Unidad 5. Funciones de Varias Variables

Preparado por: Gil Sandro Gómez Profesor de la UASD Año: 013

Contenido Introducción... 1. Función de dos variables... 3. Límites continuidad... 4 3. Derivadas parciales... 7 4. Interpretación geométrica de las derivadas parciales... 9 5. Funciones armónicas... 10 6. Diferenciales... 11 7. Reglas de la cadena para funciones de varias variables... 1 8. Etremos de funciones de dos variables... 14 9. Multiplicadores de Lagrange... 17 Bibliografía... 19 Webgrafía... 19 1

Introducción Hasta el momento nada más habíamos estudiado las funciones de una variable, pero la maoría de los fenómenos que analizamos en el mundo real dependen de más de una variable. Las funciones de dos o más variables tienen una gran aplicación en la ingeniería química, entre las aplicaciones más comunes están: la le de los gases, el análisis termodinámico entre otras. Los multiplicadores de Lagrange es una metodología asociada a las funciones de varias variables que tiene una gran utilidad al momento de analizar funciones sujetas a restricciones. Es común en la ingeniería industrial usar esta técnica para analizar la factibilidad de un proceso o el costo de producción de un bien.

1. Función de dos variables Definición. Es una función f que asigna a cada pareja ordenada, D un único número real f (, ). El conjunto D es el dominio de f el correspondiente conjunto de valores f (, ) es el rango. f (,) Dominio Rango 1.1 Gráfica de la función de dos variables Definición. Es el conjunto de todos los puntos (,, z) para los z f (, ) (, ) que está en el dominio de f. Ejemplo 1. Bosqueje la gráfica de f (, ) 1 3

1. Curvas de nivel Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es usar un campo escalar en el que el escalar z f (, ) se asigna al punto (, ). Un campo escalar puede caracterizarse por sus curvas de nivel o líneas de contorno a lo largo de los cuales es constante. Las curvas de nivel de igual presión se llaman isobaras. Las curvas de nivel que en mapas climáticos representan puntos de igual temperatura reciben el nombre de isotermas. Las curvas de nivel que representan campos de potenciales eléctricos se llaman líneas equipotenciales. Los mapas de contorno suelen utilizarse para representar regiones de la superficie de la tierra, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Este tipo de mapas se llama mapa topográfico.. Límites continuidad Previo a la definición de límite de una función de dos variables necesitamos definir una serie de conceptos, tales como: 1. Vecindad de un punto : un punto que pertenece a R, cualquier subconjunto de R que posea un abierto que contenga a se llama una vecindad de.. Bola abierta: se llama bola abierta al conjunto representado por B {(, ) : ( ) ( ) } ( ) 0 0 3. Bola cerrada: se llama bola cerrada al conjunto dado por B {(, ) : ( ) ( ) } ( ) 0 0 4. Punto interior: un punto es un punto interior de un conjunto S si eiste una vecindad de contenida en S. El conjunto de los puntos interiores de S se llama interior de S. 5. Punto frontera: un punto es un punto frontera de un conjunto S si cada vecindad de contiene puntos que están en el interior de S puntos que no están en S. El conjunto de los puntos fronteras recibe el nombre de frontera de S. 6. Un conjunto es abierto si contiene todos puntos interiores es cerrado si contiene todos sus puntos fronteras. Ha conjuntos que no son abiertos ni cerrados. 7. Conjunto acotado: un conjunto S es acotado si eiste un R 0 tal que todas las parejas ordenadas en S están dentro de un círculo de radio R con centro en el origen..1 Definición límite de una función de dos variables Sea f una función de dos variables en un disco abierto centrado en ( 0,, ecepto posiblemente en ( 0,, sea L un número real. Entonces lim f (, ) L (, ) (, ) 0 0 4

Si para cada 0 eiste un número real 0 en este caso, 0 0 0 Unidad 5. Funciones de Varias Variables tal que si, f L D Nota: los límites de dos variables tienen las mismas propiedades que cuando es de una sola variable. Ejemplo. Calcular el límite de lim (, ) (0, (, ) (0, cos cos cos (( cos 0 0 1 lim 1 cos (( cos 0 0 1 Ejemplo 3. Determine si el límite eiste o no. lim, 0,0 Realizamos la sustitución de las variables para calcular el límite dado 0 0 0 lim ~ (3) 0 0 0, 0,0 Como podemos observar, el cálculo directo del límite nos proporciona una forma indeterminada, es decir, no sabemos si el límite eiste o no. Es importante recordar que si la función es de dos o más variables no se aplica la regla de L Hôpital. Busquemos la solución utilizando en método de las tres vías, estas son: Primera vía. Nos acercamos al origen por la recta 0 En este caso, sustituimos a la variable por cero en la función. 0 lim lim lim lim 0 0,0 0,0,0 0,0,0 0,0,0 0,0 Segunda vía. Nos aproimamos a través de la recta 0 0 lim lim lim lim 0 0 0, 0,0 0, 0,0 0, 0,0 0, 0,0 5

Tercera vía. Nos acercamos por medio de la recta Como ambas variables son iguales, entonces sustituimos a una por la otra por comodidad. 0 lim lim lim lim 0, 0,0, 0,0 0, 0,0 0, 0,0 Comparando los resultados obtenidos por las tres vías, nos damos cuenta que son iguales, por tanto el límite eiste su valor es cero. Entonces, lim 0, 0,0 Otra forma de calcular el límite de una función de dos variables es utilizando coordenadas. Ejemplo 3. Aplicando coordenadas polares determine si el límite eiste o no lim (, ) (0, Primero pasamos de coordenadas cartesianas a coordenadas polares luego procedemos a calcular el límite dado. rcos rsen Como ambas variables son iguales a cero, entonces r 0. r cos r sen cos sen limr cos rsen limr cos sen r r0 0 r cos r sen r r cos sen limr cos sen cos sen 0 cos sen cos sen 0 r0 El límite eiste su valor es cero. lim 0 (, ) (0, 6

. Función continua en un punto Definición. Una función f (, ) es continua en el punto ab, si se cumple que: 1. f tiene un valor en ab,. El lίmite f eiste en ab, 3. f ( a, b) lim f (, ) (, ) ( a, b).3 Continuidad en un conjunto Definición. Una función f (, ) es continua en un conjunto S si f (, ) es continua en cada punto del conjunto. Teorema. Composición de funciones Si una función g de dos variables es continua en ab, una función f de una variable es continua en g( a, b ), entonces la composición f g, definida como ( f g)(, ) f ( g(, ) ab,. es continua en 3. Derivadas parciales Definición. Sea f una función de dos variables (, ) respecto a la variable a la variable se epresan por: (, ) lim f (, ) f (, ) f ~ ( ) a 0 (, ) lim f (, ) f (, ) f ~ ( ) b 0 siempre que estos límites eistan.. Las derivadas parciales de f, Las derivadas parciales de f, pueden escribirse en las formas siguientes: f (, ) f (, ) este símbolo significa la derivada parcial de f (, ) respecto de. este símbolo significa la derivada parcial de f (, ) respecto de. 7

Ejemplo 4. Determine la derivada parcial de z cos( ) z sen( ) z sen( ) cos( ) 3.1 Derivadas parciales de orden superior En una función de una variable podemos determinar la derivada de segundo orden, tercer orden, cuarto orden, etc., así sucede con una función de dos o más variables. Las derivadas parciales de orden superior se denotan en el orden que se hace la derivación. Dada una z f, tiene las siguientes derivadas de segundo orden: función 1. Derivar dos veces respecto a : f, f, f,. Derivar dos veces respecto de :,, f f f, 3. Derivar primero respecto de luego respecto a : f f f 4. Derivar primero respecto de luego respecto a : f f f Los casos tercero cuarto se llaman derivadas parciales mitas (cruzadas). Ejemplo 5. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de 3 z sen 5 Primero calculamos las derivadas de primer orden 8

z 3 4 cos 5 z 6 sen Ahora buscamos las derivadas de segundo orden z 1 cos z 1 cos 3 z 4 sen z 1 sen Como podemos ver las derivadas z z son iguales. 4. Interpretación geométrica de las derivadas parciales f, 4.1 Interpretación geométrica de El valor de f a, b es la pendiente de la recta tangente en,, encuentra sobre la superficie z f,. f 4. Interpretación geométrica de, El valor de f a, b es la pendiente de la recta tangente en,, encuentra sobre la superficie z f,. Teorema de Clairaut o teorema de las derivadas parciales cruzadas P a b c de la curva que se P a b c de la curva que se Si f es una función en (, ) tal que entonces, para todo (, ) en R, f f son continuas en un disco abierto R, f (, ) f (, ) 9

5. Funciones armónicas Las derivadas parciales se utilizan en las ecuaciones diferenciales parciales, éstas se epresan algunas del mundo real. La ecuación diferencial parcial u u 0 La ecuación anterior recibe el nombre ecuación de Laplace en honor al matemático francés Pierre Laplace. Las soluciones de esta ecuación las llamamos funciones armónicas, juegan un rol determinante en los problemas de conducción de calor, flujo eléctrico flujo de líquidos. Definición. Una función real de n recibe el nombre de función armónica en D si sobre D contiene derivadas parciales continuas de primer segundo orden además satisface la ecuación de Laplace. Ejemplo 7. Analice si la función ecuación de Laplace. u, sen cosh cossenh es solución de la Para verificar si una función es solución de la ecuación de Laplace es necesario determinar las derivadas parciales de segundo orden de la función dada. Procedemos a encontrar las derivadas parciales de u, : u cos cosh sensenh u sensenh cos cosh Las derivadas de segundo orden de u, son: u, sen cosh cossenh u, cossenh sen cosh Sumamos las derivadas de segundo orden de la función dada u, u, sen cosh cossenh cossenh sen cosh Nos queda que: u, u, 0 Podemos concluir que la función dada es una función armónica, porque satisface la ecuación de Laplace. 10

6. Diferenciales 6.1 Diferencial total Definición. Si z f (, ) son los incrementos en en, entonces las diferenciales totales de las variables independientes son d d la diferencial total de la variable dependiente z es z z dz d d f(, ) d f (, ) d Esta definición puede etenderse una función de tres o más variables. Ejemplo 7. Halle la diferencial total de la función dada 3 z ; P(1,1), Q(0.99,1. Aplicando la fórmula de diferencial total tenemos que: z z dz d d f(, ) d f (, ) d z z 4, 6 3 d 0.99 1 0.1, d 1.0 1 0.0 3 dz 4 d 6 d Evaluamos el diferencial total de la función en (1,1) dz 4(1)(1) ( 0.01) 6(1) (1) (0. 0.08 6. Diferenciabilidad Definición. Una función f dada por z f (, ) es diferenciable en 0 0 epresarse en la forma z f (, ) f (, ) 0 0 0 0 1 (, ) si z puede Donde 1 0 cuando (, ) (0,. La función f es diferenciable en una región R si es diferenciable en todo punto de R. 11

Teorema. Condiciones suficientes para la Diferenciabilidad Si f es una función en (,, ) para la que entonces f es diferenciable en R. Teorema. Diferenciabilidad implica continuidad f f son continuas en una región abierta R, Si una función en (, ) es diferenciable en ( 0,, entonces es continua en ( 0,. 7. Reglas de la cadena para funciones de varias variables Teorema. Regla de la cadena: una variable independiente Sea w f (, ), donde f es una función derivable de e. Si g( t), h( t), donde g h son funciones derivables de t, entonces w es una función diferenciable de t, dw w d w d dt dt dt Ejemplo 8. Determine dw dt mediante la regla de la cadena. w, ln( ), cos t, sent Derivamos a w, respecto a respecto. w 1 w 1, d dt d sent, cost dt Vamos a sustituir las variables por su respectivo valor en cada derivada parcial: w 1 w 1 sent, cost cost sent cost sent Usando la fórmula dw w d w d dt dt dt 1

dw 1 1 sent sent cost cost dt cost sent cost sent dw sent cost sen t cos dt cost sent cost sent dw cost sent sen t cos dt cost sent t dw cost sent 1 cos t 1 cos t cost sent 1 cos t 1 cos t dt cost sent cost sent t dw cost sent dt cost sent cost Teorema. Regla de la cadena: dos variables independientes Sea w f (, ), donde f es una función derivable de e. Si g( s, t), h( s, t) son tales que las derivadas parciales de primer orden,,, eisten, están dadas por s t s t w w w s s s w w w t t t Ejemplo 9. Hallar w s w t w, s cost, se w w w w w w ~ ( a) ~ ( b) s s s t t t w w t,, cos t, e ~ () s s Sustituendo () en (a) t 13

w (cos t) ( e t ) s Sustituendo a a por su valor: w t t scost(cos t) se ( e ) s w t s cos t se s Ahora derivemos respecto a t : w w w ~ ( b) t t t t ssent, se t t ~ (3) w t ( ssent) ( se ) s Sustituendo (3) en (b) w t t s cos t( ssent) se ( se ) s w t s cos tsent) s e s 8. Etremos de funciones de dos variables 8.1 Etremos relativos Definición. Sea f una función definida en una región R que contiene ( 0, 1. La función f tiene un mínimo relativo en ( 0, si f (, ) f (, ) 0 0 para todo (, ) en un disco abierto que contiene ( 0,.. La función f tiene un máimo relativo en ( 0, si f (, ) f (, ) 0 0 para todo (, ) en un disco abierto que contiene ( 0,. 14

Teorema del valor etremo Sea f una función continua de dos variables e definida en una región acotada cerrada R en el plano. 1. Eiste por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor mínimo.. Eiste por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor máimo. 8. Puntos críticos Definición. Sea f definida en una región abierta R que contiene ( 0,. El punto ( 0, es un punto crítico de f si se satisface una de las condiciones siguientes: f, 0 1. f (, ) 0 0 0. f, o f, no eiste. Teorema. Los etremos relativos se presentan solo en los puntos críticos Si f tiene un etremo relativo en ( 0, 0 ) en una región abierta R, entonces es un punto crítico de f. 8.3 El criterio de las segundas derivadas parciales Los puntos críticos de una función de dos variables no siempre son máimos o mínimos. Algunos puntos críticos dan puntos sillas que no son ni máimos ni mínimos. Teorema. Criterio de las segundas derivadas parciales Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene un punto ab, para el cual f ( a, b) 0 f ( a, b) 0 Para buscar los etremos relativos de f considérese el valor Entonces, 1. 0 d f ( a, b) f ( a, b) f ( a, b) d f a, b 0 eiste un mínimo en el punto ab,. d f a, b 0 eiste un máimo en el punto ab. 0,. 15

3. 0, ab,. 4. Si d 0 no se puede aplicar el método. d eiste un punto silla en Nota: Una forma conveniente para recordar el valor de d, es utilizar el determinante f ( a, b) f ( a, b) f ( a, b) f ( a, b) Ejemplo 10. Determine todos los puntos críticos. Indique si cada uno de estos puntos da un máimo local o un mínimo local o si es un punto silla. 3 3, 1 8 f Primer paso. Derivamos la función dada para encontrar los puntos críticos f, 3 1 f, 1 4 Igualamos a cero las primeras derivadas determinamos los puntos críticos. 3 10 1 4 0 ~ (1 El sistema (1 es un sistema de ecuaciones no lineales, por tanto es necesario tener la precaución al momento de hallar la solución. Al resolver el sistema nos encontramos que los puntos críticos son: 0,0,1. Por un asunto de espacio no presentamos el desarrollo del sistema de ecuaciones. Los valores complejos no se consideran como parte de la solución del sistema, porque nuestra materia está basada en el campo de los reales. Segundo paso. Buscamos las derivadas de segundo orden de la función dada f, 6 f, 48 f f 1 1 Se cumple el teorema de Clairaut, que establece que las derivadas cruzadas son iguales. Tercer paso. Calculamos el determinante Por comodidad es preferible evaluar las derivadas antes de calcular el determinante. Iniciemos nuestro análisis en el punto 0,0 f 0,0 6 0 0 f 0,0 48 0 0 16

f f f f f f 0,0 0,0 1 0,0 0,0 0 1 d 144 0,0 0,0 1 0 En el punto crítico 0,0 tenemos que: d 0, por tanto ha un punto silla. Cuarto paso. Calculamos el punto silla 3 3 f 0,0 0 1 0 0 8 0 0 El punto silla de la función es: Quinto paso. Ahora tomamos el punto,1 reiniciamos nuestro análisis. f,1 6 1 f,1 481 48 f,1 f,1 1 1 d 43 f,1 f,1 1 48 Evaluemos a f, : f,1 6 1 Dado que d 0 f,1 0, ha un mínimo en,1. Para calcular el mínimo evaluamos la función en el punto crítico. 3 3 f,1 1 1 8 1 8 El punto mínimo es: 9. Multiplicadores de Lagrange Teorema de Lagrange Sean f g funciones con primeras derivadas parciales continuas, tales que f tiene un etremo en un punto ( 0, sobre la curva suave de restricción o ligadura g(, ) c. Si g(, ) 0, entonces eiste un número real tal que 0 0,1, 8 0,0,0 f (, ) g(, ) 0 0 0 0 17

9.1 Método de los multiplicadores de Lagrange Si f g son funciones que satisfacen las hipótesis del teorema de Lagrange, sea f una función que tiene un mínimo o un máimo sujeto a la restricción g(, ) c. Para hallar el mínimo o el máimo de f, seguir los pasos descritos a continuación: 1. Resolver simultáneamente las ecuaciones f (, ) g(, ) g(, ) c resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente: f (, ) g(, ) f (, ) g (, ) g(, ) c. Evaluar f en cada punto solución obtenido en el primer paso. El valor maor da el máimo de f sujeto a la restricción g(, ) c, el valor menor da el mínimo de f sujeto a la restricción g(, ) c. Ejemplo 11. Mediante los multiplicadores de Lagrange encuentre los etremos de la función sujeto a la restricción 1. f (, ) 3 er 1 Paso. Sea g(, ) do Paso. Hallamos las derivadas parciales de f g : f (, ) 3 ~ (1) f (, ) 3 g (, ) g (, ) Construímos el sistema de ecuaciones : f (, ) g (, ) f (, ) g (, ) g(, ) c 3 ~ (1) 3 ~ () 1 ~ (3) 1 Despejamos a de las ecuaciones (1) (): 3 3 ~ (4) ~ (5) 18

Igualamos las ecuaciones (4) (5): 3 3 4 6 6 4 6 6 Sustituimos a por su valor en (3): 1 1 1 1, el punto crítico es 1 1, Evaluamos a f en 1 1, : f 1 1 1 1 1 1 1 3 1 5, 3 El punto máimo es: 1 1 5,, Bibliografía 1. Edwards, C & Penne, D. (008). Cálculo con trascendentes tempranas (7 ma edición). Méico: Pearson.. Larson, R., Hostetler, R. & Edwards, B. (006). Cálculo II (8 va edición). Méico: Mc Graw Hill. 3. Larson, R., Hostetler, R. & Edwards, B. (01. Cálculo Esencial. Méico: CENGAGE Learning. 4. Purcell, E., Varberg, D. & Rigdon, S. (007). Cálculo (9 na edición). Méico: Pearson 5. Thomas, G. (005). Cálculo multivariables (11 ma edición). Méico: Pearson. 6. Stewart, J. (008). Cálculo de varias variables (6 ta edición). Méico: CENGAGE Learning. Webgrafía 1. http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/grupo1b/multivar.pdf. http://lc.fie.umich.m/~rochoa/materias/calculo_ii/funciones_multivariables.pdf 19

3. http://www.zweigmedia.com/mundoreal/calcsumm8.html 4. http://personal.us.es/egarme/resumen/resumentema9fmi.pdf 5. http://www.prepa6.unam.m/colegios/matematicas/papime/papime/manuales%5cde rive-5(funciones%0de%0varias%0variables).pdf 6. http://www.ucasal.net/recursos/funciones_de_varias_variables.pdf 7. http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/maria_vi ctoria/funciones_varias_variables011.pdf 0