta tangente: y = f() = + 7 Los beneficios de una empresa en millones de euros vienen dados por la fórmula: y = + 0 donde indica el número de años que lleva funcionando. Qué año alcanza los máimos beneficios? A(, ) Halla el crecimiento de la función y =. Calcula lím f(), lím f(), esboza la gráfica de +@ @ la función. Primero hay que hallar los máimos y mínimos relativos. y = = 0, = 0, =, =, = =, y =,A(, ) =, y =, B(, ) y = 6 f () = 6 > 0 ò A(, ) Máimo relativo. f ( ) = 6 < 0 ò B(, ) mínimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f () y = f (0) = 0 TEMA. LÍMITES DERIVADAS

Ejercicios y problemas f () + + 0 ( ) = ( @, ) á (, + @) ( ) = (, ) Límites: lím = + @ +@ lím = @ @ B(, ) f() = / 6 Las pérdidas de una empresa en millones de euros vienen dadas por la fórmula: y = + donde indica el número de años que lleva funcionando. Qué año alcanza las máimas pérdidas? Halla el crecimiento de la función y =. Calcula lím f(), lím f(), esboza la gráfica +@ @ de la función. y = Discontinuidades de la derivada: = 0 de orden, que es impar, luego cambia de crecimiento. f () f () = ( ) = ( @,0) ( ) = (0, + @) Límites: lím = + @ +@ lím = + @ @ f() = f () + 0 0 A(, ) y = + + = 0, = 0, =, y = 6 y = f () = < 0 ò A(, 6) Máimo relativo. Las máimas pérdidas las alcanza en el º año y son 6 millones de euros. 7 Una determinada especie evoluciona según la función: f() = +, > 0 donde es el número de años y f() son los millones de unidades eistentes. Representa la gráfica y, observándola, contesta a la siguiente pregunta: la especie está en vías de etinción? lím = 0 +@ La población tiende a cero, por tanto está en vías de etinción. 6 SOLUCIONARIO

Aplica tus competencias El espacio que recorre un móvil es e(t) = t + t +, donde t se epresa en segundos, y e(t), en metros. Calcula la velocidad que lleva en el instante t = s v(t) = e (t) = 6t + v() = 6 + = + = 6 m/s 9 El espacio que recorre un móvil es e(t) = t t +, donde t se epresa en segundos, y e(t), en metros. Calcula la aceleración que lleva en el instante t = s v(t) = e (t) = 0t a(t) = v (t) = 0 a() = 0 m/s TEMA. LÍMITES DERIVADAS 7

Comprueba lo que sabes Define función parte entera y represéntala. La función parte entera de asigna a cada su parte entera. Se representa por y = Ent() y = Ent() lím + = 0 + [ ] = lím = + 0 ( + ) = lím = Gráfica: b) y = + + Representa la gráfica de la siguiente función: si Ì f() = { + + si > Resuelto en el libro del alumnado. Calcula los siguientes límites y representa la función correspondiente: a) lím b) a) lím = 0 ( + )( ) [ ] = lím = 0 = lím ( + ) = lím + + Calcula mentalmente los siguientes límites: a) b) c) d) e) f) lím +@ lím @ lím n +@ lím @ lím +@ lím @ a) b) c) 0 d) 0 e) @ f) +@ + 7 + 7 n + n n + + + + 6 7 + 6 7 Gráfica: y = Calcula las derivadas siguientes: a) y = ( ) b) y = e + c) y = L (7 ) d) y = e e) y = + SOLUCIONARIO

a) y = ( ) b) y = e + c) y = 7 7 d) y = e + e = e ( + ) e) y = + = ( + ) ( + ) 6 7 Estudia el crecimiento de la función y = Primero hay que hallar lo máimos y mínimos relativos: y = y = y = 0 ò = 0 ò = Si = ò y = A(, ) y = y () = > 0 (+) ò A(, ) es un mínimo relativo Crecimiento: f () + 0 Creciente: ( ) = (, + @) Decreciente: ( ) = ( @, ) El número de enfermos de gripe que se contabilizan en una localidad durante una epidemia sigue la función: f() = donde se epresa en semanas, y f(), en miles de personas. Calcula el número medio de enfermos de gripe durante la ª y la ª semanas; y entre la ª y la 6ª semanas. Interpreta los resultados. TVM[, ] = f() f() = 6 = = Como TVM[, ] = > 0, es creciente; es decir, el número medio de enfermos está subiendo. f(6) f() 6 TVM[, 6] = = = = 6 Como TVM[, 6] = < 0, es decreciente; es decir, el número medio de enfermos está bajando. Halla las rectas tangente y normal a la curva: y = para = Dibuja la función y las rectas tangente y normal. Recta tangente: y = 0 Recta normal: y = f() = y = y = 0 P(, ) TEMA. LÍMITES DERIVADAS 9

Linu/Windows Paso a paso 0 Representa la función parte decimal de, indica si es periódica y halla el período. Resuelto en el libro del alumnado. Representa la siguiente función: si Ì f() = { + si > Resuelto en el libro del alumnado. Halla el siguiente límite y dibuja la función para comprobarlo. lím +@ ( + ) Resuelto en el libro del alumnado. Halla las rectas tangente y normal a la curva f() = + para =. Dibuja la curva y las rectas. Resuelto en el libro del alumnado. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema. 90 SOLUCIONARIO

Windows Derive Practica Representa la función signo de. Halla cuándo no es continua. 6 Representa la función y = Halla el siguiente límite y dibuja la función para comprobarlo. lím ( + ) 7 Representa la siguiente función y estudia su continuidad: + si Ì f() = { si > 9 Halla el siguiente límite y dibuja la función para comprobarlo. lím ( ) TEMA. LÍMITES DERIVADAS 9

Linu/Windows 6 y = e 6 y = L ( + 6) 60 Halla el siguiente límite y dibuja la función para comprobarlo. lím ( + ) @ 6 y = e 6 y = L 66 y = e L Calcula las siguientes derivadas 6 y = 7 + 67 y = e 9 SOLUCIONARIO

Windows Derive 6 y = + 69 Halla las rectas tangente y normal a la curva y = para =. Dibuja la función y las rectas tangente y normal. 7 Calcula los máimos y mínimos relativos de la función y = 70 Halla los máimos y mínimos relativos de la función y = +. Dibuja la función. Halla mediante ensayo-acierto la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: TEMA. LÍMITES DERIVADAS 9

Linu/Windows Windows Derive 7 7 Las pérdidas de una empresa en millones de euros vienen dadas por la fórmula: y = +, donde indica el número de años que lleva funcionando. Qué año alcanza las máimas pérdidas? 7 9 SOLUCIONARIO

BLOQUE V Estadística y probabilidad. Estadística. Combinatoria y probabilidad

Estadística. Caracteres estadísticos Se ha realizado un estudio sobre distintos coches, recogiéndose datos sobre: consumo, cilindrada, potencia, peso, aceleración, cilindros, año, país y color. De los datos que se han recogido, indica cuáles son cualitativos, cuáles cuantitativos discretos y cuáles cuantitativos continuos. Cualitativos: país, color. Cuantitativos discretos: cilindros, año de fabricación. Cuantitativos continuos: consumo, cilindrada, potencia, peso, aceleración. P I E N S A C A L C U L A Se ha realizado un estudio sobre el número de personas activas que hay por familia con el mismo número de miembros con posibilidad de trabajar, obteniéndose los siguientes resultados: a) Clasifica el carácter estadístico. b) Haz una tabla de frecuencias. c) Representa los datos en un diagrama de barras. d) Dibuja el polígono de frecuencias. e) Interpreta los resultados. a) Cuantitativo discreto. b) i Total n i 6 0 9 0 N i 6 6 0 c) Diagrama de barras. Frecuencias 0 6 0 6 N i (%) 7 90 00 A P L I C A L A T E O R Í A f i 0, 0,0 0, 0,0,00 f i (%) 0 0 00 Personas activas Personas F i 0, 0,7 0,90,00 96 SOLUCIONARIO

d) Frecuencias 0 6 0 6 Como las familias tienen el mismo número de miembros, se ve que más de la mitad (6 familias de 0), el 7%, tienen o miembros activos. Es decir, en el 7% de las familias, solo trabajan o miembros de los que pueden trabajar. En º curso de un centro escolar se han estudiado las calificaciones de Lengua, obteniéndose los siguientes resultados: Insuficiente Suficiente Bien Notable Sobresaliente a) Clasifica el carácter estadístico. Personas activas Personas 0 b) Haz una tabla de frecuencias. c) Representa los datos en un diagrama de barras. d) Interpreta los resultados. a) Cualitativo. b) i n i N i N i (%) f i f i (%) F i Insuficientes 0, 0, Suficientes 7 0,0 0 0, Bien 0 7 7 0,0 0 0,7 Notables 90 0,6 6 0,90 Sobresalientes 0 00 0,0 0,00 Total 0,00 00 c) Diagrama de barras. Frecuencias 6 0 6 Insuficiente Calificaciones de Lengua Suficiente d) Un % suspende la asignatura, mientras que un 76% supera la asignatura. Bien Calificaciones Notable Sobresaliente. Caracteres continuos. Datos agrupados En un test psicotécnico, se han obtenido las siguientes puntuaciones de 0 a 00: 60, 6, 0, 9,, 0, 7, 9, 7,, 0, 60, 70, 7,, 7, 60, 0, 90, 9,, 6,, 0, 60 a) Clasifica el carácter estadístico. b) Calcula el recorrido. c) Si los datos se agrupan en intervalos, cuál es la longitud aproimada de cada intervalo? a) Cuantitativo discreto. b) 9 = 7 c) 7 : = P I E N S A C A L C U L A TEMA. ESTADÍSTICA 97

El peso de personas es el siguiente: a) Agrupa los datos en intervalos. b) Haz una tabla de frecuencias. c) Representa los datos en un histograma. a) El recorrido es: 9 6 = El número de intervalos: = Longitud de cada intervalo: 0 : = 0 El etremo inferior del er intervalo se toma: (0 ) : = ò 6 = b) Tabla de frecuencias: Intervalo - -6 6-7 7- c) Histograma 6 6 66 9 7 76 77 67 66 0 6 70 70 77 60 7 60 7 0 6 6-9 90 00 0,0,00 Total,00 00 Frecuencias i 0 60 70 0 Se observa que un 0% de los datos se encuentra en el intervalo central de 6 a 7 kg, distribuyéndose de una forma muy «normal». Hay pocas personas en los intervalos etremos y más en los centrales. Una empresa dedica a la inversión publicitaria en distintos medios las siguientes cantidades: Medio Dinero (miles ) n i 0 N i Televisión 0 N i (%) 7 9 Prensa f i 0, 0,0 0,0 0,0 f i (%) Radio 9 0 0 0 Pesos 0 6 0 - -6 6-7 7- -9 Peso F i 0, 0, 0,7 0,9 Otros Representa los datos en un diagrama de sectores. Interpreta los resultados. 60 = 0 Medio Televisión Prensa Radio Otros Total Euros 0 9 0 Más de la mitad del gasto se hace en televisión y en prensa. El número de horas que dedican a ver la televisión una muestra de personas se distribuye así: Intervalo (h) 0 - - - - - a) Haz una tabla de frecuencias. b) Representa los datos en un histograma. Interpreta los resultados. a) Tabla de frecuencias: Intervalo 0- - - - Radio Otros Prensa i 0,,,, n i 0 0 A P L I C A L A T E O R Í A Amplitud 0 = 0 = 9 = 7 = 69 60 Gasto en publicidad N i 0 0 7 90 N i (%) Frecuencias 0 0 0 0 0 7 90 Televisión f i 0,0 0,0 0, 0, f i (%) 0 0 F i 0,0 0,0 0,7 0,90 -, 0 00 00 0,0 0,00 Total 00,00 00 9 SOLUCIONARIO

b) Frecuencias 0 0 0 0 0 Televisión 0- - - - - Tiempo (h) Un 0% ve entre 0 y horas la televisión. El otro 0% lo hace en el intervalo entre y horas. Un % de la población ve entre y horas la televisión.. Parámetros de centralización Carmen ha anotado en los últimos partidos de baloncesto los siguientes puntos: 0,,,, 6 Calcula la media aritmética y eplica su significado. P I E N S A C A L C U L A La media de Carmen es puntos. Esto significa que los puntos se distribuyen alrededor de ; es decir, ha conseguido el mismo total que si en cada partido hubiese marcado puntos. 6 Se ha hecho un estudio del número de veces que los alumnos de una clase han ido al cine durante el último mes, obteniéndose los siguientes resultados: Calcula los parámetros de centralización que sea posible. Nº de veces Frecuencia 0 7 6 7 A P L I C A L A T E O R Í A Como el carácter es cuantitativo discreto, se pueden calcular: S i n i 99 Media: = = =, N 0 Moda: Mediana: Los datos se agrupan en torno a,, siendo el más frecuente el i 0 6 7 Total n i 7 0 N i 7 0 i n i 0 6 0 99 7 Se ha realizado un sondeo sobre el dinero que llevan 0 alumnos de un centro, obteniéndose los siguientes resultados: 6 0, 6,, 9, 6,, 9,,,,,, 0 a) Agrupa los datos en intervalos.,,,,,, 7, TEMA. ESTADÍSTICA 99

b) Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido. Dinero ( ) 0- -6 6-9 9- i,, 7, 0, n i 6 N i 6 i n i 9,0 67, 0,0, -, 0 7,0 Total 0 6 Como el carácter es cuantitativo continuo, se pueden calcular: S i n i 6 Media: = = =, N 0 Moda: es el intervalo -6 Mediana: es el intervalo -6 Los datos se agrupan en torno a,, que es un valor que se encuentra en el intervalo de la moda y de la mediana.. Parámetros de dispersión P I E N S A C A L C U L A Los gráficos adjuntos representan los datos de las calificaciones que dos clases han tenido en la misma asignatura. 6 0 Clase A 0 6 7 9 0 a) Si Rocío desea sacar un diez, a qué clase debería ir? b) Si lo que quiere es asegurar el aprobado, a qué clase debería ir? a) Si Rocío desea sacar un diez, debe ir a la clase A, que es en la que algunos alumnos sacan esa nota. b) Si lo que quiere es asegurar el aprobado, debe ir a la clase B, en la que no hay notas etremas, pero en la que la mayoría de los alumnos aprueban. 7 6 0 Clase B 0 6 7 9 0 00 SOLUCIONARIO

El número de personas que ha acudido diariamente a la consulta de un médico en el último mes ha sido: Nº de pacientes Nº de días Calcula la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación. 0 6 6 0 A P L I C A L A T E O R Í A S i n i V = =,7 N q =, q CV = = 0, ò % Los datos se distribuyen alrededor de,6 con un % de dispersión. Los datos están muy dispersos. i 0 n i 6 6 i n i 0 0 7 0 0 Total 0 S i n i 0 = = =,0 N S i n i V = =, N q =,9 q CV = = 0, ò % Los datos se distribuyen alrededor de,0, con un % de dispersión. i 6 00 96 00 i n i 0 00 6 76 67 00 0 Las calificaciones que han obtenido en Matemáticas dos clases distintas han sido: Calcula el coeficiente de variación y analiza el resultado. Clase A Clasificación 0 Clase A Clase B 0 0 0 0 0 6 6 0 7 0 9 0 0 0 9 Calcula la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación del dinero que gastan mensualmente alumnos de º cuyos datos se han recogido en la siguiente distribución: Intervalo Frecuencia Intervalo - 9 9 - - 7 7 - - Total - 9 0 i 7 9 S i n i = =,6 N 9 - n i 0 0-7 i n i 70 7 76 69 7 i 9 6 9 7 - i n i 90 96 7 6 - i 0 n i 0 6 0 0 0 7 0 0 0 6 9 6 0 0 00 Total 0 00 96 S i n = i = N S i n i V = = 9, N q =, i n i 0 0 0 0 0 0 i n i 0 0 0 0 TEMA. ESTADÍSTICA 0

q CV = = 0,9 ò 9% Clase B i 0 n i 0 0 i n i 0 0 6 6 0 i n i 0 0 0 6 0 7 9 6 9 0 0 0 0 0 0 0 Total 0 00 S i n = i = N S i n i V = =,9 N q =,7 q CV = = 0, ò % Es más homogénea la clase B, que tiene un % de dispersión, mientras que la clase A tiene un 9%. Si se quiere aprobar y no sacar muy buena nota, conviene la clase B. Si se desea sacar muy buena nota, hay que arriesgar en la clase A 0 SOLUCIONARIO

Ejercicios y problemas. Caracteres estadísticos Durante los últimos 0 días, el número de alumnos que faltó a clase en º ha sido: a) Clasifica el carácter estadístico. b) Haz una tabla de frecuencias. c) Representa los datos en un diagrama de barras. d) Interpreta los resultados. a) Cuantitativo discreto. b) Tabla de frecuencias. i 0 c) Diagrama de barras. Frecuencias 7 6 0 Nº de alumnos 0 n i 6 N i 7 Nº de días 6 N i (%) 7 f i 0, 0,0 0,0 0,0 Asistencia de º f i (%) 0 0 0 0 Nº de faltas F i 0, 0, 0,7 0, 9 9 0,0 0 0,9 0 00 0,0,00 Total 0,00 00 d) Un 7% de los días han faltado como mucho alumnos; y en un %, entre a personas. Es una clase en la que hay bastantes faltas de asistencia. a) Clasifica el carácter estadístico. b) Haz la tabla de frecuencias. c) Representa los datos en un diagrama de barras. a) Carácter cualitativo. b) Tabla de frecuencias. c) Diagrama de barras.. Caracteres continuos. Datos agrupados i Algaida Betara Kiner Vicencio Nº de medallas n i 0 6 N i 0 6 Medallero 0 6 0 Algaida Betara Kiner Vicencio Tizer Las edades de los asistentes a una conferencia se han agrupado en intervalos, tal y como se recoge en la siguiente tabla: Intervalo - - 0 0-6 6-6 6-6 N i (%) 0 7 90 Colegio f i 0,0 0, 0,0 0, Tizer 0 00 0,0 0,00 Total 0,00 00 Frecuencia 0 6 6-7 7-0 f i (%) 0 0 F i 0,0 0, 0,7 0,90 El número de medallas que cinco centros han conseguido en unas pruebas escolares ha sido: Centro Algaida Betara Kiner Vicencio Tizer Nº de medallas 0 6 a) Clasifica el carácter estadístico. b) Haz una tabla de frecuencias. c) Representa los datos en un histograma. a) Cuantitativo continuo. TEMA. ESTADÍSTICA 0

Ejercicios y problemas b) Tabla de frecuencias. Intervalo - - 0 0-6 6-6 6-6 6 6 0, 0, 6-7 7 76 9 0,0 0 0,9 7-0 77 0 00 0,0,00 Total 90,00 00 c) Histograma. Frecuencias i 7 9 0 0 0 n i 0 6 N i 0 0 6 N i (%) 0 0 70 f i 0,0 0, 0, 0,0 Asistentes a la conferencia f i (%) 0 0 - -0 0-6 6-6 6-6 6-7 7-0 Edad (años) F i 0,0 0, 0,0 0,70 El % de los asistentes pertenece al intervalo entre 0 y 6 años, y los datos se distribuyen de una forma bastante normal. En un barrio se ha realizado una encuesta sobre el grado de malestar que produciría la instalación de un centro de atención a drogodependientes, obteniéndose los siguientes resultados: Haz un diagrama de sectores que represente los datos. 60 = 9 0 Actitud de los vecinos Se oponen activamente Se sentirían molestos Resto Actitud de los vecinos Se oponen activamente Se sentirían molestos Resto Resto Frecuencia 0 Frecuencia 0 Amplitud 9 0 = 90 9 = 9 = Total 0 60 Centro de asistencia a drogodependientes Se oponen activamente El siguiente histograma recoge los datos del tiempo en horas que ha dedicado al estudio diario un grupo de estudiantes: Haz la tabla de frecuencias absolutas y relativas. Frecuencias 0 9 7 6 º ESO 6 Tiempo (h) Intervalo i n i N i N i (%) f i f i (%) F i -, 0, 0, 0, - - -,,, 6 0 9 9 0,6 0,76 0,9 0, 0,0 0,6 0 6 0,6 0,76 0,9-6,,00 0,0,00 Total,00 00 Una cuarta parte se opone activamente, mientras que más de la mitad ni se siente molesto ni se opone al centro. 6 Las precipitaciones medias anuales en milímetros recogidas en una estación meteorológica han sido en los últimos años: 0 00 90 60 9 00 6 60 60 60 0 0 0 700 0 600 Se sentiría molesto 0 79 0 00 90 00 00 660 a) Clasifica el carácter estadístico. b) Agrupa los datos y haz una tabla de frecuencias. c) Representa los datos en un histograma e interpreta el resultado. 0 SOLUCIONARIO

a) Cuantitativo continuo. b) El recorrido es: 79 = 9 El número de intervalos: 0 Longitud de cada intervalo: 00 : = 00 El etremo inferior del er intervalo se toma: (00 9) : = ò = 0 Intervalo 0-0 0-0 0-0 0-60 c) Histograma:. Parámetros de centralización 7 El 0% de las precipitaciones está en el intervalo central y el otro 0% se distribuye alrededor de este intervalo. Se ha registrado la duración en años de un modelo de batería para coches, obteniéndose los siguientes datos:,6,6, Frecuencias,,6, i 00 00 00 600,,6, n i 6,,7, N i 9 7 N i (%),,7, 0 0 0 90 Estación meteorológica 6 0 6 0 0-0 0-0 0-0 0-60 60-70 Precipitaciones,,, f i 0, 0, 0, 0,,,,7 f i (%) 0 0 0 0 60-70 700 0 00 0, 0 Total 0,0 00,,9,9 F i 0, 0, 0, 0,9,6,9 El etremo inferior del er intervalo se toma: (,,) : = 0, ò,6 0, =, Como el carácter es cuantitativo continuo, se pueden calcular: S i n Media: = i =,7 N Moda: es el intervalo, - Mediana: es el intervalo, - Los datos se agrupan en torno a,7, que es un valor que se encuentra en el intervalo de la moda. Se ha registrado el peso de unos recién nacidos, obteniéndose los siguientes resultados: Peso en kg n i -, 6 Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido. Intervalo, - -,, - -,, -,7 6 9, Total 6 97, Intervalo -,, - -,, - i,7,,7, i,,7,,7, - n i 6 0 6 n i 6 6 0 N i -, 6 N i 6 0 6 6 i n i, 9, 7,,, - 0 i n i,,,0 7, -,, 0 7,0 Total 0, -, Como el carácter es cuantitativo continuo, se pueden calcular: Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido. El recorrido es:,9,6 =, El número de intervalos: 6 Longitud de cada intervalo:, : = 0, S i n Media: = i =,7 N Moda: es el intervalo -, Mediana: es el intervalo -, Los datos se agrupan en torno a,7, que es un valor que se encuentra en el intervalo de la moda y de la mediana. TEMA. ESTADÍSTICA 0

Ejercicios y problemas. Parámetros de dispersión 9 En un centro de cálculo, el número de veces que un ordenador se detiene por un error interno se ha recogido durante los últimos 0 días en la siguiente tabla: Calcula la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación. Interpreta el resultado. i n i 0 i 0 n i 6 S i n i = =, N 6 i n i 0 6 6 6 0 0 0 i 0 9 6 0 i n i 0 6 0 60 00 6 6 0 Total 0 6 6 6 S i n = i = 7 N S i n i V = = 0 N q =,9 q CV = = 0, ò % Los datos se agrupan en torno a 7 años, con una dispersión del %. Los datos están muy dispersos. Intervalo i n i i n i i i n i 0-0 6 90 0 0-0 0-0 0-0 0-60 0 6 7 0 70 0 6 0 0 9 7 0 0 00 60-70 6 Total 0 0 0 0 En los últimos 0 días se han registrado las cotizaciones de dos valores bursátiles. Calcula el coeficiente de variación e interpreta el resultado. S i n i V = =, N q =,6 q CV = = 0, ò % Valor A Valor B Valor A,,9,7 6,, 6,,7,7, 6, 6,, 6,,,7,7,,7 6 Los datos se agrupan en torno a, con una dispersión del %. Los datos están muy dispersos. S i n i = =,76 N q = 0,0 q CV = = 0,0 ò % Valor B 0 Las edades de una muestra de personas que acuden a la biblioteca de un barrio se han recogido en la siguiente tabla: Intervalo Frecuencia 0-0 6 0-0 0-0 0 0-0 6 0-60 60-70 Calcula la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación. Interpreta el resultado. S i n = i = 6,0 N q = 0, q CV = = 0,0 ò % Es más homogéneo el valor A, con un % de dispersión, frente al valor B, que tiene un % 06 SOLUCIONARIO

Para ampliar El número de viajes que un grupo de personas ha realizado al etranjero en el último año ha sido el siguiente: Se ha realizado una encuesta sobre el lugar donde se utiliza el acceso a Internet diariamente, obteniéndose los siguientes resultados: a) Clasifica el carácter estadístico. b) Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido. c) Calcula la varianza y la desviación típica. d) Calcula el coeficiente de variación. e) Representa los datos en el gráfico más apropiado e interprétalos. a) Cuantitativo discreto. b) Parámetros de centralización. i 0 Total Nº de viajes Frecuencia n i 0 6 0 S i n = i =,7 N Moda: Mediana: N i 0 6 0 0 i n i 0 0 0 6 6 i 6 Lugar En casa En el trabajo En el centro escolar i n i 0 9 6 0 0 6 Acceso a Internet 76 Frecuencia Cibercafés En otros a) Clasifica el carácter estudiado. b) Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido. c) Representa los datos en un diagrama de sectores. a) Carácter cualitativo. b) Como el carácter es cualitativo no ordenable, solo se puede calcular la moda, que es: en casa. c) Diagrama de sectores. 60 = 9 0 En casa En el trabajo En el centro escolar Frecuencia Amplitud 9 = 9 = 6 9 = Cibercafés 9 = 7 En otros 9 = 7 Total 0 60 S i n i c) V = =, N q =, q d) CV = = 0,7 ò 7% e) Diagrama de barras. Frecuencias 0 6 0 Viajes al etranjero 0 Viajes Los datos se agrupan en torno a,7 viajes, con una dispersión del 7%, que es muy grande. En casa En otros Acceso a Internet En el trabajo En el centro escolar Cibercafés En el gráfico se ve que casi / partes se conectan en casa o el trabajo, quedando solo / para el resto. En una empresa se distribuye una prima por productividad. El número de trabajadores y la cantidad de la prima se recogen en la tabla siguiente: TEMA. ESTADÍSTICA 07

Ejercicios y problemas a) Clasifica el carácter estadístico. b) Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido. c) Calcula la varianza y la desviación típica. d) Calcula el coeficiente de variación. e) Representa los datos en el gráfico más apropiado e interprétalos. a) Cuantitativo discreto. b) Parámetros de centralización. Intervalo 90-0 0-0 0-0 0-0 0-0 Total Intervalo 90-0 0-0 0-0 0-0 0-0 i 0 6 9 n i 0 0 Nº de trabajadores 0 N i i n i 0 0 90 70 0 0 770 i 0 7 0 0 6 i n i 00 0 6 700 00 0 0 7 0 S i n = i = 9 N Moda: el intervalo 0-0 Mediana: el intervalo 0-0 S i n i c) V = = 6 N q = 9,9 q d) CV = = 0, ò % e) Histograma: Frecuencia 0 6 0 Prima 90-0 0-0 0-0 0-0 0-0 Dinero ( ) Los datos se distribuyen en torno a 6, con una dispersión pequeña del % Problemas Se ha realizado una encuesta entre unos usuarios de una piscina municipal sobre el grado de satisfacción de las instalaciones, obteniéndose los siguientes resultados: Grado se satisfacción Muy poco Poco Regular Frecuencia 6 0 Bueno Muy bueno a) Clasifica el carácter estadístico. b) Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido. c) Representa los datos en el gráfico más apropiado e interprétalos. a) Cualitativo ordenable. b) Parámetros de centralización. Moda: bueno. Mediana: regular. c) Diagrama de barras. Frecuencia 6 0 6 0 Piscina Muy poco Poco Regular Bueno Muy bueno Grado de satisfacción Más de la mitad de los usuarios se encuentran entre regular y bueno. 0 SOLUCIONARIO

6 Una empresa ha realizado una prueba de velocidad entre trabajadores a los que se les ha asignado la misma tarea. Los datos sobre el tiempo, en minutos, que han tardado en realizar la tarea han sido:,6 6, 6,9 7,, 6,6 7 7,7,,6 6,7 7 7,,6,7 6,7 7, 7, 9 6 6, 7, 9, e) Histograma: Frecuencia 0 6 0 Prueba de velocidad,-,,-6, 6,-7, 7,-,,-9, Tiempo (min) Los datos se agrupan en torno a 7,6 minutos con una dispersión del %, es decir, pequeña. a) Clasifica el carácter estadístico. b) Calcula los parámetros de centralización que tengan sentido. c) Calcula la varianza y la desviación típica. d) Calcula el coeficiente de variación. e) Representa los datos en el gráfico más apropiado e interprétalos. a) Cuantitativo continuo. b) Parámetros de centralización. El recorrido es: 9,,6 =, El número de intervalos: Longitud de cada intervalo: : = El etremo inferior del er intervalo se toma: (,) : = 0, ò,6 0, =, Intervalo, -,, - 6, 6, - 7, 7, -,, - 9, Total i 6 7 n i 0 6 N i 6 6 S i n = i = 7,6 N Moda: el intervalo 6, - 7, Mediana: el intervalo 6, - 7, S i n i c) V = =,7 N q =,0 q d) CV = = 0, ò % i n i 0 70 9 7 79 i 6 9 6 i n i 0 90 7 Se ha clasificado a los trabajadores de una empresa en tres categorías: mayores de 0 años, entre y 0 años, y menores de años, obteniéndose los siguientes datos sobre la productividad: Indica qué grupo es más homogéneo y justifica la respuesta. Grupo menor de - 0 mayor de 0 Grupo Menor de años Entre y 0 años Mayores de 0 años Los grupos quedan ordenados de más a menos homogéneo: Mayores de 0 años. Entre y 0 años. Menores de años. Para profundizar En una factura telefónica, las cantidades abonadas se recogen en el siguiente diagrama de sectores: Cuota de abono 0% Internet,% Móviles 0% 6 7 Factura de teléfono Internacional,% CV q 0,6 0, 0, 0,7 ò 7% 0,0 ò % 0,0 ò % Metropolitana 0% Provincial % TEMA. ESTADÍSTICA 09

Ejercicios y problemas 9 Haz la tabla de frecuencias sabiendo que el total de la factura fueron 0 Gasto teléfono Cuota de abono Metropolitana Provincial % 0 0 Cantidad sobre 0 6 6 Internacional, Móviles 0 Internet, Asocia a cada gráfico un grupo A, B o C cuyos datos se dan en la tabla siguiente: 0 9 7 6 Gráfico Grupo A con gráfico Grupo B con gráfico Grupo C con gráfico 0 9 7 6 Gráfico q A,79 B 0 C, 0 9 7 6 Gráfico 0 SOLUCIONARIO

Aplica tus competencias 0 Se ha consultado a un grupo de personas sobre la frecuencia de consumo de varios productos alimenticios, obteniéndose los resultados representados en el gráfico siguiente. Haz una tabla de frecuencias. Se toma N = 00, ya que los datos vienen en porcentaje: Dulces Frutas Verduras Leche Consumo de alimentos 0% 0% 0% 60% 0% 00% Diariamente Varias veces a la semana Casi nunca Diariamente Leche 70 Verduras 0 Frutas 0 Dulces 0 Varias veces por semana 0 0 0 0 Casi nunca 0 0 0 0 Resuelto en el libro del alumnado. TEMA. ESTADÍSTICA

Comprueba lo que sabes Define carácter estadístico cuantitativo y cualitativo. Pon un ejemplo de cada tipo. Carácter estadístico cualitativo: aquel que indica una cualidad. No se puede contar ni medir. Carácter estadístico cuantitativo: aquel que indica una cantidad. Se puede contar o medir. Se clasifica en: Cuantitativo discreto: sus valores son el resultado de un recuento. Solamente puede tomar ciertos valores aislados. Cuantitativo continuo: sus valores son el resultado de una medida. Puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Ejemplo Entre el alumnado de un centro se puede estudiar: Cualitativo Cuantitativo Caracteres Discreto Continuo El color preferido El nº de libros leídos en un mes El peso Valores Blanco, rojo, 0,,,, 60 kg, 67 kg, Un 90% de los viajes se hace por carretera, frente a un 0% que se hace en avión. De los viajes por carretera, el % se hace en vehículo propio. Medio Frecuencia Amplitud Vehículo propio,6 = 6 Tren,6 = 90 Autobús 0,6 0 = 7 Avión 0,6 0 = 6 Total 00 60 Vehículo propio Medio de desplazamiento Avión Tren Autobús El número de CD que adquirieron el mes pasado los estudiantes de una clase se recoge en la tabla: Nº de CD 0 Nº de estudiantes Calcula la moda, la mediana y la media. Interpreta el resultado. 7 Se ha estudiado la forma de desplazamiento de los habitantes de una ciudad en sus vacaciones, obteniéndose los siguientes resultados: Medio Haz un diagrama de sectores que recoja los datos e interpreta el resultado. 60 =,6 00 Vehículo propio Frecuencia Tren Autobús 0 Avión 0 i n i N i i n i 0 0 7 9 7 7 6 Total S i n i = =,0 N Moda: Mediana: Los datos se agrupan en torno a,0, que casi coincide con la moda y la mediana. SOLUCIONARIO

Los puntos que han conseguido unos jugadores de baloncesto por partido han sido: Nº de puntos Calcula la media y la desviación típica y el coeficiente de variación. Interpreta los resultados. Nº de jugadores 0 - - - Intervalo i n i i n i i i n i 0 - - 6 0 6 0-0 6 60 00 600-6 6 96 7 6-0 97 Total 0 0 6-6 6-0 Se ha realizado un estudio del precio medio de naranjas entre las fruterías de dos barrios, obteniéndose los resultados del margen. Justifica en qué barrio es más homogéneo el precio de las naranjas. Media Barrio A, Barrio B, Media Barrio A, Barrio B, Desviación típica 0,6 0, Desviación típica CV 0,6 0,0 = % 0, 0, = % El barrio A tiene el precio de las naranjas más homogéneo. Tiene una dispersión del %, frente al % del precio que hay en el barrio B S i n = i = 0, N S i n V = i =,6 N q =, CV = q = 0,7 ò 7% Los datos se agrupan en torno a 0, puntos, con una dispersión del 7%. Los datos están muy dispersos. TEMA. ESTADÍSTICA

Windows Ecel Paso a paso En una muestra de personas mayores de 60 años se han obtenido los siguientes datos respecto de su estado marital. Obtén las medidas de centralización y dispersión que tengan sentido y haz la representación gráfica más idónea. Interpreta los resultados. Resuelto en el libro del alumnado. Las calificaciones de alumnos de º se han organizado en la tabla siguiente: Obtén las medidas de centralización y dispersión que tengan sentido y haz la representación gráfica más idónea. Interpreta los resultados. Resuelto en el libro del alumnado. Se ha hecho una encuesta a 0 personas sobre el número de libros leídos el último mes, y se han obtenido los resultados siguientes: Calificaciones i 0 - Frecuencias n i - - 6 9 6 - - 0 6 Obtén las medidas de centralización y dispersión que tengan sentido y haz la representación gráfica más idónea. Interpreta los resultados. Resuelto en el libro del alumnado. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema. Practica Una empresa dedica en inversión publicitaria en distintos medios las siguientes cantidades: Medio Dinero (miles ) Televisión Prensa 0 Radio 9 Otros Obtén los parámetros de centralización y de dispersión que tengan sentido y haz la representación gráfica más idónea. Interpreta el resultado. Interpretación Se gasta casi todo el presupuesto entre Televisión y Prensa. SOLUCIONARIO

Linu/Windows Calc 6 7 Se han medido las estaturas en centímetros de 0 alumnos de º de ESO, obteniendo los siguientes datos: Obtén las medidas de centralización y dispersión que tengan sentido y haz la representación gráfica más idónea. Interpreta los resultados. Intervalo Frecuencias: n i, - 60, 60, - 6, 6, - 70, 70, - 7, 7, - 0, 6 0, -, Interpretación La estatura media es de 7 cm, y como el cociente de variación es 0,0, que es menor que 0,0, están muy agrupados. En una ciudad se ha realizado un estudio sobre el número de coches que hay por cada familia, y se han obtenido los siguientes datos: Interpretación La media es de,7 coches por familia, y como el coeficiente de variación es 0,, que es mayor que 0,0, están muy dispersos. El peso de 0 personas se ha distribuido en los siguientes intervalos: Obtén las medidas de centralización y dispersión que tengan sentido y haz la representación gráfica más idónea. Interpreta los resultados. Intervalo Frecuencias: n i, - 6, 6, - 6, 6, - 66, 66, - 7, 0 7, - 76, 76, -, Valores: i Frecuencias: n i 0 7 0 Obtén las medidas de centralización y dispersión que tengan sentido y haz la representación gráfica más idónea. Interpreta los resultados. Interpretación El peso medio es de unos 67 kg, y como el coeficiente de variación es 0,09, que es menor que 0,0, están muy agrupados. TEMA. ESTADÍSTICA

Combinatoria y probabilidad. Variaciones y permutaciones Un restaurante oferta, en el menú del día, platos de primero, de segundo y de postre. Cuántos menús diferentes se pueden pedir? Nº de menús: = 60 P I E N S A C A L C U L A Calcula mentalmente: A P L I C A L A T E O R Í A a) V, b) VR 6, c) P d) PC 6 a) = 60 b) 6 = 6 c)! = = d)! = = 0 Dibuja el árbol correspondiente a las distintas formas en que puede vestirse una persona que tiene dos camisas y tres pantalones. Cuántas son? Sean las camisas A y B y los pantalones C, D y E Número = = 6 A B C D E C D E AC AD AE BC BD BE Con los dígitos,, y forma todos los números de tres cifras que puedas sin que se repita ninguna. Cuántos son? V, = = 6 SOLUCIONARIO

Con los dígitos y 9, forma todos los números de tres cifras que puedas. Cuántos son? VR, = = Con los dígitos, y forma todos los números de tres cifras que puedas sin que se repita ninguna. Cuántos son? 9 P =! = = 6 9 9 9 9 9 9 9 9 99 9 99 99 999 6 7 De cuántas formas se pueden sentar personas alrededor de una mesa circular, de forma que en cada caso haya al menos dos personas sentadas en diferente orden? PC =! = = El sistema actual de matrículas dice: «En las placas de matrícula se inscribirán dos grupos de caracteres constituidos por un número de cuatro cifras, que irá desde el 0000 al 9999, y de tres letras, empezando por las letras BBB y terminando por las letras ZZZ, suprimiéndose las cinco vocales y las letras Ñ, Q, CH y LL». Cuántas matrículas hay con las letras BBB? VR 0, = 0 = 0 000 Halla, usando la calculadora: a) V 0, b) VR 6, c) P 0 d) PC a) 00 b) 96 c) 6 00 d) 9 96 00. Combinaciones y resolución de problemas Calcula mentalmente el valor de los siguientes números combinatorios: 7 6 a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) 0 ( ) a) b) c) d) 6 P I E N S A C A L C U L A TEMA. COMBINATORIA PROBABILIDAD 7

9 Calcula mentalmente: a) C, b) C 6, a) / = 0 b) C 6, = C 6, = 6 / = 0 Con los dígitos,, y forma todos los números de dos cifras que puedas sin que se repita ninguna y de modo que ningún par de números tenga las mismas cifras. C, = / = 6 Cuántas columnas de quinielas hay que cubrir como mínimo para acertar una de pleno al? a) E = {,, }, m =. Dos ejemplos significativos son:,, p = b) Influye el orden, no entran todos los elementos y puede haber repetición òvariaciones con repetición. c) VR, = = 907 En una clase hay alumnos. De cuántas formas se puede elegir un delegado y un subdelegado? a) E = {,,,,, }, m =. Dos ejemplos significativos son:,, p = b) Influye el orden, no entran todos los elementos y no puede haber repetición ò Variaciones ordinarias. c) V, = = 600 Cuántas diagonales tiene un decágono? a) E = {,,,,, 0}, m = 0. Dos ejemplos significativos son:, 79, p = b) No influye el orden ò Combinaciones ordinarias. Hay que quitar los lados. 0 c) C 0, 0 = ( ) 0 = 0 = Con jugadores, cuántos equipos de baloncesto se pueden formar, si cada jugador puede jugar en cualquier puesto? a) E = {,,,,, }, m =. Dos ejemplos significativos son:, 67, p = b) No influye el orden ò Combinaciones ordinarias. c) C, = ( ) = ( ) = 6 Halla, usando la calculadora: a) C 7, b) C, a) b) 70 A P L I C A L A T E O R Í A SOLUCIONARIO

. Eperimentos aleatorios simples Cuántas caras tiene un dado de quinielas? Qué es más probable obtener:, o? P I E N S A C A L C U L A Un dado de quinielas tiene 6 caras, tres caras tienen un, dos caras tienen una y una cara tiene un El más probable es el, por que es el que más veces está. 6 7 Sean E = {,,,,, 6, 7, }, A = {,, 6, }, B = {, 6}. Calcula: a) A B b) A B c) A d) B a) {,,, 6, } b) {6} c) {,,, 7} d) {,,,, 7, } Halla la probabilidad de obtener par al lanzar un dado de 6 caras. E = {,,,,, 6} Par = {,, 6} P(par) = /6 = / 9 Se sabe que P(A) = /6. Halla P(A ) P(A ) = /6 = /6 Se lanzan 00 chinchetas al aire y 6 quedan con la punta hacia arriba. Halla la frecuencia relativa de que la chincheta quede con la punta hacia arriba. 6 f( ) = = 0,6 00 0 Se sabe que: P(A) = /, P(B) = / y P(A B) = / Calcula P(A B) P(A B) = / + / / = 9/0 A P L I C A L A T E O R Í A. Eperimentos aleatorios compuestos Diseña un árbol de probabilidades para el eperimento de lanzar dos monedas al aire. P I E N S A C A L C U L A / / / c / / / c c cc c c TEMA. COMBINATORIA PROBABILIDAD 9

Se lanzan dos dados de 6 caras numeradas del al 6. Calcula la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea 9 P(9) = /6 = /9 Se etrae una carta de una baraja española de 0 cartas, se observa si ha sido de copas y se vuelve a introducir; luego se etrae otra carta. Cuál es la probabilidad de que las dos sean de copas? 0 C 0 no C 6 P(CC) = / / = /6 6 6 7 6 7 6 7 9 0 C 0 no C C / no C 6 7 9 0 6 7 9 0 7 9 0 0 C 0 no C C / no C CC haya sido defectuoso. Cómo son ambos sucesos, dependientes o independientes? D/D es la segunda rama. P(D/D) = /99 El segundo suceso D/D es dependiente del primero D, pues depende de si ha salido D o no D Una familia tiene tres hijos. Halla la probabilidad de que los tres sean varones. D 97 no D / / D 97 no D D D /99 97 no D no D D /00 no D / V / / M / / V / / M / / V / / M / A P L I C A L A T E O R Í A V M V M V M V M VVV VVM VMV VMM MVV MVM MMV MMM Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. P(VVV) = / / / = / DD Se etraen de una vez dos cartas de una baraja española de 0 cartas. Cuál es la probabilidad de que las dos sean de copas? 0 C 0 no C 9 C 0 no C C / no C P(CC) = / 9/0 = /0 C 0 no C C 9/0 no C Una máquina produce 00 tornillos de los que son defectuosos. Si se cogen dos tornillos, halla la probabilidad de que al coger el segundo sea defectuoso, con la condición de que el primero también CC 6 Se lanzan tres monedas al aire. Halla la probabilidad de obtener dos caras y una cruz. / / C / / / / / C / / / / C / / / C C C C CCC CC CC C CC C C Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(CC) + P(CC) + P(CC) = / + / + / = = / 0 SOLUCIONARIO

Ejercicios y problemas. Variaciones y permutaciones 7 Calcula mentalmente: a) V 0, b) VR 0, a) 0 9 = 70 b) 0 = 000 Calcula mentalmente: a) P b) PC a)! = = 0 b)! = = 6 9 Organizamos una fiesta y llevamos tres clases de bocadillos y dos clases de refrescos. Dibuja el árbol correspondiente a las distintas formas de elegir un bocadillo y un refresco. Cuántas son? Sean los bocadillos A, B y C y los refrescos D y E Número = = 6 0 A B C D E D E D E AD AE BD BE CD CE Con los dígitos,, 6 y forma todos los números de tres cifras que puedas sin que se repita ninguna cifra. Cuántos son? V, = = Con las letras A y B forma todas las palabras de tres letras que puedas, tengan o no sentido. Cuántas son? A B 6 A B A B 6 6 6 A B A B A B A B 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 AAA AAB ABA ABB BAA BAB BBA BBB VR, = = Con los dígitos,, y 7 forma todos los números de cuatro cifras que puedas sin que se repita ninguna cifra. Cuántos son? TEMA. COMBINATORIA PROBABILIDAD

Ejercicios y problemas P =! = = 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 a) 6 70 b) 6 Calcula, usando la calculadora: a) P 6 b) PC a) 70 b) 00. Combinaciones y resolución de problemas 7 Calcula mentalmente: a) C 0, b) C, 9 a) 0 9/ = b) C, 9 = C, = 0/ = De cuántas formas se pueden sentar 0 personas alrededor de una mesa circular, de forma que en cada caso haya al menos dos personas sentadas en diferente orden? Con las letras A, B, C, D y E forma todas las palabras que puedas de dos letras sin que se repita ningún par de palabras, tengan o no sentido, y de modo que ningún par de palabras tenga las mismas letras. PC 0 = 9! = 9 7 6 = 6 0 En el sistema actual de matrículas, de cuántas formas se pueden colocar las letras sabiendo que cada matrícula contiene tres letras, empezando por las letras BBB y terminando por las letras ZZZ, suprimiéndose las cinco vocales, y las letras Ñ, Q, CH y LL? BCDFGHJKLMNPRSTVWZ VR 0, = 0 = 000 Calcula, usando la calculadora: a) V, b) VR 7, C, = / = 0 9 A B C D E B C D E C D E D E E AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE Disponemos de frutas diferentes para preparar zumos de dos sabores. Cuántos zumos podemos hacer? SOLUCIONARIO

a) E = {A, B, C, D, E}, m =. Dos ejemplos significativos son:ab, BC, p = b) No influye el orden ò Combinaciones. c) C, = / = 0 0 En una comunidad que está formada por 0 vecinos, se quiere elegir una junta formada por un presidente, un secretario y un tesorero. De cuántas formas se puede elegir la junta? a) E = {,,,,, 0}, m = 0. Dos ejemplos significativos son: 9, 7, p = b) Influye el orden, no entran todos los elementos y no puede haber repetición ò Variaciones ordinarias. c) V 0, = 0 9 = 6 0 De una baraja española de 0 cartas se cogen cartas sin devolución. De cuántas formas se pueden coger? a) E = {,,,,, 0}, m = 0. Dos ejemplos significativos son: 79, 6, p = b) No influye el orden ò Combinaciones ordinarias. 0 c) C 0, = ( ) = 9 90. Eperimentos aleatorios simples 6 Sean E = {,,,,, 6, 7,, 9, 0}, A = {,,, 7, 9}, B = {, 6, 9}. Calcula: a) A B b) A B c) A y B son compatibles o incompatibles? d) A e) B a) {,,, 6, 7, 9} b) {, 9} c) A y B son compatibles. d) {,, 6,, 0} e) {,,,, 7,, 0} Halla la probabilidad de obtener múltiplo de al lanzar un dado de 6 caras. E = {,,,,, 6} A = {, 6} P(A) = /6 = / Se sabe que P(A) = /. Halla P(A ) P(A ) = / = / De cuántas formas se pueden colocar 6 personas alrededor de una mesa circular? a) E = {,,,,, 6}, m = 6. Dos ejemplos significativos son: 6, 6, p = 6 b) Influye el orden, entran todos los elementos y no puede haber repetición ò Permutaciones circulares. c) PC 6 =! = 0 Halla, usando la calculadora: a) C 0, b) C, 7 a) b) 6 7 Se lanzan 00 chinchetas al aire y 66 quedan con la punta hacia arriba. Halla la frecuencia relativa de que la chincheta no quede con la punta hacia arriba. f(no ) = = 0, 00 Se sabe que: P(A) = /, P(B) = / y P(A B) = /9 Calcula: P(A B) / + / P(A B) = /9 P(A B) = 7/0 TEMA. COMBINATORIA PROBABILIDAD

Ejercicios y problemas. Eperimentos aleatorios compuestos 9 0 Calcula la probabilidad de que al lanzar dos dados de caras numeradas del al la suma de números obtenidos sea 6. Qué suma es la más probable? P(6) = /6 El más probable es el, porque es el que más veces aparece. Se etrae una bola de una urna que contiene 6 bolas rojas y verdes, se observa si ha sido roja y se vuelve a introducir; luego se etrae otra bola. Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas? 6 R V P(RR) = 6/0 6/0 = 9/ 6 6 R R V 6/0 V /0 6 7 6 7 R 6/0 V /0 6 R V Una máquina produce 00 tornillos de los que son defectuosos. Se coge un tornillo, se mira si es defectuoso y se devuelve. Halla la probabilidad de que al coger aleatoriamente el segundo sea defectuoso, con la condición de que el primero también haya sido defectuoso. Cómo son ambos sucesos, dependientes o independientes? P(D/D) = /00 El segundo suceso D/D es independiente del primero D, pues no depende de si ha salido D o no D Una familia tiene tres hijos. Halla la probabilidad de que uno sea varón. D 97 no D / / D 97 no D D D /00 97 no D no D D /00 no D / V / / M / / V / / M / / V / / M / V M V M V M V M VVV VVM VMV VMM MVV MVM MMV MMM DD Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(VMM) + P(MVM) + P(MMV) = / + / + / = / Se lanzan tres monedas al aire. Halla la probabilidad de que las tres sean cruz. Se etraen de una vez dos bolas de una urna que contiene 6 bolas rojas y verdes. Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas? 6 R V R R V 6/0 V /0 P(RR) = 6/0 /9 = / R /9 V /9 R V / / C / / / / / C / / / / C / / / C C C C CCC CC CC C CC C C Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. P() = / / / = / SOLUCIONARIO

Para ampliar Calcula mentalmente los siguientes números combinatorios: 0 a) ( 0 ) b) ( 0) a) b) 6 Calcula mentalmente los siguientes números combinatorios: 00 a) ( ) 00 b) ( 9 ) a) 00 b) 90 b) Influye el orden, entran todos los elementos y no puede haber repetición ò Permutaciones ordinarias. c) P =! = 0 Son impares los que terminan en número impar; en este caso, todos. 9 60 6 Un alumno de º B tiene camisetas, pantalones y pares de zapatillas de deporte. De cuántas formas diferentes puede vestirse para ir a entrenar? = 60 formas diferentes. Si lanzamos al aire un dado y una moneda, cuántos resultados diferentes podemos obtener? 6 = resultados diferentes. Cinco amigos van al cine y sacan las entradas seguidas. De cuántas formas se pueden sentar? 7 Cuántos números diferentes de cuatro cifras se pueden formar? a) E = {0,,,,, 9}, m = 0. Dos ejemplos significativos son:,, p = b) Influye el orden, no entran todos los elementos y puede haber repetición ò Variaciones con repetición. Hay que quitar todos los que son menores de 000 c) VR 0, 000 = 0 000 = 9 000 Cuántos números diferentes de cinco cifras se pueden formar con las cifras impares de forma que no se repita ninguna cifra? Cuántos de ellos son impares? a) E = {,,, 7, 9}, m =. Dos ejemplos significativos son: 97, 97, p = a) E = {,,,, }, m =. Dos ejemplos significativos son:,, p = b) Influye el orden, entran todos los elementos y no puede haber repetición ò Permutaciones ordinarias. c) P =! = 0 6 Con las letras de la palabra MESA, cuántas palabras se pueden formar, tengan o no sentido? a) E = {A, E, M, S}, m =. Dos ejemplos significativos son: MESA, ESMA, p = b) Influye el orden, entran todos los elementos y no puede haber repetición ò Permutaciones ordinarias. c) P =! = 6 Calcula el valor de en la siguiente igualdad: ( ) = ( ) TEMA. COMBINATORIA PROBABILIDAD

Ejercicios y problemas =, o bien = 6 Calcula el valor de en la siguiente igualdad: V, = 0 ( )( ) = 0 + = 0 = 7 E = {7R, V, A} a) P(verde) = / = / b) P(no roja) = / c) P(roja o verde) = / = / 69 Se lanza un dado con forma de dodecaedro y las caras numeradas del al. Halla la probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de 6 Calcula el valor de en la siguiente igualdad: 7 V, = 6V, ( )( )( ) = 6( ) Se simplifican ambos miembros entre ( ), ya que > + 6 = 6 = 66 Calcula el valor de en la siguiente igualdad: P = 0P! = 0( )! ( ) = 0 = 67 Calcula el valor de en la siguiente igualdad: E = {,,,,, 6, 7,, 9, 0,, } A = {, 6, 9, } P(A) = / = / 70 Se etrae una carta de una baraja española de cartas. Calcula la probabilidad de que sea un nueve. E = { cartas} A = {9O, 9C, 9E, 9B} P(A) = / = / 6 7 9 0 6 C, = V, ( )/ = ( ) ( ) = ( ) Vale cualquier > Una urna contiene 7 bolas rojas, verdes y azules. Si se etrae una bola, qué probabilidad hay de que a) sea verde? b) no sea roja? c) sea roja o verde? 7 En una familia con dos hijos, qué probabilidad tiene de que sean a) los dos varones? b) uno varón y el otro mujer? / / V M / / / / V M V M VV VM MV MM a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. P(VV) = / / = / 6 SOLUCIONARIO

b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(VM) + P(MV) = / + / = / 7 Se lanzan al aire dos monedas. Calcula la probabilidad de obtener a lo sumo una cara. 7 Una urna contiene bolas rojas y verdes. Se etrae una bola y se observa el color; se vuelve a introducir y se etrae otra bola. Calcula la probabilidad de que sean las dos rojas. R V R / V / R V R / V / R V / / c / / / / c c cc c c Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. P(RR) = / / = / 7 Se etraen de una vez dos cartas de una baraja española de 0 cartas. Calcula la probabilidad de que las dos sean de espadas. 0 E 0 no E E / no E 9 E 0 no E E 0 no E E 9/9 no E Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. P(EE) = / 9/9 = / EE P(CC) = / / = / P(a lo sumo una cara) = P(CC) = / = / 76 En un dado de quinielas, halla la probabilidad de no obtener el E = {,,,,, } P(no obtener ) = /6 Con calculadora 77 Halla, utilizando la calculadora: a) V 9, b) VR, a) 0 b) 907 7 Se lanzan al aire dos dados de caras numeradas del al. Calcula la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea mayor que 7 Halla, utilizando la calculadora: a) P b) PC 9 6 P(más de ) = 6/6 = / 6 7 6 7 a)! = 79 00 600 b)! = 0 0 79 Halla, utilizando la calculadora: a) C, b) C, 7 a) 79 b) 79 TEMA. COMBINATORIA PROBABILIDAD 7