Métodos con series de Fourier Definición: Función periódica La función (), definida para toda, es periódica si existe un número positivo tal que (+)=() para toda. El número en un periodo de la función. Si existe un mínimo número positivo tal que () sea periódica con periodo, decimos que es el periodo de. Por lo general, no tendremos que referirnos al menor periodo de una función () y simplemente diremos que () tiene periodo si es cualquier periodo de (). Ejemplo: El periodo de las funciones ()=cos y h()= (donde es un entero positivo) es 2/, pues y + =cos(+2)=cos + = (+2)=. Además, 2 también es periodo de las funciones () y h(). Definición: Serie de Fourier y coeficientes de Fourier Sea () una función continua por partes de periodo 2 definida para toda. Entonces la serie de Fourier de () es la serie + ( cosnt+ sinnt) donde los coeficientes de Fourier y se definen mediante las fórmulas para = 0,1,2, y para = 1,2, = = ()cos ()sen Puede ocurrir (y con frecuencia ocurre) que la serie de Fourier de una función no converja a la función en ciertos puntos del dominio de esta última. Por tanto, escribiremos ()~ + ( cosnt+ sinnt), sin utilizar el signo de igualdad entre la función y su serie de Fourier hasta analizar la convergencia de series de Fourier.
Ejemplo 1: Determine la serie de Fourier de la función onda cuadrada definida como Solución: ()= Los coeficientes de Fourier son = 1 () = 1 <<0 +1 0<<. 0 =, 0, 1 = ( )+ ()=0. = 1 ()cos ( 1) + = 1 1 (+1) ( cos) + 1 cos = + =0. = 1 ()sen = 1 ( sen)+1 sen = 1 1 cos + 1 1 cos = 2 2 (1 cos)= 1 ( 1). Así, =0 para toda 0, y 4 = 0. De esta forma obtenemos la serie de Fourier
o bien (t)~ 4 sen nt π n = 4 π sen t+1 3 sen 3t+1 sen 5t+. 5 (t)~ 4 (2n 1)t sen π 2n 1 La figura muestra las gráficas de la suma parcial para n=3, n=6, n=12 y n=24. S (x)= 4 (2n 1)x sen π 2n 1 Observe que cuando x tiende a una discontinuidad por la derecha o por la izquierda, el valor de () tiende a sobrepasar el valor de () (+1 o -1 en este caso). Este comportamiento de las series de Fourier cerca de un punto de discontinuidad de su función es típico y se conoce como fenómeno de Gibbs.
Las siguientes fórmulas integrales, que pueden deducirse fácilmente integrando por partes, son útiles para calcular series de Fourier de funciones polinomiales. cos =cos+ sin+ ; sen =sen+ cos+ ; cos =u sen sin ; sen = u cos+ cos. Ejemplo 2: Determine la serie de Fourier de la función con periodo 2 definida en un periodo como 0 <0 ()= 0< = La gráfica de se muestra en la figura Solución: Los valores de () no son importantes, pues no tienen efecto sobre los valores de las integrales que proporcionan los coeficientes de Fourier. Como ()0 en el intervalo (,0), cada integral desde = a =. Por tanto, las ecuaciones que determinan los coeficientes de Fourier, son = 1 = 1 1 2 = 2
= cos = cos (=, = ) = 1 cos+ = 1 ( 1) 1 En consecuencia, =0 si es par y 2; = si es impar. A continuación, = 1 = 1 = 1 cos Así, = 1 cos = () para toda 1 Por lo tanto, la serie de Fourier de () es (t)~ π 4 2 cos + ( 1) sen nt n Si () es una función con periodo 2, se puede verificar fácilmente que ()= () Para toda. Según esto, es más conveniente a veces, calcular los coeficientes de Fourier, como y = 1 = 1 ()cos () Ejercicios En los problemas 1 al 4 se dan los valores de una función () con periodo 2 en todo el periodo. Bosqueje varios periodos de su gráfica y determine su serie de Fourier. 1. ()=1, 3, <0 2. ()= 2, 0< 3. ()=,
+, <0 4. ()=, 0< 5. Sea () una función continua por partes con periodo. (a) Suponga que 0<. Sustituya = para mostrar que () = (). Concluya que () = (). (b) Dada, elija de modo que =+ con 0<. Luego sustituya = para mostrar que () = () = (). Series de Fourier y convergencia: El caso general Definición: Serie y coeficientes de Fourier Sea () una función continua por partes con periodo 2 definida para toda. Entonces la serie de Fourier de () es la serie ()~ 2 + cos + sin donde los coeficientes de Fourier se definen como y = 1 ()cos = 1 () sen Si =0, se tiene una forma más sencilla de = 1 (), lo que demuestra que el término constante de la serie de Fourier de no es más que el valor promedio de () en el intervalo,. A veces es más conveniente usar
= 1 ()cos = 1 () sen. Ejemplo 1: Demuestre que la serie de Fourier de la función mostrada en la figura, es () )~ 4 1 sen (2 1). 2 1 2 Teorema 1: Convergencia de Series de Fourier Suponga que la función periódica es suave por partes. Entonces su serie de Fourier converge (a) al valor () en cada punto donde es continua, y (b) al valor ( ( ) en cada punto donde es discontinua. Observe que ( ( ) es el promedio de los límites por la derecha y por la izquierda de en el punto. Si es continua en, entonces ( ()=( )= ( ), así que ()= ( )+( ) 2 Por lo tanto, el teorema 1 se puede formular como sigue: la serie de Fourier de una función suave por partes converge para cada valor de al valor promedio.
()= ( )+( ). 2 Por esta razón es costumbre escribir ()= 2 + cos + sin en el entendido de que debemos modificar la definición de (en caso necesario) en cada uno de sus puntos de discontinuidad para que satisfaga la condición del valor promedio, mencionada anteriormente., Ejemplo 1 La gráfica de la función del ejemplo anterior, muestra que si es un entero par, entonces lim ()=+1 y lim ()= 1 Por lo tanto, ( )+( ) =0. 2 Observe que la serie de Fourier ()= 4 1 sen (2 1) 2 1 2 Converge a cero si es un entero par (pues sen=0) y se justifica el uso del signo igual. Ejemplo 2 Sea () una función con periodo 2 tal que ()= si 0<<2. Definimos () para entero par, mediante la condición del valor promedio; en consecuencia, ()=2 si es un entero par. La gráfica de la función aparece en la figura siguiente Demuestre que su serie de Fourier es (t)= 4 3 + 4 cos n 4 π sin n válida para toda.
A partir de la serie de Fourier dada, demuestre que (a) = (b) () = (c) Ejercicios. () = 1. En los siguientes problemas se define la función periódica () en un periodo completo; en cada discontinuidad, el valor de f(t) es el dado por la condición de valor promedio dada anteriormente. Bosqueje la gráfica de y determine su serie de Fourier. 0, 0<<1 a) ()=1, 1<<2 0, 2<<3 0, 2<< <0 b) ()= sen, 0<< <2 2. (a) Suponga que es una función con periodo 2 tal que () )= si 0<<2. Muestre que (b) ()=1 2 sen Sustituya un valor adecuado de para deducir la serie de Leibniz 1 1 3 +1 5 1 7 + = 4 Series de senos y cosenos de Fourier Se dice que la función definida para toda es par si para toda ; es impar si ( )=() ( )= ()
para toda. Propiedades: (a) (b) (c) (d) Si es par: () =2 (). Si es impar: () =0. Si y son pares, entonces es par. Si y son impares, entonces es impar. De estas propiedades se deduce: = 1 ()cos = 2 ()cos = () sen =0. Extensiones pares e impares Sea una función definida en el intervalo 0<<. Se define la extensión par con periodo 2 de, a la función () 0<< ()= ( ) <<0. Se define la extensión impar con periodo 2 de, a la función () 0<< ()=. ( ) <<0 La serie de Fourier de la extensión par contendrá sólo términos con cosenos y se llama serie de cosenos de Fourier de la función.
La serie de Fourier de la extensión impar contendrá sólo términos con senos y se llama serie de senos de Fourier de la función. Definición: Series de senos y cosenos Supóngase que la función () es continua por partes en el intervalo 0,. Entonces la serie de cosenos de Fourier de es la serie con (t)= 2 + cos = 2 ()cos dt. La serie de senos de Fourier de es la serie con (t)= sen = 2 ()sen dt. Ejemplo 1 Determine la serie de cosenos de Fourier y la serie de senos de Fourier para, que está definida como ()= para 0<<. Solución: y = 2 = 2 1 2 = = 2 2L cos dt= n π ucosu du = 2L n π usenu+cosu = 4L n para n impar π 0 para n par. Así, la serie de cosenos de Fourier de es para 0<<. = 2 4 cos + 1 3 cos3 + 1 5 cos5 + = 2 sen dt = 2 sen
= 2 cos+sen = 2 ( 1). Así, la serie de senos de Fourier de es para 0<<. = 2 sen 1 2 sen2 +1 3 sen3 + Teorema 1: Derivación término a término de una serie de Fourier Supóngase que la función es continua para toda, periódica con periodo 2L, y que su derivada es suave por partes para toda. Entonces la serie de Fourier de es la serie ()= sen + cos obtenida al derivar término a término de la serie de Fourier Observación: La serie de Fourier () = 2 + cos + sen. = 2 sen 1 2 sen2 +1 3 sen3 + con <<, cumple casi todas las hipótesis del teorema 1 excepto la continuidad de f y sólo tienen discontinuidades de salto aisladas. Pero la serie 2cos cos2 +cos3
obtenida al derivar la serie dada término a término diverge (por ejemplo, cuando =0 y cuando =) y por lo tanto la derivación término a término de la serie dada, no es válida. En contraste, la serie de Fourier = 2 4 cos + 1 3 cos3 + 1 5 cos5 + con <<, satisface todas las hipótesis del teorema 1, de modo que su serie de Fourier puede derivarse término a término. El resultado es ()= 4 sen +1 3 sen3 +1 5 sen5 +. Que es la serie de Fourier de la función onda cuadrada con periodo 2L que asume el valor 1 para <<0 y +1 para 0<<. Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series de Fourier Para resolver la ecuación diferencial + +=(), (0<<) ; (0)=()=0, primero extendemos la definición de la función () al intervalo <<0 de manera adecuada, y luego a toda recta real mediante las