TEMA 5. Límites de unciones. Continuidd y discontinuidd. Bozno. Rms ininits TEMA5.Límites de unciones. Continuidd y discontinuiddes. Teorem de Bozno. Rms Ininits. Introducción L continuidd es un de s propieddes más importntes que deinen un unción. Muchos teorems de náisis uncion se poyn en continuidd de s unciones. Conceptumente un unción es continu en un intervo [,b] si en está deinid en cd punto de intervo y no se producen stos en su representción. L myorí de s situciones en Nturez describen situciones entre dos o más vribes que se recionn por unciones de orm continu. Los enómenos ísicos desde un punto de vist mcroscópico siuen mecánic Newtonin, que es continu sí si empujmos un cuerpo desde e reposo hst un veocidd máim este ps por tods s veociddes rees que hy entre mbs. Eisten unciones en Nturez que no son continus, myorí de es son debids cmbios de contorno. Así por ejempo e cmpo eéctrico credo por un conductor en unción σ de s distnci de centro no es continuo, pues en su interior es nuo y en supericie es ε Pr describir continuidd previmente hy que describir e ímite de un unción en un punto, que epic e comportmiento de dich unción en un entorno de punto. Los ímites en nturez se utiizn pr epicr e comportmiento en puntos incnzbes, un ejempo típico es e estudio de s propieddes termodinámics en e cero bsouto K. Históricmente e concepto de ímite y continuidd recibieron un ormución precis en e sio XIX especimente reizdos por Cuchy, y están estrechmente idos concepto mtemáticos de número re.. Límite de un unción.. Conceptos previos. Función re Un unción, es un correspondenci entre D R y R deinid de orm: : D R y y t que D se cumpe que es único. L vribe se denomin independiente y e conjunto de todos os puntos D se denomin dominio de unción Dom. L vribe y se denomin dependiente y e conjunto de vores de y se denomin recorrido, rec {y R : y, R }... Deinición de ímites initos. Un unción re se dice que tiene ímite R cundo tiende un vor R, y se denot como im si se cumpe ε> δ>: <-<δ -<ε Jose Luis Lorente preprdor oposiciones secundri www.joseuisorente.es
TEMA 5. Límites de unciones. Continuidd y discontinuidd. Bozno. Rms ininits Ejempos de ímites: Conceptumente impic que si deinimos un entorno de rededor de -<ε siempre podemos encon- trr un entorno de -<δ donde os vores de imen en e entorno de ntes deinido. En myorí de unciones os vores de os ímites coinciden con e vor de unción en dicho punto concepto que como veremos describee continuidd, pero eisten unciones donde esto no ocurre como veremos continución. c, im c. Demostrción ε> δ>: <-<δ c -<ε, ueo tomndo δ<ε/c se cumpe desiudd nterior. c -c <ε, En este cso im c si Si deinimos hor unción podemos demostrr que 3 si im de iu orm que en pues en e entorno de cero no es cero. Pero hor dierenci con 3 im... Límites teres En deinición de ímite no hemos dierencido entre proimción punto por izquierd vores ineriores de, < o por derech vores myores de, >. Vmos deinir hor de orm mtemátic os denomindos ímites teres. Un unción re se dice que tiene ímite de vor cundo tiende hci por izquierd y se denot im si cumpe ε> δ>: -δ, -< <ε Un unción re se dice que tiene ímite de vor cundo tiende hci por derech y se denot im si cumpe ε> δ>:,δ -< <ε Ejempo si si < im im Jose Luis Lorente preprdor oposiciones secundri www.joseuisorente.es
TEMA 5. Límites de unciones. Continuidd y discontinuidd. Bozno. Rms ininits Proposición: unción re tiene ímite en si y sóo si eisten os dos ímites teres y son iues. Demostrción: si se cumpe que im impic que ε> δ>: <-<δ -<ε por o tnto se cumpe en -δ,δ y por tnto en -δ, y,δ y por tnto cumpe ε> δ>: -δ, -<ε por tnto im ε> δ>:,δ -<ε por tnto im sen im im, entonces se cumpe: ε> δ >: -δ, -<ε por tnto im ε> δ >:,δ -<ε por tnto im Tomndo δmin{δ, δ } cumpe ε> δ>: -δ,δ -<ε por tnto im ε im im -ε -δ ε -ε -δ δ ε im -ε δ Epicción ráic de demostrción Jose Luis Lorente preprdor oposiciones secundri www.joseuisorente.es 3
Jose Luis Lorente preprdor oposiciones secundri www.joseuisorente.es 4 TEMA 5. Límites de unciones. Continuidd y discontinuidd. Bozno. Rms ininits... Propieddes de os ímites Proposición : si un unción es re tiene ímite en un punto entonces unción está cotd en un entorno de. Demostrción: si se cumpe im ε> δ>: <-<δ -<ε, tomndo ε, entonces δ>: <-<δ -< ueo en -δ,δ unción cotd ineriormente por - y superiormente por. Proposición : si un unción tiene ímite en un punto este ímite es único. Demostrción: o hremos por reducción o bsurdo: suponmos que tiene dos ímites, es decir im ε> δ >: <-<δ - <ε im ε> δ >: <-<δ - <ε Se δmin{δ,δ } en <-<δ < < ε ε - -- - - -<ε Se cumpe sí que - <ε ε > -, es decir que contrdice hipótesis...3. Áebr de ímites Se cumpen s siuientes propieddes sen im, im. Sum y rest: im. Producto im 3. División: im Demostrciones: utiizremos im ε> δ >: <-<δ - <ε y im ε > δ >: <-<δ - <ε. Tomndo ε> δminδ,δ : - - - <ε ε ε. Lueo cumpe deinición de im. A eistir ímite cotd por K superiormente en entorno de < Tomndo ε> δminδ,δ : - - - - - <K ε ε ε. Lueo cumpe deinición de im 3. Se cumpe eistir imites que K y k Tomndo ε> δminδ,δ : im k k K k K k k ε ε ε
TEMA 5. Límites de unciones. Continuidd y discontinuidd. Bozno. Rms ininits.3. Límites Ininitos.3.. Ampición de R. Pr deinir os ímites ininitos primero tenemos que describir e concepto de ininito, pr ueo mpir e conjunto de os números rees e incuir e ininito en este nuevo conjunto: R R {, } con ± deinidos de siuiente orm - << R ide intuitiv Operciones con ± Sum y rest en R ± ± ± -± - Indeterminciones: y Producto en R suponemos R ± ± - ± ± ± ± Indeterminciones: ± y ± 3 Cociente en R suponemos R ± ± ± ± Indeterminciones: ± ±,, pr todo R 4 Potenci en R si > y - si << y - Indeterminciones,,,.3.. Deiniciones de ímites ininitos Deiniciones: Un unción tiende cundo tiende hci y se denot si se cumpe M> δ> : -δ,δ >M Un unción tiende - cundo tiende hci y se denot si se cumpe m< δ> : -δ,δ <m 3 Un unción tiende cundo tiende hci y se denot si se cumpe ε> K> : >K -<ε 4 Un unción tiende cundo tiende hci - y se denot si se cumpe ε> k< : <k -<ε 5 Un unción tiende cundo tiende hci y se denot si se cumpe M> K> : >K >M 6 Un unción tiende - cundo tiende hci y se denot si se cumpe m< K> : >K <m 7 Un unción tiende cundo tiende - y se denot si se cumpe M> k< : <k >M 8 Un unción tiende - cundo tiende - y se denot si se cumpe m< k< : <k <m Jose Luis Lorente preprdor oposiciones secundri www.joseuisorente.es 5
TEMA 5. Límites de unciones. Continuidd y discontinuidd. Bozno. Rms ininits Interpretción ráic y im y im 3 y 4 im, im 5 y 7 im y im 6 y 8 im y im Ejempos níticos: im M> tommos δ< se cumpe si -δ,δ >M im M> tommos K> se cumpe si >K >M im ε> tommos M> se cumpe si >M -<ε.3.3. Resoución indeterminciones Cso : -. Domin e que tiend más rápido e orden de crecimiento de menor myor en ininito es de siuiente orm donde > indic que domin su crecimiento en o> n >k > dentro de n crecimiento myor cunto myor se n y dentro de k myor e crecimiento cunto myor k. Ej: im n im En cso de que e crecimiento se e mismo y no se pued operr ríces se mutipic por e conjudo quedndo un indeterminción de tipo. Ejempo: 3 3 3 3 im im im 3 3 3 3 Jose Luis Lorente preprdor oposiciones secundri www.joseuisorente.es 6
TEMA 5. Límites de unciones. Continuidd y discontinuidd. Bozno. Rms ininits Cso : /. Domin e que tiend más rápido, pudiendo ocurrir: 3 Si domin e numerdor ímite es ± : im im 4 4 b Si domin numerdor ímite es : im im im 3 3 3 3 3 c Si e crecimiento es e mismo, cociente coeicientes: im 3 3 im 3 5 4 5 3 5 3 Cso 3: se trnsorm en / : im 3 im Cso 4: / se ccu ctorizndo por ríz: im im im Cso 5: k/ ctorizr denomindor y tomr ímites teres ímite puede ser ± o no eistir: im im 3 3 im No eiste 3 im im im 3 3 im im 3 3 Cso 6:,,, : se ccu tomndo oritmos mbos dos: n im n im n 3 im, n im n n 3. Funciones continus. 3.. Continuidd puntu. e - Un unción re es continu en un punto cundo se cumpe im. Podemos hbr de continuidd ter, siendo continu por izquierd si im y por derech si im. Evidentemente pr que unción se continu en tiene que sero por izquierd y por derech. 3.. Continuidd en un intervo Un unción continu en un intervo,b dom cundo o es en todo punto de intervo, es decir,b im. Un unción continu en un intervo [,b] dom cundo o es en todo punto de intervo,b, es decir,b im y demás continu por derech en y por izquierd en b im, im b b Jose Luis Lorente preprdor oposiciones secundri www.joseuisorente.es 7
TEMA 5. Límites de unciones. Continuidd y discontinuidd. Bozno. Rms ininits Un unción continu en un intervo [,b o en,b] cundo o es en todo punto de intervo,b, es decir,b im y demás continu por derech en por izquierd en b. 3.3. Áebr de unciones continus. Proposición: sen y unciones continus en entonces se cumpe que ±,, 3 / son continus en. Demostrciones: im im 3 im / / / Cororio : Podemos etender e pntemiento pr sum y/o producto de más de dos unciones continus en : i continus en i i continu en. Cororio : Como continu en R entonces tod unción poinómic n n es tmbién continu en R. Cororio 3: Se cumpe que e conjunto de s unciones continus en D R con s operciones sum y producto escr, denotds como C D,, es un subespcio de s unciones rees deinids en D, FD,,. Demostrción: tnto sum como e producto en prticur por s unciones constntes es cerrdo en s unciones continus, por tnto es subespcio. 4. Propieddes de s unciones continus en un punto. 4.. Acotción de unción en torno punto. Proposición: si un unción re es continu en un punto entonces est unción cotd en torno este punto. Demostrción: picmos deinición de continuidd im, ueo eistir e ímite tomndo ε δ>: -<δ se cumpe -<, por tnto -<< en un entrono de, -δ,δ. 4.. Conservción de sino de unción en un entorno de un punto. Proposición: se un unción continu en, t que entonces eiste un entorno de donde unción conserv e sino, es decir si > unción es positiv, y si < unción es netiv. Demostrción: veremos sóo e cso > pues e otro es equivente. Por deinición de continuidd ε> δ>: -δ,δ -<ε. Tomndo e vor de ε/ se cumpe: -δ,δ -</, ueo -/<</, ueo > en -δ,δ. n i n i Jose Luis Lorente preprdor oposiciones secundri www.joseuisorente.es 8
TEMA 5. Límites de unciones. Continuidd y discontinuidd. Bozno. Rms ininits 5. Propieddes de s unciones continus. 5.. Teorem de Bozno Teorem de Bozno: se un unción continu en [,b] y t que b< cmbi de sino eiste menos un c,b donde se cumpe c. Demostrción: supondremos que > y b< sino se demuestr de orm equivente. b b Dividimos e intervo en dos:, [, c ] y, b [ c, b], si se cumpe que c hemos demostrdo e teorem, sino tommos e intervo donde os etremos cmbien e sino. Se vueve dividir e intervo en e punto e punto medio, c, si c se cumpe e teorem siendo cc y se termin e teorem. Si no vovemos coer e intervo con etremos de dierente sino. Repetimos e procedimiento de orm putin pudiendo ocurrir:. Que en ún punto c n cump c n y entonces cumpe e teorem.. No se nu nunc, con o que construiremos intervos encjdos con etremos de dierente sino y cd vez más pequeños cd pso e intervo mide mitd de nterior: [,b] con b<; [,b ] con b <,, [ n,b n ] con n b n <. E ímite de os intervos encjdos es un punto [ n,b n ]im n imb n c que cumpe c y c, ueo c. Gráicmente: 5.. Teorem de vor intermedio Drbou Teorem de Drbou: Se un unción re continu en [,b] entonces tom todos os vores comprendidos ente y b. Es decir α R con <α<b o b<α< se cumpe eiste menos un c,b t que cα. Demostrción: suponmos <α<b demostrción equivente si b<α<. Deinimos unción -α que será continu en [,b] y se cumpe -α< y bb-α> y por tnto cumpe Bozno, y por tnto c [,b]: cc-α, y por tnto cα. Jose Luis Lorente preprdor oposiciones secundri www.joseuisorente.es 9
TEMA 5. Límites de unciones. Continuidd y discontinuidd. Bozno. Rms ininits 5.3. Teorem de cotción Weierstrss Teorem de cotción: Se un unción continu en [,b] entonces cotdo en [,b] y tiene un máimo y un mínimo. Es decir eisten dos puntos c,d [,b] t que csup{: [,b]} y din{: [,b]} Demostrción: por reducción o bsurdo, mmos ssup{: [,b]} y supondremos que no eiste [,b] donde s. Se cumpe que unción s será continu no nurse e denomindor y ser continu. A ser continu cotd, y por tnto [,b] donde <k < k < s < s en [,b], ueo s no es e su- s k premo será s-/k y contrdice proposición, y por tnto e supremo se tom en [,b]. De iu orm pr e ínimo. 6. Tipos de discontinuiddes en un unción. Decimos que un unción es discontinu en D si no es continu en dicho punto y por tnto no cumpe im Eisten vris csiicciones de os tipos de discontinuiddes de un unción, un de s más etendid es siuiente:. Evitbe: eiste e ímite im cy no eiste e o e vor de c. Se m sí porque redeiniendo unción en de orm se vueve continu. Ejempos: si est c si Jose Luis Lorente preprdor oposiciones secundri www.joseuisorente.es
TEMA 5. Límites de unciones. Continuidd y discontinuidd. Bozno. Rms ininits 3. Discontinuidd de sto ininito: e ímite en no eiste por ser uno teres o os dos ininitos.. Discontinuidd de sto inito: e ímite en no eiste por ser distintos os ímites te- res. de os dos ímites 7. Rms ininits. Asíntots Un síntot es un rect que unción se cerc e sin er tocr, coincidiendo e comportmiento de unción con rect en e ininito. Tres tipos de síntots: Asíntot vertic: es un rect y ocurre en os puntos de unción donde se cum- de pe im ± y/o im ±, es decir tiene un discontinuidd sto ininito. Ls síntotss vertices son típics de unciones con denomindor, siendo s síntots os vores que nuen e denominr no ser que tmbién nuen e nume- os vores que rdor y s unciones con oritmo, siendo s síntots en este cso nuen e rumento de oritmo. Un unción puede tener e número que se desee de síntots vertices. Ejempos: Jose Luis Lorente preprdor oposiciones secundri www.joseuisorente.es
TEMA 5. Límites de unciones. Continuidd y discontinuidd. Bozno. Rms ininits b Asíntots horizontes: son de orm y. L unción tiene síntot si se cumpe que im síntot y y/o im síntot y. Por tnto un un- ción puede tener dos síntots, unque enermente e ímite suee ser e mismo y si tiene síntot horizont es únic. Vemos un ejempo con dos síntots: y 3 3 im im c Asíntot Obicu: son de orm ymn con m. Un unción tiene un sínto- de rect. t obicu cundo tender y/ - ráic de est unción tiende En práctic ocurre cundo m im R * y n im m R y o mismo pr e ímite -, pudiendo tener sí hst dos síntots obicus, unque o norm si tiene es que se mism pr ±. Vemos un ejempo con dos síntots obicus 8. Conteto con secundri. L continuidd se bord de orm intuitiv en 3º y 4º de ESO prtir de ráics y un- ciones deinids trozos, unque en e currícuo no incuye e concepto de ímite. En bchierto, en s dos rms, es donde se trbjn os conceptos de ímite y de contiy os ímites un nuidd, sí como os teorems vistos en e tem. Es demás continuidd prueb recurrente en PAU. Jose Luis Lorente preprdor oposiciones secundri www.joseuisorente.es