Rudimetos 5: Teorema del Biomio Profesor Ricardo Satader Este capitulo esta destiado a presetar coteidos y actividades que permitirá al estudiate: Operar co simbología matemática, desarrollar expresioes que ivolucre u úmero fiito de productos biomiales, y emplear el cocepto de búsqueda istatáea, a fi de determiar rápida y eficietemete los térmios e desarrollos biomiales mediate u algoritmo 1. Itroducció a los Factoriales Defiició 1.1. Para cada N llamaremos factorial a! 1 2 3, y defiimos además 0! 1 Ejemplo 1.1.1.! 1! para cada N E efecto! 1 2 3 1 [1 2 3 1] 1! Defiició 1.2. Para cada N, N y llamaremos úmero combiatorio a Ejemplo 1.2.1. 4 3 4! 4 3! 3! 3! 4 1! 3! 4!!! 1 Observació 1.2.2. Cosideremos u cojuto co cuatro elemetos, digamos C {1, 2, 3, 4} N etoces La catidad de subcojutos de C co cardialidad 3 so los siguietes C 1 {1,2,3}, C 2 {1,2,4}, C 3 {1,3,4}, C 3 {2,3,4} 4 So como se ve cuatro cojutos lo que coicide co 3 La catidad de subcojutos de C co cardialidad 2 so los siguietes seis cojutos C 1 {1,2}, C 2 {1,3,}, C 3 {1,4}, C 3 {2,3}, C 3 {2,4}, C 3 {3,4} 4 2 4! 4 2! 2! 2! 3 4 6 2! 2! Y que tambié coicide co E realidad esto o es ua coicidecia, ya que e la práctica el úmero combiatorio co, fue costruido para cotar la catidad de grupos co elemetos a partir de elemetos dados, de 1
2 RUDIMENTOS 5: TEOREMA DEL BINOMIO PROFESOR RICARDO SANTANDER allí la restricció 1.3. Propiedades de los Números Combiatorios. Etre muchas propiedades de los úmeros combiatorios, sólo exhibiremos las que ecesitamos estrictamete para coseguir uestros objetivos. [1] E efecto!!!!!! E particular, 1, para verificar esta igualdad, basta hacer 0 y recordar que el 0 cojuto vacío o tiee elemetos y es subcojuto de todos los cojutos [2] [3] [4] [5] +1 E efecto +1 +1 1 +1!!+1!!+1!+1!!! +1 +1!!! +1 +1 +1 +1 E efecto +1 +1 +1 +1 E efecto +1 +1! +1!!! +1 1 +1! +1!!!+1! +1!!!! +1 +1 +1 1 +1 +1! +1! 1!!! +1 1!!! 1 +1 1!!! + +1 E efecto +1!!!! +1 +1 +1 +1
+ +1 2. TEOREMA DEL BINOMIO 3!!! +! +1! 1!!+1+!! +1!! +1+! +1!!+1! +1! 2. Teorema del Biomio +1!! +1! +1 +1 Teorema 2.1. Teorema del Biomio. Si N, a R y b R tal que a+b 0 etoces a+b 0 a b Demostració Debemos verificar que a+b 0 a b Gestió de la iformació: Como N etoces podemos usar el proceso de iducció matemática, para verificar la validez de la fórmula F : a+b Debemos mostrar que F1 es verdadera 0 a b ; N Por ua parte teemos que a+b 1 a+b, y por otra, Así que, a+b 1 1 0 1 a b, y F1 es verdadera 1 0 1 a b Hipótesis de iducció: Supogamos que F es verdadera, es decir 1 a 1 0 b 0 + 0 1 a 1 1 b 1 a+b 1 a+b 0 a b Tesis de iducció. Debemos mostrar que F+1 es verdadera H Desarrollado F+1 teemos que a+b +1 a+b a+b H a+b 0 0 a b a +1 b + 0 a b +1
4 RUDIMENTOS 5: TEOREMA DEL BINOMIO PROFESOR RICARDO SANTANDER Aplicado la propiedad del reloj??, a la seguda parcela e teemos que 0 Reemplazado e teemos que: a b +1 +1 0+1 1 a +1 b 1 +1 a +1 b 1 a+b +1 0 a +1 b + a +1 + 0 +1 0 +1 0 +1 0 +1 +1 0 Así que F+1 es verdadera, y 1 a +1 + a +1 + a +1 + +1 1 a +1 b 1 a +1 b + 1 1 1 a +1 b + a +1 b + 1 1 a +1 b + 1 + a +1 b + 1 +1 1 a +1 b a+b a +1 b + 0 a b +1 b +1 +1 b +1 +1 b +1 +1 +1 b +1 +1 Corolario 2.2. E Teorema 2.1 Para cada 0,1,..., 1 el térmio de orde +1 es de la forma: t +1 a b E efecto Del teorema 2.1 sigue que a+b a b 0 a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a b 0 1 2 }{{}}{{}}{{}}{{} t 1 t 2 t 3 t +1
Así que t +1 3. EJERCICIOS PROPUESTOS DEL TEOREMA DEL BINOMIO 5 a b, para 0,1,2,..., 3. Ejercicios Propuestos del Teorema del Biomio [1] Determie el séptimo térmio e el desarrollo biomial 2x y 12 [2] Determie el oveo térmio e el desarrollo biomial 2+ x 15 4 20 [3] Determie el decimocuarto térmio del desarrollo biomial 4x 2 y 1 2xy 2 [4] Determie el térmio que cotiee a x 2 e el desarrollo biomial 3 2 x [5] Determie el térmio que cotiee x2 x e el desarrollo biomial y2 [6] Determie el térmio que cotiee a x r e el desarrollo biomial y y2 2x 2 x+ 1 x [7] Si uo de los térmios e el desarrollo biomial 2x 2 1 x 60 es de la forma a x 54. Determie el valor de a [8] Determie el térmio idepediete de x si existe e el desarrollo biomial x 3 1 x 2 30 [9] Determie el valor de a e el desarrollo biomial de x sea igual al coeficiete de x 2 [10] E el desarrollo biomial x 2 8 27 x a + 1 20, de tal forma que el térmio idepediete x x x+ 1 x 2 el coeficiete biomial del 3 er térmio es mayor que el coeficiete biomial del 2 do térmio e 44 uidades. Determie, si existe, el térmio idepediete de x. [11] Muestre que el coeficiete del térmio cetral del desarrollo biomial 1+x 2, es igual a la suma de los coeficietes de los dos térmios cetrales del desarrollo biomial 1+x 2 1 [12] Dados los desarrollos biomiales x 2 + x 1, y x 3 + 1 x 2. Determie el cojuto T { N Los terceros térmios de los biomios sea iguales} [13] Si e el desarrollo biomial 1 + x 43, los coeficietes de la posició 2m + 1 y m + 2 so iguales. Determie, si es posible, el valor de m [14] Determie el coeficiete de x e el desarrollo biomial 1 x+x 2 1+x 2+1 x [15] E el desarrollo biomial a y2 15, el térmio que cotiee a y 22 preseta el coeficiete umérico 455. Determie el valor de a 27 i [16] Demuestre que 2 i0
6 RUDIMENTOS 5: TEOREMA DEL BINOMIO PROFESOR RICARDO SANTANDER [17] Cosidere los reales positivos p y q tales que, p+q 1. Demuestre que r p q 0 r p. 0 4. Situacioes de Desempeño: Biomio de Newto 4.1. El objetivo de esta secció es presetar al Estudiate Situacioes Problemáticas que le permita: Estimular la compresió de lectura e problemas matemáticos. Clasificar después de leer el problema, etre iformació y resultado pedido. Estimular el uso de ua sitaxis adecuada e la resolució de problemas que evuelve coceptos matemáticos. Apreder a geerar u algoritmo eficaz ojalá eficiete, para respoder al problema plateado. Verificar el estado de apredizaje de los coteidos específicamete relacioados co las propiedades básicas que debe coocer, y e lo posible haber aprehedido de los tópicos aalizados. 4.2. Alguas sugerecias para efretar las situacioes problemáticas so las siguietes: Lea cuidadosamete el problema. Recoozca lo que es iformació dato, de lo que es icogita, o lo que a usted se le cosulta. Trate de eteder e la forma más clara para usted, lo que se le pide, e particular si puede usar sióimos matemáticos, que le permita facilitar su respuesta, cuato mejor!!! Este acto uca esta de más. Aalice sus datos extrayedo la iformació que correspode, orietado por su etedimieto de lo que debe probar. 4.3. Situacioes de Desempeño Propuestas: [1] E el desarrollo biomial, B forma x 4m etoces debe ser u múltiplo de 4. x 1 x 3 para N. Demuestre que si existe u térmio de la [2] Determie, si existe el térmio idepediete de x e el desarrollo biomial 2x+1 1+ 2 x [3] Demuestre usado el teorema del biomio que 1 s 0 s s0
[4] Si N, y A 4. SITUACIONES DE DESEMPEÑO: BINOMIO DE NEWTON 7 x 2 + 1 x y B x 3 + 1 x 2, so dos desarrollos biomiales tales que t A es el - ésimo térmio de A y t B es el - ésimo térmio de B, 1 etoces demuestre que [5] Si e el desarrollo biomial t A t B es u úmero par 3 2+ 1 3 3, la relació etre etre el térmio séptimo cotado desde el pricipio, y el térmio séptimo cotado desde el fial es 1 6 etoces determie. [6] E el desarrollo biomial 2x+b 5. Determie b, para que el coeficiete del térmio que cotiee a x 4, sea ocho veces el coeficiete del térmio que cotiee a x 3. [7] Calcule usado el desarrollo del Biomio de Newto S 2+1 5 2 1 5 [8] Del desarrollo biomial de 3x+1 2 +3x 1 2 deduzca que m0 2 2m 9 m 1 2 42 +2 2 [9] Si e el desarrollo biomial x 2 + x 1, el coeficiete de T4 y T 13 so iguales etoces determie el térmio idepediete de x. [10] Si e el desarrollo de z 3 2 z 3 1, la razó etre el coeficiete biomial del térmio t 3 y el del térmio t 5, es 2 7 etoces determie el térmio que tiee a z 5 2 [11] Determie, si es que existe, e el desarrollo del biomio 3x + 2 19, dos térmios cosecutivos tales que sus coeficietes sea iguales.
8 RUDIMENTOS 5: TEOREMA DEL BINOMIO PROFESOR RICARDO SANTANDER 5. Solució de Situacioes de Desempeño: Biomio de Newto [1] E el desarrollo biomial, B x 1 x 3 para N. Demostremos que si existe u térmio de la forma x 4m etoces debe ser u múltiplo de 4. Solució Debemos mostrar que 4 r Gestió de la iformació t s+1 es el térmio pedido si y sólo si t s+1 s x s 1 x 3 s s x s 1 s x 3s s x 4s 1 s x 4m aparecerá e el térmio t s+1 si y sólo si Coclusió : es u múltiplo de 4. x 4m x 4s 4m 4s 4s 4m 4s m [2] Determiemos, si existe el térmio idepediete de x e el desarrollo biomial 2x+1 1+ 2 x Solució Debemos determiar el térmio idepediete de x, es decir aquel e que aparece x 0 1. Gestió de la iformació Del Teorema del Biomio 2.1 sigue que 1+ x 2 2 1 x 0 Multiplicado por 2x+1 teemos que 2x+1 1+ x 2 2x+1 0 2 x 0 0 2 x 2 +1 x +1 + 0 2 x
5. SOLUCIÓN DE SITUACIONES DE DESEMPEÑO: BINOMIO DE NEWTON 9 Luego, existirá el térmio idepediete de x si +1 0 0 1 0 Así que el térmio pedido es 2 2 + 2 0 4+1 1 0 [3] Demostremos usado el teorema del biomio que Solució 1 s 0 s s0 [ [4] Si N, y A 1 1 0 1 1 Teo2.1 s0 ] 1 s 1 s 0 s s0 1 s s x 2 + x 1 y B x 3 + 1 x 2, so dos desarrollos biomiales tales que t A es el - ésimo térmio de A y t B es el - ésimo térmio de B, 1 etoces demostremos que Solució t A t B es u úmero par Debemos verificar que 2 s, para algú etero s. Gestió de la iformació Para el biomio A teemos que: t A x 2 1 1 1 x 1 x 2 3 1 1 Para el biomio B teemos que: t B x 3 1 1 1 x 2 1 x 3 5 1 1 Fialmete comparado térmios teemos que es par, pues, t A t B x 2 3 1 x 3 5 1 1 1 x 2 3 1 x 3 5 1 2 3 1 3 5 1 2 1 }{{} s
10 RUDIMENTOS 5: TEOREMA DEL BINOMIO PROFESOR RICARDO SANTANDER [5] Si e el desarrollo biomial 3 2+ 1 3 3, la relació etre etre el térmio séptimo cotado desde el pricipio, y el térmio séptimo cotado desde el fial es 1 6 etoces determie. Solució a Sabemos que e est desarrollo biomial sus térmios so de la forma t +1 2 3 3 3 b Como este desarrollo biomial tiee +1 térmios etoces aquellos cuya relació es 1 6 so t 7 y t 5, por tato teemos que Pero, 6 2 6 3 3 6 3 2 +6 3 3 6 3 6 6 6! 6! 6!! 6! 6! Luego, aplicado este resultado e obteemos 6 6 2 6 3 3 2 2 2 3 6 3 6 6 3 6 9 [6] E el desarrollo biomial 2x+b 5. Determie b, para que el coeficiete del térmio que cotiee a x 4, sea ocho veces el coeficiete del térmio que cotiee a x 3. Solució a El térmio de orde +1 e este biomio es de la forma: Luego, el coeficiete de t +1 es t +1 5 2x 5 b 5 2 5 b x 5 c +1 5 2 5 b b Ahora, t +1 es el térmio que cotiee a x s si y sólo si s 5 equivaletemete 5 s, por tato t 1 t 2 5 5 2 5 1 b 1 x 5 1 c 1 2 4 b 1 1 5 5 2 5 2 b 2 x 5 2 c 2 2 3 b 2 2 2
c Fialmete, 5. SOLUCIÓN DE SITUACIONES DE DESEMPEÑO: BINOMIO DE NEWTON 11 5 5 c 2 8c 1 2 4 b 8 2 3 b 2 1 2 5 2 4 2 3 5! 3!2! 23 b b 1 8 [7] Calcule usado el desarrollo del Biomio de Newto Solució S 2+1 5 2 1 5 a Aplicado directamete el Teorema del Biomio de Newto obteemos, 2+1 5 2 1 5 5 0 5 0 b Así que restado miembro a miembro teemos, 5 2 5 2 1 5 2 5 2 1 2+1 5 5 5 5 2 1 5 2 5 5 2 1 + 2 5 2 1 +1 0 0 [ ] 5 5 5 2 2 2 + 2+ 1 3 5 82 [8] Del desarrollo biomial de 3x+1 2 +3x 1 2 deduzca que m0 2 9 m 1 2m 2 42 +2 2 E efecto, a Si desarrollamos directamete los biomios obteemos que, 3x+1 2 3x 1 2 2 0 2 0 2 3x 2 1 2 3x 2 1
12 RUDIMENTOS 5: TEOREMA DEL BINOMIO PROFESOR RICARDO SANTANDER b Si sumamos los desarrollos biomiales ateriores teemos 3x+1 2 +3x 1 2 2 0 1+ 2 0 2 3x 2 1 + 2 3x 2 1 +...+ 1 2 2 2 3x 2 2 2 0 2 2 2 3x 2 1 +1 c Si hacemos x 1 e los datos gestioados ecima etoces se deduce que 4 2 +2 2 2 2 2m m0 9 m 2 3x 2 1 +...+ 1 2 2 Equivaletemete 2 9 m 1 2m 2 42 +2 2 m0. [9] Si e el desarrollo biomial x 2 + x 1, el coeficiete de T4 y T 13 so iguales etoces determie el térmio idepediete de x. Solució a Como el térmio geeral de este desarrollo biomial es de la forma, t +1 x 2 2 x etoces el coeficiete de este térmio es de la forma c +1 b Ahora, comparado los coeficietes teemos que x 2 3 c 4 c 13 3 12 12 3 15 15 c Del resultado obteido sigue que el térmio geeral del desarrollo biomial es: t +1 15 x 30 3 d Fialmete cocluimos que el termio idepediete de x se produce cuado 30 3 0, es decir cuado 10 y etoces el térmio pedido es t 11 15 10
[10] Si e el desarrollo de 5. SOLUCIÓN DE SITUACIONES DE DESEMPEÑO: BINOMIO DE NEWTON 13 z 3 2 z 1 3, la razó etre el coeficiete biomial del térmio t 3 y el del térmio t 5, es 2 7 etoces determie el térmio que tiee a z 5 2 Solució a El térmio geeral del desarrollo biomial es e este caso, t +1 11 9 6 z 1 Por lo tato el coeficiete del térmio geeral es: c +1 b Esto os permite la siguiete deducció, 1 C 3 C 5 2 7 1 2 2 2 1 4 7 4 12 2 3 2 7 2 5 36 0 9 4 9 c Así el térmio geeral del desarrollo biomial es: t +1 9 11 81 6 z 1 d Fialmete e el desarrollo biomial existe u térmio que cotiee a z 5 2, si y solamete si existe {0,1,...,9} tal que: Y, el térmio buscado es, 11 81 6 5 2 11 81 15 6 t 7 9 z 5 2 6
14 RUDIMENTOS 5: TEOREMA DEL BINOMIO PROFESOR RICARDO SANTANDER [11] Determie, si es que existe, e el desarrollo del biomio 3x + 2 19, dos térmios cosecutivos tales que sus coeficietes sea iguales. Solució a Como etoces t +1 c +1 19 3x 19 2 19 3 19 2 x 19 19 3 19 2 b Coforme a lo aterior e el desarrollo biomial existe dos térmios cosecutivos que tega el mismo coeficiete si se verifica la relació, 19 c +1 c +2 3 19 2 19 2 19 3 +1 7 c Fialmete, los térmios pedidos so t 8 y t 9 19 3 19 1 2 +1 +1
Idice Alfabético Factorial, 1 Número combiatorio, 1 Situacioes de Desempeño: Biomio de Newto, 6 Solució de situacioes de desempeño: Biomio de Newto, 8 Térmio de orde e u desarrollo biomial, 4 Térmio idepediete, 6, 8 Teorema del biomio, 3 15
Coteidos Rudimetos 5: Teorema del Biomio Profesor Ricardo Satader 1 1. Itroducció a los Factoriales 1 2. Teorema del Biomio 3 3. Ejercicios Propuestos del Teorema del Biomio 5 4. Situacioes de Desempeño: Biomio de Newto 6 5. Solució de Situacioes de Desempeño: Biomio de Newto 8 Idice Alfabético 15 17