La teoría de la probabilidad no es más que sentido común hecho fórmula. Laplace, 1819.

Transcripción

1 L teorí de l robbilidd no es más que sentido común hecho fórmul. Llce, 1819.

2 Lógic deductiv Según el Orgnon de Aristóteles, el rzonmiento deductivo se uede nlizr medinte l licción reetid de dos silogismos fuertes: y su inverso: si A es cierto, entonces B es cierto A es cierto entonces, B es cierto si A es cierto, entonces B es cierto B es flso entonces, A es flso

3 Lógic deductiv Este es el tio de rzonmiento que nos gustrí usr todo el tiemo. Sin embrgo, en l myorí de ls situciones nuestro conocimiento no nos ermite licr este tio de rzonmiento. Tenemos que recurrir silogismos débiles: si A es cierto, entonces B es cierto B es cierto entonces, A se vuelve más lusible Por ejemlo: A comenzrá llover ls 10 como muy trde B el cielo se cubrirá de nubes ntes de ls 10

4 Teorí de l robbilidd Pr los ioneros de l robbilidd, Bernouilli, Byes y Llce, un robbilidd reresentb el grdo de confinz en l certez de un roosición rtir de l informción disonible. Est definición recí demsido subjetiv como r ser l bse de un discilin mtemátic. Posteriormente, l robbilidd se redefinió como l frecuenci de un suceso desués de muchs ruebs. Ls frecuencis, diferenci de los grdos de confinz, se ueden medir y, or lo tnto, son objetivs. Sin embrgo, l interretción de Llce es de myor lcnce ues uede utilizrse incluso cundo l otr no.

5 Teorí de l robbilidd En 1946 Cox estudió ls regls que grntizn l coherenci del rzonmiento lógico bjo incertidumbre. Llegó l conclusión de que ls robbiliddes, entendids como niveles de confinz en l verdd de ls roosiciones, deben cumlir ls leyes trdicionles de l robbilidd: X I + X I 1 X, Y I X Y, I Y I donde cierto1 y flso0, X reresent l roosición X es fls, signific ddo, y l com indic conjunción lógic. Aunque ests regls se ueden demostrr fácilmente r frecuencis, Cox demostró que su ámbito de licción es myor: son ls regls del rzonmiento lusible. Dicho de otr mner, son l extensión de l lógic deductiv.

6 Probbilidd y lógic deductiv Vmos ver cómo ls leyes de l robbilidd conectn con l lógic deductiv y el silogismo débil del rinciio. En rimer lugr, l regl de l sum Α + Α 1 en el límite Α 1 imlic que Α 0 Este el ostuldo rimitivo de l lógic ristotélic: si A es cierto, entonces Α es flso

7 Probbilidd y lógic deductiv Suongmos hor que l roosición I es l remis rincil del silogismo fuerte: L regl del roducto se reduce l silogismo fuerte: 1 Α ΑΒ Α Β Α Β Α Α 0 0 Β Β ΑΒ Β Α

8 Ls leyes de l robbilidd vn más llá de l lógic deductiv y contienen l silogismo débil del rinciio. Si A imlic B, A es más lusible cundo B es cierto. Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β Α Probbilidd y lógic deductiv Si A imlic B, A es más lusible cundo B es cierto.

9 Teorem de Byes A rtir de ls regls de l robbilidd se uede deducir el teorem de Byes: X, Y I X Y, I Y I Y, X I Y X, I X I Y X, I X Y, I Y I X Este resultdo cobr esecil interés si sustituimos X or D dtos e Y or H hiótesis: H D, I D H, I H I D

10 Teorem de Byes H D, I D H, I H I D H I se denomin robbilidd rior y reresent el nivel de confinz en l hiótesis sin utilizr los dtos D H, I se denomin verosimilitud y reresent lo verosímiles que son los dtos si l hiótesis es ciert L verosimilitud sirve r trnsformr l robbilidd rior en osterior: H D, I se denomin robbilidd osterior y reresent el nivel de confinz en l hiótesis l luz de los dtos D I se denomin evidenci y en muchs licciones solo cumle un función de normlizción, ues no deende de H

11 El roblem del txi Problem rouesto or Dniel Khnemn y Amos Tversky *: Un txi gole un erson de noche y huye. En l ciudd oern don comñís de txis: l verde y l zul. El 85% de los txis de l ciudd son verdes y el 15% restnte, zules. Cuál es l robbilidd de que el txi del ccidente fuer zul? * D. Khnemn nd A. Tversky, eds. Judgement under Uncertinty: Heuristics nd bises. New York: Cmbridge Univ. Press,

12 El roblem del txi con testigo Un txi gole un erson de noche y huye. En l ciudd oern don comñís de txis: l verde y l zul. El 85% de los txis de l ciudd son verdes y el 15% restnte, zules. Un testigo identific el txi como zul. El jurdo estim l fibilidd de l testigo en un 80%. Cuál es l robbilidd de que el txi del ccidente fuer zul?

13 Probbiliddes riori Ls robbiliddes riori sin disoner del testimonio de l testigo son: Η Η v Buscmos l robbilidd osteriori de que l comñí se zul, conociendo l identificción de l testigo: H v D?

14 Verosimilitud L verosimilitud es fácil de clculr: D Η v 0.20 D Η El dto de que disonemos es que l testigo firm que l comñí resonsble es l zul. Este dto es más verosímil cundo cetmos l hiótesis de que l comñí zul es resonsble 80% frente 20%. Si nuestro criterio fuer otimizr l verosimilitud, concluirímos que l comñí resonsble es l zul.

15 Probbiliddes osteriori D D H H D D H D D H H D D H v v v D D H D H v

16 Probbiliddes osteriori Sin embrgo, l robbilidd osteriori de que l comñí resonsble se l zul H es tn solo del 41%. Método de máxim verosimilitud: L mximizción de l verosimilitud conduce l resultdo ouesto. L rzón de l discrenci es el vlor de ls robbiliddes L rzón de l discrenci es el vlor de ls robbiliddes riori.

17 Algunos comentrios finles sobre robbilidd Ls robbiliddes reresentn conexiones lógics, no cusles. Consideremos un urn con 5 bols rojs y 7 negrs. Si en l rimer extrcción se h elimindo un bol roj, cuál es l rob. de extrer un bol roj en un segund extrcción? Culquier firmrí que es 4/11. Por el contrrio, suongmos que l segund extrcción h sido roj, cuál es l rob. de que l rimer fuer roj tmbién? Aunque l segund extrcción no uede tener un influenci cusl en l rimer, sí l tiene lógic. Esto se ve bien clro en el cso en que l bols contiene un sol bol roj: en este cso, l robbilidd de que l rimer fuer roj es 0.