Solución de problems en un y dos dimensiones por Alejndr Cruz Bernl Pr llevr cbo l solución de problems debemos plicr el rzonmiento deductivo (concluir consecuencis desconocids prtir de principios ddos o generlizciones dds). En este proceso, podemos observr que se plnten premiss y luego se infieren conclusiones lógics prtir de ésts. Cundo vmos solucionr problems, debemos considerr que ls premiss proporcionrán los dtos, mientrs que ls conclusiones (del mismo problem) permitirán estblecer resultdos intermedios pr obtener l conclusión finl. Relizr dicho proceso d cbid l formción de problems estructurdos que contienen informción necesri y suficiente pr su solución correct; mientrs que los problems no estructurdos sólo ofrecen mbigüeddes. L investigción demuestr que ls persons no están cpcitds pr resolver problems si no logrn l representción mentl o intern de éstos. Por lo tnto, es necesrio que l person hy perfecciondo ls hbiliddes mentles que permitn psr de un estdo inicil uno finl medinte un estructurción en el desrrollo, pr obtener l solución de dichs dificultdes. Representción en un dimensión Se sbe que prtir de l práctic sistemátic se pueden desrrollr ls hbiliddes necesris pr l solución de problems. Un estrtegi es trbjr ls representciones que pueden ser tbls, gráfics, dibujos o digrms pr visulizr l descripción verbl de ciertos problems. Este tipo de representción (en un dimensión) fcilit el logro de l bstrcción hst llegr l punto de relizr relciones simbólics. Representción Considermos tod representción como un estrtegi didáctic, medinte l cul hcemos uso de dibujos o culquier elemento gráfico que nos permit un clr visulizción del problem. 1
Figur 1. Anexo 1 (Brvo y Vidl, s.f.). A trvés de l representción podemos tener un mejor conceptulizción de cd uno de los elementos que conformn el problem, sí como los enlces que existen entre los mismos. Un de ls estrtegis que podemos empler son los mps conceptules, como el que prece en figur 1. En ell podemos observr cómo se describe l mp conceptul como un estrtegi de prendizje que fvorece l memori, pero que, l mismo tiempo, poy el prendizje significtivo. En cd uno de los conceptos nteriores, considerdos como representciones gráfics, observmos l mner en que con pocos conceptos podemos llevr cbo un interconexión de ides de form sencill y clr, que nos yud ejemplificr y vlorr cd uno de los elementos que constituyen dicho mp. Representción en un dimensión Al considerr los dtos de un sol vrible como un dimensión, estmos estbleciendo relciones uno uno, es decir, por cd vrible existe un único vlor ddo en el problem. 2
Pr clrr un poco más este concepto, revisemos el siguiente mp mentl y obtengmos del mismo un estrtegi pr solucionr problems en un dimensión. Leer todo el problem Obtener un respuest de cuerdo l representción Identificr vribles Problems en un dimensión Representr gráficmente Qué es lo que se pide? Anlizr prte por prte Figur 2. Representción mentl de l estrtegi pr solucionr problems en un dimensión. Como podemos observr en l figur 2, un mp mentl nos yud clrificr nuestrs ides trvés de l relción de conceptos que girn en torno un ide principl (círculo centrl). Est representción puede o no tener imágenes y siempre se lee de cuerdo l sentido horrio de ls mnecills del reloj. Por lo tnto, el resultdo de ls ides expuests puede ser el siguiente cudro: 3
Estrtegi básic pr l representción en un dimensión 1. Leer todo el problem. 2. Identificr vribles. 3. Identificr lo que se pide en el problem. 4. Decidir el tipo de representción utilizr. 5. Leer el problem prte por prte. 6. Representr en el digrm los dtos que se dn en cd prte. 7. Observr el digrm concluido y obtener un respuest. Postergción Estrtegi que consiste en dejr de ldo un dto que no constituye de momento un firmción complet hst que se obtiene l informción necesri pr relcionrlo con el resto de los dtos del problem. Cundo se utiliz un postergción, l estrtegi seguir será: 1. Adicionr un pso entre el 3 y 4 que nos permit fijr un referenci gráficmente. 2. Adicionr entre el pso 4 y 5 un pso que nos permit postergr dtos en los csos en que se dé informción que requier dtos posteriores pr su procesmiento. 3. Cmbir el Pso 6 l Pso 7. 4. Pso 6: Verificr si los dtos representdos corresponden l enuncido. Pr ejemplificr l informción revisd hst el momento sobre estrtegis básics y l postergción, revisemos l siguiente situción. 4
Ejemplo Un grupo de niñs h decidido reunirse pr escoger su uniforme de porrists. En l tiend les ofrecen ls siguientes opciones: Bluss: nrnj, zul y blnc. s:, y ros. Clcets: cfés y mrills. - Qué podemos hcer?, cuál será nuestr mejor opción? Se preguntbn ls niñs. -Combinemos y escojmos l que más nos grde. Resolvieron. Con bse en l informción nterior, contest: cuántos uniformes diferentes se pueden formr? Solución Al relizr los psos del 1 l 3, identificmos ls vribles del problem: Bluss: nrnj, zul y blnc. s:, y ros. Clcets: cfés y mrills. De cuerdo est informción, podemos hcer un postergción de dtos, si sólo combinmos ls dos primers vribles pr luego combinrls con l tercer. Este pso deberá llevr un representción gráfic (pso 1 y 2 de l postergción): Blus zul ros Blus blnc ros Blus nrnj ros 5
Ahor pliquemos los psos restntes de l postergción l incluir l vrible fltnte (clcets) y verificr que los dtos correspondn l problem en un nuev representción gráfic: C l c e t s c f é s Blus zul Blus roj Blus blnc ros ros ros C l c e t s m r i l l s Blus zul Blus roj Blus blnc ros ros ros Como podrás observr, l representción gráfic nos muestr el número de combinciones posibles que se pueden dr. Pr este cso, serán 18. Representción en dos dimensiones El nálisis de problems con más de dos dimensiones permite detectr que, en generl, éstos incluyen de mner explícit los vlores de por lo menos dos de ls vribles dds (ls cules se utilizn pr encbezr los renglones y ls columns de l tbl) y un tercer cuyos vlores se notn en l tbls, en el lugr correspondiente l intersección de los vlores pres. L complejidd de estos problems rdic en que se utilizn vlores conceptules semánticos (por ejemplo, cordero puede hcer referenci un person muy tímid, o bien un mmífero. En otro sentido, son ls plbrs ʻclvesʼ que nos yudn estblecer relciones, por ejemplo l plbr vegetl hce referenci : clbz, znhori, chyote, entre otrs). Por lo que se permite estblecer relciones de orden superior (más bstrcts) entre los conceptos o dtos y se postergn muchs de ls relciones pr complementrls con otrs y deducir o inferir nuevos dtos. 6
Es sí que pr resolver un problem de dos dimensiones, debemos identificr ntes que nd los elementos que lo conformn, y que sin los mismos no podremos conocer de mner clr ls vribles y sus vlores (los cules nos proporcionn su vlor conceptul semántico) pr llegr un solución correct. Elementos de un problem 1. El enuncido. 2. Ls vribles. 3. Los dtos o vlores de ls vribles. 4. L pregunt o lo que se pide. 5. Ls restricciones. Ejemplo de los elementos de un problem L señor Mrth signó cd uno de sus hijos, incluyendo l de diez ños, un tre diferente pr poyr en l semn (solmente de lunes viernes) con ls lbores del hogr. Ls lbores se rotron de tl form que ningún niño relizó un mism en l semn, ni más de un en un dí. Con bse en l informción proporciond, identific l edd de cd niño si: El niño de nueve ños brrió el miércoles. Deli lvó los pltos el mismo dí que Jun limpió el piso. Mrí brrió un dí después que Miguel y el dí ntes que Deli. El hijo de 14 ños dio de comer l gto el mrtes. Jun scudió el miércoles. El hijo de 12 ños limpió el piso el lunes. Juli dio de comer l gto el dí siguiente l que lvó los pltos y el dí ntes que scudió. Mrí lvó los pltos el jueves. Deli limpió el piso el mrtes. Uno de los hijos Miguel o Deli, dio de comer l gto el viernes, el otro lo hizo el jueves. Mrí tiene 13 ños. 1. Como podemos observr, el enuncido principl es lo que se encuentr en. 2. Ls vribles son los hijos (y que sobre los mismos vers el problem). 3. Los dtos o vlores de ls vribles, ls encontrmos principlmente en lo escrito en negro. 4. Lo que se nos solicit es l edd de cd niño. 5. Ls restricciones se encuentrn en el enuncido principl: ʻLs lbores se rotron de tl form que ningún niño relizó un mism lbor en l semn, ni más de un lbor en un díʼ. 7
Ahor bien, y que identificmos los elementos, cómo podemos resolver el problem? Estrtegis pr resolver problems 1. Anlizr el enuncido. 2. Anlizr ls vribles. 3. Pensr en estrtegis conocids y decidir si se pueden plicr directmente. 4. Diseñr l estrtegi si es necesrio. 5. Aplicr l estrtegi. 6. Verificr los resultdos obtenidos e introducir correctivos. Un de ls estrtegis más conocids en l solución de problems de dos dimensiones es el uso de tbls. Por lo que, con l informción que y hemos recbdo de los psos 1 l 4 (de ls estrtegis pr resolver problems), resolveremos l situción plnted nteriormente. Ejemplo de l solución de un problem de dos dimensiones medinte el uso de tbls SOLUCIÓN Revisemos l tbl de doble entrd del problem nterior (en negro encontrrás los vlores de ls vribles, en los vlores que estremos completndo). Considerndo l restricción y de cuerdo los vlores de cd vrible obtenemos que: El niño de nueve ños brrió el miércoles. El hijo de 14 ños dio de comer l gto el mrtes. Jun scudió el miércoles. Mrí lvó los pltos el jueves. Scudir Brrer Dr de comer l gto Lunes Mrtes 14 Miércoles Jun 9 Jueves Viernes Limpir el piso Lvr los pltos Mrí 8
Deli lvó los pltos el mismo dí que Jun limpió el piso. Deli limpió el piso el mrtes. (Entonces Jun no lo pudo hcer ese dí). Uno de los hijos, Miguel o Deli, dio de comer l gto el viernes, el otro lo hizo el jueves. (Como Jun no puede limpir el piso el miércoles por que y tiene un ctividd, lo puede hcer el jueves o viernes, pero tiene que ser el viernes y que, si lo hce el jueves, Deli tendrí que lvr los pltos el viernes, pero es ctividd es relizd por Mrí). El hijo de 12 ños limpió el piso el lunes. Scudir Brrer Dr de comer l gto Limpir el piso Lvr los pltos Lunes 12 Mrtes 14 Deli Miércoles Jun 9 Jueves Deli Mrí Viernes Miguel Jun Deli Juli dio de comer l gto el dí siguiente l que lvó los pltos y el dí ntes que scudió. Scudir Brrer Dr de comer l gto Limpir el piso Lvr los pltos Lunes 12 Mrtes 14 Deli Juli Miércoles Jun 9 Juli Jueves Juli Deli Mrí Viernes Miguel Jun Deli Mrí brrió un dí después que Miguel y el dí ntes que Deli. (Como Miguel y Deli y tienen ctividd el viernes, mientrs que Deli y Mrí el jueves, entonces Mrí tuvo que brrer el mrtes y Miguel el lunes). Scudir Brrer Dr de comer l gto Limpir el piso Lvr los pltos Lunes Miguel 12 Mrtes Mrí 14 Deli Juli Miércoles Jun 9 (Deli) Juli Jueves Juli Deli Mrí Viernes Miguel Jun Deli 9
Con bse en el nálisis de l últim informción, podemos completr nuestr tbl, siempre teniendo presente l restricción del problem ʻls lbores se rotron de tl form que ningún niño relizó un mism lbor en l semn, ni más de un lbor en un díʼ: Scudir Brrer Dr de comer l gto Limpir el piso Lvr los pltos Lunes Deli Miguel Mrí 12(Juli) Jun Mrtes Miguel Mrí 14(Jun) Deli Juli Miércoles Jun 9 (Deli) Juli Mrí Miguel Jueves Juli Jun Deli Miguel Mrí Viernes Mrí Juli Miguel Jun Deli De l tbl nterior, podemos obtener l siguiente tbl, considerndo demás el vlor de l vrible siguiente: Mrí tiene 13 ños. Mrí Deli Miguel Jun Juli 9 ños x * x x x 10 ños x x * x x 12 ños x x x x * 13 ños * x x x x 14 ños x x x * x Por lo tnto: Deli tiene 9 ños. Miguel tiene 10 ños. Juli tiene 12 ños. Mrí tiene 13 ños. Jun tiene 14 ños. Ést es l solución correct!
En est lección nos hemos ddo l tre de relizr un proceso reflexivo sobre l form de relizr l solución de problems trvés de ls representciones mentles y ls hbiliddes del pensmiento. Esto nos permite generr hbiliddes en l integrción de ejercicios que permitn un verddero proceso metcognitivo en los lumnos. Referenci de l imgen Brvo, S. y Vidl, G. (s.f.). Anexo 1. Recuperdo de http://www.educr.org/rticulos/usodemps.sp (Imgen publicd bjo licenci Cretive Commons Atribución-NoComercil-SinDerivds 2.0 Genéric, de cuerdo : http://cretivecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/deed.es).